La distribucin exponencial tiene una utilidad prctica ya que podemosconsiderarla como un modelo adecuado para la distribucin de probabilidad deltiempo de espera entre dos hechos que sigan un proceso de Poisson.La distribucinexponencial puede derivarse de unprocesoexperimental dePoisson con las mismas caractersticas que las enunciadas al estudiar ladistribucin de Poisson, pero tomando como variable aleatoria, en este caso, eltiempo que tarda en producirse un evento, por tal razn la variable aleatoria sercontinua.Este modelo de probabilidad es de gran utilidad en los siguientes casos: Distribucin del tiempo de espera entre sucesos de un proceso de Poisson. Distribucindel tiempoquetranscurrehastaqueseproduceunfallo, si secumple la condicin que la probabilidad de producirse un fallo en un instanteno dependen del tiempo transcurrido. Aplicaciones en fiabilidad y teora de lasupervivencia (tiempos de vida).Distribucin ExponencialSe dice que una variable aleatoria X tiene una distribucinExponencial con parmetro >0 si la funcin de densidad de X es:Distribucin Exponencial( )1* 0( , )0en otro casoxe xf x>= La mediay la desviacinestndar de la distribucinexponencialson iguales a 1/. Estas vienen dadas por:La funcindedensidadacumuladade Xsepuede integrar sindificultad, quedando expresada como:Distribucin Exponencial221 1y o = =0 0 ( , )1 0xxFxe x8. Ejercicio:La amplia experiencia con ventiladores de cierto tipo utilizados enmotores Diesel, indica que la distribucin exponencial proporcionaunbuenmodeloparael tiempohastaquesepresentaunafalla.Suponga que el tiempo medio hasta que se presenta una falla es de25000h. Cual es la probabilidad de que:a) Un ventilador seleccionado al azar dure por lo menos 20000h?0.449b) Alo sumo 30000h? 0.699c) Entre 20000 y 30000 horas? 0.148d) La vida til de un ventilador se exceda en mas de 2desviaciones estndar? 0.135e) Cual es el tiempo mediano de duracin de un ventilador?Distribucin ExponencialQuiz la distribucin ms importante de probabilidad para describir unavariable continua es la distribucin de probabilidad normal.Muchas poblaciones numricas tienendistribuciones quesepuedenajustar aunacurvanormal apropiada. Comoejemplos setienenlaaltura, el peso, entre otras caractersticas fsicas, errores de medicin enexperimentos cientficos, mediciones de inteligencia, aptitud,numerosas medidas econmicas e indicadoresAun cuando ladistribucin es discreta, la curva normal suele dar una buenaaproximacin.Cuandolosresultadosdeunexperimentosondebidosaunconjuntomuy grande de causas independiente, que actan sumando sus efectos,siendo cada efecto individual de poca importancia respecto al conjunto,es esperable que los resultados sigan una distribucin normal.La distribucin normal es la mas utilizada en procesos inferencialesDistribucin NormalDefinicinSe dice que una variable aleatoria X tiene una distribucin Normal, sisu funcin de densidad es:Donde es la media y la desviacin estndar( )212 21( ) ( ; , ) ,2xf x Nx e xo oo t= = < < -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 = 0 = 1 = 0 = 2Distribucin NormalLa distribucin de probabilidad normal es una distribucincontinua de probabilidad.Propiedades de la Normal:1. La familia completa de distribucin de probabilidad normalesse diferencia por su media y desviacin estndar .2. El punto ms alto de la curva normal es la media, que tambines la mediana y la moda de la distribucin.3. La media de la distribucin puede ser cualquier valornumrico: negativo, cero o positivo.4. La distribucin de probabilidad normal es simtrica, ysuforma a la izquierda de la media es una imagen especular de laforma a la derecha de la media.Distribucin NormalPropiedades de la Normal:5. La desviacin estndar () determina el ancho de la curva. Avalores mayores de se tienen curvas mas anchas y bajas, quemuestran una mayor dispersin en los datos.6. Las probabilidades para la variable aleatoria normal estndadas por reas bajo la curva. El rea total bajo la curva para ladistribucin de probabilidad normal es 1.Distribucin NormalEjemplo:Se desea saber comose distribuye la cantidadde llenadode unamaquina despachadora de gaseosas. Para esto se toma una muestra de200 botellas y se observa la cantidad de liquido contenidoLa cantidad de llenado de la maquina despachadora puede describirseporunadistribucinnormal conmedia200ml ydesviacinestndar15ml.160 180 200 220 2400.0000.0050.0100.0150.0200.0250.030La curva de densidad normal describe de forma compacta el aspecto general de los datos, ignorando las pequeas irregularidades as como las observaciones atpicasDistribucin Normal140 160 180 200 220 240 260 190 210Ejemplo:Unamaquinadespachadoradegaseosaestajustadaparaservir unpromedio de 200 ml por vaso. Si la cantidad de gaseosa esnormalmente distribuida con una desviacin estndar de 15 ml Cul esla probabilidad de que un vaso contenga entre 190 y 210 ml?21 21021901(190 210)2xP X e dxoto| | |\ .< < =}Distribucin NormalDistribucin Normal Estndar Se dice que una variable aleatoria que tiene distribucinnormalconmediacero(=0)y desviacinestndaruno(=1)tiene una distribucin de probabilidad normal estndar y se usa laletra Z para indicar esta variable aleatoria normal especial. Paraladistribucindeprobabilidadnormal estndarsehandeterminadolasreasbajolacurvanormal, ysemuestranentablas que se pueden usar para calcular probabilidades.Se puede pasar de una distribucin Normal a una NormalEstndar?Distribucin NormalEstandarizacin de una Variable Aleatoria Normal:LanuevavariableZsigueunadistribucinnormal conMedia0yVarianza 1, para la cual el calculo de la integral est resuelto en algunastablas( )0) ( z Z PxZ Px XP x X P < =|.|

\|< =|.|

\| +Aproximacin de una Binomiala una Normal30 40 50 60 700 5 10 15 200 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10El histograma de la distribucin Poisson tiende a ser simtrico cuando crece. = 1 = 2 = 10 = 50Aproximacin de una Poissona una Normal0 10 20 30 40LadistribucinPoissonseaproximaalanormal cuando esgrande.) , ( x POISSON) , , ( o = = x NPoisson = 20Normal = 202= 20Aproximacin de una Poisson a una NormalEjemplo:Un banco recibe en promedio 6 cheques falsos al da, suponiendo queel nmero de cheques falsos sigue una distribucin Poisson, Cul es laprobabilidadde que se recibanms de 40cheques falsos enunasemana? = 30 (Promedio de cheques falsos en una semana)) 30 , ( = x Poisson) 30 , 30 , ( = = o x NAproximacin de una Poisson a una NormalEjercicio de la clase anterior: Suponga que nos interesa el numero de llegadas a la ventanillade servicio de un banco, durante un periodo de 15 minutos en lasmaanas de los das hbiles. Un anlisis de datos histricomuestraqueel numeropromediodepersonasquellegaenunperiodo de 15 minutos es 10.a) Cual es la probabilidad de que hayan exactamente cincollegadas en 15 minutos?b) Cual es la probabilidad de que lleguen al menos 20 personas enuna hora?Ejercicio Una maquina produce baleros cuyos dimetros tienen una distribucinnormal con una media de 3.0005 pulgadas y una desviacin estndarde 0.0010 pulgadas. De acuerdo con las especificaciones, los dimetrosde los baleros estn en el intervalo de 3.000 0.0020 pulgadas. Losque tengan dimetros fuera de este intervalo se pasan de nuevo por lamaquina.Con base en las condiciones sealadas de produccin de la maquina,Qu fraccin del producto total se debe pasar de nuevo por lamaquina?Ejercicio