ELABORACIN DE CURVAS DE PRODUCTIVIDAD APARTIR DE REGRESIN PONDERADA. APLICACINAL CHOPO (POPULUS X EURAMERICANA) EN ELVALLE DEL CINCA

F. Rodrguez Puerta, R. Blanco Ortiz y A. Auns Gmez

Dpto. de Produccin Vegetal y Ciencia Forestal. ETSEA. Universitat de Lleida. Av. Rovira Roure 179.25198-LLEIDA (Espaa). Correo electrnico: francisco.rodriguez@pvcf.udl.es

Resumen

Se analiza la mejora producida en la diagnosis del modelo, ajustado por regresin ponderada, enla elaboracin de curvas de productividad, sobre datos de un clon de chopo (Populus x euramerica-na cv I-214) del valle de ro Cinca (Huesca). Se ensayan cinco modelos ampliamente utilizados enel mbito forestal (HOSSFELD, STRAND, RICHARDS, WEIBULL Y KORF), empleando el dimetro normalcomo variable conductora. Los datos proceden de 610 chopos, de plantaciones coetneas, con unadensidad de 277 piesha-1 y con edades comprendidas entre 2 y 15 aos. Todos los modelos formu-lados presentan una fuerte heterocedasticicidad, que invalidara la construccin de las bandas de con-fianza de prediccin; pero ha sido corregida, sin exclusin, mediante la ponderacin de los residuos,de cuyo anlisis se desprende una mayor bondad de ajuste, reduciendo el sesgo y consiguiendomejorar la precisin. Adems, para aquellos modelos ms parsimoniosos, en nuestro caso los bipa-ramtricos, el comportamiento de sus parmetros es muy prximo a la linealidad, y la colinealidadentre los mismos no es severa; permitiendo, de esta forma, no cuestionar los contrastes individualesde cada uno de los parmetros ni su interpretacin.

Palabras clave: Heterocedasticidad, Regresin ponderada, Crecimiento

INTRODUCCIN

La altura de los rboles dominantes en roda-les coetneos ha sido usada como una medida dela productividad forestal y como una variableconductora en muchos modelos de crecimiento yproduccin forestal, debido a que es sensible alas condiciones ambientales entre las diferentescalidades de estacin, y a que est fuertementecorrelacionada con el crecimiento en volumendel rodal y dbilmente correlacionada con ladensidad y la composicin especfica (DAVIS &JOHNSON, 1987; WANG et al., 1994). Dada la

dificultad que resulta la medicin de la alturadominante, en comparacin con el dimetro nor-mal, en las masas que habitualmente no son obje-to de claras, como es el caso de las choperas enla zona de estudio, se ha empleado habitualmen-te como ndice de calidad el rea basimtrica(HALL, 1983), o cualquiera de sus derivados,como son el dimetro (o circunferencia) medioy/o dominante (PADR, 1982; BRAVO et al., 1996;RODRGUEZ et al., 2002), as, se entiende porCurva de Productividad aquella que relaciona laedad con el dimetro medio de una chopera, enla que se define el ndice de productividad (IP)

199ISSN: 1575-2410 2004 Sociedad Espaola de Ciencias Forestales

Cuad. Soc. Esp. Cien. For. 18: 199-204 (2004) Actas de la Reunin de Modelizacin Forestal

como el dimetro medio que un rodal bien pobla-do alcanza a la edad base, tpica o de referencia.

Distintos trabajos han sido elaborados enEspaa sobre modelos de crecimiento en masasartificiales de Populus x euramericana y entodos ellos la variable conductora ha sido el di-metro normal o alguno de sus derivados. PADR(1982) sobre I-214 en el Valle del Ebro y conmarco de plantacin de 6x6 utiliza polinomiosde segundo grado. PADR Y HERNNDEZ (1983)construyen curvas de crecimiento para el clon I-214 (slo hasta la edad de 10 aos), medianteecuaciones parablicas, para diferentes marcosde plantacin (desde 5x5 a tresbolillo hasta 7x7a marco real) para la Cuenca del Ebro.GONZLEZ-ANTOANZAS (1986) realiza unastablas de produccin para el clon Campeadorajustando polinomios de segundo grado en plan-taciones con marco de 8x5 en la Meseta Central.BRAVO et al. (1996) tambin sobre Campeadorde la Cuenca del Duero y mismo marco de plan-tacin, utilizan el modelo Richards. Finalmente,RODRGUEZ et al. (2003) evalan mediante elmodelo Richards el ndice de productividad paratres clones (LA, MC e I-214) en el Bajo Cinca(Valle Medio del Ebro, Huesca).

En este trabajo, se ensaya la metodologa delajuste de regresin ponderada con el fin decorregir la heterocedasticidad presente en losmodelos de crecimiento y en las curvas de cali-dad de estacin. Se evala el comportamiento delos parmetros a partir de su colinealidad y asi-metra, con el fin de comparar la arquitectura delos modelos empleados.

MATERIALES Y MTODOS

La zona de estudio comprende el valle delCinca, en la provincia de Huesca, con coordena-das de longitud que van desde 01130E hasta00803E y de latitud, desde 415452N hasta413117N, presentando una altitud mediasobre el nivel del mar de 188 m. Los suelos sonde tipo aluvial, situados en ambas mrgenes delro Cinca, formados principalmente por gravascon abundantes elementos gruesos a poca pro-fundidad donde el nivel fretico se encuentrasobre los 2 m de profundidad.

La gestin silvcola en la zona se concreta enplantaciones superficiales a marco real 6 x 6 m,con planta de 1 ao de tallo y de raz (R1T1),sometidas a laboreo superficial anual durante losprimeros aos y peridicos los aos posteriores,con riego a manta cada 15 das durante los mesesde esto y en dosis de unos 2.000 m3 de agua porhectrea (se suministran en total cerca de 15.000m3 anuales), y con podas de guiado y de limpie-za de fuste. El clon analizado es I-214, un clonalgo antiguo (seleccionado por JACOMETTI el ao1929), pero referente de la populicultura mun-dial. Su ramificacin es verticilada y con grannmero de ramas gruesas, es sensible a laMarssonina brunnea y presenta una maderaapreciada dada su baja densidad y su color muyclaro, casi blanco.

Para el ajuste de los modelos se emple unabase de datos obtenida de la medicin de 610rboles procedentes de parcelas temporalesinventariadas los aos 2000, 2001 y 2002, siem-pre sobre parcelas distintas, en periodo de para-da vegetativa, con edades comprendidas entre 2y 15 aos, dimetro normales entre 2,3 y 52,5cm y alturas totales entre 2,4 y 36,8 m. Sobrecada rbol se midi su dimetro normal (DAP) endos direcciones perpendiculares (N-S y E-W)medido con forcpula milimtrica y su alturatotal, medida con Vertex dada su alta precisin(AUNS Y RODRGUEZ, 2002).

La formulacin matemtica de los modelosde crecimiento es la siguiente:

Hossfeld Richards

Strand Weibull

Korf

donde y es el dimetro medio, t es la edad y a, by c son los parmetros a estimar.

Para construir la curva de productividad seutiliz el mtodo de la curva gua, donde se ajus-ta una curva media para la totalidad de los datos.El ajuste se realiz con el procedimiento NLINdel paquete estadstico SAS/STATTMM (2001).Como los datos para la construccin de curvas decalidad procedentes de parcelas temporales y porel mtodo de la curva gua acostumbran a ser hete-

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ct

ba

ey

=

( )cbtay = exp13

+=

btat

y

( )cbtay = exp1( )22

bta

ty

+=

rocedsticos, se ajustaron los modelos pondera-dos por la inversa del cuadrado de la edad (con laopcin WEIGHT y denotados en los resultadoscon subndice W). Tambin se ajustaron losmodelos sin ponderar con el fin de comparar losresultados obtenidos por una u otra metodologa.

Para evaluar la bondad de ajuste se analizarongrfica y numricamente sus residuos, es decir ladiferencia entre el dimetro observado y el di-metro predicho, y se calcularon los siguientesestadsticos (VANCLAY, 1994; SOARES et al.,1995; GADOW & HUI, 1999; RODRGUEZ Y MOLI-NA, 2003): el sesgo medio (s) que evalan la des-viacin del modelo con respecto a los valoresobservados, el error absoluto medio (eam) y laraz del error cuadrtico medio (recm) que anali-zan la precisin de las estimaciones, y el pseudocoeficiente de determinacin (pR2). La colineali-dad en los modelos se estudi mediante el mxi-mo ndice de condicin (IC), o raz cuadrada delcocientre entre el mayor valor propio de la matrizde covarianzas y cada valor propio individual.BELSEY et al. (1980) sugieren que, cuando estenmero est alrededor de 10, existe una colinea-lidad dbil, mientras que si es mayor que 100, lasestimaciones pueden verse afectadas. PEA(1995) sugiere un valor lmite de 60 para asegu-rar una alta colinealidad. Para analizar el compor-tamiento de los parmetros, se comprob su line-alidad mediante el estadstico de Hougaard (H),el cual analiza la asimetra de su distribucin.Segn RATKOWSKY (1990), si el valor absoluto deeste estadstico es menor que 0.1 el comporta-miento del parmetro es prcticamente lineal, siest comprendido entre 0.1 y 0.25 lo es razona-

blemente; mientras que si es superior a la unidadsu no linealidad es considerable, por lo que elestimador puede ser sesgado y difcilmente inter-pretable. Finalmente, para comprobar si se corre-ga la heterocedastididad se llev a cabo la prue-ba de White, en la que se contrasta si la varianzade los residuos es constante a lo largo del eje X.

RESULTADOS Y DISCUSIN

Excepto en el modelo Weibull sin ponderar,en el que el parmetro b no fue significativo, enel resto de casos, todos los parmetros fueronestadsticamente significativos. En la tabla 1 semuestran los parmetros estimados (a, b y c) porel ajuste de la curva gua de todos los modelos(ponderados y sin ponderar), el valor de la asn-tota (K) de cada modelo y su punto de inflexin(PI). Bajo la estimacin de los parmetros yentre parntesis se presenta el estadstico de asi-metra de Hougaard. En la tabla 2 se presentanlos estadsticos para evaluar la bondad de ajustedel modelo (sesgo, error absoluto medio, razdel error cuadrtico medio y R2 ajustada), elestadstico para evaluar la heterocedasticidad(W) y el ndice de condicin (IC) para evaluar lacolinealidad, tanto para los modelos ajustadospor regresin ponderada como los sin ponderar.

Los estadsticos de sesgo y precisin prcti-camente iguales en todos los modelos ajustados,no existiendo grandes diferencias respecto alajuste de la curva gua entre los distintos mode-los (biparamtricos o triparamtricos). El sesgoes prcticamente nulo, mientras que el error

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Sin Ponderar Ponderadoa b c K PI a b c K PI

Hossfeld 0,78 0,11 -- 81,6 3,5 0,74 0,11 -- 75,6 3,4(0,07) (0,04) (0,08) (0,04)

Strand 0,87 0,24 -- 72,4 3,6 0,81 0,25 -- 64,1 3,2(0,07) (0,05) (0,08) (0,04)

Richards 84,66 0,05 1,15 84,7 2,8 68,09 0,07 1,27 68,1 3,4(3,09) (0,09) (0,34) (1,95) (0,03) (0,22)

Weibull 80,52 0,03 1,12 80,5 3,1 63,40 0,04 1,20 63,4 3,3(3,38) (2,06) (0,10) (2,01) (0,99) (0,03)

Korf 7,26 6,57 0,22 1418 2,2 6,40 5,85 0,28 600 2,4(3,04) (3,37) (0,08) (2,25) (2,34) (0,05)

Tabla 1. Parmetros estimados, asimetra de los parmetros, asntota y punto de inflexin de todos los modelos, pon-derados y sin ponderar. Entre parntesis bajo la estimacin del parmetro se presenta el estadstico de Hougard

absoluto medio es en torno a 4 cm, tanto en losmodelos sin ponderar como en los modelos pon-derados, teniendo en cuenta sus residuos sinponderar. En los dos modelos ms parsimonio-sos (Hossfeld y Strand), los parmetros tienenun comportamiento muy prximo a la linealidad(H < 0.1); mientras que en los modelos tripara-mtricos, siempre el parmetro relacionado conla asntota posee una no linealidad considerable(H > 1). El diagnstico de la colinealidad vuel-ve a mostrar que los modelos biparamtricosposeen una colinealidad aceptablemente baja(IC < 10), mientras que la de los modelos tripa-ramtricos es muy elevada. Estos resultados sonimprescindibles para seleccionar entre distintosmodelos de crecimiento, puesto que conformelos parmetros se desvan de su comportamien-to lineal y aumenta la colinealidad entre ellos, sedeterioran las propiedades de los estimadores.

Con el ajuste de regresin ponderada mejoranlos estadisticos de diagnosis del modelo, semejora el comportamiento de los parmetros(menor H y menor IC) y se corrige la heteroce-dasticidad de los residuos, tal y como muestranlos resultados del contraste de White, al aceptar-se que la varianza de los residuos no es signifi-cativamente diferente (p>0.05) a lo largo del ejeX. As, mientras en los modelos sin ponderar suvalor fue en torno a 75, en los modelos pondera-dos se obtiene valores comprendidos entre 7 y10. Se selecciona el modelo Hossfeld pondera-do, al presentar todos sus parmetros un com-portamiento muy prximo a la linealidad, corri-giendose la heterocedasticidad y obtenindoseunos buenos estadsticos de bondad de ajuste.

La figura 1 presenta grficamente el anlisisde residuos sin ponderar (parte izquierda) y pon-derado (derecha), observndose como se corrige

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Sin Ponderar Ponderados eam recm pR2 IC W s eam recm pR2 IC W

Hossfeld 0,07 4,03 5,17 75,4 8,17 75,1* 0,02 4,03 5,17 75,4 6,21 4,7Strand 0,10 4,09 5,21 75,1 7,78 72,6* 0,06 4,09 5,22 75,0 5,81 7,0

Richards -0,01 3,99 5,15 75,6 133,93 74,5* -0,00 3,99 5,15 75,6 69,19 9,5Weibull -0,01 3,99 5,15 75,6 107,44 74,4* -0,00 3,99 5,15 75,6 52,13 9,5

Korf -0,01 3,98 5,14 75,7 563,86 75,2* -0,00 3,98 5,14 75,7 257,72 7,6

Tabla 2. Estadsticos de sesgo, precisin, criterio de seleccin, pseudo-R2 (en porcentaje) y estadstico de White, para losajustes ponderados y sin ponderar. El modelo presenta una heterocedasticidad estadsticamente significativa (p

la heterocedasticidad. Finalmente en la Figura 2se muestra el ajuste de la curva gua (a laizquierda sin ponderar y a la derecha ponderada)con sus respectivos intervalos de confianza deprediccin al 95%. Destacar que en el caso de laregresin ponderada, en edades tempranas losintervalos son ms estrechos, y en edades tard-as son ms amplios.

CONCLUSIONES

Con el uso de la tcnica de regresin ponde-rada se reduce y corrige, en todos los casos, laheterocedasticidad. Al mismo tiempo, se consi-gue una mejor diagnosis del modelo, por lo querepresenta una herramienta eficaz para el ajustede modelos de crecimiento.

Los parmetros de los modelos Hossfeld yStrand, presentan baja colinealidad y un comporta-miento que no se desva de la linealidad. En elresto de modelos, que son ms complejos, la coli-nealidad es elevada y al menos un parmetro poseeun comportamiento muy alejado de la linealidad.

Agradecimientos

Nuestro agradecimiento al Gobierno deAragn, a la Universitat de Lleida y a la CICYT

que a travs del proyecto AGL2000-1255 hafinanciado este trabajo.

BIBLIOGRAFIA

AUNS, A. Y RODRGUEZ, F.; 2002. Precisin yrendimientos comparativos de dos tipos dehipsmetros en la medicin de alturas enchoperas. Montes 68: 21-24.

BELSEY, D.A.; KUH, E. & WELCH, R.E.; 1980.Regression diagnostics: Identifying influen-tial data and sources of collinearity. Wiley.New York.

BRAVO, F.; GRAU, J.M. Y GONZLEZ, F.; 1996.Anlisis de modelos de produccin paraPopulus x euramericana en la Cuenca delDuero. Inv. Agr., Sist. Rec. For. 5(1): 77-95.

DAVIS, L. & JOHNSON, K.; 1987. Forest Manage-ment. 3 Ed. Mc Graw-Hill.

GADOW, K.V. & HUI, G.; 1999. Modelling forestDevelopment. Kluwer Ac. Pub. For. Sc. 57.Kluwer. Londres

GONZLEZ ANTOANZAS, F.; 1986. Crecimientoy produccin, en la Meseta Central, segncalidades de estacin, de plantaciones dePopulus x euramericana (Dode) GuinierCampeador. Com. INIA. Ser. Rec. Nat. 44:1-56.

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Figura 2. Grfico de dispersin de los datos observados sobre el ajuste de la curva gua e intervalos de confianza deprediccin al 95%, para el modelo Hossfeld sin ponderar (izquierda) y ponderado (derecha)

Edad (aos)

2 4 6 8 10 12 14 16

Di

met

ro (

cm)

-10

0

10

20

30

40

50

60

Edad (aos)

2 4 6 8 10 12 14 16

Di

met

ro (

cm)

-10

0

10

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30

40

50

60

HALL, F.C.; 1983. Growth basal area: a fieldmethod for appraising forest site potentialfor stockability. Can. J. For. Res. 13: 70-77

PADR, A. Y HERNNDEZ, M.; 1983. Dualidadturno-espaciamiento en choperas. Estudio deun caso concreto. An. INIA. Ser. For. 7: 83-97.

PADR, A.; 1982. Curvas de productividad delclon I-214 en regado con planta R2T2 ymarco 6x6 en el valle medio del Ebro. An.INIA Ser. For. 6: 63-73.

PEA, D.; 1995. Estadstica. Modelos y mtodos.Modelos lineales y series temporales. 2Edicin. Alianza Universidad. Madrid.

RATKOWSKY, D.A.; 1990. Handbook of nonline-ar regression models. Marcel Dekker, Inc.New York.

RODRGUEZ, F.; DE LA ROSA, J.A. & AUNS, A.;2003. Modelling the diameter at breastheight growth of Populus x euramericanaplantations in Spain. In: A. Puerta, D. Reed& P. Soares (eds.), Modelling Forest

Systems. 181-187. CABI Publishing.Wallingford.

RODRGUEZ, F. Y MOLINA, C.; 2003. Anlisis demodelos de perfil del fuste y estudio de lacilindricidad para tres clones de chopo(Populus x euramericana) en Navarra. Inv.Agr., Sist. Rec. For. 12(3): 73-85

SAS INSTITUTE INC., 2001. SAS/STAT UsersGuide, Version 8.0. SAS Publising. USA.

SOARES, P.; TOM, M.; SKOVSGAARD, J.P. & VAN-CLAY, J.K.; 1995. Evaluating a growth modelfor forest management using continuosforest inventory data. For. Ecol. Manage. 71:251-265.

VANCLAY, J.K.; 1994. Modelling forest growthand yield. Applications to Mixed TropicalForest. CABI Publishing. Wallingford.

WANG, G.; MARSHALL, P. & KLINKA, K.; 1994.Height growth pattern of white Spruce inrelation to site quality. For. Ecol. Manage.68: 137-147.

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