Instituto Superior de Formación Docente Salome Ureña.

Dirección de Post-Grado y educación Permanente.

Recinto Emilio Prud’Home

Maestría en Matemática Educativa.

Asignatura:

Didáctica de la matemática.

Tema:

DIDÁCTICA DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Y DE LOS COMPLEJOS. ANÁLISIS DE LIBROS.

Sustentantes:

Grupo # 5

Jasmín de la Cruz → 20093 – 0747Omar Castillo →20093-0816

Calletano Alverto →20093-0790Yunior Reyes →20093-0804

Juan Rodolfo Holguín → 20093-0815

Facilitador:

Ángela Tavarez

Santiago de los Caballeros

Rep. Dom.

21/02/2010

DIDÁCTICA DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Y DE LOS COMPLEJOS. ANÁLISIS DE LIBROS.

INTRODUCCIÓN

Las diferencias tendencias pedagógicas sustentan y manifiestan sus teorías de aprendizajes en un constante afán de construir nuevas directrices encaminadas a la obtención de un aprendizaje significativo de la matemática.

Hoy más que nunca se hace necesario la aplicación de nuevas metodologías que conduzcan a la formación de una didáctica de la matemática basada en la construcción del conocimiento de los educandos.

El objetivo general del presente estudio es comparar el enfoque didáctico de la metodología de la enseñanza de la matemática (tomo II Luís Carlos Batista, capítulo 8) con los textos usados en la actualidad.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.

Objetivos:

- Conocer los documentos relativos a la didáctica de los conjuntos numéricos.

- Analizar las similitudes y diferencias entre ambas bibliografías.

- Determinar cual de los lineamientos didácticos presentados es más factible ante los discentes.

Preguntas de investigación.

¿Cuál es la forma didáctica más eficaz para enseñar el tema de los conjuntos numéricos?

¿Qué plantea Luís Carlos Batista en la metodología de la enseñanza de la matemática (Tomo II, Capítulo 8) sobre la didáctica de los conjuntos numéricos?

¿Cuáles son las similitudes y diferencias entre la metodología de la enseñanza de la matemática (tomo II, Capítulo 8) y los textos usados actualmente en el sistema educativo?

¿Se puede emplear una metodología específica para la didáctica de la enseñanza de los conjuntos numéricos?

JUSTIFICACIÓN.

Las antiguas tendencias pedagógicas nos han dado pautas y modelos con miras a mejorar la enseñanza de la matemática. No obstante, empleamos a diario terminologías y métodos de enseñanza pocos factibles para el estudiantado.

Es por ello que necesitamos concretizar una metodología más adaptable a los nuevos tiempos e intereses educativos de nuestros estudiantes en la enseñanza de los conjuntos numéricos.

En los actuales momentos, los docentes y educadores de la matemática viven inmersos en una constante carrera de estudios para aumentar su caudal curricular, con el objetivo de adquirir nuevas estrategias metodológicas, que permitan un enfoque diáfano en la enseñanza de los conjuntos numéricos.

El presente estudio sobre la didáctica de la metodología es conveniente porque nos permitirá conocer datos e informaciones de gran importancia que tomaremos como punto de partida para la eficiencia en el proceso educativo.

Por lo anterior, se está en condiciones de afirmar que esta investigación aportará datos útiles al país en general, a las instituciones de educación y todas las organizaciones vinculadas al quehacer educativo.

  

Marco teórico.

Didáctica:

El empleo más común de la palabra "Didáctica" es su uso como adjetivo y él nos remite según el Diccionario Larousse (1999) a "lo que está relacionado con la enseñanza, lo que se quiere enseñar y más ampliamente, propio, adecuado para enseñar o instruir".

Comenius (1657), la introduce como sustantivo entre los años 1632-1640, para designar "el arte de enseñar", lo que significaría: el conjunto de medios y de procedimientos que tienden a hacer conocer, a saber algo, generalmente una ciencia, una lengua, un arte. Este sentido original es el más difundido, inclusive, es el que se encuentra en la mayoría de los diccionarios. Este término "Didáctica" es, por lo tanto, utilizado según sus necesidades por la mayoría de las instituciones con el sentido primitivo común, y de él surgen tres definiciones, denominadas para este trabajo como "clásicas". Ellas son:

"Didáctica" como una palabra "culta" para designar la enseñanza. "Didáctica" como la preparación de lo que sirve para enseñar. "Didáctica" como el conocimiento del arte de enseñar

DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

La concebimos como una disciplina en tanto conjunto de saberes organizados, cuyo objeto de estudio es la relación entre los saberes y su enseñanza.

En un breve recorrido histórico podemos ver distintas motivaciones para la enseñanza: Villella (1996) recuerda que en Egipto y Mesopotamia se enseñaba con un fin meramente utilitario: dividir cosechas, repartir campos, etc.; en Grecia su carácter era formativo, cultivador del razonamiento, complementándose con el fin instrumental en tanto desarrollo de la inteligencia y camino de búsqueda de la verdad.

Hoy podemos hablar de 3 fines: formativo,  instrumental y social. Teniendo en cuenta algunos contextos: de producción, de apropiación, de utilización del saber matemático.

Los Conjuntos Numéricos

Son colecciones, agrupaciones o grupos de números con características comunes que los definen como una clase, entre los más comunes están Los Números Naturales, Los Enteros, Los Racionales, Los Irracionales y Los Reales.

Los sistemas numéricos son conjuntos de números con unas operaciones y unas relaciones definidas sobre ellos. Por ejemplo el sistema más usual en aritmética natural está formado por el conjunto de los números naturales, con la suma, la multiplicación y las relaciones usuales de orden aditivo.

El primer conjunto numérico que la humanidad manejó independiente de la cultura fueron los números naturales. Diccionario Larousse (1999).

Batista, en el tomo II de didáctica de la matemática plantea lo siguiente:

Tratamiento metodológico de los dominios numéricos

1. Significación del trabajo con los numeros en la escuela

La aparición del concepto de número es un resultado de un largo proceso de desarrollo y de la relación constante del hombre con su medio. Con la ayuda de los números pueden ser abarcados de forma cuantitativa importantes partes de la realidad objetiva.

Los números han encontrado también aplicación en la práctica social considerándose de esta forma en la nueva concepción para el curso escolar de la matemática, el poder del cálculo de los alumnos como parte del núcleo clásico de su formación matemática general.

La cultura de cálculo en algunos países se emplea al destacar importantes aspectos de la materia de enseñanza de la matemática, tales como:

Realización de estimación y redondeo. Trabajo con magnitudes(longitud, área, volumen, tiempo, masa, ) Indicación de los resultados con exactitud razonable. Selección de una vía de solución efectiva y representación de la solución

en forma razonable. Realización de controles de cálculo.

Es evidente que con una insuficiente comprensión de los numeros y la falta de solidez, durabilidad y aplicabilidad en el poder del cálculo se hace casi imposible el avance en la enseñanza de la matemática.

2. Consideraciones generales sobre el trabajo de los diferentes dominios numéricos en la escuela.

2.1Vías de aplicación de los dominios numéricos

La vía tradicional del desarrollo histórico de la matemática ha dejado una secuencia que corresponde a la enseñanza de esta área en muchos países: N Z Q+ Q R C, esta se orienta al tratamiento de las operaciones de adición y multiplicación y la posibilidad de realizar ilimitadamente sus operaciones inversas. La ventaja o desventaja que pueda tener dicha vía está en dependencia de los objetivos que se persigan en la enseñanza de las matemáticas y su contribución a la formación matemática de los alumnos.

Sin embargo, los niños están en contacto incluso antes del comienzo en la escuela con los numeros fraccionarios y el cálculo con ellos que con los números enteros. Lo cual genera dificultades en los grados superiores por lo que es más ventajoso trabajar primero con los numeros fraccionarios que los enteros, el esquema seria asi:

N Q+ R+ R C, la misma es utilizada en algunas obras matemáticas en la que se plantean buenas posibilidades para la preparación de los alumnos para el tratamiento de algunos análisis matemáticos. Su empleo en la escuela puede tener en desventaja de que los números negativos sean tratados muy tarde.

3. Panorámica sobre la construcción de los dominios numéricos en la escuela. Transcurso de la línea directriz “dominios numéricos”.

El tratamiento de los numeros inicia desde el primer grado abordando el ciclo desde este hasta cuarto. Se introduce el concepto de número natural como número cardinal de conjunto finito, luego se ordenan (mayor que, menor que) y se realizan operaciones de cálculo (adición y multiplicación) y sus propiedades.

Los conocimientos y habilidades en el trabajo con los números se amplían y profundizan en el segundo ciclo (5to y 6to grado); donde se construye el dominio de los números fraccionarios, con esto se introducen la división, excepto por cero, además del trabajo con fracciones comunes y decimales.

En la secundaria básica (7mo a 9no grado) se continúa el desarrollo de los fraccionarios y se construye el dominio de los racionales como ampliación de éstos. Se promueve la resolución de problemas prácticos.

Para obtener el dominio de los números racionales se utiliza una simetrizacion de Q+ , es decir, se forma el conjunto de los racionales añadiendo a los números fraccionarios los elementos de un conjunto formado por los números opuestos a ellos. Entre los aspectos más relevantes de esta vía tenemos:

Se eliminan las consideraciones de isomorfismo entre el dominio de los numeros fraccionarios y el dominio de los numeros racionales no negativos.

No empleo del signo “+ “para los racionales positivos; introduce desde un principio el tratamiento de las operaciones de cálculo.

Las propiedades de las operaciones de cálculo no tienen que ser justificadas nuevamente para los racionales no negativos debido a la identificación de estos con los números fraccionarios.

La posibilidad de extraer la raíz cuadrada a todo número racional no negativo y a la necesidad de utilizar esto en determinadas situaciones prácticas, se plantea la conveniencia de ampliar el dominio de los números racionales introduciendo los irracionales y luego se forma el conjunto de los reales como unión del conjunto de los números racionales y los números irracionales.

El ciclo del 10mo al 12v0 grado, es el de profundización, sistematización y generalización; en el, concluye la construcción de los dominios numéricos con el tratamiento de los complejos.

De los objetivos que deben alcanzar los alumnos durante el tratamiento de los dominios numéricos en la escuela podemos concluir lo siguiente:

Se encuentran en primer plano el desarrollo de las habilidades de cálculo y la aplicación de los conocimientos adquiridos en la propia matemática a otras disciplinas.

En relación con el saber adquirido, los alumnos deben disponer de conocimientos en el sentido siguiente:

- Existen numeros naturales, fraccionarios, racionales, irracionales, reales y complejos.

- Los numeros naturales se emplean para indicar cantidades de objetos concretos, ordenamientos, medidas conocidas sus magnitudes.

- Los números fraccionarios se escriben en forma de fracciones o en notación decimal. Se emplean para describir partes de un todo, procesos de distribución, etc.

- Los numeros reales se emplean para representar magnitudes en sentido contrario, segmentos orientados en la recta numérica, para describir la posición de un punto etc...

- Los números complejos son expresiones de la forma a + bi, su representación en el plano nos indica que a cada punto del plano se le hace correspondencia un número complejo y viceversa, y además posibilita representarlo en forma trigonométrica.

Algunos aspectos metodológicos esenciales relacionados con el tratamiento de los dominios numéricos en la escuela.

La construcción de cada uno de los dominios numéricos en os distintos ciclos de la enseñanza se lleva a cabo teniendo en cuenta los siguientes pasos que constituyen los puntos metodológicos esenciales a considerar en su tratamiento:

Motivación de la necesidad de construir el “nuevo dominio”. Formación del “nuevo” conjunto numérico. Definición del orden y las operaciones de cálculo. Propiedades de dichas

operaciones. Desarrollo de las habilidades.

Motivación de la necesidad de construir el “nuevo dominio”.

Se plantea la necesidad de ampliar los dominios numéricos con le objetivo de que se satisfagan las siguientes exigencias:

Posibilidad de poder realizar la medición en dos sentidos opuestos debido a su empleo en diferentes tares prácticas.

Posibilidad de dar solución a toda ecuación a + x =b (a,b Є Q+)

En la escuela se realiza este paso haciendo mas énfasis en la primera exigencia, es decir, a partir de una motivación extra matemática se plantean ejemplos prácticos relacionados con accidentes geográficos entre otros.

Otro aspecto importante en este paso esta relacionado con la posibilidad de conjugar con la motivación extra matemática la intramatematico, ya que esta ultima posibilita crear en los alumnos una visión mas clara y profunda acerca de la matemática y su desarrollo interno.

Tanto para la motivación de la construcción de los numeros reales como para los complejos no es posible, en contraste con otras aplicaciones de los dominios numéricos, realizar una motivación práctica directa, es decir, esta tiene que efectuarse desde el punto de vista intramatematico.

Formación del “nuevo” conjunto numérico

Con la formación de los números negativos y luego la introducción del concepto de numeros opuestos se define el conjunto de los numeros racionales como la unión de los números fraccionarios y sus opuestos.

Después de obtenerse los numeros irracionales y definirse como fracciones decimales infinitos no periódicos se forma el conjunto de los numeros reales como la unión del conjunto de los números racionales e irracionales.

Para la formación del conjunto de los numeros complejos, se sigue el método de adjunción.

Definición del orden y las operaciones de cálculo. Propiedades de dichas operaciones.

En este punto metodológico se presentaran algunas reflexiones metodológicas relacionadas al tratamiento de los numeros racionales y de consideraciones metodológicas relacionadas con el cálculo con números complejos en forma binomica.

En el conjunto de los racionales se define el orden y las operaciones de cálculo como una ampliación del orden y las operaciones de cálculo definidas en Q+.

Para la definición de orden se parte de una analogía como se había hecho en los dominios numéricos anteriores, de su representación en la recta numérica, se plantea lo siguiente:

“de dos números racionales diferentes, es menor aquel que esta situado a la izquierda en la recta numérica”

El tratamiento de las operaciones de cálculo se realiza de la siguiente forma:

La adición de número racionales se lleva a cabo teniendo en cuenta una diferenciación de dos casos. El primer caso trata de la adición de dos numeros racionales con signos iguales y el segundo caso abordando la adición de dos numeros racionales con signos diferentes. para la multiplicación de dos numeros racionales se trata un único caso donde se incluye tanto la multiplicación de dos numeros racionales con signos iguales como la multiplicación con signos diferentes.

En el tratamiento de las operaciones inversas de la adición y la multiplicación se aborda para la sustracción primero un procedimiento basado en adicionar el minuendo el opuesto del sustraendo y más adelante se trata dicha operación como la operación inversa de la adición de numeros racionales. Para la división, se trata primero un procedimiento atendiendo a los signos del dividendo y del divisor y por ultimo como operación inversa a la multiplicación de numeros racionales.

La experiencia práctica ha demostrado que generalmente a los alumnos les cuesta más trabajo adicionar y sustraer que multiplicar y dividir. Algunas recomendaciones metodológicas para este tratamiento la llamaremos variantes.

Variantes para la elaboración de la adición de los numeros racionales.

La enseñanza de la matemática se debe estructurar didáctica y metodológicamente teniendo en cuenta las experiencias de los alumnos para activarlos en la asimilación de conceptos, relaciones, procedimientos y formas de pensar y trabajar matemáticas y con ello fomentar su independencia, desarrollar la flexibilidad del pensamiento y la creatividad.

Variante 1: representación de segmentos orientados (mediante flechas) en la recta numérica.

Se deben tomar en cuenta los pasos siguientes:

1. Repaso de la adición de segmentos orientados en el rayo numerico.2. Transferencia del procedimiento anterior a la recta numérica. Resolución

de suficientes ejercicios.3. Análisis del signo y del valor absoluto del resultado.4. Formación de la definición( regla)

Variante 2: elaboración del concepto sobre la base de situaciones practicas familiares a los alumnos.

Esta variante se puede proceder de la siguiente forma:

1. Solución de suficientes ejercicios donde se presenten magnitudes en ambos sentidos.

2. Análisis del signo y del valor absoluto de las sumas a que conducen los ejemplos prácticos.

3. Formulación de la definición (regla).

Variante 3: Elaboración del concepto utilizando sucesiones inductivas y haciendo uso del principio de permanencia.

1. Orientación hacia el problema.2. Trabajo en el problema.3. Solución del problema.4. Consideraciones retrospectivas y perspectivas.

Desarrollo de las habilidades del cálculo

Para el logro de las habilidades del cálculo en la adición de numeros racionales se deben observar dos aspectos fundamentales:

1. El poder del saber que deben tener los alumnos en cuanto al trabajo con los dominios numéricos precedentes, y especialmente en el trabajo con los numeros fraccionarios (nivel de partida).

2. El dominio de las reglas formuladas para la adición de números racionales.

Con respecto al caso 1, se destacan en cuanto al saber y poder que deben poseer los alumnos las habilidades:

- En la comparación de numeros fraccionarios.

- Para adicionar numeros fraccionarios en forma de fracciones comunes.

- Para adicionar numeros fraccionarios cuando aparezcan en forma de fracciones y/o en forma de decimales o en mixtos.

Para poder alcanzar el desarrollo de las habilidades en el cálculo con los numeros racionales se debe garantizar, en primer lugar, el nivel de partida de los alumnos, teniendo en cuenta que un saber y un poder aplicable pueden ser solo resultados de un proceso de desarrollo a largo plazo y dirigido consecuentemente en la enseñanza.

En relación al caso 2,las principales dificultades que comúnmente presentan los alumnos esta relacionado con la determinación del signo del resultado ya que las dificultades que se presentan en el trabajo en los valores absolutos de los sumandos esta relacionado con lo planteado en el caso anterior. También influye en cierta medida la exigencia de que se aplique la regla para el cálculo en la forma que se define.

Graduación de los ejercicios atendiendo a su grado de dificultad.

El planteamiento diferenciado de los ejercicios atendiendo a los distintos grupos tipológicos de alumnos que tenemos generalmente en el aula puede ser:

En las primeras clases de fijación deben presentarse ejercicios de la forma “calcular a + b” donde a y b deben seleccionar de acuerdo a las deficiencias en el saber y poder de los alumnos en el trabajo con los numeros fraccionarios.

Para la estructuración metodológica de la clase, se debe partir en primer lugar de las condiciones objetivas y subjetivas de la misma.

Formar grupos homogéneos de alumnos con un alumno con más habilidades en frente de cada uno.

Aplicar ejercicios en donde se observen las ventajas del cálculo, mediante esquemas, tablas entre otras.

Con lo anterior podemos realizar un análisis metodológico de los libros que usamos en la actualidad.

Análisis de libros usados en nuestro país en el área de matemática. Comparaciones metodológicas

El texto de Peña Geraldino, MATEMÁTICA IV de educación media, otorga su primer capitulo al desarrollo de los conjuntos numéricos.

La vía que este utiliza es N Z Q+ Q R C, que, como plantea Batista, corresponde a una metodología de la escuela tradicional y problemática para el tratamiento del cálculo en las operaciones con los racionales en grados superiores.

Este libro cuenta con un breve espacio para la ejemplificación, propiedades y tratamiento de cada uno de los conjuntos, pues, fue elaborado para el término de la educación secundaria en donde se hace suponer el dominio de tales conjuntos.

Destacan cada conjunto con simetrizacion, dándole una visualización de unión de dos conjuntos al próximo a estudiar; proponen, además, una gran cantidad de ejercicios para las operaciones con los racionales, entendiendo, tal vez, la necesidad que se tiene en el país en ese tópico.

Introducen el conjunto de los números complejos con un poco de historia y bajo la unión de los reales e imaginarios, tal como se plantea en el texto de Batista.

Otro texto utilizado en nuestras escuelas es el proveniente de la editora Santillana, titulado en nuestro caso: Santillana 7, trata la misma vía que Peña Geraldino, pero tiene la particularidad que en este grado es que se introducen el conjunto de los números enteros.

Aunque lleve el mismo camino en orden de los conjuntos este, obliga a grados anteriores y de la misma casa editora a tratar con la forma N Q+ R+ R C, lo que proporciona un aprendizaje más significativo, tomando como referencia al texto de Batista.

Presenta a los enteros llevando hacia una motivación intramatematica y utilizando ejemplos con la experiencia que los alumnos proyectan a ese nivel. Llevando a la idea extra matemática y combinando ambas motivaciones emplean resolución de problemas, en sus ejercicios, de su quehacer diario.

En ambos textos se proponen una gran cantidad de ejercicios respetando la jerarquía de contenidos y el nivel de cada uno de los alumnos.

Conclusión

La búsqueda de ideas metodológicas para proporcionar un aprendizaje significativo de los conjuntos o dominios numéricos, como lo plantea la corriente constructivista esta en nuestras manos.

Este documento nos aporta unas ideas de enseñanza adaptadas a cada país y, en particular al nuestro por el análisis antes expuesto.

Cada profesor tiene su metodología, pero añadir estas ideas a nuestro quehacer resultara muy eficaz, pues, Batista propone una forma diferente de tratar los conjuntos, un camino que, si bien es cierto es tratado en algunos textos también lo es que nuestro sistema educativo nos da ese mismo camino a seguir: N Q+ R+ R C nos propone trabajar con el concepto, sus propiedades y operaciones de los primeros conjuntos en los grados del 1ro al 6to grado ( el primer ciclo y la mitad del segundo).

Ya en la segunda etapa del segundo ciclo y el camino de profundización siguiente trabaja con el resto de los conjuntos.

Usando la didáctica de la matemática en los pasos siguientes planteada por Batista:

Motivación de la necesidad de construir el “nuevo dominio”. Formación del “nuevo” conjunto numérico. Definición del orden y las operaciones de cálculo. Propiedades de dichas

operaciones.

Desarrollo de las habilidades

Promoveremos un cuerpo estudiantil de calidad como tanto lo desea nuestra nación y nuestras esperanzas.

Bibliografía:

Luís Carlos Batista, metodología de la enseñanza de la matemática: tomo II capítulo 8,2000

Peña Geraldino, MATEMÁTICA IV, SEE, 2004