UNINORTEEDICIONES

Angel León González Ariza

Manual práctico deINVESTIGACIÓN

DE OPERACIONES I

(Tercera edición, revisada y aumentada)

Barranquilla, 2010

Contenido

Pág.

PRÓLOGO A LA TERCERA EDI79ED ...................................................................... x�INTRODUCCIÓN ........................................................................................................??F���1. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES ....................................................................11.1. Reseña histórica .....................................................................................................11.2. Técnicas de la investigación de operaciones .......................................................51.2.1. Teoría de juegos .......................................................................................................51.2.2. Teoría de colas .........................................................................................................51.2.3. Teoría de inventarios ..............................................................................................61.2.4. Simulación ...............................................................................................................71.2.5. CPM y PERT ............................................................................................................71.2.6. Cadenas de Markov ................................................................................................8Cuestionario ........................................................................................................................9

2. PROGRAMACIÓN LINEAL ....................................................................................122.1. Presentación ...........................................................................................................122.2. Definición de programación lineal .....................................................................122.2.1. Características .......................................................................................................132.2.2. Aplicaciones de la programación lineal ............................................................132.2.3. Pasos para la formulación de problemas ..........................................................142.2.4. Problema general de maximización ...................................................................142.2.5. Problema general de minimización ...................................................................192.2.6. Ejercicios de refuerzo ...........................................................................................22Cuestionario ......................................................................................................................38Taller en clase ....................................................................................................................39Taller para hacer en casa .................................................................................................48

3. SOLUCIÓN GRÁFICA A LOS MODELOS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL .......................................................................583.1. Conjunto convexo y punto extremo ...................................................................583.2. Procedimiento para solución gráfica .................................................................603.3. Ejemplos .................................................................................................................623.3.1. Problemas de maximización ...............................................................................623.3.2. Problemas de minimización ................................................................................653.4. Casos especiales ....................................................................................................673.4.1. Solución degenerada ............................................................................................673.4.2. Solución múltiple ..................................................................................................683.4.3. Solución limitada ..................................................................................................693.4.4. Solución no factible ..............................................................................................71Taller en clase ....................................................................................................................72Taller para hacer fuera de clase ......................................................................................79

4. MÉTODO SIMPLEX ...................................................................................................834.1. Actividades fundamentales ..............................................................................834.2. Procedimiento simplex ......................................................................................834.2.1. Estandarización del modelo de PL ..................................................................844.2.2. Diseño de la tabla característica .......................................................................854.2.3. Determinación de la variable que entra y la que sale ...................................874.2.4. Determinación de la nueva solución básica ...................................................874.2.5. Probar la optimalidad de la solución ...............................................................874.3. Simplex condensado ........................................................................................1074.3.1. Desarrollo de la técnica ....................................................................................1074.3.1.1. Formulación del modelo .................................................................................1074.3.1.2. Romper desigualdades ....................................................................................1074.3.1.3. Formulación de un modelo de programación lineal ...................................1084.3.1.4. Determinación de la celda pivote ...................................................................1084.3.1.5. Intercambio físico de variables .......................................................................1084.3.1.6. El procedimiento en esta etapa es el siguiente .............................................1084.3.1.7. Estimar los valores de Cj-Zj ............................................................................109Cuestionario ....................................................................................................................114Taller ................................................................................................................................ 119

5. ANÁLISIS DUAL Y COSTOS DE OPORTUNIDAD ...........................................1285.1. Definición .............................................................................................................1285.2. Importancia teórica .............................................................................................1285.2.1. Relaciones entre el modelo primal y el dual ...................................................1295.2.2. Relaciones entre la solución del modelo primal y el dual ............................1295.3. Importancia económica ......................................................................................1315.4. Importancia computacional ..............................................................................1385.5. Casos especiales del problema dual .................................................................139Cuestionario ....................................................................................................................146

6. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD ..............................................................................1486.1. Definición ...........................................................................................................1486.2. Importancia ......................................................................................................1496.3. Herramienta de cálculo ...................................................................................1496.4. Cambios en los parámetros del modelo ........................................................1496.4.1. Cambios en los niveles de recursos escasos o variaciones en los Bi ........1506.4.2. Cambios en los coeficientes de la función objetivo .....................................1566.4.2.1. Coeficientes variables no básicas ...................................................................1566.4.2.2. Coeficientes variables básicas .........................................................................1586.4.3. Modificación de la decisión de producción ..................................................1626.4.4. Supresión y adición de restricciones ..............................................................1646.4.4.1. Supresión de restricciones ...............................................................................1646.4.5. Cambios en los coeficientes tecnológicos ......................................................1716.4.6. Introducción de una nueva variable ..............................................................1756.5. Algoritmo Dual-Simplex .................................................................................1906.5.1. Procedimiento ...................................................................................................1916.5.2. Desarrollo del ejericicio ...................................................................................191Cuestionario ....................................................................................................................193Taller en clase ..................................................................................................................194Taller para hacer fuera de clase ....................................................................................197

7. MODELO DE TRANSPORTE .................................................................................2037.1. Definición .............................................................................................................2037.2. Objetivos ..............................................................................................................2037.3. Aplicaciones ........................................................................................................2037.4. Formulación del modelo de transporte ...........................................................2047.4.1. Modelo de transporte balanceado ....................................................................2057.4.2. Tabla característica del modelo de transporte ................................................2067.5. Solución del problema de transporte ...............................................................2077.5.1. Método de la esquina noroeste .........................................................................2097.5.2. Método de aproximación de Vogel (MAV) .....................................................2147.5.3. Método modificado de distribución (MODI) .................................................2167.6. Casos especiales de la técnica de transporte ...................................................2297.6.1. Soluciones óptimas múltiples ...........................................................................2297.6.2. Modelo dual del problema de transporte .......................................................2297.6.3. Maximizar el problema de transporte .............................................................2307.6.4. Rutas no aceptables ............................................................................................2307.6.5. Degeneración en problemas de transporte .....................................................230Cuestionario ....................................................................................................................237Taller en clase ..................................................................................................................239Taller para hacer fuera de clase ....................................................................................244

8. M• •TODO DE A• •IGNA• •IÓN .................................................................................2498.1. Características de los problemas de asignación .............................................2498.2. Modelo matemático ............................................................................................2508.3. Procedimiento de solución ................................................................................251

Taller en clase ..................................................................................................................255Taller para hacer fuera de clase ....................................................................................258

9. SOLUCIONES SISTEMATIZADAS Y FUNDAMENTOS BÁSICOS DE PROGRAMACIÓN ENTERA ........................................................2639.1. Solución mediante la función Solver ...............................................................2649.1.1. Procedimiento Simplex con Solver ..................................................................2649.1.2. Análisis de sensibilidad con Solver ..................................................................2669.1.3. Solución Simplex utilizando arreglos matriciales ..........................................2679.2. Solución óptima al modelo de trabsporte .......................................................2749.2.1. Solución óptima utilizando Solver ...................................................................2769.2.2. Solución del modelo de asignación con Solver ..............................................2799.3. Algoritmos de bifurcación y acotación (Programación entera) ...................2829.3.1. Generación de restricciones ...............................................................................283

APÉNDICE .....................................................................................................................287

BIBLIOGRAFÍA ..............................................................................................................300

Una de las técnicas modernas para racionalizar recursos es la programación lineal que tiene en cuenta las necesidades, los recursos escasos, y a partir de allí presenta soluciones óptimas para que quien toma decisiones tenga una guía acertada, a fin de enfrentar el futuro de empresas manufactureras o de servicios desde el punto de vista de la productividad.

Por otra parte, el estudiante tiene dificultades para comprender los conceptos relacionados con la programación lineal, debido a que en los textos se presenta esta técnica de diversas formas y convenciones. Consciente de esta problemática, el autor ofrece un manual práctico, que es el resultado de extractar lo mejor y más fácil de reconocidas autoridades en investigación de operaciones, agregándole su experiencia de dieciséis años de docencia, lo mismo que las sugerencias de colegas y estudiantes de la Universidad del Norte.

Se debe resaltar la adaptación del lenguaje, problemas y preguntas a la compren-sión de cualquier estudiante que esté interesado en aprender con facilidad estos conceptos de gran utilidad en el campo profesional y moderno, para lo cual son una excelente herramienta los programas computacionales que se presentan en el Apéndice y que pueden trabajar bien sea en una calculadora programada o en un computador personal.

Este manual está distribuido en nueve capítulos con base en temas específicos y secuenciales para que en forma sistemática se vayan obteniendo los conocimientos consolidando los anteriores hasta finalizar el último capítulo.

Introducción

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En el capítulo 1 se describe la reseña histórica tomando como base a Robert J. Thierauf y otros autores, buscando resaltar los momentos de mayor auge en su de-sarrollo, como fueron la década del cuarenta (Segunda Guerra Mundial) y la década del cincuenta, cuando los logros obtenidos en esta ciencia, con los que se resolvieron problemas presentados durante las guerras, fueron transplantados a la industria para dar solución a problemas de recursos escasos. También, este capítulo comprende una breve definición de las diferentes técnicas de investigación de operaciones con sus respectivos ejemplos.

En el capítulo 2 se desarrollan los conceptos de programación lineal, ilustrando con ejemplos y mostrando las aplicaciones y áreas donde se utilizan regularmente los modelos matemáticos de programación lineal, formulados a manera de ejemplos para entender mejor el diseño de este tipo de modelos.

El capítulo 3 presenta la técnica gráfica de resolver problemas de programación lineal de dos variables. El capítulo 4 presenta la técnica simplex que permite resolver problemas de programación lineal con dos o más variables. Siendo ésta la técnica más importante de programación lineal, se diseñó un programa para realizar los cálculos a fin de evitar los errores humanos que se cometen cuando manualmente se desarrolla el proceso simplex. De esta manera, el estudiante y el tomador de deci-siones podrán analizar con mayor confianza los resultados. En el capítulo 5 se reto-man los problemas resueltos en el capítulo anterior para hacer el análisis dual y de costos de oportunidad, que es otra forma de ver cómo utilizar más productivamente los recursos escasos. El capítulo 6 también retoma los problemas del capítulo 4 para simular soluciones diferentes a partir de análisis de sensibilidad.

El capítulo 7 está dedicado a la técnica de transporte, que es una forma más simplificada de la programación lineal para resolver problemas que tienen unas características muy especiales.

El capítulo 8 desarrolla la técnica de asignación para problemas de programación lineal que cumplen unas características típicas de asignación.

Finalmente, el capítulo 9 desarrolla los conceptos de programación entera y el desarrollo de casos mediante el uso de la función Solver de EXCEL. Los problemas desarrollados con Solver tienen que ver con los de tipo general, problemas que se desarrollan con la técnica de transporte y también problemas que se enmarcan dentro de la clasificación de modelos de asignación.

Este manual termina con un Apéndice, que contempla un repaso de álgebra lineal, requisito fundamental para llevar a cabo este curso sin complicaciones. Además, en este Apéndice hay tres programas para resolver los procesos de inversa de una matriz, solución de ecuaciones simultáneas, y algoritmos simplex.

Debe anotarse que cada uno de los capítulos están organizados de forma tal que se comprendan los conceptos, se consoliden con los ejemplos y se profundice

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en esta materia mediante los talleres en clase, las preguntas de diferente tipo y los talleres fuera de clase.

Esta tercera edición ha sido mejorada notablemente en lo referente a la reseña histórica; formulación de nuevos problemas que se ajustan a situaciones competiti-vas; el desarrollo de los conceptos de conjuntos convexos como prerrequisito para solucionar problemas de dos variables gráficamente; simplificación del análisis de sensibilidad, con el ánimo de hacerlo más atractivo para el estudiante.

Hay que resaltar el valor agregado dado por la integración de nuevos y novedosos ejemplos para todos los capítulos y el rediseño del programa simplex presentado al final del Apéndice, donde se pone a funcionar el Dual-Simplex, junto con el Simplex normal y el Simplex condensado.

Para terminar esta presentación quiero dar mis más sinceros agradecimientos al personal de Ingeniería Industrial, y especialmente a los estudiantes que colaboraron en la corrección de los borradores, elaboración y mejoramiento del software para los procesos de programación lineal.

El autor

1.1. RESEÑA HISTORICA*

Los seres humanos son entes sociales. Se constituyen en grupos sociales comofamilias, tribus, hermandades y clubes. Esto se produce porque necesitan organizarsepara satisfacer necesidades y deseos.

A lo largo de la historia las personas han formado organizaciones con el fin desatisfacer metas individuales o colectivas. Esto es evidente a través del desarrollo dela civilización. Es así como de una economía rural cerrada se pasó a una artesanal yde intercambio, se empezó a reconocer las ventajas de ésta y la importancia de laespecialización. Más que producir sus propios bienes, las familias, al ver que podíangenerar excedentes, intercambian productos con otras familias, necesitándose unasa otras. De esta manera se desarrollaron las organizaciones artesanales hastaconvertirse en los gremios de la Edad Media y luego en las fábricas.

El área de la Administración de Operaciones ha evolucionado en un períodorelativamente corto. Sus raíces se remontan a la Revolución Industrial, en la décadade 1770, época en la que aparecen obras que ponen de manifiesto múltiples de-sarrollos administrativos.

La Revolución Industrial significó primordialmente un cambio en las estructurasde las organizaciones, ya que a raíz de esto presentaron un notable crecimiento en

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* Extractado de la obra Toma de decisiones por medio de investigación de operaciones, de Robert J. Thierauf yRichard A. Grasse, y de otros libro.

Investigaciónde operaciones

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