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CUADERNO IV

ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES

Miguel A. Sainz, Joan Serarols, Anna M. PérezDep. de Informática y Matemática Aplicada

Universidad de Girona

RESUMEN: Se va a desarrollar la estructura algebraica denominada espacio vectorial,formada por vectores y escalares, y su correspondiente subestructura denominada subespacio.Se estudiarán los más interesantes, que son los de dimensión finita, caracterizándose susconjuntos genaradores hasta llegar a una base como conjunto generador mínimo, formadapor vectores linealmente independientes. El teorema de Steinitz permitirá definir ladimensión de un espacio. Se estudiará el concepto de aplicación lineal, su imagen, núcleo yrango para acabar con un importante teorema de caracterización de las aplicaciones lineales.

IV.1.- ESPACIO VECTORIAL

Vamos a estudiar una estructura algebraica dotada de distintas leyes de composición, de granimportancia en la matemática aplicada. Sea (K,+,·) un cuerpo y V un conjunto no vacío. Con elfin de distinguir a los elementos de K les llamaremos escalares y los designaremospreferentemente mediante letras minúsculas griegas o latinas: a,b,..,x,..,β,σ,... y a loselementos de V les llamaremos vectores y los designaremos mediante letras latinas minúsculasen negrita: x,y,z,... Suponemos en V las siguientes leyes de composición:

a) Una l.c.i. en V, que llamaremos suma y designaremos por el mismo símbolo ,+, que laprimera l.c.i. del cuerpo K

+ : V×V V (x,y) x+y

b) Una l.c. externa en V con dominio de operadores K que llamaremos producto externo,y lo designaremos con el mismo símbolo · , omitido con frecuencia, que la segunda l.c.i delcuerpo K

· : K×V V (β,x) β ·x

El designar operaciones distintas con los mismos símbolos no tiene que dar lugar aambigüedades, habiendo tenido la precaución previa de distinguir escalares y vectores; así α+β y αβ se refieren a las leyes de composición interna del cuerpo K, y x+y αx se refieren a lasleyes de composición de V.

Diremos que V es espacio vectorial sobre K, abreviadamente V e.v.s. K, si las dos leyesde composición verifican las siguientes propiedades:

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1) (V,+) es un grupo abeliano, lo que significa

1a) La ley + es asociativa en V

1b) La ley + es conmutativa en V

1c) Existe el vector neutro en V : 0

1d) Para todo vector de x∈ V existe su opuesto −x : x+(−x) = 0

2) ( ∀ x,y∈ V ) (∀ β∈ K) (β(x+y) = βx+βy)

3) ( ∀ x∈ V) (∀ α ,β∈ K) ((α+β)x = αx+βx)

4) (∀ x∈ V) (∀ α ,β∈ K) (α(βx) = (αβ)x)

5) (∀ x∈ V) (1·x = x)

En esta definición hemos designado mediante 0 el vector neutro para la suma, paradistinguirlo del escalar neutro de la suma 0 y del escalar unidad para el producto 1. El vectoropuesto lo hemos designado por −x, notación habitual para una operación aditiva.

Las condiciones 2) y 3) de la definición son una especie de propiedad distributiva delproducto externo respecto a la suma de vectores y suma de escalares, y vistas las igualdades dederecha a izquierda, constituyen el modo de sacar un vector o un escalar factor comúnrespectivamente. La condición 4) es una especie de propiedad asociativa entre el productoexterno de V y el producto interno de K. La condición 5) puede interpretarse como que elelemento unidad para el producto interno de K es también unidad para el producto externo de V .Veamos como ejemplos algunos tipos importantes de espacios vectoriales.

Ejemplo IV.1.1

Sea un cuerpo (K,+,·); el conjunto Kn, formado por las n−plas de elementos de K,con las leyes de composición

Suma : (a1,a2,...,a n)+(b1,b2,...,bn) = (a 1+b1,a2+b2,...,a n+bn)

Producto externo : α (a1,a2,...,a n) = (αa1,αa2,...,α an)

El conjunto Kn es espacio vectorial sobre K. En efecto, es fácil comprobar laspropiedades anteriores, por ejemplo

1b) ∀ x,y ∈ Kn serán x = (a1,...,a n) , y = (b1,...,bn)

(a1,...,a n)+(b1,...,bn) = (b1,...,bn)+(a 1,...,a n)

ya que(a1+b1,...,a n+bn) = (b1+a1,...,bn+a n)

por la conmutatividad de la suma en K.

1c) Si 0 es el elemento neutro de + en K, entonces el vector (0,...,0) es el neutro de +en Kn, ya que para cualquier x = (a1,...,a n)∈ Kn será

(a1,...,a n)+(0,...,0) = (a 1+0,...,a n+0) = (a1,...,a n)

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1d) Si −ai es el opuesto de ai en K, entonces el vector (−a1,...,−a n) es el opuesto de(a1,...,a n) en Kn ya que

(a1,...,a n)+(−a1,...,−a n) = (a1+(−a1),..a n+(−an)) = (0,0,...,0)

3) (α+β)(a1,...,a n) = α(a1,...,a n)+β(a1,...,a n) = (αa1,...,αan)+(βa1,...,βan) =

= (αa1+βa1,...,αan+βan) = ((α+β)a1,..,(α+β)a n)

y por distributividad del producto respecto de la suma en K, la propiedad se cumple.Análogamente se demuestran las otras condiciones de espacio vectorial.

Casos particulares de este espacio vectorial Kn son los siguientes:

a) Rn es espacio vectorial sobre R, por ser (R,+,·) un cuerpo.

b) R2 es espacio vectorial sobre R, es decir, C es espacio vectorial sobre R.

c) Para n = 1 tenemos el espacio vectorial de K sobre K. En este caso losvectores y escalares se confunden; asimismo la suma de vectores y el productopor un escalar con la suma y producto interno de K. Como casos particulares deéste tenemos

c1) R es espacio vectorial sobre R.

c2) C es espacio vectorial sobre C.

Los espacios vectoriales anteriores son los más utilizados en ejercicios y problemas,formando una categoría importante, como más adelante justificaremos. No obstante, existenotros tipos de espacios vectoriales, dos de los cuales describimos en los siguientes ejemplos.

Ejemplo IV.1.2

Sea (K,+,·) un cuerpo, A un conjunto no vacío y el conjunto de funciones de A en K

F = { funciones f : A K}

Consideramos en F las siguientes operaciones:

Suma : f+g : A K x (f+g)(x) = f(x)+g(x)

es decir, la función suma es una función de A en K tal que la imagen de un x∈ A es lasuma (l.c.i en K) de las imágenes f(x) y g(x) (que son elementos de K)

Producto externo: α f : A K x (α f)(x) = α f(x)

donde al ser α y f (x) elementos de K , αf(x) es el producto interno de K. Con estasdos leyes F es espacio vectorial sobre K. Por ejemplo

1c) La función

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0A : A K x 0A(x) = 0

para 0 el neutro de la suma en K, es el vector neutro ya que

(f+0A)(x) = f(x)+0A(x) = f(x)+0 = f(x)

con lo que f+0A = f

4) (α(µf))(x) = α(µf)(x) = α(µf(x)) = (αµ)f(x)

con lo que por la asociatividad de · en K, son iguales las funciones

α(µf) = (αµ)f

Ejemplo IV.1.3

Otro espacio vectorial lo constituye K[x], conjunto de polinomios sobre un cuerpo(K,+,·) con las operaciones

suma : (a 0+a1x+...+a nxn)+(b 0+b1x+...+b mxm) = (a 0+b0)+(a1+b1)x+...

producto externo : α(a0+a1x+...+a nxn) = (αa0)+(αa1)x+...+(αa n)xn

Fácilmente se prueba que (K[x],+) es un grupo abeliano, verificándose además lasotras condiciones de espacio vectorial; por ejemplo

2) α((a0+a1x+...+a nxn )+(b0+b1x+...+bmxm )) =

αanxn si n > m

= α(a0+b0)+α(a1+b1)x+...+ αbmxm si n < m

α(an+bm)xn si m = n

α(a0+a1x+...+a nxn )+α(b0+b1x+...+bmxm ) =

αanxn si n > m = (αa0+αb0)+(αa1+αb1)x+...+ αbmxm si n < m

α(an+bm)xn si m = n

que son iguales, por distributividad del producto respecto de la suma en K.

Ejercicios

IV.1 .- Razonar si son espacios vectoriales los siguientes conjuntos:

a) C sobre R.

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b) F = {funciones reales} sobre R.

c) P5[x] = {polinomios reales de grado ≤ 5} sobre R.

IV.2.- En R+ se definen las operacionesx⊕ y = xy

λ⊗ x = xλ

Averiguar si es espacio vectorial sobre R .

IV.3. - En el conjunto R×R se define

(x,y)+(z,u) = (x+z,y+u)

λ(x,y) = (λx,α1)

Averiguar si con estas operaciones R×R es espacio vectorial sobre R para α1 = . Lomismo para las operaciones

(x,y)+(z,u) = (x+z,y+u)

k(x,y) = (k2x,k2y) con k∈ R

Como (V,+) es un grupo, existe la operación inversa y así x−y será un vector que sumado

con y nos da x, y es igual a la suma de x con el opuesto de y

x−y = x+(−y)

Recordemos que al ser K un cuerpo existe también la diferencia de escalares.

De la definición de espacio vectorial se deducen propiedades que completan las condicionesde la definición y que junto con ellas constituyen las reglas de cálculo con vectores y escalares.Las enunciamos en la Tabla IV.1.1

TABLA IV.1.1___________________________________________________

Propiedades de las l.c. de un espacio vectorial

Para cualesquiera x,y∈ V y α,β∈ K se verifica

1) (α−β)x = αx−βx α(x−y) = αx−αy

2) 0·x = 0 α ·0 = 0

3) (−α)x = −αx α(−x) = −αx (−α)(−x) = αx

4) αx = 0 implica α = 0 o x = 0___________________________________________________

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Demostraciones:

1) (α−β)x+βx = (α−β+β)x = αx ⇒ (α−β)x+βx−βx = αx−βx ⇒

⇒ (α−β)x = αx−βx

Análogamente

α (x−y)+αy = α (x−y+y) = α (x+0) = αx ⇒ α (x−y) = αx−αy

2) Particularizando el resultado anterior para α = β, tenemos

(α−α)x = αx−αx ⇒ 0·x = 0

y haciendo x = y se obtiene

α(x−x) = αx−αx ⇒ α ·0 = 0

3) Si en la propiedad 1) hacemos α = 0, tenemos

(0−β)x = 0·x−βx ⇒ (−β)x = 0−βx ⇒ (−β)x = −βx

Análogamente con x = 0,

α (0−y) = α0−αy ⇒ α (−y ) = 0−αy ⇒ α (−y) = −αy

Combinando ambos resultados

(−α)(−x) = −(α (−x)) = −(−αx) = αx

4) Teniendo en cuenta que

α = 0 αx = 0 ⇒ ∨ α ≠ 0 ⇒ α -1(αx) = α -10 ⇒ (α -1α)x = 0 ⇒ 1·x = 0 ⇒ x = 0

Ejercicios

IV.4 .- Estudiar si el conjunto a+b 5 | a,b∈ Q es o no un espacio vectorial sobre Q para lasuma y producto de números reales.

IV.5 .- Demostrar que E = a+b 2+c 3 | a,b∈ Q es un espacio vectorial sobre Q.

IV.2.- COMBINACIONES LINEALES

Una importancia especial tienen las sumas de vectores multiplicados por escalares; unaexpresión del tipo

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α 1x1+α 2x2+...+α nxn

se denomina combinación lineal de los vectores x1,...,xn. Así, diremos que un vector x escombinación lineal de los vectores x1,...,xn, si existen escalares α 1,...,α n tales que

x = α 1x1+...+α nxn

Los escalares α 1,...,α n reciben el nombre de coeficientes de la combinación lineal.

Ejemplo IV.2.1.

En el espacio vectorial R3 sobre R, como

3(1,−4,2)−5(6,2,0)=(−27,−22,6)

diremos que (−27,−22,6) es combinación lineal de los vectores (1,−4,2), (6,2,0).Asímismo (−27,−22,6) es combinación lineal de (1,−4,2), (6,2,0) y (4,2,3) ya que

3(1,−4,2)−5(6,2,0)+0(4,2,3) = (−27,−22,6)

Para averiguar si, por ejemplo, (3,−2,−12) es o no combinación lineal de (2,1,−1),(1,1,1), (−3,−3,−3) y (3,2,0), habrá que resolver la ecuación en R3

(3,−2,−12) = α 1(2,1,−1)+α 2(1,1,1)+α 3(−3,−3,−3)+α 4(3,2,0)

Al hacer operaciones tenemos

(3,−2,−12) = (2α 1+α 2−3α 3+3α 4,α 1+α 2−3α 3+2α 4,−α 1+α 2−3α 3)

e igualando2α 1+α 2−3α 3+3α 4 = 3

α 1+α 2−3α 3+2α 4 = −2 −α1+α 2−3α 3 = −12

que es un sistema lineal de tres ecuaciones en R en las incógnitas α 1,α 2,α 3,α 4 ; sitiene solución significará que el vector (3,−2,−12) es combinación lineal de los otroscuatro. Resolviéndolo por reducción

2α 1+α 2−3α 3+3α4 = 3 α 1+α 4 = 5 α 1+α 2−3α 3+2α 4 = −2 ⇒ 2α 1+2α 4 = 10 ⇒ α 1+α 4 = 5 ⇒ −α 1+α 2 −3α 3 = −12

⇒ α4 = 5−α 1 ∧ α 2 = −12+α 1+3α 3

Así, dando valores arbitrarios a α 1 y α 3, obtenemos diferentes soluciones del sistema;tenemos pues infinitas soluciones luego (3,−2,−12) es combinación lineal de los otrosvectores de infinitas maneras, por ser infinito el conjunto de coeficientes que verificanla ecuación. Por ejemplo, para α 3 = 1 y α1 = 4 obtenemos α 4 = 1 y α 2 = −5 ,cumpliéndose que (3,−2,−12) = 4(2,1,−1) −5(1,1,1)+1(−3,−3,−3)+1(3,2,0)

En general, y para espacios vectoriales tipo Kn sobre K, toda ecuación en Kn en la que

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intervengan únicamente combinaciones lineales de vectores, al hacer operaciones en ambosmiembros e igualar las componentes de los vectores resultantes se llega a un sistema de necuaciones lineales en K. Por esta razón vamos a exponer un procedimento ágil de resoluciónde estos sistemas; se denomina método de Gauss-Jordan; su base teórica se demostrarácuando hablemos de la solución general de un sistema de ecuaciones lineales y ahora se presentade un modo totalmente práctico, basándonos simplemente en la posibilidad de permutar dosecuaciones, multiplicar una ecuación por un escalar, sumar a una ecuación un múltiplo de otra,que son transformaciones que reducen el sistema a otro con las mismas soluciones.Supongamos un sistema lineal, es decir, las incógnitas están multiplicadas por escalares ysumadas. Por ejemplo, y para fijar ideas, vamos a razonar sobre un sistema lineal de tresecuaciones con tres incógnitas x1,x2 y x3, aunque los resultados son válidos para sistemas decualquier número de ecuaciones e incógnitas.

a11 x1+a12 x2+a13 x3 = b1a21 x1+a22 x2+a23 x3 = b2a31 x1+a32 x2+a33 x3 = b3

En primer lugar, como dos sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas sedistinguen entre sí por sus coeficientes, éstos identifican al sistema, y lo pueden representar.Para ello, los dispondremos en filas y columnas de forma que en cada fila figuren loscoeficientes de cada ecuación y en cada columna los de cada incógnita; la última columna será lade los términos independientes. Así el sistema anterior se representará por

a 11 a 12 a 13 b1

a 21 a 22 a 23 b2

a 31 a 32 a 33 b3

Esta disposición de los coeficientes en filas y columnas se denomina matriz del sistema (elconcepto de matriz tiene un alcance mucho más amplio y será introducido más adelante; porahora no es nada más que una disposición en filas y columnas de los coeficientes de un sistemade ecuaciones lineales). Las filas representan las ecuaciones, la última columna los términosindependientes y las restantes columnas las incógnitas, en el orden en el que se hayan escrito.

Supongamos que a11 ≠ 0; con él reduciremos a 0 los coeficientes no nulos que están en sucolumna sumando a la segunda ecuación, previamente multiplicada por a11, la primera ecuaciónmultiplicada por −a21 y a la tercera ecuación, previamente multiplicada por a11, la primeraecuación multiplicada por −a31. (Si fuera a11 = 0, hacemos previamente a este proceso uncambio de ecuaciones para conseguir que este primer coeficiente sea no nulo). La matriz delsistema resultante será

a 11 a 12 a 13 b1

0 a 221 a 23

1 b21

0 a 321 a 33

1 b31

Supongamos que a122 ≠ 0; con él reduciremos a 0 los coeficientes no nulos que están en su

columna sumando a la primera ecuación, previamente multiplicada por a122, la segunda ecuación

multiplicada por −a12 y a la tercera ecuación, previamente multiplicada por a122, la segunda

ecuación multiplicada por −a132 . (Si fuera a1

22 = 0, hacemos previamente a este proceso uncambio de la segunda ecuación con la tercera, si a1

32 ≠ 0; si también a 132 = 0 se salta a la

siguiente columna, realizando estas transformaciones en la columna tercera). La matriz del

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sistema resultante será

a 11 0 a 13 b1

0 a 221 a 23

1 b21

0 0 a 332 b3

2

Supongamos que a233 ≠ 0; con él reduciremos a 0 los coeficientes no nulos que están en su

columna sumando a la primera ecuación, previamente multiplicada por a233, la tercera ecuación

multiplicada por −a13 y a la segunda ecuación, previamente multiplicada por a233, la tercera

ecuación multiplicada por −a123 . (Si fuera a2

33 = 0, entonces o b23 ≠ 0, en cuyo caso la tercera

ecuación no tiene solución y tampoco el sistema, o b23 = 0 y podemos prescindir de la tercera

ecuación que se ha convertido en una identidad). La matriz del sistema resultante será

a 11 0 0 b1

0 a 221 0 b2

1

0 0 a 332 b3

2

Dividiendo la primera ecuación por a11, la segunda por a122 y la tercera por a2

33, tendremos

1 0 0 c1

0 1 0 c2

0 0 1 c3

y la solución del sistema que representa, de acuerdo a como se han escrito las incógnitas, es

x1 = c1 x2 = c2 x3 = c3

que es también la solución del sistema inicial.

En resumen el método se basa en utilizar estas transformaciones (también puede dividirse unaecuación por un número en cualquier fase del proceso con el fin de manejar números máspaqueños) para reducir la matriz del sistema inicial a otra que tenga columnas en las que existaun 1, en diferentes lugares, acompañado de ceros . Este tipo de columnas determinan lasincógnitas, que podemos considerar principales, que pueden ser despejadas en función de lostérminos independientes y quizás también de otras incógnitas no principales que se pasan a lossegundos miembros y entran a formar parte de estos términos independientes.

Ejemplo IV.2.2.

Siguiendo con el Ejemplo IV.2.1 veamos si es posible poner el vector (3,−2,−12)como combinación lineal de los vectores (2,1,−1),(1,1,1),(−3,−3,−3) y (3,2,0); estosignifica resolver la ecuación

(3,−2,−12) = α 1(2,1,−1)+α 2(1,1,1)+α 3(−3,−3,−3)+α 4(3,2,0)

Al hacer operaciones tenemos

(3,−2,−12) = (2α 1+α 2−3α 3+3α 4,α 1+α 2−3α 3+2α 4,−α 1+α 2−3α 3)

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Igualando obtenemos

2α 1+α 2−3α 3+3α 4 = 3 α 1+α 2−3α 3+2α 4 = −2 −α 1+α 2−3α 3 = −12

que es un sistema lineal de tres ecuaciones en R 3 en las cuatro incógnitasα 1,α 2,α 3,α 4. Aplicando el método de Gauss-Jordan

2 1 –3 3 3

1 1 –3 2 –2

–1 1 –3 0 –12

→

2 1 –3 3 3

0 1 –3 1 –7

0 3 –9 3 –21

→

2 0 0 2 10

0 1 –3 1 –7

0 0 0 0 0

→

→

1 0 0 1 5 0 1 –3 1 –7

0 0 0 0 0

tenemos a α 1 y α 2 como incógnitas principales y la solución del sistema es

α 1 = 5 −α 4 , α 2 = −7+3α 3−α 4

de modo que el vector dado resulta ser combinación lineal de los otros. Obsérvese quepara resolver el problema no es necesario escribir la ecuación de la combinación linealni el sistema de ecuaciones en R sino que, directamente, de los datos puede escribirsela matriz del sistema.

Así, el método de Gauss-Jordan no solamente sirve para resolver con rapidez un sistema deecuaciones lineales sino que también permite plantear de un modo inmediato un problema comoel anterior.

Ejercicios

IV.6.- Estudiar si el vector (1,2,3,5) de R4 es o no combinación lineal de los vectores de loslos siguientes conjuntos

a) {(2,3,0,5),(0,1,0,4),(1,1,0,2)}

b) {(−5,2,8,−16),(−5,3,17,−14),(1,1,11,6)}

c) {(0,1,2,−1),(1,2,−1,0),(0,2,−1,1),(4,6,1,3)}

d) {(0,1,1,1),(1,0,1,−1),(2,2,2,1),(0,0,−1,−1),(0,1,1,0)}

e) {(1,–1,3,3),(2,–2,6,6),(3,–1,3,5),(–2,2,−4,−4),(1,5,–3,3),(3,6,–9,0)}

IV.7.- En R3 se dan los siguientes conjuntos de vectores:

A = {(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(0,1,−1)} B = {(3,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(0,1,1)}

Probar que cualquier vector de de R3 es combinación lineal de los vectores de A y B.

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IV.8. - Hallar λ y µ para que el vector (λ ,µ,α1,α2) de Q4 sea combinación lineal de losvectores (1,α3,−5,3) y (α4,−1,4,7) para α1 = , α2 = , α3 = , α4 = .

IV.9.- Hallar m y n para que los vectores (1,1,0,m),(3,−1,n,−1) y (−3,5,n,−4) sean tales queuno sea combinación lineal de los otros dos.

IV.3.- SUBESPACIO VECTORIAL

Sea V un espacio vectorial sobre K y W un subconjunto no vacío de V; diremos que W es unsubespacio de V si W es espacio vectorial sobre K, lo cual equivale a que

1) W es subgrupo aditivo de V 2) W es estable para el producto externo 3) (∀ x,y∈ W) (∀ α ∈ K) (α (x+y) = αx+αy)

W subespacio de V si y sólo si 4) (∀ x∈ W) (∀ α ,β∈ K) ((α+β)x = αx+βx) 5) (∀ x∈ W) (∀ α ,β∈ K) (α(βx) = (αβ)x) 6) (∀ x∈ W) (1·x = x)

Como las propiedades 3),4),5),6) se verificarán por el mero hecho de ser W un subconjuntode V, según la condición de subgrupo aditivo, tendremos que

1) (∀ x,y∈ W) (x−y∈ W) W subespacio de V si y sólo si 2) (∀ x∈ W) (∀ α∈ K) (αx∈ W)

y estas dos condiciones se pueden resumir en la siguiente, a la cual equivalen

W subespacio de V si y sólo si (∀ x,y∈ W) (∀ α ,β∈ K) (αx+βy∈ W)

Esta condición es verificada por los siguientes conjuntos, que son los subespacios triviales

{0}, ya que α ·0+β·0 = 0 ∈ {0}

V, ya que αx+βy∈ V por ser V un espacio vectorial.

Si W1 y W2 son subespacios de V, la intersección W1 ∩ W2 es también un subespacio ya quecualesquiera que sean los escalares α,β∈ K

(∀ x∈ W1 ∩ W2) ((x∈ W1 ∧ x∈ W2) ⇒ αx+βy∈ W1) por ser W1 subespacio

(∀ y∈ W1 ∩ W2) (( y∈ W1 ∧ y∈ W2) ⇒ αx+βy∈ W2) por ser W2 subespacio

por lo que

αx+βy∈ W1 ∩ W2

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El concepto de intersección de dos subespacios se generaliza de una manera natural a nsubespacios W1,...,Wn de un mismo espacio vectorial V, verificándose que W1 ∩ ... ∩ Wn es unsubespacio, como fácilmente se demuestra por inducción. Se verifica que

W1 ∩ ..∩ Wi ∩ .. ∩ Wn ⊆ Wi

para cualquier i = 1,...,n.

Si W1 y W2 son subespacios de V, el conjunto de vectores

W1+W2 = {v1+v2 v1∈ W1 ∧ v2∈ W2}

es un subespacio, dado que para cualesquiera α,β∈ K:

(∀ x∈ W1+W2) (x = v1+v2) (∀ y∈ W1+W2) (y = w1+w2)

luego

αx+βy = α (v1+v2)+β(w1+w2) = (αv1+βw1)+(αv2+βw2)∈ W1+W2

ya que αv1+βw1∈ W1 y α v2+βw2∈ W2. Si W1 y W2 son tales que W1 ∩ W2 = {0} (evidentementedos subespacios nunca pueden ser disjuntos pues todos contienen el vector 0), el subespaciosuma se denomina suma directa, escribiéndose

W1⊕ W2

y se dice que W1 y W2 son dos espacios independientes . Un vector del subespacio W1+W2será un vector descomponible en suma de dos vectores uno de W1 y otro de W2 es decir

x∈ W1+W2 ⇔ (∃ v1∈ W1) (∃ v2∈ W2) (x = v1+v2)

pudiendo eventualmente existir otra descomposición en suma, es decir, puede que los dosvectores v1 y v2 no sean únicos. Sin embargo se verifica que

x∈ W1⊕ W2 ⇔ (∃ v1∈ W1 único) ( ∃ v2∈ W2 único) ( x = v1+v2)

En efecto,

Directo: Si x = v1+v2 con v1∈ W1 y v2∈ W2 ⇒ v1−w1 = w2−v2 = u x = w1+w2 con w1∈ W1 y w2∈ W2

y si u ≠ 0, como u = v1−w1∈ W1 y u = w2−v2∈ W2, entonces W1 y W2 tendríanen común un vector distinto del 0, lo que está en contra de la hipótesis.

Recíproco: Si W1 ∩ W2 ≠ {0}, existe un w∈ V no nulo tal que w∈ W1 ∩ W2, pudiéndoseescribir x = (v1+w)+(v2−w ) con v1+w∈ W1 y v2−w ∈ W2 y, por ello, ladescomposición de x como suma no sería única.

Si W1 y W2 son subespacios de V y se verifica que W1⊕ W2 = V se dice que W1 y W2 son

subespacios suplementarios.

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El concepto de suma y suma directa de dos subespacios se generaliza de forma natural a nsubespacios W1,...,Wn de un mismo espacio V, definiéndose W1+...+Wn = {v1+...+vn | v1∈ W1 ∧ ... ∧ vn∈ Wn }

demostrándose por inducción que es un subespacio. La suma se dirá directa si se verifican las nigualdades

(W1+...+Wi) ∩ Wi+1 = {0} (i = 1,..., n−1)

representándose por W1⊕ ...⊕ Wn; por inducción se demuestra que el hecho de ser directa lasuma equivale a que todo vector del subespacio suma se exprese de forma única como suma devectores de W1,...,Wn, en cuyo caso se dice que los subespacios son independientes. Severifica que

Wi ⊆ W1⊕ ...⊕ Wi ⊕ ...⊕ Wn

para cualquier i = 1,...,n ya que xi = 0+...+xi+...+0 con 0∈ W1,...,x i∈ Wi,...,0 ∈ Wn.

Si v1 ,...,vn son vectores cualesquiera de V, el conjunto

B = {α 1v1+...+α nvn α 1,...,α n∈ K}

es decir, el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores v1 ,...,vn, es unsubespacio vectorial de V, ya que

(∀ x∈ B) (x = µ1v1+...+µnvn)

(∀ y∈ B) (y = σ1v1+...+σnvn)

se verifica

αx+βy = α (µ1v1+...+µnvn)+β(σ1v1+...+σnvn) = (αµ1+βσ1)v1+...+(αµn+βσn)vn∈ B

Este tipo de subespacios tienen gran importancia y reciben el nombre de subespaciosgenerados por un conjunto de vectores; se representan mediante el símbolo [v1 ,...,vn], que selee como el subespacio generado por los vectores v1 ,..,vn y es

[v1 ,...,vn] = {α 1v1+...+α nvn α 1,...,α n∈ K}

Además verifica que está contenido en todos los subespacios vectoriales de V que contienen alos vectores v1 ,...,vn; en efecto, si llamamos Ai a estos subespacios, tendremos que

(∀ i∈ I) ([v1 ,...,vn] ⊆ Ai) (∃ k∈ I) ([v1 ,...,vn] = A k)

con lo que ∩ Ai = [v1 ,...,vn] i∈ I

Ejemplo IV.3.1

En el espacio vectorial R3 sobre R, el subespacio engendrado por los vectores

14

(1,3,−4),(5,−1,0),(3,−1,−1),(2,4,0)es

[(1,3,−4),(5,−1,0),(3,−1,−1),(2,4,0)] =

= {α 1(1,3,−4)+α 2(5,−1,0)+α 3(3,−1,−1)+α 4(2,4,0) α1,α2,α3,α4∈ R} =

= {(α 1+5α 2+3α3+2α 4,3α 1−α 2−α 3+4α 4,−4α 1−α 3) α1,α2,α3,α4∈ R}

Para averiguar si el vector (2,2,−2) pertenece a este subespacio debemos verificar siexisten escalares α 1,α 2,α 3,α 4 tales que

α 1+5α 2+3α 3+2α 4 = 2 3α 1−α 2−α 3+4α 4 = 2

−4α 1−α 3 = −2

Resolviendo este sistema por el método de Gauss-Jordan

1 5 3 2 2

3 –1 –1 4 2

–4 0 –1 0 –2

→

1 5 3 2 2

0 –16 –10 –2 –4

0 20 11 8 6

→

1 5 3 2 2

0 –8 –5 –1 –2

0 20 11 8 6

→

→

8 0 –1 11 6

0 –8 –5 –1 –2

0 0 –3 11 2

→

–24 0 0 –22 –16

0 24 0 58 16 0 0 –3 11 2

→ 1 0 0 11/12 2/3 0 1 0 29/12 2/3 0 0 1 –11/3 –2/3

cuya solución es

α 1 = (−11α 4+8) / 12 , α 2 = (−29α 4+8) / 12 , α 3 = (11α 4−2) / 3

y dando valores arbitrarios a α 4 pueden obtenerse las distintas soluciones del sistema.Esto quiere decir que (2,2,−2) pertenece al subespacio engendrado por los vectores(1,3,−4),(5,−1,0), (3,−1,−1) y (2,4,0) ya que es posible expresarlo comocombinación lineal de ellos, además de distintas maneras. Podemos observar que apartir de los datos es posible plantear directamente la matriz del sistema escribiendotodos los vectores del subespacio en columna, y el vector a considerar comocombinación lineal de los del espacio, en la última columna

1 5 3 2 2

3 –1 –1 4 2

–4 0 –1 0 –2

Ejercicios

IV.10.- De los siguientes subconjuntos averiguar cuáles son subespacios

a) A = {(x1,x2,x3)∈ R3 | 2x1–x2 = 0 , 2x1–x3 = 0}

15

b) B = {(x1,x2,x3)∈ R3 | 2x1–x2 = 1 , 2x1–x3 = 0}

c) C = {(x1,x2,x1–3x2,1)∈ R4 | x1,x2∈ R}

IV.11.- Averiguar si la unión de dos subespacios vectoriales es otro subespacio vectorial.Demostrarlo mediante un contraejemplo con subespacios de R3 sobre R.

IV.12.- Averiguar si

F = {P(x)∈ R[x] gr(P(x)) = 2 ∧ 2P ''(0)+P '(1)+P(2) = 0}

es un subespacio vectorial de R[x].

IV.13.- Averiguar si son subespacios los siguientes subconjuntos del espacio vectorial F de lasfunciones reales de variable real

a) A = {f∈ F f(x2) = (f(x))2}

b) B = {f∈ F f(0) = f(2)}

c) C = {f∈ F f(2) = 3+f(−1)}

IV.14.- Probar que

P = {f∈ F (∀ x∈ R) (f(−x) = f(x))} I = {f∈ F (∀ x∈ R) (f(−x) = −f(x))}

son subespacios vectoriales del espacio vectorial F de las aplicaciones de R en R y queF = P+I.

IV.15.- Qué condición deben verificar las coordenadas de un vector de R4 para que pertenezcaa los subespacios A = [(1,1,0,1),(3,0,2,–3),(1,2,–1,–2)] y B = [(0,2,0,1),(1,0,2,–1)(3,1,1,1),(4,3,3,1),(3,4,6,–1)].

IV.4.- BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL

Los espacios vectoriales para los que existe un conjunto generador finito de vectores sedenominan espacios de dimensión finita . No todos los espacios son de dimensión finita, esdecir, no todos tienen un conjunto generador finito de vectores, de forma que todo vector puedaexpresarse como combinación lineal de ellos.

Ejemplo IV.4.1

a) Los espacios vectoriales Kn sobre un cuerpo K, son de dimensión finita, ya que elconjunto de vectores

{(1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,0,...,1)}

es generador de Kn, pues cualquiera que sea (a1,a2,...,a n) ∈ Kn tenemos que

(a1,a2,...,a n) = a1(1,0,...,0)+a 2(0,1,...,0)+...+a n(0,0,...,1)

16

b) El espacio vectorial K[x] de los polinomios sobre un cuerpo K no es de dimensiónfinita pues no existe un conjunto finito de polinomios {P1,...,Pn} generador de K[x],ya que un polinomio Q cuyo grado sea tal que

gr(Q) > max(gr(P1),...,gr(Pn))

no es expresable como combinación lineal de P1,...,Pn. Sin embargo el conjunto

Kn[x] = {Polinomios sobre K de grado ≤ n}

es un subespacio de K[x], como se demuestra fácilmente, de dimensión finita, ya que

{1+0x+...+0xn, 0+1x+...+0xn,...,0+0x+...+1xn}

es un conjunto generador Kn[x] al verificar

a0+a1x+...+a nxn = a0(1+0x+...+0xn)+a1(0+1x+...+0xn)+...+a n(0+0x+...+1xn)

c) El espacio vectorial sobre R

W = {funciones f : R R}

tampoco es de dimensión finita, ya que ningún conjunto finito de funciones {f1,...,fn}pueden generar W; por ejemplo, la funcion f1·...·fn no es combinación lineal de ellas.

Las propiedades más importantes de los espacios vectoriales de dimensión finita, seenuncian en la Tabla siguiente:

TABLA IV.4.1____________________________________________________________________

Propiedades de los espacios vectoriales de dimensión finita

1) Si (p1,...,pn) es una permutación de (1,...,n), entonces [x1 ,...,xn] = [xp 1,...,xpn]

2) β ≠ 0 implica [x1,...,xi,...,xn] = [x1,...,βxi,...,xn]

3) x 1,...,x i ,...,x j ,...,x n = x1,...,x i +α x j ,...,x j ,...,xn

4) xi combinación lineal de los demás vectores equivale a

[x1,...,x i-1,x i,x i+1,...,xn] = [x1,...,x i-1,x i+1,...,xn]

____________________________________________________________________

Demostraciones:

17

Estas propiedades establecen en que condiciones un espacio vectorial generado permaneceinvariante al manipular los vectores generadores. Un espacio de dimensión finita, permaneceinvariante cuando en su conjunto generador

1) se reordenan vectores, ya que

x∈ [x1,...,xn] ⇔ (∃ α 1,...,α n∈ K) (x = α 1x1+...+α nxn) ⇔

⇔ x = αp1xp1+...+α pnxp n ⇔ x∈ [ xp 1,...,xpn]

2) se multiplica un vector generador por un escalar no nulo β

x∈ [x1,...,x i,...,xn] ⇔ (∃ α 1,...,α i,...,α n∈ K) (x = α1x1+...+α ix i+...+α nxn) ⇔ ⇔ x = α1x1+...+(α i/β)βxi+...+α nxn ⇔ x∈ [x1,...,βx i,...,xn]

3) se suma a un vector generador xi, un múltiplo de otro vector generador αxj, pues

x ∈ [x1,...,x i,...,x j,...,xn] ⇔ x = α 1x1+...+α ix i+...+α jx j...+α nxn ⇔ ⇔ x = α 1x1+...+α i(xi+αxj)+...+(α j−αα i)x j+...+α nxn ⇔ ⇔ x ∈ [x1,...,x i+α x j,...,x j ...,xn]

4) se añade o se quita un vector combinación lineal de los demás generadores; en efecto, si

xi = β1x1+...+βi-1xi-1+βi+1xi+1+...+βnxn

entonces

x∈ [x1,...,x i-1,x i,x i+1,...,xn] ⇔ x = α 1x1+..+α i-1xi-1+α ixi+α i+1xi+1+..+α nxn ⇔⇔ x = α 1x1+..+α i-1xi-1+α i(β1x1+..+βi-1xi-1+βi+1xi+1+..+βnxn)+α i+1xi+1+..+α nxn ⇔⇔ x = (α 1+α iβ1)x1+..+(α i-1+α iβi-1)xi-1+(α i+1+α iβi+1)xi+1+..+(α n+α iβn)xn ⇔

⇔ x ∈ [x1,...,x i-1,x i+1,...,xn]

Recíprocamente, si [x1,...,xi-1,xi+1,...,xn] = [x1,...,xi-1,xi,xi+1,...,xn], entonces xi debeser combinación lineal de los demás ya que si así no fuera, xi sería un vector del segundosubespacio que no estaría en el primero.

Esta última propiedad 4) sugiere la posibilidad de encontrar un subconjunto minimalgenerador de un espacio. Para un cierto espacio de dimensión finita

[x1,...,xn]

si en el conjunto generador {x1,...,xn} existe algún vector combinación lineal de los demás,puede ser suprimido sin variar el espacio generado y este proceso puede ser continuado hastaque no exista ningún vector en el conjunto generador combinación lineal de los demás, ya quesu supresión cambiaría el espacio. Un conjunto generador minimal de un espacio vectorial dedimensión finita se denomina base del espacio.

Su obtención y propiedades, dependen del importante concepto de independencia lineal. Un

18

conjunto de vectores {x1,...,xn} se dice que es linealmente independiente (l.i.) si y sólo sila ecuación

α 1x1+...+α nxn = 0

tiene por única solución α 1 = ... = α n = 0. En caso contrario diremos que el conjunto devectores {x1,...,xn} es linealmente dependiente (l.d.) lo que, de acuerdo con la definiciónanterior, significa que existen escalares no todos nulos α 1,...,αn∈ K tales que

α 1x1+...+α nxn = 0

Ejemplo IV.4.2

a) En el espacio vectorial R3, el conjunto de vectores {(1,1,−1),(0,2,3),(1,4,4)} esl.i., pues resolviendo la ecuación

α 1(1,1,−1)+α 2(0,2,3)+α 3(1,4,4) = (0,0,0)

por el método de Gauss-Jordan

1 0 1 0

1 2 4 0

–1 3 4 0

→

1 0 1 0

0 2 3 0

0 3 5 0

→

1 0 1 0

0 2 3 0

0 0 1 0

→

→

1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 1 0

→

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

da como soluciones α 1 = α 2 =α 3 = 0.

b) El subconjunto {3,2+3x,5−7x2,6−x+x2}, del conjunto R2[x] de los polinomios decoeficientes reales de grado menor o igual que 2, es l.d.

α 1(3)+α 2(2+3x)+α 3(5−7x2)+α 4(6−x+x2) = 0+0·x+0·x2 ⇒

⇒ (3α 1+2α 2+5α 3+6α 4)+(3α 2−α 4)x+(−7α 3+α 4)x2 = 0+0·x+0·x2 ⇒

3α 1+2α 2+5α 3+6α 4 = 0 ⇒ 3α 2− α 4 = 0 −7α 3+ α 4 = 0

que resuelto por el método de Gauss-Jordan

3 2 5 6 0 0 3 0 –1 0

0 0 –7 1 0

→ 9 0 15 20 0 0 3 0 –1 0

0 0 –7 1 0

→ 63 0 0 155 0 0 3 0 –1 0

0 0 –7 1 0

da la solución α 1 = –155α 4/63, α 2 = α 4/3, α 3 = α 4/7 existiendo infinitas soluciones

19

que se obtienen dando valores arbitrarios a α 4.

Resumimos en la Tabla IV.4.2 las principales propiedades que caracterizan la independencialineal de un conjunto de vectores.

TABLA IV.4.2__________________________________________________________________

Propiedades de la independencia lineal

1) {0} es l.d.

2) x ≠ 0 implica {x} es l.i.

3) {x1,x2} l.d. equivale a que existe algún escalar α ≠ 0 tal que

x2 = αx1 o x1 = αx2

4) {0,x1,...,xn} es l.d. para cualesquiera x1,...,xn

5) xi = xj implica {x1,..,xi,..,xj,..,xn} l.d.

6) {x1,...,xn} l.i. implica (∀ i ≠ j) (xi ≠ xj) 7) {x1,..,xn} l.d. equivale a que algún xi es combinación lineal de los demás

8) {x1,...,xn} l.d. implica (∀ x∈ V) ({x1,...,xn,x} l.d.)

9) {x1,...,xn} l.i implican {x1,...,xn,x} l.i.

x no es combinación lineal de x1,...,xn

10) {x1,...,xn} l.i. implican {xi,...,xj} l.i.

{x i,...,x j} ⊆ {x1,...,xn} __________________________________________________________________

Demostraciones:

1) {0} l.d. pues cualquier α∈ K es solución de la ecuación α·0 = 0.

2) Si x ≠ 0, entonces {x} es l.i. pues la ecuación αx = 0 tiene como única solución α = 0.

3) Según la definición de dependencia lineal

{x1,x2} l.d. ⇒ α1x1+α2x2 = 0 con algún α i no nulo ⇒ x1 = α2

α1

x2 o x2 = α1

α2

x1

20

y diremos que x1 y x2 son vectores proporcionales.

4) Para cualesquiera que sean los vectores x1,...,xn, el conjunto {0,x1,...,xn} es l.d. yaque la ecuación α ·0+α 1x1+...+α nx n = 0 tiene por solución α 1 = ... = α n = 0 y αcualquier escalar de K.

5) Si en un conjunto hay dos vectores iguales xi = xj el conjunto es l.d. ya que puedeescribirse

0x1+...+1xj+...–1xj+...+0xn = 0

con lo que existen escalares no todos nulos soluciones de ecuación.

6) Es la contrarrecíproca de la anterior.

7) Esta propiedad caracteriza a los conjuntos de vectores linealmente dependientes y .

Directo : {x1,...,xn} l.d. ⇒ α 1x1+...+α nxn = 0 con algún α i ≠ 0 ⇒ ⇒ α ixi = −α 1x1−...−α i-1xi-1−α i+1xi+1−...−α nxn = 0 ⇒

⇒ xi = – α1

α i x1 – ... –

α i-1

α i xi-1 –

α i+1

α i xi+1 – ...–

αn

α i xn

y xi resulta ser combinación lineal de los demás.

Recíproco: Si xi es combinación lineal, entonces

xi = α 1x1+...+α i–1xi+1+α i+1xi+1+...+α nxn ⇒ ⇒ α 1x1+...+α i–1xi–1+(−1)xi+α i+1xi+1+...+α nxn = 0

luego {x1.,...,xi,...,xn} es l.d. al existir al menos un coeficiente no nulo.

Las propiedades 8), 9) y 10) expresan que ocurre respecto de la independencia lineal cuandose amplía o se reduce un conjunto de vectores.

8) {x1,...,xn} l.d. ⇒ existe xi = α 1x1+...+α i–1xi–1+α i+1xi+1+...+α nxn ⇒ ⇒ xi = α 1x1+...+α i–1xi–1+α i+1xi+1+...+α nxn+0 x ⇒ {x1,...,xn,x} l.d.

9) Expresa que si a un conjunto l.i. se le añade otro vector, el conjunto resultante será l.d. siel vector añadido es combinación lineal de los otros, según 4), o l.i. si el vector añadido noes combinación lineal. En efecto, si {x1,..,xn,x} fuera l.d. tendríamos que un vector xisería combinación lineal de los demás

xi = α 1x1+...+α i–1xi–1+α i+1xi+1+...+α nxn+αx

con lo que

a) Si α = 0, entonces {x1,...,xn} no sería l.i.

b) Si α ≠ 0 tendríamos que

21

x = 1α

xi – α1

α x1 –...–

α i-1

α xi-1 –

α i+1

α xi+1 –...–

α n

α xn

lo que va contra la hipótesis.

10) Cualquier subconjunto de un conjunto l.i. continua siéndolo, pues si {xi,...,xj} fueral.d., tendríamos

xp = α ix i+...+α p–1xp–1+α p+1xp+1+...+α jxj para algún i ≤ p ≤ j

y añadiendo sumandos del tipo 0x1,...,0xn, en el conjunto {x1,...,xp,...,xn} el vector xpsería combinación lineal de los demás y no sería l.i..Sin embargo, queda sin resolver quecaracter tiene un subconjunto de un conjunto l.d., ya que depende de los vectores quecontenga, como se verá en el siguiente ejemplo.

Ejemplo IV.4.3

En R3 el conjunto {(1,−1,2),(3,0,2),(0,1,4),(−7,−2,−2)} es l.d. ya que la ecuación

α 1(1,−1,2)+α 2(3,0,2)+α 3(0,1,4)+α 4(−7,−2,−2) = (0,0,0)

resolviendo por el método de Gauss-Jordan

1 3 0 –7 0

–1 0 1 –2 0

2 2 4 –2 0

→

1 3 0 –7 0

0 3 1 –9 0

0 –4 4 12 0

→

1 0 –1 2 0

0 3 1 –9 0

0 0 16 0 0

→

→

16 0 0 32 0

0 –48 0 144 0

0 0 16 0 0

→

1 0 0 2 0

0 1 0 –3 0

0 0 1 0 0

tiene por solución α 1 = –2α 4 , α 2 = 3α 4 , α 3 = 0 y α 4 arbitrario. Uno de los vectores, el (1,−1,2), o el (3,0,2), o el (−7,−2,−2), es combinación lineal de losotros. Sin embargo, no lo es el (0,1,4) ya que en la ecuación anterior α 3 = 0 y nopuede ser despejado este vector. Además del proceso de resolución anterior se deduceque el conjunto {(1,−1,2),(3,0,2),(0,1,4)}, es decir, los vectores correspondientes alas columnas que después de las transformaciones tiene un 1 y todos los demáselementos 0, es l.i. ya que la solución de la ecuación de la independencia lineal queforman estos tres vectores se obtiene mediante los cálculos anteriores excluyendo lacolumna de coeficientes de α 4 y la solución es entonces α 1 = α 2 = α 3 = 0. Sinembargo, es l.d. el subconjunto {(1,−1,2),(3,0,2),(−7,−2,−2)}.

Ejemplo IV.4.4

El conjunto de m vectores del espacio vectorial Kn

{(0,...,0,b1r,...,b1n),(0,...,0,b2s,...,b2n),...,(0,...,0,bmv,...,bmn) }

22

con r < s < ...< v, b1r ≠ 0, b2s ≠ 0 ,..., bmn ≠ 0 es l.i.. En efecto, la ecuación de laindependencia lineal para estos vectores es

α 1(0,..,0,b1r,..,b1n)+α 2(0,..,0,b2s,..,b2n)+..+α m(0,..,0,bmv,..,bmn) = (0,..,0,0,..,0)

que para resolver bastará con hacer operaciones e igualar las correspondientescomponentes, llegando al sistema

α 1b1r = 0 . . . . . . . . α 1b1s–1 = 0

α 1b1s+α 2b2s = 0 . . . . . . . . . . . . . ⇒ α 1 = α 2 = ... = α m = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . α 1b1v+α 2b2v+...+α mbmv= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . α 1b1n+α 2b2n+...+α mbmn= 0

Ejercicios

IV.16 . -Estudiar si los siguientes conjuntos de vectores de R4 son l.i. o l.d.

a) {(−5,2,8,−16),(−5,3,17,−14),(1,1,11,6)}

b) {(0,1,α1,−1),(1,α2,−1,0),(0,α3,−1,1),(4,6,1,α4)} para α1 = , α2 = , α3 =

, α4 = .

c) {(0,1,1,1),(1,0,1,−1),(2,2,2,1),(0,0,−1,−1),(0,1,1,0)}

IV.17.- Si E es e.v.s. R y {x1,x2,...,xn} l.i., demostrar que {x1, x1+x2,..., x1+x2+...+xn}es también l.i.

IV.18.- Si V es un e.v.s. K y {x1,x2,...,xn} es un conjunto de vectores l.i., demostrar quetambién lo es {a1x1,a 2x2,...,anxn}, con ai ≠ 0.

IV.19.- En el espacio vectorial de las funciones reales de variable real, demostrar que

f1(x) = e2x f2(x) = x2 f3(x) = x

forman un conjunto l.i.

La independencia lineal caracteriza a la base de un espacio vectorial, que ya hemos definidocomo un conjunto generador minimal del espacio, del modo expresado en el siguiente teorema:

"Un conjunto de vectores constituyen una base de un espacio vectorial V de dimensiónfinita si y sólo si es un conjunto generador linealmente independiente".

Demostración:

Directo: Si los vectores e1,...,en forman base de V, constituyen un conjunto generador

23

minimal y por tanto l.i., pues si {e1,...,en} fuera l.d., algún ei sería combinaciónde los otros y por la propiedad 4 de la Tabla IV.2.1

V = [e1,...,ei,...,en] = [e1,...,ei–1,ei+1,...,en]

lo que va contra la hipótesis de que {e1,...,en} es conjunto generador minimal.

Recíproco : Si {e1,...,ei,...,en} es un conjunto generador de V linealmente independiente, esun conjunto generador minimal, pues si no lo fuera habría un subconjunto suyogenerador de V, quizá el {e1,...,ei–1,ei+1,...,en}, en cuyo caso todo vector de V ,en particular ei, sería combinación lineal de los éstos por lo que el conjunto{e1,...,ei,...,en} no sería l.i., en contra de la hipótesis.

Otra forma de caracterizar las bases viene expresada en el siguiente teorema:

" Un conjunto de vectores es una base de un espacio vectorial V de dimensión finita si ysólo si es un conjunto linealmente independiente maximal".

Demostración:

Directo : Si los vectores e1,...,en forman una base de V, según el teorema anterior elconjunto {e1,...,en} es l.i. y generador de V, por lo que si x es un vector decualquiera de V, es combinación lineal de e1,...,en; entonces {e1,...,en,x} esl.d. y lo mismo ocurrirá con cualquier otro subconjunto de vectores quecontenga estrictamente al {e1,...,en} .

Recíproco : Si {e1,...,en} es un conjunto maximal l.i., es también un conjunto generador deV, pues para cualquier vector x∈ V, como {e1,...,en,x} es l.d., uno de losvectores es combinación lineal de los otros

ei = α 1e1+...+α i-1ei-1+α i+1ei+1+...+α nen+αx

con α ≠ 0 (ya que si fuera α = 0, entonces sería ei una combinación lineal dee1,...,ei-1,ei+1,...,en y {e1,...,ei,...,en} no sería l.i.) por lo que

x = – α1

α e1 –...–

α i-1

α ei-1+ 1

α ei –

α i+1

α ei+1 –...–

α n

α en

y x es combinación lineal de ellos; por tanto, según el teorema anterior, al ser{e1 ,...,e i,...,en} un conjunto l.i. y generador, es base de V.

Según estas caracterizaciones antes obtenidas, (e1,...,en) base de V equivale a

a) {e1,...,en} es un conjunto generador minimal de V

b) {e1,...,en} es un conjunto generador l.i. de V

c) {e1,...,en} es un conjunto maximal l.i. de V

Como los vectores e1,...,en de una base forman un conjunto generador, se verifica que

(∀ x∈ V) (∃ α 1,α 2,...,α n∈ K) (x = α1e1+...+α nen)

24

y al ser un conjunto l.i., estos escalares α 1,...,α n son únicos, para cada vector, ya que si fuera

x = α 1e1+...+α nen α 1−β1 = 0 α 1 = β1 ⇒ (α 1−β1)e1+...+(α n−βn)en = 0 ⇒ . . . . . . . ⇒ . . . . .x = β1e1+...+βnen α n−βn = 0 α n = βn

Estos escalares, únicos para cada vector respecto una base dada, se denominan componentesdel vector respecto de la base de forma que, fijada una base de V, todo vector vienedeterminado de forma única por sus componentes respecto de ella.

Ejemplo IV.4.5

En el espacio vectorial de R3 sabemos que, según un ejemplo anterior, los vectores(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) son generadores de R3 y como son l.i., constituyen una basede este espacio. Las componentes del vector (4,3,2) respecto de ella son

(4,3,2) = α 1(1,0,0)+α 2(0,1,0)+α 3(0,0,1) ⇒ α 1 = 4, α 2 = 3, α 3 = 2

que coinciden con los elementos que forman la terna que es el vector; por ello, estabase se denomina base canónica. Los vectores (0,0,1),(1,0,0),(0,1,0), en esteorden, forman base de R3 y las componentes del vector (4,3,2) serán:

(4,3,2) = α 1(0,0,1)+α 2(1,0,0)+α 3(0,1,0) ⇒ α 1 = 2, α 2 = 4, α 3 = 3

distintas de las anteriores, por lo que debemos considerar como distintas ambas bases,aunque estén formadas por los mismos vectores.

Para los espacios vectoriales del tipo Kn sobre K, para K un cuerpo cualquiera, los vectores(1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,0,...,1), en este orden, constituyen la base canónica de Kn,pues las componentes respecto ella de un vector (a1,a2,...,a n)∈ Kn son

(a1,a2,...,a n) = a1(1,0,...,0)+a 2(0,1,...,0)+...+a n(0,0,...,1)

que coinciden con los elementos de K que forman la n−pla que es el vector.

Si los vectores e1,...,en forman una base de V, los vectores e i1,...,e in, para (i1,i2,...,in) unapermutación de (1,2,...,n), forman también base de V, pues siguen para generadores, por lapropiedad 1) de los espacios vectoriales de dimensión finita (Tabla IV.4.1) y l.i. (se compruebade forma inmediata), pero ambas bases son distintas por ser distintas las componentes de unvector cualquiera. Por esta razón una base de un espacio V es una n−pla ordenada de vectoresgeneradores de V y linealmente independientes.

Si (e1,e2,..,en) es una base cualquiera de V, se cumple que

e1 = 1e1+0e2+...+0en

e2 = 0e1+1e2+...+0en

. . . . . . . . . . . . .

en = 0e1+0e2+...+1en

25

de lo que se deduce que sus componentes, respecto de la base que ellos contituyen, son

para e1 : 1,0,... y 0

para e2 : 0,1,... y 0

. . . . . . . . . . . . .

para en : 0,0,... y 1

En un espacio de dimensión finita V conocer una base de V equivale a conocer el espaciovectorial, en el sentido de que mediante una base pueden representarse todos los vectores delespacio V, y como esta representación es única respecto a esta base, tendremos que cada vectores identificable con los elementos del cuerpo que son sus componentes.

Ejercicios

IV.20.- De los siguientes subconjuntos, decir cuales son subespacios. En caso de que lo sean,dar una base

a) A = {(x,x,x) | x∈ R} ⊆ R3

b) B = {(x,y,x−y) | x,y∈ R} ⊆ R3

c) C = {(x,2x−y,x−2y) | x,y∈ R} ⊆ R3

d) D = {(x,y,1) | x,y∈ R} ⊆ R3

e) E = {(x−3y,x,y,y) | x,y∈ R} ⊆ R4

IV.21.- a) Probar que si a, b, c, y d forman base de R4, también forman base los vectores

a, a+b, a+b+c, a+b+c+d

b) Sea el vector de componentes (1,0,−1,0) respecto de la primera base. Hallar suscomponentes en la segunda base.

IV.22.- Sean los vectores de R3

a = (2,0,1) b = (1,−2,2) c = (1,2,−1) d = (1,0,1) e = (0,1,1)

a) Hallar una base del subespacio A = [a,b,c] y averiguar si (5,4,3) ∈ A. Hallarasímismo bases para los subespacios B = [d,e] y A ∩ B.

IV.23.- Dados los vectores de R3, a1 = (1,2,−1), a 2 = (3,−1,2), b1 = (3,0,−1), b2 = (2,1,1),

a) Averiguar si (a1,a 2) y (b1,b2) forman bases de subespacios de R3 y expresar elvector (1,1,1), si es posible, en función de dichas bases.

b) Hallar la intersección de estos subespacios y una base de dicha intersección.

IV.24 . -Hallar una base de cada uno de los siguientes subespacios:

a) A = [(4,2,−1),(1,α1,−3)] ∩ [(1,0,α2),(2,−1,α3),(4,α4,3)]

26

para α1 = , α2 = , α3 = , α4 = .

b) B = soluciones del sistema: α1x1+x2–x3+x4 = 0

x1+α2x2+x3 = 0

α3x1–x2+α4x3+x4 = 0

para α1 = , α2 = , α3 = , α4 = .

IV.25.- En R3 sean los subespacios

A = [(1,0,1),(2,−1,1),(4,−1,3)] B = [(1,1,1),(1,−1,0),(2,0,1)]

Hallar una base del subespacio A ∩ B.

IV.26- Hallar una base del subespacio A = [(4,−5,7),(3,−3,4),(1,1,−2),(2,−1,1)] y para B =[(1,−2,3),(3,0,−1)]. Comparar A y B.

IV.27.- En el espacio vectorial R4 se consideran los vectores

v1 = (−1,4,−1,2) v2 = (5,2,a,−2) v3 = (5,13,−4,2) v4 = (13,3,−2,b)

a) Determinar a y b para que formen una base de R4.

b) Determinar a y b para que el subespacio vectorial engendrado por los dos primerosvectores coincida con el generado por los dos últimos.

IV.28.- Sea (e1,e2,e3) una base de un subespacio vectorial E sobre R. Tres vectores de esteespacio son

u1 = 2e1+5e2−e3 u2 = e1−e2+5e3 u3 = 3e1+ e2−e3

¿Es (u1,u2,u3) otra base de E?. En caso afirmativo si v = 3e1+2e2−e3 expresar v en labase (u1,u2,u3).

IV.29.- Sea E un espacio vectorial real de dimensión 3 y B = {e1,e2,e3}, B ' = {u1,u2,u3} dosbases de E tales que

u1 = 2e1+3e2−e3 u2 = e2−e3 u3 = 2e1+e2+2e3

Dado v = 3e1−e2+4e3, hallar sus componentes respecto de la base B'.

IV.30 . -Encontrar una base de los siguientes subespacios:

a) A = {(x1,x2,x3)∈ R3 x1 = x2}

b) B = [cos2x,sen2x,cos(2x)]

c) C = [−1+x+3x2,–6+5x+2x2,8+4x+8x2]

d) D = [(−1,1,0),(0,α1,2),(1,1,α2),(α3,−1,0),(α4,0,1)] para α 1 = , α 2 = ,

α3 = , α4 = .

e) A ∩ D

27

IV.31.- Sean x1,x2,x3 tres números reales distintos y los polinomios

P1(x) = (x−x2)(x−x3) , P2(x) = (x−x1)(x−x3) , P3(x) = (x−x1)(x−x2)

a) Demostrar que (P1(x),P2(x),P3(x)) es una base del espacio vectorial de lospolinomios de grado igual o menor que 2.

b) Expresar en función de esta base el polinomio P(x) de grado menor o igual que tres,que verifica

P(x1) = a P(x2) = b P(x3) = c con a,b,c∈ R.

IV.32.- En E = {f f : R R}, que es un e.v.s.R,

a) Demostrar que F = {f(x) = aex+bx+c a,b,c∈ R} es un subespacio vectorial de E.Hallar una base de F.

b) Hallar una base de G = {f∈ F f(0) = 0}

IV.33.- Hallar una base del subespacio generado por las funciones de R en R {f1,f2,f3,f4,f5,f6} siendo

f1 : R R f2 : R R f3 : R R x 1 x senx x cosx

f4 : R R f5 : R R f6 : R R x sen(x+1) x cos2x x sin2x

y encontrar las componentes de fi respecto de la base hallada.

Una base espacio vectorial de dimensión finita no es única, como hemos comentadoanteriormente; además veamos como a partir de ella pueden construirse otras, según asegura eldenominado Teorema de Steinitz:

" Si la n−pla (e1,...,en) es una base de V y {b1,...,bm} un conjunto l.i. de vectores de V ,se verifica que m ≤ n y que m vectores de entre los e1,...,en pueden ser sustituídos porlos vectores b1,...,bm de manera que la n−pla resultante sigue siendo una base de V ".

En efecto, si (e1,...,en) es base de V, entonces b1 = α 1e1+...+α nen, con algún α i ≠ 0 (pues sino tendríamos b1 = 0 y {b1,...,bm} no sería l.i.). Vamos a ver que b1 puede sustituir acualquier ei tal que su coeficiente en la igualdad anterior sea distinto de cero, de forma que la n−pla resultante es una base de V; en efecto, supongamos, para fijar ideas, que α1 ≠ 0 y vamos aprobar que (b1,e2,..,en) es base de V

1) {b1,e2,...,en } es l.i.pues

β1b1+β2e2+...+βn en = 0 ⇒ β1(α 1e1+α 2e2+...+α nen)+β2e2+...+βnen = 0 ⇒ ⇒ β1α 1e1+(β2+β1α 2)e2+...+(βn+β1α n)en = 0 ⇒

28

β1α 1 = 0 β1 = 0 β2+β1α 2 = 0 β2 = 0 ⇒ ⇒ . . . . . . . . . . . . . βn+β1α n = 0 βn = 0

2) {b1,e2,...,en} genera V pues para cualquier vector x∈ V, como {e1,e2,...,en}genera V es

x = µ1e1+µ2e2+...+µnen

De b1 = α 1e1+α 2e2+...+α nen,como hemos supuesto α 1 ≠ 0, podemos despejar e1 ysustituirlo en la igualdad anterior para obtener

x = µ1 1α1

b1 – α2

α1 e2 –...–

α n

α1 en +µ2e2+...+µ nen

es decir

x = µ1

α1 b1+ µ2–

µ1α2

α1 e2+...+ µn –

µ1αn

α1 en

que expresa a x como combinación lineal de b1,e2,..,en.

Aplicamos el mismo razonamiento a la nueva base: como (b1,e2,..,en) es base de V ,entonces b2 = σ1b1+σ2e2+σ3e3+...+σnen , con algún σ i ≠ 0 para i = 2,...,n (ya que encaso contrario tendríamos b2 = σ1b1 y {b1,b2,...,bm} no sería l.i.). Entonces b2 puedesustituir a cualquier ei tal que su coeficiente σi sea distinto de cero, de manera que la n−plaresultante es una base de V; en efecto, supongamos, para fijar ideas, que σ2 ≠ 0 y vamos a probar que (b1,b2,e3,...,en ) es base de V

1) {b1,b2,e3,...,en} es l.i.pues

β1b1+β2b2+β3e3+...+βnen = 0 ⇒ ⇒ β1b1+β2(σ1b1+σ2e2+σ3e3+...+σnen)+β3e3+...+ βnen = 0 ⇒

⇒ (β1+β2σ1) b1+β2σ2e2+(β3+β2σ3) e3+...+(βn+β2σn) en = 0 ⇒

β1+β2σ1 = 0 β1 = 0 β2σ2 = 0 β2 = 0

⇒ ⇒ β3+β2σ3 = 0 β3 = 0 . . . . . . . . . . . . . . βn+β2σn = 0 βn = 0

2) El conjunto {b1,b2,e3,...,en} genera V pues para cualquier vector x∈ V, como{b1,e2,e3,...,en} genera V es

x = γ1b1+γ2e2+γ3e3+...+ γnen

De b2 = σ1b1+σ2e2+σ3e3+...+σnen, al suponer σ2 ≠ 0, podemos despejar e2 y

29

sustituirlo en la igualdad anterior para obtener

x = γ 1b1+γ 2 – σ1

σ2

b1+ 1

σ2 b2 –

σ3

σ2

e3 –...– σ n

σ2

en +γ3e3+...+γ nen

es decir

x = γ1– γ2σ1

σ2

b1+ γ2

σ2

b2+ γ3 – γ2σ3

σ2

e3+...+ γn – γ2σn

σ2

en

que expresa a x como combinación lineal de b1,b2,e3,..,en.

Reiterando el razonamiento hasta llegar al vector bm, tendremos que m ≤ n, pues si fuera alrevés, m > n, llegaría un momento que todos los vectores e1,...,en habrían sido sustituídospor n vectores de entre los b1,...,bm para la n−pla resultante, (b1,...,bn), una base de V porlo que bn+1 sería combinación lineal de ellos y {b1,...,bm} no sería l.i.. Así, al final de esteproceso de sustituciones sucesivas, llegamos a una base de V en la cual m de los n vectorese1,...,en han sido sustituídos por b1,...,bm. La n−pla resultante es una base de V, comoqueríamos demostrar.

Ejercicios

IV.34 . -Averiguar si existe en el espacio R4 una base que contenga a los vectores (α1,3,−1,α2),(1,0,α3,2) y (0,1,0,α4), para α1 = , α2 = , α3 = , α4 = .

IV.35.- Comprobar que el conjunto de vectores A = {(x,y,z,t)∈ R4 x = y−3z ∧ z = 2t } esun subespacio de R4. Hallar una base y completarla a una base de R4.

IV.36.- En el espacio vectorial R3 sobre R sea el conjunto

U = {(x,y,z)∈ R3 x+y+z = 0 }

a) Demostrar que U es subespacio de R3.

b) Demostrar que ((1,0,−1),(0,−1,1)) es una base de U.

c) Completar esta base para obtener una base de R3.

Consecuencias del importante teorema de Steinitz son los resultados que vemos a continuación.

Corolario 1

"Todas las bases de un mismo espacio, tienen el mismo número de vectores".

Demostración:

Si (e1,...,en) y (u1,...,um) son bases del espacio vectorial V, entonces

30

(e1,...,en) base de V ⇒ {e1,...,en} l.i. ⇒ n ≤ m (u1,...,um) base de V ⇒ m = n

(u1,...,um) base de V ⇒ {u1,...,um} l.i. ⇒ m ≤ n (e1,...,en) base de V

Este número común de vectores que tienen todas las bases de un espacio vectorial V dedimensión finita, se denomina dimensión de V. El subespacio {0} no tiene dimensión, ensentido estricto, pues carece de base, ya que {0} es l.d.; sin embargo, definimos que

dim({0}) = 0

Corolario 2

" Si dim(V) = n y m > n, entonces cualesquiera que sean los vectores v1 ,...,vm∈ V el conjunto {v1 ,...,vm} es l.d."

Demostración:

Como dim(V) = n, existe una base de V formada por n vectores; según el Teorema deSteinitz, si {v1 ,...,vm} fuera un conjunto l.i., entonces m ≤ n, lo que está contra la hipótesis.

Corolario 3

" Si dim(V) = n y {v1 ,...,vn} es l.i., entonces (v1 ,...,vn) es una base de V ".

Demostración:

Como dim(V) = n , existe una base de V , (e1,...,en), formada por n vectores. Como{v1 ,...,vn} es l.i., según el Teorema de Steinitz, los n vectores de la base pueden sersustituídos por los n vectores l.i. y el resultado sigue para una base.

Corolario 4

"Si dim(V) = n y {v1 ,...,vn} es un conjunto generador de V, entonces (v1 ,...,vn) es unabase de V ".

Demostración:

{v1 ,...,vn} es también l.i., ya que si no lo fuera existiría un vector vi combinación lineal delos demás y, según las propiedades de los subespacios generados por un conjunto finito devectores (Tabla IV.2.1), tendríamos

V = [v1 ,...,vi-1,vi,vi+1,...,vn] = [v1 ,...,vi-1,vi+1,..,vn]

con lo que sería dim(V) < n, contra lo supuesto.

31

Corolario 5

" Si (e1,...,en) es una base de V y w1 ,...,wn son vectores de V obtenidos sucesivamentea partir de los e1,...,en, permutándolos, multiplicándolos por escalares no nulos osumando a un vector un múltiplo de otro, entonces (w1 ,...,wn) es una base de V ".

Demostración:

Basta tener en cuenta que, según las propiedades vistas de los espacios generados por unconjunto finito de vectores, estas transformaciones no varían el subespacio generado, luego

V = [w1 ,...,wn]

y aplicando el corolario anterior, al ser dim(E ) = n, es (w1 ,...,wn) una base de V.

Corolario 6

" Si V es un espacio de dimensión finita, y W es subespacio de V, entonces W es tambiénde dimensión finita y

dim(W) ≤ dim(V)

y si dim(W) = dim(V) , entonces W = V "

Demostración:

Como dim(V) = n, existe una base de V, (e1,...,en), formada por n vectores. Si W no fuerade dimensión finita, entonces habría vectores de W, que también lo serían de V, que noserían combinación lineal de ningún conjunto finito de vectores, con lo que V tampoco seríade dimensión finita. Si (u1,...,um) es una base de W, entonces {u1,...,um} es l.i.; enconsecuencia m ≤ n, es decir, dim(W) ≤ dim(V). Si dim(W) = dim(V), entonces una basecualquiera de W, al estar formada por n vectores l.i., sería también base para V, por lo quetodo vector de V sería también un vector de W, es decir, ambos espacios serían iguales.

Corolario 7

" Si V es un espacio vectorial de dimensión finita y W1 y W2 son subespacios de V,

dim(W1 ∩ W2) ≤ min(dim(W1),dim(W2))

Demostración:

Basta aplicar el corolario 6, teniendo en cuenta que W1 ∩ W2 es subespacio de W1 y W2.

Corolario 8

" Si V es un espacio vectorial de dimensión finita y W1 y W2 son subespacios de V,

32

dim(W1+W2) = dim(W1)+dim(W2)−dim(W1 ∩ W2))

Demostración:

Sean(u1,...,ur) una base de W1

(v1 ,...,vs) una base de W2

(e1,...,em) una base de W1 ∩ W2

Como W1 ∩ W2 está contenido en W1 y W2 y {e1,...,em} es l.i., podemos sustituir estosvectores en las bases de W1 y W2 de forma que la r−pla y s−pla resultantes son bases

(e1,...,em,ui(m+1),...,ui(r)) es base de W1 (e1,...,em ,vi(m +1),...,vi(s)) es base de W2

En esta situación, vamos a demostrar que

(e1,...,em,u i(m+1),...,u i(r),vi(m +1),...,vi(s)) es base de W1+W2

de donde se deduce inmediatamente

dim(W1+W2) = m+(r−m)+(s−m) = r+s−m = dim(W1)+dim(W2)−dim(W1 ∩ W2)

En efecto, se verifica

a) El conjunto {e1,...,em,u i(m+1),...,u i(r),vi(m +1),...,vi(s)} genera W1+W2 ya que paracualquier vector x de W1+W2 será

x1∈ W1 ⇒ x1 combinación lineal de la base de W1x = x1+x2 con

x2∈ W2 ⇒ x2 combinación lineal de la base de W2

por lo que x es combinación lineal de

e1,...,em,u i(m+1),...,u i(r),vi(m +1),...,vi(s)

b) {e1,...,em,u i(m+1),...,u i(r),vi(m +1),...,vi(s)} es l.i. pues partiendo de la ecuación dela independencia lineal

(α 1e1+...+α mem)+(βm+1ui(m+1)+...+βr ui(r))+(δm+1vi(m+1)+...+δsvi(s)) = 0

se obtiene

δm+1vi(m+1)+...+δsvi(s) = –α 1e1–...–α mem–βm+1ui(m+1)–...–βr ui(r)∈ W1

por lo que δm+1vi(m+1)+...+δsvi(s)∈ W1∩W2, es decir

δm+1vi(m+1)+...+δsvi(s) = γ1e1+...+γmem ⇒ δm+1vi(m+1)+...+δsvi(s)–γ1e1–...–γmem = 0

Como {e1,...,em ,vi(m +1),...,vi(s)} es l.i. serán δm+1 =...= δs = 0, que sustituidos en laecuación de la independencia lineal hacen que

33

α 1e1+...+α mem+βm+1ui(m+1)+...+βr ui(r) = 0

Como {e1,...,em,ui(m+1),...,ui(r)} es l.i., son α 1 =...= α m = βm+1 =...= βr = 0.

Corolario 9

" Si la suma es directa, entonces dim(W1⊕ W2) = dim(W1)+dim(W2)".

Demostración:

Basta aplicar el teorema anterior teniendo en cuenta que si la suma es directa, entonces

dim(W1 ∩ W2) = dim({0}) = 0

Este resultado se generaliza por inducción para la suma directa de más de dos subespacios, demodo que dim(W1⊕ ...⊕ Wn) = dim(W1)+...+dim(Wn).

Corolario 10

" Si (e11,...,e1n1) es base del subespacio W 1,...,(em1,...,emnm ) es base del subespacioWm, entonces (e11,...,e1n1,...,em 1,...,emn m ) es base de W1⊕...⊕ Wm".

Demostración:

En efecto, los vectores forman un conjunto l.i. ya que si

α 11e11+...+α 1n1e1n1+...+α m1em1+...+α mnm emnm = 0

haciendo α 11e11+...+α 1n1e1n1 = e1∈ W1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

αm1em1+...+αmnm emnm = em∈ Wm

es e1+...+em = 0; como la suma es directa, e1 = 0,..., em = 0, por la independencia lineal delos vectores de las bases de cada Wi

α 11 =...= α 1n1 =...= αm1 =...= αmnm = 0

Además {e11,...,e1n1,...,em 1,...,emn m } es un conjunto generador de W1⊕...⊕ Wm pues paracualquier x∈ W1⊕...⊕ Wm existen x1∈ W1,..., xm∈ Wm tales que x = x1+...+xm y

x1 = x11e11+...+x1n1e1n1

. . . . . . . . . . . . . . . .

xm = xm1em1+...+xmnm emnm

34

luego x = x11e11+...+x1n1e1n1+...+xm1em1+...+xmnm emnm .

Ejercicios

IV.37.- Hallar la dimensión de los espacios vectoriales C sobre R y C sobre C.

IV.38 . -Sean los vectores a = (α1,0,α 2) b = (1,−1,α3) y c = (α4,1,−1) y sea E el espaciovectorial engendrado por estos tres vectores para α1 = , α2 = , α3 = , α4 =

a) Hallar dimensión y una base de E y las componentes de (5,3,−2) respecto de estabase.

b) Hallar la dimensión y una base del subespacio E ∩ [(1,0,1),(0,1,1)].

IV.39.- Hallar m y n para que los vectores (1,1,0,m),(3,−1,n,−1) y (−3,5,n,−4) generen unsubespacio de R4 de dimensión menor que tres.

IV.40.- Determinar, según los valores de los parámetros, dimensión y base de los subespaciosgenerados por los siguientes conjuntos de vectores:

a) A = {(r,1,1),(1,r,1),(1,1,r)}

b) B = {(0,r,−s),(−r,0,t),(s,−t,0)}

c) C = {(a,a,a,a),(a,b,b,b),(a,b,c,c),(a,b,c,d)}

con r,s,a,b,c,d∈ R.

IV.41.- Sean los subespacios de R5

U = [(1,3,−2,2,3),(1,4,−3,4,2),(2,3,−1,2,9)]

W = [(1,3,0,2,1),(1,5,−6,6,3),(2,5,3,2,1)]

Hallar base y dimensión de los subespacios U , W, U ∩ W y U+W.

IV.42.- Sea el espacio vectorial V sobre R con una base B = (u1,u2,u3) y los subespacios

E = [a,b,c] y F = [d,e,f]

con

a = u1+3u3 b = 2u1−3u2+u3 c = 4u1−3u2+7u3

d = u1+u2+u3 e = 2u1+3u2+4u3 f = 3u1+4u2+5u3

Hallar bases y dimensión de E , F, E ∩ F y E+F.

IV.43.- En el espacio vectorial R2n se consideran los subespacios vectoriales

V = {(x1,x2,...,x2n)∈ R2n xn+i = xi (i = 1,2,...,n)}

U = {(y1,y2,...,y2n)∈ R2n y2n+1–i = yi (i = 1,2,...,n)}

35

En el caso n = 2, se pide hallar la dimensión y una base de V , U , V ∩ U y V+U.

IV.44.- Sea (x1,x2,x3) una base de E e.v.s K y los subespacios E1 = [x1,x2+x3], E2 =[x2,x1+x3] y E3 = [x3,x1+x2]. Hallar una base de E1 ∩ E2 ∩ E3 y su dimensión.

IV.5.- APLICACIONES LINEALES.

Sean U y V dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K y f una aplicación

f : U V x f(x)

Diremos que f es una aplicación lineal entre U y V, si conserva las operaciones interna yexterna, de ambos espacios, es decir

1) (∀ x,y∈ U) (f(x+y) = f(x)+f(y))

2) (∀ x∈ U) (∀ λ∈ K) (f(λx) = λf(x))

Ambas condiciones claramente equivalen a la siguiente:

(∀ x,y∈ U) (∀ λ,µ∈ K) (f(λx+µy) = λ f(x)+µf(y))

ya que 1) 2)

f(λx+µy) = f(λx)+f(µy) = λ f(x)+µf(y)

y recíprocamente, si en esta segunda condición hacemos

λ = µ = 1 se verifica f(x+y) = f(x)+f(y)

µ = 0 se verifica f(λx) = λf(x)

Cuando V = U la aplicación lineal recibe el nombre de endomorfismo. Un subespacio Ade U es un subespacio invariante por un endomorfismo f de U si A es estable por f, esdecir si para cualquier vector x∈ A es f(x)∈ A. Por ejemplo U es obviamente invariante porcualquier endomorfismo definido sobre él.

Ejemplo IV.5.1.

La aplicación f de R3 en R2 definida por f(x,y,z) = (x−y,2z−3y) es lineal pues

f(λ(x1,x2,x3)+µ(y1,y2,y3)) = f(λx1+µy1,λx2+µy2,λx3+µy3) =

= ((λx1+µy1)−(λx2+µy2),2(λx3+µy3)−3(λx2+µy2))

que coincide con

36

λ f(x1,x2,x3)+µf(y1,y2,y3) = λ(x1−x2,2x3−3x2)+µ(y1−y2,2y3−3y2) =

= (λ(x1−x2)+µ (y1−y2),λ(2x3−3x2)+µ(2y3−3y2))

La aplicación f : R2 R3

(x,y) (x−y,3x−y,y+2)

no es lineal pues son distintos

f(λ(x1,x2)+µ(y1,y2)) = f(λx1+µy1,λx2+µy2) =

= ((λx1+µy1)−(λx2+µy2),3(λx1+µy1)−(λx2+µy2),(λx2+µy2)+2)

λ f(x1,x2)+µf(y1,y2) = λ(x1−x2,3x1−x2,x2+2)+µ(y1−y2,3y1−y2,y2+2) =

= (λ(x1−x2)+µ(y1−y2),λ(3x1−x2)+µ(3y1−y2),λ(x2+2)+µ(y2+2))

Las propiedades más principales de las aplicaciones lineales están en la siguiente TablaIV.5.1.

TABLA IV.5.1.______________________________________________________________________

Propiedades de las aplicaciones lineales

1) f(0U) = 0V

2) f(−x) = −f(x)

3) S subespacio de U implica f(S) subespacio de V

4) W subespacio de V implica f -1(W) subespacio de U, si no es vacío

5) f(λ1u1+...+λnun) = λ1f(u1)+...+λnf(un)

6) f([u1,...,un]) = [f(u1),...,f(un)]

7) {u1,...,un} l.d. implica {f(u1),...,f(un)} l.d.

8) f biyectiva y {z1,...,zm} l.i. implican {f -1(z1),...,f -1(zm)} l.i.

9) Si f y g son aplicaciones lineales, entonces f±g, λf y fog son lineales, cuandopuedan definirse

______________________________________________________________________

Demostraciones:

1) Ya que para cualquier vector x∈ U es

f(x) = f(x+0U) = f(x)+f(0U) ⇒ f(0U) = 0V

37

De esta propiedad se obtiene que el subespacio {0U} es invariante por cualquierendomorfismo sobre U.

2) Ya que para cualquier vector x∈ U es

0V = f(0U) = f(x–x) = f(x+(–x)) = f(x)+f(–x) ⇒ f(–x) = –f(x)

3) Como

(∀ z∈ f(S)) (∃ x∈ S) (f(x) = z) (∀ t∈ f(S)) (∃ y∈ S) (f(y) = t)

para cualesquiera λ,µ∈ K, por ser S subespacio de U, será

λz+µt = λ f(x)+µf(y) = f(λx+µy)∈ f(S)

4) Como

(∀ x∈ f -1(W)) (∃ z∈ W) (z = f(x)) (∀ y∈ f -1(W)) (∃ t∈ W) (t = f(y))

para cualesquiera λ,µ∈ K será

f(λx+µy) = λ f(x)+µ f(y) = λz+µ t∈ W ⇒ λx+µy∈ f -1(W)

por ser W subespacio de V.

5) La definición de aplicación lineal expresa que la imagen de una combinación lineal de dosvectores es combinación lineal de las imágenes con los mismos coeficientes; en este sentidoesta propiedad viene a generalizar la definición de aplicación lineal en el sentido de que unaaplicación lineal va a conservar las combinaciones lineales. Por inducción sobre el conjunto

S = {z∈ N f(λ1u1+...+λ zuz) = λ1 f(u1)+...+λ z f(uz)}

que verifica

1∈ S pues f(λ1u1) = λ1 f(u1)

z∈ S ⇒ f(λ1u1+...+λ zuz) = λ1 f(u1)+...+λ z f(uz) ⇒ ⇒ f(λ1u1+...+λzuz)+λz+1 f(uz+1) = (λ1 f(u1)+...λz f(uz))+λz+1 f(uz+1) ⇒

⇒ f(λ1u1+...+λzuz+λz+1uz+1) = λ1 f(u1)+...+λz f(uz)+λz+1 f(uz+1) ⇒ z+1∈ S

luego S = N.

6) La propiedad 3) expresa que la imagen de un subespacio es otro subespacio y la 6) precisaesta idea: la imagen de un subespacio de dimensión finita engendrado por unos vectores, esel subespacio de dimensión finita engendrado por los vectores imagen. En efecto,

z∈ f([u1,...,un]) ⇒ (∃ x∈ [u1,...,un]) (z = f(x))

y al ser x = λ1u1+...+λnun tendremos

38

z = f(λ1u1+...+λnun) = λ1 f(u1)+...+λn f(un) ⇒ z∈ [f(u1),...,f(un)]

Recíprocamente

z∈ [f(u1),...,f(un)] ⇒ z = λ1 f(u1)+...+λn f(un) = f(λ1u1+...+λnun) ⇒ z∈ f([u1...un])

7) {u1,...,un} l.d. ⇒ existe un ui = α1u1+...+α i-1ui-1+α i+1ui+1+...+αnun ⇒ ⇒ f(ui) = α1 f(u1)+...+α i-1 f(ui-1)+α i+1 f(ui+1)+...+αn f(un) ⇒ ⇒ {f(u1),.., f(ui),.., f(un)} l.d.

8) Por reducción al absurdo, y según la propiedad anterior

{f -1(z1),..., f -1(zm)} l.d. ⇒ {f(f -1(z1)),..., f(f -1(zm))} l.d. ⇒ {z1,...,zm} l.d.

lo que va contra la hipótesis.

9) Si f : U V es lineal, entonces λf : U V es lineal, pues x f(x) x (λf)(x) = λf(x)

(λ f)(αx+βy) = λ f(αx+βy) = λ(α f(x)+βf(y)) = λα f(x)+λβf(y)

α(λ f)(x)+β(λ f)(y) = α(λ f(x))+β(λ f(y)) = αλ f(x)+βλf(y)

que son iguales, por conmutatividad de K.

Si f : U V y g : U V son lineales, entonces x f(x) x g(x)

f+g : U V es también una aplicación lineal, ya que x (f+g)(x) = f(x)+g(x)

(f+g)(αx+βy) = f(αx+βy)+g(αx+βy) = α f(x)+βf(y)+αg(x)+βg(y) =

= α(f(x)+g(x))+β(f(x)+g(y)) = α(f+g)(x)+β(f+g)(y)

Si f : U V y g : V W son lineales, entonces x f(x) y g(y)

gof : U W también es lineal, pues x (gof)(x) = g(f(x))

(gof)(αx+βy) = g(f(αx+βy)) = g(α f(x)+βf(y)) = αg(f(x))+βg(f(y)) = α(gof)(x)+β(gof)(y)

Esta última propiedad permite definir las siguientes estructuras algebraicas sobre conjuntosde aplicaciones lineales:

a) Sea L(U,V) el conjunto de aplicaciones lineales de un espacio vectorial U en otro V ,ambos sobre el mismo cuerpo. Tenemos entonces que (L(U ,V),+) es una estructura

39

algebraica al ser + una l.c.i. en L(U,V), según la propiedad 9) anterior. Además (L(U,V),+)es un grupo abeliano, pues además de ser conmutativa y asociativa la suma, existe laaplicación neutra

0U : U V x 0U(x) = 0V

que es lineal, ya que

0U(αx+βy) = 0V = α0U(x)+β0U(y)

verificando 0U+f = f pues

(0U+f)(x) = 0U(x)+f(x) = f(x)

y la aplicación opuesta (−f) : U V

x (−f)(x) = −f(x)

que es lineal, ya que

(−f)(αx+βy) = −(f(αx+βy)) = −α f(x)−βf(y) = α(−f)(x)+β(−f)(y)

y −f+f = 0U pues

(−f+f)(x) = (−f)(x)+f(x) = −f(x)+f(x) = 0U

El conjunto L(U,V) es también un espacio vectorial sobre K ya que además de ser grupoabeliano aditivo, como acabamos de demostrar, se verifica

(λ+µ)f = λf+µf pues ((λ+µ)f)(x) = (λ+µ)f(x) = λf(x)+µf(x) = (λf+µf)(x)

λ(f+g) = λf+λg pues ((λ(f+g))(x) = λ(f+g)(x) = λ(f(x)+g(x)) = λf(x)+λg(x) = (λf+λg)(x) λ(µf) = (λµ)f pues λ(µf)(x) = λ((µf)(x)) = λ(µf(x)) = (λµ)f(x) = ((λµ)f)(x)

1f = f pues (1f)(x) = 1f(x) = f(x)

b) Sea End(U) el conjunto de las aplicaciones lineales de U en U , es decir, de losendomorfismos de U. Se verifica que (End(U),+,o) es un anillo con elemento unidad, pues(End(U),+) es un grupo abeliano (se trata del caso anterior, para U = V), la composición deaplicaciones es asociativa según ya vimos, es distributiva respecto a la suma, por verificar

fo(g+h) = (fog)+(foh)

ya que

(fo(g+h))(x) = f((g+h)(x)) = f(g(x)+h(x)) = f(g(x))+f(h(x)) = ((fog))+(foh))(x)

Esta propiedad distributiva se verifica también en el caso de que f∈ L(V,W), g∈ L(U,V) yh∈ L(U,V). La aplicación elemento unidad es

40

IU : U U x IU (x) = x

que es lineal pues IU (αx+βy) = αx+βy = αIU (x)+βIU (y) y verifica foIU = f.

c) Si GL(U) el conjunto de los endomorfismos de U biyectivos, entonces (GL(U),o) es ungrupo, pues o es asociativa, existe elemento unidad, que es la aplicación IU anterior(pertenece a GL(U) por ser biyectiva) y la aplicación opuesta de f∈ GL(U) es su inversa f -1

que es biyectiva y lineal ya que si z = f(x) y t = f(y) y f -1(αz+βt) = m , entonces

f(m) = αz+βt = α f(x)+βf(y) = f(αx+βy) ⇒ m = αx+βy

es decir, f -1(αz+βt) = αf -1(z)+βf -1(t) y además verifica f -1of = IU y fof -1 = IU .

Ejercicios

IV.45.- Averiguar si son lineales las siguientes aplicaciones:

f : R3 R2 g : R4 R (x,y,z) (x+y,x+z) (x,y,z,t) x−y+z−t

h : R2 R2 i : R3 R3

(x,y) (x2,y2) (x,y,z) (x+y,y+z,x+y+z+1)

IV.46.- Averiguar si son lineales las aplicaciones de R3 en R2 dadas por las fórmulas

a) f de R3 en R2 dada por f(x1,x2,x3) = (3x1+2x2+x3, x1−x2+x3 )

b) f de R2[x] en R2[x] dada por f(a0+a1x+a2x2) = a0+(a0+a1)x+(a0+a1+a2)x2

c) f de R2[x] en R2[x] dada por f(P(x)) = P´(x)+P´´(x)

IV.47 . - Sea E = {funciones f : R R indefinidamente derivables}. Averiguar cuáles delas siguientes aplicaciones son lineales para α1 = , α2 = , α3 = , α4 = .

g : E R h : E R i : E Rf f(α1) f f "(α2) f f(0)+α3

j : E R k : E R

f (f '(α4) )2 f f(x) dx0

1

IV.6. NUCLEO, IMAGEN Y RANGO DE UNA APLICACION LINEAL

Dada la aplicación lineal

41

f : U V x f(x)

definimos como núcleo de f el conjunto de vectores del espacio inicial cuya imagen es el vectornulo del espacio final

Nuc(f) = {x∈ U f(x) = 0V}

y la imagen como el conjunto de todos los vectores del espacio final que son imagen de algúnvector del espacio inicial

Im(f) = f(U)

que verifican las propiedades expuestas en la Tabla IV.6.1.

TABLA IV.6.1_________________________________________________________

Propiedades de Nuc(f) e Im(f)

1) Nuc(f) es un subespacio de U

2) Im(f) es un subespacio de V

3) Im(f) = V equivale a f sobreyectiva

4) Nuc(f) = {0U} equivale a f inyectiva

5) ({u1,...,un}l.i. ⇒ {f(u1),...,f(un)}l.i.) equivale a f inyectiva_________________________________________________________

Demostraciones:

1) Por definición de núcleo

(∀ x∈ Nuc(f)) (f(x) = 0V) (∀ y∈ Nuc(f)) (f(y) = 0V)

y para cualesquiera α,β∈ K

f(αx+βy) = α f(x)+βf(y) = 0V ⇒ αx+βy∈ Nuc(f)

2) Por definición de imagen

(∀ z∈ Im(f)) (∃ x∈ U) (f(x) = z) (∀ t∈ Im(f)) (∃ y∈ U) (f(y) = t)

y para cualesquiera α,β∈ K

αz+βt = α f(x)+βf(y) = f(αx+βy)∈ Im(f)

3) Es trivial, pues Im(f) es el espacio imagen, que coincidirá con el espacio final si y sólo si

42

f es sobreyectiva.

4) En efecto, si f es inyectiva tenemos

x∈ Nuc(f) ⇒ f(x) = 0V = f(0U) ⇒ x = 0U ⇒ Nuc(f) = {0U}

y recíprocamente si Nuc(f) = {0U}, para cualesquiera vectores x,y∈ U

f(x) = f(y) ⇒ f(x)–f(y) = f(x–y) = f(0U) = 0V ⇒ x–y∈ Nuc(f) ⇒ x–y = 0U ⇒ x = y

5) En las propiedades de las aplicaciones lineales hemos visto que la imagen de un conjuntolinealmente dependiente es un conjunto linealmente dependiente; lo que ocurra con la imagende un conjunto linealmente independiente dependerá del tipo de aplicación, tal como afirmaesta equivalencia. En efecto,

Directo: Si x∈ Nuc(f), entonces f(x) = 0V y si fuera x ≠ 0U, entonces {x} l.i. para{f(x)} l.d., lo que va contra la hipótesis, luego x = 0U y f es inyectiva.

Recíproco: α1 f(u1)+...+αn f(un) = 0V ⇒ f(α1u1+...+αnun) = 0V ⇒ ⇒ α1u1+...+αnun∈ Nuc(f) ⇒ α1u1+...+αnun = 0U ⇒ α1 =...= αn = 0

Ejemplo IV.6.1

La aplicación f : R3 R2

(x,y,z) (x−3y,x−y+2z)

es lineal pues

f(α (x1,x2,x3)+β(y1,y2,y3)) = f(αx1+βy1,αx2+βy2,αx3+βy3) =

= (αx1+βy1−3(αx2+βy2),(αx1+βy1)−(αx2+βy2)+2(αx3+βy3))

α f(x1,x2,x3)+βf(y1,y2,y3) = α (x1−3x2,x1−x2+2x3)+β(y1−3y2,y1−y2+2y3) =

= (α(x1−3x2)+β(y1−3y2),α(x1−x2+2x3)+β(y1−y2+2y3))

y ambos resultados coinciden. Hallemos núcleo e imagen

Nuc(f) = {(x,y,z)∈ R3 f(x,y,z) = (0,0)} = {(3y,y,−y) y∈ R}

es decir, x−3y = 0 x = 3y ⇒ x−y+2z = 0 z = (y−x)/2

que es un subespacio; para hallar su base basta tener en cuenta que

Nuc(f) = {(3y,y,−y) y∈ R} = {y(3,1,−1) y∈ R} = [(3,1,−1)]

con lo que ((3,1,−1)) es una base de Nuc(f). Para calcular Im(f), según la definición,

43

(z1,z2)∈ Im(f) ⇔ (∃ (x1,x2,x3)∈ R3) (f(x1,x2,x3) = (z1,z2))

es decir,

x1−3x2 = z1 x1 = z1+3x2 ⇒

x1−x2+2x3 = z2 x3 = (z2−x1+x2)/2

luego cualquiera que sean z1 y z2 existe antiimagen (x1,x2,x3), y todo vector de R2

pertenece a la imagen,

Im(f) = R2 ⇒ ((1,0),(0,1)) base de Im(f)

Como Nuc(f) ≠ {(0,0,0)}, f no es inyectiva y como Im(f) = R2, f es sobreyectiva.

A la dimensión del subespacio Im(f) le llamaremos rango de la aplicación

rang(f) = dim(Im(f))

El conocimiento del rango de una aplicación lineal proporciona resultados interesantes sobreella, cuando los espacios vectoriales sobre los que está definida son de dimensión finita y queresumidos en la Tabla IV.6.2.

TABLA IV.6.2._____________________________________________________________

Propiedades del rango de una aplicación lineal f : U V

1) rang(f) = dim(U)−dim(Nuc(f))

2) rang(f) ≤ dim(U) y rang(f) = dim(U) equivale a f inyectiva

3) rang(f) ≤ dim(V) y rang(f) = dim(V) equivale a f sobreyectiva

4) dim(U) = dim(V) equivale a (f inyectiva ⇔ f sobreyectiva ⇔ f biyectiva) ______________________________________________________________

Demostraciones :

1) Como Nuc(f) es de dimensión finita, por ser subespacio de U, supongamos que

(u1,...,un) base U y (e1,...,em) base de Nuc(f)

podemos sustituir m vectores u i por los m vectores ei, y el resultado es una base de U;supongamos, p.ej., que son los m primeros vectores, con lo que (e1,..,em,um+1,...,un) seráuna base de U. Demostremos que (f(um+1),...,f(un)) es base de Im(f) probando que formanun conjunto l.i. y generador.

44

a) {f(um+1),...,f(un)} l.i. pues

λm+1 f(um+1)+...+λn f(un) = 0V ⇒ f(λm+1um+1+...+λnun) = 0V ⇒ ⇒ λm+1um+1+...+λnun∈ Nuc(f) ⇒ λm+1 =...= λn = 0

ya que si existiesen λ i1 ≠ 0,...,λ ir ≠ 0 tendríamos

x = λ i1ui1+...+λ iruir∈ Nuc(f) ⇒ λ i1ui1+...+λ iruir = α 1e1+...+α mem ⇒ ⇒ { u i1,...,u ir,e1,...,em} l.d.

y (e1,...,em,um+1,...,un) no sería base de U.

b) Es un conjunto generador de Im(f) ya que

(∀ z∈ Im(f)) (∃ x∈ U) (z = f(x) ⇒ z = f(λ1e1+...+λmem+λm+1um+1+...+λnun) ⇒ ⇒ z = λ1 f(e1)+...+λm f(em)+λm+1 f(um+1)+...+λn f(un) ⇒ ⇒ z = λm+1 f(um+1)+...+λn f(un))

ya que f(e1) =...= f(em) = 0V por ser base de Nuc(f).

De a) y b) se deduce que dim(Im(f)) = n−m, es decir,

rang(f) = dim(U)−dim(Nuc(f))

2) Inmediata a partir de la anterior teniendo en cuenta que

rang(f) = dim(U) ⇔ dim(Nuc(f)) = 0 ⇔ Nuc(f) = {0U} ⇔ f inyectiva

3) Según la definición de rango, rang(f) = dim(Im(f)) ≤ dim(V) para además

dim(Im(f)) = rang(f) = dim(V) ⇔ Img(f) = V ⇔ f sobreyectiva

4) Si ambos espacios tienen la misma dimensión, entonces

f inyectiva ⇔ dim(Nuc(f)) = 0 ⇔ rang(f) = dim(U) = dim(V) ⇔ f sobreyectiva

luego f es biyectiva. En particular, y según esta propiedad, para todo f endomorfismo de User f inyectivo equivale a ser sobreyectivo y biyectivo.

Ejemplo IV.6.2

Para la aplicación lineal del ejemplo IV.6.1 anterior, tenemos

rang(f) = dim(Img(f)) = 2 dim(Nuc(f)) = 1 dim(R3) = 3

y, efectivamente rang(f) = dim(U)−dim(Nuc(f)). Como rang( f) < dim(R3), entonces fno es inyectiva. Como rang(f) = dim(R2) es f sobreyectiva.

45

Ejercicios

IV.48.- Para la aplicación f de R3 en R2 definida por f(x,y,z) = (x+y/2,x+z/2) averiguar surango, núcleo, imagen y clasificarla. Lo mismo para el endomorfismo f de R2[x] dadopor f(P(x)) = P´(x)+P´´(x).

IV.49.- Sea F el espacio vectorial de las funciones f : R R y sea

Φ : R3 F (a,b,c) f : R R

x f(x) = a sen2x+b cos2x+c

a) Probar que Φ es lineal.

b) Averiguar el Nuc(Φ), Im(Φ) y si Φ es inyectiva.

c) Si U es el subespacio de las funciones constantes, hallar Φ -1(U).

IV.50.- Sea la aplicación lineal

f : R3 R3

(x,y,z) ((λ−2)x+2y−z,2x+λy+2z,2λx+2(λ+1)y+(1+λ)z)

con λ∈ R dado. Hallar según los valores de λ, el Nuc(f), Im(f) y rang f.

IV.51.- Demostrar que todo endomorfismo inyectivo es necesariamente sobreyectivo.

IV.7.- TEOREMA DE LA CARACTERIZACION DE UNA APLICACION LINEAL

Sean U y V e.v.s. K , (e1,...,en) es una base de U y {b1,...,bn} un subconjunto de V, enestas condiciones

a) existe una única aplicación lineal f de U en V tal que f (e1) = b1, ..., f(en) = bn.

Además

b) {b1,...,bn} l.i. equivale a f inyectiva

y si V es de dimensión finita

c) {b1,...,bn} generan V equivale a f sobreyectiva

d) (b1,...,bn) base de V equivale a f biyectiva

Demostración: Veamos sucesivamente los diversos resultados enunciados.

a) En efecto, si x∈ U, entonces por ser (e1,...,en) una base de U

x = α1e1+...+α nen

46

y definimos la correspondencia

f : U Vx f(x) = α 1b1+...+α nbn

que es una aplicación, pues para todo vector x∈ U existen y son únicos los escalaresα1,...,αn que lo expresan como combinación lineal de la base (e1,...,en), luego es único elvector imagen

α 1b1+...+α nbn

En particular veamos las imágenes de e1,...,en

e1 = 1⋅e1+...+0 ⋅en ⇒ f(e1) = 1⋅b1+...+0⋅bn = b1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

en = 0⋅e1+...+1 ⋅en ⇒ f(en) = 0⋅b1+...+1⋅bn = bn

Esta aplicación, así definida es lineal; en efecto como

(∀ x∈ U) (∃ α1,...,αn∈ K) (x = α1e1+...+α nen)

(∀ y∈ U) (∃ β1,...,βn∈ K) (y = β1e1+...+βnen)

para cualesquiera λ,µ∈ K tendremos

f(λx+µy) = f(λ(α1e1+...+α nen)+µ(β1e1+...+βnen)) =

= f((λα 1+µβ1)e1+...+(λα n+µβn)en) = (λα 1+µβ1)b1+...+(λα n+µβn)bn

λ f(x)+µf(y) = λ(α1b1+...+αnbn)+µ(β1b1+...+βnbn) = (λα 1+µβ1)b1+...+(λα n+µβn)bn

Además f es la única aplicación lineal para la que f(e1) = b1,...,f(en) = bn ya que si hubieraotra aplicación lineal con las mismas imágenes para los vectores e1,...,en

g : U V e1 g(e1) = b1

. . . . . . . . . . . . . . en g(en) = bn

entonces para cualquier vector x = α1e1+...+α nen sería

g(x) = g(α1e1+...+α nen) = α1g(e1)+...+α ng(en) = α1b1+...+αnbn = f(x)

La elección de los vectores b1,...,bn imagen de los vectores de la base determina una únicaaplicación lineal; más aún, si el espacio vectorial imagen es de dimensión finita, según seanestos vectores imagen la aplicación será de un tipo u otro. En efecto

b) {b1,...,bn} l.i. equivale a f inyectiva.

47

Directo: Si x = α1e1+...+α nen e y = β1e1+...+βnen y f(x) = f(y), entonces

α1b1+...+αnbn = β1b1+...+βnbn ⇒ (α1−β1)b1+...+(αn−βn)bn = 0V

y como se supone {b1,...,bn}l.i., será

α1−β1 = 0 α1 = β1 . . . . . . . ⇒ . . . . . ⇒ x = y αn−βn = 0 αn = βn

Recíproco: λ1b1+...+λnbn = 0V ⇒ f(λ1e1+...+λ nen) = 0V ⇒ λ1e1+...+λ nen∈ Nuc(f)y como se supone f inyectiva y (e1,...,en) base de U, entonces

λ1e1+...+λ nen = 0U ⇒ λ1 =....= λn = 0

c) El conjunto {b1,...,bn} es generador de Im(f) ya que

Im(f) = f(U) = f([e1,...,en]) = [f(e1),...,f(en)] = [b1,...,bn]

y como se supone que

{b1,...,bn} genera V ⇔ Im(f) = V ⇔ f sobreyectiva

d) Reuniendo los resultados anteriores, tenemos

{b1,...,bn} l.i. ⇔ f inyectiva (b1,...,bn) base de V ⇔

{b1,...,bn} genera V ⇔ f sobreyectiva

lo que equivale a que f es biyectiva.

Ejemplo IV.7.1

Sean los espacios vectoriales R3 y R4. Una base de R3 es ((1,1,0),(2,0,−1),(0,3,2))pues forman un conjunto l.i.; en efecto

1 2 0 0 1 0 3 0 0 –1 2 0

→ 1 2 0 0 0 –2 3 0

0 –1 2 0

→ 1 0 3 0 0 –2 3 0

0 0 –1 0

→

→ 1 0 0 0 0 –2 0 0

0 0 –1 0

→ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

Según el teorema anterior f : R3 R4

(1,1,0) (1,1,0,2)(2,0,−1) (0,0,0,0) (0,3,2) (0,0,2,4)

48

define una única aplicación lineal, cuya fórmula se puede hallar haciendo

(x,y,z) = α1(1,1,0)+α2(2,0,−1)+α3(0,3,2)

1 2 0 x 1 0 3 y

0 –1 2 z

→ 1 2 0 x 0 –2 3 y–x

0 –1 2 z

→

1 0 3 y

0 –2 3 y–x

0 0 –1 y–x–2z

→

→

1 0 0 4y–3x–6z

0 –2 0 4y–4x–6z

0 0 –1 y–x–2z

→

1 0 0 –3x+4y–6z

0 1 0 2x–2y+3z

0 0 1 x–y+2z

siendo, por tantoα1 = −3x+4y−6z

α2 = 2x−2y+3z

α3 = x−y+2z

con lo que

(x,y,z) = (−3x+4y−6z)(1,1,0)+(2x−2y+3z)(2,0,−1)+(x−y+2z)(0,3,2) ⇒ ⇒ f(x,y,z) = (−3x+4y−6z)(1,1,0,2)+(2x−2y+3z)(0,0,0,0)+(x−y+2z)(0,0,2,4) =

= (−3x+4y−6z,−3x+4y−6z,2x−2y+4z,−2x+4y−4z)

Como {(1,1,0,2),(0,0,0,0),(0,0,2,4)} es l.d., entonces f no es inyectiva; como{(1,1,0,2)(0,0,0,0)(0,0,2,4)} no genera R4, entonces f no es sobreyectiva. Además

Nuc(f) = {(x,y,z)∈ R3 f(x,y,z) = (0,0,0,0)}

es decir,

−3x+4y−6z = 0 2x−2y+4z = 0 cuya solución es z arbitrario, y = 0, x = −2z −2x+4y−4z = 0

por lo que

Nuc(f) = {(−2z,0,z) z∈ R} = {z(−2,0,1) z∈ R} = [(−2,0,1)]

para pues ((−2,0,1)) base de Nuc(f). Según las propiedades del rango

dim(Im(f)) = rang(f) = 3−1 = 2

y, en efecto, el espacio imagen es

Im(f) = [(1,1,0,2)(0,0,0,0),(0,0,2,4)] = [(1,1,0,2)(0,0,2,4)]

siendo ((1,1,0,2)(0,0,2,4)) base de Im f

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Dos consecuencias inmediatas se deducen del importante teorema anterior. En primer lugar

"Si V es e.v.s. K de dimensión n, entonces V es algebraicamente identificable con Kn"

En efecto, si (e1,e2,..,en) es una base de V, la identificación la establece la siguiente aplicación

V Kn

e1 (1,0,...,0) e2 (0,1,...,0) . . . . . . . . . . . . . .

en (0,0,...,1)

que es biyectiva por ser los vectores imagen una base de Kn, la base canónica. Consecuenciainmediata de este resultado es que

"Dos espacios vectoriales de dimensión finita son algebraicamente identificables si tienenla misma dimensión".

En efecto, si U y V son e.v.s. K de dimensión n, ambos son identificables con Kn y, por ello,son identificables entre sí.

Ejercicios

IV.52.- Sea la aplicación lineal

f : R4 R4 (1,0,0,0) (2,−1,−1,0)

(0,1,0,0) (−1,1,0,−1) (0,0,1,0) (1,0,1,−1) (0,0,0,1) (0,−1,−1,2)

a) Hallar f(2,5,6,8), f(x,y,z,t) y f -1(1,0,0,1).

b) Hallar Nuc(f), Im(f), rang f y clasificarla.

IV.53.- Dada la aplicación lineal

f : R2 R2

(1,0) (√ 2,1) (0,1) (1,√ 2 )

definir, si es posible, f -1 y hallar f -1(0,1) y f -1(x,y). Hallar núcleo, imagen y rango def y f -1.

IV.54 . -Dadas las siguientes aplicaciones lineales, hallar sus rangos, bases del núcleo eimagen y clasificarlas:

50

f : R3 R4 h : R2 R4 (1,1,0) (3,2,0,1) (2,−1) (α1,0,−1,α2) (2,3,1) (1,−2,1,1) (4,1) (α3,−2,α4,1) (0,−2,1) (4,0,1,2)

para α1 = , α2 = , α3 = , α4 = .

IV.55 . -Dadas las siguientes aplicaciones lineales, hallar sus rangos, bases del núcleo eimagen y clasificarlas:

i : R3 R3 j : R4 R2

(0,1,0) (0,2,0) (1,2,−1,−3) (−5,1) (1,0,0) (1,0,0) (−3,−1,0,5) (8,0)

(1,1,1) (2,6,0) (4,2,5,0) (α1,α2) (−3,−2,1,7) (α3,α4)

para α1 = , α2 = , α3 = , α4 = .

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PROCEDIMIENTOS PRÁCTICOS BASICOS

Los procedimientos básicos que forman los elementos constructivos a partir de los cualespueden abordarse los problemas que tratan sobre las materias desarrolladas en este Cuaderno,son los siguientes:

- Determinar si una estructura es un espacio vectorial.

- Resultados de combinaciones lineales en los e.v. Kn, K(x) y de funciones de A en K.

- Averiguar si un vector es combinación lineal otros.

- Algoritmo de Gauss-Jordan.

- Determinar si un subconjunto es un subespacio.

- Averiguar si un vector pertenece a un espacio de dimensión finita.

- Simplificar conjuntos generadores.

- Averiguar si un conjunto es o no linealmente independiente.

- Hallar una base de un e.v. de dimensión finita.

- Hallar componentes de vectores respecto de una base.

- Obtener bases mediante el teorema de Steinitz.

- Hallar bases de espacios suma e intersección.

- Hallar bases y dimensión de subespacios.

- Averiguar si una aplicación entre espacios vectoriales es lineal.

- Hallar rango imagen y núcleo de una aplicación lineal

- Definir aplicaciones lineales mediante fórmulas o mediante imágenes de vectores de una base

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EJERCICIOS DE RECAPITULACION

IV.56.- Sean los vectores de R4

v1 = (2,3,−1,0), v2 = (−3,1,0,2), v3 = (−4,5,−1,4) y v4 = (9,8,−3,−2)

Probar que [v1,v2] = [v3,v4] = F y hallar un subespacio G tal que F+G = R4.

IV.57.- La ecuación λ1e1+λ2e2+λ3e3+λ4e4+λ5e5 = 0 tiene como solución

λ1 = λ2 = −λ3 λ4 = λ5 = 0

Se pide

a) Relación de dependencia, si existe, entre los vectores e1,e2,e3,e4,e5.

b) Dimensión del subespacio engendrado por los ei.

c) Indicar dos bases de este subespacio.

IV.58.- a) Demostrar que los polinomios 1, 1+x, 1+x+x2,..., 1+x+x2+...+xn forman unabase del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n. Calcular lascomponentes del polinomio: P(x) = 2x3−2x2+x−1 respecto a una base de este tipo.

b) Demostrar que los polinomios 1,(x−a),(x−a)2,...,(x−a)n forman una base del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n.

c) Demostrar que para un polinomio P(x) de grado n, las componentes respecto la baseanterior son

P(a) , P '(a ) , P ''(a )

2! , . . . ,

P (n)(a)

n!

IV.59.- En R3 se dan los siguientes conjuntos de vectores:

A = {(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(0,1,−1)} B = {(3,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(0,1,1)}

a) Demostrar que los conjuntos A y B son generadores de R3.

b) Hallar respecto de la segunda base (B) las componentes de un vector que respecto ala base primera (A) tiene de componentes (−1,2,−2).

c) Generalizar este resultado hallando las componentes b1,b2 y b3 respecto de lasegunda base del vector cuyas componentes respecto de la primera son a1,a2 y a3.

IV.60.- Probar que el subespacio generado por los vectores (1,0,−1),(1,1,0) y (0,1,1)coincide con el engendrado por los vectores (2,1,−1) y (1,2,1). Si denominamos F aeste subespacio de R3 probar que (1,−1,0) no pertenece a F. Completar el vector(4,5,1)∈ F a una base de F.

IV.61.- En el espacio vectorial R3 sobre R sean los subespacios

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S1 = [(0,1,1),(1,0,2),(−2,3,−1)] S2 = [(1,1,3),(−1,4,a)]

a) Hallar a para que S1 = S2.

b) Completar una base S1, hasta obtener una base de R3. Si llamamos S3 elsubespacio generado por el sistema de vectores añadidos a S1 para obtener la base deR3 estudiar si el conjunto S1 ∪ S3 es un subespacio vectorial.

c) Hallar un sistema generador del subespacio vectorial S1 ∩ S4 para S4 el generadopor el conjunto de vectores {(1,0,1),(0,0,1),(1,0,0)}.

IV.62 .- Sean V y W dos espacios vectoriales reales, de bases (e1,e2,e3) y (u1,u2,u3,u4),respectivamente. Si λ∈ R, dada la aplicación

f : V W e1 λu1+u2 e2 u3+u4

e3 u1+u2+u3+u4

hallar la ecuación de f, Nuc(f) e Im(f) y averiguar cuándo f es inyectiva.

BIBLIOGRAFIA

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Sainz M.A., Serarols J.L. Pérez A.M. (1994). Álgebra. Escuela Politécnica Superior. Gerona.

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