DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOSVERDADERA MAGNITUD DE UN SEGMENTO

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOSAl hablar de "distancias" en sistema didrico suelen referirse a la verdadera magnitud de unsegmento. Las proyecciones de cualquier segmento que no sea paralelo a uno de los planos deproyeccin no se apreciar en proyecciones en verdadera magnitud (medidas reales). En esoscasos, la distancia en el espacio que existe entre los dos extremos del segmento queda desvirtuadaen funcin de la posicin relativa de los dos extremos y su proyeccin ortogonal respecto a losplanos de proyeccin. Primero vamos a ver en que tipos de rectas podemos apreciar directamentela verdadera magnitud de un segmento en alguno de los planos de proyeccin:RECTA HORIZONTAL(paralela al plano horizontal)

RECTA FRONTAL (paralela al plano vertical)

RECTAPARALELA

A LT

RECTA DE PUNTARECTA

VERTICAL

RECTA DE PERFIL

v'

v

s'

s

b' a'

a

b

t'

t h

h'a'

a

b'

b

u'

u

a'

a

b'

b

n'

n

h'a'

b'

h ab

m'

m

v

a'

b'

v' a'b'

w

w'

v'

vh'

h

w''

v''

h''

a'

b

b'

a'

b''

a''

Todos estos tipos de rectas muestran la verdadera magnitud de segmentoscontenidos en ellos en el plano de proyeccin al cual son paralelos.

La recta de perfil es paralela al plano de perfil y por ello el segmento ABcontenido en ella se muestra en verdadera magnitud en la proyeccinde perfil. Del mismo modo la recta paralela a LT es paralela a ambosplanos de proyeccin por lo que la verdadera magnitud del segmentose muestra en ambas proyecciones

Con este repaso en relacin a la verdadera magnitud en segmentos pertenecientes a tipos de rectasnos queda por analizar lo que sucede en una recta olcua o cualquiera. Estas rectas no mantienenrelacin de paralelismo con ningn plano de proyeccin, por lo que un segmento en proyecciones(en cualquiera de las tres proyecciones) no se ver representado en su verdadera magnitud.

v

Vv'

b

r' Hh

h'

a

r

RA

a'b'

B

r

r'v'

v

a'

h'

h

b'

a

b

Aunque no hemos representado la terceraproyeccin, sucedera lo mismo que enproyecciones vertical y horizontal, es decir,la verdadera magnitud se vera alteradaa causa de las proyecciones cilndricasortogonales.

AB es la verdadera magnitud del segmentoperteneciente a R.

Sin embargo AB no es igual a a'b' ni a ab.Por ello necesitamos un mtodo o procedimiento que nos facilite la visin de la verdaderamagnitud de un segmento, o lo que es lo mismo la distancia entre dos puntos.

Representar la verdadera magnitud de un segmento AB

r

r'a'

b'

a

b

r

r'a'

b'

a

b

dc

A

dcr

r'a'

b'

a

b

dc

ABverdadera magnitud

b

a

Aa'

b'B

dc

dcB

A

1 2

1- Tomamos la Diferencia de Cotas (dc) entre los extremos del segmento. A partir del punto con mayor cota, enproyeccin horizontal (tambin podriamos hacerlo desde el otro extremo y el resultado seguira siendo el mismo),trazamos una perpendicular sobre la cual situamos, a partir de a, la diferencia de cotas.

2- En proyeccin horizontal se forma un tringulo rectngulo aAb del cual la hipotenusa es la verdadera magnitud delsegmento. En la ilustracin en perspectiva de la derecha se aprecia la operacin representada espacialmente para sumejor comprensin.

verdad

era ma

gnitud

verdadera magnitud

verdadera magnitud

verdadera magnitud

verdadera magnitud

verd

ader

am

agni

tud

verd

ader

am

agni

tud

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DISTANCIAS: PUNTO-RECTA, PUNTO-PLANO, RECTAS

PARALELAS, PLANOS PARALELOS

Distancia de un punto a una recta

Distancia entre un punto y un plano1- Pasamos por A una recta R perpendicular al plano P.2- Hallamos la interseccin de R con P, obtenemos el punto I.3- El segmento AI es la distancia entre el punto A y el plano P. Hallamos la verdadera magnitud de AI.

P

a'

a

i'

i

P'

P

a'

a

P'

P

a'

a

i'

i

P'

dc

(A)

r

a'

a

r'P'

P'

r

a'

a

r'P'

P'

i

i'

r

a'

a

r'

r

a'

a

r'P'

P'

i

i'

dc

(A)

P

a'

a

P'r'

r

1 2 3

1- Contenemos A en un plano P perpendicular a la recta R2- Hallamos la interseccin de R con P, obtenemos el punto I.3- El segmento AI es la distancia entre el punto A y el plano P. Hallamos la verdadera magnitud de AI.

AP

AP

A IP

AR

AR

P

1 2 3

Distancia entre dos rectas paralelas1- Trazamos un plano P, perpendicular a R y S2- Hallamos el pto. de interseccin I de S con P.3- Hallamos el pto. de interseccin Y de R con P.4- El segmento I-Y representa la distancia entre las rectas R y S. Hallamos su verdadera magnitud.

r

r's'

s

P'

P

r

r's'

s

r

r's'

s

P'

P

i

i'

r

r's'

s

P'

P

i

i' y'

yr

r's'

s

P'

P

i

i' y'

y

1 2 3 4

S R

YIP

AR

I

P

S R S R

P

Distancia entre dos planos paralelos1- Trazamos una recta R, perpendicular a los planos P y Q.2- Hallamos el pto. de interseccin de R con P= I y R con Q=Y.3- El segmento I-Y representa la distancia entre los planos Q y P. Hallamos su verdadera magnitud.

Q

Q'

P'

P

Q

Q'

P'

P

r'

r

Q

Q'

P'

P

r'

r

i'

i

y'

yQ

Q'

P'

P

r'

r

i'

i

y'

y

P QR I

P QY

1 2 3

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CONSTRUCCIN DE PIRMIDES O PRISMASRECTOS, APOYADOS SOBRE PLANOS OBLICUOS,

CON UNA ALTURA DETERMINADA

El enunciado de problema comn consiste en construir un poliedro (poliedro regular, prisma opirmide) recto con una altura determinada, dada su base contenida en un plano. Si el planoen el que se apoya el poliedro es proyectante, la verdadera magnitud se apreciar directamenteen una de las proyecciones ya que la altura (perpendicular a la base) del poliedro recto secorresponder con una recta paralela a un plano de proyeccin sobre el cual se proyectar enverdadera magnitud.Pero si el plano es oblicuo la recta que represent la altura ser oblicua y necesitaremosaplicar en mtodo de la verdadera magnitud de un segmento adaptado a las circunstanciaspara resolver el problema. Veamos un caso prctico:

P

P'

(1)(2)

(3)

(4)

(o)

4

o

1

23

3'

2'

1'o'

4'

(P)

1234 es un cuadrado apoyado en el plano P. Se pide dibujar las proyecciones de la pirmiderecta, de la cual el cuadrado es su base, con una altura de __mm

Mostramos el abatimiento de P conel cuadrado, aunque la omitiremosen los futuros pasos de la resolucindel problema, pues no esnecesara.En ocasiones esnecesario abatir elplano paraconstruirla base delpoliedro.

1

1- A partir de O trazamos una recta R,perpendicular al plano P. sobre ella se encontrarel vrtice superior de la pirmide. Nos piden unapirmide RECTA, por ello la altura de la pirmideparte perpendicular a la base y del centrogeomtrico de esta, de modo que la altura sepuede medir sobre la recta R.

P

P'

4

o

1

23

3'

2'

1'o'

4'

r'

r

dif.

cota

s

x'

x

P

P'

4

o

1

23

3'

2'

1'o'

4'

r'

r

P

P'

4

o

1

23

3'

2'

1'o'

4'

r'

rv

v'

dif.

cota

s

[o-(v)=35mm]

x'

x

[o-(x) = 27,5 mm]

P

P'

4o

1

23

3'

2'

1'o'

4'

r'

rv

v'

x'

x

2-Tomamos un punto de la rectaR, X. y hallamos la verdaderamagnitud del segmento O-X. Eneste caso nos da 27,5 mm. PEROnosotros buscamos que laaltura sea 35 mm.

2 3 4

3- Sobre el segmento O-X en verdaderamagnitud, a partir de O marcamos 35 mm conel punto (v) y trazamos una paralela a x(x) paraobtener V en proyeccin horizontal sobre R quesubiremos a r' para determinar v'. Ya tenemosel vrtice superior de la pirmide.

4- Unimos los vrtices de la base con v-v' para obtener el poliedro buscado.Hemos de tener, como siempre, especial cuidado con la visibilidad de lapirmide.

En este caso el punto X elegido al azar no ha llegado a la altura deseada, porlo que hemos sumado el resto. Pero podramos habernos pasado de la alturapedida en cuyo caso habra que restar la diferencia a la verdadera magnitud.

Hemos aplicado este mtodo en una pirmide. Para un prisma recto se ha de aplicar el mismo proceso en una de lasaristas que parten de los vrtices. Una vez determinado el vrtice de la base opuesta con la altura deseada podemosacabar de trazar el poliedro siguiendo el paralelismo que se cumple siempre en los lados de las bases opuestas de losprismas rectos. Es decir, no necesitaremos repetir el proceso para cada una de las aristas perpendiculares al plano,pues el paralelismo entre rectas es un buen recurso, simple y rpido, que acelera la ejecucin del ejercicio.

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DISTANCIAS: PUNTO-RECTA- PLANO

Distancia entre dos rectas que se cruzan

r

s'

s

t'

t

r'

r

P'

s'

s

t'

t

r'

P

r

s'

r'

5 La perpendicular por B al plano P, recta Q,corta a S en el punto A. El segmento A-B serla distancia mnima entre las dos rectas R y S,tanto en posicin como en magnitud.

1 Por un punto sobre la rectaR se traza la paralela a la rectaS, recta que llamaremos T.

2 T y R determinan el plano P, paralelo a la recta S,pues contiene una paralela, T, a esta.

3.- Por un punto X de la recta S trazamos la perpendicular M al plano P, recta n, y sehalla la interseccin con ese plano, obteniendo el punto Y.

r

P'

s'

s

t'

t

r'

m'

m

P

x'

x

y'

y4.- Por ese punto Y se trazala paralela N a S que cortaren el punto B a la recta R.

r

P'

s'

s

t'

t

r'

m'

m

P

x'

x

y'

y

b'

b

n'

n

s

r

P'

s'

s

t'

t

r'

m'

m

P

x'

xy

y'

b

n'

n

b'

a'

a

q'

q

R

S

P

A

B

QM

X

YT N

R

S

PB

M

X

YT N

R

S

P

T

R

S

P

X

YT

M

1

2

3

4

5

En este procedimiento hemos obtenido las proyecciones de la distancia entre las dos rectasque se cruzan. Para completar el ejercicio, acorde con el concepto de distancias, quedaradeterminar la verdadera magnitud del segmento AB

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distancias