DIMENSIONALIDADES

Tradicionalmente y en muchos casos , casi exclusivamente , las enseñanzas recibidas en el espacio formal geométrico , se nos han dado soportadas en los espacios monodimensional (1D) , bidimensional ( 2D) y tridimensional (3D) y además asociado a los valores numéricos 1 , 2 , 3 . Anteriormente hemos expuesto en nuestra posición de relación con 2 , 4 y 8 , valiéndonos de conceptos de longitud , área y volumen y fijando un cubo de arista 2 ó dúplo .

Esta situación nos ha creado una cierta imposibilidad de , tan siquiera hacer comprensible espacios de mayor dimensionalidad . Para llegar a entender un espacio de CUATRO dimensiones ( 4D ) , se nos ha presentado como cuarta dimensión el TIEMPO . Es decir que el espacio así definido no parece poseer una dimensionalidad homogénea , ya que son alto , ancho y grueso , junto a una temporalidad .

Es cierto que puede ser una manera , la de la heterogeneidad , la de llegar a hacer inteligible este concepto de cuadridimensionalidad . Después veremos que se asociará a otras .

Para hacer mas entendible al lector , sin llegar a aburrirle ó perder su atención , vamos a atacar el caso con una sencilla paradoja .

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El paso del 2D al 3D ( paradoja ) .

Supongamos un mundo 2D ( asociado a nuestro concepto geométrico de superficie plana ) . Infinitamente extenso ó limitado . Dentro de este espacio plano y únicamente en el , supongamos existen formas inteligentes 2D ( curvas , rectas ,superficies y sus conceptos asociados 2D de longitud , área , intersecciones , etc ) .

Su existencia deviene en ese único espacio y solo creen en el integrado de 1D , incluido en el .

Supongamos una esfera 3D , exterior , que observa lo que en el 2D sucede , desde arriba , pero sin tocar al 2D . En sus deseos de entrar en comunicación con los entes 2D , se aproxima y entra en principio en contacto tangencial . Los entes 2D comienzan a ver un punto del objeto esfera 3D , ya que no pueden ver nada fuera del 2D . No les extraña , ya que el punto les es conocido como forma 0D incluida .

La esfera , tranquila y segura , hace su intersección más próxima y esta pasa a ser un circulo . Sigue sin extrañar a los 2D , pero siguen sin reconocer al 3D esfera . La esfera sigue penetrando y pasa a ser un circulo máximo , que después comienza a disminuir . Esto , a los 2D , ya comienza a intranquilizarles , es algo que cambia de tamaño y pasan a adoptar una actitud de desconfianza . La esfera 3D , también ve ciertos nerviosismos y decide salir por debajo . Su circulo vuelve a hacerse más pequeños , hasta un punto que desaparece al perder el contacto tangencial . Para los 2D , pasa a ser magia ó ilusión y no pueden creer lo visto , que solo será creído por los próximos y al intentar explicar a los demás , se encuentran en dificultades , ya que no tienen un concepto del 3D .

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Imaginemos ahora un objeto 3D más irregular , una estrella irregular de múltiples puntas , ser más superior y engreído que la pura esfera . Al aproximarse al 2D plano , puede producir secciones ( intersecciones ) con el 2D , en formas incluso aisladas , que al moverse se intersecan y mezclan , volviendo a unirse ó separarse .

Esto es demasiado para los 2D , que los tratan como a Dioses ó demonios y les aplican toda clase de definiciones y adoraciones ó ataques . Nuevamente la estrella decide la huida , que conlleva la desaparición y el caos en los 2D .

Un determinado grupo de los 2D , comienza a intuir una sobre – dimensionalidad 3D , e incluso pueden pasar a ser 3D ( por proyección de la 2D ) . Esta núcleo , con el tiempo más numeroso , comienza a aumentar y producir contactos ya , esplendorosos , con los 3D ( esferas , estrellas , etc ) que les explican que ellos creen ó tienen evidencias de un 4D .

Los 2D transformados en 3D , no se lo acaban de creer y tienen graves inconvenientes para creerles . Los 3D les hacen ver la situación , tal y como ellos la han vivido : El 2D y sus formas , no son más que INTERSECCIONES del 3D y sus cambios ó desapariciones del 2D , solo obedecen a la desaparición de estas intersecciones , estando incluidas las 2D en el 3D . De esta misma manera las 3D , SERÁN LAS INTERSECCIONES DE LAS 4D , INCLUYÉNDOSE y a su vez las intersecciones 2 D , 1D y 0D . Solo podrán verse las 4D , en sus partes interseccionadas 3D , pero existiendo en las 4D , ya que sino , no podrían producir intersecciones visibles desde el 3D .

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Estas paradojas , si se admitiera la existencia del tiempo , exigirían , para sus intersecciones , la coherencia temporal , ya que en caso contrario , tampoco podría haber intersección por falta de coherencia temporal coincidente .

El mecanismo geométrico opuesto a la INTERSECION –SECCION puede ser el de PROYECCIÓN y a su vez incluida la temporalización . Es decir que tanto las proyecciones como las intersecciones –secciones , NO sean atemporales ( cosa que no ocurre en la Geometría , pero sí al dibujarla ( por ejemplo ) .

Veamos como puede ocurrir , geométricamente hablando .

Un PUNTO se proyecta , en una sola dirección ó trayectoria recta . De 0D – pasa a 1D .A su vez la recta se proyecta , según otra trayectoria recta . De 1 D pasa a 3D , ó por SECCION - INTERSECCIÓN recupera la 0D .

De la misma manera , la 2D por proyección , pasa a ser la 3D , que por sección- intersección , puede recuperar la 2D , la 1D ó la 0D .

Hasta este momento , todos lo entendemos perfectamente . A partir de este para pasar al proceso de entender la proyección al 4D , comienzan los problemas . Se presentan los siguientes aspectos :

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1- Las proyecciones , hasta la 3D , las hemos tomado LINEALES . Podían ser de otro carácter , CURVADAS , por ejemplo , pero en la misma dimensionalidad ( es decir no utilizando líneas alabeadas 3D ) , lo cual podría suponer cambios de dimensionalidad más bruscos ó a saltos incluso .

2- La pregunta , por consiguiente es como debe de ser esta proyección .3- Si comenzáramos con una recta (1D) y eligiéramos una línea de

proyección recta y ortogonal , obtendríamos un rectángulo 2D . Aplicada nuevamente , obtendríamos un cubo u ortoedro 3D . ¿Cómo sería una ampliación al hiper- cubo 4D¿ . ¿ Como encontrar una recta ortogonal a una forma 3D ¿ . Desde un entendimiento simple 3D , no

llegamos a su interpretación . Saliéndonos de el , es posible imaginárselo , posiblemente

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4- Es importante , como podemos pensar , el tema de la ORTOGONALIDAD . ¿ COMO ES LA ORTOGONALIDAD EN UN ESPACIO 4D ¿ .

El concepto de Ortogonalidad ( geométricamente hablando ) subsiste en 1D,2D, 3D soportado en la medida del ángulo 90 º . Este concepto es aplicado al ángulo de dos rectas ( que ya es 2D , si están en el mismo plano ) . Pero pueden estar en distinto plano , cruzándose en el 3D y se mantiene con una proyección en paralelo , hasta tocarse en un espacio 0D ( punto ) . Intentemos hacer algo similar para medir el ángulo recto de un triedro ( ya que el de un diedro , exige la intersección en una recta ó arista 1D ) .El TRIEDRO TRIRRECTÁNGULO RECTO , lo es en varias dimensiones 2D ( sus caras ) y la perpendicular por el vértice lo es al plano de las otras dos , en un punto 0D de intersección ) .

Intentemos hacer lo mismo en el paso a 4D . En este caso el correspondiente al vértice , será una de sus tres aristas 2D ) , por consiguiente pordríamos pensar en TRES planos perpendiculares a las tres aristas , que al ser ortogonales entre sí , DARÍAN COMO FIGURA CORRESPONDIENTE UN NUEVO TRIEDRO TRIRRECTÁNGULO ORTOGONAL . La forma proyectante sería un nuevo triedro ó alguna de sus tres partes .

En el caso del cubo , pasaríamos a un hipercubo 4D , por proyección según un nuevo cubo igual al anterior . Como podemos hacerlo según infinitas direcciones , sería como si desplazáramos el cubo , en un cierto movimiento de traslación . Sus intersecciones serán en 3D , cada posición del cubo cambiante entre el inicio y final , cubos iguales al primero . Esto pudiera entenderse como que el cubo 4D es una trayectoria de cubos 3D , entendido en su totalidad . El factor tiempo , podría incluirse , como momentaneidad . El cubo 4D , para interceptar un cubo 3D , necesitaría por tanto , una intersección del 4D en un determinado momento .

Podríamos aceptar entonces , que nuestro mundi-forma 3D , ES UNA INTERSECCIÓN MOMENTÁNEA , Ó EN UN DETERMINADO TIEMPO DE FORMAS 4D . Desde este aspecto , cabría la posibilidad de entender universos 3D paralelos , como intersección de unos más generales de 4D temporalizados . Tendríamos así , en realidad un espacio de CINCO DIMENSIONES , como máximo . Una generalidad de 4D , heterogénea , que a su vez incluye el 3D que vemos .

Manuel Hidalgo HerreraArquitecto y Geómetra Marzo 2007

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