libro diseños factoriales aplicado a procesamiento de minerales
Diseños factoriales fraccionarios · 2019-02-13 · Diseños factoriales fraccionarios etapas...
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Diseños factoriales fraccionarios
etapas iniciales de una investigación: interesa estudiar muchos factores
Diseños 2k
cuando crece el número factores (k) aumenta rápidamente el número de experimentos (N)
estrategia: reducir N perdiendo un mínimo de información valiosa
Quimiometría
Diseños factoriales fraccionarios
una parte de los diseños factoriales completos
basados en la jerarquización de los efectos:
efectos más importantes: efectos principales
seguidos por interacciones dobles, triples, cuádruples, etc.
Quimiometría
Diseños factoriales fraccionarios
Número de efectos potencialmente de mayor interés para diseños factoriales 2k
diseño 2k total de efectos efectos no ignorables efectos ignorables
22 3 3 0
23 7 6 1
24 15 10 5
25 31 15 16
26 63 21 42
27 127 28 99
Quimiometría
Diseños factoriales fraccionarios
k < 5: los efectos potencialmente importantes superan en
número a los efectos ignorables a priori
si se fraccionan estos diseños se pierde información que
puede ser relevante
Quimiometría
Diseños factoriales fraccionarios
k ≥ 5: el número de efectos ignorables supera al número de
efectos potencialmente importantes
se pueden fraccionar sin perder información valiosa
Quimiometría
Diseños factoriales fraccionarios
al fraccionar un diseño factorial completo:
se pierde información (se espera no poder estimar efectos que se
puedan ignorar, como interacciones de alto orden)
se tienen menos grados de libertad disponibles para el error
Quimiometría
Diseños factoriales fraccionarios
al fraccionar un diseño factorial completo:
los efectos que se pueden estimar tienen al menos un alias
efectos alias: son dos o más efectos con nombres distintos que
comparten el mismo contraste (cuando se estima uno de ellos se
estima el otro) por lo que no se pueden separar
Quimiometría
Diseños factoriales fraccionarios
k variables (factores) a 2 niveles
r número de parámetros (coeficientes b) a estimar
p generadores independientes
matriz: 2k - p = N = r
(2r -1) generadores N coeficientes alias (l)
calcular los valores de los l: vector de coeficientes alias
Quimiometría
Diseños factoriales fraccionarios
I: efecto generador (neutro multiplicativo) llamado identidad
cualquier columna multiplicada por sí misma da I
la relación de definición define la estructura alias
A2 identidad I
Quimiometría
Diseños factoriales fraccionarios
por ejemplo, para un diseño 23-1:
el efecto menos importante a priori es la interacción ABC sacrificable
Quimiometría
I = ABC
Diseños factoriales fraccionarios
multiplicando cualquier columna por la relación de definición da los alias para esa columna
A. I = A.ABC = A2BC
dado que el cuadrado de cualquier columna es I:A = BC
los alias para B y CB. I = B.ABC = AB2C B = ACC. I = C.ABC = ABC2 C = AB
Quimiometría
Diseños factoriales fraccionarios
resolución igual al número de elementos del menor generador
resolución II: algunos efectos principales se calculan como alias (b
i + b
j)
resolución III: ningún efecto principal es alias de otro
efectos principales como alias con las interacciones de1º orden
(bi + b
jk)
Quimiometría
Diseños factoriales fraccionarios
resolución IV: ningún efecto principal es alias de otro, ni de interacción 1º orden
efectos principales como alias con interacciones de2º orden (b
i + b
jkl)
algunas interacciones de primer orden como alias(b
ij + b
kl)
Quimiometría
Diseños factoriales fraccionarios
resolución V: ningún efecto principal o interacción de 1º orden es alias de otro
efectos principales como alias con interacciones de 3° orden (b
i + b
jklm)
interacciones de 1º orden como alias con las interacciones de 2º orden (b
ij + b
klm)
a > resolución > información
Quimiometría
Diseños factoriales fraccionarios
para una matriz: 23-1
Quimiometría
Diseños factoriales fraccionarios
no se puede estimar el efecto X1X
2X
3: no tiene contraste (todos
signos positivos)
4 experimentos 4 coeficientes l
coeficientes alias: l
0= b
0 + b
123
l1= b
1 + b
23
l2= b
2 + b
13
l3= b
3 + b
12
Quimiometría
Diseños factoriales fraccionarios
matriz: 23-1
vector de coeficientes alias L
y = X L L = y
XT
N
Quimiometría
Diseños factoriales fraccionarios
vector de coeficientes alias L
l
0 = ¼ (y
1 + y
2 + y
3 + y
4)
l1 = ¼ (y
1 - y
2 - y
3 - y
4)
l2 = ¼ (- y
1 + y
2 - y
3 + y
4)
l3 = ¼ (-y
1 - y
2 + y
3 + y
4)
Quimiometría
Diseños factoriales fraccionarios
Diseños de Plackett y Burman (2º guerra mundial)
el número de puntos del diseño no es necesariamente potencia de 2, pero sí es múltiplo de 4
matrices de Hadamard
matrices cuadradas XN : (N x N)
N es múltiplo de 4, si N es potencia de 2, son diseños 2k-p
Quimiometría
Diseños factoriales fraccionarios
Matrices de Hadamard
matrices cuadradas XN : (N x N)
la inversa de la matriz es la matriz transpuesta/número de experimentos
XT X = N x IN
(XT X)-1 = 1/N x IN
X-1 =
Quimiometría
XT
N
Diseños factoriales fraccionarios
Matrices de Hadamard
número de experimentos: N = múltiplo de 4, N ≠ 2q (q > 3)
N= 12, 20, 24, 28, 36, ..... 404
N= 12 + + - + + + - - - + - (11 signos)N= 20 + + - - + + - + - + - + - - - - + + - (19 signos)N= 24 + + + + + - + - + + - - + + - - + - + - - - -
Quimiometría
1 + + + - + + + - - - + -
2 + - + + - + + + - - - + 3 + + - + + - + + + - - -
⁞
12 + - - - - - - - - - - -
columna de +
Quimiometría
Diseños factoriales fraccionarios
Matrices de Hadamard
Diseños factoriales fraccionarios
efecto de (N-1) factores con N experimentos, p parámetros a determinar N ≥ p
factores, Uj: variables naturales cuyos valores se pueden controlar
(cualitativos o cuantitativos) → variables codificadas (reducidas y centradas)
efecto, b
j: cambio en la respuesta ocasionado por un cambio en el
nivel del factor
nivel: categoría de un factor
Quimiometría
Un ejemplo: experimento exploratorio
Estudiar el efecto de 10 factores sobre la reacción:
Quimiometría
Factores:
U1: porcentaje de NaOH 40% 50%
U2: temperatura 80°C 110°C
U3: catalizador TBAB cetil-TMAB
U4: agitación sin con
U5: tiempo 90 min 3430 min
U6: volumen de solvente orgánico 100 ml 200 ml
U7: volumen de agua 30 ml 60 ml
U8: relación S/NaOH 1 2
U9: relación k/S 0,25 4
U10
: relación R/S 1 5
-1 +1
Quimiometría
Diseño
Xij → U
ij
¿Se pueden hacer todos los experimentos?
Hacer los experimentos al azar
Obtener yi (respuesta): % de rendimiento
Calcular bj (efecto sobre la variable i)
Control
Quimiometría
matriz experimental
matriz del modelo (Hadamard 12x12): X
promedio de las medidas
error
vector de respuestas
Quimiometría
efecto de (N-1) factores
notación vectorial: B =
p: número de coeficientes (efectos) incluyendo b0
p = N
Quimiometría
modelo: y = X B
B = X-1 y
X-1 =
B = XT y
y = 47 + 8,3 x1 – 2,3x
2 + 0,5x
3 + 8,8x
4 – 8,2x
5 – 2,2x
6 + 1,3 x
7 +
4,2x8 + 7,7x
9 + 9,0x
10 + 4,8 x
11
1
N
XT
N
Quimiometría
y = 47 + 8,3 x
1 – 2,3x
2 + 0,5x
3 + 8,8x
4 – 8,2x
5 – 2,2x
6 + 1,3 x
7 +
4,2x8 + 7,7x
9 + 9,0x
10 + 4,8 x
11
b0 = 47 → promedio
b11
(factor dummy) ≈ error = 4,8
b2 (T), b
3 (catalizador), b
6 (Vsol), b7
(Vagua), b8 (S/OH-) < 4,8
despreciables
< T, catalizador más barato, menores V
Quimiometría
y = 47 + 8,3 x
1 – 2,3x
2 + 0,5x
3 + 8,8x
4 – 8,2x
5 – 2,2x
6 + 1,3 x
7 +
4,2x8 + 7,7x
9 + 9,0x
10 + 4,8 x
11
b10
= relación R/S (5) es el factor más importante
b1 = % NaOH (50%)
b4 = agitación (con)
b5 = tiempo (90 min)
b9 = relación k/S (4)
Quimiometría