Distribuciones de probabilidad para Ingenieria de Mantenimiento
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Distribuciones de Probabilidad
Aplicaciones a la Ingeniería de MantenimientoHenry Villarroel
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADUNIDAD III
DISTRIBUCION EXPONENCIAL
Es la distribución que mejor modela la tasa de falla constante o vida útil de los equipos
Muchos componentes electrónicos tales como circuitos, transistores muestran un comportamiento de falla exponencial
Fre
cuen
cia
rela
tiva
(%
)
Intervalos de Clase (tiempo)
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADUNIDAD III
DISTRIBUCION EXPONENCIAL
Modelo matemático
ttf e )(
ttR e )(
t
t
tR
tfth
ee
)(
)()(
0 0
1)(
dttdttRMTBF e
Fre
cuen
cia
rela
tiva
(%
)
Intervalos de Clase (tiempo)
Tas
a d
e F
alla
(%
)
Intervalos de Clase (tiempo)
)(1)( tRtF
Modelo matemático
ttR e )(
1
MTBFt
368.01
1
)(
eetR
haciendo
Con
fiab
ilid
ad R
(t)
Intervalos de tiempo
0.368
MTBF
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
UNIDAD IIIDISTRIBUCION EXPONENCIAL
ttR e )(
ttR )(ln
Linealizando la ecuación R(t)
22.
)(ln.)(ln..
ii
i
ttn
tRttRtnb i
bxy Aplicando regresión lineal
Ln
R(t
)
Intervalos de tiempo
0.368
MTBF
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
UNIDAD IIIDISTRIBUCION EXPONENCIAL
Procedimiento para la predicción del MTBF y tasa de falla en la distribución exponencial:
Agrupar los datos y graficar f(t) vs. Tiempo Ordenar la información de los tiempos de operación en orden
ascendente (de menor a mayor) Calcular la probabilidad de falla estadística por:
i= numero de orden de observaciónN=numero total de observaciones
Calcular la probabilidad de supervivencia R(t)=1-F(t) Construir la recta de confiabilidad versus tiempos de operación en
papel exponencial Determinar el MTBF con R(t)=37% aprox. en la grafica
1)(
Ni
tF
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
UNIDAD IIIDISTRIBUCION EXPONENCIAL
4.03.0
)(
Ni
tF 50N20N5020 NNi
tF )(
EJEMPLO DE PATRON DE FALLAEn la tabla siguiente se muestran las horas de operación antes de fallar de un montacargas de la empresa Otinsa. Se desea estimar el MTBF
Horas antes de fallar
Causa de la falla
11 caucho
19 Carburación
28 Sistema hidráulico
15 Sistema de elevación
5 Sistema de dirección
49 Sistema de dirección
2 Caucho
7 Sistema hidráulico
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADUNIDAD III
DISTRIBUCION EXPONENCIAL
Intervalos (horas)
Fr f (t) No. De sobrevivientes
h (t)
2 - 14 4 0.50 8 0.50
15 - 27 2 0.25 4 0.50
28 - 40 1 0.125 2 0.50
41 - 53 1 0.125 1 1.00
EJEMPLO DE APLICACIÓN DISTRIBUCION EXPONENCIAL (Cont.)
2min X
49max X
47249minmax XXRango
382.2.8 K 1275.114
47ISe toman 4 intervalos
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
UNIDAD IIIDISTRIBUCION EXPONENCIAL
Grafica de f(t) montacargas
0.5
0.25
0.125 0.125
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
O2 - 14 15 - 27 28 - 40 41 - 53
Intervalos de Clase
Fre
cu
en
cia
re
lati
va
(%
)
Grafica de h(t) del Montacargas
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
2.0 - 14.0 15.0 - 27.0 28.0 - 40.0
Intervalos de ClaseT
as
a d
e f
alla
(%
)
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
UNIDAD IIIDISTRIBUCION EXPONENCIAL
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
UNIDAD IIIDISTRIBUCION EXPONENCIAL
Ordinal (i) Tiempo (horas)
F(t) R(t)
1 2 0.0833 0.9167
2 5 0.2023 0.7977
3 7 0.3214 0.6786
4 11 0.4404 0.5596
5 15 0.5595 0.4405
6 19 0.6785 0.3215
7 28 0.7976 0.2024
8 49 0.9166 0.0834
1. Ordenar en forma ascendente
2. Calculo de
3. Calculo de R(t)=1-F(t)4.0
3.0)(
Ni
tF
MTBF=18 horas
R(t)=36.8%
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
UNIDAD IIIDISTRIBUCION EXPONENCIAL
Método Grafico
Resultados
18MTBF
18)(
t
tR e
horas
)(1)( tRtF
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Unidad IIIDISTRIBUCION NORMAL
En mantenimiento esta distribución describe el periodo de desgaste de los equipos
También puede ser utilizada para modelar los tiempos de reparación de los equipos
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Unidad IIIDISTRIBUCION NORMAL
La tasa de falla aumenta aumenta sostenidamente porque los elemento del equipo sufren un proceso de deterioro físico
Se define como una variable aleatoria continua x que es normalmente distribuida con media y varianza
2
2
1
.2
1)(
xt
etf
0
)(1)( dttftR xMTBF
x2
)(.
)(
)(
)()(
tR
Z
tR
tfth
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Unidad IIIDISTRIBUCION NORMAL
Distribucion normal estándar
Dado que y determinan completamente la distribución normal, entonces en la distribución normal existen familias de distribuciones normales, una de mas cuales la mas importante es la distribución normal estándar( , )
La distribución normal se puede estandarizar con:
0x
1
x
xt
Z
1
0
f x( )
128 x8 9 10 11 12
0
0.5
1
Variable Aleatoria
f(xi)
xi
f(xi)
xi
2
2
.2.
1)1,0,(
z
tf e
dt
z
zF ez
2
2
.2.
1)(
)(1)( zFzR
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Unidad IIIDISTRIBUCION NORMAL
Ejemplo de aplicación de la distribucion normal En tabla adjunta que se muestra a continuación se muestran los
tiempos de reparación (datos agrupados) de las tareas de mantenimiento de la planta eléctrica P-01. La Gerencia de mantenimiento desea estimar para planificación de la próxima tarea de mantenimiento la probabilidad de reparar la planta eléctrica entre 4 a 10 horas Intervalos de
Clase (horas)Acciones de
mantenimiento
1.1 - 2 5 0.06
2.1 - 4 10 0.18
4.1 - 6 16 0.37
6.1 - 8 22 0.64
8.1 - 10 14 0.81
10.1 . 12 10 0.93
12.1 - 14 5 0.06
14.1 - 16 1 0.01
)(tf
MTTR 6.6 horas14.3 horas
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Unidad IIIDISTRIBUCION NORMAL
Histograma de Frecuencia Tiempos de Reparacion Planta Electrica
0
5
10
15
20
25
1.1 - 2 2.1 - 4 4.1 - 6 6.1 - 8 8.1 - 10 10.1 - 12 12.1 - 14 14.1 - 16
Intervalos de Clase (horas)
Fre
cuen
cia
de
Cla
se
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Unidad IIIDISTRIBUCION NORMAL
)08.183.0( TM
)08.183.0( TM
Resolución del Problema
)104( TM Estandarizando los tiempos:
83.0)14.3
61.64()
)(1
xt
Z
08.1)14.3
61.610()(2
xt
Z
?)08.183.0( TM
?)( 21 ZTZM
83.01 Z 08.12 Z 08.12 Z 83.01 Z
= -
)08.1( )83.0(-
0.8599 0.2033-
0.6560 (65.66%) )104( TM
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
UNIDAD IIIDISTRIBUCION WEIBULL
Es la distribución de vida mas ampliamente utilizada en los análisis para describir la tasa de falla de los equipos, por su versatilidad.
Matemáticamente se define:
/.
1
)( tettf
1)( tth
/)( tetR
h(t)
β=Pendiente o parámetro de forma
α = Parámetro de escala (edad característica de falla)
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
UNIDAD IIIDISTRIBUCION WEIBULL
Características: β<1 tasa de falla
decreciente (Mortalidad infantil)
β =1 tasa de falla constante (vida útil)
β > 1 tasa de falla creciente (desgaste)
)1
1(.
MTBF
)1
1(
= Función Gamma
Casos particulares:
1 MTBF
5.0 .2MTBF
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
UNIDAD IIIDISTRIBUCION WEIBULL
/)( tetR
1
t
3678.01)( etR
6322.0)(1)( tRtF
Haciendo:
Intervalos de tiempo
0.6322
F(t)PAPEL WEIBULL
t
METODO GRAFICO PARA DETERMINAR LA DISTRIBUCION DE WEIBULL
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
UNIDAD IIIDISTRIBUCION WEIBULL
METODO ANALITICO PARA DETERMINAR LA DISTRIBUCION DE WEIBULL
/)( tetR
ttLnR )(
LnLnttR
LnLn ..)(
1
axby .
bLntLntn
tRLnLnLnt
tRLnLnLntn
i
ii
22.
))(
1.)
)(1
(..
aLntLntn
tRLnLnLnt
tRLnLnLnt
Lni
i
22
2
.
))(
1(.)
)(1
(.
.
aLn
a
e
Aplicando Regresión Lineal a la ecuación
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
UNIDAD IIIDISTRIBUCION WEIBULL
Procedimiento para la predicción edad característica de falla y modo de falla en la distribución Weibull:
Agrupar los datos y graficar f(t) vs. Tiempo Ordenar la información de los tiempos de operación en orden
ascendente (de menor a mayor) Calcular la probabilidad de falla estadística por:
i = numero de orden de observación N=numero total de observaciones Construir la recta de confiabilidad versus tiempos de operación Determinar la edad característica de falla( ) con F(t)=62.22%
aprox. en la grafica Determinar
1)(
Ni
tF 4.03.0
)(
Ni
tF 50N20N5020 N Ni
tF )(
α
β
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
UNIDAD IIIDISTRIBUCION WEIBULL
EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCION DE WEIBULL El gerente de mantenimiento de una planta eléctrica desea conocer el modo de falla y la
edad característica de falla de un motor diesel. Para este propósito disponen de los tiempos de operación en horas del equipo hasta fallar: 6,23,163,282,215,46,503,92,12,46,20
Intervalos de clase (horas)
Frecuencia de clase
0 – 100 9
100 – 200 1
200 – 300 2
300 – 400 2
400 – 500 0
500 - 600 1
Histograma de Frecuencia Motor Diesel
0
2
4
6
8
10
0 - 100 100 - 200 200 - 300 300 - 400 400 - 500
Intervalos de Clase (horas)
Fre
cuen
cia
de
Cla
se
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
UNIDAD IIIDISTRIBUCION WEIBULL
4.03.0
)(
Ni
tF
RESOLUCION UTILIZANDO EL METODO GRAFICO
Ordinal Tiempo F(t)
1 2 0.0523
2 6 0.1269
3 12 0.2015
4 16 0.2761
5 20 0.3507
6 23 0.4254
7 46 0.500
8 46 0.5746
9 92 0.6492
10 163 0.7239
11 215 0.7985
12 282 0.8731
13 503 0.9478
Graficar la recta de confiabilidad F(t) vs. Tiempo en papel Weibull
α = 85 horas
62.22 %
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
UNIDAD IIIDISTRIBUCION WEIBULL
Resultados
Método Grafico
85
6.0
6.0
85)(
t
tR e
Mortalidad Infantil
horas Edad Característica de Falla
12892.127)505.1).(85()1
1(.
MTBF horas
)(1)( tRtF
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
UNIDAD IIIDISTRIBUCION WEIBULL
Taller de aplicación