1

Distribuciones bidimensionales

Ejercicio nº 1.- Se ha medido el número medio de horas de entrenamiento a la semana de un grupo de 10 atletas y el tiempo, en minutos, que han hecho en una carrera, obteniendo los siguientes resultados:

Representa los datos mediante una nube de puntos y di cuál de estos valores te parece más apropiado

para el coeficiente de correlación: 0,71; 0,71; 0,45; 0,32. Ejercicio nº 2.- Las notas de 10 alumnos y alumnas de una clase en Matemáticas y en Física han sido las siguientes:

Representa los datos mediante una nube de puntos y di cuál de estos valores te parece más apropiado

para el coeficiente de correlación: 0,23; 0,94; 0,37; 0,94. Ejercicio nº 3.- En una empresa de televenta se ha anotado el plazo de entrega, en días, que anunciaban en los productos y el plazo real, también en días, de entrega de estos, obteniendo la siguiente tabla:

Representa los datos mediante una nube de puntos e indica cuál de estos números te parece más

apropiado para el coeficiente de correlación: 0,87; 0,2; 0,87; 0,2. Ejercicio nº 4.- Considera la siguiente distribución:

Representa los datos mediante una nube de puntos y di cuál de estos valores te parece más apropiado

para el coeficiente de correlación: 0,99; 0,4; 0,83; 0,4.

2

Ejercicio nº 5.- Un grupo de 10 amigos se ha presentado a una prueba de oposición. Anotaron el número de horas que dedicaron a estudiar la semana antes del examen y la nota obtenida en la prueba. La información se recoge en la siguiente tabla:

Representa los datos mediante una nube de puntos e indica cuál de estos valores te parece más

apropiado para el coeficiente de correlación: 0,92; 0,44; 0,92; 0,44. Ejercicio nº 6.- Se ha realizado una encuesta preguntando por el número de personas que habitan el hogar familiar y el número de habitaciones que tiene la casa. La tabla siguiente recoge la información obtenida:

Halla la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos variables? Ejercicio nº 7.- Se han realizado unas pruebas de habilidad (puntúan de 0 a 5) en un grupo de alumnos. Las siguientes puntuaciones corresponden a las obtenidas por seis alumnos en dos de ellas:

Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las variables?

Ejercicio nº 8.- En un reconocimiento médico a los niños de un colegio, se les ha pesado, en kilogramos, y se les ha medido, en centímetros. Aquí tienes los datos de los primeros seis niños:

Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos variables?

Ejercicio nº 9.- En seis modelos de zapatillas deportivas se ha estudiado el peso, en gramos, que tiene (para el número 42) y su precio, en euros. La información obtenida se recoge en esta tabla:

Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos variables?

3

Ejercicio nº 10.- Se ha medido la potencia (en kW) y el consumo (litros/100 km) de 6 modelos distintos de coches, obteniéndose los siguientes resultados:

Halla la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos variables? Ejercicio nº 11.- Se ha estudiado en distintas marcas de yogures naturales el porcentaje de grasa que contenían, así como las kilocalorías por envase. Estos son los resultados obtenidos en seis de ellos:

a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.

0,85).que(Sabemoses?estimacionestasválidas¿Son.10e52,Calculab) ryy ˆˆ

Ejercicio nº 12.- Se ha analizado en distintos modelos de impresoras cuál es el coste por página (en céntimos de euro) en blanco y negro y cuál es el coste por página si esta es en color. La siguiente tabla nos da los seis primeros pares de datos obtenidos:

a) Halla la recta de regresión de Y sobre X. b) ¿Cuánto nos costaría imprimir una página en color en una impresora en la que el coste por página en

blanco y negro fuera de 12 céntimos de euro? ¿Es fiable la estimación? (Sabemos que r 0,97). Ejercicio nº 13.- En distintos modelos de aspiradores se ha medido el peso, en kilogramos, y la capacidad útil de la bolsa, en litros, obteniendo los siguientes resultados:

a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.

0,85). que (Sabemos ?estimación esta fiable ¿Es .6Calculab) r y

4

Ejercicio nº 14.- En seis institutos de la misma zona se ha estudiado la nota media de los estudiantes de 1º de bachillerato en Matemáticas y en Inglés, obteniéndose la información que se recoge en la siguiente tabla:

a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.

0,87). que (Sabemos ?estimación esta fiable ¿Es .55,Calculab) ry

Ejercicio nº 15.- Se ha medido el peso, en kilogramos, y el volumen, en litros, de distintos tipos de maletas, obteniendo los resultados que se recogen en esta tabla:

a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.

0,79). que (Sabemos ?estimación estafiable ¿Es120Calculab) ry .ˆ

Ejercicio nº 16.- En una academia para aprender a conducir se han estudiado las semanas de asistencia a clase de sus alumnos y las semanas que tardan en aprobar el examen teórico (desde que se apuntaron a la autoescuela). Los datos correspondientes a seis alumnos son:

a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación entre las

dos variables? Ejercicio nº 17.- La estatura, en centímetros, de seis chicos de la misma edad y la de sus padres viene recogida en la siguiente tabla:

a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación entre las

dos variables? Ejercicio nº 18.- Se ha preguntado en seis familias por el número de hijos y el número medio de días que suelen ir al cine cada mes. Las respuestas han sido las siguientes:

5

a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación entre las

dos variables? Ejercicio nº 19.- Considera la siguiente distribución:

a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación entre las

dos variables? Ejercicio nº 20.- Un grupo de seis atletas ha realizado pruebas de salto de longitud y de altura. Las dos se han puntuado en una escala de 0 a 5. Los resultados obtenidos han sido los siguientes:

a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación entre las

dos variables?

6

Soluciones

Distribuciones bidimensionales

Ejercicio nº 1.- Se ha medido el número medio de horas de entrenamiento a la semana de un grupo de 10 atletas y el tiempo, en minutos, que han hecho en una carrera, obteniendo los siguientes resultados:

Representa los datos mediante una nube de puntos y di cuál de estos valores te parece más apropiado

para el coeficiente de correlación: 0,71; 0,71; 0,45; 0,32. Solución:

A la vista de la representación, observamos que el coeficiente de correlación, r, es negativo y relativamente alto.

Por tanto, r 0,71. Ejercicio nº 2.- Las notas de 10 alumnos y alumnas de una clase en Matemáticas y en Física han sido las siguientes:

Representa los datos mediante una nube de puntos y di cuál de estos valores te parece más apropiado

para el coeficiente de correlación: 0,23; 0,94; 0,37; 0,94. Solución:

Viendo la representación, observamos que el coeficiente de correlación es

positivo y alto. Por tanto, r 0,94.

7

Ejercicio nº 3.- En una empresa de televenta se ha anotado el plazo de entrega, en días, que anunciaban en los productos y el plazo real, también en días, de entrega de estos, obteniendo la siguiente tabla:

Representa los datos mediante una nube de puntos e indica cuál de estos números te parece más

apropiado para el coeficiente de correlación: 0,87; 0,2; 0,87; 0,2. Solución:

Vemos que la relación entre las variables es ligeramente positiva, pero muy baja. Por tanto,

r 0,2. Ejercicio nº 4.- Considera la siguiente distribución:

Representa los datos mediante una nube de puntos y di cuál de estos valores te parece más apropiado

para el coeficiente de correlación: 0,99; 0,4; 0,83; 0,4. Solución:

Vemos que hay una relación positiva entre las variables, pero es baja. Por tanto,

r 0,4.

8

Ejercicio nº 5.- Un grupo de 10 amigos se ha presentado a una prueba de oposición. Anotaron el número de horas que dedicaron a estudiar la semana antes del examen y la nota obtenida en la prueba. La información se recoge en la siguiente tabla:

Representa los datos mediante una nube de puntos e indica cuál de estos valores te parece más

apropiado para el coeficiente de correlación: 0,92; 0,44; 0,92; 0,44. Solución:

Observando la representación, vemos que el coeficiente de correlación es positivo y bajo. Por tanto, r 0,44. Ejercicio nº 6.- Se ha realizado una encuesta preguntando por el número de personas que habitan el hogar familiar y el número de habitaciones que tiene la casa. La tabla siguiente recoge la información obtenida:

Halla la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos variables? Solución:

9

Medias:

17,3

6

19

5,46

27

y

x

Desviaciones típicas:

67,045,017,3

6

63

96,092,05,46

127

2

2

y

x

Covarianza:

40,040,017,35,4

6

88 xyxy

Coeficiente de correlación:

62,062,067,096,0

40,0

rr

Hay una relación positiva, aunque no demasiado fuerte, entre las variables. Ejercicio nº 7.- Se han realizado unas pruebas de habilidad (puntúan de 0 a 5) en un grupo de alumnos. Las siguientes puntuaciones corresponden a las obtenidas por seis alumnos en dos de ellas:

Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las variables? Solución:

10

Medias:

33,36

20

83,36

23

y

x

Desviaciones típicas:

76,058,033,36

70

08,116,183,36

95

2

2

y

x

Covarianza:

079,0σ079,033,383,36

77 xyxy

Coeficiente de correlación:

096,0096,076,008,1

079,0

rr

La relación entre las variables es prácticamente nula.

Ejercicio nº 8.- En un reconocimiento médico a los niños de un colegio, se les ha pesado, en kilogramos, y se les ha medido, en centímetros. Aquí tienes los datos de los primeros seis niños:

Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos variables? Solución:

xi

yi

xi

2y

i

2x

iy

i

120 25 14400 625 3000

110 30 12100 900 3300

140 35 19600 1225 4900

130 25 16900 625 3250

125 20 15625 400 2500

115 20 13225 400 2300

740 155 91850 4175 19250

11

Medias:

83,25

6

155

33,1236

740

y

x

Desviaciones típicas:

35,564,2883,25

6

4175

90,904,9833,1236

91850

2

2

y

x

Covarianza:

72,2272,2283,2533,123

6

19250 xyxy

Coeficiente de correlación:

43,043,035,590,9

72,22

rr

yx

xy

La relación entre las variables es positiva, pero débil.

Ejercicio nº 9.- En seis modelos de zapatillas deportivas se ha estudiado el peso, en gramos, que tiene (para el número 42) y su precio, en euros. La información obtenida se recoge en esta tabla:

Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos variables? Solución:

12

Medias:

67,61

6

370

33,6336

3800

y

x

Desviaciones típicas:

02,2314,53067,61

6

26000

32,1578,23433,6336

050.2408

2

2

y

x

Covarianza:

87,5087,5067,6133,633

6

234650 xyxy

Coeficiente de correlación:

14,014,002,2332,15

87,50

rr

La relación entre las variables es muy débil. Podemos decir que no están relacionadas. Ejercicio nº 10.- Se ha medido la potencia (en kW) y el consumo (litros/100 km) de 6 modelos distintos de coches, obteniéndose los siguientes resultados:

Halla la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos variables? Solución:

13

Medias:

15,9

6

9,54

846

504

y

x

Desviaciones típicas:

18,139,115,9

6

67,510

08,1167,122846

43072

2

2

y

x

Covarianza:

17,917,915,984

6

6,4666 xyxy

Coeficiente de correlación:

70,070,018,108,11

17,9

rr

Hay una relación positiva y relativamente alta entre las variables. Ejercicio nº 11.- Se ha estudiado en distintas marcas de yogures naturales el porcentaje de grasa que contenían, así como las kilocalorías por envase. Estos son los resultados obtenidos en seis de ellos:

a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.

0,85).que(Sabemoses?estimacionestasválidas¿Son.10e52,Calculab) ryy ˆˆ

Solución: a)

14

Medias:

17,626

373

37,26

2,14

y

x

Varianza de X:

23,037,26

06,35 22 x

Covarianza:

47,317,6237,26

9,904xy

Coeficiente de regresión:

1,1523,0

47,32

x

xyyxm

Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X:

38,261,1537,21,1517,62 xyxy

kcal 13,6438,265,21,155,2ˆb) y

kcal 38,17738,26101,1510ˆ y

Como la correlación es alta, r 0,85, es razonable hacer estimaciones dentro del intervalo de datos. Para un porcentaje del 2,5 de grasa, las kilocalorías serán, aproximadamente, 64,13. Sin embargo, la segunda

estimación no es válida porque x 10 está muy alejado del intervalo de datos que hemos considerado. Ejercicio nº 12.- Se ha analizado en distintos modelos de impresoras cuál es el coste por página (en céntimos de euro) en blanco y negro y cuál es el coste por página si esta es en color. La siguiente tabla nos da los seis primeros pares de datos obtenidos:

a) Halla la recta de regresión de Y sobre X. b) ¿Cuánto nos costaría imprimir una página en color en una impresora en la que el coste por página en

blanco y negro fuera de 12 céntimos de euro? ¿Es fiable la estimación? (Sabemos que r 0,97). Solución:

15

a)

Medias:

67,656

394

5,136

81

y

x

Varianza de X:

58,195,136

1211 22 x

Covarianza:

12,11167,655,136

5986xy

Coeficiente de regresión:

68,558,19

12,1112

x

xyyxm

Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X:

01,1168,55,1368,567,65 xyxy

euro de céntimos 15,5712ˆ01,111268,512ˆb) yy

Como la correlación es alta, r 0,97, y x 12 queda dentro del intervalo de valores que tenemos, la estimación sí es fiable. Si el coste de la página en blanco y negro es de 12 céntimos de euro, muy probablemente costará 57,15 céntimos de euro imprimirla en color. Ejercicio nº 13.- En distintos modelos de aspiradores se ha medido el peso, en kilogramos, y la capacidad útil de la bolsa, en litros, obteniendo los siguientes resultados:

a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.

0,85). que (Sabemos ?estimación esta fiable ¿Es .6Calculab) r y

16

Solución: a)

Medias:

58,26

5,15

28,66

7,37

y

x

Varianza de X:

39,028,66

97,238 22 x

Covarianza:

52,058,228,66

35,100xy

Coeficiente de regresión:

33,139,0

52,02

x

xyyxm

Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X:

77,533,128,633,158,2 xyxy

21,277,5633,16ˆb) y

Sí es fiable, puesto que la correlación es fuerte, r 0,85, y x 6 está dentro del intervalo de datos que estamos considerando. Para un peso de 6 kg la capacidad de la bolsa será, aproximadamente, de 2,21 litros. Ejercicio nº 14.- En seis institutos de la misma zona se ha estudiado la nota media de los estudiantes de 1º de bachillerato en Matemáticas y en Inglés, obteniéndose la información que se recoge en la siguiente tabla:

a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.

0,87). que (Sabemos ?estimación esta fiable ¿Es .55,Calculab) ry

17

Solución: a)

Medias:

92,56

5,35

2,66

2,37

y

x

Varianza de X:+

32,02,66

54,232 22 x

Covarianza:

46,092,52,66

223xy

Coeficiente de regresión:

44,132,0

46,02

x

xyyxm

Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X:

344,12,644,192,5 xyxy

92,435,544,15,5ˆb) y

Sí es fiable la estimación, puesto que la correlación es fuerte, r 0,87, y x 5,5 está dentro del intervalo de valores que estamos considerando. Por tanto, estimamos que si la nota de Matemáticas es 5,5, la de Inglés será muy probablemente 4,9.

18

Ejercicio nº 15.- Se ha medido el peso, en kilogramos, y el volumen, en litros, de distintos tipos de maletas, obteniendo los resultados que se recogen en esta tabla:

a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.

0,79). que (Sabemos ?estimación estafiable ¿Es120Calculab) ry .ˆ

Solución:

a)

Medias:

67,66

40

33,986

590

y

x

Varianza de X:

54,2533,986

58166 22 x

Covarianza:

89,167,633,986

5,3946xy

Coeficiente de regresión:

07,054,25

89,12

x

xyyxm

Ecuación de la recta de regresión de Y sobre x:

21,007,033,9807,067,6 xyxy

19,821,012007,0120ˆb) y

Como x 120 está alejado del intervalo que estamos considerando, la estimación no es fiable.

19

Ejercicio nº 16.- En una academia para aprender a conducir se han estudiado las semanas de asistencia a clase de sus alumnos y las semanas que tardan en aprobar el examen teórico (desde que se apuntaron a la autoescuela). Los datos correspondientes a seis alumnos son:

a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación entre las

dos variables? Solución: a)

Medias:

17,66

37

5,46

27

y

x

Desviaciones típicas:

76,11,317,66

247

22,292,45,46

151

2

2

y

x

Covarianza:

9,217,65,46

184xy

Coeficientes de regresión:

59,092,4

9,2 sobre yxmxy

94,01,3

9,2 sobre xymyx

Rectas de regresión:

20

52,359,05,459,017,6 sobre xyxyxy

17,694,05,4 sobre yxyx

80,594,05,4 yx

3,194,0 yx

yx 94,03,1

38,106,194,0

3,1

xy

xy

Representación:

b) La correlación entre las variables no es demasiado fuerte, pues las dos rectas no están muy próximas. Con los

datos obtenidos comprobamos que el coeficiente de correlación es: r 0,74 Ejercicio nº 17.- La estatura, en centímetros, de seis chicos de la misma edad y la de sus padres viene recogida en la siguiente tabla:

a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación entre las

dos variables? Solución: a)

21

Medias:

5,1776

1065

1656

990

y

x

Desviaciones típicas:

79,492,225,1776

189175

57,967,911656

163900

2

2

y

x

Covarianza:

17,295,1771656

175900xy

Coeficientes de regresión:

32,067,91

17,29 sobre yxmxy

27,192,22

17,29 sobre xymyx

Rectas de regresión:

7,12432,016532,05,177 sobre xyxyxy

5,17727,1165 sobre yxyx

43,6027,1 yx

58,4779,027,1

43,60

xy

xy

Representación:

b) La correlación entre las variables no es demasiado fuerte, pues las dos rectas no están muy

636,079,457,9

17,29 :es ncorrelació de ecoeficient el que sComprobamo próximas.

r

22

Ejercicio nº 18.- Se ha preguntado en seis familias por el número de hijos y el número medio de días que suelen ir al cine cada mes. Las respuestas han sido las siguientes:

a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación entre las

dos variables? Solución: a)

Medias:

36

18

5,26

15

y

x

Desviaciones típicas:

15,133,136

62

96,092,05,26

43

2

2

y

x

Covarianza:

17,035,26

44xy

Coeficientes de regresión:

18,092,0

17,0 sobre

yxmxy

13,033,1

17,0 sobre

xymyx

Rectas de regresión:

45,318,05,218,03 sobre xyxy x y

23

313,05,2 sobre yxyx

89,213,0 yx

xy 89,213,0

23,2269,713,0

89,2

xy

xy

Representación:

b) La correlación es prácticamente nula; las rectas son casi perpendiculares. Ejercicio nº 19.- Considera la siguiente distribución:

a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación entre las

dos variables? Solución: a)

Medias:

17,116

67

33,46

26

y

x

24

Desviaciones típicas:

43,373,1117,116

819

61,158,233,46

128

2

2

y

x

Covarianza:

97,417,1133,46

320xy

Coeficientes de regresión:

93,158,2

97,4 sobre yxmxy

42,073,11

97,4 sobre xymyx

Rectas de regresión:

81,293,133,493,117,11 sobre xyxyxy

17,1142,033,4 sobre yxyx

36,042,0 yx

86,038,242,0

36,0

xy

xy

Representación:

b) La correlación es muy alta, puesto que las dos rectas están muy próximas, casi coinciden.

9,043,361,1

97,4 :es ncorrelació de ecoeficient el que sComprobamo

r

Ejercicio nº 20.- Un grupo de seis atletas ha realizado pruebas de salto de longitud y de altura. Las dos se han puntuado en una escala de 0 a 5. Los resultados obtenidos han sido los siguientes:

a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación entre las

dos variables?

25

Solución: a)

Medias:

83,36

23

17,46

25

y

x

Desviaciones típicas:

71,0498,083,36

91

67,044,017,46

107

2

2

y

x

Covarianza:

Coeficientes de regresión:

82,044,0

36,0 sobre yxmxy

72,0498,0

36,0 sobre xymyx

Rectas de regresión:

41,082,017,482,083,3 sobre xyxyxy

41,172,0 83,372,017,4 sobre yx yx yx

96,139,172,0

41,1

xy

xy

36,083,317,46

98xy

26

Representación:

b) La correlación entre las dos variables no es demasiado fuerte, pues las dos rectas no están muy

76,071,067,0

36,0 :es ncorrelació de ecoeficient el que sComprobamo próximas.

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