Fenómeno de Transporte

Transporte de Masa

Esquema

MecanismoDifusión

Intersticial

Estado No Estacionario

Coordenadas Cartesianas

Dimensión 1-D

Medio Finito

Etapas

Transporte de la especie A del interior de la placa a la atmósfera circundante

Objetivos de Cálculo

Determinar una expresión para la distribución espacial de la concentración en función del tiempo.

Determinar una expresión para calcular la fracción promedio.

Formulación matemática

Flujo 1D (dirección x, coordenadas cartesianas) en estado no estacionario No hay reacción homogénea que genere o consuma a la especia A (generación=0) Mecanismo controlante: Difusión intersticial Medio finito Propiedades constantes Distribución inicial de A en la placa uniforme

Ecuación Gobernante

−∇N A=∂ CA

∂ t∀0 ≤ x ≤ L , t>0(1)

Aplicando la Primera Ley de Fick en la ecuación 1:

−∂∂ x (−DA

CA (x , t )

∂ x2 )=∂C A ( x ,t )

∂t∀0 ≤ x≤ L , t>0(2)

Simplificando:

DA

∂2C A ( x ,t )

∂ x2 =∂ CA ( x ,t )

∂ t∀ 0 ≤ x≤ L, t >0(3)

Sujeta a las siguientes condiciones de frontera:

C.F.1 ∂C (0 ,t )

∂ x=0 C.F.2 C(L ,t )=C A , s=0

Y a la condición inicial:

C.I. C(x , 0)=C A, 0

La ecuación 3, es una ecuación diferencial parcial lineal homogénea de segundo orden. Para determinar la clasificación de dicha ecuación se emplea:

A ∂2u∂ x2 +B ∂2u

∂ x ∂ y+C ∂2 u

∂ y2 +D ∂ u∂ x

+E ∂u∂ y

+Fu=0

En el caso particular de la ecuación 3:

DA

∂2C A ( x ,t )

∂ x2 −∂CA ( x ,t )

∂ t=0 A=DA B=0C=0 E=1

B2−4 AC=0 parabólica

B2−4 AC >0 hiperbólica

B2−4 AC <0elíptica

Solución

El método de Separación de Variables permite tratar ecuaciones diferenciales parciales lineales homogéneas, cuyas condiciones iniciales y de frontera sean lineales; consiste en asumir que la solución para una ecuación diferencial (3) se puede expresar como un producto de funciones, cada una dependiente de una variable:

C A ( x ,t )=X (x)∗❑(t )(4)

Sustituyendo (4) en (3):

DAd

d x2 ( X( x)∗❑(t))=ddt (X (x)∗❑(t ))(5)

X ' '(x)

X (x)= 1

D A

❑̇(t )

❑(t )(6)

En la ecuación (6), el miembro izquierdo de la ecuación (parte espacial) solo depende de x y el miembro derecho (parte temporal) solo depende de t, para cumplir con esta condición ambos miembros tienen que ser iguales a una constante; dicha constante por razones físicas debe ser negativa por lo que:

X ' '(x)

X (x)=−❑2(7)

X ' '(x)+❑2 X (x)=0(7 a)

1DA

❑̇(t )

❑(t )=−❑2(8)

❑̇(t )+DA❑2❑(t )=0 (8 a)

La solución de la ecuación (7a) es:

X ' '(x)+❑2 X (x)=0(7 a)

Sea:

X (x)=e−βx (7 b)

Derivando 2 veces (7b):

X ' '(x)=β2e−βx(7 c)

Sustituyendo (7b) y (7c) en (7a):

β2 e−βx+❑2e− βx=0(7d )

e−βx ( β2+❑2 )=0 (7e)

( β2+❑2 )=0(7 f )

Donde:

β=± i(7 g)

Por lo tanto:

X (x)=C1 cos ( x )+C2 sin ( x )(7 h)

La solución de la ecuación (8a) es:

❑̇(t )+DA❑2❑(t )=0 (8 a)

Sea:

d❑(t )

=−D A❑2 dt (8 b)

Integrando (8b):

ln ❑=−DA❑2+C3(8 c)

Despejando de la ecuación anterior:

¿C4 e−D A ❑2 t(8 c )

Evaluando las condiciones de frontera C. F. 1 y C. F. 2:

X '(0)=−C1 sin (0 )+C2 cos (0 )=0(9)

C2=0(10)

X (L)=C1cos ( L )=CA , s=0(11)

cos ( L )=0(12)

La función coseno es de la forma:

0 1/2 1 1 1/2 2 2 1/2 3

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Para que la función coseno sea cero es necesario que:

L= π2

, 3 π2

, 5π2

, …→= (2n+1 )2 L

π donde n=0 , 1 ,2 , 3 ,…(13)

Por lo tanto la ecuación (7h) queda expresada como:

X (x)=C1 cos( (2 n+1 ) π2 L

x)(14)

Sustituyendo (14) y (8c) en la ecuación (4):

C A ( x ,t )=[C5 cos( (2n+1 ) π2 L

x)]exp−D A {(2 n+1) π

2L }2

t(15)

Por el principio de superposición sabemos que esta ecuación tiene un número infinito de soluciones en el intervalo 0 ≤ x≤ L, por lo que la solución se puede expresar como la combinación lineal de dichas soluciones:

C A ( x ,t )=∑n=0

❑ [ An cos( (2 n+1 ) π2 L

x )]exp−{ (2n+1)2 π 2

4∗D A t

L2 }(16)

Finalmente, solo resta hallar las constantes An, de modo que la condición inicial se cumpla. Para ello se evalúa la condición inicial C. I. y se emplean la Serie de Fourier correspondiente:

C A ( x ,0 )=[ An cos ( (2n+1 ) π2 L x)]=f ( x )=C A , 0(17)

, son los eigenvalores y cos ( L ), son las eigenfunciones que satisfacen el problema de Sturm-Liouville

An=2L∫0

L

C A, 0cos ( (2 n+1 ) π2 L

x )dx

An=2CA ,0

L ( 2 L(2n+1 ) π ) sin( (2n+1 ) π

2 Lx )|0

L

=4 C A, 0

(2n+1 ) πsin(2 n+1

2π)= 4 CA ,0

(2 n+1 ) π(−1 )n

La solución es:

C A ( x ,t )=4 C A , 0

π ∑n=0

❑ (−1 )n

(2 n+1 )exp

−{ (2 n+1)2 π 2

4∗D A t

L2 }cos( (2 n+1 ) π

2xL )(18)

La constante de tiempo para el proceso de difusión es:

τ= 4 L2

π2 DA

(19)

La concentración promedio se obtiene aplicando el teorema del valor medio a la función de la ecuación (18):

C A ( x ,t )=

4 CA ,0

π ∫0

L

∑n=0

❑ (−1 )n

(2n+1 )exp

{−(2 n+1 )2∗tτ }

cos ( (2n+1 ) π2

xL )dx

∫0

L

dx

C A ( x ,t )=4 C A , 0

πL ∑n=0

∞ (−1 )n

(2 n+1 )exp

{−(2 n+1)2∗tτ }∫

0

L

cos( (2n+1 ) π2

xL )dx

Integrando la ecuación anterior se obtiene:

C A ( x ,t )=4C A, 0

π2 L2 L∑

n=0

∞ (−1 )n

(2n+1 )2exp

{−(2 n+1)2∗tτ }

sin ( (2n+1 ) π2 L

x)|0

L

(20)

La fracción promedio es:

CA (x , t )

C A, 0= 8

π2 ∑n=0

∞ (−1 )n

(2n+1 )2exp

{− (2n+1 )2∗tτ }

sin ( (2 n+1 ) π2 )

❑A=8π2 ∑

n=0

∞ (−1 )2 n

(2 n+1 )2exp {−(2n+1 )2∗t

τ }(21)

Para “tiempos largos” únicamente es posible tomar únicamente el primer término de la suma, por lo que la ecuación (21) se reduce a:

❑A=8π2 exp {−t

τ }(22)

Para aplicar esta consideración, debe cumplirse que:

DA tL2 >0.05(23)