Dosieres Mates

243! ! MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. !

Nombres enters1La representació numèrica en la recta dels nombresenters ens introdueix en l’estudi de la seva ordenació i comparació, el concepte de valor absolut i l’existènciadels signes + o − que els precedeixen.

Fent servir els conceptes ja adquirits com afegir, tenir,a sobre, més que; reduir, menys que, deure i a sota,juntament amb les regles dels signes i l’ús delsparèntesis, farem operacions bàsiques amb elsnombres enters.

El concepte de múltiple i divisor comú de dosnombres, lligat a la seva relació de divisibilitat,requereix el domini de les operacions bàsiques de multiplicació i divisió de nombres naturals.

• Els nombres enters són els nombres naturalsprecedits dels signes + i −, i el nombre 0. El mésgran de dos nombres naturals se situa sempre més a la dreta en la recta numèrica.

• Els múltiples d’un nombre contenen el nombre una quantitat exacta de vegades. Els divisors d’unnombre són els que hi caben exactament una sèriede vegades.

• Descompondre un nombre en factors primerspermet expressar aquest nombre com a producte de diferents nombres primers elevats a exponents.

• El màxim comú divisor, m.c.d., de dos nombres és el més gran dels divisors comuns de tots dos.

• El mínim comú múltiple, m.c.m., de dos nombres és el més petit dels múltiples comuns de tots dos.

Comprendre el significatdels nombres positius i negatius.

Fer operacionsaritmètiques ambnombres enters.

Fer operacions amb potències.

Identificar els múltiples i els divisors d’un nombre.

Descompondre en factors primers. El m.c.d. i el m.c.m.

• Nombres enters negatius i positius.

• Recta numèrica: representació, ordre i comparació de nombresenters.

• Valor absolut. Oposat d’un nombre.

• Suma i resta de nombresenters.

• Operacions combinades.• Multiplicació i divisió de

nombres enters. Regla delssignes.

• Producte i quocient depotències amb la mateixa base.

• Potències amb exponent zero i exponent u.

• Potència d’una potència.

• Múltiples i divisors d’un nombre.

• Relació de divisibilitat.

• Nombres primers i compostos.• Descomposició en factors

primers.• Múltiples i divisors comuns:

el m.c.d. i el m.c.m.

• Reconeixement de nombres enters.• Ordenació i comparació dels

nombres enters.• Càlcul del valor absolut.

• Realització d’operacions de suma,resta, multiplicació i divisió de nombres enters.

• Ús correcte de parèntesis i signes.

• Desenvolupament inicial d’operacionsamb potències.

• Aplicació de les tècniques de càlcul per trobar potències.

• Obtenció dels múltiples i divisors d’un nombre.

• Relació entre múltiple i divisor.

• Identificació de nombres primers i compostos.

• Producte de factors primers.• Càlcul del m.c.d. i el m.c.m. Resolució

de problemes.

830896_07_Adaptacio.qxd.qxd 13/8/08 20:54 Página 243

244 ! ! MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. !

a) −2 ...........................................................................................................................

b) −5 ...........................................................................................................................

c) −10 ..........................................................................................................................

d) −150 ........................................................................................................................

• A la nostra vida diària, observem, llegim i diem expressions del tipus següent.

−2, −100, −4, −120 són nombres negatius.• Expressen quantitats, situacions o mesures el valor de les quals és més petit que zero.• Les precedeix el signe menys (−).• S’associen a expressions del tipus: menys que, deure, sota, disminuir, restar, m’he gastat...

Hem deixat el cotxe al segon soterrani

El submarí és a cent metres sota la superfície del mar

Fa una temperatura de quatre graus sota zero

El teu compte està en números vermells:deus 120 €

−

−

−

−

Menys dos

Menys cent

Menys quatre

Menys cent vint

La cova és a cinquanta-cinc metres de profunditat

La secció de joguines és en el tercer soterrani

La temperatura va ser d’un grau sota zero

L’estació de metro es troba a quaranta-cinc metres sota el terra

He perdut 2 €

OBJECTIU 1

NOM: CURS: DATA:

COMPRENDRE EL SIGNIFICAT DELS NOMBRES POSITIUS I NEGATIUS1830896_07_Adaptacio.qxd.qxd 13/8/08 20:54 Página 244

Els nombres positius, negatius i el zero formen el conjunt dels , conjunt representat amb la lletra !.

• : +1, +2, +3, +4, +5, +6... (naturals amb signe +).• : −1, −2, −3, −4, −5, −6... (naturals amb signe −).• : 0.


• D’altra banda, també observem, llegim i diem expressions com:

+3, +50, +30, +195 són nombres positius.

• Expressen quantitats, situacions o mesures el valor de les quals és més gran que zero.

• Les precedeix el signe més (+).

• S’associen a expressions del tipus: més que, tinc, sobre, augmentar, afegir, sumar...

Estem a trenta-dos graus sobre zero

L’avió vola a mil cinc-cents metres sobre el nivell del mar

El puig té una altura de vuit-cents metres

L’estel és capaç de volar a vuitanta metres

Em vaig trobar al terra un bitllet de 5 €

T’espero a la planta baixa

1

La roba texana és a la tercera planta

La gavina vola a cinquanta metres sobre el nivell del mar

Quina calor! Estem a trenta graus sobre zero

Tinc 195 € al banc

+

+

+

+

Més tres

Més cinquanta

Més trenta

Més cent noranta-cinc



1

− + + − + + −

a) Representa’ls en la recta numèrica.b) Quin és el més allunyat del zero?c) Quin és el més proper al zero?d) Escriu, per a cadascun, un altre nombre situat a la mateixa distància del zero que ell.

+ − + − + − + −

Dos sobre zero

Cinc sobre zero

Zero grausTres

sota zeroDos

sobre zeroUn

sota zeroCinc

sota zero

Els nombres enters els representem en una recta numèrica d’aquesta manera.1r Dibuixem una recta i hi assenyalem el zero, 0.2n Dividim la recta en segments iguals (unitats), a la dreta i a l’esquerra del zero.3r A la hi col·loquem els nombre enters , i a l’ ,

els nombres enters .Observa que estan ordenats:

−7 −6 −5

Nombres enters Nombres enters

−4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6… …+7

FF FF

Ja sabem que a la recta es representen els nombres enters ordenats. Hem de tenir en compte:1r Un nombre enter positiu és més gran que qualsevol nombre enter negatiu.2n Entre diversos nombre enters, sempre és més gran el que està situat més a la dreta sobre la recta.3r Per comparar fem servir els símbols (>) i (<).

… −7 < −6 < −5 < −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < +1 < +2 < +3 < +4 < +5 < +6 < +7…… +7 > +6 > +5 > +4 > +3 > +2 > +1 > 0 > −1 > −2 > −3 > −4 > −5 > −6 > −7…

−7 −6 −5

Nombres enters Nombres enters

−4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6… …+7

FF FF



1

< >

a) +5 −2 c) −1 0 e) +11 +15 g) −7 −4

b) +0 +8 d) −4 +1 f) +10 −9 h) +5 −11

+11, −2, +8, 0, −1, +5, −6, +3, −3, +7, −4, −9, +17

−8, −16, +5, −2, +13, +3, −4, −9, +9, 0, +18, −10

• El valor absolut d’un nombre enter és la (en unitats) que el separa del zero en la recta numèrica.

• En la pràctica l’escrivim entre dues barres ⏐⏐ i és el mateix nombre sense el seu signe: Valor absolut de −3 l’escrivim ⏐−3⏐ i és 3. Valor absolut de +5 l’escrivim ⏐+5⏐ i és 5.

• Observem que: ⏐+5⏐ = 5 i ⏐−5⏐ = 5.

• Els nombres enters +5 i −5 estan a la mateixa distància del zero: 5 unitats.

• Diem que +5 i −5 són oposats i ho escrivim així:op (+5) = −5 op (−5) = +5

• Dos nombres oposats tenen el mateix valor absolut.

−5 −4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 +4 +5

F F

⏐+10⏐

⏐−8⏐

⏐−9⏐

10

7

El valor absolut de +10 és 10

El valor absolut de −15 és 15

a) −3 b) +9 c) −12 d) +8


+ + + ! ! (+3) + (+2) = +5

− + − ! ! (−4) + (−1) = −5⏐−4⏐ = 4 ⏐−1⏐ = 1

4 + 1 = 5

⏐+3⏐ = 3 ⏐+2⏐ = 23 + 2 = 5

+ + − ! ! (+5) + (−1) = +4

− + + ! ! (−6) + (+5) = −1⏐−6⏐ = 6 ⏐+5⏐ = 5

6 − 5 = 1

⏐+5⏐ = 5 ⏐−1⏐ = 15 − 1 = 4


OBJECTIU 2

FER OPERACIONS ARITMÈTIQUES AMB NOMBRES ENTERS1

(+3) + (+2) = +5

(+5) + (−1) = +4

Per dos nombres enters del , en sumem els valors absoluts i al resultat li posem el signedels sumands.

+1

F

+1

F

−1

F

Per dos nombres enters de , en restem els valors absoluts i al resultat li posem el signedel sumand amb el valor absolut més gran.

Per dos nombres enters li sumem al primer l’oposat del segon. A continuació, apliquem la regla de la suma de nombres enters.

… −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 …

… −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 …

a) (−3) + (−1) b) (+4) + (+4) c) (+5) + (−2) d) (−2) + (−5) e) (+4) + (−4)

+ − + = (+5) + (−2) = +3

op (+2) = −2 ! 5 − 2 = 3⏐+5⏐ = 5⏐−2⏐ = 2

− − − = (−6) + (+1) = −5

op (−1) = +1 ! 6 − 1 = 5⏐−6⏐ = 6⏐+1⏐ = 1

NOM: CURS: DATA:



1

Els nombres enters es poden combinar per mitjà de sumes i restes. Hem de tenir en compte una sèrie de regles:

• Quan el primer sumand és positiu l’escrivim sense signe.

• Quan eliminem els parèntesis, el signe que el precedeix afecta tots els nombres:– El signe + els signes de tots els nombres: +(−7 + 2 − 1 + 8) = −7 + 2 − 1 + 8.– El signe − els signes de tots els nombres: −(−7 + 2 − 1 + 8) = +7 − 2 + 1 − 8.

Podem operar de dues maneres:• Sumem per separat els enters positius i els enters negatius, i fem la resta entre tots dos.

• Fem les operacions en l’ordre en què apareixen.

Exemple: (+11) + (−2) = 11 − 2 = 9.

a) (+7) + (+1) = d) (+10) − (+2) =

b) (−15) + (−4) = e) (−11) − (−10) =

c) (+9) − (−5) = f) (−7) + (+1) =

a) 7 − 5 = d) −3 + 8 =

b) 11 − 4 + 5 = e) −1 + 8 + 9 =

c) −9 − 7 = f) −10 + 3 + 7 =

a) 5 − 7 + 19 − 20 + 4 − 3 + 10 =

b) −(8 + 9 − 11) =

c) 9 − 11 + 13 + 2 − 4 − 5 + 9 =

d) −(20 + 17) − 16 + 7 − 15 + 3 =

+ + + = 7 + 2 = 9

− + − = −4 − 1 = −5

Primera manera: + − + − + = −5 + 3 − 2 + 7 = −7 + 10 = +3Segona manera: + − + − + = −5 + 3 − 2 + 7 = −2 − 2 + 7 = −4 + 7 = +3

Primera manera: − − + − + = +5 − 3 + 2 − 7 = 7 − 10 = −3Segona manera: − − + − + = +5 − 3 + 2 − 7 = +2 + 2 − 7 = + 4 − 7 = −3



1

Per multiplicar dos nombres enters seguim aquests passos:1r En multipliquem els valors absoluts (en la pràctica, els nombre entre ells).2n Col·loquem al resultat el signe + si tots dos nombres tenen el , i el signe − si tenen

.

Per dividir dos nombres enters seguim aquests passos:1r En dividim els valors absoluts (en la pràctica, els nombres entre ells, sempre que la divisió sigui exacta).2n Col·loquem al resultat el signe + si tots dos tenen el , i el signe − si tenen

.

a) 8 − (4 − 7) =

b) −4 − (5 − 7) − (4 + 5) =

c) −(−1 − 2 − 3) − (5 − 5 + 4 + 6 + 8) =

d) (−1 + 2 − 9) − (5 − 5) − 4 + 5 =

e) (−1 − 9) − (5 − 4 + 6 + 8) − (8 − 7) =

f) −4 − (4 + 5) − (8 − 9) + 1 + 6 =

+ ⋅ − = − !− ⋅ + = − !− ⋅ − = + !+ ⋅ + = + ! 1r 5 ⋅ 3 = 15

2n +15, perquè són del mateix signe (positius).

1r 5 ⋅ 3 = 152n +15, perquè són del mateix signe (negatius).

1r 5 ⋅ 3 = 152n −15, perquè són de signe diferent (positiu i negatiu).

1r 5 ⋅ 3 = 152n −15, perquè són de signe diferent (positiu i negatiu).

+ − = − !− + = − !− − = + !+ + = + ! 1r 20 : 4 = 5

2n +5, perquè són del mateix signe (positius).

1r 20 : 4 = 52n +5, perquè són del mateix signe (negatius).

1r 20 : 4 = 52n −5, perquè són de signe diferent (positiu i negatiu).

1r 20 : 4 = 52n −5, perquè són de signe diferent (positiu i negatiu).



1

En les operacions de multiplicació i divisió de nombres enters, fem servir la .

a) (+7) ⋅ (+2) = d) (−5) ⋅ (+8) =

b) (+12) ⋅ (−3) = e) (−1) ⋅ (−1) =

c) (−10) ⋅ (+10) = f) (+5) ⋅ (+20) =

a) (+16) : (+2) = c) (−25) : (+5) = e) (+12) : (−3) =

b) (−8) : (−1) = d) (−100) : (+10) = f) (+45) : (+9) =

a) (+12) ⋅ (−3) = e) (−9) : (−3) = i) (+10) ⋅ (+4) =

b) (−20) : (−10) = f) (−100) : (+25) = j) (−9) ⋅ (+8) =

c) (+6) ⋅ (−6) = g) (−1) ⋅ (−18) = k) (+35) : (+5) =

d) (+80) : (−8) = h) (−77) : (−11) = l) (−12) ⋅ (+5) =

a) (+9) ⋅ ........ = −36 d) (−7) ⋅ ........ = +21 g) ........ ⋅ (−8 ) = −40

b) ........ ⋅ (+10) = −100 e) (−30) ⋅ ........ = +30 h) (+6) ⋅ ........ = 0

c) (+3) ⋅ ........ = −15 f) (−8) ⋅ ........ = +16 i) ........ ⋅ (−5 ) = +25

a) (+42) : ........ = −7 d) (−8) : ........ = +1 g) ........ : (−9 ) = +6

b) (−20) : ........ = −20 e) ........ : (−6) = +5 h) (+9) : ........ = −9

c) (+12) : ........ = −4 f) (−64) : ........ = +8 i) (−8) : ........ = −2

+ ⋅ + = +− ⋅ − = ++ ⋅ − = −− ⋅ + = −

+ + = +− − = ++ − = −− + = −



OBJECTIU 3

FER OPERACIONS AMB POTÈNCIES1

⋅ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 25 En la pràctica: 22 ⋅ 23 = 22+3 = 25.

2 = 21 (−3) = (−3)1 10 = 101 16 = 161 (−20) = (−20)1

En la pràctica: .22

2 25

35 3 2= =−2

2

5

3= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅= ⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅2 2 2 2 2

2 2 22 2 22 2 2

2 21

22

23

322 1 2 22 2= ⋅ =

Per multiplicar potències amb la mateixa base, deixem la mateixa base i sumem els exponents.

a) 22 ⋅ 24 ⋅ 23 = 22+4+3 = c) 52 ⋅ 53 = e) 64 ⋅ 6 ⋅ 63 ⋅ 62 =

b) (−4)4 ⋅ (−4)4 = d) (−5)5 ⋅ (−5)2 = f) (−10)3 ⋅ (−10)3 ⋅ (−10)4 =

Hi pot haver diverses solucions en cada cas

a) 22 ⋅ 2.... ⋅ 2.... = 26 d) 5.... ⋅ 5.... = 55 g) (−2)4 ⋅ (−2).... ⋅ (−2).... = (−2)8

b) 42 ⋅ 4.... ⋅ 4.... ⋅ 4.... = 47 e) (−7).... ⋅ (−7).... = (−7)5 h) 106 ⋅ 10.... ⋅ 10.... = 109

c) 3.... ⋅ 3.... ⋅ 3.... = 35 f) 10.... ⋅ 10.... = 105 i) 6.... ⋅ 6.... ⋅ 6.... = 66

55 2

4

5

3

4

52 ⋅ 53

(−6)6

29

(−10)6

49

Tot nombre el podem expressar com una potència amb exponent 1.

Per dividir potències amb la mateixa base, deixem la mateixa base i restem els exponents.

NOM: CURS: DATA:



a) c) e)

b) d) f)( )( )−−

=66

8

6

( )( )−−

=77

3( )( )−−

=44

6

2

55

5

3=4

4

4

3=3

33 3

6

26 2 4= =−

1

= 23 ⋅ 23 = 23+3 = 26 En la pràctica: [(2)3]2 = (2)3⋅2 = 26.

− = (−3)4 ⋅ (−3)4 ⋅ (−3)4 = (−3)4+4+4 = (−3)12 En la pràctica: [(−3)4]3 = (−3)4⋅3 = (−3)12.

Una potència d’exponent zero sempre val u.

22

2 23

33 3 0= =−

22

2 2 22 2 2

88

13

3= ⋅ ⋅

⋅ ⋅= =

=!(Hi pot haver diverses solucions en cada cas.)

a) c) e)

b) d) f)66

1....

....= =..........( )

( )−−

= =55

52....

..............10

10104

....

....= =..........

44

42....

....= =..........3

33 33

....

........= =2

22 25

....

........= =

Per elevar una potència a una altra, mantenim la mateixa base i en multipliquem els exponents.

a) [(4)5]2 = (4)5 ⋅ 2 = 4.... d) [(5)2]4 =

b) [(−3)3]3 = e) [(6)0]2 =

c) [(−8)2]3 = f) [(10)3]4 =

(Hi pot haver diverses solucions en cada cas.)

a) [2....].... = 28 c) [3....].... = 310 e) [(−5)....].... = (−5)6

b) [6....].... = 612 d) [4....].... = 1 f) [10....].... = 102



OBJECTIU 4

IDENTIFICAR ELS MÚLTIPLES I ELS DIVISORS D’UN NOMBRE1Els d’un nombre són aquells nombres que obtenim multiplicant aquest nombre per 1, 2, 3, 4, 5...,és a dir, pels nombres naturals.

Múltiples de 5 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ...F

×

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 10 15 20 25 30 35 40 45

...

...

a) Múltiples de 5 i més petits que 51.

b) Múltiples de 25 i més petits que 105.

c) Múltiples de 30 i que estiguin compresos entre 50 i 280.

d) Múltiples de 1.000 i que estiguin compresos entre 990 i 10.100.

Els d’un nombre són aquells enters que hi caben una quantitat exacta de vegades. Per trobar-los:1r Fem totes les divisions possibles (entre nombres més petits i igual que ell) prenent el

nombre com a dividend.2n Busquem les divisions que siguin exactes (residu = 0).

Calculem els divisors de 8.

• 1, 2, 4 i 8 ... són divisors de 8. Divideixen exactament 8.• 3, 5, 6 i 7 no són divisors de 8. No el divideixen exactament (residu ≠ 0).

8

8

8

4

8

2

3

2

8

2

8

3

5

1

8

2

6

1

8

1

7

1

8

1

3 ⋅ 1 = 3 rosquilles 13 ⋅ 2 = 6 rosquilles 13 ⋅ 3 = 9 rosquilles3 ⋅ 4 = 12 rosquilles 3 ⋅ 5 = 15 rosquilles 3 ⋅ 6 = 18 rosquilles

• Podem comprar 3, 6, 9, 12, 15, 18… rosquilles.

• 3, 6, 9, 12, 18... són múltiples de 3.

• Els múltiples d’un nombre el contenen una quantitat exacta de vegades: 1, 2, 3, 4, 5, 6... paquets de 3 unitats.

NOM: CURS: DATA:



1

DIVISORS DE 12

NO DIVISORS DE 12

a) Divisors de 2 = {1, 2, 3}

b) Divisors de 9 = {1, 2, 3, 4, 6, 9}

c) Divisors d’11 = {1, 3, 7, 9, 11}

d) Divisors de 25 = {1, 3, 5, 10, 15, 20, 25, 30}

e) Divisors de 48 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 16, 20, 24, 30, 45, 48}

f) Divisors de 100 = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 40, 50, 60, 75, 90, 100}

...................................................................................................

Qualsevol nombre té, almenys, dos divisors: ell mateix i la unitat.

36

060

1

36

36

160

18

36

060

12

36

0 9

36

0 6

36

0 4

36

0 3

36

0 2

i són dos conceptes estretament lligats. En una divisió exacta entre dos nombres hi ha una relació especial anomenada .

• 49 és múltiple de 7. • El nombre més gran és múltiple del més petit.• 7 és divisor de 49. • El nombre més petit és el divisor del més gran.

De la mateixa manera:

• 64 és múltiple de 4. • 35 és múltiple de 5.• 4 és divisor de 64. • 5 és divisor de 35.

49

0

7

7

64

240

4

16

35

0

5

7

a) 25 és ...................... de 5 c) 16 és ...................... de 8

b) 60 és ...................... de 120 d) 11 és ...................... de 33

36

0 1



En la pràctica ho fem així: i ho expressem:

Línia que actuacom a «finestra»de divisió

F

60 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5

Si recordem les potències, quedaria:

= ⋅ ⋅

60 queda, així, expressat com un productede factors primers.

60 2

30 2

15 3

5 5

1

OBJECTIU 5

DESCOMPONDRE EN FACTORS PRIMERS. EL m.c.m. I EL m.c.d.1• és aquell nombre que només té dos divisors, ell mateix i la unitat.

• és aquell nombre que té més de dos divisors.

Divisors de 5 = 1 i 5 5 és un nombre primer.Divisors de 8 = 1, 2, 4 i 8 8 és un nombre compost.

• Ja sabem que els nombres primers són: 2, 3, 5, 7, 11, 13...• Tots els nombres compostos els podem expressar com un producte d’altres que siguin primers,

i expressar-ne els divisors mitjançant la combinació d’aquests nombres, que anomenem .• Per fer la descomposició seguim aquests passos.

1r Intentar dividir el nombre entre 2, tantes vegades com es pugui.2n Després, intentar també dividir el nombre restant entre 3, tantes vegades com es pugui.3r Seguir provant de dividir el nombre restant entre 5, 7, 11... tantes vegades com es pugui,

fins a obtenir com a quocient 1.4t Expressar el nombre com un producte de potències de factors primers.

els que tenen més de dos divisors

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

• Els que queden sense ratllar són nombres ....................................• Només tenen .............. divisors, que són .........................................................................

els que tenen més de dos divisors

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

• Els que queden sense ratllar són nombres ....................................• Només tenen .............. divisors.

NOM: CURS: DATA:



1

24 2 30 2 45 3 60 212 2

6 23 31

24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3

24 = 23 ⋅ 3

• Calculem els divisors de tots dos nombres:– Divisors de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} En Joan pot fer grups iguals d’1, 2, 3, 4, 6

i 12 trens.– Divisors de 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} En Pere pot fer grups iguals d’1, 2, 3, 6, 9

i 18 avions.

• 1, 2, 3 i 6 són divisors comuns de 12 i 18.

• 6 és el divisor més gran (màxim) de 12 i 18 i és comú a tots dos nombres.

• 6 és el màxim comú divisor de 12 i 18 i l’expressem així: m.c.d. (12 i 18) = 6.

El grup més gran i amb el mateix nombre de joguines dels dos tipus estarà format per 6 trens i 6 avions.

a) 20 i 25 b) 16 i 24 c) 8 i 12 d) 8, 10 i 12


1r 24 2 36 212 2 18 26 2 9 33 3 3 31 1


1

a) 6 i 15 b) 15 i 20 c) 10 i 35 d) 25 i 50

Fins ara, el procés seguit per calcular el m.c.d. és adequat per a nombres senzills. Estudiarem un mètodemés directe i per a nombres de qualsevol mida. Seguirem aquests passos.

1r Descompondrem els nombres en factors primers.2n Expressarem els nombres com un producte de factors primers.3r Escollirem en tots dos nombres els que siguin i que tinguin l’4t El producte d’aquests factors és el m.c.d.

2n 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 23 ⋅ 3 3r Factors comuns: 2 i 336 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 22 ⋅ 32 Amb l’exponent més petit: 22 i 31

4t m.c.d. (24 i 36) = 22 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 = 12

60 i 40 2022 ⋅ 3 ⋅ 5

23 ⋅ 522 ⋅ 5

18 i 30

52

22 ⋅ 52



1

• L’Anna hi va els dies 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27... Són els múltiples de 3.• L’Eva hi va els dies 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32... Són els múltiples de 4.

• 12, 24... són els múltiples comuns de 3 i 4.• 12 és el múltiple més petit (mínim) de 3 i 4 i és comú a tots dos nombres.• 12 és el mínim comú múltiple de 3 i 4 i ho expressem així: m.c.m. (3 i 4) = 12.

L’Anna i l’Eva coincidiran en el poliesportiu cada 12 dies.

FF

a) 5 i 10 c) 4 i 6

b) 9 i 12 d) 8 i 20


1r 12 2 60 2

6 2 30 2

3 3 15 3

1 5 5

1


1

60 i 40 12022 ⋅ 3 ⋅ 5

23 ⋅ 523 ⋅ 3 ⋅ 5

18 i 30

22 ⋅ 3 ⋅ 5

23 ⋅ 52

a) 15 i 20 b) 8 i 12 c) 10 i 30 d) 9 i 15

Fins ara el procés utilitzat per calcular el m.c.m. és adequat per als nombres senzills. Estudiarem un mètode més directe i per a nombres de mida més gran.

1r Descompondrem els nombres en factors primers.2n Expressarem els nombres com un producte de factors primers.3r Escollirem en tots dos nombres els que siguin i que tinguin

l’ .4t El producte d’aquests dos factors és el m.c.m.

2n 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 22 ⋅ 3 3r Factors comuns: 2 i 360 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = Factors no comuns: 560 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 Amb l’exponent més gran: 22 ⋅ 3 ⋅ 5

4t m.c.m. (12 i 60) = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 = 4 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60



Fraccions2En aquesta unitat representem el concepte de fracciócom a resultat de diversos significats: com a part d’un tot o unitat, com a valor decimal (quocient) i com a operador (fracció d’una quantitat).

L’alumnat ja coneix la representació gràfica de lesfraccions i les operacions aritmètiques que s’hi fan. Es pretén, ara, aprofundir en aspectes més concrets,com el de fracció equivalent i els mètodesd’amplificació i simplificació (fracció més senzilla o irreductible). De la mateixa manera, la representaciógràfica de fraccions per mitjà de dibuixos del tipuspastís o regleta ajudarà els alumnes a comprendred’una manera més intuïtiva la comparació, l’ordre i la relació entre fraccions.

Les operacions de suma, resta, multiplicació i divisióde fraccions les plantegem inicialment amb casossenzills (el mateix denominador, en el cas de lessumes i restes).

• Una fracció és una expressió del tipus ,

en què a és el numerador i b és el denominador.

• Denominador: nombre de parts iguals en què es divideix la unitat. Numerador: nombre de partsiguals que prenem de la unitat.

• Una fracció es pot interpretar com a part de launitat, com a valor decimal i com a part d’unaquantitat.

• Les fraccions les representem per mitjà de dibuixosgeomètrics.

• Podem obtenir fraccions equivalents a una de donada: simplement multipliquem (amplifiquem)o dividim (simplifiquem) el numerador i el denominador pel mateix nombre.

• Podem fer operacions aritmètiques amb lesfraccions: sumar, restar, multiplicar i dividir, aixícom resoldre problemes de la vida real. És importanttenir en compte l’ordre de les operacions.

ab

Comprendre el conceptei els significats de les fraccions.

Identificar i entendre les fraccions equivalents.

Fer operacions de suma i resta de fraccions.

Fer operacions de multiplicació i divisió de fraccions.

• Concepte de fracció. Elements de les fraccions:numerador i denominador.

• Representació gràfica.• Lectura i significat

de les fraccions.

• Fracció equivalent.• Obtenció de fraccions

equivalents: amplificació i simplificació. Fraccióirreductible.

• Comparació de fraccions.

• Suma i resta de fraccions amb el mateix denominador.

• Suma i resta de fraccions amb denominador diferent.

• Multiplicació i divisió de fraccions.

• Producte i divisió d’un fraccióper un nombre.

• Identificació dels termes de les fraccions.

• Interpretació de les fraccions:representació gràfica i els seussignificats numèrics.

• Reconeixement de fraccionsequivalents.

• Obtenció de fraccions equivalents per mitjà de l’amplificació i la simplificació.

• Comparació de fraccions: comú denominador i gràficament.

• Suma i resta de fraccions amb el mateix denominador i amb denominador diferent.

• Operacions combinades.• Resolució de problemes.

• Multiplicació i divisió de fraccions per un nombre.

• Operacions combinades.• Resolució de problemes.



OBJECTIU 1

COMPRENDRE EL CONCEPTE I ELS SIGNIFICATS DE LES FRACCIONS2• Quan volem expressar certa quantitat d’alguna cosa incompleta, o parts d’un total,

i no la podem escriure amb els nombres i les expressions que coneixem fins ara, fem servir les .

• Exemples de frases en què fem servir les fraccions són: «Dóna’m la meitat de...», «Ens falta la quarta part del recorregut...», «Dues cinquenes parts de l’habitació es van inundar amb aigua...», «Els dos terços del barril estan buits...», «M’he gastat la tercera part de la paga...».

• Una fracció és una expressió matemàtica en què es distingeixen dos termes: i , separats per una línia horitzontal que anomenem .

Generalment, si a i b són dos nombres naturals (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...), una fracció l’escrivim:

Numerador

DenominadorFFa

bRatlla de

fracció , i són exemples de fraccions.12

49

23

nombre de porcions que es menja.nombre de porcions de la capsa.

– : nombre de parts iguals en què es divideix la unitat.– : nombre de parts que prenem de la unitat.– : partició, part de, entre, divisió o quocient.

F

FF

28

Si el denominador és més gran que 10, llegim el nombre seguit de la terminació -ens.

ho llegim «tres vuitens» ho llegim «sis novens» ho llegim «dotze vint-i-unens»1221

69

38

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...

Un Dos Tres Quatre Cinc Sis Set Vuit Nou ...

2

Mitjos

3

Terços

4

Quarts

5

Cinquens

6

Sisens

7

Setens

8

Vuitens

9

Novens

10

Desens

11

Onzens

12

Dotzens

13

Tretzens

14

Catorzens

15

Quinzens

...

...

20

Vintens

NOM: CURS: DATA:



2

Per dibuixar i/o representar gràficament les fraccions seguim aquests passos.

1r Triem el tipus de dibuix: cercle, rectangle, quadrat, triangle (normalment és una figura geomètrica).2n Dividim la figura en tantes parts iguals com ens indica el denominador.3r Pintem, marquem o assenyalem les parts que ens indica el numerador.

6

610

10

Quinze tretzens Dos cinquensOnze sisens

49

712

1216

1025

34

a) b) c)



2

a) Quatre quilos de peres en vuit bosses.b) Dotze litres de refresc de cola en vuit ampolles.c) Cinquanta litres d’aigua en cent cantimplores.d) Tres salsitxes per a quatre gossos.

a) c) e)

b) d) f)1520

510

1020

94

315

45

23

Quan dividim el numerador entre el denominador obtenim un nombre decimal, que és el valor numèric de la fracció.

• Li tocarien 3 taronges senceres a cada nen.• En sobra una, de manera que entre dos nens, toca mitja taronja (0,5) per a cadascun.

72

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

710

0

23,5

= 7 : 2 = 3,572

Hem de trobar el que val de 20, és a dir, una fracció d’una quantitat.

Ho podem fer de dues maneres:

a) Multipliquem la quantitat pel numerador i ho dividim entre el denominador.b) Dividim la quantitat entre el denominador i ho multipliquem pel numerador.

Ho comprovem: a) (20 ⋅ 2) : 5 = 40 : 5 = 8 litres és el que conté el bidó.b) (20 : 5) ⋅ 2 = 4 ⋅ 2 = 8 litres és el que conté el bidó.

25

de 2025



2OBJECTIU 2

IDENTIFICAR I ENTENDRE LES FRACCIONS EQUIVALENTS

• Equivalent és sinònim d’«igual», que té el mateix valor, o que representa la mateixa quantitat.

Així doncs, i són fraccions equivalents.

• Tenen el mateix valor: = 1 : 4 = 0,25 = 2 : 8 = 0,25

• Representen la mateixa quantitat:

• Generalment, per comprovar si dues fraccions són equivalents multipliquem en creu, i obtenim el mateix resultat.

1 ⋅ 8 = 4 ⋅ 2

8 8

28

14

28

14

28

14

28

14

(fes servir el criteri del valor numèric)

a) b)36

i9

1813

412

i

(fes servir la representació gràfica

a) b)12

i24

23

i46

a) c)

b) d)38

640

= =7

321

2= =

25 20

6= =2

816 12

= =

FF F F

NOM: CURS: DATA:



2• Si multipliquem o dividim el numerador i el denominador d’una fracció per un mateix nombre,

obtenim una fracció equivalent i el valor de la fracció no varia.

• multipliquem numerador i denominador per 3: 2 ⋅ 15 = 5 ⋅ 6

• dividim numerador i denominador entre 6: 18 ⋅ 2 = 12 ⋅ 3

– Si multipliquem, fem servir el terme .– Si dividim, fem servir el terme . Una fracció que no podem simplificar l’anomenem

.

32

1812

18 612 6

32

::

=1812

615

25

2 35 3

615

⋅⋅

=25

F F

F F

(multiplica el numerador i el denominador pel mateix nombre).

a) c)

b) d)32

= = = =25

= = = =

57

= = = =13

26

3 436

= = = = =

(divideix el numerador i el denominador entre el mateix nombre).

a) c)

b) d)3035

= =2030

= =

4816

24= =2040

1020

5= =

a) b)4

10711

a) Una fracció equivalent a que tingui 6 com a numerador.

b) Una fracció equivalent a que tingui 15 com a denominador.35

24

2030

12

84

79

FF

FF



2

Els passos que hem de seguir són:

1r Obtenir fraccions equivalents i trobar les que tenen el mateix denominador.

2n Comparar-ne els numeradors. La fracció que tingui el numerador més gran serà la més gran.

1r Jordi: Fraccions equivalents:

Araceli: Fraccions equivalents:

Lluc: Fraccions equivalents:

tenen el mateix denominador.

2n Ordenem les fraccions, de més gran a més petita, amb el símbol «més gran que», >.

En Lluc és qui ha enganxat més cromos, després, en Jordi i, per últim, l’Araceli.

912

812

612

34

23

12

> > > >→

812

,6

12i

912

34

68

912

126

= = = …,34

12

24

36

48

510

612

714

= = = = = = …,12

23

46

69

812

1015

= = = = …,23

<420

, 820

, 620

, 520

, 120

, 920

, 320

, 1020

.

a) A qui li toca la part més gran de l’herència?

b) A qui li toca la més petita?

16

712

14



OBJECTIU 3

FER OPERACIONS DE SUMA I RESTA DE FRACCIONS2

Per sumar i restar fraccions amb el mateix denominador, sumem o restem els numeradors i mantenim el mateix denominador.

78

28

7 28

58

− = − =

58

28

5 28

78

+ = + =

a) c) e)

b) d) f)411

611 11

5+ − =47

17

27

+ − =68

38

− =

313

413 13

9+ + =610

110

210

+ + =415

515

+ =

a) La fracció de cromos d’automòbils i d’avions.

b) La fracció de cromos de motos.

1650

2450

+ =

− =

a) Quants vuitens han menjat entre tots tres?b) L’Eva va arribar tard al berenar. Quant li’n van deixar?

58

28

78

58

28

78

a) c)

b) d)58

78

48

+ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =17

9129

109

− −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

1510

610

510

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ − =4

929

19

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + =

NOM: CURS: DATA:



2

Per sumar o restar fraccions amb denominador diferent, seguim aquests passos.

1r Busquem fraccions equivalents que tinguin el mateix denominador.2n Sumem o restem els numeradors i deixem el mateix denominador.

Equivalents a ! "Equivalents a

Observa que 12 és el nombre múltiple comú de 4 i 3 (m.c.m.).

Equivalents a ! "Equivalents a

Observa que 20 és el nombre múltiple comú de 5 i 4 (m.c.m.).

34

68

912

1216

= = = = …1520

75

34

2820

1520

28 1520

1320

− = − = − =

75

1410

2115

3525

= = = = …2820

23

46

69

1015

= = = = …812

14

23

312

812

3 812

1112

+ = + = + =

14

28

416

520

= = = = …312

14

23

+ =

75

34

− =

a) c) e)

b) d) f)25

37

13

+ − =13

27

+ =46

39

− =

24

34

43

+ + =79

46 18 18

− = − =35

24 20 20

+ = + =

(en operacions combinades, primer resolem els parèntesis)

a) c)

b) d)58

34

48

+ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =7

3129

109

− −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

45

110

510

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ − =2

345

115

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + =

a) Quina fracció de cervesa n’han tret entre tots dos?b) Qui ha tret més cervesa?



OBJECTIU 4

FER OPERACIONS DE MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ DE FRACCIONS2

a) c)

b) d)25

15

12

⋅ ⋅ =27

35

⋅ =

47

73

52

⋅ ⋅ =23

14

2 1⋅ = ⋅ =

a) c)

b) d)45

67

⋅ =53

47

⋅ =

13

38

⋅ =26

35

⋅ =

a) b)23

410

5⋅ ⋅ =23

6⋅ =

34

3 24 5

25

de = ⋅⋅

=

34

25

El producte de dues fraccions o més és una altra fracció el numerador de la qual és el producte dels numeradors, i el denominador és el producte dels denominadors (producte en paral·lel).

Per multiplicar una fracció per un nombre, multipliquem el nombre pel numerador de la fracció i deixem el mateix denominador (tot nombre està dividit per la unitat).

Sempre que sigui possible, simplifiquem el resultat: .620

6 220 2

310

= =::

25

34

⋅ = ⋅⋅

=2 35 4

620

25

4⋅ = ⋅ =25

41

85

NOM: CURS: DATA:


FF Sempre que sigui possible, simplifiquem el resultat:1210

12 210 2

65

= =::

.45

: 23

= ⋅⋅

=4 35 2

1210


2

34

534

5 3 14

3: := = ⋅

⋅=F5

134

(si pots, simplifica)

a) c)

b) d) ⋅ = =27

1421

⋅ = = =410

2420

13

19

⋅ =58

2056

⋅ = = =

a) d)

b) e)

c) f)53

53

: =15

36

: =

46

37

: =73

12

: =

46

25

: =36

812

3 126 8

: = ⋅⋅

= =

La divisió de dues fraccions és una altra fracció el numerador i el denominador de la qual és el productecreuat dels termes de les fraccions donades (producte en creu).

: 5 =

a) c) e)

b) d) f)63

3: =27

36

: =36

2: =

25

2: =36

27

: =23

812

2 123 8

: = ⋅⋅

= =

34

320



2

(Simplifica, si es pot, el resultat)

(si pots, simplifica)

a) d)

b) e)

c) f) 5357

: = =: 41012

= =

:26

3610

= =:43

1220

= =

43

86

: = =58

158

: =

(Recorda l’ordre de les operacions: parèntesis, multiplicacions i/o divisions, sumes i/o restes.)

a)

b)

c)73

15

23

13

43

12

:⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ − ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

54

34

23

13

⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =:

54

34

37

27

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

25 litres

3/4litre

1/4litre



Nombres decimals3En aquesta unitat estudiem el sistema de numeraciódecimal, i introduïm les denominacions de la partdecimal: dècim, centèsim i mil·lèsim, i la sevaequivalència respecte a la unitat i les equivalènciesque s’estableixen entre elles.

També podem ordenar i col·locar els nombresdecimals en la recta numèrica, buscar valorsintermedis entre diversos valors donats i comparar-los.

A partir de la relació entre les fraccions i els seusvalors numèrics, introduïm els conceptes de nombresdecimals exactes, inexactes i periòdics.

• Podem representar i ordenar nombres decimals en la recta numèrica.

• Per comparar dos nombres decimals o més, primeren comparem la part entera i després la partdecimal de manera progressiva.

• Podem aproximar un nombre decimal a les unitats,als dècims, als centèsims...

• Per obtenir l’expressió decimal d’una fracció,dividim el numerador entre el denominador.

• Podem fer operacions de suma, resta, multiplicació i divisió de nombres decimals.

Comprendre el conceptede nombre decimal.

Comprendre la relacióentre fracció i nombredecimal.

Fer operacions amb nombres decimals.

• Significat dels nombresdecimals.

• Representació en la rectanumèrica.

• Ordre i comparació.• Aproximació de nombres

decimals.

• Tipus de nombres decimals:exactes i periòdics.

• Pas d’un nombre decimalexacte a fracció. Fraccióirreductible.

• Suma i resta de nombresdecimals.

• Multiplicació i divisió de nombres decimals.

• Multiplicació i divisió de nombres decimals per la unitat seguida de zeros.

• Identificació de nombres decimals.• Comparació i ordenació de nombres

decimals, numèricament i gràficament.

• Aproximació de nombres decimals.

• Obtenció de nombres decimals a partir d’una fracció.

• Conversió d’un nombre decimal a fracció.

• Resolució de problemes mitjançantoperacions aritmètiques amb nombres decimals.



OBJECTIU 1

COMPRENDRE EL CONCEPTE DE NOMBRE DECIMAL3

• En la nostra vida diària mesurem, calculem, comparem, etc. Parlem de quantitats que no són exactes. Per expressar-les correctament, fem servir els nombres decimals.

• Exemples: 3,60 €; 2,5 kg de pomes; 78,9 km de distància; 0,7 m d’altura.• El nostre sistema de numeració és : cada 10 unitats d’un ordre formen una unitat de l’ordre

superior.

= = = = = == = = =

= =

1 unitat1 U

1 dècim0,1 unitats

1 centèsim0,01 unitats

1 mil·lèsim0,001 unitats

3,156 3 U + 1 d + 5 c + 6 m 3 unitats, 1 dècim, 5 centèsims, 6 mil·lèsims

0,28

152,72

3,156 3 U + 156 m 3 unitats i 156 mil·lèsims

0,28

152,72

a) 15 centèsims = .................. = .................. mil·lèsims

b) 9 dècims = .................. = .................. centèsims

c) 200 centèsims = .................. = .................. mil·lèsims

d) 300 mil·lèsims = .................. = .................. dècims

e) 100 centèsims = .................. = .................. unitats

0,15 u

NOM: CURS: DATA:



3

a) Vint-i-quatre unitats trenta-cinc centèsims.

b) Deu unitats dos-cents mil·lèsims.

c) Vuitanta-dos centèsims.

d) Dues-centes noranta-una unitats cinc-cents cinquanta-vuit mil·lèsims.

e) Cent trenta-sis mil·lèsims.

f) Quatre-centes unitats dinou mil·lèsims.

2 4 3 5

• Els nombres decimals els podem representar sobre la recta numèrica.

• El nombre 2,6 està comprès entre el 2 i el 3.

• El nombre 2,66 està comprès entre el 2,6 i el 2,7.

• El nombre 2,663 està comprès entre el 2,66 i el 2,67.

• Entre dos nombres decimals sempre podem trobar altres nombres decimals.

2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,7 2,8 2,9

2,61 2,62 2,63 2,64 2,65 2,67 2,68 2,69

2,661 2,662 2,664 2,665 2,666 2,667 2,668 2,669

Si dividim una unitat en 10 parts iguals, cada partés un .

Si dividim un dècim en deu parts iguals, cadapart és un .

Si dividim un centèsim en 10 parts iguals, cada partés un .

a) 3,5 b) 3,1 c) 3,8 d) 3,9 e) 3,3

3 4



3a) 0,5 - 1 - 1,5 - .......... - .......... - .......... - ..........b) 4,37 - 4,40 - 4,43 - .......... - .......... - .......... - ..........c) 5,15 - 5,20 - 5,25 - .......... - .......... - .......... - ..........d) 8,28 - 8,23 - 8,18 - .......... - .......... - .......... - ..........

a) 5,45 i 5,46 c) 0,13 i 0,14

b) 1,8 i 2,5 d) 7,3 i 7,9

Per comparar nombres decimals, seguim aquests passos.

1r En comparem la part entera. El més gran és el nombre que té la part entera més gran.2n En comparem la part decimal. Si la part entera és igual, comparem els dècims, els centèsims,

els mil·lèsims, i el més gran serà el nombre amb la part decimal més gran, xifra a xifra.

Més gran que > Més petit que <

5,45 5,46 0,13 0,14

1,8 2,5 7,3 7,9

> perquè: 4 > 3 (part entera) > perquè: 8 = 8 (part entera)3 = 3 (dècims)7 > 4 (centèsims)


El resultat és 5, ja que 5,3 és més a prop de 5 que de 6.

Els resultat és 1,7, ja que 1,67 és més a prop d’1,7 que d’1,6.


3

• Aproximar un nombre decimal és considerar el nombre que li és més pròxim.• Per aproximar un nombre en suprimim les xifres situades a la dreta. Si la xifra eliminada

és més gran que 5, a l’última xifra li sumem u.• Podem aproximar a les unitats, a les dècimes, a les centèsimes...

5,1 5,2 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9

1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,68 1,69

5, 3 < 5 5,3 s’aproxima més a 5.

1,6 7 > 5 1,67 s’aproxima més a 1,7.

F

F

FF

F F

a) Les unitats b) Els dècims c) Els centèsims

34,21

17,81

10,61

13,71

12,52

10,56

17,24

10,68

13,47

12,92



OBJECTIU 2

COMPRENDRE LA RELACIÓ ENTRE FRACCIÓ I NOMBRE DECIMAL3

En una fracció, quan dividim el numerador entre el denominador obtenim un nombre decimals.

• Si el , el nombre decimal és .

= 0,6 = 4,5 = 1,2

• Si el , obtenim un nombre amb infinites xifres decimals.

Un nombre té infinites xifres decimals que es repeteixen sempre.

= 0,33333... = 1,09090909...

Un arc petit)

sobre aquestes xifres decimals indica les xifres que es repeteixen periòdicament.0,)3 = 0,33333... 1,

)09 = 1,09090909...

1211

13

1210

92

35

1512

113

714

999

4,55555... 4,)5 4 5

)

2,343434...

1,187187...

11,66666...

91,878787...

)

a) 4,807807807... c) 4,78787878...

b) 4,87878787... d) 47,87878787...

NOM: CURS: DATA:



3

Un nombre decimal el podem expressar com una fracció.Per fer-ho, col·loquem el nombre sense la coma en el numerador, i en el denominador posem la quantitatseguida de tants zeros com xifres hi hagi a la dreta de la coma.

a) 5,6 = c) 3,8 = e) 0,2 =

b) 10,86 = d) 3,875 = f) 0,034 =

a) 3,16 = d) 2,8 =

b) 0,66 = e) 11,22 =

c) 9,125 = f) 0,014 =

a) d) 12,84 =

b) 0,006 = e)

c) 3,004 = f)7

100=

521 000.

=

4310

=

316100

316 2100 2

15850

158 250 2

7925

= = = =::

::

5610

0,4 = 15,26 =

Podem fins a obtenir la fracció més simple possible, anomenada .

Per trobar la fracció irreductible dividim el numerador i el denominador entre el mateix nombre.

0,4 = 15,26 =1 526100

1 526 2100 2

76350

. . ::

= =410

4 210 2

25

= =::

1 526100.4

10


+ + + −


OBJECTIU 3

FER OPERACIONS AMB NOMBRES DECIMALS3

Per o nombres decimals procedim de la manera següent.1r Col·loquem tots els sumands en columna, fent coincidir les parts enteres i les parts decimals de cada

nombre: centenes amb centenes, desenes amb desenes, unitats amb unitats, comes amb comes,dècims amb dècims, centèsims amb centèsims, mil·lèsims amb mil·lèsims, etc.

2n Els sumem o restem com si fossin nombres naturals i mantenim la coma al lloc corresponent.

4 , 7

1 3 , 5 6

2 7 , 0 3

+ 9 , 2

5 4 , 4 9

Normalment, afegimzeros perquè totes lesxifres tinguin el mateixnombre de decimals.

Normalment, afegimzeros perquè totes lesxifres tinguin el mateixnombre de decimals.F

F 3 5 , 7 8

− 1 7 , 6

1 8 , 1 8

F

a) 12,34 + 4,87 + 55,97 = d) 1,04 + 0,31 + 51,06 =

b) 109,3 + 81,72 + 66,35 = e) 77,01 + 44 + 19,58 =

c) (2,46 + 39,55) − (11 + 3,82) = f) (49,72 − 34,07) + (15 + 23,69) =

a) 78,31 − 45,59 = c) 11,07 − 9,5 =

b) 123,8 − 77,94 = d) 76 − 39,25 =

NOM: CURS: DATA:



3

a) La longitud de tanca que han pintat entre tots dos.

b) La longitud de tanca que els falta pintar.

€

€ €

€ €

a) Els diners que s’ha gastat en total.

b) Li han sobrat diners? Si és que sí, digues quina quantitat.

c) La Maria té estalviats 6,75 €. Si suma els estalvis amb el que li ha sobrat, es podrà comprar un CD que costa 12,40 €?

a) 5,67 ⋅ 2,9 = c) 13,8 ⋅ 45,73 =

b) 39,412 ⋅ 3,4 = d) 92 ⋅ 4,68 =

Per dos nombres decimals seguim aquests passos.

1r Els multipliquem com si fossin nombres naturals.2n Col·loquem la coma, separant de dreta a esquerra en el resultat tantes posicions com

decimals tinguin entre tots dos factors.

5 ,

! 2 ,

3 1 0 8

1 0 3 6 5

1 3,

2 3 ,

! 8 1 ,

1 6 4 5

2 3 5 5

1 8 8 0 5 5

1 9 1 9,



3€

– 2,5 quilograms de taronges que costen 0,70 €/kg. – 2 barres de pa a 0,30 €/barra.– 0,9 quilograms de kiwis que valen 1,50 €/kg. – 5 llaunes de refresc de cola a 0,34 €/llauna.– 4 cartrons de llet a 0,65 €/cartró. – 3 paquets de detergent a 2,13 €/paquet.

⋅ =

a) 45,8 ⋅ 69 = 3 1 6 0 2 d) 4,58 ⋅ 6,9 = 3 1 6 0 2

b) 45,8 ⋅ 0,69 = 3 1 6 0 2 e) 0,458 ⋅ 6,9 = 3 1 6 0 2

c) 4,58 ⋅ 0,69 = 3 1 6 0 2 f) 458 ⋅ 6,9 = 3 1 6 0 2

a) 5,8 ⋅ 10 = c) 0,46 ⋅ 100 = e) 59,3 ⋅ 1.000 =

b) 1,4 ⋅ 1.000 = d) 46,301 ⋅ 100 = f) 2,73 ⋅ 10 =

a) 23,2 ⋅ .................. = 23.200 d) 14,85 ⋅ .................... = 148,5

b) 0,51 ⋅ .................. = 51 e) 0,812 ⋅ .................... = 81.200

c) 0,9 ⋅ ................... = 900 f) 8,2946 ⋅ .................. = 8.294,6

a) (12,46 + 3,6) ⋅ (6,7 − 2,8) = c) (4,76 ⋅ 23,4) + (19,37 − 16,03) =

b) 3,5 ⋅ (45,76 − 38,72) = d) 3,4 ⋅ (35,92 + 53) =

Un cas especial en la multiplicació de nombres decimals és , és a dir, per 10, 100, 1.000...

Per fer-ho, desplacem la coma a la dreta tants llocs com zeros tingui la unitat: 1, 2, 3...

5 8 , 0 4 2 ⋅ 1 = 5 . 8 2

9 1 , 5 8 ⋅ 1 . = 9 1 .



3

1r Si la , el residu és zero, r = 0. (Recorda que D = d · q + r)2n Si la , el residu és diferent de zero i més petit que el divisor, r ≠ 0 i r ! d.3r Podem seguir dividint afegint un zero al residu i posant una coma decimal en el quocient,

fins a obtenir una divisió amb residu zero o aproximar amb una, dues, tres o més xifres decimals.

N’hi ha tres casos:1r Dividim com si fos una divisió normal, però quan baixem

la primera xifra decimal posem la coma en el quocient.2n Suprimim la coma del divisor i afegim tants zeros

al dividend com xifres decimals tingui el divisor.3r Suprimim la coma del divisor i desplacem la coma del

dividend tants llocs a la dreta com xifres decimals tingui el divisor. Si és necessari, afegim zeros al dividend.

2 7 7 3

4 1 3

5 9

4 7

2 6 5

0

5 0

5

2 6 5

0 1 51 0

5 0

5 , 3

F

F

F

F

9 , 6

1 , 6

2

4 , 8

1 , 2 8 0 , 2

4 4 1 3 , 6

1 2 8

1 0 8

1 0 0

2 0

6 , 4

3 6

1 2 2 , 5

4 4 1

0 8 1

0 0 9

0 0 1 8

0 0 0 0

F

FF

a) 56,4 : 12 = d) 152 : 2,5 =

b) 7.875 : 63 = e) 7,14 : 0,6 =

c) 1.158 : 20 = f) 25,8 : 2,4 =



3a) 10 : 6 = c) 25 : 3 =

b) 99 : 44 = d) 17,4 : 3,1 =

Un cas especial de la divisió de nombres decimals consisteix a , és a dir, entre 10, 100, 1.000...Per fer-ho, desplacem la coma a l’esquerra tants llocs com zeros tingui la unitat: 1, 2, 3...

a) 45,8 : 10 = c) 13,45 : 100 = e) 5.917,36 : 1.000 =

b) 92.345,4 : 1.000 = d) 0,51 : 10 = f) 238 : 10 =

a) 432,64 : .................. = 4,3264 d) 39 : .................. = 0,39

b) 11,46 : .................. = 1,146 e) 100 : .................. = 0,1

c) 34.800 : .................. = 34,8 f) 294,6 : .................. = 2,946

€

€

9 5 8 , 3 : 1 = 9 3

3 2 , 7 : 1 = 0 7

1 , 9 : 1 = 0 9



Sistema sexagesimal4Introduïm a continuació un nou sistema de numeració,el sistema sexagesimal (sexagèsim-60). Partint delsconeixements de la mesura dels angles i,especialment, de les unitats de temps (hora, minut i segon), expliquem als alumnes un nou sistema de comptar i de mesurar.

A més, conèixer les equivalències i convertir les unitats de temps en situacions quotidianes ajudarà a la valoració del temps en la vida diària dels alumnes.

Per mitjà de la resolució de problemes i la realitzacióde diverses operacions aritmètiques en el sistemasexagesimal, els alumnes aprendran a estimar el temps pel que fa a la seva quantitat i durada,aplicant els algoritmes necessaris per resoldreproblemes reals.

• En el sistema sexagesimal, 60 unitats d’un ordreformen una unitat de l’ordre superior. Aquestsistema serveix per mesurar els angles i temps.

• El grau és la unitat principal per mesurar angles. Per mesurar angles amb més precisió, fem servir el grau, el minut i el segon.1º = 60’ 1’ = 60” 1º = 3.600”

• Per mesurar períodes de temps més petits que el dia fem servir l’hora, el minut i el segon.1 h = 60 min 1 min = 60 s 1 h = 3.600 s

• En el sistema sexagesimal podem fer operacionsde suma, resta, multiplicació i divisió, així comresoldre problemes de la vida real. És importanttenir en compte l’ordre de les operacions,l’agrupament de les xifres i les conversionsnecessàries dins del sistema sexagesimal.

Fer servir el sistemasexagesimal per mesurar angles i temps.

Fer operacions de sumai resta en el sistemasexagesimal.

Fer multiplicacions i divisions per un nombre.

• Unitats de mesura d’angles: grau, minut i segon.

• Unitats de mesura de temps:hora, minut i segon.

• Expressions complexes i incomplexes.

• Operacions de suma i resta de mesures d’angles i temps.

• Operacions de multiplicació i divisió per un nombre de mesures d’angles i temps en el sistema sexagesimal.

• Identificació i aplicació de les equivalències entre unitats de mesura d’angles i temps.

• Pas d’expressions complexes a incomplexes, i viceversa.

• Resolució de problemes.

• Ús de les tècniques adequades per a la realització d’operacions.


• Ús de les tècniques adequades per a la realització d’operacions.




OBJECTIU 1

UTILITZAR EL SISTEMA SEXAGESIMAL PER MESURAR ANGLES I TEMPS4• fa referència a cadascuna de les en què es divideix un total.• és un terme que apliquem al sistema de comptar o de subdividir de .

En el , 60 unitats d’un ordre formen una unitat d’ordre superior. Aquest sistema serveix per mesurar els angles i els temps.

• El és la unitat principal per mesurar angles.• Per mesurar angles amb més precisió, fem servir,

juntament amb els graus, el i el .

Un grau l’escrivim . =Un minut l’escrivim . =Un segon l’escrivim . = (60 ⋅ 60)

• Els babilonis van dividir l’angle complet en 360º.• Un angle pla fa 180º. Un angle recte fa 90º.• Actualment, per mesurar els angles, fem servir el transportador.

15

60

100

278

360

15 ⋅ 60 = 15 ⋅ 3.600 =

600

120

32.400

33.600

61.200

grau minut segon

F F

F

grau minut segon

F F

F

⋅ 60 ⋅ 60

⋅ 3.600

: 60 : 60

: 3.600

NOM: CURS: DATA:



4

a) 60° b) 40° c) 90° d) 150°

18° 39’ 43”

31° 9’ 22”

• Les unitats per mesurar el temps són: mil·lenni (1.000 anys), segle (100 anys), lustre (5 anys), any, mes,setmana, dia, hora, minut i segon.

• Per mesurar períodes de temps més petits que el dia fem servir l’ , el i el .

Una hora l’escrivim . =Un minut l’escrivim . =Un segon l’escrivim . = (60 ⋅ 60)

• Recorda, també, que:– Una setmana té 7 dies.– Un dia té 24 hores.

hora minut segon

F F

FF

F

F

⋅ 60 ⋅ 60

⋅ 3.600

: 60 : 60

: 3.600

7

9

16

24

72

7 ⋅ 60 = 420 7 ⋅ 3.600 =


Una mesura de temps la podem expressar de dues maneres:• De manera , fent servir .

1 h 35 min 10 s; 50 min 26 s• De manera , fent servir .

3.790 s; 2 h; 48 min

Per passar una mesura d’una manera a una altra, en el sistema sexagesimal, procedim així:

• : formem grups iguals de la unitat que se’ns demana multiplicant per 60.

2 h = 2 ⋅ 60 ⋅ 60 = 7.200 s50 min = 50 ⋅ 60 = 3.000 s15 s 15 s

10.215 s

• : dividim successivament la mesura i els quocients successius entre 60.

1 0 2 1 5 6 04 2 1 1 7 0 6 0

0


4

30

600

60

120

10.800

43.200

a) 3 h i 45 min c) 2 h i 20 min

b) Un quart d’hora d) 1 h i 23 min

F 2 h 50 min 15 s = 10.215 s

10.215 s = 2 h 50 min 15 s



4

a) 3 h 19 min 26 s c) 1 h 42 min 33 s

b) 4 h 58 min 40 s d) 59 min 59 s

a) 2.300 s c) 6.400 s

b) 4.042 s d) 16.579 s

a) 150 minuts c) 240 minuts

b) 300 minuts d) 1 dia, 3 hores i 30 minuts

a) Quantes ampolles es poden omplir en 20 minuts?

b) I en tres quarts d’hora?

a) Quants minuts hi ha en un dia?

b) I quantes hores hi ha en una setmana?


+


OBJECTIU 2

FER OPERACIONS DE SUMA I RESTA EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL4Per , col·loquem els sumands agrupats: hores amb hores o graus amb graus, minuts amb minuts i segons amb segons.

Quan fem operacions hem de tenir en compte els passos següents:

1r Si els segons sobrepassen 60, els transformem en minuts.2n Si els minuts sobrepassen 60, els transformem en hores o en graus.3r Sumem.

74” = 60” + 14” = + 14”

64’ = 60’ + 4’ = + 4’ 4° 25’ 45” + 15° 38’ 29” = 20° 4’ 14”

19° 4’ 14”

+

20° 4’ 14”19° 63’ 14”

+

19° 64’ 14”

4° 25’ 45”

+ 15° 38’ 29”

19° 63’ 74”

G

F

G G

G

F

G F

a) 15° 22’ 30” + 8° 27’ 41” c) 1° 44’ 11” + 5° 16’ 9”

b) 50’ 43” + 13’ 10” d) 2° 7’ + 17° 49’ 54”

NOM: CURS: DATA:


−


4

Per col·loquem el minuend i el subtrahend fent coincidir hores amb hores, graus amb graus, minuts amb minuts i segons amb segons.

Quan operem hem de tenir en compte aquests passos:

1r Si alguna dada del minuend és més petita que la del subtrahend, transformem una unitat d’ordre superior en la unitat corresponent (1 grau o 1 hora són 60 minuts; 1 minut són 60 segons).

2n Restem.

Com que 10 és més petit que 34, passem 1 minut a la columna dels segons 23’ = 22’ + 1’.

1’ = 60”, i ho sumem a 10’’.

Com que 22 és més petit que 25, passem 1 grau a la columna dels minuts.

3° = 2° + 1°

1° = 60’, i ho sumem a 22’.

3°

− 1° 25’ 34”

3° 23’ 10”

− 1° 25’ 34”

70”

− 1° 25’ 34”

1° 57’ 36”

3°

− 1° 25’ 34”

a) 4° 11’ 17” − 1° 16’ 32” c) 11° 44’ 11” − 5° 16’ 39”

b) 50’ 43” − 3’ 50” d) 12° 7’ 55” − 7° 49’ 54”

a) Quant temps ha estat connectat en total?

b) I quant temps més ha estat connectat a la tarda que al matí?

Resta final

F


⋅


OBJECTIU 3

FER MULTIPLICACIONS I DIVISIONS PER UN NOMBRE4

a) (14° 21’ 7”) ⋅ 5 c) (9° 30’ 10”) ⋅ 5

b) (50’ 43”) ⋅ 6 d) (2° 7’ 55”) ⋅ 12

Per per un nombre natural procedim així:

1r Multipliquem cada unitat pel nombre natural.2n Fem les conversions i agrupaments necessaris (1 grau o una hora són 60 minuts; 1 minut

són 60 segons).

76” = 60” + 16” = + 16”

85’ = 60’ + 25’ = + 25’

(23° 21’ 19”) ⋅ 4 = 93° 25’ 16”

23°

× 4°

92°

21’

× 4’

84’

19”

× 4”

76”

85’

G

F

G

F

F

F

NOM: CURS: DATA:


Quocient: 28° 31’ 43”

Residu: 1”


4

Per entre un nombre natural procedim així:

1r Dividim els graus (o hores) entre el nombre natural.2n El residu de graus (o hores) el passem a minuts i els afegim als que hi ha.

Dividim els minuts entre el nombre natural.3r El residu de minuts el passem a segons i els afegim als que hi ha.

Dividim els segons entre el nombre natural.• Intenta deixar prou espai perquè els quocients de les diverses unitats es vegin clarament.

• Recorda: Dividend = Divisor · Quocient + Residu.

120”

130”

10”

85°

25

1° ⋅ 60 =

35’

60’

95’

05

2’ ⋅ 60 =

10” 3



4a) (44° 21’ 37”) : 5 c) (39° 3’ 40”) : 3

b) (50’ 43”) : 6 d) (42° 17’ 55”) : 12

a) El temps total que passeja en els 10 dies.

b) El temps que tarda diàriament entre aturada i aturada.



Expressions algebraiques5El llenguatge algebraic serveix per expressar situacionsrelacionades amb la vida quotidiana, fent servir lletres i nombres de manera combinada.

Aquestes operacions, al principi, s’han de fer pas a pas, però després s’agilitzaran i simplificaran les diferents fases de resolució d’equacions.

L’estudi de les expressions algebraiques fomentarà en els alumnes l’agilitat en les operacions aritmètiquesamb nombres naturals i enters, així com l’ús de lestècniques de resolució per tempteig, assaig-error i específiques, com la transposició i reducció de termes.

• El llenguatge algebraic fa servir lletres en combinació amb nombres i signes. La part de les matemàtiques que estudia la relació entrenombres, lletres i signes l’anomenem àlgebra.

• Una expressió algebraica és el conjunt de nombresi lletres que combinem amb els signes de les operacions matemàtiques.

• Podem trobar el valor numèric d’una expressióalgebraica substituint les lletres per nombres i fentles operacions.

• Els monomis són les expressions algebraiques méssenzilles. Estan formats per nombres (coeficients) i lletres (part literal).

• Un polinomi és una expressió algebraica formadaper dos o més monomis. Podem sumar, restar,multiplicar i dividir monomis.

Expressar de maneraalgebraica certessituacions.

Distingir monomis i fer-hi operacions.

Identificar polinomis i fer-hi operacions.

Aplicar les igualtatsnotables.

• Llenguatge numèric i algebraic.• Expressió algebraica.• Valor numèric.

• Monomis semblants.• Operacions amb monomis:

suma, resta, multiplicació i divisió.

• Operacions amb polinomis:suma, resta, multiplicació i divisió.

• Extreure factor comú.

• Quadrat d’una suma.• Quadrat d’una diferència.• Suma per diferència.

• Traducció al llenguatge algebraic de certes situacions.

• Obtenció del valor numèric d’una expressió.

• Resolució d’operacions de suma i resta de monomis semblants.

• Multiplicació i divisió de dos monomis.

• Resolució d’operacions de suma, resta i multiplicació de polinomis.

• Extracció del factor comú d’un polinomi.

• Aplicació de les igualtats notables persimplificar l’expressió d’algunspolinomis.



a) La meitat d’un nombre. (m + n)2

b) El triple d’un nombre menys cinc unitats. n − 1

c) El nombre anterior a un nombre enter. 2 ⋅ (a + b + c)

d) El nombre posterior a un nombre enter. x + 1

e) El quadrat de la suma de dos nombres.

f) El doble de la suma de tres nombres. 3 ⋅ b − 5

m2

OBJECTIU 1

EXPRESSAR DE FORMA ALGEBRAICA CERTES SITUACIONS5

• El llenguatge en què intervenen nombres i signes d’operacions l’anomenem .• El llenguatge que combina lletres amb nombres i signes d’operacions aritmètiques l’anomenem

.

Catorze dividit entre set 14 : 7

Dos elevat al quadrat 22

La tercera part de 18

La suma de dos nombres a + b

Un nombre menys 3 unitats y − 3

El quadrat d’un nombre b2

La meitat d’un nombrex2

183

La suma d’onze més nou és vint

Cent dividit entre vint

La quarta part de vint és cinc

Dos elevat al cub és vuit

32 : 8

3 ⋅ 4

NOM: CURS: DATA:



a) El doble d’un nombre b.

b) El doble de la suma de dos nombres m i n.

c) El quadrat d’un nombre x més 4 unitats.

d) El producte de tres nombres a, b i c.

e) El doble d’un nombre y més 3 unitats.

a) El doble d’un nombre més dues unitats. x − 5

b) Un nombre disminuït en cinc unitats.

c) La tercera part d’un nombre. 2 ⋅ x + 2

d) El cub d’un nombre. x + 10

e) El doble d’un nombre. 2x

f) Un nombre augmentat en deu unitats. x 3

g) La diferència de dos nombres. x + 1

h) El nombre següent a un nombre enter. x − y

x

x3

5

Una és un conjunt de nombres i lletres units amb els signes de les operacionsmatemàtiques.

La suma de dos nombres menys dos x + y − 2

El triple d’un nombre més cinc 3 ⋅ x + 5

El quadrat d’un nombre més una unitat x 2 + 1

Quants anys tenia l’any passat

Quants anys tindrà d’aquí a un any

L’edat que tenia fa 5 anys

L’edat que tindrà d’aquí a 5 anys

Els anys que falten perquè en tingui 70



a) n + 1 ⎯⎯⎯→

b) a + b ⎯⎯⎯→

c) ⎯⎯⎯⎯→

d) 2 ⋅ (m − n) →

e) x3 − 1 ⎯⎯→

f) 2 ⋅ x + 1 ⎯⎯→

b2

x +

5

El d’una expressió algebraica és el nombre que obtenim quan substituïm les lletres per nombres i fem les operacions que s’hi indiquen.

x + x =

Substituïm x per 1 en l’expressió algebraica i fem les operacions:

x = 1 → 3 ⋅ 1 + 2 = 3 + 2 = 5

El valor numèric de 3x + 2, per a x = 1 és 5.

x = 0

x = 2

x = −1

x = −2

2 ⋅ (0) + 1 2 ⋅ 0 + 1 = 0 + 1 1

x + y

x = 1 y = 0 1 + 0 = 1

x − y

2 ⋅ 1 − 3 ⋅ 0 =

x + y

(1 + 0)2 = (1)2 =

x = −1 y = 2

x = 1 y = −2

x = −2 y = 3

x = −1 y = −1



a) −5x2 ⎯→ Grau = d) zx2 ⎯→ Grau =

b) 7x2y ⎯→ Grau = e) −yx → Grau =

c) → Grau = f) −x ⎯→ Grau =23

5a b

5OBJECTIU 2

DISTINGIR MONOMIS I FER-HI OPERACIONS

Un és una expressió algebraica formada per productes de nombres i lletres. Els nombres els denominem , i les lletres amb els seus exponents, .

El és el nombre que resulta de sumar tots els exponents de la seva part literal.

3x −5ab −5x3 35

x

x ab x3 x

3 −5 −535

x 1 x

−3xy −3

−5xy2

13

2x y

23

2a b

−2xyz

−3b2c

− 57

2xyz

−3x

4a2y

−5x2y 3

1

3

5

L’exponent de x és 1 (x 1)

La suma dels exponents de a2y 1 és 2 + 1 = 3

La suma dels exponents de x2y 3 és 2 + 3 = 5



5

• La només la podem fer quan els monomis són semblants.

• Per sumar o restar monomis semblants sumem o restem els coeficients i deixem la mateixa part literal.

x + x = (2 + 1)x = 3x

x + y → La suma la deixem indicada, perquè no són monomis semblants.

Dos o més són quan tenen la mateixa part literal.

5x; 2x són monomis semblants, perquè tenen la mateixa part literal (x).

3xy2; −xy2 són monomis semblants, perquè tenen la mateixa part literal (xy2).

x 2y 3; xy2 no són monomis semblants.

−3x −3 x 1

−2a3b

−2ab

xyz

7ab2c3

6y2z

−5x

−ab

−2yx3

−3y2z3

23

2a b

5xy


a) 4a ⋅ 3a = c) −2x ⋅ (−5x) = e) m ⋅ m2 =

b) 3x2 ⋅ 3x2 = d) 3x2 ⋅ (−3x2 ) = f)23

35

2x x⋅ =


a) a + a + a + a = d) 5x − 3x − x =

b) 2x2 + x2 + x2 = e) −5x3 − 3x3 =

c) 5mn − mn − 4mn = f) p − 2p + 5p =

a) 2x + + = c) 2x3 + =

b) + 5p + = d) + 2xy + =

a) 7x − = c) 5pq − =

b) − x2 = d) − 4x2y =

a) 6x2 + 4x − 2x2 − xumem i restem els monomis semblants i calculem el resultat:

b) 5x2 − 2x + 3x2 − x =

c) ab − ab + 7ab + 4ab − 2ab =

d) 3ab3 − 2ab + 5ab3 − ab + 4ab =

e) −10xy − 5xy + 2xy + 4x − 8y + 2y + 2x =

5

El és un altre monomi el coeficient del qual és el producte dels coeficients i la part literal del qual és el producte de les parts literals.

x ⋅ x = (3 ⋅ 2) ⋅ x ⋅ x = 6x2 x ⋅ − x = [4 ⋅ (−2)] ⋅ x ⋅ x2 = −8x3

6x2 − 2x2 + 4x − x

4x2 + 3x

⎯→ ⎯→



a) 4x (2x − 5) = 4x ⋅ 2x − 4x ⋅ 5 = 4 ⋅ 2 ⋅ x ⋅ x − 4 ⋅ 5 ⋅ x = 8x2 − 20x

b) 3(2x + 3x2) =

c) 2a(4a3 − 3a2) =

d) (3 − ab + ab2)2a =

e) 2(x2 + 3x) − 2x =

f) −3x(x3 − 2x + 4) − 12x =

g) −x3(−5x + 4 − 3x2 − 10x) =

h) − x(−x4 + 3x − 2x) + x2 =13

a) 8x3 : 2x = d) a4 : a 2 =

b) (−12x5) : (−12x4) = e) (−14y 4) : (−2y 2) =

c) 20m4 : 15m3 = f) (−20z 5) : 4z4 =

a) (7x5 : 2x) + x =

b) (6x7 : x 3) − (5x : x) =

c) (8a2b : 4ab) + b2 =

d) 3x (x + 1) − (4x2 : x) =

e) (12a3b2 : 3a2b) − b =

f) 3(4xy2 : 2xy) − 2y =

g) 2x [(−2y2x3) : (−x2y)] + x (x − 1) =

5

El és un altre monomi el coeficient del qual és el quocient dels coeficients i la part literal del qual és el quocient de les parts literals.

x x = x − x = 105

23

2

−⋅ = −x

xx

62

62

3 1 3xx

xx

= ⋅ = ⋅ =



a) −x + 3x2 → Grau = c) 2x5 − x ⎯⎯⎯⎯→ Grau =

b) x2y − 3x ⎯→ Grau = d) −5x4 − x3 − 8 → Grau =

OBJECTIU 3

IDENTIFICAR POLINOMIS I FER-HI OPERACIONS 5

Un és la suma o la resta de diversos monomis.

– Cadascun dels sumands l’anomenem del polinomi.

– Els termes que no tenen part literal els anomenem .

– El és el del monomi de grau més elevat.

2x3 − 3x − 1

−2xy + 9

−5x

2x3; −3x; −1

−2xy; 9

−5x

−1

9

No tiene

3, que és el grau de 2x3

2, que és el grau de −2xy

1, que és el grau de −5x

−2x3 + 3x − 5

5ab − 5ax2b

x 3 − 2x2 − x − 3

6x − 7

5xy − 2y

a 2b + 123

3xy + 5xy2

NOM: CURS: DATA:



x − x +

A x = x − x + B x = − x − x +

a) A(x) + B(x) b) A(x) − B(x) c) B(x) − A(x)

A x = x − x + B x = − x + x C x = −x −

a) A(x) + B(x) + C (x) b) A(x) + B(x) − C (x) c) A(x) − B(x) − C (x)

5x = 0

x = 1

x = −2

02 − 2 ⋅ 0 + 1 = 0 − 0 + 1 = 1

Per sumem o restem els monomis semblants.

A(x) = 2x2 + 5

B(x) = x3 − 5x2 − 2x + 3

A x + B x = (2x2 + 5) + (x 3 − 5x2 − 2x + 3) =

= x3 − 3x2 − 2x + 8

A x − B x = (2x2 + 5) − (x 3 − 5x2 − 2x + 3) =

= 2x2 + 5 − x3 + 5x2 + 2x − 3 =

= −x3 + 7x2 + 2x + 2

x3 − 2x2 − 2x + 5

+ x3 − 5x2 − 2x + 3

x3 − 3x2 − 2x + 8

x3 − 2x2 − 2x + 5

−x3 + 5x2 + 2x − 3

−x3 + 7x2 + 2x + 2


A x = − x + x − x + B x = x −

a) A(x) ⋅ B(x) b) B(x) ⋅ 3x c) A(x) ⋅ x d) B(x) ⋅ (−3x)


P(x) = 3x3 + 2x2 − 5x3 + 4x2 − 7x + 2x3

Q(x) = −4x2 − 5x3 + 2x2 − 6x + 2x2 + 5x3 − 1

R(x) = 2x4 − 6x3 + 4x + 2x2 − 3x3 + 8x − 2

P(x) = 3x3 + 2x2 − 5x3 + 4x2 − 7x + 2x3 = 3x3 − 5x3 + 2x3 + 2x2 + 4x2 − 7x = 6x2 − 7x

a) P(x) + Q(x) b) Q(x) + R(x) c) Q (x) − R(x) d) P(x) − Q(x)

5

Per calcular el multipliquem cada monomi del primer polinomi per cada monomi del segon. A continuació, reduïm els monomis semblants.

A(x) = x3 − 5x2 − 2x + 1

B(x) = 2x2 + 3x

A x ⋅ B x →

x3 − 5x2 − 2x + 1

× 2x2 + 3x

3x4 − 15x3 − 6x2 + 3x

2x5 − 10x4 − 24x3 + 2x2 + 3x

2x5 − 27x4 − 19x3 − 4x2 + 3x



a) 3b + 4b c) 15x4 − 5x2 + 10x e) 12x2 − 3x2 + 9x3

b) 3a + 6b + 12 d) 6x2y + 4xy2 f) 10xy2 − 20xy + 10x2y

a)

b)

c)

d)

e)

f)x y x y

x y

2 2 3 2

2 2

− =

4 66 92 3

−−

=aa a

1212

3mm

=

a ba b

3 3

3=

63

4 2

3 2

x yx y−

=

10 105

10 15

2 5 1

5

2 13 2 2 2x xx

x xx

x x

x

x+ = + = ⋅ + = +( ) ( ) ( )11

2 12= +( )x

5Una aplicació de la propietat distributiva és . Aquesta operació consisteix a extreurecom a factor comú el monomi que es repeteix en tots els termes.

5x + 5y

7x 2 − 3x

5x 2 − 5x

3x 2 − 12x + 15x 3

5

x

5x

3x

5(x + y)

x (7x − 3)

5x (x − 1)

3x (x − 4 + 5x 2)



a) (x + 5)2 = c) (2 + x)2 =

b) (a + 2b)2 = d) (xy + 1)2 =

a) (x − 1)2 = c) (2a − 3b)2 =

b) (a − 6b)2 = d) (5 − 3x)2 =

APLICAR IGUALTATS NOTABLES 5OBJECTIU 4

Les són certes igualtats l’aplicació de les quals és molt útil per abreujar càlculs amb expressions algebraiques.

Les igualtats principals són:

Quadrat d’una suma: (a + b)2

Quadrat d’una diferència: (a − b)2

Suma per diferència: (a + b) ⋅ (a − b)

El és igual al quadrat del primer sumand més el doble producte del primer pel segon, més el quadrat del segon.

a + b = a + ab + b

El és igual al quadrat del primer sumand menys el doble producte del primer pel segon, més el quadrat del segon.

a − b = a − ab + b

a − b

× a − b

− ba + b2

a2 − ab + b2

a − ab + b

a + b

× a + b

ba + b2

a2 + ab + b2

a + ab + b

NOM: CURS: DATA:



a) (x + 5) ⋅ (x − 5) = c) (7 + x) ⋅ (7 − x) =

b) (2a + b) ⋅ (2a − b) = d) (5a + 1) ⋅ (5a − 1) =

a) x2 + 2x + 1 = d) 4x2 − 4x + 1 =

b) x2 + 10x + 25 = e) 9a2 − 30ab + 25b2 =

c) x2 − 16 = f) 4x2 − 36 =

a)

b)x x

x

2 2

2

10 525

− +−

=

xx x

2

2

44 4−

− +=

5

El producte d’una és igual a la diferència dels quadrats.

a + b ⋅ a − b = a − b

a + b

× a − b

− ba − b2

a2 + ab + b2

a + − b


309! MATEMÀTIQUES 2n ESO ! MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. !

Equacions i sistemes6INTRODUCCIÓ

La unitat comença diferenciant entre equacions i identitats, per passar després a l’exposició de conceptes associats al d’equació: membres,termes, grau, coeficients, solució..., que sónfonamentals per comprendre la resta de la unitat.

Per resoldre equacions de primer grau, els alumnesaprendran a transposar termes. És important quecomprenguin que les regles de la suma i el productesón transformacions que permeten passar d’unaequació inicial complexa a una altra de més senzillaperò amb la mateixa solució, és a dir, equivalent a ella.A continuació treballarem amb equacions en què hi ha parèntesis i denominadors.

Tot i que no és l’objectiu d’aquest curs, els alumneshan de ser capaços de reconèixer equacions ambdues incògnites i trobar-ne algunes solucions.

Al llarg de la unitat s’exposen els mètodes de resolucióde sistemes: substitució, igualació i reducció. S’han dedeixar clars els passos per resoldre un sistema ambcadascun dels mètodes esmentats, així comassenyalar-ne les semblances i les diferències. Tambéexplicarem que la idoneïtat de cada un dels mètodesdepèn dels coeficients de les incògnites.

RESUM DE LA UNITAT

• Una equació és una igualtat algebraica que nomésés certa per a alguns valors.

• La incògnita d’una equació és la lletra de valordesconegut.

• El grau d’una equació és l’exponent més gran de la incògnita.

• La solució o solucions d’una equació són els valorsde la incògnita que fan certa la igualtat.

• Per resoldre equacions apliquem les regles de la suma i el producte.

• Un sistema de dues equacions amb duesincògnites, x i y, s’expressa de la forma:

• Resoldre un sistema és trobar dos nombres que,quan els substituïm a les dues equacions, lesverifiquin. Un sistema és compatible si té solució.

• Dos sistemes són equivalents si tenen la mateixasolució.

• Hi ha tres mètodes per resoldre sistemes:substitució, igualació i reducció.

ax by ka x b y k

+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪' '

1. Distingir i identificarequacions i identitats.

2. Resoldre equacions de primer grau.

3. Identificar sistemesd’equacions i els seuselements.

4. Resoldre sistemesmitjançant diferentsmètodes.

5. Resoldre problemesmitjançant equacions i sistemes.

• Elements d’una equació.• Equacions equivalents.

• Equacions amb denominadors.• Mètode general de resolució

d’equacions.

• Sistemes d’equacions.• Coeficients i termes

independents.• Solució d’un sistema.

• Mètode de substitució.• Mètode d’igualació.• Mètode de reducció.

• Traducció al llenguatgealgebraic de l’enunciat d’un problema.

• Comprovació de la solució d’un problema.

• Comprovació de si un valor és o no solució d’una equació.

• Identificació i obtenció d’equacionsequivalents.

• Ús de tècniques per resoldre equacionsamb denominadors.

• Identificació dels sistemes d’equacionsamb dues incògnites.

• Sistemes compatibles.

• Resolució d’un sistema per un dels mètodes.

• Seguiment dels passos necessaris per resoldre problemes mitjançantequacions o sistemes.

OBJECTIUS CONTINGUTS PROCEDIMENTS

ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

830896_07b_Adaptacio.qxd 13/8/08 20:58 Página 309

Indica si les igualtats són identitats o equacions.

a) x + 8 = 2x − 15 d) x2 ⋅ x3 = x5

b) 2(x + 2y) = 2x + 4y e) 2x + 1 = 11

c) x + x + x = 3x f) = 12

Indica el valor de x perquè es compleixi la igualtat.

Calcula mentalment el valor de x perquè es compleixi la igualtat.

a) x − 1 = 2 d) −x + 10 = 5

b) x + 7 = 15 e) x + 4 = 12

c) x − 3 = 6 f) −x − 6 = −10

3

2

x2

1

310 ! MATEMÀTIQUES 2n ESO ! MATERIAL FOTOCOPIABLE © GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. !

OBJECTIU 1

DISTINGIR I IDENTIFICAR EQUACIONS I IDENTITATS6IDENTITATS I EQUACIONS

• Una igualtat algebraica està formada per dues expressions algebraiques separades pel signe igual (=).

• Una identitat és una igualtat algebraica que es verifica per a qualsevol valor de les lletres.

• Una equació és una igualtat algebraica que no es compleix per a tots els valors de les lletres. Resoldre una equació és trobar el valor o valors de les lletres perquè es compleixi la igualtat.

x + x = 2x és una identitat.

Es compleix la igualtat per a qualsevol valor numèric que prengui x:

Per a x = 1 → 1 + 1 = 2 ⋅ 1 → 2 = 2

Per a x = −2 → (−2) + (−2) = 2(−2) → −4 = −4

x + 4 = 10 és una equació. Només es compleix quan x = 6 → 6 + 4 = 10.

EXEMPLE

EQUACIÓ PREGUNTA VALOR DE x

15 − x = 12

10 + x = 14

11 − x = 10

2 + x = 9

16 − x = 4

Quin nombre restat a 15 dóna 12? x =

NOM: CURS: DATA:



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

6

Per a cadascuna d’aquestes equacions, escriu una equació equivalent i troba’n la solució.4

L’equació 3x + 4 = 10 té com a solució x = 2. Esbrina quines de les equacions són equivalents a l’equació 3x + 4 = 10.

a) 3x + 10 = 20 e) x + 2x − 5 = 6x

b) x − 8 = −5 f) 2x + 8 − x = x + 9

c) 4x + 12 − x = 21 g) 12x − 3x + 10 = 5x + 18

d) x + 12x − 8 = 18 h) x + 3x = x + 4

Tempteja i troba la solució de les equacions següents.

a) x − 2 = 2 e) x − 4 = 1 i) 2x − 1 = 3

b) 4 + x = −2 f) −1 + x = −3 j) 3x = −15

c) x − 1 = −5 g) −2 − x = −4 k) −2x − 4 = 10

d) = 4 h) = −6 l) = 225xx

18x2

6

32

12

49

12

32

27

5

EQUACIONS EQUIVALENTS

Dues o més equacions són equivalents quan tenen les mateixes solucions.

x + 4 = 10 i 2x = 12 són equacions equivalents, ja que la solució de totes dues és x = 6.

6 + 4 = 10 2 ⋅ 6 = 12

EQUACIÓ EQUACIÓ EQUIVALENT SOLUCIÓ

7 + x = 13

x + 2 = 9

2x = 14

x − 4 = 4

11 = 9 + x



Resol les equacions següents aplicant la transposició de termes.

a) 3x = 15 d) 2x + 6 = 20 + 6 + x

b) x + 6 = 14 e) 2x + 4 = 16

c) −10 = −x + 3 f) −4x − 4 = −20 − x

1

6TRANSPOSICIÓ DE TERMES

• Si als dos dels membres d’una equació els sumem o restem un mateix nombre o expressió algebraica,obtenim una altra equació equivalent a la donada.

• Si als dos dels membres d’una equació els multipliquem o dividim per un mateix nombre diferent de zero, obtenim una equació equivalent a la donada.

Resol l’equació x − 4 = 10.Sumem 4 en tots dos membres ⎯⎯⎯⎯⎯→ x − 4 + 4 = 10 + 4

x = 14

Resol l’equació x + 2x = 4 + 2x + 5.Restem 2x en tots dos membres ⎯⎯⎯⎯→ x + 2x − 2x = 4 + 2x − 2x + 5

x + 2x − 2x = 4 + 5x + 2x − 2x = 9

Resol l’equació 3x = 12.Dividim tots dos membres entre 3 ⎯⎯⎯⎯→ → x = 4

Resol l’equació = 10.

Multipliquem per 4 tots dos membres ⎯⎯→ ⋅ 4 = 10 ⋅ 4 → 5x = 40

Dividim tots dos membres entre 5 ⎯⎯⎯⎯→ → x = 855

405

x =

54x

54x

33

123

x =

EXEMPLE

OBJECTIU 2

RESOLDRE EQUACIONS DE PRIMER GRAU

NOM: CURS: DATA:



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

6

Resol les equacions següents.

a) 2x − 5 = 3 c) −x − 4 = 10

b) x = −15 − 4x d) 3x + 8 = 12 − x

2

Resol aquestes equacions.

a) 4 − x = 2x + 3x − 5x e) 2(x + 5) = 3(x + 1) − 3

b) 2x − 9 = 3x − 17 f) 3(x − 3) − 5(x − 1) − 6x

c) 3x + 8 − 5(x − 1) = 2(x + 6) − 7x g) 3(x + 2) + 4(2x + 1) = 11x − 2(x + 6)

d) 3(3x + 1) − (x − 1) = 6(x + 10) h) 5(x − 4) + 30 = 4(x + 6)

3

MÈTODE GENERAL DE RESOLUCIÓ D’EQUACIONS

Resol l’equació 2(x − 4) − (6 + x) = 3x − 4.

Per resoldre una equació és convenient seguir aquests passos.

1r Eliminem parèntesis. 2x − 8 − 6 − x = 3x − 4

2n Reduïm termes semblants. x − 14 = 3x − 43r Transposem termes.

Restem x en tots dos membres. x − x − 14 = 3x − x − 4

−14 = 2x − 4

Sumem 4 en tots dos membres. −14 + 4 = 2x − 4 + 4

−10 = 2x

4t Aïllem la incògnita.

→ −5 = x− =10

222xDividim tots dos membres entre 2.



Troba la solució d’aquestes equacions.

a) d)

b) e)

c) f)3 5

47 3

104

( ) ( )x x+ + − + =x x x x2 3 4 6

30+ + + =

23

524

4x x+

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = +5

24

43

2− − = + −x x

x x x x− + + − − = + −42

36

63

17

2x x x− − − = −1

412 2

52

5

4

6RESOLUCIÓ D’EQUACIONS AMB DENOMINADORS

Resol l’equació

Per resoldre una equació amb denominadors és convenient seguir aquests passos.

1r Eliminem denominadors. m.c.m. (3, 2, 4) = 3 ⋅ 22 = 12

=

= 6(x − 3) + 3(3x − 7)

2n Eliminem parèntesis. = 6x − 18 + 9x − 21

3r Reduïm termes semblants = 15x − 39

4t Transposem termes.= 15x − 39 − 8x= 7x − 39

= 7x − 39 + 39= 7x

5è Aïllem la incògnita.

123

212

3 74

⋅ − + ⋅ −x x

2 13

32

3 74

x x x− = − + − .

Restem 8x en tots dos membres.

Sumem 39 en tots dos membres.

Dividim tots dos membres entre 7. = → x = 577x

4(2x − 1)

8x − 4

8x − 4

8x − 4 − 8x−4

−4 + 3935

357

122 1

3⋅ −x



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

6OBJECTIU 3

IDENTIFICAR SISTEMES D’EQUACIONS I ELS SEUS ELEMENTS

Un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites és un conjunt de dues equacions de les quals busquem una solució comuna.

! → "Coeficients de les incògnites: a, a', b, b'Termes independents: k, k'

ax + by = ka'x + b'y = k'

! → "x + y = 5x − 2y = 2

Incògnites: x, yCoeficients de les incògnites: 1, 1, 1, −2Termes independents: 5, 2

EXEMPLE

• Una solució d’un sistema de dues equacions amb dues incògnites és una parella de nombres que verificatotes dues equacions.

• Resoldre un sistema de dues equacions amb dues incògnites és trobar-ne les solucions.• Si un sistema té solució, és a dir, si es poden trobar dos nombres que compleixin les dues equacions,

direm que és compatible.

Comprova si el sistema d’equacions següent té com a solució x = 4 i y = 1.

!Vegem si la solució de l’enunciat verifica les dues equacions del sistema.

! !Per tant, x = 4 i y = 1 és una solució del sistema. El sistema és compatible.

→ Compleix l’equació.→ Compleix l’equació.

4 + 1 ⋅ 1 = 54 − 2 ⋅ 1 = 2

x = 4, y = 1⎯⎯⎯⎯⎯→x + y = 5x − 2y = 2

x + y = 5x − 2y = 2

EXEMPLE

Determina les incògnites, els coeficients i els termes independents d’aquests sistemes.

a) ! b) !−2x + y = −1x − y = 0−

x − 2y = 73x − 4y = 2

1

Determina si x = 0 i y = −1 és solució d’aquests sistemes.

a) ! b) ! c) !x − 4y = −12x + 4y = −4

x + 4y = −23y = −3

3x − 4y = 1x + 4y = 2

2

NOM: CURS: DATA:



OBJECTIU 4

Per resoldre un sistema de dues equacions amb dues incògnites pel mètode de substitució, hem de:

a) Aïllar la incògnita en una de les dues equacions.

b) Substituir l’expressió obtinguda a l’altra equació.

c) Resoldre l’equació amb una incògnita que resulta.

d) Substituir el valor obtingut en qualsevol de les dues equacions per obtenir l’altra incògnita.

e) Comprovar que la solució obtinguda verifica totes dues equacions.

Resol el sistema d’equacions següent pel mètode de substitució.

!a) Triem, per aïllar, la incògnita x de la segona equació.

x = 10 + y

b) Substituïm aquesta incògnita en la primera equació.

x + y = 30 (10 + y) + y = 30

c) Resolem l’equació obtinguda.(10 + y) + y = 30

10 + y + y = 30 10 + 2y = 30

2y = 30 − 10

y =

d) Substituïm el valor y = 10 en la primera equació.x + y = 30x + 10 = 30

e) Comprovem la solució obtinguda. Per fer-ho, hem de substituir el parell de valors (20, 10) en totes dues equacions.

! !La solució del sistema és el parell de valors x = 20 i y = 10.

Per tant, el sistema d’equacions té una solució, és a dir, és un sistema compatible.


20 + 10 = 3020 − 10 = 10

x = 20, y = 10⎯⎯⎯⎯⎯⎯→x + y = 30x − y = 10

x = 20

y = 10

202

x = 10 + y⎯⎯⎯⎯⎯→

x + y = 30x − y = 10

EXEMPLEF

RESOLDRE SISTEMES MITJANÇANT DIVERSOS MÈTODES: A) SUBSTITUCIÓ

NOM: CURS: DATA:



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

Resol el sistema d’equacions pel mètode de substitució.

!a) Triem, per aïllar, la incògnita y en la primera equació.

! → y = 5 − x

b) Substituïm aquesta incògnita en la segona equació.

x − 2y = 2 x − 2(5 − x) = 2

c) Resolem l’equació obtinguda.

d) Substituïm el valor de x obtingut en una de les equacions, per exemple, en la primera.

x + y = 5

+ y = 2

Solució del sistema:

e) Comprovem la solució del sistema.

y =x =

y =

x =

y = 5 − x⎯⎯⎯⎯⎯→

x + 2y = 5x − 2y = 2

x + 2y = 5x − 2y = 2

1

F

+ = 5

− 2 ⋅ = 2! →

x + 2y = 5x − 2y = 2 ! → Si obtenim aquest resultat,

els valors de x i y són correctes.5 = 52 = 2! →

Resol els sistemes pel mètode de substitució i comprova’n els resultats.

a) ! b) ! c) xy

xy

− + =

+ =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪⎪

23

4

36

−x + y = 73x − y = 4

x + 3y = 82x − 2y = 9

2

6



OBJECTIU 4

RESOLDRE SISTEMES MITJANÇANT DIVERSOS MÈTODES: B) IGUALACIÓ6Per resoldre un sistema de dues equacions amb dues incògnites pel mètode d’igualació hem de:

a) Aïllar la mateixa incògnita en totes dues equacions.

b) Igualar les expressions obtingudes.

c) Resoldre l’equació d’una incògnita que resulta.

d) Substituir el valor obtingut en qualsevol de les dues equacions per obtenir l’altra incògnita.

e) Comprovar la solució obtinguda.

Resol el sistema d’equacions següent pel mètode d’igualació.

!a) Triem per aïllar la incògnita y de les dues equacions.

2x + 1 = y011 − 3x = y !

b) Igualem les expressions obtingudes.2x + 1 = 11 − 3x

c) Resolem l’equació obtinguda.2x + 1 = 11 − 3x

2x + 3x = 11 − 1 5x = 10

d) Substituïm el valor x = 2 en qualsevol de les equacions. En aquest cas, triem la segona.3x + y = 11

3 ⋅ 2 + y = 116 + y = 11

e) Comprovem la solució obtinguda.

Per fer-ho, hem de substituir el parell de valors (2, 5) en totes dues equacions.

! !La solució del sistema és el parell de valors x = 2 i y = 5.

Per tant, el sistema d’equacions té solució, és a dir, és compatible.


2 ⋅ 2 − 5 = −13 ⋅ 2 + 5 = 11

x = 2, y = 5⎯⎯⎯⎯⎯→2x − y = −13x + y = 11

y = 5

x = 2

2x − y = −13x + y = 11

EXEMPLE

NOM: CURS: DATA:



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

Resol el sistema per mitjà del mètode d’igualació i comprova’n la solució.

!a) Aïllem la mateixa incògnita en totes dues equacions.

!b) Igualem les equacions obtingudes.

c) Resolem l’equació d’un incògnita obtinguda.

d) Substituïm el valor de les incògnites en qualsevol de les dues equacions del sistema.

e) Comprovem la solució.

→→

x + y = 77x − y = 2

x + y = 77x − y = 2

1

Resol els sistemes següents per mitjà del mètode d’igualació i comprova’n els resultats.

a) ! b) ! c) x y

x y2 3

6

329

6

+ =

+ =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪⎪

2x + 15y = 104x + 10y = 20

x + 2y = 42x − 4y = 0

2

6



OBJECTIU 4

RESOLDRE SISTEMES MITJANÇANT DIVERSOS MÈTODES: C) REDUCCIÓ

Per resoldre un sistema d’equacions amb dues incògnites pel mètode de reducció hem de:

a) Buscar un sistema equivalent en què els coeficients d’una mateixa incògnita siguin iguals o oposats.

b) Sumar o restar les dues equacions obtingudes per eliminar així una incògnita.c) Resoldre l’equació que resulta.d) Substituir el valor obtingut en qualsevol de les dues equacions per obtenir l’altra incògnita.e) Comprovar la solució obtinguda.

Resol el sistema d’equacions següent per mitjà del mètode de reducció.

!a) Obtenim un sistema equivalent.

Escollim una incògnita en les dues equacions, en aquest cas, x.

Multipliquem la primera equació per 2.2(x + 2y = 25)

2x + 3y = 40!Ara el sistema equivalent és:

!b) Restem les dues equacions del sistema per eliminar la x.

→

c) Resolem l’equació d’una incògnita que en resulta.

d) Substituïm el valor obtingut en una de les dues equacions del sistema, en aquest cas, en la primera equació.

x + 2y = 25x + 2 ⋅ 10 = 25

e) Comprovem el resultat.

! ! → !La solució del sistema és el parell de valors x = 5 i y = 10.

Per tant, el sistema d’equacions té solució, és a dir, és un sistema compatible.

25 = 2540 = 40

5 + 2 ⋅ 10 = 252 ⋅ 5 + 3 ⋅ 10 = 40

x = 5, y = 10⎯⎯⎯⎯⎯→x + 2y = 252x + 3y = 40

x = 5

y = 10

2x + 4y = −50−2x − 3y = −40+−2x +y = +10

2x + 4y = 50− (2x + 3y = 40) +−2x

2x + 4y = 502x + 3y = 40

x + 2y = 252x + 3y = 40

EXEMPLE

NOM: CURS: DATA:



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

Resol el sistema següent pel mètode de reducció i comprova’n el resultat.

!a) Obtenim un sistema equivalent. Triem una incògnita, per exemple, la y.

Multipliquem la primera equació per 5 i la segona equació per 2.

! ! → Sistema equivalent

b) Sumem les dues equacions per eliminar la y.

c) Resolem l’equació obtinguda.

d) Substituïm el valor numèric en qualsevol de les equacions del sistema i obtenim el valor de y.

e) Comprovem la solució.

x =

15x − 10y = −50+ 8x + 10y = 280

23x + 10y = 230

15x − 10y = −50

8x + 10y = 280

5(3x − 2y = −10)

2(4x + 5y = 140)

3x − 2y = −104x + 5y = 140

1

Resol pel mètode de reducció el sistema i comprova’n el resultat.

!Triem una incògnita: Per quin nombre hem de multiplicar les equacions perquè aquest incògnita desaparegui quan les sumem?

3x + 2y = 262x − 3y = −13

2

FF

(3x + 2y = 26)

(2x − 3y = −13)! →

6



La suma de tres nombres consecutius és 30. Troba’ls.

En una classe de 2n d’ESO hi ha 28 alumnes. Si el triple del nombre de noies és igual a quatre vegades el de nois, quants alumnes hi ha de cada sexe?

2

1

OBJECTIU 5

RESOLDRE PROBLEMES MITJANÇANT EQUACIONS I SISTEMES6RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

Per resoldre un problema fent servir equacions convé seguir aquests passos.1r Lectura i comprensió de l’enunciat. Cal distingir les dades conegudes i la dada desconeguda,

és a dir, la incògnita.2n Plantejament de l’equació. Hem d’expressar les condicions de l’enunciat en forma d’equació:

la correspondència entre les dades i la incògnita.3r Resolució de l’equació: Obtenim el valor de la incògnita resolent l’equació.4t Comprovació i interpretació del resultat. Hem de comprovar si el resultat verifica l’enunciat

i interpretar la solució en el context del problema.

L’Anna té 2 € més que la Berta; la Berta té 2 € més que l’Eva, i l’Eva té 2 € més que la Lluïsa. Entre les quatre amigues tenen 48 €. Calcula la quantitat de diners que té cadascuna.

1r Lectura i comprensió de l’enunciat.Agafem com a dada desconeguda els diners que té la Lluïsa.

2n Plantejament de l’equació.Diners de la Lluïsa → x

La resta de quantitats de diners les escrivim en funció de x:Diners de l’Eva ⎯⎯→ 2 € més que la Lluïsa → x + 2Diners de la Berta → 2 € més que l’Eva ⎯⎯⎯→ (x + 2) + 2 = x + 4Diners de l’Anna ⎯→ 2 € més que la Berta ⎯→ (x + 4) + 2 = x + 6

Escrivim la condició que la suma de les quantitats és 48 €.x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) = 48

3r Resolució de l’equació.x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) = 48 → 4x + 12 = 48 → 4x = 48 − 12 →

→ 4x = 36 → x = = 9 → La Lluïsa té 9 €.

L’Eva té: 9 + 2 = 11 €. La Berta té: 9 + 4 = 13 €. L’Anna té: 9 + 6 = 15 €.

4t Comprovació i interpretació del resultat.Les quantitats de les amigues: 9, 11, 13 i 15 € compleixen les condicions de l’enunciat.

9 + 11 + 13 + 15 = 48

364

EXEMPLE

NOM: CURS: DATA:


Proporcionalitat numèrica7INTRODUCCIÓ

Comencem recordant la importància del significat i la comprensió de les fraccions equivalents. Objectes i situacions de la vida real ens ajuden a introduir lesrelacions entre magnituds. Per mitjà de la construccióde taules de valors i l’obtenció de valors relacionatsentre ells establim les relacions de proporcionalitat.

Un cop plantejats els conceptes de magnitud i proporció, resolem situacions i problemes de la vidaquotidiana mitjançant l’aplicació de la regla de tres(coneguts tres dels valors) i el mètode de reducció a la unitat, en magnituds directament proporcionals.

Les relacions entre magnituds inversamentproporcionals plantegen un grau de dificultat méselevat, i s’ofereixen des del mateix punt de vista que les anteriors, per mitjà de les relacions entreproporcions i la reducció a la unitat.

També presentem la resolució de problemes amb percentatges, relacionada amb el concepte de regla de tres. Els augments i les disminucionspercentuals ajudaran els alumnes en la resolució de les activitats.

RESUM DE LA UNITAT

• Una magnitud és qualsevol qualitat o característicad’un objecte que podem mesurar. Quan lesmagnituds es relacionen entre elles s’estableix una relació de proporcionalitat.

• Una raó és el quocient entre dos nombres, a i b,

que podem comparar: .

• Si igualem dues raons obtenim una proporció. D’una sèrie de raons obtenim un valor constantanomenat constant de proporcionalitat.

• Dues magnituds són directament proporcionalsquan, en augmentar-ne o disminuir-ne una, tambéaugmenta o disminueix l’altra en la mateixaquantitat.

• Per mitjà de la regla de tres simple directa, calculem el valor desconegut d’una proporció en què els valors són directament proporcionals.

• Dues magnituds són inversament proporcionalsquan en augmentar-ne o disminuir-ne una,disminueix o augmenta l’altra en la mateixaquantitat.

• Per mitjà de la regla de tres inversa, calculem el valor desconegut d’una proporció en què els valors són inversament proporcionals.

ab

1. Identificar una relació deproporcionalitat entredues magnituds.

2. Reconèixer magnitudsdirectamentproporcionals.

3. Reconèixer magnitudsinversamentproporcionals.

4. Resoldre problemes depercentatges mitjançantregla de tres.

• Concepte de magnitud i proporcionalitat.

• Sèrie de raons iguals. Constantde proporcionalitat.

• Proporcions. Propietats.

• Magnituds directamentproporcionals.

• Regla de tres simple directa.• Mètode de reducció

a la unitat.

• Magnituds inversamentproporcionals.

• Regla de tres simple inversa.• Mètode de reducció

a la unitat.

• Regla de tres i percentatge.

• Identificació de les relacions de proporcionalitat.

• Construcció de taules de valors entre dues magnituds.

• Aplicació de les propietats de les proporcions.

• Identificació de magnituds directamentproporcionals.

• Resolució de problemes: ús de la reglade tres simple directa i reducció a la unitat.

• Identificació de magnituds inversamentproporcionals.

• Resolució de problemes: ús de la reglade tres simple inversa i reducció a la unitat.

• Resolució de problemes mitjançant l’úsdel tant per cent.


ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R




OBJECTIU 1

IDENTIFICAR LA RELACIÓ DE PROPORCIONALITAT ENTRE DUES MAGNITUDS7FRACCIONS EQUIVALENTSPer comprovar si dues fraccions són equivalents les multipliquem en creu i, si ho són, n’obtenim el mateix el mateix resultat.

2 ⋅ 15 = 5 ⋅ 6

30 30

25

615

=

PROPIETAT FONAMENTAL DE LES FRACCIONSSi multipliquem o dividim el numerador i el denominador d’una fracció per un mateix nombre diferent de zero, obtenim una fracció equivalent i el valor de la fracció no varia.

• multipliquem el numerador i el denominador per 3: 2 ⋅ 15 = 5 ⋅ 6

Si multipliquem, fem servir el terme amplificar. 30 30

• dividim numerador i denominador entre 6: 18 ⋅ 2 = 12 ⋅ 3

Si dividim, fem servir el terme simplificar. 36 36

1812

32

=18 612 6

32

::

=1812

25

615

=2 35 3

615

⋅⋅

=25

FF

FF

F F

F F

F FF F

FFF F

Comprova si són equivalents les fraccions següents.

a) c)

b) d)

Troba l’element que falta perquè les fraccions siguin equivalents.

a) c)

b) d)

Escriu 4 fraccions equivalents a les donades mitjançant amplificació.

a) c)

b) d)

Escriu 3 fraccions equivalents a les donades mitjançant simplificació.

a) c)

b) d)90

120= = =132

88= = =

60144

= = =4060

= = =

4

710

= = = =12

= = = =

34

= = = =25

= = = =

3

x3

69

=35 10

= x

6 48x

=23

4=x

2

37

i5

1246

i1015

13

i32

35

610

i

1

NOM: CURS: DATA:


Un sac de farina pesa 10 quilograms, 2 sacs de farina pesen 20 quilograms i 3 sacs pesen 30 quilograms. Quants pesen 4 sacs? I 5 sacs? I 6 sacs? I 10 sacs?Tenim 2 magnituds: nombre de sacs de farina i pes dels sacs.Entre totes dues hi ha una relació de proporcionalitat: quants més sacs siguin, més pesaran.Aquest exemple el podem expressar per mitjà d’una taula, anomenada taula de proporcionalitat:

Les sèries de nombres de totes dues magnituds, nombre de sacs i pes, són proporcionals entre elles; per tant, podem passar d’una sèrie a una altra, multiplicant o dividint per 10.


ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

7

Sobre l’exemple anterior:

a) Indica el pes (en kg) de 15, 16, 18, 20, 50 sacs i elabora una taula de proporcionalitat.

b) Quants sacs suposen 700 quilograms de farina? I 1.000 kg?

En una cafeteria, cada menú (beguda, entrepà i patates) costa 3 €. Fes una taula de proporcionalitat amb les magnituds que es relacionen i expressa la relació entre els 10 primers menús que es compren.

En les taules de proporcionalitat següents, esbrina el nombre pel qual hem de multiplicar i/o dividir per passar d’una sèrie a una altra, i completa les taules.

a) b)

7

6

5

2 3 5 7 9 11

8 12 44

1 2 3 4 5 6

5 10

CONCEPTE DE MAGNITUD. PROPORCIONALITAT• Una magnitud és qualsevol quantitat o característica d’un objecte que podem mesurar.

Exemple: la longitud, la massa, el nombre d’alumnes, la capacitat, la velocitat, el preu, etc.

• Les magnituds les expressem en unitats de mesura: metres, quilòmetres, quilograms, grams, nombre de persones, litres, quilòmetres per hora, metres per segon, euros, dòlars, etc.

• A vegades, les magnituds es relacionen entre elles. Aquesta relació l’anomenem de proporcionalitat, i ens ajuda a solucionar problemes de la vida quotidiana.

NRE. DE SACS

PES (kg)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 G

G: 10⋅10

EXEMPLE



7

Indica els termes antecedents, conseqüents, extrems i mitjos.8

RAÓ ENTRE DOS NOMBRES O QUANTITATSUna raó és el quocient entre dos nombres qualssevol, a i b, que podem comparar: .

En una raó, els nombres poden ser naturals i/o decimals:

En una fracció els nombres són naturals: .25

, ,43

1025

2 55,

, ,4

3,51025

ab

PROPORCIÓSi igualem dues raons, obtenim una proporció.

és una proporció.

Lectura de les proporcions

La proporció la llegim: La proporció la llegim:

Recorda l’exemple dels sacs de farina

Formem les proporcions següents i observem que:

Són una sèrie de raons iguals. El seu valor és el mateix: 0,1.1

102

203

30440

550

660

770

880

990

10100

0= = = = = = = = = = ,,1

110

0 12

200 1

330

0 1440

0 1550

0 110100

0= = = = = … =, , , , , ,,1

34

912

=ab

cd

=

ab

cd

=

a és a b comc és a d

3 és a 4 com 9 és a 12

NRE. DE SACS

PES (kg)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

• Aquest valor és constant i és el mateix en totes les proporcions.

• L’anomenem constant de proporcionalitat.

47

1628

=

18

324

=

310

620

=

PROPORCIÓ HO LLEGIM ANTECENDENTS CONSEQÜENTS EXTREMS MITJOS

TERMES D’UNA PROPORCIÓ

a, c els anomenem antecedents b, d els anomenem conseqüents

a, d els anomenem extrems b, c els anomenem mitjos



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

7

Observa la taula de valors següent:

a) Comprova si formen una sèrie de raons iguals.b) Troba el valor de cada proporció.c) És el mateix en totes les proporcions? Com anomenem aquest valor?

Donades aquestes sèries de raons iguals, afegeix tres proporcions i indica la constant de proporcionalitat.

a) c)

b) d)

Un quiosc ven les llaminadures només d’una manera: 3 bosses que costen 2 €.

a) Forma una taula de proporcionalitat si s’adquireixen 6, 9, 12, 15 i 18 bosses de llaminadures.b) Escriu tres parelles de raons iguals.c) Indica la constant de proporcionalitat.

11

58

1524

= = = =615

1230

= = = =

108

2016

= = = =35

610

= = = =

10

9 3 9 18 27 36 45 54

1 3 6 9 12 15 18

En les sèries de raons iguals següents, comprova que la suma dels antecedents dividida entre la suma dels conseqüents és igual a la constant de proporcionalitat.

a) b)

Constant de proporcionalitat = ................. Constant de proporcionalitat = .................

82

1624

328

4812

8020

= = = =14

28

312

416

520

= = = =

12

PROPIETATS DE LES PROPORCIONS

1a La suma dels antecedents dividida entre la suma dels conseqüents és igual a la constant de proporcionalitat.

2a En una proporció, el producte d’extrems és igual al producte de mitjos. (Recorda el concepte de fraccions equivalents i els productes encreuats.)

36

48

3 8 6 4= ⋅ = ⋅12

24

1 4 2 2= ⋅ = ⋅ab

cd

a d b c= ⋅ = ⋅

ab

cd

ef

a c eb d f

k= = = + ++ +

= = = = = + + ++

12

24

36

48

1 2 3 42 4 ++ +

= =6 8

1020

0 5,

F F F


Un cupó de loteria costa 2 €; dos cupons, 4 €; 3 cupons, 6 €...

• Distingim dues magnituds: nombre de cupons i preu.– Quan augmentem el nombre de cupons, n’augmenta el preu.– Quan disminuïm el nombre de cupons, també en disminueix el preu.– Són magnituds directament proporcionals:

• Observem les raons de les proporcions:

La constant de proporcionalitat és sempre la mateixa: 0,5. Són sèries de raons iguals i formen fraccions equivalents.

• Multiplicant o dividint pel mateix nombre obtenim valors equivalents.

12

510

24

612

48

12

12

24

0 536

510

0 548

612

0 512

24

36

48

51

= = = = = = = = = =, , ,00

612

0 5= = ,


OBJECTIU 2

RECONÈIXER MAGNITUDS DIRECTAMENT PROPORCIONALS7

Indica si les magnituds següents són directament proporcionals.

a) El pes d’uns bombons i els diners que costen.b) La velocitat d’un cotxe i el temps que tarda a recórrer una distància.c) El nombre de fulls d’un llibre i el seu pes.d) El preu d’una roba i els metres comprats.e) L’edat d’un alumne i la seva alçada.

En una fàbrica de maons, 5 maons apilats ocupen 1 metre d’altura. Completa la taula amb els valors corresponents.

a) Indica si són magnituds directament proporcionals.b) Forma proporcions i troba la constant de proporcionalitat.c) Quina altura ocuparien 100 maons? I 500 maons?

2

1

MAGNITUDS DIRECTAMENT PROPORCIONALS

• Dues magnituds són directament proporcionals quan:– Quan augmentem una quantitat el doble, el triple..., l’altra també augmenta el doble, el triple...– Quan disminuïm una quantitat la meitat, la tercera part..., l’altra també disminueix la meitat, la tercera part...

• La raó entre dues quantitats és sempre la mateixa i l’anomenem constant de proporcionalitat.

NRE. DE CUPONS

PREU (€)

1 2 3 4 5 6

2 4 6 8 10 12

NRE. DE MAONS 5 10 15 20 25 30 50

ALTURA (m) 1

⎯⎯→⎯⎯→

⎯⎯→⎯⎯→

⎯⎯→⎯⎯→

⋅ 4 : 3 : 5

⋅ 4 : 3 : 5

G

G: 2⋅2

EXEMPLE

NOM: CURS: DATA:


Tres caixes de llaunes de refrescos pesen 15 kg. Quant pesaran 4 caixes?

Si 3 caixes 15 kg

4 caixes x kg


ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

7

La Lluïsa i l’Anna han de pintar durant l’estiu la tanca de casa dels seus avis. La tanca té una longitud de 30 metres i el seu avi els ha dit que per cada 6 metres que pintin els donarà 5 €.

a) Forma la taula de valors amb les magnituds corresponents.

b) Forma proporcions i troba la constant de proporcionalitat.

c) Si la tanca tingués 42 metres, quants diners guanyarien la Lluïsa i l’Anna?

3

Si 4 pastissos costen 12 €, quant costaran 6 pastissos? I 15 pastissos?

Tres obrers fan una rasa de 6 m en un dia. Si mantenen el mateix ritme de treball, quants metres de rasa obriran en un dia, si s’incorporen 5 obrers més?

El preu de 12 fotocòpies és 0,50 €. Quant costarà fer 30 fotocòpies?6

5

4

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA• La regla de tres simple directa ens permet calcular el valor desconegut d’una proporció en què

les tres magnituds són directament proporcionals.• Coneixem tres dels quatre valors de la proporció, i el terme desconegut (incògnita) l’anomenem

amb la lletra x, y o z.

⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯→

pesen

pesaran

EXEMPLE

! → → 3 ⋅ x = 4 ⋅ 15 → 3x = 60 → → x = 2033

603

x =34

15=x

Les 4 caixes pesaran 20 kg.



7Un excursionista recorre 10 km en 2,5 hores. Si manté el mateix ritme, quants quilòmetres recorrerà en 5 hores? I en 7 hores?

7

Resol els problemes següents, fent servir el mètode de reducció a la unitat.

En un túnel de rentat es netegen 10 cotxes en una hora. En quants temps es netejaran 25 cotxes? I 50 cotxes?

Si 10 cotxes els netegem en ⎯→ 60 minuts

1 cotxe el netejarem en ⎯→ = 6 minuts !Després de calcular el temps que es triga a netejar un cotxe, trobem el temps dedicat a netejar-ne 25 i 50.

25 cotxes es netegen en 25 ⋅ 6 =

L’Ignasi cobra 120 € per cada 5 dies de feina. Quant cobrarà per 15 dies? I per 20 dies?

Si 3 cafès costen 2,70 €, quant costaran 5 cafès? I 10 cafès?

Un abonament d’autobús amb deu viatges costa 6 €. Quant costa cada viatge? Quant costaran 3 abonaments?

Si 4 iogurts costen 1,20 €, quant en costaran 20? I 30 iogurts?12

11

10

9

6010

8

Podem resoldre els problemes mitjançant la regla de tres directa fent servir el mètode de reducció a la unitat, és a dir, trobant el valor desconegut per al valor 1, i després multiplicant-lo per la resta de valors.


Una aixeta aboca 3 litres d’aigua cada minut, i tarda 15 minuts a omplir un bidó. Si augmentem el cabal a 6 litres per minut, tarda 7,5 minuts a omplir-lo. Si l’augmentem a 9 litres per minut, l’omplirà en 5 minuts. Si l’augmentem a 12 litres per minut, tardarà 3,75 minuts, etc.

• Distingim dues magnituds: cabal d’aigua (en litres per minut) i temps a omplir el bidó.– Quan augmentem el nombre de litres per minut, disminueix el temps en què s’ompliria el bidó.– Si disminueix el cabal, augmenta el temps.– Són magnituds inversament proporcionals.

• Veiem que en les raons de les proporcions s’inverteix l’ordre dels valors:

• Quan multipliquem (o dividim) un dels valors, el valor corresponent queda dividit (o multiplicat) pel mateix nombre.

36

7 515

0 539

515

0 3126

7 53 75

2= = = = = =,, ,

,,

EXEMPLE


ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

7OBJECTIU 3

IDENTIFICAR MAGNITUDS INVERSAMENT PROPORCIONALS

Indica si les magnituds següents són o no inversament proporcionals.

a) La velocitat d’un cotxe i el temps que triga a recórrer una distància.

b) El nombre d’operaris d’una obra i el temps que triguen a acabar-la.

c) El nombre de fulls d’un llibre i el seu pes.

d) El pes de la fruita i els diners que costa.

e) La velocitat d’un excursionista i la distància que recorre.

f) El nombre d’aixetes d’un dipòsit i el temps que triga a omplir-se.

1

MAGNITUDS INVERSAMENT PROPORCIONALS

• Dues magnituds són inversament proporcionals quan:– En augmentar-ne una el doble, el triple...., l’altra disminueix la meitat, la tercera part...– En disminuir-ne una la meitat, la tercera part..., l’altra augmenta el doble, el triple...

• Quan multipliquem (o dividim) un dels valors d’una magnitud per un nombre, el valor corresponent de l’altra magnitud queda dividit (o multiplicat) pel mateix nombre.

3

3

15

6

7,5

9

5

12

3,75

15

6

7,5

3

15

12

3,75

3

15

9

5

F

F

⋅ 2

: 2

F

F

⋅ 4

: 4

F

F

⋅ 3

: 3

CABAL (¬ /min)

TEMPS (min)

NOM: CURS: DATA:


Deu paletes triguen 45 dies a construir un mur. Si han d’acabar l’obra en 15 dies, quants paletes fan falta?Les magnituds són nombre de paletes i dies de feina.

Són inversament proporcionals: si volem que es faci l’obra en menys temps, haurem d’augmentarel nombre de treballadors.

Ho resolem de la manera següent:

Si 10 paletes 45 dies

x paletes 15 dies


Completa aquestes taules de valors inversament proporcionals.

a) c)

b) d)

2

5 10 20 4

60 30 25 5

1 2 4

36 12 6 4

6 3 21 7 1

7 1

8 3 1 6

3 12 4

REGLA DE TRES INVERSA• La regla de tres simple inversa ens permet calcular el valor desconegut d’una proporció

en què les magnituds són inversament proporcionals.

• Coneixem tres dels quatre valors de la proporció, i el valor desconegut (incògnita) l’anomenem amb la lletra x, y i z.

! → → 10 ⋅ 45 = x ⋅ 15 → 450 = 15x →

→ → x = 30

30 paletes acabaran l’obra en 15 dies.

45015

1515

= x

10 1545x

=⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯→

triguen

trigaran

Esbrina el nombre de paletes que farien la feina anterior si volguéssim que l’acabessin en 5 dies.

Un dipòsit d’aigua l’omplim en 18 hores si una aixeta aboca 360 litres d’aigua cada minut.

a) Quant trigarem a omplir-lo si aboqués 270 litres per minut?b) I si sortissin 630 litres per minut?

4

3

EXEMPLE



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

7

Podem resoldre els problemes per mitjà de la regla de tres inversa fent servir el mètode de reducció a la unitat, és a dir, trobant el valor desconegut per al valor 1, i després dividint entre els valors corresponents.

Resol els exercicis següents, per mitjà del mètode de reducció a la unitat.

Tres pintors triguen 2 hores a pintar una tanca. Si s’hi incorpora un pintor més, quant temps trigaran?

Si 20 obrers aixequen una paret de maons en 6 dies, quants dies trigaran 12 obrers?

En recórrer una distància, un camió triga 4 hores a una velocitat constant de 65 km/h.

a) A quina velocitat anirà un automòbil que recorre la mateixa distància en la meitat de temps?

b) I una avioneta que trigués 45 minuts?

9

8

7

Un ramader té 36 vaques i prou pinso per alimentar-les durant 24 dies. Si decideix comprar 18 vaques més, per a quants dies tindria pinso?

S’està construint una autopista i s’ha de fer un túnel a la muntanya. Està planificat que dues màquines facin l’obra en 90 dies. Per reduir aquest temps a la tercera part, quantes màquines farien falta?

6

5



OBJECTIU 4

RESOLDRE PROBLEMES DE PERCENTATGES MITJANÇANT REGLA DE TRES7En una classe de 2n d’ESO el 60 % dels alumnes són noies. Si en total hi ha 30 alumnes, calcula el nombre de noies i de nois i el percentatge d’aquests últims.

Si 30 alumnes el 100 %

x alumnes el 60 %

Una fàbrica produeix 1.500 automòbils al mes. El 25 % són furgonetes; el 60 %, turismes, i la resta, monovolums. Troba les unitats produïdes de cada tipus d’automòbil.

Unes sabatilles que abans costaven 60 € tenen un descompte del 15 %. Calcula quant valen ara.

En un institut de 1.200 alumnes s’han publicat els resultats d’una enquesta sobre música moderna: el 30 % dels alumnes prefereixen música tecno; el 25 %, pop; un 40 %, rock, i la resta, música melòdica. Calcula els alumnes que prefereixen cada modalitat musical i el percentatge dels que trien la música melòdica.

D’un col·legi amb 600 alumnes, el 50 % són d’Educació Primària; el 35 %, d’ESO, i el 15 %, de Batxillerat. Troba el nombre d’alumnes de cada nivell educatiu.

Un pantà té una capacitat total de 5 milions de metres cúbics d’aigua. Actualment està ple al 75 % de la seva capacitat. Calcula els metres cúbics d’aigua que conté.

6

5

4

3

2

1

⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯→

són

seran ! → → 30 ⋅ 60 = 100x30 100

60x=

NOM: CURS: DATA:



Proporcionalitat geomètrica8INTRODUCCIÓ

L’estudi de la proporcionalitat geomètrica i la semblança de figures és complex per als alumnesd’aquest nivell educatiu.

Comencem la unitat recordant i diferenciant els conceptes bàsics de les aplicacions lineals (recta,segment i polígon), que són el pas previ a l’estudi de la proporcionalitat de segments i a l’aplicació delscriteris de semblança de figures, especialment dels triangles.

Proposem problemes senzills de segments iguals i proporcionals que s’originen a partir de rectesparal·leles, per continuar resolent problemes de semblança de figures. Serà més convenient incidiren els criteris de semblança de triangles que enunciardirectament el teorema de Tales i les sevesaplicacions.

Destaquem la importància de saber interpretar una escala en un mapa o en un plànol, i subratllem la relació entre la distància que mesurem en centímetres o mil·límetres , a més d’establir la distància real.

RESUM DE LA UNITAT

• Una recta està formada per infinits punts; no té ni principi ni final. Per dos punts sempre passa una recta.

• Una semirecta és una recta que té principi però no final.

• Un segment està delimitat per dos punts.• Un polígon és una figura formada per una línia

poligonal tancada. Està compost per diversoselements: diagonals, angles, costat i vèrtexs.

• La suma dels angles d’un polígon de n costats és: 180º · (n − 2).

• El quocient entre la mida de dos segments és laseva raó. Dos segments són proporcionals si tenenla mateixa raó.

• Diverses rectes paral·leles tallades per rectessecants formen segments proporcionals entre ells.

• Dos triangles són semblants si tenen tots tres anglesiguals, tots tres costats proporcionals, o si tenen doscostats proporcionals i l’angle que formen igual.

• Mitjançant una escala numèrica i gràfica podemcalcular distàncies de plànols i mapes. La mesuraque calculem en el mapa (cm) equival a unadistància real (km).

1. Calcular la raó de dossegments.

2. Aplicar els criteris de semblança desegments i triangles.

3. Llegir i interpretarescales en plànols i mapes.

• Recta, semirecta i segment.• El polígon i els seus elements.

Suma dels angles d’un polígon.• Raó de dos segments.

Segments proporcionals.

• Segments iguals i proporcionalsde rectes paral·leles.

• Divisió d’un segment en partsiguals.

• Semblança de triangles.

• Concepte d’escala.• Escala numèrica i escala

gràfica.

• Traçat de rectes, semirectes i segments.

• Identificació de polígons i els seuselements. Triangulació de polígons.

• Càlcul de la raó de dos segments.Construcció de segmentsproporcionals.

• Identificació de segments proporcionalsen rectes paral·leles.

• Expressió gràfica de la divisió d’un segment en parts iguals.

• Aplicació dels criteris de semblança de triangles. Resolució de problemes.

• Interpretació del significat de l’escala.• Càlcul de distàncies. Resolució

de problemes.


ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R



OBJECTIU 1

CALCULAR LA RAÓ DE DOS SEGMENTS8RECTA, SEMIRECTA I SEGMENT

• Una recta és una línia contínua formada per infinits punts, que no té no principi ni final.– Dos punts defineixen una recta.– Per un punt passen infinites rectes.

• Una semirecta és una recta que té principi però no té final.Un punt qualsevol forma dues semirectes sobre cada línia o direcció.

• Un segment és la porció o part d’una recta delimitada per dos punts.Els punts M i N formen el segment MN.

Indica a sota de cada figura el seu nom: recta, semirecta o segment.

a) c)

b) d)

Dibuixa dos punts qualssevol, P i T, i traça una recta, m, que hi passi.

Dibuixa un punt, A, traça diverses rectes que hi passin i anomena-les amb lletres diferents (r, s, t...).

A partir d’un punt, F, traça dues semirectes, m i n, que hi tinguin l’origen.

Dibuixa quatre segments, AB, MN, PT i XY, amb les mides 3, 6, 8 i 10 cm, respectivament.

a) AB c) PT

b) MN d) XY

5

4

3

2

• •• F

G FG •

1

ARecta r

Recta t

G FB

BSemirecta s • F

M N

NOM: CURS: DATA:



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

8

POLÍGONS

• Diversos segments units entre ells formen una línia poligonal. Una línia poligonal tancada és un polígon.

• Un polígon és una figura plana delimitada per una línia tancada.

Línia poligonal oberta Polígon (línia poligonal tancada)

Elements d’un polígon

Els angles són les regions que formen els costat quan es tallen.

Ho escrivim així: E!.

Els vèrtexs són els punts en què estallen els costats. Els anomenemamb una lletra majúscula.

Les diagonals són els segments que uneixen dosvèrtexs no consecutius.

Els costats són els segments que limiten el polígon.

La suma de les longituds delscostats l’anomenem perímetre.

A

B

C

D

E

Amb segments que facin 1, 2, 3 i 4 cm, respectivament, dibuixa una línia poligonal oberta i un polígon.

a) Línia poligonal b) Polígon

Pensa en quatre objectes amb forma de polígon i dibuixa’ls.

a) Pissarra c)

b) d)

Assenyala i anomena els vèrtexs i els costats dels polígons, i dibuixa els angles i les diagonals.8

7

6

F

F

F

F



8SUMA DELS ANGLES D’UN POLÍGON

• Sabem que la suma dels angles d’un triangle és 180º. Per això, per trobar la suma dels angles d’un polígon hem de fer-ne la triangulació, per mitjà del traçat de diagonals des d’un dels vèrtexs del polígon.

• La suma dels angles d’un polígon la calculem sumant 180º tantes vegades com triangles tingui el polígon.

T1 = 180° T1 + T2 = 180° + 180° = T1 + T2 + T3 = T1 + T2 + T3 + T4 == 360° = 180° + 180° + 180° = 540° = 180° + 180° + 180° + 180° = 720°

– Polígon de 3 costats: 180° ⋅ (3 − 2) = 180° ⋅ 1 = 180°– Polígon de 4 costats: 180° ⋅ (4 − 2) = 180° ⋅ 2 = 360°– Polígon de 5 costats: 180° ⋅ (5 − 2) = 180° ⋅ 3 = 540°– Polígon de 6 costats: 180° ⋅ (6 − 2) = 180° ⋅ 4 = 720°– Polígon de 7 costats: 180° ⋅ (7 − 2) = 180° ⋅ 5 = 900°– Polígon de n costats: 180° ⋅ (n − 2)

T1

T1

T2

T1

T2

T3

T1

T2

T3

T4

Fes la triangulació d’aquests polígons, pinta’ls i assenyala els triangles que es formen.

a) Quadrat b) Rectangle c) Hexàgon

Calcula el valor de cadascun dels angles d’un pentàgon regular.

Troba el valor de l’angle que falta en cada cas.

a) b)

11

10

9

85°

68° 119°

125°

? 123°

135°

110°

74°

?


Tenim els segments a i b, de longituds 3 cm i 5 cm. Troba’n la raó.

La raó de a i b és: .ab

= =35

0 6,

• •• •


ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

8

RAÓ DE DOS SEGMENTS

La raó de dos segments és el nombre que resulta de dividir-ne les longituds.

a b

Dibuixa dos segments, m i n, de longituds 3 cm i 4 cm, respectivament. Troba’n la raó.

La raó de dos segments, a i b, és 0,5. Si a fa 2 cm, calcula el valor de b. Dibuixa els segments.

La raó de dos segments, m i n, és 0,75. Si n fa 4 cm, calcula el valor de m. Dibuixa els segments.

mn

= 0 75,

14

ab b

= =0 52

0 5, ,

13

12

SEGMENTS PROPORCIONALS

Si la raó de dos segments, a i b, és la mateixa que la d’uns altres dos segments, c i d, diem que

els segments són proporcionals, ho escrivim: i es compleix que a ⋅ d = b ⋅ c.ab

cd

=

Els segments a i b fan 3 cm i 4 cm, i els segments c i d fan 6 cm i 8 cm. Dibuixa’ls i comprova que són proporcionals.

Dos segments, a i b, fan 4 cm i 5 cm i són proporcionals a dos segments més, c i d. Si el segment c fa 8 cm, calcula el valor del segment d.

16

15

EXEMPLE


EXEMPLE


OBJECTIU 2

APLICAR ELS CRITERIS DE SEMBLANÇA DE SEGMENTS I TRIANGLES8SEGMENTS IGUALS DE RECTES PARAL·LELES• Dibuixem quatre rectes que estiguin a la mateixa distància entre elles: a, b, c i d.• Les tallem per dues rectes secants, r i s, que formen segments en tots dos costats.• Els segments que s’originen en la recta r són iguals entre ells i els segments que s’originen

en la recta s també ho són.

rA

B

C

D

F

G

H

I

sa

b

c

d

Segments de la recta r : AB = BC = CDSegments de la recta s : FG = GH = HI

Fixa’t en el dibuix següent.

a) Anomena els segments que s’originen quan traces la recta s.

b) Verifica que AB = BC = CD.

c) Comprova el mateix per als segments de la recta s.

Sobre les rectes f i g, traça quatre rectes paral·leles que estiguin a una distància d’1,5 cm entre elles.

a) Anomena els segments que s’originen quan talles les paral·leles en f i g.

b) Comprova que els segments que es formen en cada recta són iguals.

2

1

rA

B

C

D

sa

b

c

d

f

g

SEGMENTS PROPORCIONALS DE RECTES PARAL·LELES• Dibuixa diverses rectes paral·leles: a, b i c.• Les tallem amb dues rectes secant, r i s, que formen segments en tots dos costats.• Els segments que originen les rectes r i s són proporcionals entre ells.

EXEMPLE

AB és a BC com FG és a GH:

ABBC

FGGH

=

rA

B

C

F

G

H

sa

b

c

NOM: CURS: DATA:


Divideix el segment AB en 5 parts iguals.


ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

8

Fixa’t en el dibuix i troba el valor del segment GH.

Anomena els segments amb les lletres majúscules i les rectes amb minúscules i calcula el valor del segment x.

Calcula el valor del segment que falta. Anomena els segments i les rectes.5

4

3

AB = 2 cm FG = 2,5 cm

BC = 4 cm GH = ?

rA

B

C

F

G

H

sa

b

c

1,3 cm

2 cm

2,5 cm

3,6 cm

x

1,8 cm

2,7 cmx

DIVISIÓ D’UN SEGMENT AB EN PARTS IGUALS

Seguim aquests passos:

1r Tracem una semirecta (s) amb origen a A i hi assenyalem tants segments (1-5) iguals i consecutius (de la mida que ens sembli millor) com parts siguin.

2n Unim l’últim segment (5) amb l’extrem B.3r Tracem paral·leles a aquest segment i queden assenyalades les parts iguals a AB.

1

2

3

4

5

Semirecta s

B

EXEMPLE

A



8Divideix el segment MN en 7 parts iguals.

Divideix un segment de 6 cm en vuit parts iguals.7

6

SEMBLANÇA DE TRIANGLES

Dos triangles són semblants si es compleix qualsevol d’aquestes condicions.

1a Tenen els tres costats proporcionals.2a Tenen els tres angles iguals.3a Tenen dos costats proporcionals i l’angle que formen igual.

M N

Primer criteriDos triangles són semblants si tenen els costats proporcionals.

Segon criteriDos triangles són semblants si tenen dos angles iguals.

Tercer criteriDos triangles són semblants si tenen un angle igual i els costatsque el formen són proporcionals.

A B

b b

c

a

c

C

A' B'b' b'

c' c'

a'C'

A B

C

A' B'

C'A B

C

A' B'

C'

aa

bb

cc' ' '

= = A! = A!'; B! = B!'C! = 180° − A! − B! = C!'

A! = A!';bb

cc' '

=

EXEMPLE



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

8

La mida dels costats dels triangles següents és:

a) Anomena els costats de cada triangle.

b) Comprova que són semblants.

c) Quin criteri has aplicat?

D’un triangle, en coneixem les dades següents:

Costat AG = 4 cm Costat GC = 6 cm G! = 60°

I d’un altre triangle sabem:

Costat DE = 8 cm Costat EF = 12 cm E! = 60°

a) Comprova si són semblants.

b) Indica el criteri aplicat.

c) Fes un dibuix representatiu.

Dos triangles rectangles tenen un angle agut comú que fa 40º.

a) Són semblants? Per què?

b) Fes un dibuix representatiu.

Els costats d’un triangle fan 3 cm, 5 cm i 9 cm. Indica les mides d’un triangle semblant al primer. Raona la resposta i fes un dibuix representatiu.

L’angle d’un triangle fa 75º, i els costats que el formen, AC = 4 i CD = 6 cm. Quina de les opcions següents correspondria a un triangle semblant al donat? Raona la resposta i fes un dibuix representatiu.

a) Angle = 65°; costats MH = 8 cm i HN = 10 cm.

b) Angle = 75°; costats MH = 8 cm i HN = 10 cm.

c) Angle = 75°; costats MH = 8 cm i HN = 12 cm.

d) Angle = 90°; costats MH = 8 cm i HN = 12 cm.

12

11

10

9

8

8 cm

6 cm

10 cm

3 cm

4 cm5 cm


Escala numèrica 1 :3001 cm del dibuix, plànol o mapa equival a 300 cm de la realitat (300 cm = 3 m).

Escala gràfica

Segons aquesta escala:

5 cm del dibuix, plànol o mapa equivalen a 10 m de la realitat.1 cm del dibuix, plànol o mapa equival a 2 m de la realitat.

EXEMPLE


OBJECTIU 3

LLEGIR I INTERPRETAR ESCALES EN PLÀNOLS I MAPES8ESCALA D’UN PLÀNOL O MAPA• Les distàncies i mides dels plànols i mapes estan reduïts per tal que es puguin

observar fàcilment.• Els valors són proporcionals a la distància o mida real.• Per mitjà de l’escala relacionem la distància o la mida que hi ha en un plànol

o mapa amb la distància o la mida reals.

Escala =Distància o mida sobre el plànol o mapa!!!!!

Distància o mida en la realitat

G F G F G F G F G F1 cm 1 cm

0 2 4 6 8 10 m

1 cm 1 cm 1 cm

Completa la taula següent.

Expressa, mitjançant una escala numèrica i una escala gràfica.

a) 1 cm en el plànol equival a 2 km en la realitat.

Escala numèrica Escala gràfica

b) 1 cm en el plànol equival a 25 km en la realitat.

Escala numèrica Escala gràfica

2

1

1:100

ESCALA DISTÀNCIA EN EL MAPA O PLÀNOL DISTÀNCIA REAL (cm) DISTÀNCIA REAL (m)

1:2.000

1:20.000

1:350.000

1:2.000.000

NOM: CURS: DATA:



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

8

En funció de les escales següents, completa les equivalències.

a)

b)

Un mapa de carreteres està elaborat a escala 1 :200.000.

a) Què vol dir això?

b) Una distància de 4 cm en el mapa, quants metres i quilòmetres són en realitat?

El plànol d’una casa està dibuixat a escala 1 :100. Si una habitació en el plànol fa 3 × 4 cm, quant farà en la realitat?

Si en el plànol 1 cm 100 cm realsSi en el plànol 3 cm x cm reals

Considera la distància en línia recta entre les ciutats següents en un plànol.Troba la distància real en quilòmetres entre:

a) Sevilla - Cadis b) Sevilla - Màlaga c) Cadis - Màlaga

6

5

4

3


0 3 6 9 12 15 m

1 cm 1 cm 1 cm

G F G F1 cm 1 cm

2,5 cm

3,5 cm

4 cm

Sevilla

Cadis Màlaga

0 50 100 km


0 2 4 6 8 14 m

1 cm 1 cm 1 cmG F

10

1 cmG F

12

1 cm1 cm

ESCALA GRÀFICA REALITAT (m)

2 cm

5 cm

10 cm

1 cm

ESCALA GRÀFICA REALITAT (km)

3 cm

5 cm

12 cm

FF !

fa

faran



8La planta baixa de l’institut està representada en el plànol següent.

Calcula les mides reals de cada dependència, si saps que l’escala és 1 : 400.

7

Sala de professors Secretaria

Consergeria

DireccióCafeteriaDelegació

d’alumnes

Serveis

Secretaria

DEPENDÈNCIA MIDES EN EL PLÀNOL (cm) MIDES REALS (m)

Sala de professors

Consergeria

Direcció

Cafeteria

Delegació d’alumnes

Serveis

Troba la distància que recorre la Lluïsa per anar a l’institut, si el plànol està fet a escala 1 : 4.000.8

Lluïsa

Institut

F

F

F

F



INTRODUCCIÓ

Amb el teorema de Pitàgores, podem calcularqualsevol dels costats d’un triangle rectangle en funciódels altres. Plantegem problemes relacionats ambaquest teorema en què la interpretació gràfica ensajuda a resoldre’ls.

Continuem aquesta unitat recordant les unitats de longitud i superfície, i les conversions entre elles.També esmentem les diferents unitats per mesurarsuperfícies agràries. Els conceptes de perímetre d’un polígon i àrea d’una figura els introduïmprèviament al càlcul de les àrees dels paral·lelograms i polígons regulars principals: triangle, quadrat,rectangle, rombe, romboide i polígons de costatsiguals.

Els alumnes ja coneixen la relació entre el perímetre o la longitud de la circumferència i el seu diàmetre; ara calcularem l’àrea de la superfície que delimita, és a dir, la superfície del cercle, que introduïm com un polígon de molts costats iguals, de manera que en trobem l’àrea en funció del perímetre i el radi. Els exemples gràfics i relacionats amb la vida real ens ajudaran en la resolució de problemes.

RESUM DE LA UNITAT

• Teorema de Pitàgores: en un triangle rectangle, la hipotenusa al quadrat és igual a la suma delsquadrats dels catets.

• El metre és la unitat principal de longitud. El pasentre les unitats de longitud el fem multiplicant o dividint per 10.

• El metre quadrat és la unitat principal de superfície.Per transformar les unitats de superfíciemultipliquem o dividim per 100. L’àrea i l’hectàreasón unitats de superfície agràries.

• El perímetre d’un polígon és la mida dels seucontorn. Per calcular-lo, en sumem tots els costats.

• L’àrea d’una figura és la mida de la seva superfície.Calculem les àrees dels principals polígons: triangle,quadrat, rectangle, rombe, romboide i polígonsregulars.

• La longitud o perímetre de la circumferència és igualal diàmetre (dues vegades el radi) multiplicat per el nombre π.

• El cercle és la superfície que ocupa unacircumferència. L’àrea d’un cercle és igual a π multiplicat pel radi al quadrat.

1. Comprendre el teoremade Pitàgores.

2. Conèixer les unitats de longitud i superfície.Calcular perímetres.

3. Calcular l’àrea delspolígons principals.

4. Calcular l’àrea i el perímetre de figures circulars.

• Triangle rectangle.• Àrea dels quadrats sobre

els costats.• Teorema de Pitàgores:

enunciat.

• Unitats de longitud i superfície.

• Múltiples i submúltiples. Unitats agràries.

• Perímetre d’un polígon.

• Àrea d’una figura.• Àrea de polígons: rectangle,

quadrat, rombe, romboide i triangle.

• Àrea de polígons regulars.

• Circumferència i cercle.• Relació entre la longitud

de la circumferència i el seudiàmetre. Nombre π.

• Àrea del cercle.

• Reconeixement dels costats d’un triangle rectangle.

• Aplicació del teorema de Pitàgores.• Resolució de problemes.

• Identificació de les magnituds.Conversió d’unitats de longitud i superfície.

• Resolució de problemes.• Càlcul de perímetres.

• Estimació d’àrees.• Càlcul de l’àrea dels paral·lelograms

i polígons principals.• Resolució de problemes.

• Relació de la longitud de la circumferència i el seu diàmetre.

• Càlcul de la superfície del cercle.• Resolució de problemes.


ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

Figures planes. Àrees9830896_07b_Adaptacio.qxd 13/8/08 20:58 Página 347

QUADRATS SOBRE ELS COSTATS D’UN TRIANGLE RECTANGLE

• Sobre els costats d’un triangle rectangle construïm quadrats, con es veu a la figura.

• La suma de les àrees dels quadrats construïts sobre els dos catets és igual a l’àrea del quadrat construït sobre la hipotenusa.


OBJECTIU 1

COMPRENDRE EL TEOREMA DE PITÀGORES

TRIANGLE RECTANGLE

• Un triangle rectangle té un angle recte (90º).• Els costats que formen l’angle recte els anomenem catets, b i c.

El costat més gran l’anomenem hipotenusa, a.• Exemples de triangles rectangles són l’escaire i el cartabó.

a

c

b

Dibuixa un triangle rectangle els catets del qual facin 3 cm i 4 cm.

a) Forma l’angle recte amb tots dos catets i comprova que faci 90º.

b) Mesura la longitud del costat més gran: hipotenusa.

c) Anomena’n els elements: angle recte i costats.

Traça una diagonal sobre el rectangle següent.

a) Quins polígons s’han format? b) Anomena’n els elements.

2

1

A

+ =

B C

NOM: CURS: DATA:



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

TEOREMA DE PITÀGORES• Pitàgores va ser un científic de l’època grega que va enunciar el teorema que porta el seu nom

i que afirma: «En un triangle rectangle, la hipotenusa al quadrat és igual a la suma dels quadrats dels catets».

• Podem trobar els valors dels catets en funció dels altres valors:

b 2 = a 2 − c 2 Aïllem

c 2 = a 2 − b 2 Aïllem c a b= −2 2

b a c= −2 2

a

c

b Aïllem a b c= +2 2F

F

F

a 2 = b 2 + c 2

Calcula el valor de la hipotenusa en els triangles rectangles següents.

a) b)

Troba el valor dels catets que falten en cada triangle rectangle.

a) b)

Una escala que fa 6 cm es recolza en una paret. Des de la base de l’escala fins a la paret hi ha una distància de 2 m. Troba l’altura marcada a la paret per l’escala. (En la figura, la distància AC.)

En Pere i l’Elisa volen aguantar amb una corda un pal de 2 m d’altura a una estaca que està situada a 3,5 m de la base del pal. Calcula la longitud de la corda que necessiten.

6

5

4

3

a a

10 cm

4 cm

8 cm

15 cm

13 cm

12 cm

l2 m

2 m

3,5 m

6 cm10 cm

A

CB

6 m

9



OBJECTIU 2

CONÈIXER LES UNITATS DE LONGITUD I SUPERFÍCIE. CALCULAR PERÍMETRES

UNITATS DE LONGITUD

• El metre és la unitat principal de longitud. De manera abreujada ho escrivim m.

• Els múltiples (unitats més grans) i submúltiples (unitats més petites) del metre són:

• Cada unitat és 10 vegades més gran que la immediatament inferior i 10 vegades més petita que laimmediatament superior.

Expressa cada longitud en la unitat indicada.

a) 34 km = 34 ⋅ 1.000 = .................. m d) 7 cm = 7 : 10 = .................. dm

b) 348 m = .................. = .................. hm e) 4,3 hm = .................. = .................. m

c) 0,8 hm = .................. = .................. km f) 7,5 dm = .................. = .................. cm

Ordena, de més gran a més petita (>), les mides següents. Pren com a referència el metre i transforma totes les mides a aquesta unitat.

0,34 km – 45 dm – 5 m – 678 cm – 12 m – 0,25 km – 9,5 dam – 5.500 mm – 0,01 km – 2,83 dam

Dibuixa amb el teu regle segments de longituds 5, 7, 12 i 14 cm, respectivament. Anomena’ls i completa la taula adjunta.

3

2

1

mam km hm dam m dm cm mm

F

⋅ 10

F

: 10

F

: 10

F

: 10

F

: 10

F

: 10

F

: 10

F

: 10

F

⋅ 10

F

⋅ 10

F

⋅ 10

F

⋅ 10

F

⋅ 10

F

⋅ 10

MÚLTIPLES DEL METREUNITAT

PRINCIPALSUBMÚLTIPLES DEL METRE

10.000 mmiriàmetre

mam

1.000 mquilòmetre

km

100 mhectòmetre

hm

10 mdecàmetre

dam

metrem

0,1 mdecímetre

dm

0,01 mcentímetre

cm

0,001 mmil·límetre

mm

SEGMENT LONGITUD DEL SEGMENT (cm)

EQUIVALÈNCIA (m) EQUIVALÈNCIA (dm)

NOM: CURS: DATA:



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R


Completa la taula.5

4

UNITATS DE SUPERFÍCIE

• El metre quadrat és la unitat principal de superfície. L’escrivim m2.

• Un metre quadrat és la superfície d’un quadrat que té 1 metre de costat.

• Els múltiples (unitats més grans) i submúltiples (unitats més petites) del metre quadrat són:

• Cada unitat és 100 vegades més gran que la immediatament inferior i 100 vegades més petita que la immediatament superior.

MÚLTIPLES DEL METRE QUADRAT UNITATPRINCIPAL SUBMÚLTIPLES DEL METRE QUADRAT

1.000.000 m2

quilòmetre quadrat

km2

10.000 m2

hectòmetre quadrat

hm2

100 m2

decàmetre quadratdam2

metrequadrat

m2

0,01 m2

decímetre quadrat

dm2

0,0001 m2

centímetre quadrat

cm2

0,000001 m2

mil·límetre quadrat

mm2

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

F

⋅ 100

F

: 100

F

: 100

F

: 100

F

: 100

F

: 100

F

: 100

F

⋅ 100

F

⋅ 100

F

⋅ 100

F

⋅ 100

F

⋅ 100

km

5 m

2,3 km

153 dm

6,5 hm

2.000 cm

hm m dm cm

LONGITUD (km)

11.200

913

680

336

9.270

3.410

2.850.000

743.000

535.000

LONGITUD (hm) LONGITUD (m)

1 m21 m

1 m

9



Per mesurar extensions de camps, finques, boscos, etc., fem servir altres unitats.

UNITATS SÍMBOL

Hectàrea

Àrea

Centiàrea

ha

a

ca

EQUIVALÈNCIA

1 hm2

1 dam2

EQUIVALÈNCIA EN m2

10.000 m2

100 m2

1 m21 m2

Completa les igualtats següents.

a) 90 m2 = 950 ⋅ 100 = ............... dm2 d) 54 dm2 = 54 : 100 = ............... m2

b) 43,2 cm2 = ............... = ............... dm2 e) 0,463 km2 = ............... = ............... hm2

c) 0,67 m2 = ............... = ............... cm2 f) 82 dam2 = ............... = ............... m2

Si 1 m2 és la superfície d’un quadrat d’1 m de costat, expressa el que seria:

a) 1 cm2 c) 1 km2

b) 1 mm2 d) 1 dam2

Expressa les unitats de superfície següents en la seva equivalència corresponent.

Ordena de més petita a més gran (< ), les mides següents. Pren com a referència el metre quadrat i transforma totes les mides en aquesta unitat.

0,024 dm2 – 32 m2 – 8.400 dm2 – 0,75 hm2 – 0,0024 km2 – 12 dam2 – 865.271 mm2 – 50 m2

9

8

7

6

EXPRESSIÓ (ha) EQUIVALÈNCIA (a) EQUIVALÈNCIA (m2)

Un camp de gira-sols de 3 hectàrees

Un bosc de 250 hectàrees

Una finca de 10 hectàrees

Un terreny de cultiu de 2,4 hectàrees

ha caaF

: 100

F

: 100

F

⋅ 100

F

⋅ 100


Troba el perímetre d’un camp de futbol de 100 m i 70 m de costats.

P = 100 + 70 + 100 + 70 = 340 m

EXEMPLE


ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

PERÍMETRE D’UN POLÍGONEl perímetre d’un polígon és la mida del seu contorn. Per calcular-lo en sumem els costats. L’expressem amb la lletra P.

70 m 70 m

100 m

100 m

El perímetre és una mesura de longitud.

Calcula el perímetre del tauler del teu pupitre i d’una rajola del terra de la teva aula. Fes-ne un dibuix significatiu.

Tauler del pupitre Rajola

Troba el perímetre dels polígons regulars següents. Fes un dibuix a escala de cada figura.

a) Pentàgon, de 5 cm de costat. c) Hexàgon, de 7 cm de costat.

b) Triangle, de 3 cm de costat. d) Quadrat, de 10 cm de costat.

11

10

9


Prenent com a unitat de superfície un quadradet , calcula l’àrea de la figura següent.

• Si cada quadradet tingués 1 cm de costat, la seva àrea seria 1 cm2 1 cm

• I l’àrea de la figura seria 15 cm2.


OBJECTIU 3

CALCULAR L’ÀREA DELS POLÍGONS PRINCIPALS

354

ÀREA D’UNA FIGURA

• L’àrea d’una figura és la mida de la seva superfície i indica el nombre de vegades que conté la unitat de superfície.

• El valor de l’àrea depèn de la unitat de mesura que prenguem.• Ho expressem amb la lletra A.

• La figura conté 15 .

• La seva àrea és: A = 15 unitats de superfície.

GF

Prenent com a unitat de mesura un quadrat, expressa l’àrea de cada figura.

a) c)

b) d)

1

ÀREA DEL RECTANGLE• El rectangle de la figura feta a escala

té 28 quadrats d’1 cm2 cadascun.• Són 7 columnes i 4 files.• Per trobar l’àrea del rectangle multipliquem

la longitud de la base per la longitud de l’altura.

→ A = b ⋅ h = 7 cm ⋅ 4 cm = 28 cm2

ÀREA DEL QUADRAT• El quadrat de la figura a escala conté 25 quadrats d’1 cm2.• Són 5 columnes i 5 files.• Per trobar l’àrea del quadrat multipliquem la longitud

d’un costat per la longitud de l’altre costat.

→ A = c ⋅ c = 5 cm ⋅ 5 cm = 25 cm2

Àrea rectangle = base ⋅ altura

Àrea quadrat = costat ⋅ costat

Base = 7 cm

Altura = 4 cm

Costat = 5 cm

Costat = 5 cm

EXEMPLE

NOM: CURS: DATA:



Calcula l’àrea d’aquests rectangles i fes un dibuix representatiu.

a) Base = 10 cm Altura = 4 cm b) Base = 12 cm Altura = 6 cm

Determina l’àrea dels quadrats i fes un dibuix representatiu.

a) Costat = 4 cm b) Costat = 8 cm

Un rectangle té 36 cm2 d’àrea i 12 cm de base. Calcula.

a) L’altura del rectangle.

b) El perímetre del rectangle.

Si un quadrat té 64 cm2 d’àrea, troba:

a) El costat del quadrat.

b) El perímetre del quadrat.

5

4

3

2

ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

9



Troba l’àrea d’aquest figura, composta per dos quadrats iguals i un rectangle.6

14 cm

8 cm

4 cm

ÀREA DEL ROMBE

L’àrea del rombe és el producte de la base per l’altura.El rombe ocupa la meitat de la superfície del rectangle.

ÀREA DEL ROMBOIDEEl romboide el podem transformar en rectangle.L’àrea d’un romboide és l’àrea d’un rectangle amb la mateixa base i altura.

d

D

bb

a a

Àrea romboide = base ⋅ altura = b ⋅ h

Àrea rombe diagonal gran diagonal petita2

= ⋅ = D ⋅⋅ d2

Calcula l’àrea dels rombes següents i fes-ne un dibuix representatiu a escala.

a) Diagonal gran = 7 cm b) Diagonal gran = 10 cmDiagonal petita = 3 cm Diagonal petita = 5 cm

Calcula l’àrea d’aquests romboides i fes-ne un dibuix representatiu a escala.

a) Base = 8 cm b) Base = 12 cmAltura = 2 cm Altura = 5 cm

8

7

G F

G

F

G

F



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

Calcula l’àrea i el perímetre dels triangles.

a) b) Triangle equilàter

Costat = 6 cm

Altura = 5,2 cm

Troba l’àrea de la figura següent.10

9

ÀREA DEL TRIANGLE• Quan tracem la diagonal del romboide, aquest queda dividit

en dos triangles.• El triangle gris i el triangle blanc ocupen la mateixa superfície.

• Àrea triangle =àrea romboide

2= ⋅b h

2G F

b

a

G

Àrea triangle = ⋅b h2

8 cm

6 cm10 cm

ÀREA DEL POLÍGON REGULARL’hexàgon regular següent es descompon en 6 triangles iguals l’altura del qual és l’apotema, a.

• Àrea de cada triangle =

• Àrea dels 6 triangles = 6 ⋅

Perímetre de l’hexàgon = 6 ⋅ c

l ⋅ = ⋅ = ⋅a P a2 2 2

perímetre apotema

base altura lado apotema⋅ = ⋅ = ⋅2 2 2

l ac

a

a

c

a

c

a

c

a

c

a

c

a

c

Àrea polígon regular perímetre apotema2

= ⋅

G

F

15 cm

G FG F15 cm5 cm

9



Calcula el perímetre i l’àrea dels polígons següents.

a) Pentàgon regular Costat = 5 cmApotema = 3,44 cm

b) Hexàgon regular Àrea del triangle = 15,6 cm2

Costat = 6 cm

Determina el perímetre i l’àrea de les figures.

a) Octàgon regular Apotema = 2,41 cmCostat = 2 cm

b) Quadrat Costat = 10 cmÀrea del triangle = 25 cm2

Troba quant fa el costat d’aquests polígons.

a) Octàgon regular Àrea de l’octàgon = 1.920 cm2

Apotema = 24 cm

b) Hexàgon regular Àrea de l’hexàgon = 345 cm2

Apotema = 10 cm

13

12

11



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

OBJECTIU 4

CALCULAR L’ÀREA I EL PERÍMETRE DE FIGURES CIRCULARS

CONCEPTE DE CIRCUMFERÈNCIA I CERCLE

CircumferènciaLa circumferència és una línia corba tancada i plana els punts dels quals estan situats a la mateixa distància del centre.

CercleEl cercle és la figura plana formada per la circumferència i el seu interior.

RELACIÓ ENTRE LA CIRCUMFERÈNCIA I EL SEU DIÀMETRE• Imagina que estenem el contorn complet de la circumferència i ho comparem amb el diàmetre.

• Quan dividim la longitud de la circumferència entre el diàmetre obtenim sempre el mateix nombre que representem amb la lletra grega π, i que llegim pi.

• El nombre sempre és el mateix valor: π = ≈ 3,14longitud de la circumferència

Diàmetre

La longitud de la circumferènciaés una mica més gran que el triplede la longitud del seu diàmetre.

= π, d’on obtenim l’expressió de la longitud d’una circumferència L = d ⋅ π = 2 ⋅ π ⋅ r

Ld

Comprova l’obtenció de π amb els exemples següents.

Dibuixa una circumferència de 4 cm de diàmetre i calcula’n la longitud. (Fes servir el compàs amb un radi de 2 cm.)

2

1

RELLOTGE

LONGITUD CIRCUMFERÈNCIA DIÀMETRE LONGITUD DIVIDIDA ENTRE DIÀMETRE

ANELLA DE GIMNÀSTICA

RODA COTXE

PAPERERA

78,5 cm

226,1 cm

168 cm

157 cm

25 cm

72 cm

53,5 cm

50 cm

dd

d

r r

d d

L

NOM: CURS: DATA:

9



La roda d’una bicicleta té un radi de 29 cm.

a) Quina distància recorre la bicicleta cada vegada que la roda fa una volta?

b) I si fa tres voltes?

3

Fes un dibuix a escala i calcula l’àrea d’aquests cercles.

a) Radi = 3 cm b) Radi = 5 cm

Vull sembrar un terreny circular que té un diàmetre de 140 dm. Quants metres quadrats són?

Troba la superfície de les zones pintades.

a) Costat del quadrat: 4 cm b) Radi del cercle més gran: 5 cmRadi del cercle: 1,3 cm Radi del cercle més petit: 3 cm

6

5

4

ÀREA DEL PERÍMETRE DEL CERCLE• El cercle és un polígon regular amb molts costats.

El perímetre és 2πrL’apotema és el radi r

Àreaperímetre apotema= ⋅ = ⋅

2 2P a

!Àrea cercle = ⋅ = ⋅ ⋅ =P a r r

r2

22

2π π

El perímetre del cercle és igual ala longitud de la circumferència.

P = 2πrPerímetre

Cercle

G•



INTRODUCCIÓ

Els poliedres, els seus elements i tipus, ja sónconeguts pels alumnes del curs anterior. Descobrim i reconeixem de nou els prismes, les piràmides i elscossos de revolució, i calculem les superfícies delspoliedres principals, sense aprofundir en algoritmesmés difícils (projeccions, problemes complexos,simetries en l’espai, etc.)

A partir del desenvolupament de les figures intentemfer el càlcul de les diferents àrees. No pretenemaconseguir l’aprenentatge memorístic de fórmules,sinó que per mitjà del dibuix del poliedre «estès»trobem l’àrea del rectangle o triangle que es forma i les superfícies de les bases del poliedre, ja siguinpolígons regular s o circumferències.

Tampoc exigim als alumnes el dibuix perfecte de lesfigures; demanem, simplement, la col·locació enalgunes activitats de les cares en un ordre correcte des del punt de vista gràfic.

Com a complement a la unitat recomanem l’ús de diversos materials de geometria, com el muntatge i la construcció de poliedres mitjançant varetes i figures planes d’unió per cares i arestes.

RESUM DE LA UNITAT

• Els poliedres són cossos geomètrics limitats percares poligonals. Les cares, arestes i vèrtexs són els principals elements dels poliedres.

• Poliedres regulars són els aquells les cares delsquals estan formades per polígons regulars.

• Els tetraedre, hexaedre, octaedre, dodecaedre i icosaedre són els poliedres regulars principals. S’hi compleix que la suma de cares i vèrtexs és igual al nombre d’arestes augmentat dues unitats.

• Els prismes són poliedres formats per dues basesiguals i paral·leles, i les seves cares laterals sónparal·lelograms. En funció del polígon de la base, els prismes seran triangulars, quadrangulars,pentagonals, hexagonals, etc.

• Les piràmides són poliedres la base de la qual és un polígon regular i les seves cares laterals sóntriangles que concorren en un vèrtex comú. En funció de la base, les piràmides serantriangulars, quadrangulars, pentagonals, etc.

• El cilindre, el con i l’esfera són cossos de revolucióles superfícies laterals dels quals són corbes.

1. Conèixer i diferenciar els poliedres regulars.

2. Reconèixer els principalsprismes i piràmides.Calcular-ne les àrees.

3. Reconèixer els cossos derevolució. Calcular l’àreadel cilindre.

• Poliedres. Definició i elements.

• Poliedres regulars i característiques. Classificació.

• Prismes i piràmides: elementscaracterístics, tipus i desenvolupament.

• Àrea dels principals prismes ipiràmides.

• Cilindre i con: elementscaracterístics i desenvolupament.

• Àrea del cilindre.• L’esfera terrestre:

característiques principals.

• Identificació dels principals elementsdel poliedre.

• Reconeixement dels poliedres regularspels seus elements i desenvolupament.

• Reconeixement de prismes i piràmides pels seus elements i desenvolupament.

• Càlcul de l’àrea total de prismes ipiràmides.

• Desenvolupament del cilindre i el con.

• Identificació de figures amb forma de cossos rodons.

• Càlcul de l’àrea d’un cilindre.• Distinció d’alguns elements de l’esfera.


ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

Cossos geomètrics10830896_07c_Adaptacio.qxd 3/9/08 16:43 Página 361

CONCEPTE DE POLIEDRE

• Un poliedre és un cos geomètric les cares del qual són polígons.

• Els elements del poliedre són:Cares: polígons que limiten el poliedre (6 en la figura adjunta).Arestes: costats comuns a dues cares (12 en la figura adjunta)Vèrtexs: punts on s’uneixen més de dues cares (8 en la figura adjunta).

• La superfície del poliedre la podem estendre sobre un pla, i l’anomenem desenvolupament pla del poliedre.

Indica en els poliedres següents el nombre de cares, arestes i vèrtexs.

En aquests poliedres, marca amb un punt vermell els vèrtexs i anomena’ls amb lletres majúscules.

a) b) c)

2

1


OBJECTIU 1

NOM: CURS: DATA:

CONÈIXER I DIFERENCIAR ELS POLIEDRES REGULARS10

POLIEDRENOMBRE DE CARES

NOMBRE D’ARESTES

NOMBRE DE VÈRTEXS

TIPUS DE POLÍGONS DE LES CARES

A

B

C

A B CF

F F

F

Vèrtex

Cara

Aresta

Fixa’t en el poliedre i completa.

A, B,Els vèrtexs són: ................................................................

AB, BC,Les arestes són: ..................................................................

ABCD,Les cares són: ....................................................................

3

A B

D C

F GE H

830896_07c_Adaptacio.qxd 13/8/08 20:59 Página 362


ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

10

Completa els desenvolupament pla dels poliedres següents.

a)

b)

Dibuixa el desenvolupament pla d’aquestes figures geomètriques.5

4

POLIEDRES REGULARS

• Són els poliedres les cares dels quals són polígons regulars (cares i angles iguals). En cada vèrtex del poliedre concorre el mateix nombre de cares.

• Existeixen 5 poliedres regulars, que són:

TETRAEDRE HEXAEDRE O CUB OCTOEDRE DODECAEDRE ICOSAEDRE

4 cares.Trianglesequilàters

6 cares. Quadrats


12 cares.Pentàgonsregulars


A BC

F

F



10Completa la taula següent.

Observa que la suma de Cares + Vèrtexs és igual a Arestes + 2.

Fixa’t en aquests poliedres. Assenyala’n i anomena’n els vèrtexs amb majúscules i completa:

Indica si són verdaderes o falses (V o F) les afirmacions següents.

a) La suma de les cares i els vèrtexs del cub és 12.b) El nombre més petit de cares d’un poliedre és 4.c) El dodecaedre té 12 cares, que són triangles equilàters.d) En un poliedre regular, totes les cares són iguals.e) El nombre d’arestes del cub i de l’octaedre és el mateix.

Indica amb quin desenvolupament pla es podria construir un ...............................a) b) c)

Indica amb quin desenvolupament pla es podria construir un ...............................a) b) c)

10

9

8

7

6

POLIEDRE CARES VÈRTEXS ARESTES CARES + VÈRTEXS ARESTES + 2

Tetraedre 4 4 6 4 + 4 = 8 6 + 2 = 8

Hexaedre-cub

Octaedre

Dodecaedre

Icosaedre

POLIEDRENOMBRE DE CARES

NOMBRE DE VÈRTEXS

NOMBRE DE CARES EN CADA VÈRTEX


RECONÈIXER ELS PRISMES I PIRÀMIDES PRINCIPALS. CALCULAR-NE LES ÀREES

ÀREA D’UN PRISMA RECTEA partir del desenvolupament del prisma recte podem calcular-ne l’àrea. Distingim dues parts:

Àrea lateral– És la suma de les àrees de les seves cares.– El seu desenvolupament és sempre

un rectangle. Un dels costats del rectangle coincideix amb el perímetre de la base, i l’altre, amb l’altura del prisma.

AL = PB ⋅ h

Àrea total del prisma AT = AL + AB + AB = AL + 2 ⋅AB

Àrea de les bases– Les bases del prisma són polígons regulars.– El prisma té 2 bases iguals.– L’àrea d’un polígon és:

AB =P a⋅

2

Àrea d'un polígonperímetre apotema

2= ⋅ = ⋅P a

2

+

+ +


ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

OBJECTIU 2

10

CONCEPTE DE PRISMAUn prisma és un poliedre format per dues bases iguals i paral·leles, les cares laterals dels són paral·lelograms.

Elements del prisma Desenvolupament pla del prisma

TIPUS DE PRISMESEls prismes els anomenem en funció dels costats de les bases.

Prisma triangular Prisma quadrangular Prisma pentagonal Prisma hexagonal

Les dues basessón iguals i paral·leles entre elles.

Vèrtex

Les cares lateralssón paral·lelograms.

Base

Cares laterals

BaseAresta lateralBase amb forma

pentagonal. Aresta bàsica

Anomena, en aquests prismes, els seus elements: bases, vèrtexs, cares i arestes.

a) Prisma triangular b) Prisma hexagonal

1

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

NOM: CURS: DATA:


Calcula l’àrea total d’un prisma de base pentagonal, si saps que la seva altura és de 7 dm, el costat de la base fa 3 dm i l’apotema del polígon de les bases fa 2 dm.

ALateral = PB ⋅ h = (3 ⋅ 5) ⋅ 7 = 15 ⋅ 7 = 105 dm2

ABase =perímetre apotema )

2dm2⋅ = ⋅ ⋅ = =

23 5 2 30

215

(

EXEMPLE


10

Calcula l’àrea total d’un prisma hexagonal, si saps que:

– La seva altura és 10 dm.– El costat del polígon fa 4 dm.– L’apotema del polígon de la base fa 3,5 dm.

Fes a escala el dibuix del prisma i el seu desenvolupament.

Obtingues l’àrea total d’un prisma quadrangular l’altura del qual és 8 dm i el costat del quadrat de la fa base fa 4 dm. Fes a escala el dibuix del prisma i el seu desenvolupament.

Calcula l’àrea d’un cub que té 7 cm de costat.4

3

2

AT = AL + 2 ⋅ AB = 105 dm2 + 2 ⋅ 15 dm2 = 135 dm2



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

10

Assenyala i anomena, en les piràmides següents, els seus elements: bases, vèrtexs, cares i arestes.

a) Piràmide triangular b) Piràmide hexagonal

Dibuixa el desenvolupament de les piràmides següents i completa la taula.

A B

6

5

CONCEPTE DE PIRÀMIDE

Una piràmide és un poliedre la base dels qual és un polígon i les cares laterals, triangles que concorren en un vèrtex comú, anomenat vèrtex de la piràmide.

Elements de la piràmide Desenvolupament pla de la piràmide

TIPUS DE PIRÀMIDES

Les piràmides les anomenem en funció del nombre de costats de la base.

Piràmide triangular Piràmide quadrangular Piràmide pentagonal Piràmide hexagonal

Les cares la-terals són triangles

El cim és el vèrtexon s’uneixen les cares laterals

Base

Cares lateralsVèrtex

Base amb formahexagonal Aresta lateral

Aresta bàsica

NOM DE LA PIRÁMIDE

A

B

POLÍGONS DE LA BASE

NOMBRE DE CARES

NOMBRES DE VÈRTEXS

NOMBRE D’ARESTES

FF

F

F

F

F

F

FF

F


Calcula l’àrea total d’una piràmide de base pentagonal, si l’apotema de la base fa 4,13 cm, el costat de la base és 6 cm i l’altura de cadascun dels triangles de les cares és 9 cm.

ALateral = 5 ⋅ = 135 cm2

ÀreaPolígon =perímetre apotema )

2⋅ = ⋅ ⋅ = =2

5 6 4 13 123 92

61 95( , ,

, cm2

base altura2 2⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅5

6 95

542


10ÀREA D’UNA PIRÀMIDE REGULAR

A partir del desenvolupament de la piràmide en podem calcular l’àrea. Distingim dues parts.

Àrea lateral Àrea de la base

– És la suma de les àrees de les cares. – És l’àrea d’un polígon regular.– Les seves cares són triangles isòsceles – L’àrea d’un polígon és:

iguals, per això l’àrea és la suma de les àrees dels triangles.

Àrea del triangle =

AL = n · ATriangle AB =Siendo n el número de triángulos de la pirámide.

Àrea total de la piràmide:

P a⋅2

b h⋅2

Àrea polígonperímetre apotema

2= ⋅ = ⋅P a

2

AT = AL + AB

AT = AL + AB = 135 cm2 + 75 cm2 = 210 cm2

Troba l’àrea total d’una piràmide de base quadrangular, si el costat de la base fa 3 dm i l’apotema de la piràmide (altura del triangle) fa 6 dm.

7

3 dm

6 dm

EXEMPLE

F F



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

10

Calcula l’àrea total d’una piràmide de base hexagonal, si l’apotema de la base fa 5,2 dm, el costat de la base, 6 dm i l’altura de cadascun dels triangles de les cares és 10 dm. Fes a escala el dibuix de la piràmide i el seu desenvolupament.

Troba l’àrea total d’una piràmide de base pentagonal l’apotema de la base de la qual fa 4 dm, l’altura de cada triangle, 9 dm i l’àrea de cadascun dels triangles és 26,1 dm2. Fes a escala el dibuix de la piràmide i el seu desenvolupament.

La base de la piràmide és un quadrat de 6 cm de costat. Si l’altura de cada triangle fa 1 dm, calcula l’àrea total de la piràmide. Fes a escala el dibuix de la piràmide i el seu desenvolupament.

10

9

8



OBJECTIU 3

RECONÈIXER ELS COSSOS DE REVOLUCIÓ. CALCULAR L’ÀREA DEL CILINDRE10COSSOS DE REVOLUCIÓEls cossos de revolució són aquells les superfícies dels quals són corbes.

Cilindre Con– Té 2 bases iguals que són cercles. – Té 1 base que és un cercle.– Té 1 superfície lateral corba. – Té 1 superfície lateral corba.– L’obtenim quan girem un rectangle sobre el seu eix. – L’obtenim quan girem un triangle sobre el

seu eix.

Desenvolupament pla d’un cilindre Desenvolupament pla d’un con

Eix de gir Base

Base

Superfície lateral Superfície lateral

Base

Base

Base

Superfície lateral

Superfície lateral

Base

Eix de gir

Dibuixa la figura que s’origina quan girem sobre l’eix.

a) b)

Associa cada figura de gir amb l’objecte que s’origina.2

1

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

A C E

B D F

1 3 5

2 4 6

NOM: CURS: DATA:



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

10

ÀREA D’UN CILINDREA partir del desenvolupament del cilindre en podem calcular l’àrea. Distingim dues parts:

Àrea lateral– És l’àrea d’un triangle la base del qual és la longitud

de la circumferència de la base, 2πr, i l’altura, h, és l’altura del cilindre.

Àrea lateral = Àrea rectangle = 2πr ⋅h

Prenem com a valor del nombre π = 3,14.

Àrea de les bases– El cilindre té 2 bases iguals.– Les bases del cilindre són cercles.

Àrea bases = 2 ⋅Àrea cercle = 2πr 2

Àrea total = Àrea lateral + Àrea bases = 2πr ⋅h + 2πr 2

Calcula l’àrea total del cilindre següent.

Àrea lateral = 2πr ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ 5 =

Àrea bases = 2πr 2 = 2 ⋅ π ⋅ 32 =

Àrea total =

Troba l’àrea total d’un cilindre que té un radi de la base de 4 cm i una altura de 7 cm. Fes a escala un dibuix del cilindre i el seu desenvolupament.

Un rotllo de paper de forma cilíndrica té una altura d’1,5 m i un radi a la base circular de 0,4 m. Obtingues l’àrea total del rotllo.

5

4

3

3 dm

5 dm

F

F F



10ESFERA

• L’esfera és un cos rodó que no té cares, ja que està format per una única superfície corba. Tampoc té desenvolupament com el cilindre i el con.

• L’obtenim quan girem un semicercle sobre un eix que és el seu diàmetre.

L’ESFERA TERRESTRE

La Terra té una forma d’esfera, i presenta uns elements imaginaris que serveixen per situar punts sobre la superfície.

Elements de l’esfera terrestre

– Eix terrestre: línia imaginària al voltant de la qual gira la Terra sobre si mateixa.

– Pols: punts extrems de l’eix terrestre, nord i sud.– Meridians: circumferències màximes que passen pels pols. El més

important és el meridià zero. Passa per Greenwich (Londres).– Equador: circumferència màxima que obtenim si tallem la Terra pel

seu punt mitjà.– Paral·lels: circumferències menors paral·leles a l’equador.

Radi

Centre

Circumferènciamàxima

RadiSuperfíciede corba

Centre

DiàmetreCircumferènciamàxima

Pol nord

Pol sud

Eix terrestre

Paral·lel

Equador

Meridià

Eix de gir

Quin dels objectes següents genera una esfera quan girem entorn de l’eix?6

Sobre el dibuix de l’esfera terrestre següent, assenyala:

a) Els pols.

b) L’eix terrestre.

c) De vermell, el meridià zero.

d) De blau, dos meridians.

e) De verd, l’equador.

f) De amarillo, dos paralelos.

7

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

INTRODUCCIÓ

Com a complement a l’estudi del sistema mètricdecimal, iniciem aquesta unitat amb el conceptevolum i les seves respectives unitats de mesura. De la mateixa manera, i recordant les unitats de capacitat i massa, establim les relacions entreaquestes unitats i les de volum.

Partint de l’estudi dels cossos geomètrics realitzat en unitats anteriors, introduïm el concepte de volumdels diferents poliedres com el producte de l’àrea de la base per l’altura. Iniciem aquest estudi amb l’ortoedre i el cub (cas particular del primer). Per als alumnes d’aquest nivell conèixer i calcular el volum del cilindre i la piràmide és suficient.

També en aquesta unitat recomanem l’ús de diversosmaterials específics de geometria, en concret elscossos geomètrics transparents, dotats d’orificis per omplir-los de sorra o aigua i fer les relacions entrevolums dels diferents poliedres. Serà útil la construcciódel metre cúbic mitjançant les varetes de PVC i vèrtexsd’unió, així com la manipulació del decímetre cúbicdescomponible.

RESUM DE LA UNITAT

• El volum d’un cos es la quantitat d’espai que ocupa.

• El metre cúbic (m3) és la unitat principal de volum.El pas d’una unitat de volum a una altra el femmultiplicant o dividint per 1.000.

• El litre és la uniat principal de capacitat. El quilogram i el gram són les unitats principals de massa. Altres unitats són la tona i el quintarmètric.

• La conversió d’aquestes unitats de capacitat i massa la fem multiplicant o dividint per 10.

• Mitjançant equivalències establim relacions entre les diferents unitats de volum, capacitat i massa.

• El volum total de cossos geomètrics, com l’ortoedrei el cub, el trobem multiplicant les seves tresdimensions: llargària, amplària i alçària.

• De la mateixa manera, el volum del cilindrei la piràmide el trobem multiplicant l’àrea de les bases per la seva altura.

1. Comprendre el conceptede volum dels cossos.

2. Relacionar les unitats de volum, capacitat i massa.

3. Calcular el volumd’alguns cossosgeomètrics.

• Concepte de volum.• Unitats de volum: múltiples

i submúltiples.

• Unitats de massa i capacitat:múltiples i submúltiples.

• Equivalències entre les unitatsde volum, capacitat i massa.

• Volum de l’ortoedre.• Volum del cub.• Volum del cilindre i la piràmide.

• Identificació d’unitats cúbiques.• Conversió d’unitats de volum aplicant

les equivalències.

• Conversió d’unitats de capacitat i massa per mitjà d¡equivalències.

• Identificació de les relacions entre unitats de volum, capacitat i massa.

• Càlcul del volum de l’ortoedre i el cub.

• Càlcul del volum del cilindre i la piràmide.



Volum de cossos geomètrics


Si prenem com a unitat el cub (unitat cúbica), podem afirmar

que la figura té com a volum 5 unitats cúbiques.


OBJECTIU 1

COMPRENDRE EL CONCEPTE DE VOLUM DE COSSOS11

Prenent com a unitat el cub , calcula el volum de les figures.

a) b) c) d)

Fes el mateix que en l’exercici anterior amb aquestes figures.

a) b)

Calcula quants cubs caben en cadascuna d’aquestes figures.

a) b)

Continua i dibuixa la sèrie de figures en funció de les unitats cúbiques que formen.4

3

2

1

CONCEPTE DE VOLUM

El volum d’un cos és la quantitat d’espai que ocupa. Per mesurar el volum d’un cos, el comparem amb el volum d’un altre cos elegit com a unitat, i determinem el nombre d’unitats que conté.

FIGURA

NRE. DE CUBS 1 2 4 8

EXEMPLE

NOM: CURS: DATA:



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

11

UNITATS DE VOLUM

• El metre cúbic és la unitat de volum principal. L’escrivim m3. És el volum d’un cub que té 1 metre d’aresta.

• Els múltiples del m3 són cubs que tenen d’aresta múltiples del metre:– 1 decàmetre cúbic (dam3) és un cub que té 1 dam d’aresta.– 1 hectòmetre cúbic (hm3) és un cub que té 1 hm d’aresta.– 1 quilòmetre cúbic (km3) és un cub que té 1 km d’aresta.

• Els submúltiples del m3 són cubs que tenen d’aresta submúltiples del metre:– 1 decímetre cúbic (dm3) és un cub que té 1 dm d’aresta.– 1 centímetre cúbic (cm3) és un cub que té 1 cm d’aresta.– 1 mil·límetre cúbic (mm3) és un cub que té 1 mm d’aresta.

• Cada unitat és 1.000 vegades més gran que la immediatament inferior i 1.000 vegades més petita que la immediatament superior.

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3F

F F F F F F

: 1.000

F F F F

1 dm3

1 cm3

1 m3

⋅ 1.000

: 1.000

⋅ 1.000

: 1.000

⋅ 1.000

: 1.000

⋅ 1.000

: 1.000

⋅ 1.000

: 1.000

⋅ 1.000

F

Completa.

a) 69 m3 = ............ dm3 e) 53 dam3 = ............ m3 i) 0,38 km3 = ............ hm3

b) 7.209 mm3 = ............ cm3 f) 0,34 cm3 = ............ mm3 j) 901 dm3 = ............ m3

c) 1 hm3 = 1.000 ............ g) 1 m3 = 1.000 ............ k) ............ = 1.000.000 m3

d) 1 dm3 = 1.000 ............ h) 1.000.000 mm3 = 1 ............ l) 1.000 ............ = ............ m3

Ordena de més petit a més gran (<) les unitats següents. Pren com a referència el metre cúbic (m3) i transforma totes les unitats de mesura en aquesta.

5.400 m3 – 39.291.476 mm3 – 34 m3 – 0,23 hm3 – 0,5 dam3 – 1.590 dm3 – 2,01 hm3 – 6.120.000 cm3

7

6

G F

G F

1 m 1 m

1 m

1 m3

G F

Si cada cub té un volum d’1 cm3, calcula el volum de les figures.5



OBJECTIU 2

RELACIONAR LES UNITATS DE VOLUM, CAPACITAT I MASSA11

Completa la taula d’equivalències de valors de capacitat.

Completa les taules d’equivalències de valors de massa següents.

a) b)

2

1

UNITATS DE CAPACITAT• El litre és la unitat principal de capacitat. De manera abreujada ho escrivim ¬.• Els múltiples (unitats més grans) i submúltiples (unitats més petites) del litre són:

UNITATS DE MASSA• El quilogram i el gram són les unitats de massa principals. De manera abreujada les escrivim kg i g.• Els múltiples (unitats més grans) i submúltiples (unitats més petites) del gram són:

• Per mesurar masses d’objectes grans fem servir aquestes unitats.

MÚLTIPLES DEL LITREUNITAT

PRINCIPALSUBMÚLTIPLES DEL LITRE

10.000 ¬mirialitre

mal

1.000 ¬quilolitre

kl

100 ¬hectolitre

hl

10 ¬decalitre

dal

litre¬

0,1 ¬decilitre

dl

0,01 ¬centilitre

cl

0,001 ¬mil·lilitre

ml

MÚLTIPLES DEL GRAMUNITAT

PRINCIPALSUBMÚLTIPLES DEL GRAM

10.000 gmiriagram

mag

1.000 gquilogram

kg

100 ghectogram

hg

10 gdecagram

dag

gramg

0,1 gdecigram

dg

0,01 gcentigram

cg

0,001 gmil·ligram

mg

UNITATS SÍMBOL

Tona mètrica

Quintar mètric

t

q

EQUIVALÈNCIA (kg)

1.000 kg

100 kg

EQUIVALÈNCIA (g)

1.000.000 g

100.000 g

kl hl dal ¬ dl cl ml

1,5

0,5

14

50

5.600

t q kg g

2

0,5

75

kg g mg

60

325

20.000

NOM: CURS: DATA:



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

11

Un dipòsit conté 29 kl 30 hl d’aigua i una altre dipòsit en conté 31 kl 450 dal. Quin conté més litres d’aigua?

Observa els valors de la massa d’aquests vehicles. Expressa les unitats en quilograms i ordena-les de més gran a més petita quantitat de massa.

a) Bicicleta: 7.500 g.

b) Cotxe: 1.150 kg.

c) Camioneta: 46 q.

d) Furgoneta: 2,3 t.

e) Camió: 25,4 t.

4

3

Expressa en litres.

a) 345 dm3 = ............... ¬ c) 950 cm3 = ............... ¬ e) 23.000 cm3 = ............... ¬b) 200 dal = ............... ¬ d) 0,35 m3 = ............... ¬ f) 0,5 dm3 = ............... ¬

Expressa en dm3.

a) 23 ¬ = .............. dm3 c) 5 dal = .............. dm3 e) 0,255 kl = .............. dm3

b) 20 dl = .............. dm3 d) 0,35 m3 = .............. dm3 f) 53.780 ml = .............. dm3

6

5

• Aboquem una ampolla d’aigua d’1 ¬ de capacitat en 1 dm3, i observem que hi cap perfectament. 1 és el volum d’un cub que té dm d’aresta, és a dir, la capacitat d’1 dm3.

• Aboquem una cullereta d’aigua d’1 ml de capacitat en 1 cm3, i observem que hi cap perfectament. 1 mil·lilitre és el volum d’un cub que té 1 cm d’aresta, és a dir, la capacitat d’1 cm3.

1 ml = 1 cm3

1 ¬ = 1 dm3

1 ¬

1 dm

1 ml

1cm3

1 cm

G F

G F



11Una llauna de refresc té una capacitat de 33 cl; una ampolla d’oli, una capacitat de 750 ml, i una ampolla de xarop, un volum de 150 cm3. Ordena de menys capacitat a més els objectes anteriors.

L’embassament A té un volum de 0,35 hm3 i l’embassament B té una capacitat de 129.000 kl d’aigua. Expressa totes dues unitats en litres i compara la capacitat dels embassaments.

8

7

• Un recipient conté 1 litre d’aigua destil·lada (ocupa dm3). Quan el pesem en una balança s’equilibra exactament amb una pesa d’1 kg.1 quilogram és la massa que té 1 dm3 d’aigua destil·lada.

Per a l’aigua destil·lada:

• Un recipient amb 1 mil·lilitre d’aigua destil·lada (ocupa 1 cm3) s’equilibra, quan el poses a la balança,amb una pesa d’1 g.1 gram és la massa que conté 1 cm3 d’aigua destil·lada.

Per a l’aigua destil·lada:

Taula resum d’equivalències

1 g = 1 cm3

1 kg = 1 ¬1 dm3

d’aiguadestil·lada

1 kg

1 cm3

d’aiguadestil·lada

1 g

UNITATS DE VOLUM

UNITATS DE CAPACITAT

UNITATS DE MASSA

m3

kl

t

–

hl

q

–

dal

mag

dm3

¬

kg

–

dl

hg

–

cl

dag

cm3

ml

g

Per a l’aigua destil·lada: 1 ¬ = 1 dm3 = 1 kg



Respon les qüestions següents.

a) Quantes peses d’1 kg fan falta per equilibrar un recipient amb 3 litres d’aigua? ...............b) Quantes peses d’1 kg fan falta per equilibrar un recipient de 9 cm3? ...............c) Quantes peses d’1 kg fan falta per equilibrar un recipient de 0,006 dm3? ...............d) Quantes peses d’1 kg fan falta per equilibrar un recipient 0,2 dal? ...............

Expressa en quilograms aquestes quantitats d’aigua destil·lada.

a) 345 ¬ = ............... kg c) 0,5 kl = ............... kg e) 3.000 cm3 = ............... kg

b) 20 dm3 = ............... kg d) 3,5 kl = ............... kg f) 0,5 m3 = ............... kg

Expressa en grams els volums i capacitats següents d’aigua destil·lada.

a) 43 ¬ = ............... g c) 0,001 kl = ............... g e) 0,25 cl = ............... g

b) 7 cm3 = ............... g d) 205 dm3 = ............... g f) 450 ml = ............... g

Un dipòsit d’aigua conté 10.000.000 de litres. Calcula.

a) La seva capacitat en m3.

b) La seva capacitat en hectolitres.

c) Si fos aigua destil·lada, quina seria la seva massa en tones i en quilograms?

Dos recipients contenen una quantitat total de 15 hl d’aigua. Si un d’ells conté 72 dal, troba:

a) La capacitat de cada recipient en litres.

b) La massa en quilograms de cadascun d’ells.

c) El volum que ocupen en metres cúbics.

13

12

11

10

9

ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

11



OBJECTIU 3

CALCULAR EL VOLUM D’ALGUNS COSSOS GEOMÈTRICS11

Indica el volum dels ortoedres en funció del nombre de glaçons d’1 cm3 que continguin.

a) b)

Troba el volum dels ortoedres següents.

a) b)

2

1

VOLUM D’UN ORTOEDRE

• L’ortoedre és un prisma les cares del qual són rectangles.• Una capsa de mistos, una caixa de sabates, una piscina, una aula, des d’un punt de vista geomètric,

són ortoedres.

– En el fons de la caixa caben 32 glaçons d’1 cm3 cadascun 8 ⋅ 4 = 32 cm3

– El volum de la caixa és 160 cm3, i conté 160 glaçons d’1 cm3 cadascun.

• El volum de l’ortoedre és el producte de la llargària, l’amplària i l’alçària.

• Com que el producte c ⋅ b és l’àrea de la base (AB), podem afirmar que el volum de l’ortoedre el podem expressar com, el producte de l’àrea de la base per l’alçària (a en el dibuix i h en les fórmules generals).

V = AB ⋅ h

V = c ⋅ b ⋅ a

– Per omplir la caixa hem de col·locar 5 filesmés de 32 glaçons d’1 cm3 cadascun

(8 ⋅ 4) ⋅ 5 = 160 cm3F

F

5 cm

4 cm8 cm

GF

G

F

G

F

c

a

b

GF

G

F

G

F

1 cm

6 cm

4 cm

GFG

F

G F2 dm

5 dm

3 dm

GFGF

G F

NOM: CURS: DATA:



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

11

Calcula el volum dels ortoedres. Expressa els resultats en cm3 i en dm3.

a) b) c)

Determina el volum dels ortoedres següents.

a) b) c)

Calcula el volum d’una piscina de dimensions:

– Llargària: 15 m– Amplària: 7 m– Profunditat: 1,5 m

Troba el volum d’una aula l¡àrea de la qual és m2 i l’altura, 2,5 m. Fes un dibuix representatiu.

6

5

4

3

GF

GF

G

F3 cm2 cm

2 cm GF

G

FG

F G

F

2 cm 4 cm

2 cm

GF

GF

4 cm

1,5 cm

3 cm

GF

G

FG

F

G

F

4 cm3 cm

1 cmG

F

G

F

GF3 cm

1 cm

2,8 cm

G

F

GF

G

F15 m

7 m

1,5 m

GF

6 cm

1,5 cm

2 cm

GF



11VOLUM D’UN CUBEl cub és un ortoedre que té les tres arestes iguals, llargària, amplària i alçària.

Indica el volum dels cubs en funció del nombre de glaçons d’1 cm3 que contenen.

a) b)

Calcula el volum dels cubs següents en funció de l’aresta. Fes un dibuix representatiu i expressa el resultat en dm3 i m3.

a) Aresta = 5 cm b) Aresta = 70 dm

Hem construït un cub de cartolina. Hem folrat totes les arestes amb 240 cm de cinta adhesiva. Quant fa cada aresta? Quin és el volum del cub?

9

8

7

V = a ⋅ a ⋅ a = a3

Llargària Amplària

Alçària

GF

G F G

F

aa

a

GF

G F G

F

a

a

a

GF

G F G

F



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

11

VOLUM D’UN CILINDRE• Observa els cossos geomètrics següents: l’ortoedre i el cilindre.• Tenen la mateixa altura (h) i les seves bases, la mateixa àrea.

• Si omplim l’ortoedre amb sorra fina o aigua i el buidem en el cilindre, comprovemque aquest últim s’omple.

• Tots dos cossos tenen el mateix volum

h = 12 cmAB Ortoedre = llargària ⋅ amplària = 8 ⋅ 6 = 48 cm2

AB Cilindre = π ⋅ r 2 = π ⋅ (3,91)2 = 48 cm2

VOrtoedre = VCilindre = AB ⋅ h

Calcula el volum d’un cilindre que té de radi de la base 5 cm i una altura de 8 cm.

Obtingues el volum d’un cilindre, si la base té una àrea de 30 cm2 i fa 12 cm d’altura.

Determina el volum d’un cilindre la base del qual és un cercle de 8 cm de diàmetre i té una altura de 15 cm.

Un dipòsit d’aigua té forma cilíndrica. El diàmetre de la base és 1,8 m i la seva altura, 4, 5 m. Calcula el volum total del dipòsit i la quantitat de litres que hi caben.

13

12

11

10

r

h

GF

r

h

GF

h

8 cm

h

GF

GF

G F

F F

GF

Bases amb la mateixa àrea

6 cm 3,91 cm

F



11

Calcula el volum d’una piràmide de 12 cm d’altura si la base és un quadrat de 4 cm de costat.

Obtingues el volum d’una piràmide de 9 cm d’altura la base de la qual és un rectangle de 4 cm de llargària i 2,5 cm d’amplària.

La piràmide de Keops, a Egipte, és de base quadrangular. El costat de la base fa 230 m i l’altura és de 160 m. Calcula’n el volum total.

16

15

14

VOLUM DE LA PIRÀMIDE• Observa els cossos geomètrics següents: l’ortoedre i la piràmide.• Tenen la mateixa altura, h, i la mateixa àrea de les bases.

• Si omplim la piràmide amb sorra fina o aigua la buidem en el prisma, comprovem que per omplir el prisma faria falta el contingut exacta de 3 piràmides.

• El volum de la piràmide és tres vegades més petit que el del prisma, és a dir, un terç de l’àrea de la base per l’altura.

V V A hPiràmide

Prisma= = ⋅3 3

B

B

h

Bases amb la mateixa àreaG

F

h

GF

F F



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

INTRODUCCIÓ

Partint de la representació dels nombres enters en la recta numèrica, introduïm la representació de punts en el pla per mitjà de l’assignació de parellsde coordenades i la construcció de sistemes d’eixoscartesians.

És important que els alumnes assimilin el mètodeordenat de col·locar els parells de nombres per indicarque el primer representa el valor sobre l’eix horitzontal(X), i el segon, el valor sobre l’eix vertical (Y), així comla seva expressió mitjançant taules de valors i el significat gràfic en el pla.

Un cop hem tractat ja la proporcionalitat numèrica,introduïm en aquesta unitat l’estudi de la relació entre dues magnituds per mitjà de les funcions, els conceptes bàsics del llenguatge gràfic de lesexpressions algebraiques, els seus elements i significatcom a pas previ a l’anàlisi del món de la informació i expressió visual.

Mitjançant la interpretació gràfica, els alumnesreconeixeran la funció representada, les variables quehi intervenen, la unitat de mesura elegida en cada eix i el seu traçat en el pla. També aprendran a interpretarfuncions que compleixen relacions de proporcionalitatdirecta i inversa.

RESUM DE LA UNITAT

• Per representar punts en el pla fem servir unsistema de dues rectes perpendiculars, anomenatsistema d’eixos cartesians.

• La recta horitzontal (X), l’anomenem eix d’abscisses.

• La recta vertical (Y), l’anomenem eix d’ordenades.

• El punt on es creuen els eixos, l’anomenem origeni és el valor zero de cada eix.

• Cada punt en el pla té dues referències numèriquesanomenades coordenades (a, b). El primer nombrecorrespon al valor a l’eix X, i el segon nombrecorrespon al valor a l’eix Y.

• Els parells de valors els representem en taules de valors i corresponen a punts en el pla.

• Mitjançant una taula de valors podem relacionarquantitats de dues magnituds i representar-lesgràficament sobre els eixos.

• Una funció és l’expressió algebraica que relacionadues magnituds. La funció associa a cada valord’una magnitud (variable independent) un valor de l’altra magnitud (variable dependent).

• Les funcions les representem gràficament perestudiar les característiques que les defineixen.

1. Representar i localitzarpunts en un sistemad’eixos cartesians.

2. Interpretar i representartaules de valors.

3. Interpretar gràfiques.Reconèixer la idea de funció.

• Parells de coordenades.• Punts en el sistema d’eixos

cartesians.

• Taules de valors.• Relació entre magnituds.• Informació de les gràfiques.

• Variable independent i dependent.

• Concepte de funció. Gràfica d’una funció.

• Característiques d’algunesfuncions.

• Representació de punts en la recta i en el pla.

• Identificació de punts a partir de les seves coordenades.

• Obtenció de figures simètriquesrespecte dels eixos.

• Formació de taules de valors.• Representació en el pla de parells

de valors ordenats de dues magnituds.• Interpretació de magnituds en el pla.

• Identificació de les variables:independent i dependent.

• Representació gràfica de les funcions.• Identificació de funcions

de proporcionalitat directa i inversa.


Funcions12830896_07c_Adaptacio.qxd 3/9/08 16:46 Página 385

EIXOS CARTESIANS EN EL PLA

• Per representar punts en el pla, fem servir un sistema format per dues rectes perpendiculars anomenatsistema d’eixos cartesians.

– En la recta X o eix d’abscisses representem els nombres enters de forma horitzontal.– En la recta Y o eix d’ordenades hi representem els nombres enters de forma vertical.– El punt on es creuen l’anomenem origen i és el valor zero, 0, en cada recta.

• Cada punt en el pla té dues referències numèriques anomenades coordenades.

– El primer nombre correspon a la coordenada x.– El segon nombre correspon a la coordenada y.


OBJECTIU 1

REPRESENTAR I LOCALITZAR PUNTS EN UN SISTEMA D’EIXOS CARTESIANS12

−1 1

1

−2

−1

−3

−4

−5

−6

−7

2

3

4

5

6

7 Y

X

2 3 4 5 6 7−2−3−4−5−6−7

REPRESENTACIÓ DE NOMBRES ENTERS EN LA RECTA NUMÈRICA

• Sobre una recta, r, assenyalem l’origen, O, que és el valor zero, 0.

• A la dreta del zero i equidistant col·loquem ordenats els nombres enters positius, i a l’esquerra, hi col·loquem els nombres enters negatius.

−7 −6 −5

Nombres enters negatius Nombres enters positius

−4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7… …

Donats els nombres −2, +2, −5, +5, −8, +8, −10, +10:

a) Representa’ls en la recta numèrica.b) Quina està més a prop i quin està més lluny de l’origen?

1

EIX X EIX Y

+2 +4

+3 −5

−4 −3

−5 +2

COORDENADES

(+2, +4)

(+3, −5)

(−4, −3)

(−5, +2)

PUNT

A

B

C

D

Eix d’ordenades

Eix d’abscisses

Origen

A

B

C

D

O

F

F

F

144444444424444444443 144444444424444444443

NOM: CURS: DATA:



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

12

Completa la taula i representa els punts que s’indiquen en un sistema d’eixos cartesians.

Observa els punts del sistema d’eixos cartesians i completa la taula.3

2

EIX X EIX YCOORDENADES

(+2, −6)

PUNT

A

B

C

D

E

F

G

H

EIX X EIX YCOORDENADES

(−2, −4)

PUNT

A

(+3, +6)B

(+5, −3)C

(−1, +7)D

(+4, 0)E

(−4, 0)F

Y

X

−1 1

1

−2

−1

−3

−4

−5

−6

−7

2

3

4

5

6

7

2 3 4 5 6 7−2−3−4−5−6−7

Y

X

F

H

A

C B

D

E

G

−1

−2

−1

−3

−4

−5

−6

−7

−2−3−4−5−6−7 1

1

2

3

4

5

6

7

2 3 4 5 6 7



12Representa els punts següents en un sistema d’eixos cartesians: A (0, +3); B (+2, −2); C (+6, −1); D (−4, −4); E (−5, 0); F (−3, +5).

Observa la figura adjunta.

a) Indica les coordenades dels vèrtexs A, B, C i D.

b) Indica les coordenades dels vèrtexs de la figura simètrica: A’, B’, C’ i D’.

Respecte de l’exercici anterior, dibuixa en un sistema d’eixos cartesians les figures simètriques que s’originarien en els altres dos quadrants, i indica les coordenades en el pla dels seus vèrtexs.

6

5

4

COORDENADESPUNT

A

B

C

D

COORDENADESPUNT

A’

B’

C’

D’

Y

X

A B

D C

−1

−2

−1

−3

−4

−5

−6

−7

−2−3−4−5−6−7 1

1

2

3

4

5

6

7

2 3 4 5 6 7


INTERPRETAR I REPRESENTAR TAULES DE VALORS

Forma la taula i representa els parells de valors.(−2, −3), (2, −5), (−3, 6), (1, 5), (0, −4)

EXEMPLE


ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

OBJECTIU 2

12

Y

X

Forma els parells de valors que s’indiquen a la taula i representa’ls en un sistema d’eixos cartesians.

Parells de valors: .......................................................................................................

1

TAULES DE VALORS I PUNTS EN L’EIX CARTESIÀ

• Podem expressar parelles de valors de nombres per mitjà de parells de valors fent servir taules horitzontalso verticals. Cada parell de valors d’una taula representa un punt del pla, i viceversa.

• A cada punt del pla li correspon un parell de valors ordenats:a) La primera fila o columna correspon al valor numèric de l’eix horitzontal, X.b) La segon fila o columna correspon al valor numèric de l’eix vertical, Y.

EIX X EIX Y

−2 −3

2 −5

−3 6

1 5

0 −4

EIX X EIX Y

4 7

2 −1

−1 6

4 0

−1 −3

−2 5

Y

X

−1

−2

−1

−3

−4

−5

−6

−2−3−4−5−6−7

−1

−2

−1

−3

−4

−2−3−4−5−6−7

1

1

2

3

4

5

6

7

2 3 4 5 6 7

1

1

2

3

4

5

6

7

2 3 4 5 6 7

NOM: CURS: DATA:


Un sac de sucre pesa 2 quilograms, 2 sacs de sucre pesen 4 quilograms, 3 sacs de sucre pesa 6 quilograms...Formem la taula de valors amb les dues magnituds.

També podem reflectir aquesta informació en un sistema d’eixos.

EXEMPLE


12Forma la taula de valors dels parells ordenats següents i representa’ls en un sistema d’eixos cartesians.

(0, −4), (−5, 5), (2, −2), (−3, 6), (7, 0), (−4, 0), (6, 6)

2

Representa en el sistema d’eixos els valors de l’exemple anterior.

− En l’eix X hi representem els valors de la magnitud nombre de sacs.

− En l’eix Y hi representem els valors de la magnitud pes (en kg).

3 13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Nre. de sacs

Pes

(kg)

Per mitjà d’una taula podem relacionar quantitats de dues magnituds.

NRE. DE SACS

PES (kg)

1

2

2

4

3

6

4

8

5

10

6

12

…

…

Y

X



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

12

Les alçades (en cm) d’un grup d’alumnes són: Antoni: 150 cm, Anna: 160 cm, Joan: 170 cm, Maria: 140 cm, Pere: 120 cm, Eva: 130 cm i Elena: 160 cm. Forma una taula amb els parells de valors i representa’ls en un sistema d’eixos. (Inicial els valors de l’altura en 100 i després augmenta’ls de 10 en 10.)

a) Quin alumne és el més alt?

b) Quin és el més baix?

c) Hi ha alumnes amb la mateixa alçada?

4

Les temperatures mitjanes (en °C) dels mesos de l’any han estat: gener: 6 °C, febrer: 8 °C, ,arç: 10 °C, abril: 16ºC, maig: 18 ºC, juny: 22 °C, juliol: 30 °C, agost: 36 °C, setembre: 26 °C, octubre: 16 °C, novembre: 12 °C i desembre: 8 °C.

a) Forma una taula de valors amb les magnituds corresponents.

b) Representa els parells de valors en un sistema d’eixos cartesians.

c) Fes una interpretació de les dades: mes més fred, mes més càlid, mesos amb la mateixa temperatura, diferències de temperatura més importants entre mesos, etc.

5

Les gràfiques ens poden proporcionar informacions sobre les magnituds i els seus valors en el pla.


Un quilo de maduixes costa €.a) Magnituds: pes (kg) i preu (€).b) Variable independent: pes (kg) (el fixem prèviament).c) Variable dependent: preu (€) (depèn del nombre de quilos).d) Taula de valors:

EXEMPLE


OBJECTIU 3

INTERPRETAR GRÀFIQUES. RECONÈIXER LA IDEA DE FUNCIÓ12

Respecte a l’exemple anterior:

a) Representa els parells de valors en el sistema d’eixos adjunt.

b) Uneix els punts. Què obtens?

1

VARIABLES I GRÀFIQUES

• En les taules de valors relacionem dues magnituds. Aquestes magnituds les anomenem variables, perquè prenen diferents valors, és a dir, varien.

• En els parells de valors (a, b), (c, d), (e, f) i (g, h), el segon valor depèn del primer:– a, c, e, g són la variable independent; el seu valor el fixem prèviament

i el designem amb la lletra x.– b, d, f, h són la variable dependent; el seu valor depèn del valor de x

i el designem amb la lletra y.• Si representem els valors en un sistema d’eixos i n’unim els punts, obtenim

una gràfica:– La variable independent (x) la situem a l’eix d’abscisses o horitzontal.– La variable dependent (y) la situem a l’eix d’ordenades o vertical.

x y

a

c

e

b

d

f

g h

PES (kg)

PREU (€)

1 2 3 4 5

3 6 9 12 15

Y

O X

Preu

(€)

Pes (kg)

NOM: CURS: DATA:



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

12

O

La classificació d’un equip en un campionat de futbol ha estat:

a) Representa els valors en un sistema d’eixos.b) Quina va ser la jornada amb millor classificació?c) I la jornada amb pitjor classificació?

3

JORNADA (valor x)

POSICIÓ (valor y)

1.ª 2.ª 3.ª 4.ª 5.ª 6.ª 7.ª 8.ª 9.ª 10.ª

4.º 5.º 3.º 7.º 8.º 5.º 9.º 10.º 8.º 6.º

11.ª

4.º

12.ª

2.º

Y

1.º

1.ª 2.ª 3.ª 4.ª 5.ª 6.ª 7.ª 8.ª 9.ª 10.ª 11.ª 12.ª

2.º

3.º

4.º

5.º

6.º

7.º

Clas

sific

ació

Posició

8.º

9.º

10.º

X

Y

X

En una botiga 1 metre de roba costa 4 €. Quant costaran 2, 3, 4, 5 i 6 metres de roba?

a) Forma la taula de valors amb les magnituds que intervenen.

b) Indica la variable independent i la dependent.c) Representa els valors en un sistema d’eixos

i traça la gràfica corresponent.

2



12

CONCEPTE DE FUNCIÓ

• El els exercicis anteriors, els valors obtinguts en cada posició de classificació de futbol i en cada temperatura mitjana estan en funció dels valors de cada jornada juga i de cada mes de l’any.

• El valor de y està en funció del valor que pren x. La relació entre dues magnituds la podem escriureamb una expressió algebraica, és a dir, combinant lletres, nombres i signes aritmètics.

• A cada valor de la variable independent (x) li correspon un únic valor de la variable dependent (y).

• Així doncs, en l’expressió algebraica 3x + 1, cada vegada que assignem valors numèrics a la variable xobtindrem altres valors numèrics que estan en funció d’aquests: multipliquem per tres i sumem un.A 3x + 1: Ho expressem: y = 3x + 1

x (valor) y (valor)

1

4

7

−2

−5

0

1

2

−1

−2

VALOR DE x VALOR OBTINGUT

3 ⋅ 0 + 1 = 0 + 1 = 1

3 ⋅ 1 + 1 = 3 + 1 = 4

3 ⋅ 2 + 1 = 6 + 1 = 7

3 ⋅ (−1) + 1 = −3 +1 = −2

3 ⋅ (−2) + 1 = −6 + 1 = −5

0

1

2

−1

−2

F

La temperatura mitjana durant l’any passat en un lloc la determina la taula de valors següent.

a) Representa els valors en un sistema d’eixos i traça la gràfica corresponent.

b) Indica les variable dependent i independent.

c) Quin va ser el mes amb la temperatura mitjana més baixa?

d) I el mes amb una temperatura més alta?

4

MES

TEMPERATURA (°C)

Gener Febrer Març Abril Maig Juny Juliol Agost Set. Octubre Nov. Des.

4 8 12 18 22 26 32 34 26 14 10 2



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

12

Elabora la taula de valors de cadascuna de les funcions següents.

a) y = x + 2 c) y = 2x − 1 e) y = 2x + 1

Exemple: x = 1 Exemple: x = −1 Exemple: x = 1y = 1 + 2 = 3 y = 2 ⋅ (−1) − 1 = −2 − 1 = −3 y = 2 ⋅ 1 + 1 = 2 + 1 = 3

b) y = −3x d) y = 2 − x f) y = x − 5

5

Representa gràficament les funcions: calcula els parells de valors mitjançant una taula i uneix els punts obtinguts en els sistemes d’eixos cartesians.

a) y = x − 1

6

x y

3

0

1

−1

2

−2

x y

−3

0

−1

x y

0

1

−1

2

2

x y

31

x y x y x y

Y

X−1 1

1

−2

−1

−3

−4

−5

2

3

4

5

6

7

2 3 4 5 6 7−2−3−4−5−6−7



12b) y = 2x − 2

c) y = 2x + 2

d) y = −3x + 5

x y

x y

x y

Y

X−1

−2

−1

−3

−4

−5

−2−3−4−5−6−7 1

1

2

3

4

5

6

7

2 3 4 5 6 7

Y

X−1

−2

−1

−3

−4

−5

−2−3−4−5−6−7 1

1

2

3

4

5

6

7

2 3 4 5 6 7

Y

X−1

−2

−1

−3

−4

−5

−2−3−4−5−6−7 1

1

2

3

4

5

6

7

2 3 4 5 6 7



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

12

Un quilogram de peix costa 2 € i la seva funció la defineix l’expressió y = 2x.

a) Fes una taula de valors per al preu de 2, 3, 4, 5 i 6 kg de peix.

b) Representa els valors en un sistema d’eixos i dibuixa la taula gràfica obtinguda.

c) Descriu alguna característica de la gràfica.

Un camió recorre una distància de 120 km, de manera que si augmenta la velocitat fins a un límit de 80 km/h tardarà menys a recórrer la distància. La funció que relaciona el temps que tarda (y) amb la velocitat (x) la defineix

l’expressió .

a) Fes una taula de valors per a aquestes velocitats (en km/h): 40, 56, 70 i 80.

b) Representa els valors en un sistema d’eixos i dibuixa la gràfica obtinguda.

c) Descriu alguna característica de la gràfica.

yx

= 120

8

7

CARACTERÍSTIQUES DE LES FUNCIONS

Quan representem funcions mitjançant gràfiques podem observar les característiques següents.

• Poden ser creixents: si quan augmentem la variable independent també augmenta la dependent, la gràfica creix.

• Poden ser decreixents: si quan augmentem la variable independent, disminueix la variable dependent, la gràfica decreix.

• La gràfica de les funcions de proporcionalitat directa, que relaciona dues magnituds directament proporcionals, és una línia recta que passa per l’origen, és a dir, pel punt (0, 0).

• La gràfica de funcions de proporcionalitat inversa, que relaciona dues magnituds inversament proporcionals, és una línia corba que no passa per l’origen.



12Un rectangle fa 5 m de base i x, d’altura.

a) L’expressió de la funció que expressa l’àrea del rectangle és: .........................b) Elabora una taula de valors per a aquestes altures (en m): 2, 3, 4,5 i 6.

c) Representa els valors en un sistema d’eixos i uneix els punts.

d) Descriu alguna característica de la gràfica.

La taula de valors següent mostra l’evolució de la temperatura d’un got de llet a mesura que passa el temps.

a) Representa la funció en un sistema d’eixos.

b) Troba el valor de la temperatura al cap de 18 minuts.

c) Descriu alguna característica de la funció.

10

9

TEMPS(min)

TEMPERATURA(°C)

90

80

70

60

50

40

0

3

6

9

12

15

18



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

INTRODUCCIÓ

L’objectiu d’aquesta unitat és acostar els alumnes a les interpretacions de dades que ells mateixos podenelaborar per mitjà d’enquestes i preguntes senzilles,dirigides principalment als seus companys. Plantegemactivitats ja estructurades i descrites, però ésaconsellable exposar als alumnes situacions semblantsper fer-los partícips del procés complet: des delrecompte de dades, agrupació, elaboració de taules i gràfics, càlcul de les principals mesures decentralització, fins a la interpretació final.

Recomanem l’ús de recursos pròxims a la realitat dels conceptes tractats: des de retalls de premsa amb gràfics estadístics senzills (població, vendes...) o materials de probabilitat: gobelets, daus, cartes,boles, ballarugues, etc.

RESUM DE LA UNITAT

• Per mitjà de l’estadística, recopilem, agrupem i interpretem el significat d’una sèrie de dadesrelatives a un fet.

• Les dades estadístiques les agrupem en taules, ones reflecteixen les freqüències amb què apareixen.

• Freqüència absoluta d’una dada és el nombre de vagades que es repeteix. La suma de totes les freqüències absolutes és el nombre total de dades.

• Freqüència relativa d’una dada és el quocient entre la freqüència absoluta i el nombre total de dades. La suma de totes les freqüències relatives és 1.

• Les dades estadístiques les representemgràficament. Els gràfics més habituals són els diagrama de barres, el polígon de freqüènciesi el diagrama de sectors.

• D’una sèrie de dades calculem mesuresestadístiques que ajuden a interpretar-los. Les principals són la mitjana, la mediana i la moda.

1. Interpretar i elaborartaules de freqüències.

2. Elaborar gràfics per representar un conjunt de dades.

3. Calcular les principalsmides de centralització.

• Dades estadístiques.• Taules de freqüències.

Freqüència absoluta i relativa.

• Gràfics estadístics: diagrama de barres, polígon defreqüències i diagrama de sectors.

• Mitjana, mediana i moda d’un conjunt de dades.

• Recompte de dades estadístiques.• Formació de taules de freqüències.

• Construcció de gràfics a partir de taules de freqüències.

• Interpretació de gràfics.

• Obtenció de les mides estadístiques a partir d’una sèrie de dades.



ADAP

TACI

ÓN

CU

RR

ICU

LAR

Estadística13830896_07c_Adaptacio.qxd 13/8/08 21:00 Página 399

En una classe de 24 alumnes de 2n d’ESO les qualificacions obtingudes a l’examen de llengua han es-tat: 4, 6, 7, 3, 6, 8, 5, 9, 2, 7, 5, 8, 7, 5, 4, 7, 8, 4, 6, 5, 8, 7, 3 i 10.


OBJECTIU 1

INTERPRETAR I ELABORAR TAULES DE FREQÜÈNCIES13CQuan recollim una sèrie de dades o anotem les respostes d’una pregunta, escrivim aquestes dades en taules per analitzar-les, organitzar-les i emetre una sèrie d’opinions i conclusions. Aquestes dades les anomenem dades estadístiques, i la ciència que s’ocupa de fer aquestes investigacions és l’estadística.

Hem preguntat a 50 alumnes del primer cicle d’ESO l’edat (en anys) que tenen, o hem obtingut les dades següents: 12, 13, 12, 14, 13, 15, 13, 12, 14, 15, 13, 12, 14, 15, 13, 12, 16, 14, 15, 13,14, 15, 12, 16, 12, 14, 15, 13, 12, 13, 15, 16, 14, 15, 13, 14, 15, 15, 13, 14, 15, 12, 16, 12, 13,12, 14, 15, 13 y 12. Completa la taula.

a) Suma totes les freqüències absolutes.

b) Suma totes les freqüències relatives.

c) Quina és l’edat que es repeteix més?

d) Quina és la que es repeteix menys?

1

Freqüència absolutaÉs el nombre de vegades que es repeteix ladada.

Freqüència relativaÉs el quocient entre la freqüència absolutai el nombre total de dades, i indica la relacióde la dada respecte del total de dades.

• La suma de freqüències absolutes és el nombre total de dades:1 + 2 + 3 ++ 4 + 3 + 5 + 4 + 1 + 1 = 24

• La suma de les freqüències relatives és la unitat.

FREQÜÈNCIAABSOLUTA

FREQÜÈNCIARELATIVARECOMPTENOTES

2 I 1 1/24

3 II 2 2/24

4 III 3 3/24

5 IIII 4 4/24

6 III 3 3/24

7 IIII 5 5/24

8 IIII 4 4/24

9 I 1 1/24

10 I 1 1/24

24 24/24 = 1


FREQÜÈNCIARELATIVARECOMPTEEDATS

12

13

14

15

16

Total

EXEMPLE

124

224

324

424

324

524

424

124

124

2424

1

+ + + + + +

+ + + = =

NOM: CURS: DATA:



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

13

Les temperatures mitjanes diàries (en °C) durant el mes de desembre han estat:+11, −2, +8, +2, −1, +6, +8, +4, +8, +9, +2, +6, +2, +4, +8, −1,

+9, +6, +9, +6, +8, +4, +8, −2, +4, −1, −2, +1, +6, +2, +8


Hem llançat un dau de parxís 40 vegades i hem obtingut aquestes resultats.6, 1, 5, 3, 4, 1, 2, 3, 5, 4, 6, 4, 3, 4, 1, 2, 3, 5, 4, 6, 1, 4, 3, 5, 2, 1, 2, 4, 6, 3, 5, 4, 1, 2, 3, 5, 4, 6, 2, 3

a) Forma una taula de dades amb el recompte i troba la freqüència absoluta, la freqüència relativa i els totals.

b) Quin és el valor que més vegades ha sortit?

L’Andreu ha recollit les dades següents sobre el nombre de germans que tenen els seuscompanys de classe.

4, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 1, 0, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 6, 5, 1, 2, 2, 1, 2, 3, 4

a) Forma una taula de dades amb el recompte, la freqüència absoluta, la freqüència relativa i els totals.

b) Quin és el valor que més es repeteix?

4

3

2


FREQÜÈNCIARELATIVARECOMPTE

TEMPERATURA(°C)

−1

−2

+1

Total



13

La Natàlia ha preguntat en els cursis de 2n d’ESO A, B i C sobre el tipus de música que prefereixen els seus companys. Les dades les ha reflectit a la taula següent. Completa els valors que falten.

Hem fet una enquesta als 44 alumnes de 2n d’ESO A i B sobre l’estació de l’any en què han nascut.

Assignem a la primavera la lletra P; a l’estiu, la E; a la tardor, la T, i a l’hivern, la H, i anotem els resultats següents.

P, H, E, H, T, P, E, T, E, T, H, E, H, T, P, E, T, E, T, H, E, P, E, T, T, H, P, P, E, E, T, H, P, E, T, H, H, P, E, T, E, T, H, P

Completa la taula.

6

5


FREQÜÈNCIA RELATIVARECUENTOESTACIÓ

Primavera - P

Estiu - E

Tardor - T

Hivern - H

Total


FREQÜÈNCIA RELATIVATIPUS DE MÚSICA

16Rock

2175

Pop

Bakalao

18Tecno

975

Melòdica

75Total

A vegades, les dades que recollim no són numèriques, sinó que corresponen a valors qualitatius, és a dir, a característiques o valors que no són numèrics, sinó qualitats.


ELABORAR GRÀFICS PER REPRESENTAR UN CONJUNT DE DADES

En el curs de 2n d’ESO els esports preferits dels alumnes són:

Esports preferits 2n ESO

EXEMPLE


ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

OBJECTIU 2

13

Entre els alumnes de 2n d’ESO hem fet una enquesta sobre el tipus de programes de televisió preferits i hem obtingut els resultats de la taula. Representa’ls en un diagrama de barres.

1

Les dades estadístiques les representem amb gràfiques, que ens ajuden a visualitzar i interpretar la informació recollida. Les gràfiques més importants són: el diagrama de barres, el polígon de freqüències i el diagrama de sectors.

DIAGRAMA DE BARRES• Per fer-lo fem servir un sistema d’eixos. A l’eix horitzontal representem les dades, i al vertical,

les freqüències absolutes.• La freqüència que correspon a cada dada la representem amb una barra. A vegades es pot mostrar

la freqüència a sobre de la barra.

ESPORTS

FREQÜÈNCIA

Futbol Bàsquet Tenis Atletisme Handbol

10 14 8 12 6

PROGRAMA TV

FREQÜÈNCIES ABSOLUTES

Esportius Musicals Culturals Pel·lícules Concursos

16 10 4 8 12

Futbol

10

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0Bàsquet

14

Tenis

8

Esports

Freq

üènc

ies

abso

lute

s

Atletisme

12

Handbol

6

NOM: CURS: DATA:



13Les edats (en anys) de 24 alumnes d’ESO que participen en competicions esportives són:

16, 14, 15, 13, 14, 15, 12, 16, 12, 13, 12, 14, 13, 15, 13, 12, 14, 15, 13, 12, 14, 15, 13, 12

a) Fes una taula de freqüències.

b) Representa les dades en un diagrama de barres.

En una classe de 25 alumnes hem fet una enquesta per conèixer el nombre de germans que tenen.Els resultats han estat:

0, 1, 3, 4, 2, 2, 1, 4, 5, 2, 0, 1, 1, 3, 2, 2, 4, 3, 2, 6, 0, 1, 2, 3, 2

a) Forma una taula de freqüències.

b) Representa les dades en un diagrama de barres.

Hem llançat 100 vegades un dau de parxís. Els resultats obtinguts en els llançaments els indiquem a la taula. Representa’ls en un diagrama de barres.

4

3

2

FREQÜÈNCIAABSOLUTACARES

1 12

2 14

3 16

4 18

5 20

6 20

Total 100


A 2n d’ESO el nombre de germans dels alumnes és:

Nombre de germans 2n ESO


ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

13

Les qualificacions en matemàtiques dels alumnes d’una classe han estat:

Representa les dades mitjançant un polígon de freqüències.

5

POLÍGON DE FREQÜÈNCIES• L’elaborem a partir del diagrama de barres.• Formem un diagrama de barres, unim els extrems superiors de les barres i obtenim una línia poligonal

anomenada polígon de freqüències.

0

18

16

14

12

10

8

6

4

2

01 2

Nre. de germans

Freq

üènc

ies

abso

lute

s

3 4

QUALIFICACIÓ FREQÜÈNCIA

Insuficient 6

Suficient 8

Bé 5

Notable 3

Excel·lent 2

ESPORT FREQÜÈNCIA

0 10

1 14

2 8

3 12

4 6

EXEMPLE


A l’exemple anterior, el gràfic quedaria així:


13Les vendes d’un concessionari de cotxes en l’últim mes són:

Representa les dades mitjançant un polígon de freqüències.

6

La Carme i l’Eva han anotat les temperatures mitjanes (en °C) registrades a l’escola durant tot el curs escolar. Han obtingut els resultats següents.

Fes un gràfic de línies corresponent a les dades de la taula.

7

TURISMES

60

ESPORTIUS TOT TERRENYS FAMILIARS INDUSTRIALS ALTRES MODELS

8 10 35 40 4

SET.

20

OCTUBRE

14

NOV.

12

DES.

10

GENER

8

FEBRER

10

MARÇ

14

ABRIL

18

MAIG

20

JUNY

24

Si eliminem les barres de polígon, obtenim un gràfic de línies, en què es ressalten les freqüències amb un punt gruixut.

Futbol

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0Bàsquet Tenis

Esports

Frre

qüèn

cies

abs

olut

es

Atletisme Handbol

EXEMPLE

Esports preferits 2n ESO


Els esports preferits de 40 alumnes són:

Esports preferits

EXEMPLE


ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

13

Les posicions a la taula de classificació d’un equip de bàsquet durant 12 jornades han estat: 3r, 5è, 2n, 1r, 3r, 4t, 2n, 5è, 3r, 2n, 4t i 2n.

a) Fes una taula de freqüències amb les dades anteriors.

b) Fes un gràfic de línies.

8

Per trobar l’angle de cada sector fem servir el procediment següent.

Dividim el cercle complet: 360º, en tantes parts com freqüències absolutes hi ha; 40; multipliquem el resultat per cada freqüència absoluta i amb el transportador trobem cada sector circular.

A cada part li corresponen 360° : 40 = 9°.

Completa la taula.

9

1.º 2.º 3.º 4.º 5.º

5

4

3

2

1

Posició

Nre

. de

vega

des

Futbol

Bàsquet

Tenis

Atletisme

HandbolESPORTS FREQÜÈNCIA

Futbol 8

Bàsquet 12

Tenis 6

Atletisme 10

Handbol

Total

4

40

ESPORTS FREQÜÈNCIA

Futbol 8

Bàsquet 12

Tenis 6

Atletisme 10

Handbol

Total

4

40

SECTOR CIRCULAR (°)

9 ⋅ 8 = 72°

9 ⋅ 12 = ......

9 ⋅ ...... = ......

9 ⋅ ...... = ......

9 ⋅ 4 = 36°

........ = 360°

POSICIÓ NRE. DE VEGADES

1.º 1

2.º

3.º

4.º

5.º 2

DIAGRAMA DE SECTORSLes dades les representem en un cercle. Cada sector representa un valor de la variable. L’angle de cada sector circular és proporcional a la freqüència absoluta de cada dada.

F

F

F

F

F



13El destí vacacional de 90 famílies ha estat el següent.

Completa la taula i representa les dades amb un diagrama de sectors.

Hem fer una enquesta a 360 llars sobre els canals de televisió preferits. Les respostes han estat reflectides a la taula. Representa-les en un diagrama de sectors.

El nombre de germans dels 24 alumnes de 2n d’ESO l’indiquem a la taula. Representa les dades en un diagrama de sectors.

12

11

10

DESTÍ FREQÜÈNCIAABSOLUTA

Platja 26

Muntanya 22

Turisme rural 18

Circuits 10

Estranger

Altres destins

8

6

SECTOR CIRCULAR

360° : 90 = .......

Total 90 360°

DESTÍ FREQÜÈNCIAABSOLUTA

TVE 120

La 3 20

Autonòmiques 45

Antena 4 35

Tele 2

La Cinquena

80

60

SECTOR CIRCULAR

360° : 360 = .......

Total 360 360°

NOMBRE DE GERMANS


1 5

2 8

3 6

4 4

5 o més

Total

1

24

SECTOR CIRCULAR

360° : 24 = .......

360°


CALCULAR LES MESURES DE CENTRALITZACIÓ PRINCIPALS

L’alçada (en cm) de 24 alumnes d’ESO és: 160, 168, 164, 170, 162, 166, 172, 168, 164, 162, 160,168, 170, 160, 162, 164, 160, 170, 160, 164, 168, 162, 160, 160. Quina és l’alçada mitjana del grup?

x– =

164,33 cm és la mitjana aritmètica.

• La mitjana representa l’alçada mitjana del grup.

• Està compresa entre el valor més petit i el més gran: 160 cm i 172 cm.

• No ha coincidit amb cap valor i no és un nombre decimal.

1 120 648 656 166 672 510 17224

3 94424

164. .+ + + + + + = = ,,33 cm


ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

OBJECTIU 3

13

Els pesos (en kg) de cinc jugadors de bàsquet són: 54, 58, 62, 60 i 56. Calcula el pes mitjà.

x– = =

La Marta ha obtingut aquestes notes en quatre exàmens d’història: 6,5; 5,75; 7,25 i 7. Calcula la nota mitjana.

2

54 + 58 + .....................................!!!!

5

1

MITJANA ARITMÈTICA• La mitjana aritmètica d’un conjunt de dades és el valor mitjà que els representa. És un valor numèric que

està comprès entre el valor més petit i el més gran d’un conjunt de dades. Pot no coincidir amb alguna de les dades, i també pot ser un nombre decimal.

• Només l’obtenim amb dades quantitatives (quantitats). L’acostumem a representar amb el símbol x–.

Càlcul de la mitjana aritmètica– L’obtenim dividint la suma de totes les dades entre el nombre total.– Si les dades les tenim en una taula de freqüències absolutes, multipliquem cada dada per la seva

freqüència, sumem tots els productes obtinguts i dividim entre el nombre total.

ALÇADA

160

162

164

166

168

170

172

Total

FREQÜÈNCIA AB-SOLUTA

7

4

4

1

4

3

1

24

DADES PER FREQ. ABSOLUTA

1.120

1.648

1.656

1.166

1.672

1.510

1.172

3.944

EXEMPLE

NOM: CURS: DATA:


Les notes d’un grup de 7 alumnes en matemàtiques són:6, 7, 5, 8, 7, 4, 3

Calcula’n la mediana i la moda.Mediana:

3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 7 - 86 és el valor central i és la mediana.

Moda:7 és el valor amb més freqüència absoluta (2 vegades)i és la moda.

EXEMPLE


Les temperatures (en °C) registrades durant el mes de setembre han estat:18, 19, 22, 16, 21, 20, 19, 18, 17, 22, 21, 23, 25, 19, 20, 19,

22, 21, 20, 24, 23, 21, 19, 4, 23, 19, 18, 19, 20, 21Troba la temperatura mitjana del mes.

3

13

A les dades de l’exemple anterior, hi afegim la nota d’un 9 d’un alumnes més. Calcula ara la mediana i la moda de la qualificacions.

Les edats (en anys) d’un grup d’amigues són: 16, 15, 17, 15, 17, 14, 15 i 16. Troba la mediana i la moda.

Calcula la mediana i la moda de les dades de l’exercici 3.6

5

4

MEDIANA I MODA• La mediana d’un conjunt de dades és el seu valor central.• Si el nombre de dades és senar, les ordenem i la mediana serà el valor central.• SI el nombre de dades és parell, les ordenem i la mediana serà la semisuma dels dos valors centrals.• La moda d’un conjunt de dades és el valor que més es repeteix, és a dir, el que té una freqüència

absoluta més gran. N’hi pot haver diverses, una o cap.

DADES

3

4

5

6

7

8

FREQ. ABSOLUTA

1

1

1

1

2

1



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

INTRODUCCIÓ

L’estudi de la probabilitat sorgeix històricamentvinculada als jocs d’atzar. Actualment, la probabilitats’utilitza en moltes disciplines unides a l’estadística:predicció de riscos en assegurances, estudi sobre la qualitat dels processos industrials, etc.

Les possibles dificultats de la unitat són de caireconceptual, ja que els càlculs numèrics són moltsenzills.

S’haurà d’incidir en la comprensió i l’aplicaciócorrectes dels conceptes de la unitat: diferència entreels tipus d’experiments, espai mostral i assignació de probabilitat mitjançant la regla de Laplace.

La resolució dels exercicis permetrà als alumnesassimilar els conceptes.

S’ha de fer èmfasi en l’aplicació de la regla de Laplace en el cas dels esdevenimentsequiprobables i en els diagrames en arbre en el cas dels experiments compostos.

RESUM DE LA UNITAT

• Experiments deterministes i aleatoris: repetit enigualtat de condicions, no podem predir el resultat.

• Esdeveniment elemental: cada un dels possiblesresultats d’un experiment aleatori.

• Esdeveniment compost: unió d’esdevenimentselementals.

• Espai mostral: el conjunt format per tots elsesdeveniments elementals que es poden donarquan fem un experiment aleatori.

• La probabilitat mesura el grau de possibilitat que téun determinat esdeveniment quan fem unexperiment aleatori. És un nombre comprès entre 0 i 1. Als esdeveniments impossibles els assignarem probabilitat 0 i als esdevenimentssegurs probabilitat 1.

• Regla de Laplace:

• Diagrames en arbre: per estudiar la probabilitat de cada esdeveniment compost a vegades es fa un diagrama on es representa mitjançant«branques» el conjunt d’esdeveniments elementalsamb la seva probabilitat.

p A( ) = resultats favorablesresultats possibless

1. Distingir experimentsaleatoris i esdeveniments.

2. Obtenir l’espai mostrald’un experiment. Tipus d’esdeveniments.Assignació de probabilitat.

3. Calcular la probabilitatd’esdeveniments fentservir la regla de Laplace.Propietats de la probabilitat.

4. Reconèixer la utilitat deldiagrama d’arbre i aplicar-la en contextosde probabilitat.

• Experiments aleatoris i deterministes.

• Esdeveniments. Tipus.

• Idea de probabilitat.• Espai mostral. Tipus

d’esdeveniments.

• Regla de Laplace.• Probabilitat. Propietats.

• Càlcul de probabilitats a partirde diagrames en arbre.

• Classificació d’experiments.• Obtenció d’esdeveniments

d’un experiment aleatori.

• Determinació de l’espai mostral d’un experiment aleatori.

• Assignació de probabilitats.

• Utilització de la regla de Laplace per calcular probabilitats.

• Aplicació de les propietats de la probabilitat per resoldreproblemes.

• Aplicació de la tècnica dels diagramesper resoldre problemes.


Probabilitat14830896_07c_Adaptacio.qxd 13/8/08 21:00 Página 411


Classifica els experiments següents. Si l’experiment és aleatori, escriu els possibles resultats simples.1

14 OBJECTIU 1

DISTINGIR EXPERIMENTS ALEATORIS I ESDEVENIMENTS

NOM: CURS: DATA:

Un experiment determinista és aquell del qual, abans de realitzar-lo, en podem predir el resultat, és a dir,saber què succeirà abans que passi.

Per exemple:– Si un cotxe va a 120 km/h i triga 1 hora i mitja a fer un trajecte, aquest té exactament 180 km.– Si fem aquesta operació amb la calculadora, 13 x 15, sabem que a la pantalla de la calculadora sortirà

el resultat següent: 195.

Un experiment aleatori és aquell del qual, abans de realitzar-lo, no en podem predir el resultat encara que l’experiment es realitzi moltes vegades i en les mateixes condicions. El llenguatge utilitzat per expressarexperiments aleatoris està relacionat amb situacions d’incertesa o atzar: «segurament ...», «això és mésprobable que ocorri que ...», «és poc probable que ...», ...

Per exemple:– Si llancem una moneda enlaire i esperem que caigui a terra, no podem predir si sortirà cara o creu.– Si posem boles de diferents colors en una bossa i, sense mirar, extraiem una, no sabem de quin color

sortirà.

Quan fem un experiment aleatori, un esdeveniment simple és cadascun dels possibles resultats d’aquellexperiment aleatori, i un esdeveniment compost és la unió de diversos esdeveniments simples.

EXPERIMENT DETERMINISTA ALEATORI

Llançament d’una moneda x Cara, creu

Treure una carta d’una baralla espanyola i observar el pal

Extraure l’arrel quadrada del nre. 25

Treure una bola d’una bossa plena de boles negres i observar el color

Treure una fitxa de dòmino i sumar els seus punts

Agafar la calculadora i fer l’operació de dividir 18 per 5

Llançament de dos daus enlaire i sumar els punts que s’obtenen



Tenim una bossa amb 20 boles de colors: 15 blanques, 4 blaves i 1 groga i traiem una de les boles. Relaciona i assigna una probabilitat a cada un dels esdeveniments següents:

Esdeveniment Probabilitat

SegurQuasi segurBastant probableProvablePoc possible

Impossible

D’un joc de cartes de la baralla espanyola de 40 cartes, en traiem una carta. Classifica els esdeveniments següents de més a menys probabilitat.

a) Un asb) Una figurac) Una espasad) Un nombre més gran que 2 i més petit que 7.

2

1

ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

14OBJECTIU 2

ESPAI MOSTRAL. ESDEVENIMENTS. PROBABILITAT

NOM: CURS: DATA:

La probabilitat mesura el grau de possibilitat que té un determinat esdeveniment quan fem un experimentaleatori.

Assignació de probabilitat. El llançament d’un dau, l’extracció d’una bola d’una bossa o d’una carta d’unabaralla són experiments aleatoris. Per mesurar la possibilitat més gran o més petita que ocorri un determinatresultat, a cada esdeveniment li assignem un número comprès entre 0 i 1. Aquest número és la probabilitat.Als esdeveniments impossibles els assignarem probabilitat 0 i als esdeveniments segurs probabilitat 1.

Anomenem espai mostral el conjunt format per tots els esdeveniments elementals que es poden donar quanfem un experiment aleatori. Cada esdeveniment s’anomena esdeveniment elemental.

EXEMPLE

EXPERIMENT ESPAI MOSTRAL ESDEVENIMENTS ELEMENTALS

Llançament d’una moneda E = {c, x} Cara (c) i creu (x)

Llançament d’un dau E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1, 2 , 3, 4, 5 i 6

Treure bola blanca

Treure bola negra

Bola blava

Bola groga



Tenim un dau en forma de dodecaedre amb les cares numerades d’un en un començant per l’1. Escriu l’espai mostral.

Escriu l’espai mostral d’un experiment que consisteix a llançar dos daus cúbics i sumar els punts obtinguts.

Esbrina l’espai mostral corresponent a l’experiment següent: traiem dues boles d’una bossa que conté dues boles blanques i una de vermella sense introduir la primera bola que s’ha tret.

D’un joc de dòmino, donem la volta a una de les fitxes. Escriu l’espai mostral que resulta si l’experiment consisteix a sumar els punts de la fitxa.

6

5

4

3



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

14OBJECTIU 3

REGLA DE LAPLACE . PROPIETATS DE LA PROBABILITAT

NOM: CURS: DATA:

Quan fem un experiment aleatori i tots els esdeveniments tenen la mateixa probabilitat, aquestsesdeveniments s’anomenen esdeveniment equiprobables.

En aquest últim cas, si fem un experiment aleatori que té n esdeveniments elementals, la probabilitat

d’un esdeveniment elemental A és .

Regla de Laplace: la probabilitat d’un esdeveniment qualsevol és .p A( ) = resultats favorablesresultats possibless

p An

( ) = 1

• La probabilitat d’un esdeveniment A és 0 ≤ p(A) ≤ 1

• La probabilitat dels esdeveniments segur és p(E) = 1 i de l’esdeveniment impossible ∅ és p(∅) = 0.

• La suma de probabilitats de tots els esdeveniments elementals és sempre igual a 1: E {a1, a2, ... an} →p(a1) + p(a2) + ...+ p(an) = 1

• La probabilitat d’un esdeveniment contrari a A és p(�A) = 1 − p(A)

Llancem un dau octaèdric. Calcula l’espai mostral i les probabilitats següents:

a) Probabilitat de cada esdeveniment elemental.

b) Probabilitat d’obtenir un múltiple de 3.

c) Probabilitat que surti un nombre més gran que 5.

d) Probabilitat d’obtenir un nombre parell més gran que 3.

L’espai mostral és E = {1,2,3,4,5,6,7,8}

a) Probabilitats dels esdeveniments elementals

p(1) = p(2) = p(3) = p(4) = p(5) = p(6) = p(7) = p(8) =

b) A = {múltiple de 3} = {3,6} → P (A) =

c) B = {x/x > 5} = {6, 7, 8} → P (B) =

d) C = {x/x parell i > 3} = {4,6,8} → P (C) =38

38

28

18

EXEMPLE

A l’exemple anterior, esbrina quin és l’esdeveniment contrari a treure múltiple de 3 i quina és la seva probabilitat.

L’esdeveniment A = {múltiple de 3} = {3,6} i, per tant, el seu esdeveniment contrari és

�A = {1,2,4,5,7,8} → p(�A) = 1 − p(A) = 1 −28

68

=

EXEMPLE



14Calcula la probabilitat que surti una bola blanca d’una bossa en la qual hi ha cinc boles blanques, quatre de negres i una de blava. Calcula també la probabilitat que surti blava.

Hem trucat un dau de manera que les probabilitats d’obtenir un nombre parell són el doble que les d’obtenir un nombre imparell. Aplicant les propietats de la probabilitat, calcula la probabilitat d’obtenir cada nombre.

Una urna conté 5 boles blanques, 4 negres i 3 verdes. Extraiem una de les boles. Calcula les probabilitats següents:

a) Probabilitat de treure una bola blanca.

b) Probabilitat que la bola sigui negra o verda.

c) Probabilitat que la bola no sigui negra.

Extraiem una carta d’una baralla espanyola. Calcula les probabilitats següents:

a) Que sigui el set d’espases.

b) Que sigui un cavall.

c) Que sigui una copa.

d) Que sigui un as.

Llancem dos daus i sumem els punts obtinguts. Fes un quadre amb els resultats possibles i troba la probabilitat que

a) Sigui 4.

b) Sigui un nombre més gran que 10.

c) Sigui un nombre comprès entre 6 i 9.

5

4

3

2

1



ADAP

TACI

Ó C

UR

RIC

ULA

R

14OBJECTIU 4

DIAGRAMES EN ARBRE

NOM: CURS: DATA:

El diagrama en arbre és una tècnica en què es representen mitjançant «branques» el conjuntd’esdeveniments elementals amb la seva probabilitat.

Donat un experiment compost, aquell que resulta de fer, l’un rere l’altre, una sèrie d’experiments aleatorissimples, el diagrama en arbre serveix per calcular les probabilitats d’esdeveniments en aquests experiments compostos.

Llancem dos daus de quatre cares. Fes un diagrama en arbre per obtenir tots els resultats i la probabilitat de cada un d’ells.

Els resultats possibles quan fem l’experiment senzill de llançar un dau tetraèdric és E = {1,2,3,4}.

El resultat del llançament de dos daus d’aquestes característiques és el mateix que si fem dos llançaments seguits d’un dau i, per tant, amb el diagrama en arbre podem saber tots els resultats i les seves probabilitats. Acaba tu mateix el diagrama.

1r dau 2n dau Resultat Probabilitat

EXEMPLE

1

2

3

4

11

12

13

14

P(1,1) =14

14

116

× =

21

1

2

3

4

1/4

1/4

1/41/41/41/4

1/4

1/41/41/41/4

1/4

1/41/41/41/4

1/4

1/41/41/4

1/4

1/41/41/4

1/4

1/4

1/4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

F F

F

F

F

F



Tirem un dau i una moneda a l’aire. Calcula, fent servir el diagrama d’arbre, tots els resultats elementals d’aquest experiment aleatori.

Extraiem quatre cartes sense devolució d’una baralla espanyola de 40 cartes. Fes un diagrama en arbre que et permeti calcular la probabilitat que les quatre siguin cavalls.

I si fem l’experiment amb devolució?3

2

1


Dosieres Mates

Documents

Transcript of Dosieres Mates