Ecuaciones de Lagrange

Las Ecuaciones de Lagrange (también conocidas como Ecuaciones de Euler-Lagrange, o simplemente de Euler) nos permiten contar con un sistema analítico para llegar a las ecuaciones que describen el comportamiento físico de las partículas, pero no se trata, de ningún modo, de una nueva teoría independiente de la teoría Newtoniana.

(1736-1813)“Mecanique Analitique”, 1788

(1736-1813)“Mecanique Analitique”, 1788

1. Parámetros de las ecuaciones Los parámetros que intervienen en la formulación de las ecuaciones de Lagrange son los siguientes:

- Energía cinética total del sistema: suma de las energías cinéticas de las partículas.

- Energía potencial total del sistema: suma de las energías potenciales de las partículas.

- Coordenada generalizada: cada grado de libertad del sistema se expresa mediante una coordenada generalizada.

- Velocidad generalizada: derivada temporal de las coordenadas generalizadas.

- Fuerzas generalizadas: en esta versión del texto no hace falta definirlas, pues se considera únicamente el caso conservativo que simplifica las ecuaciones.

(1736-1813)“Mecanique Analitique”, 1788

2. Formulaciones de las ecuaciones

2.1 Caso generalLa forma más general de estas ecuaciones para un sistema discreto de partículas es:

• En la ecuación(1) existe una ecuación por cada grado de libertad, por lo que la elección de coordenadas generalizadas libres conduce directamente al mínimo número de ecuaciones dinámicas.

• Se trata de ecuaciones diferenciales de segundo orden (al existir derivadas temporales de los términos , que dependen, a su vez, de ).

(1736-1813)“Mecanique Analitique”, 1788

De las ecuaciones (1) han quedado eliminadas todas las reacciones de enlace que no realizan trabajo virtual, correspondientes a los enlaces lisos. Esto contrasta con las ecuaciones procedentes de los teoremas Newtonianos en las que, en principio, deben considerarse también estas reacciones.

• Una vez evaluadas las expresiones de T y de Qj , las ecuaciones de Lagrange se pueden obtener de forma automática sin más que aplicar las reglas analíticas de derivación correspondientes a (1).

El significado físico del término en (1) es el de las fuerzas de inercia. Para comprobarlo, tomemos como coordenadas las propias coordenadas vectoriales rj:

 =[ ]=

 

Por último, los términos pueden interpretarse como fuerzas ficticias procedentes de la elección de coordenadas generalizadas .En caso de que éstas sean simplemente las componentes cartesianas de los vectores , desaparecerían. Estas fuerzas se añaden a las fuerzas generalizadas en la dirección de .

 

(1736-1813)“Mecanique Analitique”, 1788

2.2 Caso conservativoSi en las Ecuaciones de Lagrange se aplican a un sistema en el que todas las fuerzas son conservativas podemos reescribir la ecuación (1) ya que:

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2.3 Caso continuoEn el límite continuo de la función lagrangiana se emplea la densidad lagrangiana , de modo que la lagrangiana sería

(1736-1813)“Mecanique Analitique”, 1788

2.2 Caso conservativoSi en las Ecuaciones de Lagrange se aplican a un sistema en el que todas las fuerzas son conservativas podemos reescribir la ecuación (1) ya que: