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División de Ciencias Sociales y Humanidades

Licenciatura en Economía

Algunas notas sobre autocorrelación y

heteroscedasticidad

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANAUNIDAD IZTAPALAPA

2

Introducción

3

A.1. Heteroscedasticidad

4

Naturaleza de la heteroscedasticidad

Un supuesto fundamental del MCRL es que la varianza de cada término de

error ui, condicional a los valores seleccionados de las variables explicativas,

es algún número constante σ2; éste es el supuesto de homoscedasticidad.

222

1 )(),...,|( ikii uEXXuEuE

para cada i2)( iuVar

En otras palabras, la heteroscedasticidad es la existencia de una varianza

no constante en las perturbaciones aleatorias de un modelo econométrico.

El supuesto de homocedasticidad o varianza de los errores constante, es

difícil de justificar en algunas situaciones.

…(1)

5

Causas frecuentes de heteroscedasticidad

Variables explicativas cuyo recorrido tiene una gran dispersión

respecto a su propia media.

Presencia de datos atípicos.

Omisión de variables relevantes en el modelo especificado.

Cambio de estructura.

Incorrecta transformación de los datos (uso de variables no

relativizadas).

Uso de una forma funcional incorrecta (por ejemplo, modelos

lineales frente a modelos log-lineales).

Asimetría en la distribución de una o más variables explicativas.

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Efectos de la heteroscedasticidad sobre el MCRL

A. Incorrecta estimación de los parámetros.

El estimador de MCO sigue siendo lineal, insesgado y consistente pero deja

de ser eficiente (varianza mínima).

La homocedasticidad del termino de error no juega ningún papel relevante

en la insesgadez o la consistencia; propiedades que se alteran ante la

presencia de regresores estocásticos o por la omisión de variables

relevantes.

B. Cálculo incorrecto de las varianzas y parámetros ineficientes

La varianza del estimador de MCO, además de no ser mínima, no pueden

calcularse con la expresión utilizada en presencia de homocedasticidad:

12ˆvar

XXI T

u …(2)

7

Efectos de la heterocedasticidad sobre el MCRL

En otras palabras, hacer una regresión estándar por MCO e ignorar (o no

conocer) la existencia de la heteroscedasticidad, producirá una varianza de

.....sesgada.

En presencia de heteroscedastidad, el método de Mínimos Cuadrados

Generalizados (MCG) produce estimadores MELI; ya que ante la violación

del supuesto de varianza constante y la propiedad de varianza mínima, los

resultados de MCO sobreestiman consistentemente el verdadero error

estándar.

En virtud de lo anterior, las conclusiones o inferencias que obtengamos

serán sesgadas. Básicamente, nuestros cálculos de “t” ya no se distribuirán

como una “t” y el contraste “F” ya no se distribuirá como una “F”, es decir

dan resultados imprecisos.

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Cómo se detecta la presencia de Heteroscedasticidad

Contrastes numéricos (paramétricos)

Prueba Breusch-Pagan-Godfrey

La idea es comprobar si se puede encontrar un conjunto de variables Z

(variables independientes) que sirvan para explicar la evolución de la

varianza de los residuos, estimada ésta a partir del cuadrado de los errores

del modelo inicial sobre el que se pretende comprobar si existe o no

heterocedasticidad.

imimiii

i ZZZkn

u

22110

22 ˆ

ˆ

Planteamiento de hipótesis

0: 210 mH

Ho: Varianza constante para todo i H1: Varianza no constante para todo i

0: 211 mH

Ho: Residuos homocedasticos H1: Residuos heteroscedasticos

…(3a)

9

Cómo se detecta la presencia de Heteroscedasticidad

Procedimiento general de Breusch-Pagan-Godfrey

1. Estime (3a) mediante MCO y obtenga los residuos

2. Obtenga el estimador de la varianza de los residuos

3. Construir la siguiente variable:

4. Hacer la regresión de pi sobre las variables Z como:

5. Obtener la SCE (Suma de Cuadrados Explicada) y definimos:}

6. Asumimos que se distribuye como con (m-1) gl

7. Si el valor de excede al valor crítico en el nivel de significancia

seleccionado, se rechaza la hipótesis de homoscedasticidad; de lo

contrario, no se rechaza.

Comando en stata: hettest y xttest3 (prueba modificada de Wald)

2

2

ˆ

ˆ

i

i

up

imimiii ZZZp 22110

…(3b)

…(3c)

2

SCE …(3d)

2

2

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Cómo se detecta la presencia de Heteroscedasticidad

Prueba general de heteroscedasticidad de White

La prueba general de heteroscedasticidad, propuesta por White, no es

sensible al supuesto de normalidad. Consideremos el siguiente modelo de

regresión:

iikkiiii uXXXXY 3322110 …(4a)

Ho: Residuos homocedasticos

H1: Residuos heteroscedasticos

Planteamiento de hipótesis

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Procedimiento general de White

1. Estime (4a) mediante MCO y obtenga los residuos

2. Efectúe la siguiente regresión (auxiliar):

3. Se establece el estadístico de prueba, considerando que el tamaño de la

muestra (n) multiplicado por R2 (obtenido de la regresión auxiliar), sigue

una distribución ji cuadrada con gl igual al número de regresoras (sin el

término constante) en la regresión auxiliar:

4. Si el valor ji cuadrada obtenido excede al valor ji cuadrada crítico con el

nivel de significancia seleccionado, la conclusión es que hay

heteroscedasticidad.

Comando en stata: imtest, white

iikikkiikk

kikkikkikii

XXXX

XXXXu

11211

22

11110

2ˆ

…(4b)

Cómo se detecta la presencia de Heteroscedasticidad

2

k

2 ~ Rn …(4c)

12

Soluciones al problema de Heteroscedasticidad

Cuando se conoce

El método más directo de corregir la heteroscedasticidad es con el de

Mínimos Cuadrados Ponderados, pues los estimadores obtenidos mediante

este método son MELI.

2

i

Cuando no se conoce

Empleamos el procedimiento de varianzas y errores estándar consistentes

con heteroscedasticidad de White.

La estimación de varianzas y errores estándar con la corrección de

heteroscedasticidad de White en forma simultánea con las varianzas y los

errores estándar de MCO usuales (errores estándar robustos); permite que

las inferencias estadísticas sean asintóticamente válidas (para muestras

grandes) sobre los verdaderos valores de los parámetros.

2

i

13

Soluciones al problema de Heteroscedasticidad

Genéricamente…

Si la varianza del error es proporcional a Xi, entonces la transformación de

raíz cuadrada puede solucionar el problema de varianza no constante:

La transformación logarítmica como

con gran frecuencia reduce la heteroscedasticidad cuando se compara con

la regresión:

i

ii

ii

i

X

uX

XX

Y 10

1 …(5)

iikkiii uXXXY lnlnlnln 22110

iikkiii uXXXY 22110

…(6)

…(7)

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A.2. Autoccorelación

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Naturaleza de la Autocorrelación

En los estudios de corte transversal, habitualmente, los datos se recopilan

con base en una muestra aleatoria de unidades transversales; de modo que

no existe razón para creer que el término de error de una unidad de

observación esté correlacionado con el término de error de otra unidad de

observación.

Si por casualidad se observa dicha correlación en unidades transversales,

ésta se conoce como autocorrelación espacial (correlación contemporánea).

En contraste, si trabajamos con datos de series de tiempo, las

observaciones siguen un ordenamiento natural respecto del tiempo, de

modo que es muy posible que las observaciones sucesivas muestren

intercorrelaciones

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Naturaleza de la Autocorrelación

El MCRL supone que el término de error relacionado con una observación

cualquiera no recibe influencia del término de error relacionado con

cualquier otra observación. Esto es, el MCRL supone que no existe

autocorrelación (correlación contemporánea) en las perturbaciones ui.

Simbólicamente tenemos:

0)(),|,cov( jijiji uuEXXuu

ji con

Sin embargo, si existe tal dependencia, hay autocorrelación (correlación

contemporánea), esto es:

0)(),|,cov( jijiji uuEXXuu

ji con

…(8a)

…(8b)

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Causas frecuentes de Autocorrelación

Omisión de variables relevantes. Las variables omitidas forman parte

del término de error; por tanto, si hay correlación entre distintas

observaciones de las variables omitidas, también habrá correlación entre

los distintos valores de los términos de error.

Sesgo de especificación (forma funcional incorrecta). Si usamos un

modelo inadecuado para describir las observaciones (v.gr. un modelo

lineal cuando en realidad se debería usar un modelo cuadrático),

notaremos que los residuos mantienen un comportamiento no aleatorio.

Transformación inadecuada de los datos. Algunas transformaciones

del modelo original podrían causar la aparición de autocorrelación en los

residuos del modelo transformado (incluso cuando el modelo original no

presentase problemas de autocorrelación).

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Rezagos. Una modalidad de trabajo con series tiempo son los modelos

de regresión que incluyen no sólo valores actuales sino también valores

rezagados (pasados) de las variables explicativas y dependiente. La

inclusión u omisión de estas variables, retardos, se reflejara en el término

de error resultando en un patrón sistemático debido a la influencia de

dichas variables.

No estacionariedad. La existencia de tendencias o ciclos en los datos

(variables económicas no estacionarias alrededor de su media) impide

que el comportamiento de la variable endógena sea explicado por las

exógenas, siendo el término de error el que recoge ese ciclo o tendencia.

Causas frecuentes de Autocorrelación

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Consecuencias de la Autocorrelación

Es importante aclarar que los supuestos de no autocorrelación y homocedasticidad

son necesarios para demostrar que los estimadores de MCO son insesgados y

consistentes.

No obstante, la estimación MCO deja de ser eficiente y la inferencia estadística se ve

afectada, debido a que se viola la propiedad de varianza mínima.

La matriz de varianza-covarianza de los residuos es subestimada. Como

resultado, es probable que se sobreestime R2.

Los intervalos de confianza pierden robustez, son sobreestimados

(autocorrelación negativa) o subestiman (autocorrelación positiva).

Las pruebas de significancia t y F usuales dejan de ser válidas y, de aplicarse, es

probable que conduzcan a conclusiones erróneas sobre la significancia estadística

de los coeficientes de regresión estimados.

Si la autocorrelación es positiva, se tiende a cometer error tipo I, si el tipo de

autocorrelación es negativa, se tiende a cometer error tipo II.

20

La prueba más conocida para detectar correlación serial es la de Durbin y

Watson, mejor conocida como estadístico d de Durbin-Watson, que se

define como

Cómo detectar la presencia de Autocorrelación

Contrastes numéricos (paramétricos)

Prueba de Durbin-Watson

nt

t

t

nt

t

tt

u

uu

d

1

2

2

2

1

ˆ

ˆˆ…(9)

La ecuación (9), es el cociente entre la suma de las diferencias al cuadrado

de residuos sucesivos sobre la SCR.

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Cómo detectar la presencia de Autocorrelación

Supuestos del estadístico DW

El modelo de regresión incluye el término del intercepto.

Las variables explicativas son no estocásticas, es decir, son fijas en

muestreo repetido.

Las perturbaciones ut se generan mediante un esquema autorregresivo

de primer orden. Por tanto, no se pueden utilizar para detectar esquemas

autorregresivos de orden superior.

El término de error ut está normalmente distribuido.

El modelo de regresión no incluye valor(es) rezagado(s) de la variable

dependiente como una variable explicativa, en caso contrario la prueba

es inaplicable a modelos del siguiente tipo:

No hay observaciones faltantes en los datos.

tttkktttt uYXXXXY 13322110

22

H0: No hay autocorrelación de primer orden

H1: Existe autocorrelación de primer orden

Planteamiento de hipótesis

Cómo detectar la presencia de Autocorrelación

Regla de decisión

Comando de STATA: estat dwatson o dwstat

(primero deberá realizarse la regresión del modelo objetivo)

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Prueba LM de Breusch – Godfrey

Cómo detectar la presencia de Autocorrelación

El estadístico, a diferencia del contraste de Durbin-Watson, es una prueba

para autocorrelación de orden superior porque permite:

Regresoras no estocásticas, como los valores rezagados de la regresada.

Esquemas autorregresivos de orden mayor, como el AR(1), AR(2), etc.

Promedios móviles simples o de orden superior de los términos de error.

Grosso modo, la prueba LM de Breusch-Godfrey consiste en estimar una

regresión auxiliar con MCO y en hacer un contraste sobre los parámetros de

esta regresión

H0: No hay autocorrelación de ningún orden

H1: Existe autocorrelación

Planteamiento de hipótesis

0: 210 pH

0: 211 pH

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Procedimiento de Breusch – Godfrey

Cómo detectar la presencia de Autocorrelación

Estimar el modelo original (en niveles o logarítmico) mediante MCO y

obtenga los residuos .

Haga la regresión sobre la Xt original y , donde estas

últimas son los valores rezagados de los residuos estimados en el paso

1; y obtenga el R2 de la regresión auxiliar.

tu

ttkktttt uXXXXY 3322110

tu pttt uuu ˆ,,ˆ,ˆ 21

t

p

i

pttkkttt vuXXXu ˆˆˆ1

22110

Una desventaja de la prueba BG es que el valor de p, la longitud del rezago,

no puede especificarse a priori, lo que hace inevitable algún grado de

experimentación con el valor de p. Se recomienda utilizar los criterios de

información de Akaike y Schwarz para seleccionar la longitud del rezago.

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Regla de decisión

Cómo detectar la presencia de Autocorrelación

Si el valor del estadístico excede el valor crítico ji cuadrada con el nivel de

significancia seleccionado, podemos rechazar la hipótesis nula, en cuyo

caso, por lo menos una ρ es significativamente diferente de cero.

El estadístico sigue una distribución ji cuadrada, según:

2

p

2 ~ Rpn

Comando de STATA: estat bgodfrey o bgodfrey

(primero deberá realizarse la regresión del modelo objetivo)

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Soluciones al problema de Autocorrelación

Cuando se conoce ρ

Cuando no se conoce ρ

Utilizar el método de Mínimos Cuadrados Generalizados Factibles (MCGF)

en presencia de autocorrelación, AR(1), mediante la transformación de

Prais-Winsten

Utilizar el método de primeras diferencias, estimar mediante MCO, esto es:

122211111 ttkttkktttttt uuXXXXXXYY

tktkttt XXXY 2211

Comando de STATA: prais varlist, corc ssesearch

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Cuando no se conoce ρ

Utilizar el método Newey-West para corregir los errores estándar de MCO.

Se trata de una generalización de los errores estándar consistentes con

heteroscedasticidad de White (consistentes con heteroscedasticidad y

autocorrelación).

Soluciones al problema de Autocorrelación

Comando de STATA: newey varlist, lag(#)