DINAMICA Teorema Steiner

5/11/2018 DINAMICA Teorema Steiner - slidepdf.com

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ESCUELA SUPERIORPOLITECNICA DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE MECANICAESCUELA DE ING. AUTOMOTRIZ

DINAMICA

TEMA:

TEOREMA DE STEINER

NOMBRE:

DAVID ESPINOZA

CODIGO:

812

CURSO:

5º “A”

FECHA:

23 de Noviembre de 2011

Teorema de Steiner



1. Péndulo Físico

Se denomina Péndulo Físico, a cualquier péndulo real, o sea, que en contraste con el péndulo simple no

tiene toda la masa concentrada en un punto.

Un péndulo físico, de forma de lámina, cuyo centro de masa es C,g tiene un eje de rotación en P y se

separa un ángulo ϕ de su posición de equilibrio.

En la figura, un cuerpo de forma irregular está articulado alrededor de un eje horizontal sin rozamiento

que pasa por P y se desplaza un ángulo ϕ de la posición de equilibrio. La posición de equilibrio esaquella para la cual el centro de masa del cuerpo C.G, se encuentra debajo de P y en la vertical que

pasa por ese punto.

La distancia del eje al centro de masa es d,e momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje pasa

por el eje de rotación es I, y la masa del cuerpo es m. El momento restaurador para un desplazamiento

angular ϕ es:

M = -m g d sen ϕY se debe a la componente tangencial de la fuerza de gravedad. Puesto que M es proporcional a sen ϕy no a ϕ , la condición para que el movimiento sea armónico simple, en general, no se cumple en este

caso. Sin embargo, para pequeños desplazamientos angulares, la relación sen ϕ ≡ ϕ es, como

anteriormente, una excelente aproximación, de manera que para que pequeñas amplitudes,

M = -m g d ϕ

O sea M = -KϕSiendo K = m g d

Pero M

α ϕ

I Ot

d I =

2

2

De manera que

ϕ ϕ

I

K

I

M

dt

d −==

2

2

Por consiguiente, el periodo de un péndulo físico que oscila con pequeña amplitud es:

mgd

I

K

I T π π 22 ==

Para amplitudes mayores, el péndulo físico sigue teniendo un movimiento armónico, pero no simple.



2. Centro de Oscilación

Es siempre posible encontrar un péndulo físico simple equivalente cuyo periodo sea igual al de un

péndulo físico dado. Si lo es la longitud del péndulo simple equivalente.

mgd

I

g

oT π π 2

22 ==

;

o bien, mt

I o =2

Así en lo que concierne al periodo de oscilación, la masa de un péndulo físico puede considerarse

concentrada en un punto cuya distancia al eje es to = I/m. Este punto se denomina centro de oscilación

del péndulo.

La siguiente figura representa un cuerpo que puede oscilar alrededor de un eje que pasa por P y cuyo

centro de oscilación está en el punto C. El centro de oscilación y el punto soporte tiene la siguiente

propiedad interesante, a saber; si el péndulo se hace oscilar alrededor de un nuevo eje que pasa por C,

su periodo no varía y el P se convierte en centro de oscilación. El punto soporte y el centro de oscilación

se dice que son conjugados uno de otro.

El centro de oscilación tiene otra propiedad importante, también se observa un bate de baseballsostenido o pivoteado en el punto O. Si una pelota golpea el bate en su centro de oscilación, no se

ejerce ninguna fuerza de impulso sobre el pivote y por tanto no se nota ninguna molestia si el bate está

contenido con la mano por dicho punto. Por esta propiedad, al centro de oscilación se le denomina

centro de percusión.

3. Momento de inercia y Teorema de STEINER

Se sabe que un cuerpo rígido, está compuesto de un número muy grande de partículas de modo que la

suma.

I = m1R2

1+ m

2R

22 + m

3R2

3+ ......... = ∑

im

iR2

i

Debe reemplazarse por un integral I = ∑im

iR2

i= ∫ R2dm, o sui P es la densidad del cuerpo dm = edv

I = ∫ PR2dv ............. (1)

Si el cuerpo es homogéneo, su densidad es constante, y en lugar de (1) podemos escribir I = ∫ PR2dv.

La integral se reduce así a un factor geométrico, igual para todos los cuerpos con la misma forma ytamaño. Notamos que en la figura R2 = X2 + Y2, el momento de inercia con respecto a Z.

IZ

= ∫ P)x2 + y2=dv ................... (2)



Si el cuerpo es una placa delgada, como es muestra, notamos que el momento de inercia con respecto

al eje x e y puede escribirse como:

lx = ∫ Py2dv e Iy = ∫ Px2dv

Ya que la coordenada Z es esencialmente cero.

La comparación con la ecuación (2) muestra este caso:

Iz = Ix = Iy

Resultado que es válido solamente para placas delgadas.Los momentos de inercia con respecto a los ejes paralelos están relacionados una fórmula muy simple.

Sea Z un eje arbitrario y Zc un eje paralelo que pasa a través del centro de masa del cuerpo.

Si “a” es la separación entre los dos ejes, la siguiente relación, denominada TEOREMA DE STEINER,

tiene lugar:

I = Ic + Ma2 ............. (3)

Donde I e Ic son los momentos de inercia del cuerpo con respecto Z y Zc, respectivamente, y M es la

masa del cuerpo. Para probar esta relación, escojamos los ejes Xc Yc Zc de modo que su origen se

encuentre en el centro de masa C y el eje Yc se encuentre en el plano determinado por Z y con Yc. El

punto P es un punto arbitrario del cuerpo M. Entonces de la figura: P’A es h a Yc y P’A = x, CA = Y, y

OC = a, tenemos:

R2C = X2 + Y2

R2 = X2 + (Y + a)2

= X2 + Y2 + 2Ya + a2

= R

2

c + 2Ya + a

2

Ahora el momento de inercia con respecto al eje Z es

I = ∑mR2 = ∑m(R2c + Zya + a2)

= ∑ mR2c + 2a (∑my) + a2∑m

El primer término es justamente el momento de inercia a I con respecto al eje Zc, y en el último término

∑m = M, es la suma total del cuerpo. Por consiguiente.

I = Ic + 2ª∑my + Ma2 …………… (4)

Para evaluar el término central recordamos que la posición del centro de masa está dada por Ycm =

∑my/∑m.

Pero en nuestro caso Ycm = 0 ya que el centro de masa coincide con el origen C del sistema XcYcZc.

Luego

∑my = 0 y la ecuación (4) se reduce a (3) la cual queda demostrada.

Cálculos Y Resultados

Llene la tabla 1 con las siguientes características



N0 de

Agujero

L(m) t T t N0 de

Oscilaciones

Periodo T

( promedio )

1 0,50 16,91 16,83 16,84 10 1,686

2 0,45 16,58 16,43 16,46 10 1,649

3 0,40 16,27 16,11 16,22 10 1,620

4 0,35 15,96 15,94 15,99 10 1,596

5 0,30 15,77 15,88 15,85 10 1,583

6 0,25 16,13 16,15 16,29 10 1,619

7 0,20 16,61 16,64 16,64 10 1,661

8 0,15 8,77 8,80 8,63 5 1,746

9 0,10 10,24 10,06 10,16 5 2,030

10 0,05 13,30 13,32 13,31 5 2,660

A partir de la ecuación (1), con Ildada por la ecuación (2), encuentre el valor de l donde el período es

mínimo.

La ecuación (1) es

T = 2Π Mgl

I l

Y la ecuación (2) es

Il = IG + Ml2

Reemplazando 2 en 1, tenemos que:

T = 2Π Mgl

Ml I G2+

= 2Π g

l

Mgl

I G+

Derivando con respecto a la longitud l, para hallar el mínimo valor de l igualaremos a cero,

01

1

2

2

=×+

+

∏=Mgl

g

l

Mgl

I

g Mgl

I

dl

dT

G

G

⇒ g Mgl

I G 1=

⇒ M

I

l

G

=



( )

M

baM

l

22

12

1+

=

Donde a es el ancho de la barra y b el largo de la barra, a = 0.037 y b = 1.1

Entonces al reemplazar obtendremos que :

( ) ( )[ ] 32.01.1037.012

1 22 = → += l l

¿ Cúal es el período para esta distancia?Con el valor de T conocido experimentalmente, encuentre , utilizando la relacio (I) , el valor I

ly llene la

siguiente tabla;

# de hueco eje de osc. l (cm) (periodo)2 T 2 Momento deinercia I

l 2 (m) 2

1 0.5 2.8426 0,6655 0,25

2 0.45 2.7192 0,5729 0,2025

3 0.4 2.6244 0,4915 0,16

4 0.35 2.5472 0,4174 0,1225

5 0.3 2.5059 0,352 0,09

6 0.25 2.6221 0,3068 0,0625

7 0.2 2.769 0,2593 0,04

8 0.15 3.0485 0,2141 0,0225

9 0.10 4.1209 0,163 0,01

10 0.05 7.0756 0,1656 0,0025

Haga el grafico Ilvs l 2 y ajustar dicha grafica

Del grafico anterior, y por comparación con la ecuación (2), determine IG

y M .

Del gráfico anterior y por un ajuste de curvas obtuvimos que la ecuación de la gráfica es

Y = 2,0241X + 0,166

Comparando esta ecuación con la ecuación 2 Il= Ml2 + I

G

Notamos que el valor de IG

= 0,166 y el valor de M es 2,0241.

Compare el valor de IG

obtenido en el paso 5 con el valor de la formula analítica para una barra de

longitud l y ancho b,

( )22

12

1b LM I G +=

¿Qué error experimental obtuvo? Y ¿qué puede decir acerca de la masa?

Según nuestra grafica obtenida en el paso 5 el valor de IG.

IG

=0.166

Según la ecuación dada y con los datos tomados en el laboratorio



DINAMICA DE UN PENDULO FISICO

mg

d

mgsen

Mg cos

dsen

( )22

12

1b LM I G +=

para M= 1.886 Kg L= 1.1 m b=0.037

reemplazando tenemos:IG

=0.19038

Calculando el error de medicion:

%ERROR = 0.19038 – 0.166 *100 = 12.8%

0.19038

La masa según nuestro ajuste de curvas es M=2.0241

La masa obtenida en el laboratorio es M= 1.886

Hay una diferencia de 0.1381 y el porcentaje de error es :

%error = 2.0241-1.886 .100= 6.8227

2.0241

Halle la longitud del péndulo simple equivalente.

Como Sabemos el período del péndulo simple es g

l T ∏= 2

Pero para el péndulo físico el período esMgl

I T l ∏= 2

Entonces si igualamos estas dos ecuaciones obtendremos que:

M

I l l =

Donde M es la masa de la barra y es 1,886kgReemplazando I

lcon los valores obtenidos en la tabla de la pregunta 3, tenemos que:

Para el primer agujero Il

= 0,6655 ⇒ l = 0,5940

Para el segundo agujero Il

= 0,5729 ⇒ l = 0,5511

Para el tercer agujero Il

= 0,4915 ⇒ l = 0,5104

Para el cuarto agujero Il

= 0,.4174 ⇒ l = 0,4704

Para el quinto agujero Il

= 0,3520 ⇒ l = 0,4320

Para el sexto agujero Il

= 0,3068 ⇒ l = 0,4033

Para el séptimo agujero Il

= 0,2593 ⇒ l = 0,3707

Para el octavo agujero Il

= 0,2141 ⇒ l = 0,3369

Para el noveno agujero Il

= 0,1930 ⇒ l = 0,3198

Para el décimo agujero Il

= 0,1656 ⇒ l = 0,2963

Demuestre en forma analítica las relaciones (1) y (2).



relación (1) nos indica que T = 2Π Mgl

I l

Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra en la gráfica, el peso mg causa un momento de torsión

de restitución τ = - (mg)(dsenθ )

El signo negativo implica que el momento de torsión es horario si el desplazamiento es antihorario y

viceversa. Si se suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posición de equilibrio, el movimiento no es un

M.A.S porque el momento de torsión τ es proporcional a senθ , no a θ , pero si θ es pequeño

podemos aproximar senθ por θ en radianes, y el movimiento es aproximadamente M.A.S

τ = -(mgd)θLa Ecuación del movimiento es ∑τ = I.α

-(mgd)θ = I.α =2

2

dt

d I

θ

⇒

I

mgd

dt

d θ θ −

=2

2

De la ecuación del M.A.S m Kx

t d xd a −==2

2

Comparando estas dos ecuaciones notamos que el papel de m

k

en el M.A.S lo desempeña aquí la

cantidad I

mgd

así que la frecuencia angular está dada por:

W = I

mgd

( Péndulo físico, amplitud pequeña)

Y como f =mgd

I T

W ∏=⇒

∏2

2l.q.q.d

La relación (2) nos indica que: Il= I

G+ Ml2

Para demostrarlo, consideremos dos ejes paralelos al eje z; uno pasa por el centro de masa, el otro por

un punto P . Primero tomamos una rodaja muy delgada del cuerpo, paralela al plano xy. Tomamos el

origen de nuestro sistema de coordenadas x, y son (a, b). La distancia entre este eje y el que pasa por elcentro de masa es d, donde d2 = a2 + b2. Podemos escribir una expresión para el momento de inercia I

p

alrededor del eje que pasa por P. Sea mi

un elemento de masa de nuestra rodaja, con coordenadas (xi,

yi, z

i). El momento de Inercia I

CMde la rodaja alrededor del eje que pasa por O es



ICM

=( ) (∑ +

i

iii y xm 22

El momento de Inercia de la rodaja alrededor del eje que pasa por P es

( ) ( )∑ −+−=i

iii p b ya xm I 22

En estas expresiones no intervienen lasa coordenadas zi, medidas perpendicularmente a las rodajas, así

que podemos extender las sumatorias para incluir todas las partículas de todas las rodajas.

Expandiendo los cuadrados y reagrupando,

( ∑ ∑∑∑ ++−−+=i

iiiii

i

iii p mba ymb xma y xm I )(22 2222

La primera sumatoria es ICM .

Por definición de centro de masa la segunda y tercera sumatoria son

proporcionales a xcm

, ycm

que son 0 porque tomamos el origen en el centro de masa. El término final es d 2

multiplicada por la masa total o sea, Md2.

Entonces queda demostrado que Ip =

Icm

+ Md2

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