Modelaje y simulación de dinámicas con el estado ausente.

DEA Néstor García R.*

PHD Clemente Herrera**

*Postgrado de Instrumentación Universidad Central de Venezuela, Caracas. negaro@cantv.net

**Postgrado de Instrumentación Universidad Central de Venezuela, Caracas. ci_2h@yahoo.com

Resumen: Este documento trata sobre el desarrollo de modelos de dinámicas donde no participa la variable de dicho modelo. La dinámica es establecida por variables independientes al estado y son una aproximación del modelo real. El documento forma parte de un desarrollo de tesis Doctoral sobre emulación de sistemas, donde se ha suscitado el objeto del estudio.

Palabras Clave: dinámica, emulación, simulación, control, calderas.

1. INTRODUCCIÓN

En el desarrollo de modelos de sistemas, donde su complejidad impide un detalle absoluto de todos los fenómenos físicos y por tal motivo se llega a modelos aproximados del sistema, suele ocurrir que alguna dinámica es determinada en función de otras dinámicas, haciendo aproximaciones que permitan la realización de un modelo utilizable, tal como el caso de los modelos de una caldera, planteados por Karl Åström (K.J. Åström, 2000) y utilizadas por varios autores como (Adel Ben-Abdennour, 1996) y (Bentsman, 1996).

Es el caso de la dinámica (3) de la densidad del fluido de retorno ����f, una mezcla de agua líquida y vapor; el modelo planteado depende de una combinación de valores de las entradas u2 y u3, que regulan la salida del vapor qs y retorno del fluido qf, respectivamente, y la variable de estado presión del calderín p. En esta dinámica no está presente la propia variable de estado, la densidad del flujo ����f.

En el modelo planteado, lograr el punto de equilibrio depende de los valores de las variables de estado y de las señales de control, cualquier diferencia numérica en ellas involucra que dddd����/dt/dt/dt/dt nunca es cero. Esto crea un estado de permanente evolución, lo cual no existe en el sistema real.

En este estudio se plantea una alternativa, entre las posibles, que permita subsanar este inconveniente en el modelo para largos periodos de evolución y poder realizar la emulación de una caldera, basada en el modelo de Åström.

Si bien se trata de un problema particular, relacionado con el modelo de las calderas; el concepto es aplicable a cualquier sistema donde el modelo tenga características similares, como es: no involucrar a las propias variables de estado.

En el escrito se habla de emulación y de simulación, es necesario aclarar que el trabajo que se realiza en la Tesis Doctoral, es sobre el desarrollo de emuladores, para su uso práctico en la educación e industria.

1.1. Simulador

Un simulador es un programa que permite el desarrollo matemático y reproduce por métodos numéricos la evolución del modelo de un sistema.

Sus resultados y efectos quedan en forma numérica y pueden ser expresados en formas gráficas o pos-procesados con otros programas, como los hacen EchoSim, Simulink y otros.

1.2. Emulador

Un emulador es un dispositivo que actúa tal como lo haría la planta o sistema real, con el mayor realismo y sus resultados trascienden el ámbito numérico en forma de señales analógicas que le permite interactuar con el medio ambiente.

El emulador consta de un simulador y una electrónica que reemplazan a la planta física real y a su instrumentación, permitiendo su uso en la educación y en la industria como equipo de prueba de controladores y desarrollos teóricos de procesos de control de sistemas.

2. MODELO SIMPLIFICADO DE UNA CALDERA

Sin dedicar mucho espacio a algo que está profusamente expuesto en múltiples publicaciones (Bentsman, 1996), (Robert Dimeo, 1995), (J. Garrido, 2008), (Adel Ben-Abdennour, 1996); el modelo de una caldera propuesto en esas publicaciones está basado en el modelo desarrollado por Åström y Bell (K.J. Åström, 2000), representado en parte, por el siguiente juego de ecuaciones de dinámicas de estado. Estas ecuaciones son producto de una identificación y regresión

de datos extraídos de una caldera real (Bell & Aström, 1987) (K.J. Åström, 2000)

2.1. Dinámica de la presión.

��

��� �� ������

�/� � ����� ����� (1)

2.2. Dinámica de la potencia entregada

(2)

2.3. Dinámica de la densidad del fluido de retorno.

(3)

Básicamente con estas tres ecuaciones se puede exponer el inconveniente presentado.

• Las ecuaciones (1) y (2), describen la dinámica de dos variables de estado dependientes de las señales de control u1, u2 y u3, estas determinan fundamentalmente el punto de operación de la caldera.

• La ecuación (3), no incluye a la variable de estado que representa a la densidad del flujo de retorno f, el resultado de esta ecuación depende exclusivamente del valor de la presión p y las dos señales de control u2 y u3.

• Estableciendo un punto de operación, actuando sobre las tres señales de control, las dos primeras ecuaciones llegan a un estado de reposo pasado un tiempo. La ecuación (3) no necesariamente llegará a un estado de reposo.

3. PROBLEMA DE CONVERGENCIA.

3.1. El problema.

La definición de una dinámica, donde la variable de estado propia de esa dinámica, no está involucrada de ninguna forma directa o indirecta, trae como consecuencia: en su evolución no se garantiza el equilibrio, la variable de estado no necesariamente llegará a un valor final que define el estado de equilibrio o régimen de reposo.

El valor final de la dinámica dependerá de los valores de las variables involucradas, esto se pone en evidencia al dar un valor numérico a la dinámica en cuestión.

La caldera tiene estados o puntos de operación conocidos, algunos de ellos están recogidos y expresados en Tabla I, Puntos de operación de la caldera.

TABLA I, PUNTOS DE OPERACIÓN DE LA CALDERA.

Punto de Op. A B C D E F p (kg/cm2) 86.4 97.20 108.00 119.00 130.00 140.00

P (Mw) 36.60 50.50 66.60 85.10 106.00 129.00 densidad (kg/m3) 342.00 385.00 428.00 471.00 514.00 556.00

u1 (Combustible)

0.21 0.27 0.34 0.42 0.51 0.60

u2 (Sal.Vapor) 0.55 0.62 0.69 0.76 0.83 0.90 u3 (Ret.Fluido) 0.26 0.34 0.44 0.54 0.66 0.79

De la tabla se toma un punto de operación cualquiera y los

valores son reemplazados en la ecuación de la dinámica (3).

El resultado de hacer esta evaluación de la dinámica es la ecuación (4), esto supone haber alcanzado el equilibrio en la evolución de la variable de estado de la presión. Se tiene como resultado un valor diferente a cero, la diferencia es debida al número de decimales utilizados para los coeficientes asociados a p, u2 y u3 y a los valores de las tres variables.

(4)

Este resultado, con valor negativo, produce el efecto de hacer disminuir de forma indefinida a la densidad y esto físicamente no es real, este resultado afecta cualquier emulación realizada en largo plazo.

Repitiendo este procedimiento con todos los puntos de operación de la Tabla I, se obtiene la siguiente tabla (Tabla II), donde se muestran los errores en la dinámica de la densidad, luego de alcanzado el equilibrio en la presión, resultado de la evaluación de la ecuación (3).

TABLA II, ERROR Ε F EN LA DINÁMICA DE LA DENSIDAD

( F) EN EL RÉGIMEN ESTACIONARIO

p Pw u1 u2 u3 ε f

86.4 36.6 0.21 0.55 0.26 0.00945882

97.2 50.5 0.27 0.62 0.34 0.00138353

108 66.6 0.34 0.69 0.44 0.00691765

119 85.1 0.42 0.76 0.54 -0.00863529

130 106 0.51 0.83 0.66 -0.01094118

140 129 0.6 0.9 0.79 -0.00717647

En el fenómeno real, la caldera, la densidad del flujo de retorno evoluciona hasta lograr un equilibrio, pero el modelo real es sumamente complejo y muy difícil de utilizar.

4. SIMULACIÓN DE LA CALDERA.

El modelo descrito por las ecuaciones planteadas es implementado utilizando el Simulink y el siguiente esquema muestra esta implementación.

Figura 1, Esquema completo de la simulación de la caldera

4.1. Bloque general de la caldera.

Constituido por múltiples subsistemas con función específica de cada uno de ellos.

4.2. Subsistema presión (p) y potencia (Pw).

Este esquema permite simular las ecuaciones (1) y (2), cabe señalar que las implementaciones realizadas corresponden al modelo no lineal original.

Figura 2, Subsistema presión potencia.

4.3. Subsistema densidad del fluido de retorno

El siguiente esquema corresponde a la implementación de la dinámica densidad del fluido, descrita en la ecuación (3)

Figura 3, Subsistema dinámica de la densidad del fluido.

4.4. Patrón de prueba

Para la evaluación, se introduce un patrón de prueba, definido por un tren de escalones que producen una perturbación en cada una de las señales de control, la perturbación es de +/- 0,1 de amplitud sobre el nivel definido para cada señal en el punto de operación D.

El patrón es idéntico para cada señal y desplazado en el tiempo para que solo afecte una de ellas.

Figura 4, Patrón de prueba, Tren de escalones sobre el punto de

operación D

5. Realizando la simulación

5.1. Simulación del modelo original.

Se aplica el patrón descrito anteriormente al sistema simulado con la dinámica de la densidad original. El resultado es la Figura 5.

Figura 5, Evolución de la densidad.

Como la dddd ffff/d/d/d/dtttt, no se hace cero nunca la densidad permanece con un régimen continuo de disminución, no hay valor ni tendencia final. En la realidad el sistema evoluciona hasta un equilibrio.

El valor de la densidad no puede ser utilizado para otros procesos o simulaciones, todos ellos se verían afectados.

Pasados 15.000 segundos, el estado del sistema es el siguiente.

TABLA III, PUNTO DE OPERACIÓN DE LA CALDERA.

u1 u2 u3 p (kg/cm2)

Potencia (MW)

Densidad (kg/m3)

(kg/m3s) 0.42 0,76 0,54 118,4 85.71 278,7 -0.01175

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 110000.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9Tren de escalones +/-0,1 sobre el punto de operaición D

Segundos

Apertura de válvulas.

u1

u2

u3

0000 5000500050005000 10000100001000010000 15000150001500015000-200-200-200-200

-180-180-180-180

-160-160-160-160

-140-140-140-140

-120-120-120-120

-100-100-100-100

-80-80-80-80

-60-60-60-60

-40-40-40-40

-20-20-20-20

0000

Segundos

kg/m

3

Densidad del fluido de retorno qDens idad del fluido de retorno qDens idad del fluido de retorno qDens idad del fluido de retorno qffff

5.2. La realidad del fenómeno

Analizando el fenómeno, por la válvula de salida de vapor de la caldera, sale una cantidad de masa qs en forma de vapor, ésta pierde energía en la utilización y se refleja como una pérdida de presión y temperatura; la misma masa que salió debe regresar a la caldera por conservación de la materia; en forma de fluido mezclado qf, la densidad de este fluido evoluciona para permitir que esta masa pase a través de la válvula u3, la relación de cuánta masa es líquida y cuánta es gaseosa, define la calidad del vapor(5).

(5)

Cuanto más cerrada la válvula u3, regresa más agua líquida y la densidad es más alta.

Las ecuaciones (1) y (2), establecen y obligan el valor de u3 y u2, el fenómeno puede ser de un orden cualquiera, pero un primer orden como arbitrario sería suficiente, el arbitrario se introduce como una cadena de retroalimentación, para contrarrestar a largo plazo las diferencias, así que su coeficiente será pequeño para no afectar la forma de la evolución y compensar las diferencias a largo plazo.

5.3. Solución con un arbitrario.

Un arbitrario es un componente de compensación que permite ajustar los modelos desarrollados para representar sistemas de cualquier género.

Las condiciones básicas de un arbitrario son:

• Éste no debe alterar la forma de la evolución del sistema.

• Su efecto debe limitarse a compensar o corregir la evolución del sistema para que éste se adapte a la realidad.

• Debe responder al comportamiento de sistemas reales, en su forma evolutiva.

El arbitrario es un elemento que hace las funciones de un árbitro y su acción es un arbitraje, es una decisión justa o lo más parecido, para todas las partes.

5.4. Implementación del arbitrario.

El siguiente esquema de Simulink, Figura 6, muestra la implementación del arbitrario, el cual aparece como un lazo de retroalimentación de la variable de estado.

Figura 6, Esquema incluyendo el arbitrario.

El resultado es mostrado por las siguientes imágenes presentando la evolución de la densidad con el efecto del arbitrario y la evolución con el modelo sin el arbitrario. El patrón de prueba es idéntico al anterior.

La forma de la señal no se altera y se corrige la evolución continua tendiendo a un valor final, por lo tanto, a un equilibrio.

Figura 7, Evolución de la dinámica de la densidad (dddd f/dtf/dtf/dtf/dt)

En las gráficas, las formas de las evoluciones son idénticas, salvo al final donde la evolución con el arbitrario tiende a cero, mientras la que no tiene el arbitrario permanece con un valor constante. Lo cual es más visible en la ampliación del último segmento de la evolución de la derivada de la densidad en el tiempo, mostrado en la siguiente gráfica.

0000 5000500050005000 10000100001000010000 15000150001500015000-200-200-200-200

-180-180-180-180

-160-160-160-160

-140-140-140-140

-120-120-120-120

-100-100-100-100

-80-80-80-80

-60-60-60-60

-40-40-40-40

-20-20-20-20

0000Evolución de la densidad

Segundos

kg/m

3

Con el arbitrarioCon el arbitrarioCon el arbitrarioCon el arbitrario

Sin el arbitrarioSin el arbitrarioSin el arbitrarioSin el arbitrario

2000200020002000 4000400040004000 6000600060006000 8000800080008000 10000100001000010000 12000120001200012000 14000140001400014000-0.25-0.25-0.25-0.25

-0.2-0.2-0.2-0.2

-0.15-0.15-0.15-0.15

-0.1-0.1-0.1-0.1

-0.05-0.05-0.05-0.05

0000

0.050.050.050.05

0.10.10.10.1

0.150.150.150.15

0.20.20.20.2

Evolución de la dinámica de la densidad Df

Segundos

kg/(m3 s)

Figura 8, Tendencia final de la evolución (d����f/dt)

El resultado a los 15.000 segundos de simulación es el siguiente

TABLA IV, 15.000 SEGUNDOS DE SIMULACIÓN.

u1 u2 u3 p

(kg/cm2) Potencia (MW)

Densidad (kg/m3)

���

��

(kg/m3s)

0,42 0,76 0,54 119,4 85,71 278,7 -0,01175

0,42 0,76 0,54 119,.4 85,71 425,79 -0.00237

Dejando correr la simulación y observando las tendencias a muy largo plazo, los resultados son recogidos en la siguiente tabla.

TABLA V, 30.000 SEGUNDOS DE SIMULACIÓN.

u1 u2 u3 p

(kg/cm2) Potencia (MW)

Densidad (kg/m3)

���

��

(kg/m3s)

0,42 0,76 0,54 119,4 85,71 102,5 -0,01175 0,42 0,76 0,54 119,.4 85,71 414,84 -1,06x10-4

6. Conclusión.

Este procedimiento permite introducir correcciones en los modelos y hacer que estos tengan un comportamiento más real, en los sistemas de evolución muy lenta y en aquellas dinámicas donde el estado no aparece involucrado.

Si bien puede parecer que este procedimiento no esté apoyado en una base matemática determinada, es importante hacer notar que el modelo utilizado, así como muchos otros modelos, han sido determinados en un proceso de estadísticas y correlaciones, debido a la imposibilidad de obtener un modelo matemático determinista que responda a los fenómenos y leyes físico-químicos involucrados en el sistema a modelar.

Al modelar basándose en las respuestas del sistema y utilizando identificación y regresiones funcionales, este inconveniente se presenta y de ahí la importancia de tener un factor de tendencia R2 lo más próximo a 1, con frecuencia esto conlleva a un

modelo innecesariamente complejo y con seguridad necesita ser linealizado.

Desarrollar modelos mucho más elaborados, no resuelve el problema, pues siempre está el número de decimales utilizados para definir las constantes, trabajar con más de 6 dígitos se escapa de la capacidad de precisión dada por el punto flotante de 32 bit, y trabajar con 64 bit representa casi un factor de 10 en el tiempo de cómputo.

El desarrollo de un modelo simple con aplicación de arbitrarios para corregir las desviaciones, permite no incrementar el tiempo de cómputo y aproximarse tanto como sea necesario a las respuestas de un sistema real.

En este caso, se implementa un arbitrario de primer orden, pero es posible hacerlo con arbitrarios más complejos de segundo o tercer orden. Siempre está el criterio perseguido; el objetivo es uno, tratar de aproximarse más a la realidad manteniendo simple la solución.

7. REFERENCIAS

Bell, R. D., & Åström, K. (1987). “Dynamic models for boiler-turbine-alternator units: data logs and parameter estimation for a 160 MW unit”. (Report TFRT-3192).

Bentsman, G. P. (1996). Nonlinear Control Oriented Boiler Modeling. A Benchmark Problem for Controller Design. 4 (1).

K.J. Åström, R. B. (2000). Drum-boiler dynamics. Automatica, Automatica 36 (2000) 363}378(36).

K.J.Åström. (2005). (Lund University Suecia) Recuperado el 2010, de Lecture5-SteamGeneratorModeling: www.ham.coe.dendai.ac.jp/06/image/Lec5.pdf

Robert Dimeo, K. Y. (1995). Boiler-Turbine Control System Desing Using a Genetic Algorithm. 10 (4).

10.50010.50010.50010.500 11.00011.00011.00011.000 11.50011.50011.50011.500 12.00012.00012.00012.000 12.50012.50012.50012.500 13.00013.00013.00013.000

-0.012-0.012-0.012-0.012

-0.01-0.01-0.01-0.01

-0.008-0.008-0.008-0.008

-0.006-0.006-0.006-0.006

-0.004-0.004-0.004-0.004

-0.002-0.002-0.002-0.002

0000

0.0020.0020.0020.002

0.0040.0040.0040.004

0.0060.0060.0060.006

0.0080.0080.0080.008

0.010.010.010.01Tendencia final de las evoluciones

Segundos

kg/(m3 s)