Difraccion de Bragg con Microondas

Edzna Claudia Silva Perez.*

Facultad de Ciencias, UNAM,Laboratorio de Fısica Contemporanea I

(Dated: 28 de Marzo de 2014)

En un solido cristalino los atomos se encuentran paralelos entre si, a los que se conoce como planosatomicos. Cuando un haz de rayos x incide sobre un cristal los planos atomicos se comportan comoespejos, lo cual hace que los rayos sufran un proceso de reflexion especular. En este experimento seutiliza un modelo mecanico de un cristal con la forma cubica sumple SC (Simple Cubic) mientrasun haz de microondas incide en este modelo macroscopico. El fin es encontrar en este modelo a granescala, la distancia interplanar entre vecinos mas cercanos.

I. OBJETIVO EXPERIMENTAL

Como objetivo se planteo el encontrar el difractogramao patron de difraccion a travez del aparato de difraccionde Microondas de Bragg[1], determinando distancias in-terplanares y finalmente el numero de red para la formacubica simple.

II. INTRODUCCION

Las distancias interatomicas en un solido son del or-den de un amstrong (A = 10−8cm). Una prueba de laestructura microscopica de un solido puede probarse pormedio de fenomenos electromagneticos. Si la onda es mypequena equivale a los rayos X

~ω =hc

λ=

hc

10−8cm= 12,3x103eV (1)

En 1913, William Henry Bragg y su hijo WilliamLawrence Bragg, encontraron que, substancias cuyas for-mas macroscopicas son cristalizadas, nos brindan formasmuy caracterısticas de patrones de rayos X reflejados adiferencia de lo producido por lıquidos.

Los materiales cristalinos, para ciertas longitudes deonda definidas, ası mismo sus direcciones incidentes, nospermiten obtener ”picos”de radiacion dispersada, cono-cidos como los picos de Bragg.

Si se acomoda un cristal haciendo planos paralelos deiones espaciados una distancia d, as condiciones para ca-da pico de intensidad de radiacion es:

-Que los rayos X puedan ser reflejados por los iones encualquier plano

-Los rayos reflejados de planos sucesivos logran unainterferencia constructiva.

* edzna@ciencias.unam.mx

III. MARCO TEORICO

A. Ley de Bragg

La diferencia de trayectorias opticas de 2 rayos es sim-plemente 2dsenθ con θ como el angulo de incidencia parael rayo de interferencia constructiva. Esta diferencia decamino optico debe ser igual a un numero entero vecesλ, conocida como la ley de Bragg.

nλ = 2dsenθ (2)

Usando notacion de ındices de Miller (dnkl)

2dnklsenθ = nλ (3)

Demostramos que la distancia emtre planos sucesivoscon tales ındices esta dada, en el caso de una malla cu-bica, por

dnkl =a√

h2 + k2 + 1(4)

donde a recibe el nombre de parametro de malla, o bienel parametro de la celda unitaria de la malla; el cual, eneste caso, es igual a la distancia interplanar.

Cuando se analiza un cristal a una orientacion especıfi-ca con radiacion monocromatica, se obtiene un espectrode reflexiones como funcion del angulo θ. Si se usa el val-or de θ el cual corresponde a pico de reflexion mas fuerte,

2

en la relacion de Bragg podemos obtener ambas condi-ciones: su reflexion y el resultado de esta en forma deinterferencia constructiva.

En el caso de cristales (naturales o artificiales), la dis-tancia puede ser observada solamente si λ es del ordende amstrongs, por esta razon se utilizan rayos X sobrecristales.

En nuestro experimento se propone un modelomecanico a gran escala del cristal, donde la distancia in-terplanar es del orden de centımetros, de aquı la necesi-dad de usar radiacion de microondas con una longitud deonda λ = 3cm

IV. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

A. Material

El material para la Difraccion de Microondas utilizadofue

Microwave Bragg Diffraction Apparatus[1]

multımetro

fuente de poder

Banco optico

Transmisor y receptor[1]

Modelo del cristal SC de unicel

Barillas

B. Procedimiento

Procedimos en primer plano a medir la longitud de on-da de la radiacion de microondas, el metodo que se utilizoesta basado en las propiedades de ondas estacionarias.

Se coloco, sobre un banco optico el transmisor y re-ceptor, los cuales apuntan en la direccion de una laminametalica. Conseguimos observar el lugar donde se localiz-aban el mayor numero de nodos y antinodos para encon-trar la longitud de onda. Los datos podran encontrarseen el apendice del reporte[2], mientras que la curva detales datos es de la forma

Como segunda parte de la practica, se obtuvo la dis-tancia interplanar a traves de la curva de ”angulo con re-specto a la corriente”. Se colocaron las antenas receptoray emisora sobre las varillas montadas en el soporte cir-cular el cual sostiene al modelo de poliestireno. Se uso lafuente de poder mientras tanto que el multımetro fueseecualizado de tal forma que se pudiese omitir ruido enlas mediciones producido por reflexiones parasias.

Se utilizo como referencia en la base de la columna deplastico que sostiene el modelo de poliestireno, este seencuentra a un angulo fijo con la finalidad de tener unareferencia para la familia de planos que sera analizada.Esta guia queda fija.

Las antenas son colocadas de tal forma que apuntandirectamente la parte central del modelo de poliestireno;finalmente se giran ambas colunmnas continuamente ob-servandose ası las variaciones en la intensidad relativa enel instrumento indicador. Se fue haciendo una rotacionque ”barrıa”de forma angular, siendo las mediciones ca-da θ = 2

Esta familia de planos se repitio por cinco ocasiones[2].La suma de los cinco barridos, para darnos una curva mas

3

precisa y limpiar el ruido es la siguiente:

Se procedio con intentar ajustar esta curva a una gaus-siana, para encontrar ası una convolucion, sin embargo nose logro ver algo interesante[2].

V. DISCUSION Y CONCLUSIONES

A partir de los datos obtenidos, podemos concluir quepara que nλ sea entero, la distancia entre planos es,

aproximadamente

d ≈ 4,5cm (5)

siendo entonces la longitud de onda

λ = 2,84± 0,5 (6)

Siendo resultados muy satisfactorios para una distan-cia teorica de =. 4 y λ = 3. Tomando en cuenta el ruidoy que es probable que al momento de tomar medicioneshubiesemos sido objeto de reflexion parasita.

VI. BIBLIOGRAFIA

[1] Neil W. Ashcroft, N. David Mermin., Solid StatePhysics (1976) Harout Inc.

[2] Charles Kittel Introduction to Solid State Physics 7thed. John Wiley Sons Inc.

[3] A.J. Dekker, Solid State Physics Prentice Hall N.J.(1962)

[4] Arthur Beiser Concepts of modern physics[5] Cenco, Microwave Bragg Difraction apparatus.

APENDICE: DESCRIPCION DEL APARATO DEDIFRACCION DE MICROONDAS DE BRAGG

Microondas de λ = 3cm son, en particular, utiles parauna investigacion cuantitativa de las propiedades opti-cas de la radiacion electromagnetica, debido a que la ra-diacion es monocromatica, polarizada de forma plana ycoherente. Ya que esta longitud de onda es mucho mayorque la luz, la lectura en el laboratorio puede ser obser-vada a traves de un modelo macroscopico por medio deciertos accsesorios. Tal es el caso del Microwave Braggdiffraction Apparatus el cual ha sudo adaptado para eluso de estudiantes de la carrera de fısica en experimentosde fısica moderna para otortgar al estudiante una nuevaperspectiva de la fısica atomica, molecular y la estructurade esta.

Descripcion del aparato

1. El reflector Klystron, o el tubo generador de mi-croondas.

2. Los transmisores y receptores, ambos son ajustablesy rotables de forma vertical, removibles t montables loscuales son fundamentales en experimentos opticos sobremicroodas.

3. Diodo IN233, este se trata de un cristal de siliconpara altas frecuencias. Este ofrece gran resistencia anteflujos potentes de corriente.

4. Fuente de poder, siendo esta una fuente regulablecompacta de corriente drecta. esta fuente opera de los115V olts.

4

APENDICE: TABLAS Y DATOS OBTENIDOS

Para encontrar la longitud de Onda, obtuvimos lossiguientes datos al cambiar de posicion al receptor ytransmisor

Encontrando asi una tendencia de d = 4,84± 0,5.

En la segunda parte, se obutuvieron datos de cincobarridos, los primeros dos fueron cada θ = 5 mientrasque los tres ultimos de θ = 2 obteniendose:

Se puede observar en este primer barrido como los ”pi-cos”no estan bien definidos del todo, fue que se deci-dio hacer el ”barrido.a θ = 2

Cuadro I: Numero de nodos y antinodos

130 4,14129.5 3,94

129 4,28128.5 4,17

128 3,99127.5 4,31

127 4,06126.5 4,09

126 4,53125.5 4,3

125 4,05124.5 4,13

124 4,36123.5 4,17

123 5122.5 4,6

122 4,52121.5 5,11

121 4,73120.5 4,65

120 5,46119.5 4,88

119 5,06118.5 5,55

118 5,06117.5 5,62

117 5,71116.5 5,43

116 6,21115.5 6,07

115 6,04114.5 6,61

114 6,16113.5 6,5

113 7,2112.5 6,5

112 7,11111.5 7,49

111 6,72110.5 7,7

110 7,4109.5 7,03

109 8,62108.5 7,54

108 8,22107.5 8,88

107 8,1106.5 7,94

106 9,45105.5 8,37

105 8,58104.5 9,91

104 8,87103.5 9,46

103 10,35102.5 9,04

102 10,8101.5 10,77

101 9,27100.5 10,88

100 10,7999.5 9,84

99 11,7798.5 11,33

98 10,5797.5 12,88

97 11,5796.5 12,76

96 12,7595.5 11,69

95 13,5694.5 13,83

94 1293.5 13,8

93 13,8992.5 13,9

92 13,7691.5 13,84

91 13,9190.5 13,89

90 13,8689.5 13,92

89 13,988.5 13,88

88 13,9187.5 13,92

87 13,986.5 13,93

86 13,8985.5 13,92

85 13,9384.5 13,92

84 13,92

5

Cuadro II: con θ = 5

angulo0 0,5 13,96 0.170525 0,5 13,93 0.17016

10 0,5 13,88 0.1695615 0,5 0,01 0.0031220 0,5 2,53 0.0333625 0,5 0,25 0.00630 0,5 0,05 0.003635 0,5 0,05 0.003640 0,5 0 0.00345 0,5 0,38 0.0075650 0,5 0,31 0.0067255 0,5 0,04 0.0034860 0,5 0 0.00365 0,5 0 0.00370 0,5 0 0.003

Cuadro III: con θ = 2

0 0,5 11,66 0.14292 0 0,5 11,63 0.142562 0,5 11,66 0.14292 2 0,5 11,63 0.142564 0,5 11,66 0.14292 4 0,5 11,62 0.142446 0,5 11,64 0.14268 6 0,5 11,6 0.14228 0,5 11,65 0.1428 8 0,5 11,61 0.14232

10 0,5 11,63 0.14256 10 0,5 11,6 0.142212 0,5 6,46 0.08052 12 0,5 7,57 0.0938414 0,5 0,02 0.00324 14 0,5 0,28 0.0063616 0,5 1,3 0.0186 16 0,5 0,16 0.0049218 0,5 4,53 0.05736 18 0,5 2,84 0.0370820 0,5 2,17 0.02904 20 0,5 2,17 0.0290422 0,5 0,6 0.0102 22 0,5 0,76 0.0121224 0,5 1,88 0.02556 24 0,5 1,87 0.0254426 0,5 3,37 0.04344 26 0,5 3,55 0.045628 0,5 1,22 0.01764 28 0,5 1,24 0.0178830 0,5 0,07 0.00384 30 0,5 0,09 0.0040832 0,5 0 0.003 32 0,5 0 0.00334 0,5 0,01 0.00312 34 0,5 0,01 0.0031236 0,5 0,12 0.00444 36 0,5 0,1 0.004238 0,5 0,03 0.00336 38 0,5 0,02 0.0032440 0,5 0 0.003 40 0,5 0 0.00342 0,5 0,02 0.00324 42 0,5 0,01 0.0031244 0,5 0,29 0.00648 44 0,5 0,25 0.00646 0,5 0,53 0.00936 46 0,5 0,49 0.0088848 0,5 0,38 0.00756 48 0,5 0,37 0.0074450 0,5 0,31 0.00672 50 0,5 0,31 0.0067252 0,5 0,1 0.0042 52 0,5 0,15 0.004854 0,5 0,06 0.00372 54 0,5 0,08 0.0039656 0,5 0,02 0.00324 56 0,5 0,02 0.0032458 0,5 0 0.003 58 0,5 0 0.00360 0,5 0 0.003 60 0,5 0 0.003

Despues de sumar las funciones para eliminar ruido, seintento ajustar a una curva Gaussiana pero no se encon-tro aportacion alguna. La tabla que nos otorga la graficade suma es

6

Cuadro IV: Barridos cada θ = 2

0 0,5 11,5 0.141 0 0,5 11,53 0.141362 0,5 11,49 0.14088 2 0,5 11,53 0.141364 0,5 11,49 0.14088 4 0,5 11,52 0.141246 0,5 11,46 0.14052 6 0,5 11,5 0.1418 0,5 11,47 0.14064 8 0,5 11,5 0.141

10 0,5 11,48 0.14076 10 0,5 11,51 0.1411212 0,5 6,95 0.0864 12 0,5 7,51 0.0931214 0,5 0,25 0.006 14 0,5 0,25 0.00616 0,5 0,74 0.01188 16 0,5 0,74 0.0118818 0,5 3,79 0.04848 18 0,5 4,1 0.052220 0,5 2,43 0.03216 20 0,5 2,57 0.0338422 0,5 0,84 0.01308 22 0,5 0,83 0.0129624 0,5 1,85 0.0252 24 0,5 2,22 0.0296426 0,5 2,9 0.0378 26 0,5 3,43 0.0441628 0,5 0,88 0.01356 28 0,5 1,34 0.0190830 0,5 0,1 0.0042 30 0,5 0,13 0.0045632 0,5 0 0.003 32 0,5 0 0.00334 0,5 0 0.003 34 0,5 0 0.00336 0,5 0,11 0.00432 36 0,5 0,11 0.0043238 0,5 0,07 0.00384 38 0,5 0,03 0.0033640 0,5 0 0.003 40 0,5 0 0.00342 0,5 0,02 0.00324 42 0,5 0,03 0.0033644 0,5 0,25 0.006 44 0,5 0,27 0.0062446 0,5 0,49 0.00888 46 0,5 0,49 0.0088848 0,5 0,42 0.00804 48 0,5 0,57 0.0098450 0,5 0,31 0.00672 50 0,5 0,34 0.0070852 0,5 0,16 0.00492 52 0,5 0,17 0.0050454 0,5 0,07 0.00384 54 0,5 0,07 0.0038456 0,5 0,02 0.00324 56 0,5 0,02 0.0032458 0,5 0 0.003 58 0,5 0 0.00360 0,5 0 0.003 60 0,5 0 0.003

7

Cuadro V: Suma de todos los barridos

0 57.872 57.864 57.836 57.78 57.76

10 57.7512 34.9214 0.9416 3.5718 19.0220 11.9422 3.9124 9.5626 17.5328 5.7530 0.4632 034 0.0336 0.5338 0.1840 042 0.0944 1.3246 2.5948 2.5150 1.8252 0.7754 1.1856 0.3858 060 0