Distribuciones de probabilidad bidimensionales o conjuntas

Si disponemos de dos variables aleatorias podemos

definir distribuciones bidimensionales de forma

semejante al caso unidimensional. Para el caso

discreto tendremos:

. y)x, Y P(X p(x, y)

.0),(,1),( yxpyxpx y

Con:

1

Podemos encontrar la probabilidad marginal de la variable aleatoria X sumando sobre todos los posibles valores de la variable aleatoria Y:

yxp(x)py

X ),(

Igualmente, podemos encontrar probabilidad marginal de la variable aleatoria Y sumando sobre todos los posibles valores de la variable aleatoria Y:

yxp(y)px

Y ),(

2

Y la función de probabilidad condicional de Y dado X = x es:

Función de probabilidad condicional

La función de probabilidad condicional de X dado Y = y es:

(y)p

p(x,y) p(x|y)

Y

(x)p

p(x,y) p(y|x)

X

3

Nota: El punto 2 lo veremos más adelante.

9

La definición para dos variables aleatorias continuas es

semejante: F(x,y) = P(X x, Y y).

La densidad de probabilidad f(x,y) se obtiene derivando la función de probabilidad con respecto a sus argumentos:

1),(

,0),(

dxdyyxf

yxf

Por supuesto:

),(),(),( 22

yxfxy

yxF

yx

yxF

10

dxyxfyfY ),()(

dyyxfxf X ),()(

Las densidades de probabilidad marginales y las probabilidades condicionales se definen de forma semejante al caso bidimensional discreto sin más que sustituir sumatorios por integrales. Así:

(y)f

f(x,y) f(x|y)

Y

(x)f

f(x,y) f(y|x)

X

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(y)P(x) PP(x, y) YX

Distribuciones bidimensionales e independencia

Los sucesos aleatorios {X = x} e {Y = y} son independientes si:

Y entonces, dos variables aleatorias serán independientes si la relación anterior se cumple para todos los posibles pares (x,y).

(y)p p(y|x)(x) pp(x|y) YX y

Podremos entonces escribir:

12

El teorema de Bayes se expresa como:

(x)p

(y) p(x|y)p p(y|x)

yp

(x) p(y|x)pp(x|y)

X

Y

Y

X

)(

13

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La covarianza mide la manera en que dos variables aleatorias X e Y varían juntas. Por ejemplo, si cuando una variable aleatoria X se acerca a su media, entonces es de esperar que la variable Y esté cercana a la suya, la covarianza es positiva. Si es de esperar que la variable Y esté lejana a su media, entonces la covarianza es negativa.                                           

Covarianza

))((),(Cov YXEYX

YEXE Con: 21

Se cumple que:                                           

YXEYX ),(Cov

Si X e Y son variables independientes, su covarianza es cero. Observa que en este caso:                                          

0),cov( YEXEYXEYX

Puesto que X e Y son variables independientes

Si la covarianza de X e Y es cero, no necesariamente X e Y son variables independientes.                                  

22

Nota: Aquí está el punto 2 que nos quedaba pendiente.

Propiedades de la covarianza

Si a y b son constantes:               

YXabbYaX

XYYX

XXX

,cov),cov(

,cov),cov(

var),cov(

24

),(Cov2VarVar)(Var 22 YXabYbXabYaX Nota:               

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Resumen del formulario:

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Transformación de variables aleatorias bidimensionales

Dada una variable bidimensional (X, Y), con función densidad de probabilidad conjunta f(x, y) y una transformación biunívoca:

U = u(X, Y), V = v(X, Y)

la función de densidad de probabilidad conjunta de la nueva variable aleatoria bidimensional (U, V) será:

g(u, v) = f(x(u,v), y(u,v)) |J|

con:

1

y

v

x

vy

u

x

u

v

y

u

yv

x

u

x

J

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Ejemplo de transformación bidimensional

Sean x,y dos números aleatorios generados por distribuciones normales tipificadas N(0,1). Si son independientes, su distribución sobre un plano será:

2

)(

2

1

22

1

22

1),(

2222 yxExp

yExp

xExpyxP

Hagamos una transformación a coordenadas polares (R,θ). Con d = R2 = x2 + y2 :

)2/(2

1

2

1),(

),(

),(),( dExpyxP

d

yxdP

que es equivalente al producto de una distribución exponencial de vida media 2, y una distribución uniforme definida en el intervalo [0,2π].

(Press et al., “Numerical Recipes”)

43

Transformación de Box-Müller:¿Cómo conseguir una distribución normal bidimensional

a partir de una uniforme?

demuestra que nos llevan a dos números aleatorios x,y cuya probabilidad sigue una distribución normal.

Puesto que las transformaciones dependen de funciones trigonométricas, no son muy eficientes para el cálculo computacional.

2

12

2

ln2

u

uR

)sin(2 ln2sin

)cos(2 ln2cos

21

21

uuRy

uuRx

(Press et al., “Numerical Recipes”)

Sean dos números aleatorios u1, u2 derivados de una distribución uniforme. Se realizan las transformaciones:

50

Para hacer el algoritmo de Box-Müller más rápido se definen las variables: v1 =2u1−1v2 =2u2−1Se generan números hasta que (v1,v2) se encuentre dentro del círculo de radio R = 1.

2/1

2/1

ln2

ln2

dd

y

dd

x

2

1

v

v2/1

22

2/111

)(sin

)(cos

22

21

22

21

vvvv

vvvv

R

R

v1

v2

Rθ

)

(−1,1)

(−1,−1) (1,−1)

(1,1)

para d ≤ 1. (Press et al., “Numerical Recipes”)

Estas transformaciones modificadas son más eficientes en el cálculo.

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