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3
AÑO
División algebraica I
(Método de Horner)
División por Horner:
División no algebraica de polinomios
Esta división exige condiciones especiales:
a. Aplicamos el método de Horner con el ordenamiento
de los polinomios ascendentemente.
- Dividir (2x2 - 3x + 3) entre (4x3 - x + 1)
Resolución: Por Horner
b. El cociente obtenido posee infinitos términos. c. El resto se hace tender a cero. d. Dicha división es válida para ciertos intervalos de la
variable.
1 3 -3
1 3
0
2 0
0 -12
0 0
0 .............
0
- Dividir 1 entre (1 - x)
- 4
3 0 2
2
-10
0 -8
.............
Resolución: Por Horner 2x2 3x 3
4x3 x 1
3 2x2
10x3
.....
1 1 0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
0 .............
1 .............
1
Es la operación que tiene como objetivo calcular una expresión llamada cociente (q) y otra llamada residuo (R),
1
1 x
1 x x2 x3
....;
| x | < 1
conociendo otras denominadas dividendo (D) y divisor (d). Esquema clásico
- Dividir 1 entre (1 - 4x + 4x2)
Resolución: Por Horner
D d Se conoce : D y d
R q
Por conocer: q y R
1 1 0
4 4
-4
1 4
0 0
-4
16 -16
48
12 32
0 -48
.............
............. .............
Se cumple: D = dq + R
Propiedades
menos el grado del divisor.
1
1 4x 4x2
1 4x 12x2 32x3
...;
| x | 1 2
q° = D° - d° 2. El grado máximo del resto es el grado del divisor
disminuido en uno.
R°MÁX.
= dº - 1 ; RºMÁX. Grado máximo del resto
2 6 5 -26 33 -22 6
3
-1
9 -3
21 -7
-12
4
21 -7
3 7 -4 7 3 -1
2 10 - 4 8 6 - 5 11
2 10 - 20 - 4 6 - 12
- 6 12
- 12 24
3. La propiedad fundamental de la división en el Álgebra
forma una identidad.
D = d.q + R D(x) = d(x) . q(x) + R(x)
Problemas resueltos 1. Dividir:
4. Si la división es exacta, el resto es un polinomio
idénticamente nulo.
R(x) 0
10x5 4x 4
8x 3 6x 2
5x 11
2x 2 2x 4
Solución: Aplicando Horner:
D(x) x8 + x4 + 2x - 3
5º
q° = 8 - 5 = 3
MÁX.
5 3 - 3
- 6 - 5 35
División entre polinomios
Para todos los métodos es necesario que el dividendo y el divisor estén ordenados y completos (o al menos tenga esa forma).
Método de Horner
Para este método sólo se utilizan coeficientes,
empleando el siguiente esquema:
con
Coef. del cociente Coef. del resto
La variable se agrega de acuerdo al grado del cociente y del resto.
Se tiene:
qº = 3 ; RºMÁX.
= 1
q = 5x3 + 3x2 - 3x - 6
R(x) = - 5x + 35 2. Dividir:
12x 4 14x 3
15x 2 6x 4
su mismo signo
d D I V I D E N D O
i
4x 2
2x 1
v Con
i Colocando los coeficientes:
cambiado s
o
r Observación:
C O C I E N T E
RESTO
4 12
2
-1
3
2
-14 15 -6 4
6 -3
-4 2
4 -2
-2 2 0 +2
- Los lugares en que se indica dividendo y divisor se colocan sólo coeficientes.
* Cociente: 3x
* Resto: 0x + 2 - 2x + 2
En el caso del divisor la letra “d” simboliza al primer coeficiente del divisor, las demás letras representan a los demás coeficientes, que se colocan con signo cambiado. Igualmente del cociente y el resto sólo se obtienen coeficientes.
- La línea que separa el cociente del resto se traza de
acuerdo al grado del divisor. Es decir, se cuenta de derecha a izquierda tantos lugares como lo indica el número que representa el grado del divisor.
3. Efectuar la división:
6x5 5x 4
26x 3 33x 2
22x 6
2x 2 3x 1
* Cociente: 3x3 + 7x2 - 4x + 7
* Resto: 3x - 1
2 2 3 -4 -A -B
1
6
1 6
2
12
2 12
1 2 2 (14 - A) (12 - B)
1 1 -4 6 - m - 2 n+3
-2
-1
-2 -1
12
6
-34 -17
1 -6 17 (-m - 30) (n - 14)
B - 1 = 0
A - 6 = 0 B = 1 A = 6
4. Calcular "A + B", si la división es exacta. Resolución:
Resolución:
2x 4 3x 3
4x 2 Ax B
2x 2 x 6
Al invertir los coeficientes, la división seguirá siendo
exacta.
1 1 1 3 B A
-2 -2 -3
-3 2 3 -4 -6
1 -1 2 (B - 1) (A - 6)
Como la división es exacta (R = 0), entonces:
* Si la división es exacta:
Residuo = 0; entonces:
14 - A = 0 A = 14 12 - B = 0 B = 12
Rpta.: A + B = 26
A + B = 7
Problemas para la clase
Rpta.: 7
5. Dividir y hallar "m + n", si la división:
x 4 4x3
6x2 (m 2)x n 3
x2 2x 1
deja como resto: -27x - 11
Bloque I 1. Hallar el cociente de la siguiente división:
x 3 5x 2
6x 7
x 2 3x 2
Resolución: a) x - 2 b) x + 2 c) x - 1
d) 2x - 3 e) 2x + 3 2. Al efectuar la siguiente división:
4x 4 4x 3
5x 2 9x 6
2x 2 3x 5
Igualando los restos:
Indicar el cociente. a) x2 + x - 1 b) x2 - 1 c) 2x2 + x - 1
2
-27x - 11 (-m - 30)x + (n -14) d) x + 11 e) 2x + 2x - 1
-27 = -m - 30 m = -3 -11 = n - 14 n = 3
Rpta.: m + n = 0
6. Calcular "A + B", en la división exacta:
Ax 4 Bx 3
3x 2 x 1
3x 2 2x 1
3. Hallar el residuo de la siguiente división:
3x5 2x 4
5x 2 4x 1
x 3 x 2
1
a) x2 + 3x + 1 b) x2 + 3x c) x2 - 3x d) x2 + 5x e) x2 - 5x + 1
4. Al dividir:
6x 6 13x 5
7x 4 11x 2
8x 5
2x 3 3x 2
5x 1
señalar el cociente.
a) 3x3 + 2x2 + x + 2 b) x3 + 2x2 + x + 2 c) x3 + x2 + x + 1 d) x3 - 2x2 + 3x - 2 e) 8x2 + x + 3
* Del problema anterior:
5. Señalar el residuo :
a) 22 b) 18 c) 17
d) 25 e) 28 12.En la siguiente división exacta:
2m4 4m3
am2 5m b
m2 m 2
a) x2 + 2x + 2 b) 3x3 + 2x2 + x + 2 c) 8x2 + x + 3 d) x2 - x + 1
e) 2 6. El coeficiente del término lineal del cociente es:
calcular "a + b"
a) 2 b) 13 c) 9 d) 8 e) 19
13.Determinar "a + b"; si la división:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 0 e) 4
3x4
5x3
ax b
7. La suma de coeficientes del cociente:
a) 4 b) 7 c) 6 d) 5 e) 8
8. Hallar el residuo de la siguiente división:
y3 5y2
7y 5
y2 2y 3
a) y + 5 b) y2 + 3 c) y + 3 d) -10y + 14 e) 10y + 14
9. Hallar el residuo de la división:
z4 3z3
2z2 z 5
z2 3z 1
x2 x 1
deja como residuo: 5x + 7
a) 28 b) 24 c) 20 d) 16 e) 12
14.En la siguiente división:
2x 4 7x 3
16x 2 Ax B
2x 2 3x 4
deja como resto: 2x + 30. Hallar "A . B"
a) 1 b) 20 c) 1/2 d) 1/3 e) 30
15.Hallar el residuo luego de dividir:
a) z2 + 1 b) -2 c) 4z d) -6 e) 4z - 6
8x 6
9x 4
2x 2 4
10.Hallar "A + B", si la siguiente división:
x 4 3x 3
2x 2 Ax B
x 2 3x 2
x 2 2
a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 60
16.Determinar "m + n", para que la división:
es exacta.
a) 1 b) 2 c) 3
6x 4
16x 3
25x 2
mx n
d) 4 e) 5 Bloque II
sea exacta.
3x 2 2x 1
11.Calcular "m + n + p" si la división:
6y5 17y 4
7y 3 my 2
ny p
3y 3 4y 2
5y 7
a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21
es exacta.
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
a) 21 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
17. Determine "p - q", si la división: 22.Hallar el valor de "m . n" si la división:
x 4 mx n
6x 4 8x 2
px q
3x 2 3x 7
(x 1)2
; es exacta
es exacta.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
18.Calcule "A + B", si la división:
12x 4 12x 3
13x 2 Ax B
2x 2 3x 5
deja como resto: 4x + 5.
a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 11
23.Determine "r + s" de manera que el polinomio
P(x) = x3 + rx + s; sea divisible por: x2 - 2x + 1
a) -1 b) -2 c) -5 d) 5 e) 1
24.Hallar "a + b", en la siguiente división exacta:
ax 4
bx 3 3x 2
x 1
3x 2 2x 1
a) 45 b) 46 c) 47 d) 48 e) 49
19.Calcular "A + B - C", si la división:
8x 5 4x 3
Ax 2 Bx C
2x 3 x 2
3
deja como resto: 5x2 + 11x + 7
25.Hallar el resto al dividir:
6x 4
4yx3 4x 2 y2
2y 4 4xy3
3x 3 x 2 y xy2
y3
a) x2 + y2 b) 2x2 + xy c) -x2
2
d) 2x + y e) 0 20.Si al dividir:
4x 4 6x3
2x2 ax b
x2 2x 2
26.Hallar el cociente luego de dividir:
12x 4
14x 3 y 15x 2 y 2 4y 4
4x 2 2yx y 2
a) 3x2 + 2y2 b) 3x2 - 2xy + 2y2
c) 3x2 + 2xy + 4y2 d) 3x2 + xy - y2
deja un resto: -25x + 21. Hallar "a - b"
a) -2 b) 0 c) 2 d) 1 e) -1
Bloque III
e) 3x2 + 2xy + y2
27. Hallar el valor de "a + b + c", si el resto de la división
indicada siguiente:
ax 5 bx 4
cx 3 5x 3
21.La siguiente división:
2x 3 x 2
x 2 ; es: 7x2 + 8x - 3
x 4 (m 3)x 2
n 3
x 2 x 1
; es exacta. Hallar (m + n)
28.Si en la siguiente división:
5x 3 6x 4
1
a) -1 b) 1 c) 2 d) -2 e) 8
x 3x 2 2
se obtiene un resto de la forma: mx + n - 3. Calcular "m - n"
a) -1 b) -2 c) -3 d) 4 e) 3
(x)
29.En el esquema de Horner mostrado:
1 3 a 1 b c
m 9 d
2 e f g h
n -2 p 4 -3
Determinar el valor de:
Autoevaluación
1. Dividir, hallar el cociente:
x5 x 4
2x 3 2x 2
x 2
x 4 2
a) x b) x + 1 c) x - 1 d) 2x - 3 e) x + 3
2. Hallar el resto en:
3 a b c m
n p 2
2x 4
3x 3
8x 2
1 4x
a) 1 b) -1 c) 3
2
a) 2x2
x 2 (x 1)
+ 5x - 1 b) x - 1 c) 1
d) 4 e) 5
d) 0 e) 2
30.En la división siguiente:
2x 5 3x 4
bx 3 6bx 2
x a
3. Hallar el resto en:
5x 3 6x 4
1 2
x 2 x b
x 3x 2
Se sabe que el resto es "2x + 3", además la suma de coeficientes del cociente es mayor que 15, calcular "a.b"
a) 4 b) 9 c) 7 d) 2 e) 8
a) x + 1 b) x - 1 c) 1 d) x + 3 e) x - 2
4. Hallar "m + n", si el residuo de dividir:
3x5 mx 3
nx 2 x 2
x 2 3
es: 5x - 10
a) 11 b) 5 c) 1 d) 7 e) 4
5. Sea: Q = ax2 + bx + c; el cociente de la división de:
(2x4 + 3x3 - 8x2 + 1 - 4x) entre (x2 - x - 1)
Calcular: (a - b + c)2
a) -4 b) 16 c) 4 d) 12 e) 25
Claves
1. b
2. d
3. a
4. a
5. b
AÑO
3x - 1 = 0 3 5 - 17 8 7
1/3 1 2 - 5 1
3 6 - 15 3 8 3
1
2
- 5
1
x - 2 = 0 3 - 2 7 - 11 5 1
2 6 8 30 38 86 Resto
3 4 15 19 43 87
División algebraica II
(Método de Ruffini - Teorema
del Resto)
Método de Ruffini Ejemplo:
Se aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado de la forma: ax + b; a 0
Al igual que en Horner, utilizaremos sólo coeficientes,
cumpliendo el siguiente esquema:
Dividir:
Solución:
3x 4
5x3 17x2
8x 7
3x 1
N D I V I D E N D O
C O C I E N T E R
Por Ruffini:
Valor de “x” al igualar el divisor a cero.
Ejemplo:
Dividir:
3x5
2x 4 7x3
11x2 5x 1
Como:
qº = 4 - 1
Coeficientes del cociente
Solución
Por Ruffini:
Como:
x 2
Coeficientes del cociente
q = x3 + 2x2 - 5x + 1
R = 8
Teorema del Resto
Se utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la división, se aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado de la forma : ax + b y en algunos casos especiales. Regla:
Para calcular el resto, se iguala el divisor a cero, se calcula el valor de la variable (siempre que el divisor sea
qº = 5 - 1 = 4
q = 3x4 + 4x3 + 15x2 + 19x + 43
R = 87
Observación:
Si en el divisor : ax + b, a 1, luego de dividir por Ruffini, los coeficientes del cociente deben dividirse entre “a” para obtener el cociente correcto.
de primer grado) y el valor obtenido se reemplaza en el dividendo. El resultado obtenido es el resto.
Ejemplo: Calcular el resto en:
x5
3x 5
x 2
Solución:
T. Resto: x - 2 = 0 x = 2
R = 25 + 3(2) - 5 R = 33
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Problemas resueltos 1. Dividir y dar el cociente y residuo.
Bloque I
Problemas para la clase
5x 4 16x3
8x 2
x 3
Solución: Colocando los coeficientes:
1. Señalar el residuo en la siguiente división:
(x3 + 3x2 - 7x - 5) entre (x - 1)
a) -5 b) -7 c) 8
d) -8 e) -9
5 16
-3 -15
5 1
3 2
0 -8 2
-3 9 -3
-3 1 -1
2. Efectuar la división:
2x 4 7x2
5x 3
x 2
dar el residuo.
* Cociente: 5x + x
* Residuo: -1 2. Dividir:
- 3x + 1
a) 9 b) -9 c) 8 d) 7 e) -8
3. Dada la división:
5x 4 x3
7x2 9
Solución:
6x 4 4x3
x2 10x 2
3x 1
hallar el residuo.
x 1
6 -4
-1/3 -2
6 -6 3
1 10 2
2 -1 -3
3 9 -1
4. Hallar el cociente en la división
4x3 4x
2 3x 9
2 -2 1 3 -1 2x 1
* Cociente: 2x3 - 2x2 + x + 3
* Resto: -1 3. Calcular el resto:
(x 3)7 (x 2
x 7)8 x 2
x 2
Solución:
* Aplicando el Teorema del Resto.
x + 2 = 0 x = -2
* Reemplazando en el dividendo:
(-2 + 3)7 + [(-2)2 - (-2) - 7]8 - (-2) - 2 = R
(1)7 + [-1]8 + 2 - 2 = R
2 = R
a) 2x2 - 3x + 3 b) 4x2 - 6x + 6
c) x2 - x + 1 d) x2 + x - 1
e) 2x2 + 3x + 3 5. En el siguiente esquema de Ruffini:
4 ? 6 ? 8
? -4 ? -15 ?
? ? ? ? 16
hallar la suma de coeficientes del cociente.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6. Si los coeficientes del cociente entero de dividir:
8x 4 18x 3
ax 2 bx c
2x 3
son números consecutivos y el residuo es -8 ; calcular
"a + b + c"
a) 16 b) 8 c) 20 d) 22 e) 23
7. Hallar el resto en la siguiente división: 13.Al dividir:
x 3 3x 15
x 2
6x 4 4x3
x2 10x 2a
3x 1
a) 5 b) -5 c) 0
d) 1 e) -1 8. Calcular el resto en:
obtengo como resto -1: hallar "a".
3
(x 2)8 (x 1)4
16
x 1
a) b) 1 c) -1 2
d) 5
e) 5
2 2
a) 0 b) 2 c) 32 d) 16 e) 1
9. Hallar la suma de coeficientes del cociente en la siguiente
división:
14.En la división:
2x 4 3x 3
2ax 2 3a
x 1
x(x 2 1) 3x 2 (x 1) 2
x 2
a) -8 b) -7 c) 8 d) 6 e) -4
10.Calcular el resto en:
(x 1)2n (x 1)n
3
x 2
además "n" es impar.
a) -1 b) 1 c) -2 d) 2 e) 0
Bloque II
11.Hallar "a" en la división exacta:
5x 4 16x 3
8x a
x 3
a) 4 b) -4 c) 3 d) -3 e) -2
12.Hallar el resto en:
(x 4)80 (x 4)60
1
x 5
a) 1 b) 3 c) 2 d) -1 e) 0
el resto es dos, hallar "a".
a) 3 b) 2 c) 1 d) -2 e) -1
15.Hallar el coeficiente lineal del cociente, en la división:
2x5 4x3
2x 5
x 3
a) 50 b) -60 c) -66 d) 66 e) -50
16.Hallar el coeficiente cuadrático del cociente, en:
x5 x 3
x
x 1
a) 3 b) 1 c) 0 d) 2 e) -2
17. Hallar el resto, en:
2x 9 3x6
x3 1
x3 1
a) 1 b) 2 c) 0 d) -1 e) -2
18.Hallar el residuo, en:
3x15 6x10
3
x5 1
a) 5 b) 4 c) 10 d) 6 e) 8
a) 2x b) 2x - 12 c) 2x + 5 d) 2x + 12 e) 2x + 7
a) 7 b) -2 c) 2 d) 4 e) 16
4
19.Hallar el resto de la división: 25.Hallar el resto en:
(x 1)35 7(x 1)28
3(x 1)17 3
x 2 2x 2
y 8 y 4
1
y2 y 1
20.Determinar la suma de coeficientes del cociente que se
obtiene al dividir:
a) 1 b) 0 c) 8
d) 7 e) 16 26.Hallar el resto en:
4x 80 2x 79
x b
x 1
a) 165 b) 162 c) 163 d) 164 e) 161
Bloque III
21.Hallar el resto de la división:
x3
(x 1)(x 2)
(x 5)(x 4)(x 3)(x 2)...(x 1)(x 2)
x 1
a) 1 b) 2 c) 0 d) 16 e) 18
27. Hallar el resto en:
(x 3)(x 7)90 7
x 6
a) 7x + 5 b) 76x + 2 c) 7x + 6
d) 6x - 1 e) 3x - 1 22.En la división:
28.Hallar el resto en:
x 60 x 80
x 90
x 20 4
x n1 (n 2)x n 1
x 1
el término independiente del cociente es -10, ¿de qué grado es el dividendo?
a) 13 b) 9 c) 7
d) 3 e) 8 23.Dado el polinomio:
x10 1
a) 2 b) 4 c) 10 d) 8 e) 6
29.Hallar el resto:
27x 425 81x 424
5x 19
x 3
a) -2 b) 3 c) -4 d) 1 e) 0
F(x) ( 3 2)x 4 (1 2 3)x 3
2 6 (4 2 6)x 2
Hallar su valor numérico en: x
a) 1 b) 5 c)
3 2
3 2
30.En la siguiente división:
(2x 40 n)x 5
; x 1
determinar el resto, para que la suma de coeficientes d) 6 e) 5 6 del cociente sea 93.
24. Hallar el resto en:
(1 x)
1 x 2
x 1; -1
a) 2 b) -6 c) 18
d) 16 e) 24
a) 8x b) 8x + 8 c) 8x - 6 d) 8x + 11 e) 16
Autoevaluación
1. Dividir:
3x 4 5x 2
x 2
4. Dividir:
27x 4 6x2
x 15
3x 1
hallar el residuo.
a) 12 b) 24 c) 60 d) 28 e) -16
dar el término independiente del cociente.
a) -3 b) -1 c) 0 d) 9 e) 1
2. Dividir:
3x5 10x2
12x x3 15
x 3
5. Hallar el resto en:
425
424
hallar el resto. 8x 16x
x 2
5x 19
a) 26 b) 223 c) 663
d) 441 e) 645 3. Hallar el término independiente del cociente de dividir.
a) 29 b) 9 c) -9 d) -29 e) 2
2y 4 14y 2y3
5
y 3
a) 16 b) 24 c) 58 d) 169 e) 170
Claves
1. c
2. c
3. c
4. c
5. a