Dossier Racionals

download

of 48

  • date post

    10-Oct-2014
  • Category

    Documents
  • view

    68
  • download

    0

Embed Size (px)

transcript

<p> Queralt Gonfaus, Toms Winand i Joan Puig Nom i cognoms Grup racionals 2 racionals 3 NDEX 1. Reps general 4 2. Definici i classificaci dels nombres racionals 15 3. Suma de fraccions 17 4. Resta de fraccions 21 5. Multiplicaci de fraccions 25 6. Divisi de fraccions 28 7. Operacions combinades 29 8. Potenciaci de fraccions 31 9. Vocabulari 45 10. Soluci dels exercicis 46 Aquest tema el vareu comenar el curs passat i, per tant, hi haur molts conceptes que us sn coneguts. Amb tot, intentarem aprofundir-ne algun al mateix temps que en presentarem daltres de ms complexos que es fonamenten en els que ja sabeu. En acabar el dossier heu de saber: Trobar lexpressi decimal duna fracci arrodonint si s necessari el resultat. Classificar els nombres racionals segons la seva expressi decimal. Sumar i restar fraccions utilitzant la tcnica de reducci a denominador com amb el mcm. Realitzar operacions elementals amb fraccions en qu denominador i numerador sn nombres enters. Resoldre operacions combinades de forma ordenada. Operar amb potncies amb exponent negatiu. Edici 2011-2012 racionals 4 1. Reps general Concepte de fracci Lexpressi que tenim a continuaci s una fracci. 32 Podeu distingir les diferents parts duna fracci: El nombre de dalt sanomena i el nombre de baix, sanomena Una fracci s una divisi entre dos nombres enters on el dividend s el i el divisor s el i, posats a repassar, com sanomenen les parts assenyalades en el segent esquema duna divisi? Vegem diferents casos que es poden presentar en dividir dos nombres enters. 15 : 3 = 5315= 6 : 2 = 326 = ...... : ...... = ......216= 14 : (7) = ..................= racionals 5 Cal que no oblideu: 1. La regla dels signes que heu aprs amb els nombres enters. 2. Dos signes no poden anar mai seguits; per aix, el que fem s posar els parntesis darrere del signe de divisi. s a dir, per fer una divisi entre dos nombres enters: 1. Dividim els seus valors absoluts. 2. Posem el signe que li pertoca segons la regla dels signes. 2 : 5 = 10 : 4 = 17 : (5) = 5 : (4) = 25 : 3 = 84:7 = La divisi de dos nombres enters dna, en alguns casos, un nombre enter, i en altres dna un nombre decimal. El smbol de la divisi sn els dos punts (:) o b un petit segment horitzontal () o una mica inclinat (/). Les divisions per zero no tenen sentit, aix que cal que en una fracci el denominador sigui sempre diferent de zero. No nhi ha prou amb els nombres enters per a expressar quantitats que ens trobem habitualment. Sutilitzen les fraccions per referir-nos a una part dun tot o per expressar quantitats en qu dividim una unitat triada. Per exemple, per expressar diverses parts duna hora: la meitat duna hora ' 30h21= = una quarta part duna hora ' 15h41= = una tercera part duna hora 20'h31= = tres quartes parts duna hora 45'h43= = cinc quartes parts duna hora h411h75'h45+ = = = racionals 6 El denominador duna fracci s el nombre de parts iguals en qu dividim la unitat, mentre que el numerador s el nombre de parts que sagafen. 43 dhora = dividir lhora en quatre parts iguals i agafar-ne tres = 45 Una fracci s, doncs, una part duna quantitat. Quan s 2/5 parts de 100? Has de dividir 100 en cinc parts i agafar dues daquestes parts: 205100= i agafar dues vegades 20 = 2 20 = 40 Aix, doncs, 2/5 parts de 100 s 40. Dividir 100 per 5 i multiplicar el resultat per 2 s el mateix que multiplicar 2/5 per 100: 40520010052100de52= = = En definitiva, per a calcular la fracci duna quantitat cal multiplicar la fracci per la quantitat. Quant s 4/5 parts de 350? 280514005350 435054= = = I, si duna quantitat desconeguda en coneixem el valor duna fracci, com saber la quantitat? Per exemple, la meitat duna quantitat s 75; quina s aquesta quantitat? 21 duna quantitat = 75 s clar que la quantitat s 2 75 = 150. s a dir, multiplicar 75 per 2, que s la fracci inversa de 1/2. En definitiva, per a calcular una quantitat de la qual coneixem una fracci, cal multiplicar la inversa de la fracci pel valor conegut. De quina quantitat les seves 3/4 parts s 150? 20036003150 415034= = = Exemples: Un avi ha recorregut 1106 Km que sn 5/7 parts del recorregut total que ha de fer. Quants quilmetres li falten per acabar el seu recorregut? Dels 33 companys del meu bloc, ahir en van faltar 5. Quina fracci del total s? Quin percentatge de companys van faltar ahir? Un objecte t un preu de venda de 352 al qual shi ha dafegir el 18% de lIVA (impost sobre el valor afegit). Quin s el cost final de lobjecte per al comprador? racionals 7 Arrodoniments A vegades, en dividir una fracci, apareixen molts decimals que fan carregs treballar amb aquest nombre. Una opci s no utilitzar tots els decimals que t i quedar-nos amb una aproximaci que sacosti prou al nombre que hem calculat. Daix sen diu arrodonir. Hi ha diversos mtodes per arrodonir un nombre; nosaltres utilitzarem el que sanomena arrodoniment simtric. 1. Qu passa si ens volem quedar amb un nombre de decimals i el primer que volem desestimar s superior a 5? Exemple Volem arrodonir el nombre 3,45698 noms amb tres decimals. Com que el primer decimal que volem desestimar s 9 (superior a 5), la xifra anterior saugmenta en una unitat: 3,457 Arrodoniu els nombres decimals segents noms amb dos decimals: 5,237 6,128234 7,9861111 1,29777 2. Qu passa si ens volem quedar amb un nombre de decimals i el primer que volem desestimar s inferior a 5? Exemple Volem arrodonir el nombre 3,45628 noms amb tres decimals. Com que el primer decimal que volem desestimar s 2 (inferior a 5) ens quedem amb els tres primers decimals: 3,456 Arrodoniu els decimals segents noms amb dos decimals: 5,234 7,9811111 6,123234 0,236 3. Finalment, i si el primer decimal que volem desestimar s igual a 5? Exemple Volem arrodonir 3,45658 noms amb tres decimals. Es poden aplicar qualsevol de les dues opcions anteriors. 3,45658 3,457 3,45658 3,456 racionals 8 exercici 1 Escriu cada una de les divisions en forma de fracci. Troba el quocient de cada una. Fracci Resultat del quocient aproximant amb 3 decimals a. 15 : 4 = b. 3 : 2 = c. 5 : (3) = d. 100 : (4) = e. 35 : 10 = f. 25 : (5) = g. 7 : (1) = h. 27 : (100) = i. 110 : (3) = j. 7 : (6) = k. 10 : 1000 = l. 15 : 35 = racionals 9 exercici 2 Calcula les fraccions de les quantitats indicades: 31 de 300 = 32 de 300 = 43 de 120 = 41 de 120 = 45 de 120 = 23 de 120 = 52 de 12300 = 73 de 2100 = Quina fracci representa cada nmero respecte de la quantitat indicada? 100 respecte de 200: 200 respecte de 300: 11 respecte de 55: 45 respecte de 60: 250 respecte de 125: 8 respecte de 12: 600 respecte de 125: 5 respecte de 15: Calcula la quantitat de la qual en cada cas en coneixes la fracci: 32 parts de ........ = 16 43 parts de ........ = 300 25 parts de ........ = 120 87 parts de ........ = 35 72 parts de ........ = 20 41 parts de ........ = 60 37 parts de ........ = 49 54 parts de ........ = 280 Fraccions equivalents Si dues fraccions expressen la mateixa part de la unitat, sanonemen equivalents. 32 duna unitat s dividir-la en 3 parts iguals i agafar-ne 2 6432= 64 duna unitat s dividir-la en 6 parts iguals i agafar-ne 4 racionals 10 Si dues fraccions sn equivalents es compleix que el producte del numerador de la primera pel denominador de la segona s igual al producte del denominador de la primera pel numerador de la segona. c b d adcba= = Per obtenir fraccions equivalents a una fracci donada es multiplica o es divideix el numerador i el denominador de la fracci per un mateix nombre enter, diferent de zero. 9632151030206432===== Simplificar una fracci vol dir trobar-ne una altra dequivalent amb els enters del numerador i del denominador ms petits. Aix saconsegueix, com acabem de dir, dividint el numerador i el denominador pel mateix nombre enter. En una srie de fraccions equivalents, sanomena fracci irreductible aquella en qu el numerador i el denominador no tenen factors o divisors comuns. Per obtenir una fracci irreductible cal descompondre en factors primers el numerador i el denominador i eliminar els que sn comuns (la divisi dun nombre per ell mateix dna la unitat). Exemples 474 37 31221 = = fracci irreductible equivalent a la inicial 525 3 23 218072 2 22 3= = fracci irreductible equivalent a la inicial 72 36 18 9 3 1 2 2 2 3 3 180 90 45 15 5 1 2 2 3 3 5 exercici 3 Busca el valor de x perqu cadascun daquest parell de fraccions siguin equivalents: 42x713 = x151230 = 102x1= 3xx4= racionals 11 Simplifica les fraccions segents: 9152 10560 8464 2816 3624 1842 78117 480360 exercici 4 Troba la fracci irreductible de cadascuna de les fraccions segents: a. 1014 b. 45072 c. 15360 d. 100001000 e. 70250 f. 1438 g. 752735 h. 75133 racionals 12 Fraccions amb el denominador com (el mateix denominador) Recordeu que per a sumar o restar dues fraccions cal que aquestes tinguin el mateix denominador. La forma dobtenir-lo s 1. Trobar el mcm (mnim com mltiple) dels dos denominadors 2. Arreglar els numeradors per tal que, amb el denominador com obtingut en el pas 1, siguin equivalents a les fraccions de partida. Exemple Volem obtenir unes fraccions equivalents a les segents i que tinguin el mateix denominador 43i145 Quin ser el denominador com? Calculem el mcm dels dos denominadors. Recordeu que per calcular el mcm de diversos nombres cal descomposar-los en factors primers i multiplicar els factors comuns i no comuns obtinguts que tinguin el major exponent. 1. Feu la descomposici en factors primers dels dos denominadors. 14 = 4 = 2. Agafeu els nombres que surten a totes les descomposicions amb lexponent ms gran i els que noms surten en alguna de les descomposicions, tamb amb lexponent ms gran. El 2 surt als dos llocs. A la descomposici del 14, t exponent 1. A la descomposici del 4 t exponent 2. Per tant, ens quedem el 22. El 7 surt noms a la descomposici del 14. Tamb ens el quedem. 3. Multipliqueu tots aquests nombres i obtenim el mcm. mcm (14, 4) = Per tant, el denominador com ser el 28. racionals 13 Quin numerador tindran? Ara es tracta de trobar unes fraccions equivalents a 43i145 per que tinguin denominador 28. 145 28? 43 28? Per passar del 14 al 28 hem multiplicat per 2. Per tant, el numerador lhaurem de multiplicar per 2 en la primera fracci. En canvi, a la segona hem hagut de multiplicar el denominador per 7: el mateix haurem de fer amb el seu numerador. 145 = 2810 43 = 2821 Una fracci negativa la podem escriure de tres maneres diferents. 2821 = 2821= 2821 s a dir, el signe negatiu pot saltar del davant, al numerador o al denominador i no canvia la fracci. Si el numerador i el denominador tenen el mateix signe (tant si s positiu com si s negatiu), la fracci s positiva. Si, en canvi, tenen diferent signe, llavors la fracci s negativa. racionals 14 exercici 5 Calcula el mcm de a. 24 i 40 b. 50 i 125 c. 75 i 12 d. 15 i 18 e. 16 i 32 f. 12 i 30 exercici 6 Escriu aquestes fraccions amb el mateix denominador i digues quina s ms gran. 75i43 125i83 125i367 65i43 racionals 15 2. Definici i classificaci dels nombres racionals Siguin a i b dos nombres enters amb b 0. El quocient entre ells ba sanomena nombre racional. Un nombre racional s, doncs, una fracci. Un nombre racional pot ser positiu o negatiu segons siguin els signes del seu numerador i denominador. Exemples de racionals sn: 53 , 147 , 18 , 33254 , 10010 Els nombres racionals es classifiquen segons el resultat de fer el quocient que els defineix Enter: quan la divisi s exacta i dna un nombre enter Decimal exacte: quan la divisi dna un nombre finit de decimals Decimal peridic pur: quan la divisi dna un nombre infinit de decimals per que es repeteixen duna manera fixa immediatament desprs de la coma decimal 3 0,0,333...31 )= = = = 153,3,1515...99312 Decimal peridic mixt: quan el resultat de la divisi dna un nombre decimal amb infinits elements que es repeteixen duna manera fixa per no immediatament desprs de la coma decimal. 2 0,30,3222...9029)= = Com sabeu, el nombre o nombres que es repeteixen peridicament sassenyalen amb el barret . 6318= 2,5410 = racionals 16 exercici 7 Completa la taula segent Fracci Quocient Tipus de racional 1. 35 : (7) = 2. 2 : 5 = 3. 17 : 6 = 4. 14 : 3 = 5. 1 : 9 = 6. 4 : 33 = 7. 30 : 9 = 8. 55 : 10 = 9. 2 : 20 = 10. 15 : 300 = 11. 12 :14 = 12. 38 : 18 = 13. 43 : 5 = 14. 3 : (10) = 15. 100 : 25 = racionals 17 3. Suma de fraccions Dues fraccions noms es poden sumar si tenen el mateix denominador. En el cas que no sigui aix, caldr transformar-les en daltres dequivalents que si el tinguin. Mateix denominador Si dues fraccions tenen el mateix denominador, noms cal que 1. deixem el denominador com 2. i sumem els numeradors Exemples =+ )712(75 = ||</p> <p>\| + + 454143 Diferent denominador Aleshores caldr buscar les fraccions equivalents amb el denominador com. Per fer-ho, seguirem els passos segents: 1. Fem que els denominadors siguin positius. 2. Busquem el mnim com mltiple dels denominadors el qual ser el nou denominador com. 3. Posem el denominador com i arreglem els numeradors, de forma que les fraccions que obtinguem siguin equivalents a les que tenem. 4. Ara ja podem sumar els numeradors i deixar el denominador com. racionals 18 Exemples = +4263 = +43125 = ++936132 =||</p> <p>\| +2143 = 5136537 =||</p> <p>\| +4635 Clcul del denominador com racionals 19 Propietats de l...</p>