Dado el sistema de la figura conformado por dos masas conectadas por una soga inextensible sin masay una polea, tambien sin masa, se quiere saber cuanto tiempo tardara la masa 1 en recorrer la longitud delplano inclinado. Notese que ambos planos poseen una inclinacion diferente. Tener en cuenta que el sistemaparte del reposo y que la masa 1 esta en la base del plano.

b1 b2

h

m1

m2

Datos:m1 = 8kgm2 = 10kgb1 = 1mb2 = 4mh = 3m

SolucionEn primer lugar, antes de plantear nada, primero debemos suponer como se comportara el sistema y

que se pide. Como podemos ver, tenemos un plano mucho mas inclinado que el otro, en el cual se posa unamasa mayor que la que se encuentra en el otro plano. Por lo tanto, podremos pensar con seguridad que lamasa 1 subira y la 2 bajara. Si bien a partir del enunciado podemos suponer lo anterior, hay que verificarque sea coherente con el problema planteado. Luego, de alguna manera, debemos encontrar el tiempo quetarda la masa 1 en recorrer el plano inclinado. Se sabe que la posicion de un cuerpo en funcion del tiempoes:

x(t) = x0 + v0 +1

2a t2

El enunciado dice que parte del reposo, por lo tanto sabemos que v0 = 0. Luego, podemos tomar que labase del plano es la posicion x = 0. Si bien la longitud del plano no es dato, se puede obtener sencillamenteusando el teorema de Pitagoras; sin embargo, la aceleracion no es conocida. Por este motivo, debemoscalcularla primero. Para esto, debemos realizar un diagrama de cuerpo aislado para cada masa y, mediantela segunda ley de Newton, obtener la aceleracion.

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Se puede ver en los diagramas a continuacion que necesitamos el angulo de inclinacion para cada plano,aparentemente desconocidos. Sin embago, se conocen algunas medidas de los planos a partir de las cualesse pueden obtener las relaciones trigonometricas que nos daran los angulos en cuestion.

tan() =cateto opuesto

cateto adyacente=

h

b2 = arctan

(3

4

) 36, 86o

tan() =h

b1 = arctan(3) 71, 56o

+x

+y~N2

~T2

~P2

(a) Masa 2

+x

+y

~N1

~T1

~P1

(b) Masa 1

Con todos los datos necesarios, podemos plantear la segunda ley de Newton y obtener la aceleracion.Nota: se tomara g = 10m/s2

Masa 2

Fx = P2x T2 = m2aFy = N2 P2y = 0

Masa 1

Fx = T1 P1x = m1aFy = N1 P1y = 0

Como no tenemos movimiento en el eje y, no utilizaremos las sumatorias de fuerzas de dicho eje. Noscentraremos en las del eje x. Entonces, tenemos un sistema de dos ecuaciones con a, T1 y T2 como incognitas,pero como el enunciado dice que la soga no tiene masa, podemos decir que |T1| = |T2| = T , con lo queeliminamos una incognita. Ahora el sistema tiene solucion pues tenemos dos ecuaciones con dos incognitas.Para resolverlo hay varias formas: se podra despejar T de una ecuacion y sustituirla en otra, igualar en T ,entre otras. Para simplificar los pasos, voy a sumar una ecuacion con la otra ya que eso esta permitido ymantiene la igualdad. Esto nos genera una nueva ecuacion sin la incognita T que no nos interesa calcular.

P2x T = m2a+ +

T P1x = m1a

P2x T + T P1x = m2a+m1aReemplazando los pesos por el valor de sus componentes en x y simplificando las tensiones llegamos a:

m2 gsen()m1 gsen() = m2a+m1am2 gsen()m1 gsen() = a(m1 +m2)

a =m2 gsen()m1 gsen()

m1 +m2 2, 6m/s2

Habiendo encontrado la aceleracion, volvemos a la ecuacion de posicion. Ahora ya tenemos todo lo quenecesitabamos para encontrar el tiempo. Como haba dicho, la longitud del plano no es dato pero se puedehallar facilmente. Viendo que la base del plano sobre el que se apoya la masa 1 es b2 y la altura h, siendo la

longitud del plano l, la relacion entre ambas es: l2 = b22 + h2 l =

b22 + h2 =

25 = 5m. Por lo tanto:

2

x(tf ) = l =1

2a tf

2 ; acuerdense que v0 = 0 y x0 = 0

tf2 =

2l

a

tf =

2l

a 1, 96 s

As que, en conclusion, la masa 1 tarda 1,96 segundos en llegar hasta la cima del plano. Ahora, si se leaplicara una fuerza extra a la masa 1, que modulo y sentido tendra para que tarde 2 segundos justos? Selas dejo para pensar...

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