dominio y rango de funciones algebraicas

Institución Educativa Departamental Integrada

Alfonso López Pumarejo

Nemocón

Cálculo; Undécimo

Docente: Ing. Hernán Darío Carrillo Aristizábal

2011

Funciones trascendentes y especiales 2º Bimestre

1

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

El dominio y el rango son el subconjunto del plano cartesiano que está ocupado por la gráfica de la función.

El dominio de una función f es el conjunto formado por las primeras componentes de las parejas de la

función y el rango de una función f es el conjunto formado por las segundas componentes de las parejas de

la función.

Ejemplo 1. Analizar las funciones representadas en las siguientes gráficas. Luego determina su dominio y

rango

𝑓(𝑥) = 𝑥2

Dom = 𝑅 Ran = [0,∞]

𝑓(𝑥) = 𝑥3

𝐷𝑜𝑚 = 𝑅

𝑅𝑎𝑛 = 𝑅

𝑓(𝑥) =1

𝑥+1

𝐸𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −1 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟

𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒

𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑜. 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑡𝑖𝑣𝑜 𝐷𝑜𝑚 = 𝑅 − {−1} 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = −1 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑓(𝑥)𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜

𝑅𝑎𝑛 = 𝑅 − {0}

DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES POLINOMICAS

Para encontrar el dominio de una función se despeja la variable y y se buscan las restricciones que tiene x

y se buscan las restricciones de y. en algunos casos existen algunas restricciones para el dominio y el rango



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en la funciones dependiendo el lugar que ocupe la variable en la ecuación; por tal motivo es importante

tener en cuenta las siguientes recomendaciones:

El denominador de las expresiones racionales no puede ser cero

Las expresiones radicales cuyo índice es par no puede tener cantidades subradicales

negativas

Los logaritmos solo están definidos para cantidades positivas

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES

FUNCIÓN CONSTANTE

Son aquellas funciones de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑘 donde 𝑘 ∈ 𝑅

FUNCIÓN LINEAL

Son todas aquellas funciones de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 donde la m representa la pendiente

Para calcular la pendiente de una recta que pasa por dos puntos su fórmula es 𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 y para calcular la

ecuación de la recta la ecuación general es 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función cuadrática es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 𝑦 𝑎 ≠ 0

Una ecuación cuadrática se puede escribir de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 donde (h.k9 corresponde al

vértice y 𝑎 ≠ 0. Su gráfica recibe el nombre de parábola; el vértice se encuentra con las siguiente fórmula

𝑉 = (−𝑏

2𝑎 , 𝑓 (−

𝑏

2𝑎)) ; si 𝑎 > 0 la parábola abre hacia arriba y si 𝑎 < 0 la parábola abre hacia abajo. Si f

es una función cuadrática el 𝐷𝑜𝑚 = 𝑅 y su rango esta determinado de la siguiente manera:

𝑠𝑖 𝑎 > 0 𝑒𝑙 𝑅𝑎𝑛 = [𝑓 (−𝑏

2𝑎) ,∞]

𝑠𝑖 𝑎 < 0 𝑒𝑙 𝑅𝑎𝑛 = [−∞, 𝑓 (−𝑏

2𝑎) ]

FUNCIÓN RACIONAL

Una función es racional si 𝑓(𝑥) =𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) 𝑦 𝑞(𝑥) ≠ 0; para graficar una función racional se debe tener en

cuenta:

Determinar las raíces o ceros del numerador y denominador es decir los valores de x para

que 𝑓(𝑥) = 0

Hallar las asíntotas horizontales si existen. Se tiene en cuenta el valor 𝑥 = 𝑎 para el cual el

denominador es 0; entonces la gráfica tiene una asíntota horizontal en 𝑥 = 𝑎

Hallar el intercepto con el eje x es decir 𝑓(0); 𝑒𝑠 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 0

Se halla la asíntota horizontal si existe.

Se hace una tabla de valores para garantizar un buen bosquejo de la gráfica

FUNCIONES RADICALES



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Una función radical es aquella que contiene raíces de variables.

Para realizar el bosquejo de la gráfica es necesario tener en cuenta:

buscar donde 𝑓(𝑥) = 0 o donde 𝑓(𝑥) no está definida

determinar si tiene asíntotas verticales, en caso de que también sea racional

averigual el intercepto con el eje y evaluando la función cuando 𝑥 = 0

hallar las asíntotas horizontales si existen, en caso que sea una función racional

realizar tabla de valores para mayor precisión de la gráfica

EJEMPLOS. Hallar el dominio y rango de las siguientes funciones polinómicas.

a. 𝑓(𝑥) =3𝑥+5

4 (gráfica 2.1) Nos podemos dar cuenta que para esta función le podemos asignar

cualquier valor a x sin que se llegue a indeterminar la función por tal motivo 𝐷𝑜𝑚 = 𝑅; luego

despejamos x y se obtiene 𝑥 =4𝑦−5

3 entonces se observa que a y se le puede asignar cualquier valor

entonces 𝑅𝑎𝑛 = 𝑅

b. 𝐹(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 6 (gráfica 2.2) para esta función se observa que se puede asignar

cualquier valor para x por tal motivo el 𝐷𝑜𝑚 = 𝑅 luego se despeja x de la siguiente manera.

𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 + 6

𝑦 − 6 = 𝑥2 + 4𝑥 Se completa el cuadrado en el segundo miembro de la desigualdad

𝑦 − 6 + (4

2)2

= 𝑥2 + 4𝑥 + (4

2)2

𝑦 − 6 + 4 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 Se realiza la factorización del trinomio cuadrado perfecto

𝑦 − 2 = (𝑥 + 2)2 Se saca la raíz cuadrada en ambos términos de la ecuación

√𝑦 − 2 = √(𝑥 + 2)2

√𝑦 − 2 = 𝑥 + 2 luego se despeja el valor de x

√𝑦 − 2 − 2 = 𝑥 para que se pueda hallar el valor de x es necesario que 𝑦 − 2 ≥ 0 entonces 𝑦 ≥ 2

Entonces 𝑅𝑎𝑛 = [2,∞)

c. 𝑓(𝑥) = √3𝑥 + 2 (gráfica 2.3) en la presente ecaución es necesario que 3𝑥 + 2 ≥ 0 entonces

𝑥 ≥ −2

3 por tal motivo el 𝐷𝑜𝑚 = [−

2

3, ∞); para calcular el rango es necesario elevar al cuadrado

ambos miembros de la igualdad y despejar x

𝑦2 = (√3𝑥 + 2)2

𝑦2 = 3𝑥 + 2

𝑦2 − 2 = 3𝑥 𝑦2−2

3= 𝑥 se puede observar que a y se le puede asignar cualquier valor por lo cual el 𝑟𝑎𝑛 = 𝑅

d. 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔(𝑥 − 1) (gráfica 2.4) como los logaritmos solo están definidos para valores

positivos se calculan los valores para los cuales se cumple las restricción 𝑥 − 1 > 0 entonces 𝑥 >1; por tal motivo el 𝑑𝑜𝑚 = (1,∞) 𝑦 = log (𝑥 − 1) ase utiliza para despejar x la formaa exponencial 𝑦 = log𝑎 𝑥 para despejar x

entonces es igual a 𝑎𝑦 = 𝑥

𝑥 = 10𝑦 + 1 por lo cual se puede observar que y puede tomar cualquier valor y el 𝑅𝑎𝑛 = 𝑅



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e. 𝑓(𝑥) =18

𝑥2−9 (gráfica 2.5) cuando 𝑥 = 3 𝑦 𝑥 = −3 la función se indetermina por lo tanto el

𝑑𝑜𝑚 = 𝑅 − {−3,3}; para calcular el rango se despeja x

𝑦 =18

𝑥2 − 9

𝑦 ∗ (𝑥2 − 9) = 18

𝑥2 − 9 =18

𝑦

𝑥2 =18

𝑦+ 9

𝑥 = ±√18

𝑦+ 9 la raíz puede ser positiva o negativa entonces se necesita saber cuando

18+9𝑦

𝑦≥ 0

para lo cual se resuelven las dos desigualdades

18 + 9𝑦 ≥ 0 𝑦 ≥ 0

𝑦 ≥ −2

Entonces la solución de la desigualdad es (−∞,−2] ∩ (0,∞) entonces el 𝑅𝑎𝑛 = 𝑅 − [−2,0]

FUNCIONES TRASCENDENTES

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Una función de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥; 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 > 𝑜 𝑦 𝑎 ≠ 1, recibe el nombre de

función exponencial. Las funciones

exponenciales cumplen las siguientes

características:

El Dominio es el conjuntos de los

números Reales; 𝐷𝑜𝑚 = 𝑅

El Rango es el conjunto de los

números reales positivos: 𝑅𝑎𝑛 = 𝑅+ =(0,∞) Si el valor de a >1 la función es

creciente

Si el valor de 0 < a <1 la función es

decreciente



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Para elaborar la gráfica de una función exponencial es necesario primero hallar el corte con el eje y para lo

cual se evalúa la función cuando x = 0; luego se realiza una tabla de valores para poder encontrar diferentes

puntos y de esta manera obtener un resultado más aproximado.

Ejemplo. Graficar la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥+1

Primero se halla el corte con el eje y cuando x=o; entonces 𝑓(𝑥) = 20+1 = 21 = 2

Luego se realiza una tabla de valores

X -1 -2 2 3

Y 1 0,5 8 16

𝑓(−1) = 2−1+1 = 20 = 1

𝑓(−2) = 2−2+1 = 2−1 =1

21=1

2= 0,5

𝑓(2) = 22+1 = 23 = 8

𝑓(3) = 23+1 = 24 = 16

ECUACIONES CON FUNCIONES EXPONENCIALES

Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las cuáles la incógnita está en el exponente. Para resolverlas

se aplica la propiedad de la potenciación 𝑎𝑥 = 𝑎𝑦𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 𝑦.

Ejemplo 1. Solucionar la ecuación 𝟐𝒙 = 𝟔𝟒

Primero se escribe el número 64 como potencia

64 = 26; este valor se reemplaza en la ecuación

original

2𝑥 = 26 Como las bases son iguales entonces se

igualan los exponentes

𝑥 = 6

La solución de la ecuación es 𝑥 = 6



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Ejemplo 2 solucionar la ecuación 𝟓𝒙+𝟑 = 𝟏𝟐𝟓𝟐𝒙−𝟏 Primero se escribe el número 125 como potencia


original

𝟓𝒙+𝟑 = 𝟓𝟑(𝟐𝒙−𝟏) 𝟓𝒙+𝟑 = 𝟓𝟔𝒙−𝟑 Como las bases son iguales

entonces se igualan los exponentes

𝑥 + 3 = 6𝑥 − 3 Se resuelve como una ecuación

lineal

𝑥 − 6𝑥 = −3 − 3

−5𝑥 = −6

−𝑥 = −6

5 Se multiplica por -1 para que la

incógnita no quede negativa 𝑥 =6

5

Ejemplo 3 solucionar la ecuación 𝟐𝒙𝟐−𝟑𝒙 = 𝟑𝟐

Primero se escribe el número 32 como potencia


original

𝟐𝒙𝟐−𝟑𝒙 = 𝟐𝟓 Como las bases son iguales se

igualan los exponentes

𝑥2 − 3𝑥 = 5

𝑥2 − 3𝑥 − 5 = 0 Para poder resolver esta

ecuación aplicamos la fórmula cuadrática 𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

Dado que a=1; b=-3 y c=-5 la solución dela

fórmula cuadrática es 𝑥 =3±√29

2 al despejar los

valores obtenemos que 𝑥1 =3+√29

2= 4,192 y el

valor de 𝑥2 =3−√29

2= −1,192

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Una Función de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏, 𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 0 𝑦 𝑎 ≠ 1, reciben el nombre de funciones logarítmicas.

Las características de las funciones logarítmicas son:

El dominio es el conjunto de los

números reales positivos; 𝐷𝑜𝑚 = 𝑅+ =(0,∞) El rango es el conjunto de los

números reales; 𝑅𝑎𝑛 = 𝑅

Si a > 1 la función es creciente

Si 0 < a < 1la función es

decreciente



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Funciones clasificación, Dominio y rango 2º Bimestre

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Propiedades de los logaritmos

1. 𝐿𝑜𝑔𝑎1 = 0 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑎0 = 1

2. 𝐿𝑜𝑔𝑎𝑎 = 1 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑎1 = 𝑎

3. 𝐿𝑜𝑔𝑎(𝑚 ∗ 𝑛) = 𝐿𝑜𝑔𝑎 m + 𝐿𝑜𝑔𝑎 n

4. 𝐿𝑜𝑔𝑎(𝑚 ÷ 𝑛) = 𝐿𝑜𝑔𝑎 m - 𝐿𝑜𝑔𝑎 n

5. 𝐿𝑜𝑔𝑎𝑚𝑛 = 𝑛 ∗ 𝑙𝑜𝑔𝑎 m

Ejemplo. Escribir la siguiente expresión como un solo logaritmo 𝟑

𝟐𝑳𝒐𝒈 𝒙 + 𝑳𝒐𝒈 𝒚 −

𝟏

𝟐 𝑳𝒐𝒈 𝒛

Primero encontramos un factor común 1

2(3𝐿𝑜𝑔 𝑥 + 2𝐿𝑜𝑔 𝑦 − 𝐿𝑜𝑔 𝑧)

En cada uno de los logaritmos se aplica la propiedad 5; entonces 3𝐿𝑜𝑔 𝑥 = 𝐿𝑜𝑔 𝑥3; 2𝐿𝑜𝑔 𝑦 = 𝐿𝑜𝑔 𝑦2;

𝐿𝑜𝑔 𝑧 = 𝐿𝑜𝑔 𝑧.

Al reemplazar se obtiene 1

2(𝐿𝑜𝑔𝑥3 + 𝐿𝑜𝑔 𝑦2 − 𝐿𝑜𝑔 𝑧) como en 𝐿𝑜𝑔𝑥3 + 𝐿𝑜𝑔 𝑦2 hay una suma se aplica

la propiedad 3 entonces nos queda 𝐿𝑜𝑔 𝑥3 ∗ 𝑦2 y se reemplaza

1

2(𝐿𝑜𝑔 (𝑥3 ∗ 𝑦2) − 𝐿𝑜𝑔 𝑧) Como en (𝐿𝑜𝑔 (𝑥3 ∗ 𝑦2) − 𝐿𝑜𝑔 𝑧) hay una resta se aplica la propiedad 4

entonces nos queda 𝐿𝑜𝑔𝑥3∗𝑦2

𝑧 al remplazarlo obtenemos

1

2(𝐿𝑜𝑔

𝑥3∗𝑦2

𝑧) Se aplica la propiedad 5 y se obtiene 𝐿𝑜𝑔 (

𝑥3∗𝑦2

𝑧)

1

2=𝐿𝑜𝑔√

𝑥3𝑦2

𝑧 los valores que puedan salir

del radial se saca obteniendo como resultado 𝐿𝑜𝑔 𝑥𝑦√𝑥

𝑧

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Características



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FUNCIONES ESPECIALES

FUNCIÓN A TROZOS

Una función formada por la unión de dos o mas funciones, para la cual cada una de ellas esta definida en

intervalos disyuntos, recibe el nombre de función segmentada o función a trozos. En general una función a

trozos se define como: 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) = {

𝑓1(𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝐼1𝑓2(𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝐼2

⋮𝑓𝐾(𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝐼𝐾

Donde I simboliza cada uno de los intervalos

Ejemplo 1. Trazar la gráfica y determinar el dominio y rango de la siguiente función

𝒇(𝒙) = {

𝟒𝒙 + 𝟏𝟏 𝒔𝒊 𝒙 ∈ [−𝟒,−𝟐)

𝒙𝟐 𝒔𝒊 𝒙 ∈ [−𝟐, 𝟐)𝟑 𝒔𝒊 𝒙 ∈ (𝟐, 𝟓]

la función esta compuesta por tres trozos para los cuáles cada uno tiene su propio intervalo, para graficar

se realiza una tabla de valores para cada trozo de la siguiente manera.

Para el trozo 1 se tiene en cuenta el intervalo y se dan los valores los cuáles se reemplaza el trozo de la

función y se dan valores para 4x+11. Ejemplo 4(-4)+11=-16+11= -5

X -4 -3 -2

Y -5 -1 3

Para el trozo dos se realiza el mismo procedimiento del trozo 1 pero cambiando de función y de intervalo

se utiliza la función 𝑥2.ejemplo (−2)2 = 4

X -2 -1 0 1 2

Y 4 1 0 1 2

En el trozo 3 se puede observar que es una recta cuando y=3 en el intervalo (2,5]

Es importante qué en la gráfica se pueda observar cuando es

un intervalo cerrado o un intervalo abierto mediante sus

símbolos.

De la gráfica se observa que:

𝐷𝑜𝑚 = [4,−2) ∪ [−2.2] ∪ (2,5] = [−4,−5] Ran = [-5,4]



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FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Es un caso particular de las funciones a trozos. Está función asigna a cada elemento del dominio su valor

absoluto y esta definida por: 𝑓(𝑥) = |𝑥| = {𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0

Ejemplo.Representar gráficamente la función 𝒇(𝒙) = |𝟐𝒙 + 𝟏|y luego determinar el dominio y

rango.

Primero se escribe la función según la definicón del valor absoluto.

𝑓(𝑥) = {2𝑥 + 1 𝑠𝑖 2𝑥 + 1 ≥ 0−(2𝑥 + 1)𝑠𝑖 2𝑥 + 1 < 0

Se resuelven los intervalos obteniendo 𝑥 ≥ −1

2 y 𝑥 < −

1

2

𝑓(𝑥) =

{

2𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −

1

2

−2𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < −1

2

Luego se realiza tablas de valores para cada uno de los trozos y se realiza la gráfica.

En la gráfica se puede observar que:

𝐷𝑜𝑚 = 𝑅

𝑅𝑎𝑛 = [0,∞)

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