Nombre: Araujo Chica David Fabián,

Materia: dibujo carrera: Ing. Mecánica ciclo: 2

Cardiode

Es la más sencilla de las epicicloides. Es la curva descrita por un punto de una circunferencia que, sin deslizarse, rueda alrededor de otra circunferencia de igual radio. Se llama cardiode por su semejanza con el dibujo de un corazón. La cardiode, conocida también como Caracol de Pascal, en honor de [[Etienne Pascal], Padre del gran sabio francés.

La ecuación genérica del cardiode en coordenadas cartesianas es:

(X2 + y2 - 2ax)2 = 4a2(x2 + y2)La ecuación genérica de la cardiode en coordenadas polares es::r = a (1+cos (t))Se llama cardiode a la curva cuya ecuación polar es: ρ=a, por su semejanza con el dibujo de un corazón. La cardiode es una curva ruleta de tipo epicicloide, con k=1. También es un caracol de Pascal, cuando 2a=h

Un cardiode generado por una circunferencia que rueda.

Un cardiode dado como la envoltura de las circunferencias cuyos centros pertenecen a una circunferencia dada y que pasan a través de un punto fijo de una circunferencia dada.

Se llama cardiode a la curva cuya ecuación polar es: ρ=a (1+cos θ), por su semejanza con el dibujo de un corazón.

Generada por un círculo rodando alrededor de otro.

El cardiode es la más sencilla de las epicicloides: la curva descrita por un punto de una circunferencia que, sin deslizarse, rueda alrededor de otra circunferencia de igual radio

También se genera por un punto de una circunferencia que rueda envolviendo a otra de radio mitad

El cardiode es la podaría del círculo respecto a uno de sus puntos (la podaría de una curva respecto de un punto fijo P es el lugar geométrico de los puntos de corte entre cada tangente a la curva y su perpendicular por P):

También es la envolvente de las cuerdas de un círculo cuando los extremos de la cuerda recorren la circunferencia en el mismo sentido y uno a doble velocidad que el otro:

La cardiode es un caso particular de Limaçon de Pascal o concoide del círculo respecto a uno de sus puntos: dado un punto fijo A, se toman dos segmentos de igual longitud desde un punto M de la circunferencia y sobre la recta AM. El lugar geométrico de los extremos P y P' de esos segmentos, cuando M varía, es la concoide:

En el caso particular de que la longitud de los segmentos MP y MP' sea doble al radio, la concoide resulta el cardiode:

En cuanto a la evoluta de un cardiode: ¿cuál es la curva envolvente de la familia de rectas normales?

Comprueba cómo es la caustica del cardiode respecto a su cúspide: Si se lanzan rayos desde ella, la envolvente de sus reflejos en la curva es:

Cardiode. Curva descrita por un punto de una circunferencia que, sin deslizarse, rueda alrededor de otra circunferencia de igual radio.

Hiperboloide

Es la superficie de revolución generada por la rotación de

una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Dependiendo del

eje elegido, el hiperboloide puede ser de una o dos hojas.

Para entenderlo mejor, se considera a continuación el caso de la hipérbola de

referencia, cuya ecuación es

,

En el sistema de coordenadas   (ver el esquema siguiente).

La revolución alrededor del eje de simetría rojo genera un hiperboloide conexo,

mientras que la rotación alrededor del eje azul, que atraviesa dos veces la

hipérbola, da un hiperboloide de dos hojas.

Ecuaciones del hiperboloide

Para hallar las ecuaciones de estas superficies, resulta más cómodo trabajar en el sistema de coordenadas, cuyos ejes son los de simetría. Sean X e Y las coordenadas en este sistema, entonces tenemos la igualdad: Es decirLuego, identificando los coeficientes de sendos vectores: la ecuación inicial se escribe también xy = 1, es decir (X-Y)•(X+Y) = 1, luego:

Si se gira alrededor del eje Y, de vector director, entonces se otorga a la tercera coordenada Z el mismo papel que a X, por tanto Z y X aparecen bajo la misma forma en la ecuación, concretamente precedido del signo «+»: Del mismo modo, Si se gira alrededor del eje X, de vector director, entonces Z aparece bajo la misma forma que Y en la ecuación, es decir con un signo «-»: Reagrupando las coordenadas del mismo signo, cambiando los signos si hay dos negativos, y renombrando las variables para obtener el orden habitual x, y, z se obtiene una de estas dos ecuaciones: (Una hoja, dos hojas)Se generalizan estos dos ejemplos así: un hiperboloide es una cuádrica cuya ecuación es, en un sistema de coordenadas adecuado, (con el centro situado en el centro de simetría, y cuyos planos son planos de simetría de la superficie), de la forma: Estas superficies se obtienen, de las mostradas en el ejemplo, estirando en la dirección de los x por el factor a, multiplicando las distancias en los y por b, y en los z por c. Es decir que, fundamentalmente, tienen la misma forma.La superficie de un hiperboloide de una hoja de altura h, situado entre los

planos   y   y de sección transversal circular, es

decir,  . Su ecuación queda de la forma   .Si 

El volumen comprendido por la función del hiperboloide de una hoja y los planos z=h/2 y z=-h/2 .