UNIDAD 5

DISTRIBUCIONES MUESTRALES

Antes de seguir adelante es conveniente de que Usted tenga en claro lo que ya vio.-Si hacemos una recapitulacin de lo que hemos visto hasta ahora podemos observar tres temas bien diferentes.-

El primero es la Estadstica Descriptiva y en ella se aprende una serie de tcnicas para organizar, presentar, analizar e interpretar un conjunto finito de observaciones, que segn el objetivo del estudio pueden constituir una poblacin o una muestra.-

El segundo tema fue el clculo de probabilidades y en esta parte se define la probabilidad como una medida de la posibilidad de ocurrencia de un experimento aleatorio, extendiendo la nocin de frecuencia relativa a las poblaciones finitas.-

Luego el tercer tema fue las distribuciones de probabilidad y a travs de ellas se presentan modelos matemticos tericos del comportamiento (en trminos probabilsticos) de las poblaciones.- Cada distribucin surge como consecuencia de hiptesis establecidas sobre el comportamiento del fenmeno aleatorio analizado.- Estas hiptesis son las que permiten identificar una poblacin con las correspondientes distribuciones y a su vez cada distribucin depende de parmetros matemticos cuyo valor hemos supuesto conocido.

A partir de este momento vamos a estudiar mtodos que nos permita obtener los valores de los parmetros poblacionales basndonos en los resultados de la muestra, y se podr ver la integracin de los tres grandes temas antes mencionados.- Los resultados que en el se expone se utilizarn una y otra vez en los mtodos a desarrollar en las Unidades siguientes.- Esta Unidad es necesariamente terica.-

Es necesario destacar la importancia de un entendimiento claro de estas distribuciones muestrales ya que este concepto es la clave para comprender la Inferencia Estadstica.-

MUESTREO DE UNA POBLACION

A menudo utilizamos muestras en lugar de toda la poblacin porque el costo y el tiempo necesario para medir todos los elementos de la poblacin seria prohibitivos.- Adems en algunos casos la medicin requiere la destruccin de los elementos.- En general, se consigue una precisin mayor extrayendo con cuidado una muestra aleatoria de la poblacin, que dedicando los recursos a medir todos sus elementos.- La precisin es mayor por dos razones:En primer lugar, a menudo es muy difcil obtener y medir a todos los elementos de una poblacin, e incluso cuando es posible, el costo es muy alto cuando la poblacin es grande.-

En segundo lugar como veremos en esta Unidad, pueden utilizarse muestras bien seleccionadas para realizar estimaciones medidas de las caracterstica de la poblacin que son muy cercanas a los valores reales.-

La forma como se selecciona una muestra se llama Plan de Muestreo o Diseo Experimental y determina la cantidad de informacin en la muestra.- Conocer el plan de muestreo usado en una situacin particular le permitir medir la confiabilidad o bondad de su inferencia.-Las muestras ideales para este fin es la: MUESTRA ALEATORIA SIMPLE.-

Muestra aleatoria simple.-Supongamos que queremos seleccionar una muestra de n objetos de una poblacin de N objetos.- Se selecciona una muestra aleatoria simple tal que todos los objetos tienen la misma probabilidad de ser seleccionados y se seleccionan independientemente, es decir, la seleccin de un objeto no altera la probabilidad de que sean seleccionados otros objetos.- Las muestras aleatorias simples son el ideal.- En algunos estudios por muestreo del mundo real, los analistas desarrollan mtodos alternativos para reducir el costo del muestreo.- Pero la base para saber si estas estrategias alternativas son aceptables es el grado en que los resultados se aproximan a los de una muestra aleatoria.-

Es importante que una muestra represente al conjunto de la poblacin.- Por ejemplo, si un director de marketing quiere evaluar las reacciones a un nuevo producto alimenticio, no muestrea nicamente a sus amigos y vecinos.- Es improbable que las opiniones de esos grupos representen las de toda la poblacin y es probable que estn concentradas en un intervalo ms reducido.- Para evitar estos problemas seleccionamos una muestra aleatoria simple.- El muestreo aleatorio es nuestra pliza de seguro contra la posibilidad de que los sesgos personales influyan en la seleccin.-El muestreo aleatorio simple puede realizarse de varias manera, lo ms comn es poner en una bolsa papelitos con nmeros de los N miembros de la poblacin y luego mezclar bien y seleccionar papelitos sin mirar.- (Esto es poco posible si la poblacin es muy grande).-

En la prctica, solemos utilizar nmeros aleatorios para seleccionar objetos a los que podemos asignar un valor numrico.- Por ejemplo, los grupos de estudios de mercado pueden utilizar nmeros aleatorios para seleccionar nmeros de telfonos a los que llamar y preguntar por las preferencias por un producto.-Algunos paquetes estadsticos y hojas de clculo tienen rutinas para obtener nmeros aleatorios, que se utilizan generalmente en la mayora de los estudios por muestreo.- Estos nmeros aleatorios generados por ordenador tienen las propiedades necesarias para elaborar muestras aleatorias.- Las organizaciones que necesitan muestras aleatorias de grandes poblaciones humanas, por ejemplo los candidatos polticos que tratan de averiguar las preferencias de los votantes, recurren a empresas profesionales de muestreo, que se dedican a seleccionar y gestionar el proceso de muestreo.-

Un buen muestreo exige mucho trabajo y un elevado costo.-Aqu centramos la atencin en los mtodos para analizar los resultados de muestras aleatorias simples con el fin de obtener informacin sobre la poblacin.- Este proceso sobre el que nos extenderemos en las Unidades siguientes, se conoce con el nombre de Inferencia Clsica.- Sin embargo, existen otros mtodos de muestreo, que es posible que en algunas circunstancias se prefieran a otros mtodos de muestreo.-Las muestras aleatorias protegen contra la posibilidad de que algn grupo de la poblacin este subreprentado en la muestra.- Si una poblacin se muestrea repetidamente utilizando mtodos de muestreo aleatorio, ningn subgrupo especfico esta sobrerepresentado o subrepresentado en la muestra.-

Adems , el concepto de distribuciones en el muestreo me permite averiguar la probabilidad de obtener una determinada muestra.-Utilizamos la informacin muestral para hacer inferencias sobre la poblacin de la que procede la muestra.- La distribucin de todos los valores de inters de esta poblacin pueden representarse por medio de una variable aleatoria.- Sera demasiado ambicioso intentar describir toda la distribucin poblacional basndonos en una pequea muestra aleatoria de observaciones.-Sin embargo, podemos muy bien hacer inferencias bastantes slidas sobre importantes caractersticas de la distribucin poblacional, como la media y la variancia poblacional.-

Por ejemplo, dada una muestra aleatoria del consumo de combustible de 20 automviles de un determinado modelo, podemos utilizar la media y la variancia muestral para hacer inferencias sobre la media y variancia poblacional del consumo de combustible.- Esta inferencia se basar en la informacin muestral.-Podemos hacernos preguntas como la siguiente:Si el consumo de combustible, en kilmetros por litro, de la poblacin de todos los automviles de un determinado modelo tiene una media de 25 litros y una desviacin estndar de 2 litros; Cul es la probabilidad de que el consumo medio muestral de combustible de los automviles de una muestra aleatoria de 20 sea de menos de 24 kilmetros por litro?

A continuacin veremos que podemos utilizar la distribucin de la media muestral en el muestreo para responder a esta pregunta.-Necesitamos distinguir entre los atributos de la poblacin y los atributos de la muestra aleatoria.- En el prrafo anterior, la poblacin de mediciones del consumo de combustible de todos los automviles de un determinado modelo, sigue una distribucin que tiene una determinada media.- Esta media, un atributo de la poblacin, es un nmero fijo (pero desconocido).- Hacemos inferencias sobre este atributo extrayendo una muestra aleatoria de la poblacin y calculando la media muestral.- Cada muestra que extraigamos tendr una media muestral distinta y la media muestral puede considerarse, como una variable aleatoria con una distribucin de probabilidad .-

La distribucin de las medias muestrales posibles constituye la base para realizar inferencias sobre la muestra.- En esta Unidad se utiliza la distribucin muestral o distribuciones en el muestreo para contestar preguntas de probabilidad acerca de los estadsticos muestrales.- Recordemos que vimos anteriormente que en la Estadstica Descriptiva, la media, mediana, la variancia, el desvo estndar, son estadsticos que se obtienen de la muestra.-

Veamos entonces que es una DISTRIBUCION MUESTRALLa distribucin de todos los valores posibles que puede asumir un estadstico calculado a partir de muestras del mismo tamao, seleccionado aleatoriamente de la poblacin se llama DISTRIBUCION MUESTRAL DE ESE ESTADISTICO.-

Las distribuciones muestrales pueden construirse empricamente a partir de poblaciones finitas.- Para ello, se procede como sigue:DISTRIBUCIONES MUESTRALES:Elaboracin1.- De una poblacin finita de tamao N, se extraen de manera aleatorias todas las muestras posible de tamao n.-2.- Se calcula el estadstico de inters para cada muestra.-3.- Se ordena en una columna los distintos valores observados del estadstico y en otra columna, las frecuencias de ocurrencia correspondientes de cada valor observado.-

Elaborar la distribucin muestral es una tarea muy complicada si la poblacin es de un tamao muy grande e imposible si la poblacin es infinita.- En ltimo caso, es posible obtener aproximaciones de las distribuciones muestrales tomando un gran nmero de muestras de un tamao dado.-

DISTRIBUCIONES MUESTRALES:Caractersticas importantes:Normalmente para una distribucin muestral se tiene inters en conocer tres cosas: MediaVarianciaForma funcional(grafica)Desviacinestndar

DISTRIBUCION DE LA MEDIA DE LA MUESTRA

A CONTINUACIN VEAMOS UN EJEMPLO DE CMO ELABORAR ESTA DISTRIBUCION SIGUIENDO LOS PASOS ANTES MENCIONADOS:(en la practica profesional nunca puede hacer esto)Consideremos una poblacin de tamao N = 5, la cual se compone de los aos de antigedad en la empresa de cinco empleados.- Las antigedades en aos son las siguientes; 6, 8, 10, 12, 14.- Calculemos la media y la variancia de la poblacin como sabemos: = xiN= 10 = (xi )N= 8

Supongamos que elegimos todas las posibles muestras de tamao n = 2 de la poblacin de tamao N = 5 que determinamos antes.-La tabla A muestra todas las posibles muestras de tamao 2.-Las muestra que estn arriba y debajo de la diagonal principal resultan cuando el muestreo es sin reemplazo.- Las medias de las muestras estn entre parntesis.-

TABLA A

SEGUNDA SELECCION681012141SELECCION66;6(6)6,8(7)6;10(8)6;12(9)6;14(10)88;6(7)8,8(8)8;10(9)8;12(10)8;14(11)1010;6(8)10,8(9)10;10(10)10;12(11)10;14(12)1212;6(9)12;8(10)12;10(11)12;12(12)12;14(13)1414;6(10)14;8(11)14;10(12)14;12(13)14;14(14)

En este ejemplo se observa que cuando el muestreo se hace con reemplazos, hay 25 muestras posibles.- En general, cuando el muestreo se lleva a cabo con reemplazos, el nmero de muestras posible es igual a NPuede construirse la distribucin muestral de media ordenando los diferentes valores de media en una columna y sus frecuencias de ocurrencia en la otra, tal como mostramos a continuacin: n

MEDIASFRECUENCIAFREC. RELATIVA611/25722/25833/25944/251055/251144/251233/251322/251411/25TOTAL251,00

En la tabla se aprecian los datos que satisfacen los requerimientos para la distribucin de probabilidad.- Las probabilidades individuales todas son mayores de 0 y la suma de todas ellas me da 1,00.-Se mencion al principio que un inters principal radica en la forma funcional de la distribucin, su media y la variancia.- 6812141067891012111314fxx1Distribucin de la poblacinDistribucin muestral de xfx

DISTRIBUCION MUESTRAL DE X: forma funcionalEn las figuras anteriores observamos que el grfico en la poblacin esta distribuido uniformemente, en la distribucin muestral va tomando una forma cada vez ms similar a la normal.-DISTRIBUCION MUESTRAL DE X: la mediaEl paso siguiente es calcular la media de la distribucin muestral.-

= = = 10

Observamos que la media de la distribucin muestral me da igual a la media de la poblacin, esto no es casualidad, siempre es as.-xx2525250

DISTRIBUCION MUESTRAL DE X: variancia.- = = 100/25 = 4

Tambin se puede advertir que la variancia de la distribucin muestral no es igual a la variancia de la poblacin, sin embargo, es interesante observar que la variancia de la distribucin muestral es igual a la variancia de la poblacin dividida entre el tamao de la muestra utilizada para obtener la distribucin muestral.- Esto es: = = 8/2 = 4

x ( x - )x25xn

A la raz cuadrada de la variancia de la distribucin muestral, se le conoce como error estndar de la media.-

Entonces: = x =

Estos resultados no son coincidencia sino ejemplos de las caractersticas de las distribuciones muestrales en general, cuando el muestreo es con reemplazo o cuando se efectan a partir de una poblacin infinita.- xnn

Para generalizar, se debe distinguir entre dos situaciones; Muestreo a partir de una poblacin que sigue una distribucin normalMuestreo a partir de una poblacin que no sigue una distribucin normal.-

DISTRIBUCION MUESTRAL DE X: muestreo a partir de poblaciones que siguen una distribucin normal.-Cuando el muestreo se realiza a partir de una poblacin que sigue una distribucin normal, la distribucin de la media de la muestra tiene las siguientes propiedades:1.- La distribucin de la media ser normal.-2.- La media de la media de la distribucin muestral ser igual a la media de la poblacin de la cual proviene la muestra.-3.- La variancia de la distribucin muestral ser igual a la variancia dela poblacin dividida entre el tamao de la muestra.-

DISTRIBUCION MUESTRAL DE X: muestreo a partir de poblaciones que no siguen una distribucin normal.-Cuando el muestreo se hace a partir de una poblacin que no sigue una distribucin normal, se utiliza un teorema matemtico conocido como teorema central del lmite.- La importancia de este teorema en la inferencia estadstica se resume en el siguiente prrafo:Dada una poblacin de cualquier forma funcional no normal con una media y variancia finita , la distribucin muestral de la media x, ser casi normal con media x y variancia /n cuando la muestra es muy grande.-

Observamos que el Teorema Central del Limite permite tomar muestras a partir de la poblaciones con distribucin no normal y garantizar que se obtengan aproximadamente los mismos resultados que si la poblacin tuviera una distribucin normal, siempre que se tome una muestra grande.- La importancia de esto se demostrara ms adelante al estudiar que una distribucin muestral con distribucin normal es una herramienta importante en la inferencia estadstica.-En el caso de la media de la muestra, se tienen la seguridad de que la distribucin muestral est distribuida en forma al menos aproximadamente normal con tres condiciones:

1.- Cuando se hace el muestreo a partir de una poblacin con distribucin normal.-2.- Cuando se hace el muestreo a partir de una poblacin que no exhibe una distribucin normal y la muestra es grande.-3.- Cuando se hace el muestreo a partir de una poblacin cuya forma funcional se desconoce, siempre que el tamao de la muestra sea grande.-Al llegar a este punto, nos surge una pregunta lgicaQu tan grande debe ser la muestra para que el teorema central del lmite sea aplicable?.-

No existe una sola respuesta, pues el tamao de la muestra depende de la condicin de no normalidad en la poblacin.- Una regla emprica establece que, en la mayora de las situaciones prcticas, una muestra de tamao 30 es suficiente.- Es decir,

n 30 normalidad

En general, la aproximacin a la normalidad de la distribucin muestral de X llega a ser mucho mejor a medida que crece el tamao de la muestra.-

MUESTREO SIN REEMPLAZO.-Los resultados anteriores se han dado con la premisa de que el muestreo es con reemplazo o que la muestra fue extrada de una poblacin infinita.- En general, no se efectan muestreo con reemplazo, y en muchos casos prcticos, el muestreo debe hacerse a partir de una poblacin finita; por lo tanto, es necesario conocer el comportamiento de la distribucin muestral de la media de la muestra con estas condiciones.- Antes de hacer cualquier afirmacin general, conviene revisar nuevamente los datos de la tabla que vimos al comienzo.- Las media de la muestra que resulta cuando el muestreo es sin reemplazo se presentan sobre la diagonal principal que son las mismas que se presentan por debajo de dicha diagonal, siempre y cuando se ignore el orden en que se hicieron las observaciones.-

Se observa que hay 10 muestras posibles.- En general, cuando se extraen sin reemplazo muestras de tamao n a partir de una poblacin finita de tamao N y se ignora el orden en que son extradas las muestras, se obtiene el numero posible mediante la combinacin de N casos tomados de n a la vez.- El siguiente ejemplo se tiene que:

nCN = = = 10

La media de las 10 medias muestrales es:

= 10 N!(N-n)!n!2!5!3!x = x10=7 + 8 + 9 + 10 + 9 + 10 + 11 + 11 + 12 +1310

Nuevamente se aprecia que la media de la distribucin muestral es igual a la media de la poblacin.-La variancia de la distribucin muestral se calcula como sigue; x = = 30/10 = 3

En esta ocasin se observa que la variancia de la distribucin muestral no es igual a la variancia de la poblacin dividida entre el tamao de la muestra, sin embargo, existe una relacin interesante que se descubre al multiplicar, = = 3

( xi - x)10825 - 24N - nN - 1 n

Este resultado indica que si se multiplica la variancia de la distribucin muestral que se obtendr si el muestreo fuese con reemplazo por el factor (N-n)/(N-1), se obtiene el valor de la variancia de la distribucin muestral que resulta cuando el muestreo es sin reemplazo.- Es posible generalizar estos resultados con el siguiente enunciado:Cuando el muestreo es sin reemplazo a partir de una poblacin finita, la distribucin muestral de x tendr una media y una variancia;N - nN - 1 n

Si el tamao de la muestra es muy grande, el teorema central del lmite es aplicable y la distribucin muestral de la media ser aproximadamente normal.-Correccin por poblacin finitaAl factor (N-n) / (N-1) se le llama factor de correccin por poblacin finita y se puede omitir cuando el tamao de la muestra es pequeo en comparacin con el tamao de la poblacin.- Cuando la poblacin es mucho mayor que la muestra la diferencia entre usar o no el factor es insignificante.-La mayora de los Estadsticos no usamos el factor a menos que la muestra sea de ms de 5% de la poblacin.- Es decir, la correccin por poblacin finita generalmente se ignora cuando n/N 0,05.-

APLICACIN.- Como veremos en Unidades siguientes, el conocimiento y la comprensin de las distribuciones muestrales son necesarias para entender los conceptos de la inferencia estadstica.- La aplicacin ms sencilla para la distribucin muestral de la media de la muestra es el clculo de la probabilidad de obtener una muestra con una media de alguna magnitud especificada.-

USO DE LA DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA

La importancia de lo que venimos discutiendo hasta ahora puede reconocerse solo si se recuerda que muchas de las decisiones que tomamos se toman en base a los resultados muestrales.- Por ejemplo, un gerente administrativo puede tomar una muestra de un producto para determinar si cumple o no con ciertas especificaciones de produccin.- Un agente de gobierno tomar una muestra de los residentes para decidir si cierto plan tributario producir el efecto esperado; cierta empresa desea implementar un programa nuevo de trabajo y ver si producir el efecto esperado en la produccin, etc.-

Como se dijo, las muestras tienen un impacto muy directo y consecuencial en las decisiones que se toman.-

Por tanto, toda conclusin que se saque o todo conocimiento que se tenga respecto a una muestra es muy importante.- Una aplicacin muy comn y de gran utilidad en una distribucin muestral es la de determinar la probabilidad de que una media muestral clasifique dentro de un cierto rango planteado.-

Dado que la distribucin muestral estar distribuida normalmente pues;La muestra se toma de una poblacin que se distribuye como normal,

b) n 30 y el teorema central del lmite garantiza la normalidad en el proceso de muestreo, la desviacin normal puede usarse para ganar informacin esencial para el proceso de toma de decisiones.-

Al desarrollar la distribucin normal, vimos como usar la normal estandarizada (Z), en una distribucin muestral usamos el mismo procedimiento, pero modificamos el Z.-

Muchas de las decisiones en las empresas depende de una muestra completa, entonces la formula de reconversin estar dada por:El valor de inters en el numerador no es una observacin nica de X, sino la media de n observaciones.- Adems, el denominador no es la desviacin estndar poblacional , sino que el error estndar de la distribucin muestral x.-

a) Este entre 145 y 150 b) Sea mayor que 145 c) Sea menor que 155 d) Est entre 145 y 155 e) Sea mayor que 155 Telecom Satelital es una empresa de Telecomunicacin que presta servicios en ciertas ciudades.- Los funcionarios de la empresa han aprendido que la transmisin satelital promedio es de 150 segundos con una desviacin estndar de 15 segundos.- Los tiempos parecen estar distribuidos normalmente.- Plantea instalar nuevos equipos que mejoraran la eficiencia de sus operaciones.- Sin embargo, antes que los ejecutivos puedan decidir si dicha inversin ser eficaz en funcin de los costos debe determinar la probabilidad de que la media de la muestra de n = 35, SOLUCIONVEAMOS ESTE EJEMPLO:

P(145 x 150).-

Calculamos

P(145 x 150) = 0.50 - F(-1,97) = 0.50 - 0.0244 = 0,4756 150145X

b) P(x 145)CalculamosP ( x 145) = 1,00 - F (- 1,97) = 1,00 - 0,0244 = 0,9756150145X

As, con el mismo criterio se seguirn calculando el resto de los incisos, quedando ellos para ejercitacin del alumno.-

Lo importante que con esta informacin Telecom puede tomar decisiones ms inteligente respecto a la necesidad de nuevos equipos.-

Supongamos que la empresa que usted asesora produce productos manufacturados, las ventas mensuales sigue una distribucin normal con media de 186,6$ (en miles) y una desviacin estndar de 12,7$.- Cul es la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamao 10 meses de esta poblacin tenga una media mayor que 190$ ?.-SolucinVeamos otro ejemplo.-

Se sabe que la muestra individual que se estudia es solo una de todas las muestras posibles de tamao 10 que pueden ser extradas de la poblacin, de modo que la media a la que conduce es una de las x que forman parte de la distribucin muestral de x, que , tericamente podra inferirse de esa poblacin.- Cuando se dice que la poblacin tiene una distribucin aproximadamente normal, se supone que la distribucin muestral de x sigue para fines prcticos una distribucin normal.- Tambin se sabe que la media y la desviacin estndar de la distribucin muestral son iguales a 186,6 $ y / n = 12,7 / 10 = 4,02 respectivamente.-Se supone que la poblacin es grande con respecto a la muestra, de manera que el factor de correccin para poblacin finita puede omitirse.-

Hemos aprendido que siempre que se tenga una variable aleatoria con distribucin normal esta puede transformarse en una distribucin normal estandarizada.- Entonces debemos obtener nuestra Z con las transformaciones antes planteadas y luego realizar el clculo como hemos visto oportunamente.-Entonces,

x - x / nZ =

P (x 190) = P ( Z 1,00) = 1 - F ( 1,09) = = 1 - 0,8621 = 0,1379 14 %x185,6190

Veamos otro ejemplo del valor prctico de la distribucin muestral de la media.--.Para que los alumnos discutan.-Al director de personal de cierta empresa multinacional muy importante se le ha asignado la tarea de elaborar un perfil de los 2500 gerentes de la empresa.- Las caractersticas por identificar son, entre otras, el sueldo anual promedio y la proporcin de gerentes que terminaron el programa de adiestramiento de la empresa.-Si definimos a los 2500 gerentes como la poblacin a estudiar, podemos determinar el salario anual y el estado de adiestramiento en el programa para cada individuo, consultando los registros del personal que tiene la empresa.- Supongamos que ya se hizo lo anterior y que contamos con informacin de todos los 2500 gerentes.-Si empleamos las formulas que vimos en Unidades anteriores para calcular la media de la poblacin y la desviacin estndar poblacional, que resultaron ser: = 51800 dlares y = 4000 dlares.-

Sabemos que tanto como , son parmetros (caractersticas de la poblacin).-El asunto que deseamos considerar es como el director de personal puede obtener estimados de esos parmetros poblacionales con una muestra de gerentes, en lugar de hacerlo con los 2500 individuos de la poblacin.- Supongamos que se usara una muestra de 30 gerentes.- Es claro que el tiempo y el costo de desarrollar un perfil para 30 gerentes seran mucho menores que para toda la poblacin.- Si el director de personal pudiera estar seguro de que la nuestra de 30 gerentes suministra la informacin adecuada sobre la poblacin de 2500 gerentes, preferir trabajar con la muestra que con toda la poblacin.-Empezar su investigacin obteniendo la muestra de los 30 gerentes, aplicando un muestreo simple aleatorio (como hemos visto).- Se calcula el valor de la media de la muestra para estimar , la media de la poblacin, no podemos esperar que la media de la muestra sea exactamente igual a la media de la poblacin.-

Vimos que el valor absoluto de la diferencia entre la media de la muestra y la media de la poblacin me daba el error muestral.- La razn prctica de que nos interesa la distribucin muestral de x es que la podemos usar para determinar informacin probabilstica acerca del tamao del error de muestreo, ya que no lo podemos calcular porque desconocemos la media de la poblacin.-. Supongamos que el director de personal cree que la media de la muestra ser un estimado aceptable de la media de la poblacin si el promedio muestral dista menos de 500$ del promedio poblacional.-

En trminos de probabilidad, lo que le preocupa en realidad al director es la siguiente pregunta,Cul es la probabilidad de que la media de la muestra que obtengamos de una muestra aleatoria simple de 30 gerentes est dentro del intervalo de 500 dlares alrededor de la media de la poblacin?

Como hemos identificado las propiedades de la distribucin muestral de x, usaremos esa informacin para contestar la pregunta.- La distribucin muestral, ser;

X = 51800 dl.-

518005130052300X

El director de personal pregunta sobre la probabilidad de que la media de la muestra sea entre 51300 y 52300 dlares.- Si el valor de la media de la muestra de X esta en ese intervalo, se aproximar a 500 dlares de la media poblacional.- La probabilidad correspondiente es el rea de la distribucin muestral que vimos en la figura anterior.-Como la distribucin muestral es normal, con promedio de 51800 y desviacin estndar 730,30, podemos usar la tabla de la distribucin de probabilidad normal estandarizada, para calcular el rea.-Tendremos;

P( 51300 x 52300) = 0,7518 - 0,2482 = 0,5036

Esto nos indica que una muestra aleatoria simple de 30 gerentes de la multinacional tiene una probabilidad de 0,50 de dar como resultado una media de la muestra que quede a 500$ o menos de la media poblacional.- En otras palabras, una muestra aleatoria simple de 30 gerentes tiene una probabilidad de 50 a 50 de quedar dentro de los 500$ alrededor de la media poblacional.-Quizs deba tomar la decisin de aumentar el tamao de la muestra para lograr obtener datos para tomar decisiones ms seguras.-

Seguramente al aumentar por ejemplo el tamao de muestra n =100, la probabilidad de obtener una media de muestra dentro de los mrgenes pedidos, respecto a la media de la poblacin sea mayor.-

EJERICICIO PARA HACER EN CLASESupngase que los incrementos salariales porcentuales anuales de los directores generales de todas las empresas de tamao medio siguen una distribucin normal que tiene una media de 12,2 por ciento y una desviacin estndar de 3,6 por ciento.- Se extrae una muestra aleatoria de nueve observaciones de esa poblacin y se calcula la media muestral.- Cul es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a un 10 por ciento?.-SolucinResp: 0.0336

2.- Un fabricante de bujas sostiene que la duracin de sus bujas siguen una distribucin normal que tiene una media de 36000 kilmetros y una desviacin estndar de 4000 kilmetros.- Una muestra aleatoria de 16 bujas tena una duracin media de 34500 kilmetros.- Si la afirmacin del fabricante es correcta, Cul es la probabilidad de obtener una media muestral de 34500 o menos kilmetros?.-SolucinRepta: 0,0668

3.- La duracin de la enfermedad de Alzheimer desde el inicio de los sntomas hasta la muerte vara de tres a 20 aos; el promedio es ocho aos con una desviacin estndar de cuatro aos.- El administrador de un centro mdico selecciona al azar, de la base de datos del centro mdico, los expedientes de 30 pacientes que murieron de Aizheimer y anota la duracin media.-Encuentre las probabilidades aproximadas para estos eventos:La duracin promedio es menor que 7 aos.- Excede 7 aos.- La duracin promedio queda dentro del intervalo de 1 ao de la media poblacional 8.-Rpta: a) 0.0853 b) 0.9147 c) 0.8294

4.- Para evitar dificultades con la Oficina de Proteccin al Consumidor, un embotellador debe asegurarse que las botellas de 12 onzas en realidad contenga esa cantidad de bebida.- Para determinar si una mquina embotelladora est trabajando satisfactoriamente, el embotellador muestrea al azar 10 botellas por hora y mide la cantidad de bebida en cada una.-La media x de las 10 botellas de llenado se usa para decidir si se reajusta la cantidad de bebida con que la mquina llena cada botella.- Si en los registros se observa que la cantidad de llenado por botella tiene una distribucin normal, con una desviacin estndar de 0,2 onzas y si se ajusta la embotelladora para producir un llenado medio por botella de 12,1 onzas.-Cul es la probabilidad aproximada de que la media muestral de las 10 botellas de prueba sea menor que 12 onzas?.-

LA DISTRIBUCION DE LAS PROPORCIONES MUESTRALES

Hasta ahora la discusin se concentro exclusivamente en las media de los asuntos que se tratan en la administracin, negocios, economa, etc., muchas veces en ellos interesa la proporcin P de la poblacin.-

Una firma de marketing puede querer averiguar si un cliente compra o no un producto, un banco puede estar interesado en determinar su un depositante pedir o no un crdito para auto, muchas firmas deben determinar la probabilidad de que un proyecto para presupuestar capitales generar o no un rendimiento positivo, etc.-

En todos estos casos se usa la proporcin muestral p para hacer inferencias sobre la proporcin poblacional. P.- Podemos predecir que en cada repeticin del proceso obtendremos un valor distinto de la proporcin muestral p.-

La distribucin de probabilidad de todos los valores posibles de esa proporcin p se llama distribucin de la proporcin muestral.-La distribucin de probabilidad binomial segn vimos implica determinar las probabilidades de diferentes nmeros de xitos en un experimento binomial.- La distribucin binomial es una distribucin de probabilidad discreta que indica la probabilidad de x xitos en n pruebas de un experimento binomial, donde cada prueba tiene dos resultados posibles, xitos y fracasos.- x p = ------- nEsta frmula nos muestra que para una muestra de n pruebas de un experimento binomial, la proporcin de xitos, el estadstico p, se calcula dividiendo el nmero de xitos x entre el nmero de pruebas n.-

Para determinar lo cercano que esta la proporcin muestral p de la proporcin poblacional P necesitamos comprender las propiedades de la distribucin muestral de p, su valor esperado, su desviacin estndar y la forma de la distribucin.-El valor esperado de p, la media de todos los valores posibles de p, se puede expresar como,

E (p) = P

La ecuacin anterior nos expresa que la media de todos los valores posible de p es igual a la proporcin P de la poblacin y esto siempre es as.- La desviacin estndar de p se llama error estndar de la proporcin.- Igual que en caso de las medias de la muestra x, el error estndar de la proporcin depende si la poblacin es finita o infinita, entonces:

Al comparar estas dos frmulas, vemos que la diferencia es el empleo del factor de correccin para poblaciones finitas.-Como en el caso de la media de muestra x, vemos que la diferencia entre las ecuaciones para poblaciones finitas e infinita se hace despreciable si el tamao de la poblacin finita es grande en comparacin con el tamao de la muestra.- Seguiremos la misma regla que recomendamos antes.-

Como ya conocemos el promedio y la desviacin estndar de la proporcin muestral p, debemos conocer ahora la forma de la distribucin.- Al aplicar el Teorema Central del Lmite a p se tiene que la distribucin muestral de p se puede aproximar con una distribucin normal de probabilidad, siempre que el tamao de muestra sea grande.- En el caso de p, se puede considerar que el tamao de muestra es grande cuando se cumple las dos siguientes condiciones:

n P 5 y n (1- P) 5

Esto es, si la poblacin es infinita y n/N 0,05 usamos el error estndar de la proporcin sin el factor de correccin, sin embargo, si la poblacin es finita y la relacin es n/N 0,05, se debe usar el factor de correccin.-

Sabemos que la aproximacin normal puede mejorar con la correccin por continuidad, un mecanismo que hace un ajuste en el caso de que una distribucin continua se aproxime a una distribucin discreta.- En el caso de estudio de proporcin de una poblacin, estas son muy grandes y la correccin no aporta diferencia y por lo tanto la podemos obviar.-

Veamos un ejemplo, con valores irreales solo para entender los conceptos elementales vistos.- Recuerde que esto en la prctica profesional no se puede hacer.-

Casa Garbarino pregunta a toda la poblacin de clientes N = 4, si vieron el anuncio de ofertas, publicitado en el diario del da.- Se registra una respuesta de SI como xito y de NO como fracaso.- Los cuatro clientes respondieron: S1 N2 N3 S4.-

La proporcin poblacional de xito es P = 0.50.- Si tomamos muestras de tamao n = 2, la cantidad de muestras ser igual a las combinaciones de cuatro elementos tomados de a dos, que me da igual a 6, la proporcin de xitos se registra como sigue en la siguiente tabla:

XiN de xitosProporcin de xitos

S1N210.50S1N310.50S1S421.00N2N300.00N2 S310.50N2 S410.50Total----------------------3.00

El valor esperado, media de distribucin muestral de la proporcin muestral es;

p 3 p = E(p) = ------------- = ------ = 0.50 = P K 6

Tenemos que calcular ahora el error estndar de la proporcin muestral, que ser;

Observo si n / N 0.05 es este caso no necesito el factor de correccin para poblaciones finitas, en cambio si n / N 0.05 si lo debo usar al calcular el error estndar de la proporcin muestral.-

En nuestro caso n / N = 2 / 4 = 0.50 0.05Luego:

Las herramientas recientemente desarrolladas para las proporciones muestrales permiten determinar las probabilidades que pueden ser muy tiles en la toma de decisiones importantes.- Esto se logra aplicando la distribucin normal a la distribucin muestral de proporciones muestrales, como veremos en el punto siguiente.-

p - P Z = ----------------- p

VALOR PRCTICO DE LA DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA PROPORCIN MUESTRAL.-

Siempre que se selecciona una muestra aleatoria simple y que el valor de la proporcin de la muestra p se usa para estimar el valor de la proporcin poblacional P, podemos predecir que hay cierto error de muestreo.- En este caso, el error de muestreo es el valor absoluto de la diferencia entre el valor de la proporcin muestral p y la proporcin poblacional P.-

El valor prctico de la distribucin muestral de p es que se puede usar para proporcionar informacin probabilstica acerca del error de muestreo.-

Veamos un ejemplo.-El director de personal de cierta multinacional se le ha asignado la tarea de elaborar un perfil de los 2500 gerentes de la empresa.- La caracterstica por identificar es la proporcin de gerentes que terminaron el programa de adiestramiento administrativo de la empresa.- Si definimos a los 2500 gerentes como la poblacin a estudiar y sabemos que 1500 han terminado el programa de adiestramiento.- Se saca una muestra de 30 gerentes y sabemos que de ellos 19 han terminado el programa de adiestramiento.- Supongamos que el director de personal desea conocer la probabilidad de obtener un valor de p que se acerque a 0,05 o ms de la proporcin poblacional de gerentes que participaron en el programa de adiestramiento.-

Esto es, Cul es la probabilidad de obtener una muestra con proporcin muestral p entre 0,55 y 0,65?.- Usando el hecho de que la distribucin muestral p se puede aproximar con una distribucin normal de probabilidad con promedio P = 0.60 y p = 0,0894, entonces ser:

P( 0.55 p 0.65) = 0.7123 - 0.2877 = 0,4246 La probabilidad de seleccionar una muestra que de cmo resultado una proporcin muestral ms cercano que 0.05 a la proporcin poblacional P es del 42%.- 0,600,550,65p

Veamos otro ejemplo prctico.- El 5% de los cinescopio que la compaa Audio Films hace para monitores de PC son devuelto por el fabricante de monitores como defectuosos.- Este hecho preocupa a Audio Films, en especial despus de leer un artculo en la revista PC Word, sobre la gua a los compradores de monitores sper VGA.- Audio Films considera que es esencial mejorar su desempeo de calidad si quiere continuar suministrando cinescopios a la industria.- Despus de iniciar su programa de mejora de calidad, Audio Films obtendr una muestra de cinescopios para verificar si la calidad se ha elevado.- Se elegir una muestra de 125 cinescopios del almacn durante unos cuantos das.- Cul es la probabilidad de que ms del 8% sean defectuosos, suponiendo que la tasa global de unidades defectuosas es todava el 5%?.-Solucin

P( p 0.08) = 1 - F(1,54) = = 1 - 0.9382 = 0.0618

Hay una probabilidad de alrededor del 6% de que el 8% de los cinescopios o ms sean defectuosos, suponiendo que la tasa de defectos de la poblacin es del 5%.-

EJEMPLO 3.- Rosales SRL, adquiere componentes para sus telfonos celulares en lotes de 200 de una firma en Buenos Aires.- El componente tiene una tasa de defectos del 10%.- Una poltica establecida recientemente por Rosales SRL establece que si el siguiente envi tiene: a) Ms del 12 % de defectos, definitivamente buscar un nuevo proveedor.- b) Entre el 10 y el 12 % de defectos (inclusive), considerar un nuevo proveedor.- c) Entre el 5 y el 10% de defectos (inclusive), definitivamente no conseguir un nuevo proveedor.- d) Menos del 5 % de defectos, incrementar sus pedidos.- Cual decisin es ms probable que tome Rosales SRL?.-

Debido a que el tamao de la poblacin no se suministra, se asume que Rosales SRL compra muchos componentes y el tamao de la muestra de n = 200 es menor que 0,05 N y por lo tanto no se necesita el factor de correccin para poblaciones finitas.- p =

a) P (p > 0,12) = 0,1711 b) P ( 0,10 p 0,12) = 0,3289 c) P ( 0,05 p 0,10) = 0,4913 d) P ( p < 0,05) = 0,0087

Como la parte c) tiene la probabilidad ms alta. Rosales SRL se quedar con su proveedor actual.-0,1 0,9 200 = 0,021

EJEMPLO 4.- En una encuesta se pregunto a 500 madres y padres acerca de la importancia de los deportes para muchachos y chicas.- De los padres entrevistados, 60% estaba de acuerdo en que los gneros son iguales y deban tener las mismas oportunidades para participar en los deportes.- Describa la distribucin muestral de la proporcin P de padres que estn de acuerdo en que los gneros son iguales y deberan tener las mismas oportunidades.- Suponga que la proporcin P de padres e la poblacin es en realidad 0.55.- Cul es la probabilidad de observar una proporcin muestral tan grande como o mayor que el valor observado p = 0.60?.-

ANEXO(PARA LEER)

TIPOS DE METODOS DE MUESTREOEl proceso de muestreo comienza con localizacin de las fuentes adecuadas de datos, como listados de poblacin, registros, directorios y otras fuentes llamadas MARCOS.- Las muestras se extraen de estos marcos.- Si el marco es inadecuado debido a que ciertos grupos de individuos o de objetos en la poblacin no se incluyeron de manera apropiada, entonces las muestras sern inexactas y sesgadas.- Recordemos que las razones para obtener una muestra son:1.- Una muestra requiere menos tiempos que un censo.-2.- Cuesta menos administrar una muestra que un censo.-3.- Administrar una muestra es menos tedioso y ms practico que administrar el censo de una poblacin estadstica determinada.-

Tipos de muestras utilizadasNo ProbabilsticasProbabilsticasMuestra subjetivaMuestra por cuota Por grupo naturalesAleatoria simpleSistemticaEstratificadaPor conglomerados

Una muestra aleatoria simple, es aquella en la cual cada individuo o elemento de una poblacin tiene la misma oportunidad de ser elegido.- Adems, cada muestra de un tamao fijo tiene la misma probabilidad de ser elegida, que cualquier otra muestra del mismo tamao.- El muestreo aleatorio simple, es la tcnica de muestreo aleatorio ms elemental y constituye la base para otras tcnicas.-En el muestreo aleatorio simple, se usa n para representar el tamao de la muestra y N para representar el tamao de la poblacin.- Cada persona o elemento en el marco se enumera de 1 a N.-La probabilidad de seleccionar a cualquier miembro en particular de la poblacin la primera vez es igual a 1/N.-MUESTRA ALEATORIA SIMPLE.-

Existen dos mtodos bsicos para seleccionar muestras:

ConreemplazoSinreemplazo

El muestreo con reemplazo, implica que una vez seleccionada una persona o elemento, se regresa al marco donde tiene la misma probabilidad de ser elegida de nuevo.- Imagine que tiene una urna con 500 tarjetas de presentacin.- Suponga que en el primer sorteo sale la ficha de Juan Llanos.- La informacin pertinente se registra y se regresa la tarjeta a la urna.- Despus se mezclan bien las tarjetas y se saca una segunda tarjeta,. En esta segunda extraccin Juan Llanos, tiene la misma probabilidad de salir 1/N, de ser elegida de nuevo.- Se repite el procedimiento hasta alcanzar el tamao muestra n deseado.- Sin embargo, suele considerarse ms adecuado tener una muestra de personas o elementos diferentes en lugar de permitir la repeticin de mediciones de la misma persona o elemento.-

En el muestreo sin reemplazo, no se regresa la persona o elemento al marco una vez seleccionado y por lo tanto, no puede elegirse otra vez.- Como antes, en el muestreo sin reemplazo la probabilidad de que algn miembro especfico de la poblacin, por ejemplo Juan Llanos, sea elegido en el primer intento es 1/N.- La probabilidad de que, cualquier individuo no seleccionado, salga elegido en el segundo intento ser 1 / N-1.- Este proceso continua hasta alcanzar el tamao de muestra n deseado.-Sin importar si el muestreo es con o sin reemplazo, los mtodos de urna para elegir una muestra tienen un gran inconveniente: la habilidad para revolver perfectamente las tarjetas y elegir la muestra en forma aleatoria.- Como resultado, los mtodos de urna no son muy tiles.- Son preferibles otros mtodos de seleccin con menos problemas y mejor base cientfica.-

Uno de estos mtodos utiliza una TABLA DE NUMEROS ALEATORIOS, para obtener la muestra.- Una tabla de nmeros aleatorios esta formada por una serie de dgitos que se generan en forma aleatoria y se colocan en la secuencia en que se generaron.- Hay muchas tablas de nmeros aleatorios, como la que veremos en prctica.- De hecho, lo normal es que los investigadores antes de usar una tabla de nmeros aleatorio verifiquen la aleatoriedad de los dgitos generados antes de emplearlos.- Debido a que cada dgito o secuencia de dgitos de la tabla es aleatorio, se puede leer en sentido horizontal o vertical.-

Para usar una tabla como la que vemos en prctica en lugar de una urna para seleccionar una muestra, primero debemos asignar nmeros de cdigos a los miembros individuales de la poblacin.- Entonces se obtiene la muestra aleatoria leyendo la tabla y seleccionando los elementos del marco de poblacin cuyos nmeros de cdigo coinciden con los dgitos encontrados en la tabla.- Para entender mejor, hagamos un ejemplo con el curso.-Hoy gracias a los avances de los paquetes estadsticos de PC, las tablas se usan menos.- Los programas tienen una secuencia para generar los nmeros aleatorios que se necesita.-

En una muestra sistemtica, se dividen N individuos o elementos del marco poblacional en k grupos, dividiendo el tamao de la poblacin N entre el tamao de la muestra deseado n.- Es decir, k = N / n donde k se redondea al entero ms cercano.-Para obtener una muestra sistemtica, el primer individuo o elemento se selecciona al azar entre los k individuos o elementos del primer grupo del marco de poblacin y, para el resto de la muestra se elige un individuo o elemento cada k en la lista completa de la poblacin.-Cuando el marco de poblacin consiste en listados predeterminados es ms rpido y fcil obtener una muestra sistemtica que una muestra aleatoria simple.- En estas situaciones la muestra sistemtica es un mecanismo conveniente para obtener los datos deseados.-MUESTRA SISTEMATICA.-

Aunque su aplicacin es ms sencilla, en general los mtodos de muestreo aleatorio simple y de muestreo sistemtico son menos eficientes que otros mtodos de muestreo probabilstico ms elaborado.- Es decir, para cualquier muestra que se adquiere mediante muestra aleatorias simple o muestreo sistemtico, los datos obtenidos pueden o no ser buena representacin de las caractersticas fundamentales (parmetros) de la poblacin.-Aunque la mayor parte de las muestras aleatorias simples son representativas de la poblacin correspondiente, no es posible saber si una muestra en particular es, de hecho representativa.-.-Se presentan posibilidades todava mayores de un sesgo en la seleccin y una falta de representatividad de las caractersticas de la poblacin, en el muestreo sistemtico.- Si existiera un padrn en el listado del marco de poblacin, podra ocurrir errores de seleccin importantes.- Para evitar el problema potencial de la representatividad desproporcionada de grupos especficos en una muestra, se pueden usar los mtodos de muestreo estratificado o muestreo conglomerado.-

En una muestra estratificada, primero se dividen los N individuos o elementos de la poblacin en sub poblaciones separadas, o estratos, de acuerdo con algunas caracterstica comn.- Se realiza un muestreo aleatorio simple en cada estrato y despus se combinan los resultados de las muestras aleatorias simple.-Estos mtodos de muestreo son ms eficientes que el muestreo aleatorio simple o el sistemtico, porque garantizan la representacin de individuos o elementos de toda la poblacin, lo que asegura una mayor precisin en las estimaciones de los parmetros poblacionales fundamentales.- Lo que proporciona la presicin, una vez combinados los estratos, es la homogeneidad de individuos o elementos dentro de cada estrato.-MUESTRA ESTRATIFICADA.-

MUESTRA CONGLOMERADA.-En una muestra conglomerada, se divide los N individuos o elementos de la poblacin en varios conglomerados, de manera que cada conglomerado sea representativo de la poblacin completa.- Despus, se obtiene una muestra aleatoria de los conglomerados y se estudian todos los individuos o elementos dentro de cada conglomerado seleccionado.- Los conglomerados pueden ser asignaciones naturales, como departamentos, ciudades, manzanas, familias o edificio de departamento, etc.-Los mtodos de muestreo conglomerados pueden ser ms eficientes (con relacin a su costo) que los mtodos de muestreo aleatorio simple, sobre todo si la poblacin en cuestin se encuentra esparcida en una vasta regin geogrfica.- Sin embargo, los mtodos de muestreo conglomerado tienden a ser menos eficientes que los mtodos de muestreo aleatorio simple o de muestreo estratificado, y necesitan una muestra total ms grande para obtener resultados tan precisos como los que se obtienen con los procedimientos ms eficientes.-

EVALUACION DEL VALOR DE UNA ENCUESTA.-Casi todos los das leemos o escuchamos hablar de resultados de una encuesta.- Es evidente que los avances tecnolgicos de las comunicaciones han provocado una gran proliferacin de investigaciones mediante encuestas, sin embargo, no todas son aceptables significativas e importantes.-Para evitar encuestas carentes de objetividad o credibilidad, debe evaluarse con sentido crtico todo lo que se lee y escucha, adems debe examinarse el valor de la encuesta.- En primer lugar se evala el propsito de la encuesta, por que y para quin se realiza.-En segundo lugar, se debe evaluar si esta basada en una muestra probabilstica o no.- Recuerde que el nico medio disponible para hacer inferencia estadstica correcta a partir de una muestra es que esta sea probabilstica.-

Las encuestas que emplean mtodos no probabilsticos estn sujetas a errores importante, quizs no intencionales, que pueden generar resultados sin sentido.-ERRORES EN LAS ENCUESTAS

An cuando en las encuestas se utilicen mtodos de muestreo probabilstico estn sujetos a errores potenciales.- Hay cuatro tipos de errores de encuestas.- Con las encuestas correcta se disean modelos para reducir o disminuir los diferentes errores de las encuestas, los cuales suelen tener un costo considerable

Los errores de las encuestan son:

1.- Errores de cobertura.-2.- Errores o sesgos de no respuestas.-3.- Errores de muestreo.-4.- Errores de medicin.-ERRORES DE COBERTURA.-La clave para una seleccin apropiada en la muestra es un marco de poblacin adecuado o una lista actualizada, de todos los sujetos que participarn en el muestreo.- El error de cobertura ocurre si se excluyen ciertos grupos de sujetos de las lista de poblacin, de manera que no tienen oportunidad de ser seleccionado en la muestra.- El error de cobertura conduce a un sesgo de seleccin.-Si el listado es inadecuado porque no se incluyeron algunos grupos o sujetos de la poblacin, cualquier muestra probabilstica aleatoria proporcionar una estimacin de las caractersticas del marco, no de la poblacin real.-

ERRORES DE NO RESPUESTA.- No todas las personas estn dispuestas a contestar una encuesta.- De hecho, la investigacin indica que los individuos de las clases econmicas alta y bajas tienden a responder con menos frecuencia que los individuos de clase media.- El error de no respuesta surge del fracaso al recopilar datos de todos los sujetos de la muestra y el resultado es un error de no respuesta.- Como el general, no se puede suponer que las personas que no responden son semejantes a aquellas que si responden, es en extremo importante dar seguimiento a las no respuestas despus de un perodo especfico.-Debern varios intentos, ya sea por correo, telfono o con encuestador, para convencerlos y que cambien de opinin.- Con base a estos resultados, las estimaciones obtenidas con las respuestas iniciales se combinan con las estimaciones obtenidas con el seguimiento, de manera que la inferencias hechas a partir de la encuesta sean vlidas.- El modo de respuesta afecta la tasa de respuesta.- La entrevista personal y por telfono casi siempre producen una respuesta ms alta que la encuesta por correo, pero a un costo ms elevado.-

ERRORES DE MUESTREO.-Existen tres razones principales para extraer una muestra en lugar de hacer un censo completo: es ms rpido, menos costo y ms eficientes.- Sin embargo, en el marco de la poblacin el azar determina quin estar o quin no estar incluido.- El error de muestreo refleja la heterogeneidad o las diferencias aleatorias, de una muestra a otra segn la probabilidad de que individuos o elementos especficos sean seleccionados en una muestra determinadas.- Como se observa los resultados de sondeo que se publican en revistas y diarios, se hacen referencia a un margen de error por ejemplo de 4 porciento del valor real.- Este margen de error es el error de muestreo.- Este error se puede reducir con tamaos de muestras ms grande, aunque esto incrementa el costo de la encuesta.-

EL ERROR DE MEDICIN.-Cuando se quiere realizar una buena investigacin por medio de encuestas, se disea un cuestionario que permita reunir informacin importante.- Los datos obtenidos deben ser vlidos; es decir, las respuestas correctas deben ser evaluadas y plantearse de manera que arrojen medidas significativas.-Pero existe un dilema, es ms fcil decir que se obtienen mediciones significativas que el simple hecho de obtenerlas.- Por desgracia, las realizaciones de mediciones est gobernada por lo que es conveniente, no por lo que se necesita.- Con bastante frecuencia, las mediciones que se obtienen son solamente ms aproximadas de las mediciones que se desean en realidad.-

El error de medicin se refiere a la falta de precisin en las respuestas registradas, debido a fallas en la redaccin del enunciado de las preguntas, la influencia del entrevistador en la persona que responde o por el esfuerzo que realiza la persona que responde.- Se le ha dado mucha atencin al error de medicin que ocurre por fallas de redaccin en el enunciado de las preguntas.-Una pregunta debe ser clara, no ambigua.- Debe presentarse en forma objetiva y neutral, se debe evitar la pregunta guiada.-Existe tres fuentes de errores en la medicin: redaccin ambigua de la pregunta, efecto halo, y errores de la persona que contesta.-

El efecto halo se presenta cuando la persona que responde se siente obligada a complacer al entrevistador.- Este tipo de error puede minimizarse con la capacitacin adecuada en la realizacin de entrevistas.-El error que proviene de la persona que responde se produce cuando sta realiza un esfuerzo demasiado grande o demasiado pequeo.- Existen dos formas para minimizar esta clase de error: 1) mediante una revisin cuidadosa de los datos y un nuevo o visita a aquellos individuos cuyas respuesta parecen raras y 2) al establecer un programa de llamadas aleatorias para verificar la confiabilidad de las respuestas.-

EJERCICIOS

Ejercicio 1.- Para estimar la edad media de una poblacin de 4000 empleados, se selecciona una muestra aleatoria simple de 40 empleados.-Usara usted el factor de correccin por poblacin finita para calcular el error estndar de la media? Explique por qu.-Si la desviacin estndar de la poblacin es = 8,2 aos, calcule el error estndar, aplicando y sin aplicar el factor de correccin por poblacin finita.- Cul es el criterio para no tomar en cuenta ese factor siempre que n/N 0,05?.-

Ejercicio 2.- Se informa en la revista Mercado que entre sus suscriptores, los que planean comprar un automvil nuevo durante los prximos 12 meses pretenden gastar un promedio de 27100$.- Suponga que el precio del nuevo vehculo, para la poblacin de suscriptores de Mercado tiene una media de = 27100$ y que su desviacin estndar es de = 5200$.-Cul es la probabilidad de que el precio de la media de la muestra del nuevo vehculo quede a 1000$ o menos de la media de la poblacin, si la muestra es de 30 suscriptores?.-Cul es la probabilidad de que el precio de la media de la muestra del nuevo vehculo quede a 1000$ o menos de la media de la poblacin, si la muestra es de 50 suscriptores?.-

c) Cul es la probabilidad de que el precio de la media de la muestra del nuevo vehculo quede a 1000$ o menos de la media de la poblacin, si la muestra es de 100 suscriptores?.- Recomendara usted un tamao muestral de 30, 50 o 100, si se desea tener una probabilidad mnima de 0,90 de que ese precio quede a 1000$ o menos de la media de la poblacin?.-

Solucin

Ejercicio 3.- La compaa de bateras B afirma que sus bateras tienen una vida media de 60 meses y una desviacin estndar de 9 meses.- Un grupo de consumidores que est poniendo a prueba esta afirmacin compra 36 bateras y determina la vida media.-Calcule el error estndar de la media.-Suponiendo que lo que afirma B es cierto.- Cul es la probabilidad de que la vida media de la muestra sea menor que 58?.-Determine la probabilidad de que la vida media de la muestra est entre 57 y 63.-Suponga que la vida media de la poblacin real de las bateras de B es de 55 meses.- Averige la probabilidad de que la vida media de la muestra sea por lo menos 60.- Si la media muestral del grupo de consumidores es de 55.- A que conclusiones llegara usted si fuera el analista?.-Solucin

Ejercicio 4.- Una poblacin se compone de las siguientes unidades producidas hoy por cuatro trabajadores:Calcule la media y la desviacin estndar de la poblacin.-Elabore una tabla que presente todas las muestras posibles de dos elementos (muestreo con reemplazo).-Calcule la media de cada una de las muestras de tamao dos.-Calcule la media de esta distribucin muestral.- Es igual esta media a la media de la poblacin?.-Calcule el error estndar de esta distribucin muestral .-Calcule la desviacin estndar de la distribucin muestral de las medias.- Es esta desviacin estndar igual al error estndar de la media?.-Qu distribucin tiene menor variabilidad, la distribucin poblacional o la distribucin muestral de las medias de la muestras?.-

TrabajadoresABCDUnidades producidas5378

Ejercicio 5.- La AFIP est considerando una campaa publicitaria en el programa de televisin Noche de Goles, que se transmite los das martes.- El martes pasado este programa tuvo un porcentaje de participacin en el rating global de 25.- Lucia Gmez, la directora de relaciones pblicas de la AFIP sospecha que el porcentaje real es menor que el 25%.- Contrata a una agencia de investigacin independiente para tomar una muestra aleatoria de 750 televidentes que estn viendo la televisin el martes pasado.- La agencia encuentra que 175 estaban viendo Noche de Goles.- Presenta estos datos suficiente evidencia para contradecir los rating dados por la empresa que los mide?.- Solucin

Ejercicio 6.- Los registros de inversiones muestran que la tasa promedio de rendimiento para las firmas que estn en la industria de consumo es del 30 %, con una desviacin estndar del 12%.- Si se selecciona una muestra de 250 de tales firmas.- Cul es la probabilidad de que la media de estas firmas exceda el 31%?.- SolucinEjercicio 7.- Solo el 22% de todos las firmas en la industria de bienes de consumo comercializa sus productos directamente con el consumidor final.- Si una muestra de 250 firmas revela una proporcin de ms del 20% que se compromete en el mercadeo directo, usted planea hacer su siguiente compra a las firmas de esta industria.- Qu tan probable es que usted gaste su dinero bien ganado en otras parte?.-Solucin

8.- La Asociacin de consumidores de productos manufacturados, informa que el 76 % de los consumidores leen los ingredientes que aparecen en la etiqueta de los productos que ofrecen.- Suponga que la proporcin de poblacin es P = 0,76 y que de la poblacin se selecciona una muestra de 400 consumidores.- Describa la distribucin de la proporcin muestral p., que es la proporcin en la muestra de consumidores que leen la lista de ingredientes.-

b) Cul es la probabilidad de que la proporcin muestral este a 0,03 de la proporcin poblacional?.-

c) Cul es la probabilidad de que la proporcin muestral este a 0,03 de la proporcin poblacional, pero para un tamao de muestra n = 750 consumidores?.-

9.- Carlos Toledo, presidente de cierta empresa de telefona , esta molesto por el nmero de telfonos producidos por su empresa que tienen auriculares defectuosos.- En promedio, 110 telfonos al da son devueltos por este problema, con una desviacin estndar de 64.-El seor Toledo ha decidido que ordenar la cancelacin del proceso a menos que puedan estar 80% seguro de que en promedio, no se devolvern ms de 120 telfonos al da durante los siguientes 48 das.- Terminar ordenando la cancelacin del proceso?.-

10.- Para una poblacin de N = 250 que sigue una distribucin normal con una media de 60 y una desviacin estndar de 5,0, determine el error estndar de la media de una distribucin muestral basada en los siguientes tamaos de muestra, si el muestreo se hace sin reemplazo: a) n = 10 b) n =50 c) n = 10011.- El salario por hora en la planta de Laboratorios Bag para los 500 empleados tiene un promedio de 8,50$ con una desviacin estndar de 2,20$.- Determine la probabilidad de que el salario medio de una muestra de 100 trabajadores sea:

a) Ms de 9,00$.- b) Entre 8,15 y 8,40$.-

12.- Un investigador informa que los resultados de una encuesta diciendo que el error estndar de la media es igual a 20.- La desviacin estndar de la poblacin es de 500.-

a) De que tamao fue la muestra que se uso en esta encuesta.-b) Cul es la probabilidad de que el estimado quede a 25 de la media poblacional?.-

Solucin

Repta: a) 625 b= 0,7888

13.- Caf La Virginia SA, est considerando la posibilidad de abrir un negocio de cafs en la ciudad A, ciudad de 50000 habitantes.- Segn algunos estudios de mercado realizados anteriormente, sus negocios tendrn xito en las ciudades de ese tamao si la renta anual per cpita es de ms de 60000$.- Tambin se sabe que la desviacin estndar de la renta es de 5000$.- Se ha obtenido una muestra aleatoria de 36 personas y la renta media es de 62300$.- Constituye esta muestra una prueba para concluir que debe abrirse un negocio?.-

Solucin

Resp: 0.0029

14.- Cuando un proceso de produccin funciona correctamente, el nmero de unidades producidas por hora sigue una distribucin normal que tiene una media de 92,0 y una desviacin estndar de 3,6.- Se ha tomado una muestra aleatoria de cuatro horas distintas.-

Halle la media de la distribucin de las medias muestrales en el muestreo.-Halle la variancia de la media muestral.- Halle el error estndar de la distribucin muestral. Cul es la probabilidad de que la media muestral se de ms de 93,0 unidades?.-

Solucin

15.- La duracin de las lmparas de un fabricante tiene una media de 1200 horas y una desviacin estndar de 400 horas.- La poblacin sigue una distribucin normal.- Suponga que compra nueve lmparas que puede considerarse que son una muestra aleatoria de la produccin del fabricante.-a) Cul es la media de la media muestral de la duracin?.-b) Cul es la variancia de la media muestral?.-c) Cul es el error estndar de la media muestral?.-d) Cul es la probabilidad de que esas nueve lmparas tengan en promedio una duracin de menos de 1050 horas?.-

Solucin

16.- El precio medio de ventas de las viviendas nuevas fue en una ciudad de 115000 $ durante un ao.- La desviacin estndar poblacional fue de 25000$.- Se extrajo una muestra aleatoria de 100 viviendas nuevas de esta ciudad.-Cul es la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta fuera de ms de 110000$?.- Cul es la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta estuvieran comprendida entre 113000 y 117000$?.- Cul es la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta estuvieran comprendida entre 114000 y 116000$?.- Suponga que una vez realizados estos clculos un amigo le dijera que es casi seguro que la distribucin de los precios de venta de las viviendas nuevas de esta ciudad no sea normal.- Qu respondera?.-

17.- Se ha tomado una muestra aleatoria de 16 directores de empresas de una gran ciudad para estimar el tiempo medio que tardan diariamente en desplazarse al trabajo.- Suponga que el tiempo poblacional sigue una distribucin normal que tiene una media de 87 minutos y una desviacin estndar de 22 minutos.-Cul es el error estndar de la media muestral de los tiempos de desplazamiento?.- Cul es la probabilidad de que la media muestral sea de menos de 100 minutos?.-Cul es la probabilidad de que la media muestral sea de ms de 80 minutos?.- Cul es la probabilidad de que media muestral est fuera del intervalo 85; 95 minutos?.- Solucin

18.- En un curso de Economa hay 250 estudiantes.- Se pide a cada miembro de una muestra aleatoria de 50 de estos estudiantes que estime la cantidad de tiempo que ha dedicado a hacer los ejercicios que puso el profesor la semana pasada.- Suponga que la desviacin estndar poblacional es de 30 minutos.-Cul es la probabilidad de que la media muestral sea ms de 2,5 minutos superior a la media poblacional?.- Cul es la probabilidad de que la media muestral sea ms de 5 minutos inferior a la media poblacional?.- Cul es la probabilidad de que la media muestral difiera en ms de 10 minutos de la media poblacional?.-

Resp: a) 0.2546 b) 0.0951 c) 0.0086

18 (bis).- El presidente de Distribuidores Daz SA, cree que el 30 por ciento de los pedidos a su empresa provienen de clientes nuevos.- Se va a usar una muestra aleatoria de 100 pedidos para comprobar lo que dice, que P = 0,30.- Suponga que el Presidente est en lo correcto y que P = 0,30.- Cual es la distribucin de p para este estudio?.- Cul es la probabilidad de que la proporcin muestral de p este entre 0,20 y 0,40?.- Cul es la probabilidad de que la proporcin muestral este a 0,05 de la proporcin poblacional P = 0,30?.-Solucin

19.- Se ha extrado una muestra aleatoria de 250 viviendas de una gran poblacin de viviendas antiguas para estimar la proporcin cuya instalacin elctrica es peligrosa.- Si el 30 por ciento de las viviendas tiene realmente una instalacin elctrica peligrosa, Cul es la probabilidad de que la proporcin de viviendas de la muestra que tienen una instalacin elctrica peligrosa est comprendida entre el 25 y el 35 por ciento?.-

Solucin

Resp: 0.9146

20.- Se ha estimado que el 43 por ciento de los Licenciados en Administracin de Empresas cree que la asignatura de tica empresarial es muy importante para impartir valores ticos a los estudiantes.- Halle la probabilidad de que ms de la mitad de una muestra aleatoria de 80 licenciados crea eso.-

Resp: 0.102021.- Se toma una muestra aleatoria de 100 votantes para estimar la proporcin del electorado que esta a favor de una subida del impuesto sobre la nafta, a fin de obtener ms ingreso para reparar las autopistas.- Cul es el valor ms alto que puede tomar el error estndar de la proporcin muestral que esta a favor de esta medida?.-

22.- Segn la Agencia Tributaria el 75% de todas las declaraciones de la renta da lugar a una devolucin.- Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 declaraciones de la renta:a) Cul es la media de la distribucin de la proporcin muestral de declaraciones que dan lugar a una devolucin?.-b) Cul es la variancia de la proporcin muestral?.-c) Cul es el valor del error estndar de la proporcin muestral?.-d) Cul es la probabilidad de que la proporcin muestral sea superior a 0,80?.-Solucin

23.- El dueo de una tienda de discos ha comprobado que el 20% de los clientes que entran en su tienda realizan alguna compra.- Cierta maana, entraron en esta tienda 180 personas, que pueden ser consideradas como una muestra aleatoria de todos sus clientes,a) Cul ser la media de la proporcin muestral de clientes que realizaron una compra?.-b) Cul es la variancia de la proporcin muestral?.-c) Cul es el error estndar de la proporcin muestral?.-d) Cul es la probabilidad de que la proporcin muestral sea menor que 0,15?.-

24.- El administrador de una gran cadena de hospitales opina que, de entre todos sus pacientes, un 30% generar facturas que se pagan con ms de dos das de retraso.- Se toma una muestra aleatoria de 200 pacientes:a) Cul es el error estndar de la proporcin mensual de pacientes con facturas cuyo pago se retrasar ms de dos meses?.-b) Cul es la probabilidad de que esta proporcin muestral sea inferior a 0,25?c) Cul es la probabilidad de que esta proporcin muestral sea superior a 0,33?.-d) Cul es la probabilidad de que la proporcin muestral est entre 0,27 y 0,33?.-

25.- Una asociacin benfica ha comprobado que el 42% de las personas que hicieron alguna donacin el ao anterior donarn de nuevo este ao.- Se toma una muestra de 300 donantes del ao anterior:a) Cul es el error estndar de la proporcin muestral de donantes que donarn de nuevo este ao?.-b) Cul es la probabilidad de que ms de la mitad de los individuos de esta muestra vuelvan a ser donantes este ao?.-c) Cul es la probabilidad de que esta proporcin muestral este entre 0,40 y 0,45?.-

26.-Una corporacin esta considerando una nueva emisin de bonos convertibles.- Sus directores piensan que la oferta resultar atractiva para el 20% de los accionistas actuales.- Supongamos que su creencia es acertada.- Se toma una muestra aleatoria de 130 accionistas.- a) Cul es el error estndar de la proporcin muestral de accionistas que encontrarn atractiva la oferta?.-b) Cul es la probabilidad de que esta proporcin muestral sea superior a 0,15?.-c) Cul es la probabilidad de que esta proporcin muestral est entre 0,18 y 0,22?.-d) Supongamos que se toma ahora una muestra de 500 accionistas.- Sin realizar los clculos, razonar si las probabilidades correspondientes a los apartados b) y c) resultarn en este caso mayores, menores o igual que las calculadas para la muestra anterior.-

27.- Una universidad cuenta con un total de 528 estudiantes de primer curso.- De ellos 211 llevan su propio ordenador a la universidad.- Se toma una muestra aleatoria de 120 estudiantes de primer curso:a) Cul es el error estndar de de la proporcin muestral de alumnos que llevan su propio ordenador a la universidad?.-b) Cul es la probabilidad de que la proporcin muestral sea menor que 0,33?.-c) Cul es la probabilidad de que la proporcin muestral se encuentre entre 0,50 y 0,60?.-

28.- Una fbrica tiene a 439 obreros contratados.- De ellos 239 estn preocupados sobre sus futuras pensiones.- Se toma una muestra de 80 obreros y se les interroga con el fin de estimar la proporcin de la poblacin que esta preocupada sobre el futuro de la pensin.-a) Cul es el error estndar de la proporcin muestral de obreros preocupados?.-b) Cul es la probabilidad de que la proporcin muestral sea menor que 0,50?.-c)Cul es la probabilidad de que la proporcin muestral se encuentre entre 0,5 y 0,6?.-

29.- El ao pasado, el 75 por ciento de las compras con tarjetas de crdito en los grandes tiendas Beige fue por menos de 150$.- En una muestra aleatoria de 200 compras con tarjetas de crditos, que probabilidad hay de que las compras de menos de 150$ constituyan:

Entre 70 y 80 por ciento.- Ms de 80 por ciento.- Ms de 70 por ciento.- Solucin