Diapositivas Clases Investigación Operativa COMPLETO CAMBIADO

Investigación Operativa

Prof. Juan Cabana Fernández

¿Para qué sirve la Investigación Operativa?

• Aplicar modelos matemáticos en la resolución de algunos problemas de administración.

• La I.O. puede ser útil para un Gerente General o un Administrador en potencia en la toma de decisiones

• La finalidad del curso es que al finalizarlo el alumno pueda formular modelos matemáticos, resolver esos modelos y saber como usarlos para enfrentar algunos de los problemas reales de la administración.

La I.O en la Toma de Decisiones

• La I.O. aspira a determinar el mejor curso de acción en un problema de decisión con restricción de recursos.

• Científicos británicos fueron los precursores de las primeras actividades de I.O., esto fue para la asignación óptima del material de guerra en la II Guerra Mundial.

• La Investigación Operativa es una ciencia y un arte.

Toma de Decisiones

• La I.O. es una ciencia porque ofrece técnicas y algoritmos matemáticos para resolver problemas de decisión adecuados.

• La I.O. es un arte debido a que el éxito al obtener datos al principio y la implantación después de la creación del modelo depende de la creatividad y habilidad personal de los analistas encargados de tomar las decisiones.

Elementos de un Modelo de Decisión

• Un modelo de decisión es un medio para resumir un problema real de tal modo que permita la identificación y evaluación de todas las opciones de decisión del problema.

Representación por medio de modelos

• El proceso de la toma de decisiones en I.O. consiste en la construcción de un modelo de decisión y después en encontrar su solución con el fin de determinar la decisión óptima.

• El modelo se define como una función objetivo y restricciones que se expresan en términos de las variables de decisión del problema.


• Aunque en una situación real pueden haber muchas variables y restricciones, solo una pequeña parte de ellas dominan el comportamiento del sistema real, por lo tanto la construcción del modelo debe centrarse en el uso de esas variables y restricciones dominantes y en algún dato extra que se considere importante.


• Cuando se crea un modelo se debe observar la situación real y a partir de ahí crear un Sistema Real Supuesto que es una abstracción de la situación real que se obtiene al concentrarnos en los factores dominantes.

• Finalmente se crea el modelo que viene a ser la abstracción del Sistema Real Supuesto que identifica las relaciones pertinentes del sistema en la forma de una función objetivo y un conjunto de restricciones


Sistema real supuestoModelo

Sistema real

Tipos de Modelos de Investigación de Operaciones

• Entonces en la aplicación de la I.O a un problema, primero se construye el modelo y luego se le debe dar solución, pero existen diversos tipos de modelos y por lo tanto un número correspondiente de formas de solucionarlos.

• Por eso existen: modelos de Programación Lineal, entera, dinámica y no lineal que representan algoritmos para resolver clases especiales de modelos de I.O.

Tipos de Modelos de Investigación de Operaciones

• Modelo matemático: Es cuando la función objetivo y las restricciones del modelo se pueden expresar de forma matemática.

• Modelos de simulación: Divide a un sistema en módulos que después se enlazan vía relaciones lógicas (Ej. Si- Entonces) y también se requiere cierto conocimiento estadístico para el correcto modelado.

• La simulación es mas flexible que un modelo matemático pero resulta muy costoso en tiempo y recursos.

Modelos matemáticos• Además los modelos matemáticos podemos

subdividirlos en: Continuos, Discretos, Lineales y No lineales.

• Los modelos continuos emplean distribuciones de probabilidad.

• Los modelos discretos se hacen en intervalos de tiempo determinados.

• Los modelos lineales trabajan con funciones lineales.

• Los modelos no lineales utilizan funciones no lineales

Modelos matemáticos

• Los modelos matemáticos también pueden ser:

• Estáticos: Cuando sus atributos no muestran variación en el tiempo.

• Dinámicos: Permiten observar el comportamiento del sistema a través del tiempo.

Disponibilidad de datos en los modelos

• Modelo Determinístico: Es cuando se conocen con certeza los datos para crear los modelos, como podrían ser por ejemplo costos unitarios.

• Modelo Probabilístico: Se determinan los datos por distribuciones de probabilidad. Este tipo de modelo se conocen también como modelos estocásticos.

Cálculos en Investigación de Operaciones

• Se dan dos tipos de cálculos:• Los que tienen que ver con la simulación: Los

cálculos son muy voluminosos y consumen mucho tiempo incluso en computadora.

• Los que tienen que ver con los modelos matemáticos: Aquí son de naturaleza interactiva, la respuesta se da en pasos e iteraciones, mientras mas iteraciones nos acercaremos (o se converge) al nivel óptimo.


• Cuando se trabaja con modelos matemáticos existen ciertas dificultades:

• Las iteraciones en un modelo matemático que corre por computadora pueden ser infinitas sin llegar a la solución óptima, por lo tanto en estos casos es mejor usar la simulación.

• Algunos modelos matemáticos pueden resultar tan complejos que es imposible idear un algoritmo para solucionarlo, por lo que en estos casos se sugieren usar los modelos heurísticos.

• Los métodos heurísticos son reglas o métodos prácticos que conllevan a obtener una buena solución.


• En I.O. los métodos heurísticos se emplean para dos fines:

• Aumentar la velocidad del proceso para alcanzar el nivel óptimo.

• Se utilizan simplemente para alcanzar una solución que no tiene la garantía de ser la óptima.

Modelo Racional en la Toma de decisiones

• En una decisión nadie puede tomar decisiones que afecten el pasado, las decisiones tienen que operar para el futuro.

• En la mayoría de los casos no se pueden analizar todas las alternativas incluso con técnicas analíticas y las computadoras mas modernas.

Enfoques modernos en la toma de decisiones

• La toma de decisiones es también una ciencia aplicada de la investigación operativa, y tiene importancia en los siguientes aspectos:

• Análisis de riesgo: cada decisión se basa en la interacción de variables importantes, por lo tanto hay que tener en cuenta variables críticas como: Costo de producto, inversión de capital, precio que se puede fijar,…

Enfoques modernos en la toma de decisiones

• Árboles de decisión: Presentan probabilidades existentes en los diversos cursos que se podrían seguir.

• Teoría de la referencia: Se basa en las actitudes de las personas encargadas de tomar decisiones con respecto a resultados con cierta probabilidad de éxito

Tipos de decisiones básicas• Decisiones rutinarias: Aquellas que se toman en

respuesta a problemas conocidos.• Decisiones de adaptación: elecciones hechas para

problemas desacostumbrados en los que hay que aplicar la mejora continua.

• Decisiones de innovación: Donde a los problemas ambiguos se le enfrenta con creatividad.

• Decisiones programadas: Cunado existen reglas que me dicen que algo esta mal hecho por ejemplo y decido rechazarlo.

• Decisiones no programadas: Donde se requiere juicios subjetivos.

Circunstancias en la toma de decisiones

• Certidumbre: Identificar acontecimientos con un elevado grado de seguridad.

• Riesgo: Cuando la información es escasa y ambigua.

• Incertidumbre: Cuando no se dispone de la información necesaria.

Fases de un modelo racional de toma de decisiones

• Definición y diagnóstico del problema.• Establecimiento de objetivos.• Búsqueda de soluciones alternas.• Comparación de las soluciones alternas.• Elección entre las soluciones alternas.• Instrumentación de la solución elegida.• Seguimiento y control.

Análisis de los datos y la información

• Para tomar decisiones acertadas es mejor basarse en la objetividad de los datos que solo en la intuición.

• Por lo general los resultados que se obtienen son datos fríos que no son aceptados por el personal de una empresa (Temor al cambio).

• Se pueden seguir criterios analíticos para obtener resultados en base a información perfecta.

Principios de la Toma de decisiones

• Decisiones basadas en la información y el conocimiento.• Aumentar la habilidad para demostrar la efectividad de

las decisiones que se toman.• Asegurarse que la información sea confiable.• Hacer que los datos sean accesibles para el que lo

necesite.• Usar métodos válidos para el análisis de los datos.• Tomar decisiones basadas en el análisis de hechos

equilibradas con la experiencia y intuición.

Técnicas de evaluación para la toma de decisiones en grupo

• Tormenta de ideas• Técnica de grupo nominal: restringe la discusión

, los miembros están presentes pero operan independientemente.

• Técnica de grupo delphi: Similar al grupo nominal pero no requiere la presencia física de los miembros.

• Reunión electrónica: Escriben sus comentarios en sus computadoras y estas se proyectan en una pantalla para toda una sala.

Enfoque de sistemas de apoyo a la toma de decisiones (SAD)

• Estos sistemas no están diseñados para reemplazar el criterio administrativo, sino para apoyarlo y hacer mas efectivo el proceso de toma de decisiones.

• Estos sistemas ayudan a que los gerentes puedan reaccionar rápidamente a los cambios de necesidades.

Fases de un Estudio de Investigación de Operaciones

• Un equipo de I.O. deberá incluir a los miembros de la organización directamente responsables de las funciones donde existe el problema, así como para la ejecución e implantación de la solución recomendada.

Fases de un Estudio de Investigación de Operaciones

• Las principales fases por las que pasa un estudio de I.O. son:

1. Definición del problema.2. Construcción del modelo3. Solución del modelo4. Validación del modelo5. Implantación de los resultados finales

1. Definición del problema

• Abarca tres aspectos:a) Establecer una meta u objetivo del

estudiob) Identificación de las alternativas de

decisión del sistema.c) Reconocer restricciones, requisitos y

limitaciones en el sistema.

2. Construcción del modelo

• Se deberá elegir el modelo mas adecuado para representar el sistema.

• Este modelo deberá tener expresiones cuantitativas para el objetivo y restricciones del problema en función de sus variables de decisión. Aquí pues si planteo un modelo matemático podré resolverlo mediante técnicas matemáticas. Si es muy complejo resolverlo así usaré simulación y en otros casos una solución de tipo heurística será lo mejor

3. Solución por el modelo• Cuando se usan modelos matemáticos y se

alcanza su solución esta es óptima. • Si se usan modelos de simulación o heurísticos

lo que se alcanza son soluciones aproximadas generalmente no son las óptimas.

• Además de la solución óptima se debe tener información adicional sobre el comportamiento de la solución cuando se hacen cambios en los parámetros del sistema, esto se conoce como Análisis de Sensibilidad.

4. Validación del modelo

• Un modelo es válido cuando puede dar una predicción confiable del funcionamiento del sistema.

• Un método para comprobar la validez de un modelo es comparar su funcionamiento con algunos datos pasados disponibles del sistema actual, si reproduce funcionamientos pasados quiere decir que es válido, esto no se podrá hacer en sistemas que no existen.

5. Implantación

• Implica la traducción de los resultados del modelo en instrucciones de operación comprensibles para los individuos que operarán el sistema después.

• En esta fase se pueden verificar las modificaciones o ajustes sugeridos por el personal de operación para su factibilidad práctica.

Programación Lineal

• Es una técnica mediante la cual se toman decisiones, reduciendo el problema a un modelo matemático que deberá ser resuelto por métodos cuantitativos.

• ¿Qué tipo de problemas puede manejar?• Fundamentalmente trata de asignar

recursos limitados entre actividades competitivas de manera óptima.

Programación Lineal

• Al seleccionar una alternativa de solución debe satisfacer varios criterios al mismo tiempo, estos los podemos dividir en dos categorías: restricciones y objetivo.

• Las restricciones son las condiciones que debe satisfacer una solución.

• El objetivo es el resultado que hay que conseguir (Ej. Maximizar beneficios o minimizar costos).

Programación Lineal• Algunas situaciones reales donde podría aplicarse la PL

son:• Un hospital debe planear que las comidas para los

pacientes satisfagan restricciones sobre sabor, propiedades nutritivas, variedad, etc..al mismo tiempo que se trata de minimizar el costo.

• Un corredor financiero trata de maximizar el rendimiento sobre sus fondos pero sus posibles inversiones están restringidas por leyes y políticas bancarias.

• Determinación de rutas de vuelo.• Mezclas de combustible.

Supuestos de la Programación Lineal

• La PL es una técnica determinística pues no incluye probabilidades.

• Se deben considerar la existencia de algunos supuestos par considerar usar la PL:

• Suposición de recursos limitados: Si no hay esto no habría problema que resolver con PL.

• Suposición de un objetivo explícito: Debe existir un objetivo claro como maximizar utilidades o minimizar costos.


• Suposición de proporción: Ya que el objetivo es lineal , significa que todas las funciones del modelo son lineales por tanto hay lógica en los resultados y operaciones (Ej. Si lleva 3 horas fabricar una pieza entonces dos piezas requieren seis horas)

• Suposición de homogeneidad: Ej: Son igual de productivas todas las horas disponibles de un trabajador.


• Supuesto de adición: El valor de una variable es independiente del valor de cualquier otra variable. Ej: La ganancia por la venta de cada equipo de sonido es de S/.100 sin importar cuantas se importaron o vinieron con fallas de fabrica.

• Suposición de ser divisible: La programación lineal supone que es posible fraccionar los productos y los recursos. Ej. Una posible solución puede decirme que requiero publicar 2.32 avisos por día en un periódico.


• Cuando no es posible aceptar soluciones divisibles (Ej: Manejar solo la mitad de un automóvil o comprar un neumático y medio) entonces se usa la programación entera.

• ¿Entonces cuando usamos la programación lineal?

• Cuando hay que maximizar utilidades o minimizar costos.

Otros modos de programación

• Programación de metas: Se usa cuando se tratan varios objetivos.

• Programación dinámica: Cuando la solución de un problema se da por etapas.

• Programación No Lineal: Cuando no solo usamos funciones lineales, sino también cuadráticas por ejemplo.

Esquema de un Modelo de Programación Lineal

• Supongamos que existe cualquier número (m) de recursos limitados de cualquier tipo y que se pueden asignar entre cualquier número (n) de actividades de cualquier clase. Así tenemos:

• Xj=La variable de decisión.• Z= el resultado global que se obtiene de aplicar

la mejor selección.• Cj: El incremento que resulta en Z por cada

incremento unitario en Xj.


• bj: la cantidad disponible de un recurso.

• aij: Representa la cantidad de un determinado recurso que consume cada unidad de una determinada actividad.

• Entonces un modelo podrá tener la siguiente forma:


• Función objetivo:• Max (o Min) Z=C1X1+C2X2+…+CnXn

• Restricciones:• a11X1+a12X2+….+a1nXn ≤ b1

• a21X1+a22X2+….+a2nXn ≤ b2• ……..• am1X1+am2X2+….+amnXn ≤ bm

• X1≥0, X2≥0,….. Xn ≥ 0• Donde los c, a, b son constantes.

Observaciones• Dependiendo del problema las restricciones también

pueden ser de igualdad.• La función que se desea maximizar o minimizar se llama

función objetivo.• Aquellas restricciones que representan el consumo total

de un recurso se llaman Funcionales.• Las restricciones Xj ≥ se llaman restricciones de no

negatividad.• Las variables Xj son variables de decisión.• Las constantes cj, aij , bi reciben el nombre de

parámetros del modelo.

Ejemplo: Problema de máximos

• La compañía Blog elabora alimentos para X e Y. Se utilizan dos materiales básicos A y B para producir estos alimentos. La disponibilidad diaria máxima de A es 80 Kg y la de B es de 25 Kg.

Ejemplo: Problema de máximos• Los requerimientos de cada material para los dos tipos

de alimentos están resumidos en el sgte. Cuadro:

Kilos de materia prima por bolsa

Cada bolsa X contiene

Cada bolsa Y contiene

Disponibilidad max de la mat. Prima (x dia)

De Materia prima A

8 kg 10 kg 80 Kg.

De Materia prima B

2kg 5 kg 25 Kg.

• Además el precio de venta de cada bolsa es S/.30 para la comida X y de S/.40 para Y. La preguntas es.¿Cuanto alimento X e Y deberá producir la compañía todos los días para maximizar el ingreso bruto?

Construcción del modelo matemático

• El orden en que se deberá crear todo es:– Identificar las variables.– Expresar la función objetivo– Expresar las restricciones como funciones matemáticas de las

variables.• Variables:• Como se desea saber cuanta cantidad de comida se

debe producir, entonces decimos que las variables a usar son:

• X: Número de bolsas de comida X producidas diariamente.

• Y: Número de bolsas de comida Y producidas diariamente.


• Función objetivo: Como cada bolsa de comida X se vende en S/.30, entonces el ingreso bruto obtenido de la venta de X sacos de este producto es 30X soles . De manera análoga sucede con la comida Y cuyo ingreso bruto producto de su venta se representará por 40Y. Finalmente el ingreso bruto total será la suma de los dos ingresos.


• Si Z representa el ingreso bruto total (en soles). La función objetivo quedará asi:Z=30X+40Y

• La meta consiste en determinar los valores X y Y que maximizarán este criterio

• Restricciones: la restricción del uso de materias primas se puede expresar como:


Uso de materias primas en ambos tipos de alimentos

≤ Disponibilidad máxima de materias primas

Esto nos lleva a las restricciones que siguen:

8X+10Y ≤ 80 (materia prima A)

2X+5Y ≤ 25 (materia prima B)

Una restricción implícita es que la cantidad que se produce por cada tipo de alimento no puede ser negativa, para esto imponemos la restricción de no negatividad:

X ≥ 0 (alimento X)

Y ≥ 0 (alimento Y)


• El modelo matemático completo se podrá resumir así:

• Determínese la cantidad de bolsas de alimentos X e Y que se producirán.

• Max Z=30X+40Y• s.a• 8x+10y ≤ 80• 2x+5y ≤ 25• X ≥ 0, y ≥ 0

Modelos de Programación lineal

• Problema 1: Una fábrica de pintura para interiores y exteriores para ventas al por mayor. Se utilizan 2 materiales básicos A y B para producir las pinturas. La disponibilidad máxima de A es 6 toneladas diarias y la de B es 8 toneladas x día. La necesidad diaria de materia Prima x tonelada de pintura se resume en el siguiente cuadro:


Exterior Interior Disp. Max toneladas

Mat prima A

1 2 6

Mat prima B

2 1 8

Modelos de Programación lineal• Un estudio de mercado ha establecido que la

demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que la de pintura para exteriores en mas de una tonelada. El estudio señala también que la demanda máxima de pintura para interiores esta limitada a 2 toneladas diarias. El precio x tonelada es $3000 para exteriores y $2000 para interiores.¿Cuanta pintura para exteriores e interiores debe producir la Cia. todos los días para maximizar el ingreso bruto?

Modelos de Programación lineal• Problema 2: Una empresa produce artículos de vidrio, como

ventanas y puertas de vidrio. Tiene 3 plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta 1, los de madera en la planta 2, la planta 3 produce el vidrio y ensambla los productos.

• La gerencia ha decidido reorganizar la línea de producción de la empresa. Se descontinuarán algunos productos de poca salida y se emprenderá la fabricación de 2 productos nuevos:

• Producto 1: Una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio.

• Producto 2: una ventana corrediza con marco de madera de 4 pies x seis.

• Las horas que necesita cada producto en las plantas y la disponibilidad total de horas que se dispone en cada planta figura en el siguiente cuadro:

Modelos de Programación lineal(Horas disponibles por planta)

Prod 1 Prod 2 Disponib. Horas x planta

Planta 1 1 0 4

Planta 2 0 2 12

Planta 3 3 2 18

Ganancia x lote

3000 5000

Un lote es igual a 20 unidades


• Como ambos productos competirán x la misma capacidad de producción de la planta 3, no esta claro que mezcla de productos sería la mas rentable. Además casi todo el tiempo las plantas están comprometidas con los productos actuales.

Problema 3• Se piensa aplicar un proceso de radiación intensa a una

paciente que tiene cáncer en una etapa muy avanzada, este paciente tiene un tumor en la vejiga.

• Se piensa aplicar 2 rayos que afectarán no solamente a la parte enferma sino también a tejidos sanos, por lo que hay que aplicar los rayos procurando que cause el menor daño posible a tejidos sanos.

• El problema radica en determinar la cantidad mínima de rayos a aplicar en el paciente.

• Luego de que el equipo médico se reunió estableció los detalles necesarios para el tratamiento de este paciente, que figuran en el sgte. Cuadro:

Area Rayo 1 Rayo 2 Restricción sobre la dosis promedio

Anatomía sana

0.4 0.5 Minimizar

Tejido crítico

0.3 0.1 <=2.7

Región del tumor

0.5 0.5 =6

Centro del tumor

0.6 0.4 >=6

Fracción de la dosis de entrada absorbida x área (promedio de kilorads)

Problema 4• La Cooperativa Agrícola de Mendoza- Argentina

esta formada por 3 grandes comunidades agrícolas y se planea la producción agrícola del próximo año.

• Los tipos de cultivos adecuados para esta región son: maíz, trigo y alcachofas. El Ministerio de Agricultura ha determinado, en base al alcance para irrigar estas tierras, una cantidad máxima de hectáreas que se pueden dedicar a estos cultivos y también un tope en la cantidad de agua que se asigna para irrigarlo. Estas cantidades figuran en el sgte. cuadro:

comunidad Terreno disponible (en has)

Asignación de agua (por has)

1 400 600

2 600 800

3 300 375

Datos de Recursos

• Como no hay suficiente agua para irrigar todo , se ha acordado que cada comunidad sembrará la misma proporción de sus tierras.

• Además el Ministerio de Agricultura ha determinado una cantidad máxima de hectáreas que se pueden asignar para el cultivo de los 3 productos, el consumo de agua por ha y el rendimiento por ha figuran en el sgte. Cuadro:

Cultivo Cant. Max (has)

Consumo de agua (por ha)

Rendimiento neto ($ por ha)

Maíz 600 3 1000

Trigo 500 2 750

Alcachofas 325 1 250

Datos sobre los cultivos

• El dilema que tiene que resolver la dirección de la cooperativa consiste en determinar cuantas has debe asignarse a cada tipo de cultivo en cada comunidad . El objetivo es maximizar el rendimiento total de la cooperativa.

Problema 5

• Fly Emirates va a agregar vuelos desde y hacia el aeropuerto Heathrow en Londrés, por lo que requiere contratar mas personal de servicio al cliente, pero no sabe cuantos. Se busca programar a dicho personal para proporcionar un servicio satisfactorio con el menor costo en personal. En el siguiente cuadro se muestra el número mínimo de personal de servicio que se requiere en diferentes momentos del día.

Periodo Turno 1 Turno 2 Turno 3

Turno 4 Turno 5 Personal necesario

6 - 8 am * 488-10am * * 7910-12am * * 6512-2pm * * * 872-4pm * * 644-6pm * * 736-8pm * * 828-10pm * 4310-12pm * * 5212-6am * 15Costo diario x trabajador

170 160 175 180 195

• El acuerdo entre la compañía y el sindicato establece que cada trabajador tenga turnos de 8 horas y los turnos autorizados figuran también en el cuadro anterior.

• Los salarios varían dependiendo de los turnos de trabajo de tal manera que en los turnos mas “pesados” se les paga un poco mas.

• El problema consiste en determinar cuanto personal debe asignarse a los turnos respectivos cada día para minimizar el costo total de personal, además de cumplir los requerimientos de servicio.

Problema 6• ST Davydenko & CO es una de las mayores

productoras de hierro colado del mundo situado en la localidad de Kajovka en la actual Ucrania. El problema que ha surgido es que la empresa esta provocando una gran contaminación debido a sus altos hornos.

• Se ha determinado los tres tipos principales de contaminantes: Partículas de materia, óxidos de azufre e hidrocarburos, la nueva política ambiental requiere que la Cia reduzca su emisión anual de contaminantes de acuerdo al sgte. Cuadro:

Contaminante Reducción requerida de la tasa de emisión anual (millones de libras)

Partículas 60

Óxidos de azufre 150

Hidrocarburos 125

• La fabricación de hierro colado tiene dos fuentes principales de contaminación: Los altos hornos y los hornos a corazón abierto. Los ingenieros han determinado 3 métodos para reducir la contaminación provocada por estos: 1) Aumentar la altura de las chimeneas. 2) Usar filtros.3) usar limpiadores en los combustibles de los hornos. En el siguiente cuadro se muestra la reducción de la contaminación al aplicar estos métodos (en millones de libras x año):

Contaminante

Chimeneas mas altas

Filtros Mejores combustibles

Altos hornos

Hornos de corazón abierto

Altos hornos


Altos hornos


Partículas 12 9 25 20 17 13

Óxidos de azufre

35 42 18 31 56 49

Hidrocarburos

37 53 28 24 29 20

• Después de obtener estos datos quedo claro que ningún método por si solo podía lograr las reducciones requeridas , y tampoco se podría aplicar la combinación de los tres métodos a toda su capacidad porque resultaría demasiado cara.

• En el cuadro de la diapositiva siguiente se muestran los costos anuales totales (millones de $) en que se incurren al aplicar los métodos a toda su capacidad.

• El objetivo de la compañía es que se pueda encontrar un plan que satisfaga los requisitos con el menor costo posible.

Método para reducir contaminación

Altos hornos Hornos de corazón abierto

Chimeneas mas altas

8 10

Filtros 7 6

Mejores combustibles

11 9

Problema 7

• Citibank se encuentra en el proceso de formular su política de préstamos para el próximo trimestre. Para este fin se asigna un total de $12 millones. El siguiente cuadro muestra los tipos de préstamos que hace el banco, las tasas de interés que cobra el banco y la posibilidad de que el cliente no cubra sus pagos:

Tipo de préstamos

Tasa de interés Probabilidad de incobrables

Personal 0.140 0.10

Automóvil 0.130 0.07

Casa habitación 0.120 0.03

Agrícola 0.125 0.05

Comercial 0.100 0.02

• Se supone que los pagos que no se cubren son irrecuperables, y por lo tanto no se produce ingreso por concepto de intereses.

• La competencia con otros bancos requiere que el banco asigne al menos 40% de los fondos totales a préstamos agrícolas y comerciales . Los préstamos para casa-habitación deben ser iguales por lo menos al 50% de los préstamos personales, automóvil y casa-habitación. El banco además tiene una política por la cual la relación de pagos irrecuperables no puede ser superior a 0.04

• El objetivo de Citibank es maximizar su rendimiento neto compuesto de la diferencia entre el ingreso por concepto de intereses y los fondos perdidos por adeudos no cubiertos.

Problema 8• El municipio de Tarapoto posee 800 has de tierra de

primera clase, pero no urbanizada, en un lago en las afueras de la ciudad de Tarapoto. En el lugar ya existen residencias vacacionales . Debido a la falta de servicio de drenaje se utilizan muchos tanques sépticos, la mayoría instalados de forma inadecuada. Con el paso de los años, la infiltración de los tanques sépticos ha provocado contaminación en el agua.

• Para controlar todo esto la municipalidad ha aprobado algunos reglamentos para las futuras urbanizaciones:

• 1) Solo se pueden construir residencias para una, dos y tres familias , donde las unifamiliares constituyen cuando menos el 50% del total.

• 2) Para limitar el número de tanques sépticos, se requieren tamaños de lote mínimos de 2, 3 y 4 has para residencias de una, dos y tres familias.

• 3) Se deben establecer áreas de recreo de 1 ha cada una a razón de un área por cada 200 familias.

• 4) Para preservar la ecología del lago, no se puede extraer agua del subsuelo para uso en la casa.

• El alcalde estudia la posibilidad de urbanizar las 800 has que se poseen en el lago. La nueva urbanización incluirá residencias para una, dos y tres familias. Él estima que se utilizará 15% del terreno en la habilitación de calles y vías de acceso para servicios.

• Los ingresos que calcula tendrá por la venta de las residencias será:

Unidades habitacionales

Sencilla Doble Triple

Ingreso neto por unidad($)

10000 15000 20000

El costo de conexión del servicio de agua al área es proporcional al número de unidades que se construyan. Sin embargo se estima que se deberá recolectar un mínimo de $100,000 para que el proyecto sea factible. La expansión del sistema acuífero esta limitada a 200,000 galones por día durante periodos de consumo masivo. Los costos de conexión del servicio de agua y el consumo de agua por tipo de unidad habitacional figuran en el siguiente cuadro:

Unidad habitacional

Sencilla Doble Triple Recreo

Costo del servicio de agua por unidad($)

1000 1200 1400 800

Consumo de agua por unidad (galones x día)

400 600 840 450

La compañía debe decidir el número de unidades que se construirán de cada tipo de habitación, junto con el número de áreas de recreo que satisfagan los decretos del municipio.

Solución de Problemas de Programación Lineal: Método Gráfico• En un modelo de Programación Lineal ya

planteado realizar los siguientes pasos:• Paso 1: Convertir las desigualdades en

ecuaciones.• Paso 2: Graficar dichas rectas en un plano

cartesiano.• Paso 3: Determinar el sentido y el área

que determina cada recta.

Método Gráfico• Paso 4: Determinar la región factible

intersectando las áreas definidas por las rectas.• Paso 5: Identificar los vértices de esta región

factible. Las posiciones de estos vértices vienen a ser soluciones factibles.

• Paso 6: Evaluar cada vértice en la función objetivo.

• Paso 5: Luego de evaluar, la solución óptima será aquella que me brinde el mejor resultado en Z dependiendo si el problema es de maximización o minimización.

Solución de Problemas de Programación Lineal: Método Símplex

• El método símplex es un algoritmo creado en 1947 por George Bernard Dantzig (USA) y Leonid Vitalievich Kantorovich (Rusia).

• Un algoritmo es un proceso en el que se repite (se itera) un procedimiento sistemático una y otra vez hasta obtener el resultado deseado. Además de las iteraciones, los algoritmos incluyen un procedimiento para iniciar y un criterio para determinar cuando detenerse.

Método Símplex• El método simplex es un procedimiento iterativo

que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando mas dicha solución.

• El uso de este método, en su forma manual, se recomienda solo si la cantidad de variables es dos, a lo mucho tres, si la cantidad de variables es mayor entonces debe usar un software.

• Los pasos para resolver un problema de P.L. por el método símplex son:

Método Símplex

• Paso 1: Pasar las desigualdades a igualdades pero sumándole una variable de holgura si es <= o restándole si es >=. Enseguida colocar los coeficientes de la F.O. y de estas restricciones en el cuadro que se explicará luego.

• Paso 2: Identificar que valor de la primera fila que tiene el coeficiente mas negativo . La columna que corresponde a ese valor es la columna pivote.

Método Símplex• Paso 3: Dividir las constantes del lado derecho

entre cada valor, solo positivo, que compone la columna pivote. La fila que corresponde al menor resultado de estas divisiones es la fila pivote. La intersección entre la columna pivote y la fila pivote es el elemento pivote.

• Nota: Si un valor de la columna pivote es cero, ya no se considera en las divisiones.

• Paso 4: Determinar la fila pivote nueva dividiendo toda la fila pivote entre el elemento pivote. La nueva etiqueta de esta fila pivote nueva será la etiqueta de la columna pivote.

Método Símplex

• Paso 5: Resolver usando el método de Gauss- Jordan aplicándolo a las demás filas. Usaremos el siguiente orden:

• Fila nueva=fila antigua-(Coeficiente Columna pivote*fila pivote nueva).

• Finalmente, repetir estos pasos mientras existan valores negativos en la primera fila. Cuando ya no existan se supone que se halló la solución óptima.

Método Símplex

• Observaciones: • Si existiesen dos o más coeficientes iguales en

la fila Z se elige uno cualquiera de ellos.• Si en la fila Z no existiese ningún coeficiente

negativo, significa que se ha alcanzado la solución óptima. Por lo tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método símplex, es que en la fila Z no haya elementos negativos.

Método Símplex

• Observaciones:• Si hubiese algún elemento menor o igual a cero,

no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir.

• Si al calcular los cocientes, dos o mas son iguales, indica que cualquiera de ellas puede indicarnos cual es la fila pivote.

Método Símplex• Observaciones:• Si en el problema de maximizar apareciesen

como restricciones inecuaciones de la forma: ax+by>=c, multiplicándolas por -1 se transforman en inecuaciones de la forma –ax-by<=-c y estamos en el caso anterior.

• Si en lugar de maximizar se trata de un problema de minimizar se sigue el mismo proceso, pero cambiando el sentido del criterio, es decir se elige el valor mas positivo de la fila Z y se finalizan las iteraciones cuando los coeficientes de la fila Z todos son negativos.

Diapositivas Clases Investigación Operativa COMPLETO CAMBIADO

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