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Diseño de herramientas para el tratamientodel matiz en imágenes a color

Tratamiento de las señales angulares

Carlos Eduardo Rodríguez Pardo

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Diseño de herramientas para el tratamiento delmatiz en imágenes a color

Tratamiento de las señales angulares

Carlos Eduardo Rodríguez Pardo

Trabajo de grado para optar por el título de Ingeniero Electrónico

Alfredo Restrepo Palacios, PhDDirector

Universidad de los AndesFacultad de Ingeniería

Departamento de Ingeniería Eléctrica y ElectrónicaLaboratorio de Señales

Bogotá D.C.Agosto de 2007

Agradecimientos

El desarrollo del presente proyecto de grado ha contado con la ayuda, el apoyo y acompañamientode numerosas personas, profesores, familiares y amigos con las cales me encuentro enormementeagradecido.

Especialmente quiero agradecer al profesor Alfredo Restrepo, por su inigualable ayuda, por brin-darme la oportunidad de trabajar con él y por toda la confianza que me ha depositado; por sussugerencias, consejos y paciencia;

Deseo expresar mi inmensa gratitud con mis padres, Luis Eduardo y Zoila Rosa, porque es graciasa su esfuerzo, dedicación y cariño, que he llegado a este punto. Porque han sido la guía, la compañíay el soporte durante mi vida.

A mis hermanos, Beatriz, Diana y José Luis, por su amistad, y apoyo; porque siempre es recon-fortante saber que están ahí.

A Ligia Pardo, por ser especial, hacerme saber que estará incondicionalmente para mí.A mis amigos, por los momentos que me han regalado, y porque me han enseñando mucho, más

de lo que creen.A los miembros del laboratorio de Señales, por su paciencia en aquellas reuniones del LaboratorioA la profesora Myriam Luisa, por aceptar ser mi coasesora, y por el interés que expresó en este

trabajoA aquellos familiares comañeros y profesores que han me han aportado.

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Resumen

La fase de la transformada de Fouirer de una señal y el matiz de una imagen a color son ejemplosen los que la información se expresa mediante datos angulares (o circulares), los cuales requierende un procesamiento distinto a aquel dado a las señales cuyos valores son magnitudes linealmenteordenadas. Se proponen varias herramientas para el tratamiento de las señales angulares; particu-larmente, se define una mediana angular, estadísticas de dispersión y se consideran sus respectivasversiones móviles, es decir, filtros suavizantes y filtros detectores de bordes. Se proponen alternati-vas para una extensión de la morfología a señales angulares, una de ellas basándose en el ascensotopológico de funciones con rango la circunferencia unitaria y otra, aprovechando las característicasde la circunferencia. Estamos especialmente interesados en el tratamiento de la variable matiz (hue)de imágenes a color, codificadas en el sistema HSV (hue o matiz, saturación y valor).

Palabras Clave Muestras angulares, procesamiento de imágenes a color, filtros suavizantes, filtrospromedio y mediana, mapas de bordes, morfología matemática, ascensos topológicos.

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Índice general

Agradecimientos iii

Resumen iv

1. Introducción 11.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Color como variable angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Organización del Documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Datos y Estadísticas Angulares 42.1. Datos Angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Distancia y Longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3. Estadísticas de Ubicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1. Media Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.2. Mediana Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4. Estadísticas de Dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5. El Matiz como datos angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3. Herramientas tipo filtro 263.1. Estadísticas en el círculo de color . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2. Promedio y Mediana Circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3. Dato Inicial y Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4. Filtros suavizantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.5. Mapas de Bordes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4. Morfología para datos angulares 394.1. Imágenes Angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1.1. Gráficas de Imágenes Angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2. Ascensos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3. Extensión de la Morfología por medio de Ascensos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3.1. Algoritmos de Ascenso para caminos discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3.2. Algoritmos de Ascenso para imágenes discretas 2D . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.4. Morfología en el Círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5. Conclusiones y trabajo futuro 55

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Capítulo 1

Introducción

Son numerosas las aplicaciones en diversas áreas como ingeniería, medicina o artes, para lascuales el tratamiento automático de imágenes a color juega un papel importante. Ejemplos como elreconocimiento de la malaria en la sangre [11], y aplicaciones en problemas de la industria nacional,como en el caso de las flores [1] muestran la versatilidad y las ventajas de las imágenes, particu-larmente, de las imágenes a color. Más aún, por la experiencia cotidiana notamos que el color (yasea entendido como todo un fenómeno psicofísico, o como una característica inherente al objeto),almacena información relevante que puede aprovecharse para resolver un problema práctico. Es porlo tanto indispensable plantearse la pregunta de cómo extraer dicha información. Desde esta pers-pectiva la imagen se convierte en un objeto de estudio, en la variable a manipular o sencillamente,en la señal a tratar.

Existen varios modelos que buscan explicar o representar el fenómeno del color desde diversasperspectivas. Algunos han nacido a partir de estudios psicofísicos (como el CIE), otros, basados enteorías del color (como la teoría de los procesos oponentes y el espacio NTSC), como respuesta aun reto práctico (como la televisión y el espacio RGB), o simplemente para describir de una formaintuitiva los colores (como el caso del espacio HSV) [4]. Cada uno de ellos posee ciertas característicasy ventajas con las cuales se han desarrollado diversas herramientas para el tratamiento de imágenesa color.

En la actualidad se puede decir que la reproducción del color es un problema con resultadosaltamente satisfactorios, prueba de ello son las imágenes logradas en cine, monitores, revistas, anun-cios publicitarios, fotografías, etc. No obstante, el tratamiento de las imágenes a color ha sido desdesus inicios un problema difícil de atacar, inclusive hoy en día existen numerosos aspectos sobre loscuales se realiza una fuerte investigación. Problemas como la detección de colores continúan siendoun gran reto a enfrentar. La principal razón para ello radica en el incompleto entendimiento delfuncionamiento del sistema visual humano y su papel en la percepción del color [9].

Fenómenos como la constancia del color, que a los humamos nos permite distinguir colores bajouna gran variedad de condiciones de iluminación, no se han podido modelar de tal forma que unamáquina sea capaz de imitarlo [3]. Existen además otros rasgos del sistema visual que deben sermodelados en aras de la obtención de mejores resultados, perceptualmente hablando. Una de elloses la característica circular de la percepción humana del color [15].

Nosotros podemos pasar de percibir un color a otro mediante pequeños e indistinguibles cambios.Es decir, podemos crear caminos entre colores dentro del círculo del color, compuesto por el rojo,naranja, amarillo, cetrino, verde, cian, azul, violeta para regresar al rojo nuevamente [13] (ver figura1.1)

Dada esta característica, resulta intuitivo querer modelar el color como una variable circular oangular, es decir, una variable que toma valores entre 0 y 2π. El espacio de color HSV (hue o matiz,saturacion y valor) se muestra especialmente conveniente para este hecho, pues resulta natural su

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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 2

Figura 1.1: Círculo de color. Representanción de la circularidad en el sistema visual humano.

descripcion de los matices. La variable hue o matiz, encargada de codificar la caracteristica cromaticadel color, es una variable angular. Las otras dos, valor y saturacion, indican el nivel de brillantez delcolor, y que tan ‘diluido’ en luz blanca se encuentra[4].

Figura 1.2: Representación Espacio de color HSV. Matiz (h) es una variable circular. Saturación yValor, variables circulares

Y es justamente la propiedad de circularidad la que se busca explotar en el desarrollo del presenteproyecto. Basándose en las características del espacio de color HSV, y centrándose exclusivamenteen la variable matiz (hue), se busca proponer una serie de herramientas que permitan realizarun tratamiento de la imágenes usando su característica cromática. Específicamente, a lo largo deltrabajo se formulan definiciones de estadísticas circulares, aplicaciones de éstas en el desarrollo defiltros suavizantes y el planteamiento de posibles morfologías.

El enfoque usado en el desarrollo del trabajo pretende brindar herramientas para el tratamiento deseñales angulares en general. El matiz es tan sólo un caso particular para el cual dichas herramientaspueden ser aplicadas.

Por último es relevante aclarar que se espera que los resultados se encaminen a contribuir dealgún modo (por mínimo que sea) a un mejor modelamiento de la percepción del color en el sistemavisual humano. Aunque alcanzar esta pretenciosa meta no sea el objetivo de este proyecto de grado,sí ha sido una de las principales razones que han motivado al autor a emprender esta labor.

1.1. AntecedentesExiste ya un trabajo consolidado y ampliamente aceptado en lo concerniente al tratamiento de

las imágenes de rango lineal, es decir aquellas que toman valores binarios o en escala de grises.

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 3

Una varible en forma de ángulo, o que vive en S1, se le denomina variable angular. Este tipo dedatos requieren de un tratamiento especial dadas sus características, dentro de las que se encuentrael hecho que no es posible establecer un orden para S1 que concuerde con su topología. El matizes una variable angular, por lo que numerosos problemas se presentan en el momento de tratardigitalmente el color de una imagen, si se pretende aplicar directamente las herramientas creadaspara las imágenes lineales. Uno de ellos es el conocido problema de los rojos [17].

La teoría de estadística de datos direccionales es un amplio campo de estudio fuertemente desarro-llado. Trabajos como los de Mardia [8], para mencionar sólo uno de los más reconocidos, representanuna gran base para el trabajo con datos angulares. A partir de esto, varios filtros direccionales hansido definidos y aplicados principalmente para el procesamiento de imágenes satelitales, biomédicasy en imágenes a color. Su principal característica es el procesamiento independiente que realiza a lamagnitud y dirección de los vectores [16].

Algunos trabajos encaminados hacia el análisis de señales angulares, realizan estudios sobrefiltros angulares, principalmente la media y la mediana, y definen una serie de herramientas para eltratamiento de este tipo de datos. [10]. En el caso de imágenes este tipo de estudio se ha centradoen el desarrollo y caracterización de filtros y en la formulación de detectores de bordes, herramientasque surgen como consecuencia inmediata de la aplicación de las estadísticas.

Por otra parte, se han desarrollado de manera un poco independiente trabajos en búsqueda deuna extensión de la morfología matemática para el caso de imágenes a color [5], [17], [12]. Basándoseen la idea de circularidad, algunos de ellos plantean enfoques, que aunque novedosos y con buenosresultados visuales, presentan debilidades al no considerar completamente las características de estetipo de datos, por ejemplo, el insistir en la necesidad de establecer un punto de origen cuando elcírculo como tal, no lo tiene [12]. Una de las principales razones que ha dificultado innecesariamenteel trabajo en esta área ha sido la exigencia de establecer una relación de orden, punto clave en eldesarrollo de la morfología lineal (binaria o de grises)[6].

El trabajo en morfología desarrollado por Humbury y Serra [6] es tal vez el más cercano al enfoqueque se usa en este trabajo de grado. Sin embargo ha sido el propósito de ésta centrarse en el uso de lavariable angular, y por consiguiente estimar su potencial en el tratamiento de imágenes como variableaislada. Se espera que de forma posterior a este trabajo, los resultados obtenidos puedan integrarsejunto con los ya desarrollados en el caso lineal. En todo caso, al ceñirse a una variable circular, quees lo más cercano a cómo se entiende la percepcíón humana del color, se espera encontrar resultadosindependientementes del espacio de color usado. Aunque por practicidad se utiliza el HSV, el trabajoen ésta sólo se hace sobre el matiz, más aún, sobre su característica circular, de tal manera que losresultados puedan aprovecharse para futuros modelos (tal vez mejorados) que tengan en cuentatambién la característica circular [15].

1.2. Color como variable angular

1.3. Organización del DocumentoEl presente documento plantea en el primer capítulo una descripción de los datos angulares, así

como la definción de estadísticas que se podría pensar en aplicar a este tipo de datos. Posteriormentese plantea el desarrollo de herramientas para el tratamiento de las imágenes a color, planteandoalgoritmos tipo filtro y posibles alternativas para una morfología. Se comparan algunos resultados yfinalmente se concluye.

Capítulo 2

Datos y Estadísticas Angulares

El uso de datos angulares (o circulares) es de gran importancia en la ingeniería. Solo es necesariomencionar una de las herramientas más poderosas: el conjunto de las transformadas de Fourier. Alhablar de Fourier se hace indispensable referirnos al plano complejo y recordar que todo número eneste se puede caracterizar en términos de su magnitud y su fase. La magnitud toma valores en unrango lineal, la fase en un rango circular y ambas juegan un papel trascendente en el momento deanalizar señales y sistemas. Pese a esto, en muchas ocasiones es únicamente la magnitud la que setiene en cuenta.

Este ejemplo justifica el interés de encaminarse en el desarrollo de herramientas para tratar estetipo de datos. Sin embargo es el color el eje de la labor emprendida. Si consideramos al color, o másespecíficamente al matiz, como una variable angular, el estudio de los datos circulares cobra sentidoy se convierten en la base para el desarrollo de este trabajo.

2.1. Datos AngularesTodo dato que sea de tipo ángulo o dirección en R2 lo llamaremos dato angular y por conveniencia

diremos que estos ángulos viven en el intervalo [0, 2π) . Más formalmente, un dato angular es unpunto de S1. Y dado que este conjunto es orientable, a lo largo del texto nos referiremos a unaorientación positiva como aquella que va en contra de las manecillas del reloj (), negativa en casocontrario(). Una forma conveniente de referirnos a este conjunto de datos resulta de considerar ytrabajar con la representación compleja del ángulo [14].

Para un ángulo ϕ definimos su representación compleja como el número complejo y = ejϕ.De esta forma, S1 =

y ∈ C : y = ejϕ, para ϕ ∈ [0, 2π)

. En otras palabras, un ángulo representa

el argumento de un numero complejo de magnitud 1. Al número complejo 0 + j0 no se le defineel argumento, para el resto de casos y considerando que el rango de la función arcotangente seencuentra en el intervarlo[−π/2, π/2), tenemos que el argumento de un número complejo es

arg(z) =

arctan (Im (z)/Re (z)) si Re (z) > 0−π + arctan (Im (z)/Re (z)) si Re (z) < 0 con Im (z) > 0π + arctan (Im (z)/Re (z)) si Re (z) < 0 con Im (z) < 0π/2 si Re (z) = 0 con Im (z) > 03π/2 si Re (z) = 0 con Im (z) < 0

Se advierte al lector que en el documento se alternará entre los valores de radianes y grados para losángulos, según se crea conveniente.

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CAPÍTULO 2. DATOS Y ESTADÍSTICAS ANGULARES 5

2.2. Distancia y LongitudUna pareja de puntos θ1,θ2 en la circunferencia unitaria determinan dos arcos, o caminos, cuyas

longitudes vienen dadas por |θ1 − θ2|, y 2π − |θ1 − θ2|. Nos referiremos a la mínimo de éstas doscantidades como l1, y a su complemento como l2. La longitud de un arco puede tomar valores entre0 (el arco es un punto en S1) y 2π (el arco es todo el círculo).

La distancia entre dos ángulos es la longitud del camino más corto en S1 que une a sus respectivasrepresentaciones complejas (l1). Dos puntos en el círculo unitario pueden estar separados a lo sumopor un ángulo de π (cuando uno se encuentra diametral opuesto al otro), para un ángulo mayoro menor empiezan a acercase. Por otra parte, este par de datos determina dos arcos de la mismalongitud (l1=l2) sólo cuando se encuentran separados de forma máxima (ver figura 2.1 ).

Figura 2.1: Un par de puntos determina dos arcos,uno de menor longitud o distancia(rojo) que elotro (azul)

Para definir adecuadamente la distancia considere la función triángulo T : S1 −→ [0, π] (verfigura 2.2 ),

T (θ) =

θ si θ < π

2π − θ si θ ≥ π

Figura 2.2: Representación en el plano de la función T (función triángulo). Es una función crecientehasta π, punto en el que se hace decreciente

Definición 1. La distancia entre dos ángulos φ1,φ2, viene dada por d(φ1,φ2)=T (|φ1 − φ2|)

Lema 1. La definición 1 constituye una métrica para S1.

Demostración.(a) d(φ1, φ2) > 0 φ1 6= φ2, d(φ1, φ1) = 0.Para φ1 6= φ2, tenemos que |φ1 − φ2| 6= 0, y dado que T es no negativa y toma valores positivos ∀θ


t.q θ 6= 2π, entonces T (|φ1 − φ2|) > 0. Para φ1 = φ2 |φ1 − φ2| = 0 y por lo tanto T (|φ1 − φ2|) = 0.(b) d(φ1, φ2) = d(φ2, φ1).Dado que |φ1 − φ2| = |φ1 − φ2|, tenemos que T (|φ1 − φ2|) = T (|φ1 − φ2|)(c) d(φ1, φ2) ≤ d(φ1, φr) + d(φr, φ2).

Como primera media tenemos que d(φ1, φ2) = d(φ2 + θ, φ1 + θ), esto ya que la distancia entredos puntos es la longitud del arco de longitud menor (l1), entonces al rotar los puntos por un mismoángulo, la longitud del arco formado no se modifica.

Esto nos permite, rotar los dos puntos de tal forma que uno de los dos sea cero (que su represen-tación compleja sea 1 + 0j), y el otro pertenzca al intervalo [0, π). Esta situación siempre es posible,pues un arco es a lo sumo de longitud π, por lo que es posible rotar los puntos de tal forma que elarco menor entre ellos (l1) se encuentre sobre los dos primeros cuadrantes del plano complejo. Sinperder generalidad tomemos a φ1=0. Tenemos entonces que 0 = φ1 ≤ φ2 ≤ π

Sea φr un ángulo cualquiera.Suponga primero que su representación compleja se encuentra sobre el arco l1 φr está en este

arco. Y resulta que 0 = φ1 ≤ φr ≤ φ2 ≤ π, por lo tanto φ2 − φ1 ≤ π (en el orden lineal), y deesta forma, la distancia entre los dos es igual d(φ1, φ2) = T (|φ1 − φ2|) = |φ2 − φ1| = φ2 − φ1. Por loque tenemos que φ2 − φ1 = φ2 − φr + φr − φ1 = d(φ1, φr) + d(φr, φ2). Por lo tanto cumple con lacondición.

Si suponemos que φr no está en este arco Hay tres posibildades ver 2.4. La primera, que seencuentre en la región donde φr − φ2 ≤ π y φr − φ1 ≤ π, en cuyo caso tenemos d(φ1, φ2) =|φ1 − φ2| ≤ |φ1 − φr|+ |φ1 − φr| = T (|φ1 − φr|) + T (|φ1 − φr|) = d(φ1, φr) + d(φr, φ2).

La segunda, que se encuentre en la región φr − φ2 ≤ π y φr − φ1 ≥ π, en cuyo caso recordemosque d(φr, φ2) = φ2−φ1 = l1(φ1, φ2) ≤ l2(φ1, φ2) = φr−φ2 + l1(φr, φ1) (pues φr−φ1 ≥ π, lo queindica que el arco que no contiene a φ2 es el menor que une a φr con φ1). Y dado que l1(φr, φ1) =T (|φr − φ1|), tenemos que d(φr, φ2) ≤ T (|φr − φ2|) + T (|φr − φ1|) = φr − φ2 + T (|φr − φ1|).

Finalmente tenemos el caso en que φr − φ2 ≥ π y φr − φ1 ≥ π. Tenemos que l1(φr, φ2) =l1(φr, φ1)+l1(φ1, φ2) = l1(φr, φ2)+d(φ1, φ2), por lo tanto, d(φ1, φ2) ≤ l1(φr, φ2) = d(φr, φ2) ≤ d(φr, φ2)+d(φr, φ1) .

Figura 2.3: Para dos puntos (izquierda) visualización demostración propiedad del triángulo. Centro:φr Pertenece a l1 y Derecha: no pertenece

Una muestra de N datos es circularmente periódica si las distancias entre datos consecutivosforman una secuencia periódica al recorrer la circunferencia. Por lo tanto esta secuencia tiene períodoT, de tal forma que T|N y T≤ N/2. En la figura 2.5 se grafica en el plano complejo los datospertenecientes a una muestra circularmente periódica de doce datos. El diagrama superior de la figura2.6 indica éstos datos, mientras que en la ifierior, se listan las distancias, en forma numéricamenteprecisa, entre ángulos consecutivos.


Figura 2.4: Si φr no pertenece a l1. Los tres casos mencioandos, de izquierda a derecha.

Figura 2.5: Muestra de datos angulares circularmente periódica.

Figura 2.6: Diagrama de los datos pertenecientes a la muestra de la figura 2.5. La parte inferiormuestra las distancias entre ángulos consecutivos donde se aprecia la secuencia periódica que forma.


2.3. Estadísticas de Ubicación

2.3.1. Media Angular

Dada una muestra de N datos ϕ1,...,ϕN y su representación compleja correspondiente ejϕ1 ,...,eϕn .Nos referiremos de ahora en adelante a Z como la suma compleja de la muestra, que viene dadapor

Z =N∑i=1

ejϕi

La siguiente es la definición de promedio angular que adoptaremos y que es la típicamente usada[10],

Definición 2. El promedio (media) angular de una muestra de N datos ϕ1,...,ϕN es el argu-mento de su suma compleja, es decir, el promedio angular es arg (Z).

De igual forma nos referiremos a Φ como la suma angular de la muestra, que viene dada por

Φ =

(N∑i=1

ϕ

)mod2π

Nos referiremos a PΦ como el promedio lineal de los ángulos, es decir

PΦ = Φ/N

Z es un número complejo, mientras Φ es un ángulo. Claramente tanto arg (Z) como PΦ sonestadísticas de ubicación, pues indican un ángulo al rededor del cual los datos de la muestra seencuentran localizados. Aunque pueda pensarse en una relación entre éstas dos cantidades, lo ciertoes que arg(Z)6=PΦ, como se establece en el siguiente ejemplo.

Para el par de puntos 3π/4 y 5π/4 tenemos que 3π/4 + 5π/4 = 2π ≡ 0 mod2π, por lo quePΦ = Φ = 0. Mientras que al realizar la suma compleja (ver2.7) el número complejo resultantetiene fase π. Por medio del anterior ejemplo, vemos que si bien PΦ genera un ángulo de acuerdoa la muestra dada, especíicamente de la ubicación de sus ángulos, éste no es un buen indicador dela localización de la muestra, como sí lo es arg (Z), que geométricamente, y para el caso tratado,resulta ser ángulo de la bisectriz del ángulo central debido a los dos puntos de la muestra.

Figura 2.7: Representación de la suma compleja ej3π/4 + ej3π/4. El complejo resultante posee faseπ. Mientras que PΦ es cero (dato en rojo).


Como nota adicional, alguna persona podría argumentar que si se define P ′Φ =(

1N

∑Ni=1 ϕ

)mod2π,

los resultados de P ′Φ y arg (Z) coinciden para las condiciones del ejemplo anterior. Sin embargo alconsiderar ahora la muestra conformada por π/4 y 7π/4 (ver2.8), un resultado análogo al anteriores obtenido.

Figura 2.8: Representación de la suma compleja ej7π/4 + ej5π/4. El complejo resultante posee fasecero. Mientras que PΦ es π (dato en rojo).

Los ejercicios anteriores son evidencias de que el pretender usar literalmente, para el caso angu-lar, los conceptos establecidos para el caso de valores lineales (hecho representado por PΦ y P ′Φ) ,puede dar resultados poco consistentes con la muestra dada, de allí la importancia de establecer laestadística del promedio empleando netamente conceptos circulares.

Características de la Media Angular

a. Muestras especialesUnamuestra equiespaciada es aquella para la cual las distancias entre datos consecutivos es cons-tante. Otra forma de verlo es decir que es una muestra cuyos datos (para más de dos datos) son losvértices de algún polinomio regular inscrito en la circunferencia (ver 2.9 ). Si la muestra está cons-tituida por un único ángulo diremos que es trivialmente equiespaciada. Una muestra equiespaciadaes por lo tanto circularmente periódica también.

Para una muestra equiespaciada no trivial el promedio no es definido, pues claramente Z=0. Másgeneralmente tenemos que para toda muestra de datos cuya suma compleja sea cero no se le definePromedio Angular.

Figura 2.9: Muestra de datos que se distribuyen de acuerdo a un hexágono regular. La media noestá definida para esta muestra.

b. Distribución de Von Mises Por otra parte, la media circular resulta ser el estimador demáxima verosimilitud para la Distribución de Von-Mises [8]. La distribución viene dada por


f (θ) =1

2π I0(κ)eκ cos(θ−α)

Donde I0 es la función de bessel de orden cero y su rol es básicamente normalizar la función.Ladistribución está centrada en α, ángulo donde alcanza el valor máximo (ver figura), y el parámetro κdetermina la concentración de la distribución, es decir, juega el papel de varianza de la distribucióngausiana en el caso linal (ver figura 2.10 ). De hecho, la distribución de Von Mises pude pensarsecomo la análoga a la gaussina, donde el promedio es el estimador de máxima verosimilitud.

Figura 2.10: Representación e interpretación de la función de Von Mises, se encuentra centradaen α, cuando el coseno toma valor 1. κ juega el papel de varianza o qué tan concentrada está ladistribución.

2.3.2. Mediana CircularDe igual forma que con el promedio, se busca definir una estadística cuyo comportamiento sea

análogo a la mediana lineal. Este es un problema mayor, pues como ya se mencionó, S1 no puedeser ordenado linealmente y la mediana lineal implica un ordenamiento de los datos. No existe razónalguna por la cual decidir qué ángulo es mayor que cuál. Simplemente piense en dos puntos sobreel círculo con fase π/4, 7π/4, claramente π/4 < 7π/4 en el órden lineal. Ahora rótelos 3π/4 (que essumar este valor a las fases). Los nuevos puntos tiene fase π, π/2 respectivamente sin embargo elorden de los puntos se intercambió.

Existen diversas definiciones de mediana. Una de ellas es la debida a [8]

La mediana direccional de una muestra de N datos ϕ1,...,ϕN , es cualquier ángulo φ tales que (1) lamitad de los puntos se encuentren en el arco [ϕ,ϕ+ π) y (2). La mayoría de los datos se encuentranmás cerca a ϕ que a ϕ+ π.

En esta sección se pretende definir una mediana, para ello se introduce el concepto de brechay se plantea un proceso de búsqueda que ha sido denominado proceso de reducción. Se mostrarámás adelante que la versión desarrollada en este trabajo presenta ciertas ventajas sobre acabada demostrar.

Definición 3. Una brecha para una muestra angular es un arco de longitud máxima que puede serhallado de tal forma que ningún dato de la muestra se sitúe en él

Por consiguiente, cada brecha se encuentra determinada, por dos ángulos consecutivos pertene-cientes a la muestra. En general, para una muestra de ángulos puede existir múltiples brechas, sin


embargo es claro que todas ellas tienen la misma longitud (es única), y por lo tanto, sin lugar aambigüedades, a ésta longitud la denominaremos Λ. Aquella muestra que posea una única brechale otorgaremos el nombre de muestra simple (ver 2.11). Por otra parte, es evidente que si unamuestra de N ángulos tiene N brechas, la muestra es equiespaciada (ver 2.9 ).

Figura 2.11: El arco resaltado en rojo es la Brecha para esta muestra simple de ángulos. Su longitudes Λ

Proceso de Reducción

a. Proceso de reducción para una muestra simple de datos En este caso, retire la Brechadel círculo unitario. El arco que queda contiene los datos de la muestra y es ahora un conjuntolinealmente ordenable. Halle la mediana de este conjunto. Este ángulo será llamado la muestrareducida. El ángulo hallado pertence a la muestra, si es que ésta tiene un número impar de datos.En caso contrario, se tomará el promedio circular de los datos más centrales.

Figura 2.12: Proceso de reducción para una muestra simple de datos. Izquierda, muestra simpleoriginal; centro mediana hallada al conjunto linealmente ordenable; derecha, muestra resultante.

b. Proceso de reducción para una muestra no simple de datos En caso de no ser simple,tenemos que la muestra tiene más de una brecha. Por cada brecha se realizará el proceso de reduccióndefinido anteriormente para una muestra simple. La muestra cuyos datos son las medianas halladasde esta forma, será denominada la muestra reducida de la muestra original.

Claramente el número de elementos en la muestra reducida es igual al número de brechas. Deahora en adelante toda muestra con un número impar de ángulos la llamaremos muestra impar, delo contrario será una muestra par.


Figura 2.13: Proceso de reducción para una muestra no simple de datos. Izquierda arriba, muestrano simple original; derecha arriba medianas halladas por brecha; abajo muestra resultante.

Si una muestra de ángulos determinada pudiera ser reducida a un solo dato (aplicando el procesodefinido de forma reiterativa) este nos serviría de referencia como ’dato central’ y podríamos llamarlola mediana del conjunto. Nos interesa por lo tanto saber ahora los casos particulares en los que unconjunto no puede ser reducido a un solo dato, y esto ocurre si durante el proceso de reducción unade las muestras es irreducible.

Definición 4. Una muestra de ángulos es irreducible si al aplicar el proceso de reducción el númerode ángulos de la muestra reducida es igual al de la muestra original.

Si la muestra es impar, ser irreducible equivale a decir que su muestra reducida es la mismaoriginal.

Lema 2. Una muestra de N datos es irreducible ⇔ es una muestra equiespaciada en el círculo.

Demostración.⇒ Suponga la muestra equiespaciada de N datos. Por lo tanto todas las distancias entre ángulosconsecutivos son iguales y de esta forma el arco formado entre ellos tiene longitud máxima (la únicalongitud) y por lo tanto hay N brechas. Se halla el dato reducido para cada una de las N brechas.

Si la muestra es par, tome una brecha cualquiera. Hallamos los dos datos más centrales, roté-moslos siguiendo una orientación positiva con el ángulo necesario, de tal forma que uno de ellos seencuentre en el número complejo 1 (ángulo cero). Hallamos el promedio circular correspondiente, alque llamaremos ϕ0. Podemos rotar el promedio hallado con el mismo ángulo y siguiendo la orienta-ción negativa, lo que nos resulta el promedio circular buscado. Ahora, para cada una de las brechas,es posible rotar los puntos en dirección positiva de tal forma que se logre la condión mencionada, ydado que entre cada par la longitud es constante, el promedio ϕ0 resulta ser el mismo para todos.Puesto que ningún dato se repite, la rotación requerida para cada caso es única, y de esta manera, elpromedio buscado en cada brecha es único. Por lo tanto al reducir la mustra de N ángulos, se hallauna muestra de de N ángulos distintos, y en conclusión es irreducible.

Ahora, si la muestra fuese impar, para cada uno de los conjuntos linealmente ordenables generadospor la sustracción de las brechas, sólo es requierido hallar el dato (N+1)/2 a partir de cualquiera delos extremos de dicho conjunto. Como ningún dato se repite (pues es equiespaciado), por cada pareja


de extremos el dato hallado es único. y como hay N brechas, cada una de ellas determina un datoreducido diferente. En conclusión hay N datos reducidos y por lo tanto es una muestra irreducible⇐ Suponga la muestra irreducible. Si no fuese equiespaciada, hay al menos una pareja de datoscuya distancia no alcanza el máximo. Por lo tanto la muestra reducida debe tener un número menorde datos que la muestra original y por lo tanto sería reducible. En conclusión esta muestra esequiespaciada.

La conclusión del lema es que es posible aplicar el proceso de reducción una y otra vez, paraencontrar un dato al que podamos catalogar de ‘central’, y tener un criterio de parada . Este criterioes claramente llegar a una muestra irreducible, que es equiespaciada, trivialmente o no. Esto motivala siguiente definición

Definición 5. Para una muestra de angular se aplica el proceso de reducción de forma reiterativahasta llegar a una muestra irreducible. Si la muestra resultante es trivialmente equiespaciada, diremosque es la mediana angular de la muestra. En caso contrario, diremos que la muestra no tienemediana.

Caracteriación de la Mediana angularLa pregunta se torna ahora en encontrar los puntos que no tienen mediana angular, que es por

definición, encontrar qué muestras tienen como muestra reducida una equiespaciada. El ejemploobvio resulta del lema 2 donde se concluye que los datos equiespaciadados tienen muestra reducidaequiespaciada. Un hecho intuitivo y que se confirma en el transcurso del trabajo, es que la distribuciónde los datos debe cumplir ciertas propiedades en cuanto a dónde deben estar ubicados y de qué forma.En el caso del promedio, la caracterización se basaba netamente en la propiedad dónde, y la respuestaes, de tal forma que Z = 0 + j0. En este caso, ciertos puntos determinados deben estar localizadosa cierta distancia uno del otro, pero además es relevante el número de elementos que los separa.

El análisis realizado separó los casos de muestras con número par e impar de datos. En el casolineal, la mediana de una muestra par tiene múltiples soluciones. El consenso general ha sido entomar el promedio entre los dos datos más cercanos. Para nuestro caso nos limitaremos, por ahora,en decir que en tal caso la mediana lineal no existe y por lo tanto no es posible reducir una muestrapar de datos. Por lo tanto se considerarán únicamente muestras con un número impar de datos. Deesta forma asumiremos que toda muestra par de datos no se pude reducir. La idea es posteriormenteavanzar el análisis hacia las muestras con número par de datos, pues es claro que es posible queuna muestra de número impar de datos sea reducida a una con un número par. Por éste motivo sehan divido las muestras impares en dos tipos, que se explicarán a continuación, las muestras α y lasmuestras β

Muestras-α

En esta sección se trabajará únicamente con muestras que posean un número impar de ángulosy que tengan un número impar de brechas. A estas muestras las denominaremos muestras α. ElProceso de reducción-α consiste por lo tanto en reducir únicamente muestras α, en cualquier otrocaso no serán tenidas en cuenta y se dirá que son irreducibles en forma α. La idea será determinarlas condiciones para las cuales una muestra α tiene como muestra reducida una equiespaciada notrivial.

Para la muestra periódica 0, 2π/9, π/3, 2π/3, 4π/9, π, 4π/3, 14π/9, 5π/3 , que por comodidad larepresentaremos en grados, es decir 0, 40, 60, 120, 160, 180, 240, 280, 300. Esta muestra resulta de los


vértices de un triángulo y un hexágono regulares inscritos en el círculo (ver figura 2.14 ). Su muestrareducida resulta ser equiespaciada y dada por 40, 160, 280.

Figura 2.14: Muestra periódica. Arriba izqueirda se resalte en rojo las distancias máximas. Arriba ala derecha, los puntos hallados por cada arco máximo. Abajo La muestra resultante del proceso dereducción.

El diagrama 2.15 muestra algunas de las propiedades que satisfacen esta muestra. En la primerafila se listan los datos correspondientes. Se hallan las distancias entre datos consecutivos, que sonmostradas el siguiente renglón. Las distancias correspondiente a las brechas (Λ) son resaltadas, ypara para cada uno de ellas se halla la mediana lineal de acuerdo al proceso de reducción (mostradacon una flecha roja, análogamente a como se hace en la figura 2.14 ). Estas constituyen la muestrareducida (mostrada en el último renglón). Cada una de las medianas se convierte en uno de loslímites de los cajones resaltados. De ahora en adelante nos referiremos al conjunto de arcos entre cadamedianas consecutivas como un cajón, y al conjunto de cajones determinados como los cajonesde la muestra. El valor de un cajón se define como la suma de los arcos (distancias) contenidos enél.

Como primera medida es claro que hay tantos cajones como número de datos de la muestrareducida, o que es igual, al número de brechas en la muestra original. En el ejemplo se observa quehay 3 cajones cada uno de ellos constituidos por 3 arcos. Además, cada cajón tiene un valor iguala 120 grados. En otras palabras, las medianas, que son puntos de la muestra, están separadas poruna distancia constante de 120, pero además entre ellas se hallan dos datos.

Vemos ahora importante considerarar como parámetros de una muestra el número de elementosque separan a cada mediana, y la distancia entre ellas. Mejor aún, consideremos la pregunta: Si elnúmero de medianas me determina los cajones, ¿cuántos elementos deben haber en él, cuál es suvalor?

Se Definen a continuación una serie de parámetros útiles para clasificar las muestras α

Definición 6. Para una muestra α de N datos con g brechas se define los parámetros n,m,p,q dela siguiente forman = bN/gcm = 0, p = 0, q = g si g|Nm = n+ 1, q = g∗m−N

m−n = g ∗m−N, p = g − q en caso contario

Lema 3. Para una muestra α de N datos con g brechas, los parámtros n,m,p,q definidos en 6cumplen con las ecuaciones nq +mp = N y p+ q = g.


Figura 2.15: Representación del proceso para hallar la muestra reducida de la figura 2.14. Cadarenglón muestran los datos, las distancias y la muestra reducida, respectivamente. En el primerrenglón el primer dato de derecha a izquierda es el mismo que el final, se coloca para cerrar el círculoy hallar la distancia

El lema anterior cuya demostración resulta al reemplazar los valores, tiene que ver mucho con ladistribución de los datos y la forma. Si g|N , implica que es posible crear q = g cajones, y a cada unopuedo asignarle n = N/g elementos. Si no, hay dos grupos de datos o dos tipos de cajones; el primertipo agrupará n arcos y habrá q cajones de ellos. El segundo agrupa m arcos y habrá p cajones deéstos.

Que hayan dos tipos de cajones y que la diferencia entre el número de arcos contenidos en ellossea de uno, es una condición que podemos llamar de simetría, es una forma de distribuir de la formamás uniform posible los datos sobre la circunferencia.

En el ejemplo precedente, N = 9, g = 3, como 3|9, m = 0, p = 0, q = g = 3 y claramenteN = nq +mp = 3 ∗ 3 = 9 y 0 + 3 = 3 = g. En palabras, hay tres cajones de un sólo tipo, y en cadauno hay tres arcos.

Definición 7. Suponga una muestra α de N datos que tiene un número g de distancias máximases una muestra γ si cumple con las siguientes condiciones (las condiciones γ) :1. Hay g cajones determinados por las medianas, de los cuales q de ellos tienen n arcos y los prestantes m arcos.2. Hay un arco máximo en cada cajón.3. El valor de cada cajón es 2π/g.

El ejemplo de la figura 2.14 cumple con las condiciones definidas. Más aún, se puede mostrarfácilmente que toda muestra α periódica es una muestra γ.

La condición 3 es una condición de dónde debene estar ciertos ángulos de la muestra ( en estecaso, las medianas halladas, que pertenecen a la muestra origianl) y las otras dos de cómo, que esequivalente a cuántos datos las separan.

Por otra parte, dado que el número de medianas depende del número de brechas, cunmplir conlas condiciones 1 y 2, implica que si se crean cajones limitados por la posición de las brechas, encada uno hay una brecha (pues así se construyeron), y que las g brechas se encuentran distribuidasde la siguiente forma: q brechas se encuentran separados de otra brecha por n − 1 arcos. Las otrasp brechas, se encuentran separados de otra brecha por m− 1 arcos (ver figura 2.16 ).

Lema 4. Toda muestra γ tiene como muestra reducida una muestra equiespaciada.

Demostración.Suponga una muestra Λ de N datos que tiene un número impar g de distancias máximas. Tenemospor lo tanto que su muestra reducida tendrá g datos. Si g = N , significa que la muestra original era


Figura 2.16: Ejemplo de la equivalencia de la condición 1 entre los cajones formados por la mediana(arriba azul) y los limitados por el arco máximo (abajo verde). Este es un ejemplo de la figura 2.15.

equiespaciada y por lo tanto su reducción conduce a la misma muestra. Suponga g < N . Que lasdistancias se separen como se menciona en la primera condición implica que el conjunto de medianashalladas, o los datos de muestra reducida también están separadas así. como nq+mp = N al menosq 6= 0, por lo que no se repiten los datos. Esto implica que los cajones formados por las mediana (oel arco entre dos consecutivas es constante e igual a 2π/g por lo que es una muestra equiespaciadaproveniente de los vértices de un polígono regular de g lados.

Las figuras 2.17 y 2.18 muestra otro ejemplo de una muestra γ. En este caso la muestra no esequiespaciada ni periódica.

Figura 2.17: Ejemplo de una muestra γ. Su muestra reducida es una muestra equiespaciada

Conjetura 1. Toda muestra α equiespaciada es la reducción de una no equiespaciada γ.

La justificación de esta conjetura se basa en el hecho que es posible plantear un procedimientopara construir una muestra γ de N ángulos a partir de una muestra equiespaciada de g elementos.Y este procedimiento ha sido la base de la construcción de los ejemplos anteriores y la motivaciónde las definciones dadas.

Procedimiento de construcción muestras γ Suponga una muestra α equiespaciada de g datos.0. Escoja N impar N ≥ g.

1. Halle los parámetros m,n,p,q asociados.2. Defina Θ = 2π/g.


Figura 2.18: Ejemplo de una muestra γ. Proceso de Reducción. Representación por Cajones

3. Si g|N defina φmin = Θ/n, de lo contrario, φmin = Θ/min(n,m). Este valor nos indica el valormínimo que debe tener el arco distancia máxima.Ahora construiremos el diagrama de cajones, para ello.4. Fije las g brechas (aunque conocemos límite no les hemos dado valor), de tal forma que cumplancon la condición γ.Es decir q parejas de brechas, se encuentren separados por n− 1 arcos, las otrasp parejas de brechas por m− 1 arcos.5. De acuerdo a esto se localiza las medianas correspondientes y dibuje los cajones.6. Si uno de los cajones no tiene brecha, vuelva al paso 4, distribuya de nuevo las brechas y repitael procedimiento. Cuando halle una distribución adecuada pase a 7.7. Fije el valor del arco máximo Λ de tal forma que Λ > φmin. En cada cajón determine el resto devalores de tal forma que el valor del cajón sea Θ y además no sea mayor a Λ.

Ya finalizado el proceso, la muestra cumple con la condición γ. Sin embargo la duda radica en laconvergencia de este procedimiento. ¿Siempre habrá una forma de distribuir los arcos de tal formaque en los cajones quede siempre una brecha?. Aún no se ha llegado a una demostración, pero dadala experiencia brindada en el desarrollo del trabajo, la respuesta es al parecer afirmativa, y es labase para plantear la conjetura 1. Lo único que se puede demostrar fácilmente es que toda muestradesarrollada por el procedimiento anterior es γ.

Ejemplo de construcción 1Como ejemplo supongamos que tenemos una muestra equiespaciada de 5 datos. Es decir, tenemoslos vértices de un pentágono inscrito. No nos interesa los valores exactos de donde están ubicados,el procedimiento es el mismo y sólo se requiere rotar los datos para ajustarse a un caso particular.Queremos que provenga (sea la reducción) de una muestra γ de N=11 datos. Tenemos que g=5, quees número de datos reducidos o el número de medianas hallada o el número de distancias máximas.Apliquemos el procedimiento (trabajemos con notación de grados por comodidad)0. N = 11 g = 51. Parámetros n=2 m=3 q=4 p=12. Θ = 360/5 = 723. φmin = 72/min(2, 3) = 364. Las brechas han sido resaltadas. Ver figura 2.19 literal (a).5. Ver figura 2.19 literal (b) Las medianas se localizan por la flechas rojas (hacia abajo).7. Λ = 40. En los cajoes donde hay 2 datos el resto de valores es Θ − Λ = 32. En los cajoes dondehay 3 datos el resto de valores es (Θ− Λ)/2 = 16. Ver figura 2.19 literal (c).

Ya hemos hallado cómo deben estar localizados los datos. Para visualizar el plano, tomemos comocaso particular que el primer ánulo es cero Ver figura literal 2.19 (d) y su representación en el planoComplejo en la figuara 2.20.

Ejemplo de construcción 2


Figura 2.19: Diagrama del proceso de construcción de una muestra γ

Figura 2.20: Ejemplo de una muestra γ, construida a partir de una muestra equiespaciada (en estecaso vértices de un pentágono.


Con la misma muestra equiespaciada de 5 datos queremos que ahora provenga ( que sea la reducción)de una muestra γ de N = 7 datos. Tenemos que g = 5, que es número de datos reducidos o el númerode medianas hallada o el número de distancias máximas. Apliquemos el procedimiento (trabajemoscon notación de grados por comodidad) 0. N=7 g=51. Parámetros n=1 m=2 q=3 p=22. Θ = 360/5 = 723. φmin = 72/min(1, 2) = 724. Las brechas han sido resaltadas. Ver figura 2.21 literal (a).5. Ver figura 2.21 literal (b). Las medianas se localizan por la flechas rojas (hacia abajo).7. Λ = 72. Dado que hay cajones con un dato, el máximo, la ùnica alternativa es que tome el valorde φmin = 72. En los cajones donde hay 2 datos el otro arco es Θ − Λ = 0. Ver figura 2.21 literal(c).

Ya hemos hallado cómo deben estar localizados los datos. Para visualizar el plano, tomemoscomo caso particular que el primer ángulo es cero Ver figura literal 2.21 (d) y su representación enel plano Complejo en la figuara 2.22.

Figura 2.21: Diagrama del proceso de construcción de una muestra γ

Figura 2.22: Ejemplo de una muestra γ, construida a partir de una muestra equiespaciada (en estecaso vértices de un pentágono.

Si toda aquella muestra α con muestra reducida equiespaciada cumpliera con la condición γ, ten-dríamos caracterizado completamente este proceso y podríamos definir adecuadamente la mediana.Hasta el momento tenemos una dirección.


Conjetura 2. Una muestra α de ángulos es reducida a una muestra equiespaciada no trivial ⇔ esuna muestra γ.

Muestras-β

Muestras con un número impar de datos y con un número par brechas serán denominadas mues-tras β. De forma similar al caso α, el Proceso de reducción-β consiste por lo tanto en reducirúnicamente muestras β, en cualquier otro caso no serán tenidas en cuenta y se dirá que son irredu-cibles en forma β. La idea es ahora tratar de determinar las condiciones para las cuales una muestraβ tiene como muestra reducida una equiespaciada no trivial.

El hecho que halla número par de brechas En este orden de ideas la condición γ se ve alteradaligeramente.

Definición 8. Suponga una muestra β de N datos que tiene un número g de brechas es unamuestraζ si cumple con las siguientes condiciones (las condiciones ζ) :1. Hay g cajones determinados por las medianas, de los cuales q de ellos tienen n arcos y los prestantes m arcos.

2. Los valores de los cajones determinan una secuencia periódica de período menor o iguala g/2.

Al parecer es una generalización del caso anterior, dado que la condición 3 de la definición 7 cumpleplenamente con lo establecido para la anterior definición. Es más podemos plantear la siguienteconjetura análoga a la 1

Conjetura 3. Toda muestra equiespaciada con un número par es la reducción de una muestra ζ

Esto, dado que el procedimiento planteado en la sección anterior funciona también para estecaso. De hecho la condición 6 para este caso se hace innecesaria.

Ejemplo de construcción Muestra ζSupongamos una muestra equiespaciada de 4 datos, queremos que se la muestra reducida de unamuestra ζ de N = 15 datos. Tenemos que g = 4, que es número de datos reducidos o el número demedianas hallada o el número de distancias máximas. Apliquemos el procedimiento (trabajemos connotación de grados por comodidad)0. N = 15 g = 41. Parámetros n = 3 m = 4 q = 1 p = 32. Θ = 360/4 = 903. φmin = 90/min(3, 4) = 304. Los arcos han sido resaltados. Ver figura 2.23 primer renglón.5. Ver figura 2.23 segundo renglón.7. Ω = 35. Para el cajón sin brecha máxima, el valor de los arcos restantes es Θ/3 = 30 (por estemotivo se escogió adecuadamente Ω. Para el caso de los cajones con dos brechas y 4 datos, el restode arcos toma el valor de (Θ − 2 ∗ Ω)/2 = 10. Para el resto de cajones, hay un máximo y 4 da-tos, por lo que el resto de arcos toma el valor de (Θ−Ω)/3 = 18.33. Ver figura 2.23 segundo renglón.

Ya hemos hallado cómo deben estar localizados los datos. Para visualizar el plano, tomemos comocaso particular que el primer ángulo es cero Ver figura 2.23 cuarto renglón. En la mencionada figura,segundo renglón se resalta un hecho importante, que cada cajón tiene como valor Θ = 90. Este esun hecho importante pues que sea constante garantiza que la muestra reducida sea equiespaciada.Se resalta también que efectivamente no fue necesario que en cada cajón se estableciera una brecha.


Figura 2.23: Ejemplo de una muestra ζ a partir de una muestra equiespacida de 4 datos. El valorenmarcado en línea punteda representa el valor del cajón

Pero la razón para considerar este caso aparte de las muestras α se fundamenta en que al permitírselea los valores de cajones formar una secuencia circularmente periódica (en el caso α es imposible queesto pase) las medianas de este conjunto no siempre resultan ser una muestra equiespaciada, comoen el caso anterior.

Para observarlo, modifiquemos para ejemplo anterior el valor de los cajones. Queremos que seauna secuencia de valores 80-100-80-100. Para el cajón sin brecha máxima, el valor del resto de arcoses 80/3 = 26.6. Para el caso de los cajones con dos brechas y 4 datos, el resto de arcos toma el valorde (80 − 2 ∗ Ω)/2 = 5. Para el resto de cajones, hay un máximo y 4 datos, por lo que el resto dearcos toma el valor de (100− Ω)/3 = 21.6. Ver figura 2.24.

Figura 2.24: Ejemplo de una muestra ζ cuya muestra reducida es periódica de 4 datos. El valorenmarcado en línea punteda representa el valor del cajón.

Conjetura 4. Para una muestra ζ su muestra reducida es periódica.

La muestra reducida de una muestra periódica es periódica. Si el número de brechas es igual alperíodo, entonces la redución resuta ser equiespaciada. Es decir, si a la mustra le vlvemos a aplicarel proceso de reducción llegaríamos al final a una muestra irreducible no trivial.

Todo este proceso ha servido para plantear la siguiente conjetura, que de cierta forma agrupa losresultados mostrados:

Conjetura 5. Toda muestra equiespaciada es la reducción de una muestra impar.

Para el caso de las muestras α las conjeturas, fundamentadas desde luego, caracterizan el sub-conjunto de estas para las cuales no hay mediana (su muestra reducida es equiespaciada). Para el


caso de las β, se planteraron una serie de variaciones en las condiciones. Anque todas han sido hastaahora conjeturas, se visualiza una posible demostracíón y se concluye la necesidad de establecer unacondición que agrupe a todos los casos.

Para el caso de muestras con número par de ángulos no fueron tratados en fondo, pero estáníntimanente relacionadas con las muestras β, ya que son muestras reducidas de éstas últimas. Porlo tanto se piensa que el trabajo para caracterizar la mediana consiste en demostrara las conjeturasy profundizar en el caso β.

Relación entre la Media y la Mediana Angular

Ejemplo de muestra con media y mediana angular Este es sencillo, tome el ejemplo de la figura2.11. La mediana existe y claramente la media angular no es cero, pues todos los complejos tienenuna dirección cuando la fase está entre 3π/2y2π.

Ejemplo de muestra con media y sin mediana angular

Este caso no es tan obvio, aunque ya hemos dado varios ejemplos. La muestra de la figura tienecomo media un ángulo de 295.32 grados. Sin embaro es una muestra λ y por lo tanto no tienemediana.

Figura 2.25: Ejemplo de una muestra con media, pero con mediana angular.

Ejemplo de muestra sin media y con mediana angular

Inscribamos un hexágono y un pentágono regulares en el círculo. Por cada vértice coloquemosun dato. Dado que la media es lineal, y para polígonos regulares no hay media, para la muestradefinida de esta forma (que es una equiespaciada como se pude observar) tampoco la hay. Pero conel dibujo es claro que hay una sola brecha y por lo tanto es una muestra reducible a un dato, que esla mediana de la muestra (ver figura 2.26 ).

Ejemplo de muestra sin media y sin mediana angular Tome por ejemplo el hexágono de la figura 2.9


Figura 2.26: Ejemplo de una muestra con media, pero con mediana angular.

2.4. Estadísticas de DispersiónDefinición 9. La concentración para una muestra angular de N datos es C = |Z|/N

De esta forma la mínima concentración para una muestra es cero, y ocurre siempre y cuandoZ=0. Lo que indica que los datos se encuentran distribuidos a lo largo del círculo unitario de manerauniforme y no existe un único subconjunto de S1 en el que se pueda decir agrupa la mayor cantidadde datos. Ejemplo de este caso son las muestras equiespaciadas. Por otra parte, la concentraciónmáxima se logra cuando |Z| alcanza su valor máximo. Dado que Z es una suma de valores complejos,la magnitud de la suma será máxima cuando todos los datos se encuentren en la misma dirección, ydado que todos son unitarios, la magnitud máxima viene dada por el número de datos presentes N(ver figura 2.27 ). En conclusión, para una muestra donde todos los ángulos son los mismos, que escuando se presenta la mayor concentración, pues todos se agrupan en un punto.

Figura 2.27: A la derecha se encuentran localizados en el mismo punto (concentración máxima). Encualquier otro caso, |Z| será menor a N (izquierda). Λ

Definición 10. Para una muestra angular de N, el rango se define como ρ = 2π − l(B). Se defineademás ρ′ = 2π − max(di,j). Donde max(di,j) es la distancia máxima hallada para los ángulosconsecutivos de la muestra

Para una muestra simple, todos sus datos se encuentran ubicados en un arco de S1, cuya lalongitud es el complemento de la l(B). Si la distribución de los datos puede enmarcarse en un arcocorto (datos concentrados) el rango de los datos ρ es pequeño. De esta forma ρ es una estadística dedispersión y toma valores entre 0 (rango mínimo) y 2/pi (rango mínimo). De aquí pude deducirseacertadamente que la longitud del Brecha es además una medida de la concentración de los datos.


Por otra parte ρ′ trabaja con la distancia máxima entre los puntos y dado que esta toma valoresentre o y π, ρ′ toma valores entre π y 2π. ρ′=ρ cuando la longitud de la Brecha sea π. Cabe anotarque ρ′ = π − T (Λ)

Finalmente se tiene que aunque no defina un orden en S1, para una muestra simple de datos esposible establecer para sus datos una diferenciación gracias a la orientabilidad de S1.

Considere una muestra simple de ángulos, tome el par de puntos asociados a la brecha, es decir,aquiella pareja de puntos para la cual uno de los arcos que los une tiene longitud máxima (λ). Alsustraer la brecha, los datos de la muestran se encuentran sobre uno de los dos arcos remanente. Ala pareja de datos mencionados les denominaremos los extremos de la muestra.

Definición 11. Dada una muestra simple sustraiga la brecha y determine sus puntos extremos.Situándose sobre el arco remanente, aquel punto que se encuentre en el extremo del arco siguiendola orientación negativa () se le denominará el inicio de la muestra. Aquel que se encuentre con laorientación positiva () se le denominará el fin de la muestra.

Por razones claras, si la muestra no es simple no tiene sentido establecer esta diferenciación.

Figura 2.28: Representación de los datos inicio y fin para una muestra simple de datos.

2.5. El Matiz como datos angularComo ya se ha mencionado ampliamente el matiz es una variable angular. Por lo tanto resulta

acertado pensar en aplicar todos los conceptos desarrollados en el presente capítulo. De ahora enadelante, tomaremos la figura 2.29 como referencia para el caso del color. En esta ésta representacion,el rojo se codifica con el ángulo 0, el amarillo con π/2, el verde π, el azul 3π/2.


Figura 2.29: Codificación del matiz como variable angular.

Capítulo 3

Herramientas tipo filtro

Las estadísticas definidas en el capítulo 2 representan la base para el desarrollo de una serie deherramientas para tratar variables angulares. Y al ser el matiz de una imagen una variable angular,dichas herramientas pueden ser aplicadas sobre ésta variable, y así, ser utilizadas para el tratamientode imágenes a color.

Las herramientas planteadas, que se aplican exclusivamente sobre el matiz, se han dividido con-venientemente en dos tipos: de filtro y morfología. En este capítulo nos centraremos en la primerade ellas, que se refiere a todas las herramientas que resultan de aplicar directamente las definicionessobre las imágenes. Por sus características, que detallaremos posteriormente, serán catalogadas comoherramientas tipo filtro.

3.1. Estadísticas en el círculo de colorSe consideran las versiones móviles de las estadísticas definidas en el capítulo 2. Para la visua-

lización de los resultados se usan ventanas de 3x3. En caso de no definirse la estadística, la salidacorresponderá al valor del pixel central.

En el caso de la mediana circular, ésta se aplicará usando el proceso de reducción α, cuyo diagramade proceso se detalla en la figura 3.1. Este proceso, como se había anotado, evita la aparición devalores intermedios, que surgen al aplicar el promedio angular.

Figura 3.1: Diagrama para el Proceso de reducción α

26

CAPÍTULO 3. HERRAMIENTAS TIPO FILTRO 27

A continuación se introducen ejemplos sencillos sobre el papel de las estadísticas y su interpre-tación en el caso del color.

Supongamos una muestra de 5 datos: rojo, naranja, verde, lima y amarillo. Su representaciónen el círculo como datos angulares viene dada por 0, pi/4, pi, 3pi/4, pi/2 respectivamente, verfigura 3.2. Es una muestra simple, por lo que la mediana circular puede ser hallada. En este caso elpromedio y mediana coinciden en el color amarillo (pi/4), los puntos extremos inicio y fin resultanser rojo y verde, C = 0,4828 ρ = ρ′ = π. Por otra parte, para el caso de colores rojo, rojo, azul,verde, púrpura (0, 0, pi, 7pi/4, 16pi/9) 3.3 la mediana es cyan, mientras que el promedio es uncolor morado (aprox 1,17π”) C = 0,5694 ρ = ρ′ = π. Como primera conclusión, C es mucho mássensible a las posiciones de los datos, mientas que ρ,ρ′ dependen exclusivamente de la posición delos extremos, o más puntalmente, de Λ. Esto le da ciertos rasgos distintivos entre los dos grupos,como lo veremos más adelante.

Figura 3.2: Ejemplo aplicación de las estadísticas en el color. A la iaquierda los colores, en el centrosu representación compleja y a la derecha los resultados de las estadísticas. C = 0,4828 ρ = ρ′ = π

Figura 3.3: Ejemplo aplicación de las estadísticas en el color. La flecha indica la dirección de Z.C = 0,5694 ρ = ρ′ = π

3.2. Promedio y Mediana CircularesA la textura de Von Mises (figura 3.4)con parámetros κ = 100 y α = 0 (cuadrado rojo) α = π

(cuadrado verde) se le aplicó la versión móvil de las estadísticas del promedio y mediana angulares.Para el caso del promedio angular, se observa claramente el surgimiento de colores nuevos, a causade la creación de matices nuevos, que para este caso se encuentran alrededor de π/2, que es larepresentación del amarillo. Por otra parte, se hace evidente la propiedad de suavizante, en el queel matiz de salida equivale a valores muy cercanos a los valores de α correspondientes.

Por otra parte, la mediana posee propiedades como suavizante, tal como se aprecia en l figura, yademás a la salida evita el seguimiento de matices nuevos. Cabe recordar, que si bien los matices ala salida corresponden a matices que se encuentran en la imagen original, existen colores nuevos a


Figura 3.4: Estadísticas en el color. Arriba textura original; a la izquierda se muestra versión móvildel promedio circular; a la derecha la mediana circular.

la salida, producto de la combinación de los matices con distintos valores de saturación y valor, quehan sido dejados como valor constante.

La textura tiene una resolución de 52x52, y cabe recalcar que el surgimiento de nuevos matices,a pesar de estar siempre presente, no es notorio visualmente para imágenes con una resoluciónconsiderable. Tome por ejemplo la imágen del agapanto figura 3.6. A simple vista no es notorio elefecto, lo que puede ser muy conveniente si se piensa en usar la estadística del promedio como filtrosuavizante, así como se hará posteriormente. Sin embargo al observar con detenimiento los bordesde la flor, el efecto se hace evidente.

Con la reducción α y dado que la ventana usada agrupa un número impar de datos, podemosdecir que la mediana respeta de mejor la transición entre matices, que representan bordes en laimagen, efecto ampliamente asociado con la mediana en el caso lineal.

3.3. Dato Inicial y FinalA partir del concepto de brecha se estableció estas estadísticas. Aunque su uso directo pueda no

ofrecer mayores aplicaciopnes, a continuación presentamos algo de su comportamiento que visual-mente es agradable. Claramente tanto el dato inicial y final pueden mostrar distintos colores en laimagen.

3.4. Filtros suavizantesUna de las ventajas que gran parte de las imágenes no sean modificadas por el paso de las

estadísticas es que pueden ser usados como filtros que busquen eliminar impurezas que se puedanpresentar. Aunque en la práctica la presencia de ruido en las imágenes digitales no sea común,


Figura 3.5: Original

Figura 3.6: Estadísticas en aplicadas a una imagen. A la izquieda se muestra el promedio, a la derechale mediana circular

Figura 3.7: Ampliación de un pétalo imágen 3.5 y 3.6. A la izquierda pétalo imAgen origial; enel centro es la imagen que resulta al hacerle pasar el promedio circular, se observa capas de verdeoscuro y azul claro en los bordes; a la derecha la mediana angular.


Figura 3.8: Arriba: Imagen original; Abajo izquierda: Versión móvil del valor final; Abajo derecha:Versión móvil del valor inicial


describir las propiedades como filtros suavizantes permiten caracterizar su comportamiento y deésta forma a plantear su uso en diversos problemas, tales como la restauración de imágenes.

Ruido Aditivo Von Mises El primero ruido probado es el ruido aditivo de Von Mises. Ya sehabía introducido este ruido en la textura de la figura 3.4. En la imagen de los pepinos, se añadióruido aditivo de acuerdo a ésta distribución, con parámetros κ = 4 y α = 5π/4. Ambas estadísticas secomportan como buenos suavizantes, sin embargo es claro que la visualmente la imagen que resultade aplicar la mediana angular presenta mejores resultados, pese a que el promedio es el estimadorde máxima verosimilitud de la distribución trabajada.

Figura 3.9: Izquierda promedio circular, a la derecha le mediana angular.

Ruido Impulsivo constante Otro tipo de ruido se usó para probar las propiedades de las es-tadísticas. En éste caso el matiz en el 10% de la imagen fue cambiado por un valor constante. Seseleccionaron distintos valores y los resultados son mostrados en las figuras 3.10,3.11,3.12.

De forma general, se observa un muy comportamiento del filtro mediana en todos los casosplanteados, y de hecho se comporta visualmente mejor. Y aunque el promedio en algunas de loscasos ofrece resultados agradables, éstos depende del ruido establecido. Por ejemplo, para el casodel ruido naranja (figura 3.10, muchos de los pepinos de la imagen presentan un color amarillo y


Figura 3.10: Izquierda imagen con matiz contaminado con ruido constante π/4; Centro: el promediocircular; Derecha: mediana circular.

Figura 3.11: Izquierda imagen con matiz contaminado con ruido constante 5π/4; Centro: el promediocircular; Derecha: mediana circular.

Figura 3.12: Izquierda imagen con matiz contaminado con ruido constante π; Centro: el promediocircular; Derecha: mediana circular.


rojo, donde el ruido naranja nos se distingue notoriamente y de ésta forma, al aplicar el promedio selogran resultados que visualmente se encuentran muy cercanamente a los valores originales. En otraspalabras, la mediana se comporta bien frente a todos los casos, mientras que el comportamiento delpromedio puede variar de acuerdo con el ruido aplicado. De lo que se concluye que la mediana comofiltro suavizante es mejor que el promedio circular.

Para el caso de este tipo de ruido se aplicó las estadísticas de dato inicial y final. Los resultadosfueron interesantes. En primer lugar en algunos casos, y en algunos sectores de la imagen, el ruidoera completamente eliminado, mientras que el los sectores de la imagen donde no lo era, los coloresresultantes dan un efecto interesante. Sin embargo es claro que el comportamiento depende de laposición o del valor del ruido constante introducido ver figuras 3.13, 3.14.

Figura 3.13: Respuesta de la versión móvil del valor máximo a ruido constante. Izquireda: ruidonaranja 3.10; centro: ruido cyan 3.11; derecha: ruido verde 3.12.

Figura 3.14: Respuesta de la versión móvil del valor mínimo a ruido constante. Izquireda: ruidonaranja 3.10; centro: ruido cyan 3.11; derecha: ruido verde 3.12.

3.5. Mapas de BordesLas estadísticas de concentración y ubicación son usadas para construir mapas de bordes y

aunque éstas se hayan definido para datos angulares, son de hecho estadísticas lineales en el sentidoque toman valores en un rango de los reales. Interpretamos un borde como un cambio en el matiz,de ésta forma, a medida que una muestra de datos se encuentre más dispersa, se deduce que haycambios fuertes en el matiz, y por lo tanto se indica la posible existencia de un borde. En este orden


de ideas, la estadística de ρ, a media que crece (toma valores entre 0 y 2pi), muestra la presenciade bordes cada vez más pronunciados. De igual forma sucede con aumenta con ρ′, que toma valoresentre 0 y pi. Al ser de rango lineal, la forma de interpretar estas estadísticas visualmente por mediode una imagen, consiste en pasarla a una escala en grises. Siendo así, un nivel alto en el valor de laestadística estará representado por un valor blanco, uno muy bajo por negro, y el intermedio porgrises. Cabe recordar que la forma como ρ′ se encuentra definida, el valor máximo es un gris. Por lotanto, para las estadísticas de dispersión, un borde es indicado por un valor blanco en la imagen.

Por otro lado, la estadística de concentración C indica la presencia de bordes a medida que tomavalores cada vez más bajos, que es representado por colores oscuros.

Figura 3.15: Mapas de bordes. Arriba izquierda: original; Arriba derecha: Mapa logrado por la C;Abajo izquierda: Mapa debido a ρ; Abajo izquierda: Mapa generado por ρ′.

Una de las principales características de la concentración C para una muestra dada, es el hechoque su valor depende de cada uno de los valores que pertenecen a la muestra, y esto es debido a quese basa en la suma compleja de los elementos de la muestra. Este rasgo hace que la concentración


Figura 3.16: Mapas de bordes. Arriba izquierda: original; Arriba derecha: Mapa logrado por la C;Abajo izquierda: Mapa debido a ρ; Abajo izquierda: Mapa generado por ρ′.


sea sensible a variaciones en los valores, y de esta forma puede lograr capturar un gran número dedetalles con un trazo mucho más fino que el resto de las estadísticas. Esto se observa en las figurasclaramente en las figuras 3.15 y 3.16. Por otra parte, para imágenes con un matiz uniforme, comoes el caso del rostro de Lena, la concentración es tan grande que el trazo del mapa puede hacersemuy fino, a tal punto, que las variaciones en la imagen difícilmente son captadas y mostradas.

Se puede pensar en mejorar la representación del mapa de la concentración, escalando el rango delos valores conseguidos. Pero esto no representa una mejor solución, dado que la concentración tiendea tomar gran gran parte del rango. Aunque pueden en ciertos casos lograrse trazos más resaltadossi se realizan variaciones en extiende el

En éste orden de ideas las estadísticas de dispersión ρ y ρ′ pueden generar mejores resultados.Para estos casos, las estadísticas dependen únicamente de la longitud de la brecha (Λ), que seencuentra determinada en esencia por una sola pareja de datos, lo que hace que sea más insensiblea variaciones de los demás datos, dando como resultados bordes más gruesos. Sin embargo, paramuchos casos, como el de Lena, el mapa generado da más información, y visualmente más detallesque los dados por la concentración. Por otra parte, la representación de los bordes generada a partirde ρ′ es visualmente más agradable en la mayoría de casos. En algunos de ellos el mapa puedeasemejarse al dibujo de un bosquejo hecho en lápiz.

Una posible alternativa para hacer de ρ′ más agradable, es decir tratar de eliminar los grises quesalen para colores concentrados, es redefinirla mediante ρ′′ = 2π − T (Λ)), que se muestran en lasfiguras 3.17 y 3.18.

Los mapas de bordes planteados son debidos a la aplicación directa de las estadísticas, por lo queno existe parámetros con los cuales se tenga libertad de modificar, para adecuar la solución a lascircunstancias de un problema determinado. Sin embargo, muchas alternativas existen, que puedenusarse para lograr mejores resultados. La primera de ellas es el uso de umbrales, con los que se puedaobviar información irrelevante y resaltar aquella que se considere adecuada. Otra es el introducirel uso de cuasirangos, con de tal forma que éstas estadísticas con las cuales se puede introducir unmejor nivel de detalle y lograr trazos más finos.


Figura 3.17: Mapas de bordes. Arriba izquierda: original; Arriba derecha: Mapa logrado por la C;Abajo izquierda: Mapa debido a ρ; Abajo izquierda: Mapa generado por ρ′′. Se observa que el pelajedel simio se logra con más detalle con C


Figura 3.18: Mapas de bordes. Arriba izquierda: original; Arriba derecha: Mapa logrado por la C;Abajo izquierda: Mapa debido a ρ; Abajo izquierda: Mapa generado por ρ′′.

Capítulo 4

Morfología para datos angulares

Una de las principales limitaciones para la definición o extensión de una morfología para el casodel color, y específicamente del matiz, es el hecho que S1 no puede ser ordenado de forma compatiblecon su topología[14]. Para muchos es imperioso la exigencia de plantear una relación de orden quepermita extender directamente las herramientas ampliamente conocidas para el caso de imágeneslineales, lo que ha dificultado innecesariamente el trabajo en el área. En esta sección se pretendeofrecer opciones para una extensión de la morfología y una de las diferencias con el resto de trabajos,es justamente el hecho de no plantear un orden, y por el contrario, buscar aprovechar las propiedadesdel círculo, usando herramientas topológicas, así como las definidas en el capítulo 2.

4.1. Imágenes AngularesUna imagen de dos dimensiones (2D) es una función h : A → B, donde A es un conjunto de

dos dimensiones. Si A es contable se dirá que la imagen es discreta (usualmente A es el producto desubconjuntos enteros). Si por el contrario resulta que A = I × J , donde I, J son intervalos reales(conjuntos no contables), la imagen se le denomina continua, nombre que se refiere exclusivamentea la característica del dominio, esto quiere decir que una imagen continua puede presentar disconti-nuidades como función. Una imagen es unidimensional si A es un conjunto de una dimensión (o uncamino).

Por otra parte, la imagen es digital si el rango B es un conjunto finito. En el caso específico en queB = S1, la imagen recibe el nombre de imagen angular. De este modo, una función f : I × J → S1,I,J intervalos reales, es una función 2D continua angular [14].

Los elementos del dominio, en caso de una imagen discreta, son llamados pixeles y los elementosdel rango se les denomina posibles valores de los pixeles. En toda imagen, y en la particularidad deser angular, se dirá que los elementos del rango corresponden a matices.

4.1.1. Gráficas de Imágenes AngularesPara el caso de una imagen f : I −→ S1 unidimensional su gráfica vive en I × S1, como se

visualiza en la figura4.2.

4.2. AscensosR1 es el recubridor universal de S1 [2]. Como función de proyección podemos definir

p : R1 −→ S1

39

CAPÍTULO 4. MORFOLOGÍA PARA DATOS ANGULARES 40

Figura 4.1: Arriba: graficas de funciones lineales unidimensionales (tiras): abajo derecha imagencorrespondiente a la función azul de la gráfica arriba; abajo derecha: imagen correspondiente a lafunción roja

Figura 4.2: Dos representaciones de la gráfica de la función angular (imagen angular) que correspondea la tira mostrada abajo. Arriba Izquierda: línea roja muestra la variación en el matiz (en s1) a medidaque se varía sobre I (representado por las líneas). Derecha: En esta gráfica, la variación del matiz serealiza a medida que se varía la profundidad del cilindro, que representa I.


Figura 4.3: Izquierda: Representación de la gráfica de la función angular (imagen angular) quecorresponde a la imagen mostrada a la derecha. La variación del matiz se realiza a medida que sevaría la profundidad del cilindro, que representa I.

x 7−→ [x]2πDonde [x]2π representa al único número en [0, 2π) que es equivalente a x (real), módulo 2π.Sea f : I × J −→ S1 una imagen angular continua. Hallar un ascenso para f , es hallar una

función F : R2 −→ S1 de tal forma que su proyección sea la función f , es decir p(F (x)) = f(x). Sise especifica que F (0, 0) = f(0, 0), entonces F resulta ser única.

Desde cierto punto de vista, hallar el ascenso es desenvolver la gráfica de la función (ver fig 4.4).Ejemplos de ascensos corresponden a las figuras 4.5 y 4.6

Figura 4.4: Abajo, se muestra una función angular unidimensional, el eje de profundidad representaR1, o la longitud del camino. Arriba la interpretación del ascenso, la misma función ahora con rangolineal, de esta forma se desenrolla la gráfica


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

10

12

14

pixeles

Rad

iane

s

Función y su ascenso

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0.5

1

1.5

Figura 4.5: Ejemplo de ascenso. A la izquierda en rojo (línea –)se muestra la función matiz original,que en algunos puntos presenta saltos de π; en azul se muestra su función de ascenso, que paraambos casos resulta ser una función continua; a la derecha se muestra la imagen que representa lafunción matiz

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−6

−4

−2

0

2

4

6

8

pixeles

Rad

iane

s

Función y su ascenso

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0.5

1

1.5

Figura 4.6: Ejemplo de ascenso. A la izquierda en rojo (línea –)se muestra la función matiz original,que en algunos puntos presenta saltos de π; en azul se muestra su función de ascenso, que paraambos casos resulta ser una función continua; a la derecha se muestra la imagen que representa lafunción matiz


4.3. Extensión de la Morfología por medio de AscensosDado que F tiene como rango R1, que es un conjunto linealmente ordenado, podemos definir

el operador angular morfológico como OM(f) := p(om(F )), donde om es el operador morfológicodefinido para el caso de grises [7]. Se busca por lo tanto, extender la aplicabilidad de las herramientasya conocidas para el tratamiento de imágenes lineales para eñ caso de imágenes angulares.

4.3.1. Algoritmos de Ascenso para caminos discretosEl siguiente algoritmo da un procedimiento para hallar el ascenso a una función discreta con

dominio unidimensional (i.e un camino discreto).Sea f : N −→ S1, imagen unidimensional, discreta y angular. Denotemos como i cada elemento

del dominio (pixel), y a fi como f(i). Suponga que para los primeros i pixeles (elementos deldominio), F ha sido definida y se tiene además que F1 = f1.

Fi+1 = Fi + ∆(δi) (4.1)

donde,αi := fi+1 − fi

y

∆(δ) =

δ si |δ| < π

δ + 2π si δ < −πδ − 2π si δ > π

Observación:

∆(δi) = fi+1 − fi + 2πq con q ∈ −1, 0, 1

Lema 5. El algoritmo planteado en 4.1 genera un ascenso. En otras palabras para todo i, p(Fi) = fi,o lo que es igual, Fi ≡2π fi


Demostración:

Fi+1 = Fi + ∆(δi)= Fi−1 + ∆(δi−1) + ∆(δi)= Fi−2 + ∆(δi−2) + Fi−1 + ∆(δi−1) + ∆(δi)...

Fi+1 = F1 +i−1∑k=0

δi−k

= f1 +i−1∑k=0

δi−k

= f1 +i−1∑k=0

(fi−k+1 − fi−k + 2πqi−k)

= f1 +i−1∑k=0

(fi−k+1 − fi−k) +i−1∑k=0

2πqi−k

= f1 + fi+1 − fi + fi − fi−1 + fi−1 − fi−2 + · · ·+ f2 − f1 +i−1∑k=0

2πqi−k

= f1 + fi+1 − f1 +i−1∑k=0

2πqi−k

= fi+1 +i−1∑k=0

2πqi−k

Fi+1 = fi+1 + 2πi−1∑k=0

qi−k

Fi+1 ≡2π fi+1

4.3.2. Algoritmos de Ascenso para imágenes discretas 2DPara hallar el ascenso de una imagen 2D, se busca un camino que recorra el dominio de la imagen

(fig 4.8), y aplicar el algoritmo definido anteriormente. Más formalmente tenemos:Sea f : N ×M −→ S1, una función Angular. Sea xi un camino que recorre todo el dominio

de f (sin repetir pixel), o lo que es equivalente, un conteo para el conjunto N ×M . Es decir, cadaelemento xi = (n,m) para algunos n ∈ N,m ∈ M . xi es un conjunto con |N | |M | elementos. Porlo tanto la función,

h : 1, ... |N | |M | −→ S1

i 7−→ f(xi)

Es unidimensional, discreta, angular y podemos aplicar el algoritmo definido para caminos dis-cretos y hallar la función H, ascenso de h. El ascenso de f viene dado por Fh(xi) = H(i). A lasfunciones obtenidas de la forma mencionada, la llamaremos funciones camino de f . Denotaremosf(xi) como fi.


−10 0 10 20 30 40 500

2

4

6

8

10

12

14

pixeles

Rad

iane

s

Morfología en la funciona Ascenso

−10 0 10 20 30 40 50−6

−4

−2

0

2

4

6

pixelesR

adia

nes

Morfología en la funciona Ascenso

Figura 4.7: Ejemplo de dilatación. Izquierda: En azul la función ascenso obtenida del camino de lafigura 4.5, en verde se muestra el elemento de estructura y en rojo el resultado de aplicar el operadordilatación; a la derecha:En azul la función ascenso obtenida del camino de la figura 4.6,en verde semuestra el elemento de estructura y en rojo el resultado de aplicar el operador dilatación

Figura 4.8: La idea es recorrer el dominio 2D, por medio de un camino, para el cual se aplica lamorfología de una dimensión.


Claramente, la función h depende del camino seleccionado. Pueden haber múltiples funcionesa las cuales aplicar el algoritmo y por lo tanto múltiples posibles ascensos para f . Sin embargo elsiguiente lema nos indica que independientemente del camino, los ascensos hallados para la imagenson únicos módulo 2π.

Lema 6. Sea f : N ×M −→ S1 una imagen angular 2D discreta. El asenso para f es único módulo2π

Demostración: El lema es equivalente a afirmar que todo par de ascensos son equivalentes módulo2π.

Sean h y g funciones camino para f , H, G sus ascensos respectivos y Fh, Fg los ascensos de paraf a partir de éstas funciones. Sean xi yi los caminos dominio de las funciones h y g.

Para cada punto (n,m) en el dominio N ×M existe un i y un j tales que xi = (n,m) = yj ypor lo tanto, h(i) = f(xi) = g(yj) . Para éste punto tenemos que sus respectivas funciones ascensocumplen con

H(xi) = h(xi) + 2πp, p ∈ ZG(xj) = g(xj) + 2πq, q ∈ Z

Por lo tanto,

H(xi)−G(xj) = h(xi)− g(j) + 2π(p− q)H(xi) ≡2π G(xj)

Por lo tanto,

Fh((n,m)) = Fh(xi) ≡2π Fg(yi) = Fg((n,m))Fh((n,m)) ≡2π Fg((n,m))

Dado que lo anterior ocurre para todo punto en el dominio, tenemos que Fh((n,m)) ≡ Fg((n,m)).

Garantizado que todo ascenso es único módulo 2π, lo que lo hace independiente del camino escogido,podemos aplicar el algoritmo descrito en imágenes reales y observar sus propiedades.

4.4. Morfología en el CírculoAhora se presenta una alternativa para la morfología en la que se busca hacer una interpretación

desde las características de S1, de cada uno de los conceptos usados en la morfología lineal, y deesta forma extenderla para el caso angular. Se presentan básicamente dos propuestas. En la primerala suma lineal se traduce para el caso del círculo como la suma angular. En la segunda, ésta seinterpreta como la suma (compleja) de las representaciones complejas de una muestra angular. Entodo caso, los datos iniciales y el finales juegan los papeles de mínimo y máximo para el caso lineal.

Ambas morfologías dependen claramente del valor del elemento de estructura. Un resultadocomún es un desplazamiento en los colores de la figura, así como modificaciones en ciertas formas.Para las elementos netamente acromáticos estos no se ven afectados, lo cual era de esperarse, puespara ellos los parámetros predominantes son la saturación y el valor, por lo que cambios en elmatiz no ofrece mayores variaciones. Sin embargo las formas determinadas por matices enmarcadosen matices, sí presentan cambios. Algunas de las lineales coloreadas adelgazan otras se engordan.Algunos autores no consideran adecuado la aparición de colores inexistente en la imagen. Aunqueal suavizar una imagen este resultado es deseable, en el caso de la morfología este hecho no tienepor qué ser relevante. Considere por ejemplo el caso de la morfología en grises, donde se introducen


020

4060

801000

50

1000

2

4

6

8

Función Matiz

Rad

iane

s

(a) Función Matiz

0

50

100020

4060

80100

0

2

4

6

8

10

12

14

Función de Ascenso

(b) Ascenso

0

50

100020

4060

80100

−2

0

2

4

6

8

10

12

Erosión de la función ascenso

(c) Erosión a la función de ascenso

0

50

100020

4060

80100

0

2

4

6

8

10

12

14

Dilatación de la función ascenso

(d) Dilatación a la función de ascenso

1

1.5

2

2.5

3

11.5

22.5

3−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Rad

iane

s

Elemento de Estructura

(e) Elemento de estructura

Figura 4.9: Morfología a una función matiz 2D. A la función Matiz (a) se le halla la función ascenso(b), a la cual se le aplican los operadores morfológicos (c),(d),(e),(f)


Original

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

(a) Imagen Original

Erosión

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

(b) Erosión

Dilatación

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

(c) Dilatación

Figura 4.10: La figura (a) corresponde a la función matiz mostrada en la fugura 4.9(a). Las figurascorresponden a la proyección de las funciones de las funciones mostradas en las figuras 4.9(c) 4.9(d),respectivamente, en S1


(a) Imagen Original

(b) Erosión (c) Dilatación

(d) Apertura (e) Clausura

Figura 4.11: Imagen a la cual se le hace morfología por ascenso (a). Se halla su función matiz (fig4.12(a)) a la cual se halla el ascenso y se aplica los moperadores morfológicos (fig4.12). Los resultadosde estos operadores son proyectados a §1 y graficado en Las figuras correspondientes (b),(c), (d) (e)


(a) Función Matiz (b) Ascenso

(c) Erosión a la función de ascenso (d) Dilatación a la función de ascenso

11.5

22.5

3

11.5

22.5

3−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Rad

ians

Elemento de Estructura

(e) Elemento de estructura

Figura 4.12: Morfología a una función matiz 2D. A la función Matiz (a) corresponde a la imagenen 4.11(a). Posteriormente se le halla la función ascenso (b), a la cual se le aplican los operadoresmorfológicos (c),(d),(e)


(a) Imagen Original (b) Elemento de estructura

(c) Erosión (d) Dilatación

(e) Apertura (f) Clausura

Figura 4.13: Morfología en el círculo. La suma lineal es interpretada como suma angular.





Figura 4.14: Morfología en el círculo. La suma lineal es interpretada como suma compleja.


nuevos valores de la escala de grises al aplicar las operaciones. En este caso, se ha permitido laintroducción de nuevos matices, que desde cierto punto de vista, ofrece resultados que pueden serusados para diversas aplicaciones, en ingeniería como en publicidad. Aún así es posible proponerdiversas variaciones a estas morfologías, una de ellas puede ser que el valor del matiz de de salida nose calcula con base en los datos inicial y final de la muestra, sino que sea el valor original para el cualocurre el dato inicial y final. De esta forma el matiz de salida siempre será un matiz perteneciente a laimagen original. Sin embargo es posible introducir nuevos colores, puesto que las variables saturacióny valor no se han modificado

Finalmente cabe resaltar que los cambios en la forma para imágnes netamente cromáticas, depen-de de la opereación realizada, así como delos colores involucrados. En una dilatación el corrimiento serealiza en sentido positivo, por lo que el la figura tiende a expandirse o a contraerse, dependendientodel matiz central y el circundante (en el caso que sólo haya un sólo matiz la imagen simplementecambia de matiz). En este sentido vale la pena trabajar más en esta morfología y determinar lasreglas que dictaminan su comportamiento.





Figura 4.15: Morfología en el círculo. La suma interpretada como suma angular. En las imágenesresultantes, sus matices son valores que corresponden únicamente a valores de la imagen original

Capítulo 5

Conclusiones y trabajo futuro

Se han definido una serie de herramientas que pueden ser usadas para el tratamiento de señalesangulares en general, por ejemplo la fase de la transformada de Fourier en problemas como eltratamiento de señales sísmicas, estimadores de frecuencia instantánea,[10] etc. Puntualmente sedefinieron estadísticas como la mediana, la concentración y el rango. Se introdujo el concepto debrecha y con base en éste, el de dato inicial y final de una muestra. En el caso de la mediana seplatearon una serie de conjeturas que buscan caracterizarla, las muestras que no tienen mediana,y para ello se definieron las muestras α β. Se presentó adememás un procedimiento para construirmuestras angulares sin mediana.

Todas las anteriores estadísticas, más el promedio angular, se aplicaron, mediante sus versionesde ventana móvil, en el caso del tratamiento del matiz en una imagen a color. Se evaluaron las pro-piedades de filtros suavizantes para el caso de la media y la mediana, dejando como conclusión unamejor respuesta de esta última, especialmente frente al ruido impulsivo. Se consideraron tres detec-tores de bordes, cada uno con características específicas y que pueden ser usados dependiendo de lascondiciones de la imagen y del propósito particular. Se plantearon varias alternativas de morfologíadel color. Para ello se plantearon algoritmos de ascenso y se demostró en el caso de 2D su unicidadmódulo mod-2π. Así mismo se presentaron dos alternativas más para la morfología, mediante unainterpretación desde S1 de los conceptos de suma, mínimo y máximo, para el caso de los datos li-neales. Los resultados expuestos se muestran adecuados para aplicaciones artísticas y publicitarias.Por todo lo anterior se concluye que el tratamiento al matiz puede ser una herramienta poderosa,por lo que el integrar estos conceptos a los ya establecidos, pueden traer resultados interesantes.Queda como trabajo futuro demostrar las conjeturas planteadas, y trabajar sobre las muestras detamaño par, lo que permitirá definir completamente las herramientas propuestas. En este sentido, sesugiere la posibilidad de realizar un estudio más profundo acerca de un tratamiento adecuado paralas señales angulares en general.

55

Índice de figuras

1.1. Circulo de Color . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Espacio HSV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1. Arcos determinados por un par de puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Función T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3. Dem Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4. Dem Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5. Ejemplo Muestra Periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.6. Diagrama distancias Periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.7. Ejemplo Suma Compleja no funciona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.8. Ejemplo Suma Compleja modificada no funciona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.9. Ejemplo Media No definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.10. Distribuión de VM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.11. Ejemplo Brecha y Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.12. Ejemplo Reduccion muestra simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.13. Ejemplo Reduccion muestra No simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.14. Ejemplo Reduccion muestra periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.15. Ejemplo Datos Reducción muestra periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.16. Equivalencia caso1 condición Lamda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.17. Ejemplo Muestra Lamda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.18. Ejemplo Muestra Lamda Cajones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.19. Ejemplo Constricciòn Muestra Lamda Cajones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.20. Ejemplo Construcción Muestra Lamda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.21. Ejemplo Constricciòn Muestra Lamda Cajones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.22. Ejemplo Construcción Muestra Lamda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.23. Ejemplo Construcción Muestra Lambda Modificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.24. Ejemplo Construcción Muestra Lambda Modificada Per . . . . . . . . . . . . . . . . 212.25. Ejemplo Media y no Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.26. Ejemplo Media y no Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.27. Suma compleja de tres ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.28. Suma compleja de tres ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.29. Matiz como ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1. Diagrama de Mediana α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2. Miro Mediana Ventana Móvil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3. Miro Mediana Ventana Móvil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4. Miro Mediana Ventana Móvil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.5. Flor Original . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.6. Estadísticas Flor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

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ÍNDICE DE FIGURAS 57

3.7. Estadísticas Pétalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.8. Valor Inicial y Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.9. Ruido aditivo Von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.10. Ruido Constante Naranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.11. Ruido Constante Naranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.12. Ruido Constante Naranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.13. Filtro Mínimo Ventana Móvil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.14. Filtro Mínimo Ventana Móvil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.15. Bordes Fruta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.16. Bordes Lena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.17. Bordes baboom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.18. Bordes Carro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1. Gráfica Imagen lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2. Gráfica Imagen Angular 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3. Gráfica Imagen Angular 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4. Visualización Ascenso 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.5. Ejemplo 1 Ascenso 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.6. Ejemplo 2 Ascenso 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.7. Ejemplo 1 Ascenso 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.8. Camino Recorrido 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.9. Ejemplo Morfología 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.10. Ejemplo Morfología 1D, Sababal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.11. Ejemplo Morfología 1D, Arcoiris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.12. Ejemplo Morfología 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.13. Ejemplo Morfología 1D, imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.14. Ejemplo Morfología 1D, imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.15. Ejemplo Morfología 1D, imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

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