Republica Bolivariana de VenezuelaUniversidad Fermín Toro

Facultad de Ciencias Económicas y SocialesEscuela de Relaciones Industriales

Maryori HernàndezC.I 12.858.224

Distribución Binominal es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre

los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos

resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una

probabilidad q = 1 - p. En la distribución binominal el anterior experimento se repite n veces, de forma

independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binominal se

convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binominal de parámetros n y p, se escribe:

X \sim B(n, p)\,

La distribución binomial es la base del test binominal de significación estadística.

Su función de probabilidad es

\!f(x)={n \choose x}p^x(1-p)^{n-x} \,\!

donde x = \{0, 1, 2, \dots , n\},

siendo \!{n \choose x} = \frac{n!}{x!(n-x)!} \,\! las combinaciones de n \,\! en x \,\! (n \,\! elementos tomados

de x \,\! en x \,\!)

Las características de esta

distribución son:

a) En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos tipos de resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, pasa, no pasa, etc., etc., denominados arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito).

b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir no cambian.

c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí.

d) El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.

Relaciones con otras variables

aleatorias

•Si n tiende a infinito y p es tal que el producto entre ambos parámetros tiende a \lambda \,\!, entonces la distribución de la variable aleatoria binominal tiende a una distribución de Poisson de parámetro \lambda. Por último, se cumple que cuando p =o.5 y n es muy grande (usualmente se exige que n \geq 30 ) la distribución binominal puede aproximarse mediante la distribución normal.

Propiedades reproductivas

•Dadas n variables binomiales independientes de parámetros ni (i = 1,..., n) y p, su suma es también una variable binominal, de parámetros n1+... + nn, y p, es decir,

Propiedades

•La muestra se compone de un número fijo de observaciones n- Cada observación se clasifica en una de dos categorías, mutuamente excluyentes (los eventos no pueden ocurrir de manera simultánea. Ejemplo: Una persona no puede ser de ambos sexos) y colectivamente exhaustivos (uno de los eventos debe ocurrir. Ejemplo: Al lanzar una moneda, si no ocurre cruz, entonces ocurre cara). A estas categorías se las denomina éxito y fracaso.- La probabilidad de que una observación se clasifique como éxito, p, es constante de una observación o otra. De la misma forma, la probabilidad de que una observación se clasifique como fracaso, 1-p, es constante en todas las observaciones.- La variable aleatoria binominal tiene un rango de 0 a n Ecuación: PX=n!X!n-X!·pX·1-pn-X Donde PX=Probabilidad de X éxitos, dadas y n = Número de observaciones p = Probabilidad de éxitos 1-p = Probabilidad de fracasosX = Número de éxitos en la muestra (= 0, 1, 2, 3, 4,………)

EJEMPLO 1.Una moneda se lanza dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan?Una moneda se lanza dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan?

• a. Ningún sello

• b. Sean 3 caras y 3 sellos

• c. A lo mas una cara

• d. Entre 2 y 5 sellos

• e. Entre 2 y 5 sellos ambos inclusiveN=(cc,cs,sc,ss)

a) P(cc)= 1 =0.25=25%

4

b)Suceso imposible porque solo se lanza dos veces igual a 0

c)P(1c)= 2= 0.50=50%

4

d) Suceso imposible porque solo se lanza dos veces igual a 0

e)P(ss)= 1= 0.25%=25%

4

EJEMPLO 2.Se extraen 5 bolitas, con restitución o remplazo de una caja que contiene 5 bolitas blancas, 4 verdes y 12 negras. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 bolitas que sean blancas?

N= 5 + 4 + 12 = 21 b

5b = 4v = 12 n

P (3b ) = 5 * 5 * 5 = 0,013 * 100 = 1,3 %

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