Ingeniería en SistemasCuarto Ciclo

Probabilidad Estadística

TEMA: Trabajo de investigación.

7 de Abril del 2,015

Tabla de contenido

INTRODUCCIÓN.......................................................................................................................................... I

DISTRIBUCIONES DISCRETAS...................................................................................................................... 1

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL O BERNOULLI............................................................................................1

DISTRIBUCIÓN DE POISSON............................................................................................................... 2

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA....................................................................................................2

DISTRIBUCIONES CONTINUAS.................................................................................................................... 4

DISTRIBUCIÓN NORMAL.................................................................................................................... 4

DISTRIBUCIÓN UNIFORME................................................................................................................. 5

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL................................................................................................................. 6

CONCLUSIÓN............................................................................................................................................ II

BIBLIOGRAFÍA.......................................................................................................................................... III

IntroducciónLa probabilidad es aquella que mide la frecuencia con la que aparece un determinado resultado, cuando se realiza un experimento. Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo.

Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.

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Distribuciones DiscretasLas distribuciones discretas son aquellas en las que la variable puede tomar un

número determinado de valores

Distribución Binomial o BernoulliUna distribución binomial o de Bernoulli tiene las siguientes características:

1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos

resultados: éxito y fracaso.

2. La probabilidad de éxito es constante, es decir, que no varía de una prueba

a otra. Se representa por p.

3. La probabilidad de fracaso también es constante, Se representa por q.

q = 1 − p

4. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados

obtenidos anteriormente.

5. La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos

obtenidos en las n pruebas.

La distribución binomial se expresa por B(n, p).

Cálculo de probabilidades en una distribución binomial

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n  es el número de pruebas.

k  es el número de éxitos.

p  es la probabil idad de éxito.

q  es la probabil idad de fracaso.

El número combinatorio 

Distribución de PoissonSe trata de un modelo discreto, pero en que el conjunto de valores con

probabilidad no nula, no es finito, sino numerable. Se dice que una variable

aleatoria X sigue la distribución de Poisson si su función de densidad viene dada

por:

Como vemos, este modelo se caracteriza por un sólo parámetro λ, que debe ser

positivo.

Distribución Hipergeométrica

En la distribución Hipergeométrica   cantidad de resultados éxitos en una

muestra aleatoria (sin reposición) de tamaño , tomada de una población de

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tamaño   y de la cual   satisface una característica o propiedad (éxito) antes

del muestreo y   no la satisface (fracaso).

Criterios o propiedades que la caracterizan.  

1. La población   del conjunto de unidades ó elementos es de orden fínito, de

los cuales una parte:  "son éxitos", y otra parte:   son "fracasos".

2. Cada elemento puede ser caracterizado como éxito ó fracaso.

3. Se obtiene una muestra aleatoria de   elementos todos a la vez (sin

reemplazamiento) y no de forma independiente. No son pruebas repetidas.

4. El tamaño de la muestra aleatoria   es grande relativamente en

comparación con el tamaño de la población. Generalmente: 

5. Se busca la probabilidad de   número de éxitos a partir de los   

resultados ó elementos y  fracasos a partir de los   elementos asi

clasificados, al obtener una muestra aleatoria de tamaño 

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Distribuciones Continuas

Distribución normalUna variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ, y se designa por N(μ, σ), si se cumplen las siguientes condiciones:

1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞)2. La función de densidad, es la expresión en términos de ecuación

matemática de la curva de Gauss:

Curva de la distribución normal

o El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞).

o Es simétrica respecto a la media µ.

o Tiene un máximo en la media µ.

o Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.

o En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.

o El eje de abscisas es una asíntota de la curva.

El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la

unidad.

Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la

izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

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La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 %

p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 %

p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %

Distribución UniformeLa distribución Uniforme es el modelo (absolutamente) continuo más simple.

Corresponde al caso de una variable aleatoria que sólo puede tomar valores

comprendidos entre dos extremos a y b, de manera que todos los intervalos de

una misma longitud (dentro de (a, b)) tienen la misma probabilidad. También

puede expresarse como el modelo probabilístico correspondiente a tomar un

número al azar dentro de un intervalo (a, b).

De la anterior definición se desprende que la función de densidad debe tomar el

mismo valor para todos los puntos dentro del intervalo (a, b) (y cero fuera del

intervalo). Es decir,

Propiedades del modelo Uniforme

Su esperanza vale (b + a)/2 Su varianza es (b − a)2/12

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Teorema del límite central

El Teorema Central del Límite dice que si tenemos un grupo numeroso de

variables independientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribución

(cualquiera que éste sea), la suma de ellas se distribuye según una distribución

normal.

Este teorema se aplica tanto a suma de variables discretas como de variables

continuas.

Los parámetros de la distribución normal son:

Media: n *   (media de la variable individual multiplicada por el número de

variables independientes)

Varianza: n *  (varianza de la variable individual multiplicada por el número de

variables individuales)

Se aproxima a la de una variable normal tipificada N(0,1), mejorándose la calidad de la aproximación a medida que n aumenta.

Este resultado prueba que el estadístico o estimador media muestral 

Con carácter general, o al menos en los modelos de probabilidad clásicos, se admite una aproximación aceptable al modelo normal siempre que n sea mayor o

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igual que 30, a pesar de que esta cifra es insuficiente en determinados  casos y excesiva en otros; por lo que debemos ser cautelosos en su aplicación. En el enlace modelos de probabilidad, se establece una relación de algunos modelos, con aproximaciones particulares, que en la mayoría de los casos derivan del teorema del límite central.

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Conclusión

Una distribución de probabilidad indica todo el conjunto de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si el mismo se llevase a cabo.

Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.

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Bibliografía

http://e-stadistica.bio.ucm.es/glosario2/teor_limite_central.html

http://www.vitutor.com/estadistica/inferencia/intervalos.html

http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/CursoEstadistica.htm

http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/05Distr%20Poisson.htm

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