DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

RAZÓN:

Se denomina razón entre dos cantidades a y b al cociente entre ellas , que se lee a

es a b y que significa que al número a le corresponde el número b Una razón es muy similar a una fracción; pero debemos notar que en una fracción a y b son números enteros, mientras que en una razón a y b son números reales

en ésta expresión el numerador a se denomina antecedente, mientras el

denominador b se denomina consecuente.

Una razón es una comparación entre dos cantidades expresada como un cociente.

La comparación se puede realizar entre cantidades del mismo tipo, en cuyo caso el resultado es un número abstracto que carece de unidades, así por ejemplo:

El tamaño de una persona (a), comparado con la longitud de su zancada (b).

La distancia recorrida en un trayecto (a) comparada con lo que falta por recorrer (b)

El largo de un rectángulo(a) comparado con el ancho (b)

En un triángulo rectángulo se pueden comparar sus ángulos agudos A y B

También se establece la razón entre cantidades de diferente

naturaleza, en cuyo caso el número tendrá unidades acorde a las cantidades que se relaciones, así por ejemplo:

La población de un país y su superficie El número de bacterias contenidas en un cultivo por unidad de campo Cantidad de combustible consumido por un automóvil por kilómetro Número de barones en una clase con respecto a número de mujeres de la misma

clase. Elementos producidos por horas transcurridas. Etc

PROPORCIÓN: Cuando dos razones son iguales se establece una proporción, es decir una proporción es una igualdad entre dos razones.

Sea y dos razones tales que , entonces , que se lee a es a b

como c es a d, que también se escribe a : b = c : dEn la expresión a y c se denominan antecedentes, b y d se denominan consecuentes También a y d se denominan extremos, mientras que b y c se denomina medios

A

B

a

b

Ejemplo 1: Establezcamos ahora una proporción entre el tamaño de una persona (a), comparado con la longitud de su zancada (b) y el tamaño de otra persona (c), comparado con la longitud de su zancada (d).Ejemplo 2: En la mano del cuerpo humano la razón de la falangesEjemplo 3: En los pinzones guarda proporción la zona de color del pecho y cabeza (a) con la zona de color del pecho (b), como la zona de color del pecho (c=b) guarda con la zona de color de la cabeza (d)

Cuarta proporcional: Entre tres cantidades conocidas, corresponde al cuarto valor que permite formar la proporción, en las expresiones la x representa la cuarta proporcional.

Media proporcional: Se establece cuando en una proporción los medios son iguales o cuando los extremos son iguales. Es la base de la proporción áurea

Propiedades de las proporciones

En una proporción pueden invertirse las razones y sigue siendo una proporción

Si ,

El producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Si , ad = bc.

En una proporción a cada antecedente se puede sumar su respectivo consecuente, o a cada consecuente sumar su respectivo antecedente y sigue siendo una proporción

Si o

En una proporción a cada antecedente se puede restar su respectivo consecuente, o a cada consecuente restar su respectivo antecedente, y sigue siendo una proporción

Si o

En una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes, es a la suma de los consecuentes, como uno cualquiera de sus antecedentes es a su respectivo consecuente.

ab

d

c

Si

TEOREMA DE THALESCuando dos rectas secantes son cortadas por una serie de rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra recta.Sean las rectas paralelas L1, L2 y L3, y las secantes AC y DF

Donde se cumple que:

Una aplicación inmediata del teorema de Thales es la división de un segmento en partes iguales y también en partes proporcionales a números dados.

División de un segmento en n partes iguales

c= 90 cm

a = 180 cm

b= 60 cmd= 30 cm

A

B

C

D

E

F

L1

L2

L3

Consiste en dividir un segmento en un número de partes cuya longitud sea la misma.

A B

A BPara dividir un segmento en n partes iguales utilizando un método geométrico se procede así:

Dado el segmento AB En el extremo A se dibuja una línea auxiliar AC no importa el ángulo de

inclinación Se señala sobre AC n segmentos de igual longitud Se une mediante una recta el extremo del último segmento con B Se trazan paralelas a la última línea trazada y que pasen por cada extremo de los

segmentos El segmento AB a quedado dividido en n partes iguales

Si el segmento se ubica sobre una recta numérica podemos dividirlo matemáticamente.Consideremos el segmento AB ubicado sobre una recta numérica horizontal, digamos que esta recta es un eje x, podemos asignar al punto A un valor x1 y al punto B un valor x2, con lo que las coordenadas de AB serían (x1,x2) si deseamos establecer la longitud del segmento AB basta con restar el segmento 0x1 del segmento 0x2,AB= 0x2 - 0x1 O simplemente restando la coordenada de la derecha x2 de la coordenada de la izquierda x1

AB = x2 - x1

Si ya conocemos la longitud del segmento AB podemos dividir esta longitud para el número de veces que se desea dividir el segmento

Para determinar las coordenadas de los extremos de los segmentos basta con sumar x1

con d, y a cada nueva valor sumarle d hasta llegar a x2

A B A B

C

A B

C

A B

C

n partes iguales

División interna de un segmento

Consiste en localizar un punto P en el interior de un segmento, tal que forme dos

segmentos que están en una razón dada,

A P B

Para dividir un segmento internamente en razón utilizando un método geométrico se procede así:

Dado el segmento AB En el extremo A se dibuja una línea auxiliar AC no importa el ángulo de

inclinación En el extremo B se dibuja una línea auxiliar BD paralela a la línea AC pero en

sentido contrario Se señala sobre AC m segmentos de igual longitud Se señala sobre BD n segmentos de igual longitud Se unen con una línea los segmentos extremos Donde corta está línea con el segmento AB se ubica el punto P que divide a

dicho segmento en razón

Donde

a) Si m > n P está más cerca de B

b) Si m < n, P está más cerca de A c) Si m = n, P es el punto medio

Si el segmento se ubica sobre una recta numérica podemos hallar la posición de P matemáticamente.

Sea el segmento AB de coordenadas (x1,x2), sobre un eje horizontal x, y , la razón

en la que se quiere dividirlo internamente. El punto P interno tendrá por coordenada un valor x, que vamos a determinar. Si, Si el segmento se ubica sobre una recta numérica podemos hallar la posición de P matemáticamente.

Sea el segmento AB de coordenadas (x1,x2), sobre un eje horizontal x, y , la razón en la que se quiere dividirlo internamente. El punto P interno tendrá por coordenada un valor x, cuyo valor vamos a determinar.

Si

,

entonces

, pasando a multiplicar

, distribuyendo r

A B

A B

C

A B

C

A B

C

D

DD

P

m veces

n veces

A B

C

D

P punto medioA B

C

P

, ubicando los términos que contienen x en un solo miembro, factorando

, despejando x

Esta expresión es válida para cualquier eje, es así que, para un eje y tendríamos

Si la razón es r = 1 el punto P será punto medio del segmento, entonces

y

División externa de un segmento

Consiste en localizar un punto Q en la prolongación de un segmento, tal que formen

dos segmento que estén en una relación dada

Q A B

A B Q

o

Para dividir un segmento externamente en razón utilizando un método geométrico se procede así:

Dado el segmento AB En el extremo A se dibuja una línea auxiliar AC, no importa el ángulo de

inclinación En el extremo B se dibuja una línea auxiliar BD paralela a la línea AC pero en el

mismo sentido Se señala sobre AC m segmentos de igual longitud Se señala sobre BD n segmentos de igual longitud Se unen con una línea los segmentos extremos Donde corta está línea con la prolongación del segmento AB se ubica el punto Q

que divide a dicho segmento en razón

Donde Existen 3 posibilidades

a) Si m>n, el punto Q se ubica a la derecha de B

b) Si m<n, El punto Q se ubica a la izquierda de A

c) Si m= n no tiene solución, pues se generaría una línea paralela al segmento AB

Si el segmento se ubica sobre una recta numérica podemos hallar la posición de Q matemáticamente.

Sea el segmento AB de coordenadas (x1,x2), sobre un eje horizontal x, y , la razón

en la que se quiere dividirlo externamente. El punto Q externo tendrá por coordenada un valor x, que vamos a determinar.

Si , entonces

o , ambas equivalentes, pasando a multiplicar

, distribuyendo r

A B

A B

C

A B

C

D

m veces

n veces

D

A B

C D

Q

A B

m veces

n veces

AB

C D

QA B

C D

A B

C D

, ubicando los términos que contienen x en un solo miembro, facturando x

, despejando x

Si asignamos a r el signo menos la expresión nos queda

Que se parece a la expresión obtenida para dividir un segmento internamente.Esta expresión es válida para cualquier eje, es así que, para un eje y tendríamos

Podemos establecer que si un segmento se va a dividir internamente, r tiene valor positivo y si se va a dividir externamente, r tiene valor negativo, siempre que se use las

expresiones ,

División armónica de un segmento

Consiste en dividir un segmento interno y externamente en una misma razón. Si P y Q dividen armónicamente al segmento AB, se tiene:

Q A P B

A P B Q

En la división armónica debe verificarse la división interna y externaPara representar geométricamente la división del segmento se seguirán los pasos señalados anteriormente en la división interna y la división externa.

División de un segmento en media y extrema razón. Proporción Áurea

Dividir un segmento AB en media y extrema razón, consiste en dividirlo en dos segmentos AP Y PB , tales que:

A P B

Es decir, que el segmento AP es la media proporcional entre AB y PB

Este segmento AP se llama segmento áureo y se considera que esta división es la más proporcionada que se puede hacer de un segmento

Si es un punto exterior Q

Q A B

Es decir, que el segmento AB es la media proporcional entre QB y AQ

PROPORCIÓN ÁUREA:

La proporción o sección áurea fue empleada por filósofos, científicos y artistas que terminaron llamándola en el Renacimiento la proporción divina.

Conocida como la regla de oro, esta razón consiste en una línea dividida en dos partes tal que la línea original tenga la misma proporción con la línea larga que tiene la línea larga con la línea corta, es decir “El todo es a la parte mayor, como la parte mayor es a la parte menor”

La construcción geométrica para encontrar el número de oro es sencilla y la podemos trazar de la siguiente manera.

Bastará dividir un segmento cualquiera en dos partes, a y b , de forma que la razón entre la totalidad del segmento y la parte a sea igual a la razón entre la parte a y la parte b

Expresado matemáticamente:

Si desarrollamos esta expresión:

Luego, podemos despejar a en virtud de la fórmula general de las ecuaciones de 2do grado, teniendo en cuenta que a > 0 :

Dividiendo a para b tenemos:

A este número inconmensurable se le llama número de oro ó razón áurea, se representa por el símbolo (phi)y su valor es aproximadamente 1,61803...

El símbolo para la relación áurea fue propuesto por el matemático americano Mark Barr. La letra fue elegida en honor al escultor griego Phidias (s.V a. C) que solía usar la relación áurea en sus esculturas.El nombre de "número de oro" se debe a Leonardo da Vinci.

a b

a+b

A

C

B

Los griegos obtuvieron este número al hallar la relación entre la diagonal del pentágono regular y su lado. Esto hace posible construir un pentágono regular usando regla y compás.

Al trazar las diagonales de un pentágono regular resulta la estrella pentagonal o estrella de Italia, era el símbolo de la escuela pitagórica y servía a los pitagóricos para reconocerse entre sí.

En el pentágono áureo existen muchas relaciones que nos permiten encontrar el número de oro.

RECTÁNGULO ÁUREO

Una de las formas más importantes es el rectángulo áureo, que lo podemos construir de la siguiente forma: A partir de un cuadrado de lado unidad y con centro

en O (punto medio del lado CD) y desde B, trazamos un arco hasta que corte a la prolongación del lado CD en N.

Por N levantamos una perpendicular hasta que corte a la prolongación del lado AB en M

Los lados del rectángulo obtenido están en la proporción áurea

El rectángulo de oro, permite trazar una bella espiral, denominada espiral de oro.

Partiendo de un cuadrado.

A partir del triángulo 3-4-5 A partir del Triángulo rectángulo 1-2

Partiendo de un doble cuadrado

División de un segmento internamente en proporción áurea

Para dividir un segmento en proporción áurea trazamos el segmento AB Trazamos un segmento perpendicular a AB en B, que mida la mitad de AB Trazamos un segmento que una A con C Con centro en C y hasta B trazamos un arco hasta que corte en D al

segmento AC Con centro en A y hasta D trazamos un arco hasta que corte en el segmento

B, en el punto E

Se cumple que

Pentágono áureo

Para trazar un pentágono trazamos el segmento AB Trazamos un segmento perpendicular a AB en B, que mida lo mismo que

AB Hallamos el punto medio M de AB Con centro en M y hasta C trazamos un arco hasta que corta en D a la

prolongación de AB El segmento AD es la diagonal del pentágono Se hace centro en A con la longitud AD y se traza un arco Se hace centro en B con la longitud AD y se traza un arco hasta que corte el

trazado desde A El punto de cruce F es otro vértice del pentágono Se hace centro en A con la longitud AB y se traza un arco Se hace centro en B con la longitud AB y se traza un arco Se hace centro en F con la longitud AB y se traza arcos que cortarán los dos

trazados anteriormente desde A y B respectivamente Los puntos de cruce son los otros dos vértices G, H del pentágono Se une todos los vértices y está trazado el pentágono

A B A B

C

M D

A D

A B

F

A B

F

A B

F

G H

A B A B A B

D

CC

La proporción Áurea en diferentes campos

En la naturaleza existen innumerables ejemplos donde se puede observar la proporción áurea, así en las galaxias, en las conchas marinas, en las plantas y flores como los girasoles, en las piñas, en las aves, etc

En el cuerpo humano también se observa la proporción áurea. En el siglo XX el arquitecto Le Corbusier basó su sistema de proporciones humanas (el modulor) en el número áureo.  Hay varios cocientes que son el número áureo: 

La altura de la persona (183) entre la altura a la que está el ombligo del suelo(113).

La altura de la persona con el brazo levantado (226) entre la altura a la que está el brazo puesto en horizontal (140).

ab

d

c

La altura a la que está el brazo puesto en horizontal (140) entre la altura a la que se encuentra el punto de apoyo de la mano (86).

En el rostro de las personas se puede encontrar la proporción áurea. La máscara que se ha sobrepuesto sobre los rostros está diseñada en base al rectángulo áureo. Se puede observar como la relación entre el tamaño de la boca y el ancho de la nariz están en proporción áurea, el rectángulo áureo ha sido construido en base a esas dimensiones.

También se puede observar en el tamaño del rostro

Desde la antigüedad se ha utilizado la divina proporción para construir fabulosos monumentos y edificaciones, tal como el Partenón

La proporción áurea ha sido ampliamente utilizada en el arte como se puede observar en el siguiente cuadro de Boticelli, donde se hace notar la división de la altura en

proporción áurea, o en la obra de Dalí, donde se puede observar un rectángulo áureo como lienzo, y el diseño en forma de espiral áurea, así mismo en el Hombre de Vitrubio de Leonardo Da Vinci se observan las proporciones áureas

Se emplea la proporción áurea en la fotografía, como se observa en las obras de Cartier-Bresson: Man Ray, Dan Burkholder, entre otros

En algunos casos se pueden emplear para la fotografía las plantillas que se muestran en los esquemas diseñadas en base a los rectángulos áureos

También se la emplea en la elaboración de objetos, como las tarjetas de crédito, las cajas de cigarrillos, esculturas, etc

Hasta en la música se puede encontrar obras basadas en la Divina Proporción, tal el caso de muchas obras de Mozart y Bethoven

TALLER:

1. ACTIVO - EXPERIENCIA CONCRETA

1.1. Forme un grupo de trabajo conformado por 3 o 4 estudiantes

1.2. Con la ayuda de una cinta métrica o un flexómetro, proceda a medir las dimensiones

del cuerpo de cada uno de los integrantes, tal como se señala en la tabla 1 y

consigne los valores en la parte correspondiente

1.3. Realice los cálculos señalados en la tabla 2

Referencias

a Estatura

b Distancia del suelo al ombligo

c Antebrazo

d Palma de la mano

e Longitud del pie

f Perímetro de la cintura

g Perímetro de la mano echa puño

h Perímetro del cuello

TABLA 1

Medida

estudiante

a

(cm)

b

(cm)

c

(cm)

d

(cm)

e

(cm)

f

(cm)

g

(cm)

h

(cm)

a

b

c

d

e

f

g

h

TABLA 2

Relación

Estudiante

a/b c/d d/e e/g f/h

2. REFLEXIVO - OBSERVACIÓN REFLEXIVA

2.1 Analice los valores obtenidos en las diferentes casillas de las dos tablas

2.2 Compare los resultados obtenidos en la tabla 1

2.3 Discuta con sus compañeros de grupo los resultados obtenidos

2.4 Compare los resultados obtenidos en la tabla 2

2.5 Discuta con sus compañeros de grupo los resultados obtenidos

3. TEÓRICO - CONCEPTUALIZACIÓN ABSTRACTA

3.1 Establezca lo que es una razón entre dos cantidades

3.2 De a conocer los elementos de una razón

3.3 Señale lo que es una proporción

3.4 Determine cuales son las propiedades de una proporción

3.5 Resuelva ejercicios y problemas de aplicación

PROBLEMAS DE APLICACIÓN.

1. Si los lados AD y DB, AC y EB de los triángulos ACD y BED son

proporcionales determine la medida de los segmentos AD y DB

sabiendo que la longitud del segmento AB es de 84 cm, el segmento AC

mide 35 cm y el segmento BE mide 5cm.

2. Con centro en el punto O se realiza una homotecia del cuadrilátero

ABCD, obteniéndose el cuadrilátero A´B´C´D´. Si el segmento OA= 12

cm y el segmento OA´= 16 cm. Determine las longitudes de cada uno de

los lados del cuadrilátero A´B´C´D´, sabiendo que:

AB= 3 cm

BC = 4 cm

CD= 3,5 cm

AD= 5 cm

5 cm

35 cm

A B

C

D

E

O

A

B

C

D

A´

B´´

C´

D´´

3. Uno de los métodos empleados desde antaño para establecer el tamaño

de objetos muy altos, es el comparar su sombra con aquella que

proyecta una barra vertical de longitud conocida, estableciendo una

proporción. Una de las grandes pirámides de Egipto proyecta sobre el

suelo una sombra de 130m en el momento en que una barra vertical de

3 m de altura proyecta una sombra de 70 cm. ¿Cuál es la altura de la

gran pirámide?

4. En un plano de escala 1:50 una fachada mide 15 cm. ¿Qué longitud

tendrá la fachada en la realidad?

5. En una mezcla de cemento arena y ripio la proporción de la mezcla es

de 1:4:3. Si se dispone de 50 sacos de cemento. ¿Cuántos sacos de

arena y ripio se requieren para hacer una mezcla homogénea?

6. Las especificaciones para una habitación son que el largo, el ancho y la

altura estén en relación 5:3:1,4. Si el ancho mide 8 m. ¿Cuáles son las

medidas del largo y la altura?

7. En el diseño de una escalera, la altura de cada escalón es de 20 cm, y el

ancho del escalón es de 25 cm. La altura entre pisos es de 2,80 m.

a) ¿Cuántos escalones tendrá esta escalera?

b) ¿Qué distancia horizontal requiere la construcción de la escalera?

8. Para la construcción del techo de una vivienda la pendiente es del 5% se

debe colocar pequeñas columnas de soporte a distancias iguales. Si la

altura máxima es de 1,80m.

a) ¿Qué distancia horizontal cubre este techo?

b) ¿Qué distancia de separación hay entre las columnas?

c) ¿Qué altura debe tener cada una de ellas?

9. Las tuberías de desagüe de un edificio tienen una pendiente de 3/100 .

Si la tubería principal se ubica a 30 m de distancia horizontal. ¿Hasta

qué profundidad debería cavarse para llegar a la misma?

1)             Un lápiz de 25 centímetros proyecta una sombra de 4 centímetros. ¿Cuánto mide un árbol que proyecta una sombra de 1.20 metros?

2)             Dos números están a razón 2/5. Si el menor de ellos es 189 ¿Cuál es el otro?

3)             Una inversión de $5500 produjo un rendimiento de $385 en un año, otra inversión produjo $560 a la misma tasa de interés durante el mismo tiempo. ¿Cuál era el valor de la segunda inversión?

4)             Dos obreros trabajan en un fabrica empacando calcetines, pero mientras uno empaca 3 cajas, el otro empaca 7 cajas. Si el más hábil ha empacado 91 cajas, ¿cuántas habrá empacado el otro?

5)             La suma de dos números es 2920 y se encuentra en razón 3/7. ¿Cuáles son los números?

6)             Dos números se encuentran en razón ‚. Si se sabe que uno es 3 unidades mayor que el otro, ¿cuáles son los números?

7)             Una inversión de $3500 produce un rendimiento de $420 en un año, ¿qué rendimiento producirá una inversión de $4500 a la misma tasa de interés durante el mismo tiempo?

8)             Comiendo 90 gramos de cereal, se consumen 360 calorías. ¿Qué cantidad de cereal debe comerse para consumir solamente 80 calorías?

9)             Una mapa señala en el borde inferior: escala 1:100 000 000 ¿A cuántos kilómetros equivale una línea de 3 centímetros de largo?

10)         Dos ángulos están a razón 6 a 7. Si el menor mide 30º ¿Cuánto mide el otro?

11)         En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos están en razón y. ¿Cuánto mide cada uno de ellos?

12)         En un triángulo isósceles el lado desigual está en razón € a los dos iguales. Si el lado mayor mide 1.8 centímetros. ¿Cuál es perímetro del triángulo?

14)         En la república de Haití, en 1970 la razón entre el número de kilómetros cuadrados de superficie y el numero de habitantes estaba en razón 1 a 175. Si el número de habitantes en ese momento era de 4,856,250. ¿Qué superficie tiene Haití?

15)         ¿Qué longitud tiene en un mapa una distancia de 400 kilómetros si el mapa señala: escala 1:19 500 000?

16)         La estatura de mi hija cabe 2 veces en la mía, sobrando cierta cantidad de centímetros que está en razón 2 a 3 con la estatura de mi hija:

a.       ¿En qué razón está la estatura de mi hija en relación con la mía?

b.      Si mi estatura fuera de 160 metros con las condiciones del problema. ¿Cuál sería la de mi hija?

c.       La pregunta (b) si mi estatura es de 1.72 metros.

17)         Las velocidades máximas de una mariposa y un avestruz están en razón ’. Si la mariposa, que es la que alcanza menor velocidad puede recorrer 48 kilómetros en una hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá el avestruz en el mismo tiempo?

18) Los ángulos consecutivos de un rombo están en la razón de 29 : 7 Determinar la medida de cada ángulo.

19.) El perímetro de un pentágono es 120 cms., los lados están en la razón de 2 : 5 : 6 : 4 : 3. Determina la medida de los lados a, b, c, d, e.