Queralt Gonfaus, Tomàs Winand i Joan Puig Nom i cognoms Grup

racionals

2

racionals

3

ÍNDEX

1. Repàs general 4 2. Definició i classificació dels nombres racionals 15

3. Suma de fraccions 17

4. Resta de fraccions 21

5. Multiplicació de fraccions 25

6. Divisió de fraccions 28

7. Operacions combinades 29

8. Potenciació de fraccions 31

9. Vocabulari 45

10. Solució dels exercicis 46

Aquest tema el vareu començar el curs passat i, per tant, hi

haurà molts conceptes que us són coneguts. Amb tot, intentarem aprofundir-ne algun al mateix temps que en presentarem d’altres de més complexos que es fonamenten en els que ja sabeu.

En acabar el dossier heu de saber: • Trobar l’expressió decimal d’una fracció arrodonint si és

necessari el resultat. • Classificar els nombres racionals segons la seva expressió

decimal. • Sumar i restar fraccions utilitzant la tècnica de reducció a

denominador comú amb el mcm. • Realitzar operacions elementals amb fraccions en què

denominador i numerador són nombres enters. • Resoldre operacions combinades de forma ordenada. • Operar amb potències amb exponent negatiu.

Edició 2011-2012

racionals

4

1. Repàs general Concepte de fracció L’expressió que tenim a continuació és una fracció.

32

Podeu distingir les diferents parts d’una fracció: “El nombre de dalt” s’anomena …

i “el nombre de baix”, s’anomena …

Una fracció és una divisió entre dos nombres enters on

el dividend és el … i el divisor és el … i, posats a repassar, com s’anomenen les parts assenyalades en el següent esquema d’una divisió? Vegem diferents casos que es poden presentar en dividir dos nombres enters.

15 : 3 = 53

15 = –6 : 2 = 326 −=−

...... : ...... = ......2

16 =−

–14 : (–7) = ............

......=

racionals

5

Cal que no oblideu:

1. La regla dels signes que heu après amb els nombres enters. 2. Dos signes no poden anar mai seguits; per això, el que fem és

posar els parèntesis darrere del signe de divisió. És a dir, per fer una divisió entre dos nombres enters:

1. Dividim els seus valors absoluts.

2. Posem el signe que li pertoca segons la regla dels signes.

2 : 5 = –10 : 4 = 17 : (–5) = –5 : (–4) = –25 : 3 = –84:7 = La divisió de dos nombres enters dóna, en alguns casos, un nombre enter, i en altres dóna un nombre decimal. El símbol de la divisió són els dos punts (:) o bé un petit segment horitzontal (—) o una mica inclinat (/). Les divisions per zero no tenen sentit, així que cal que en una fracció el denominador sigui sempre diferent de zero. No n’hi ha prou amb els nombres enters per a expressar quantitats que ens trobem habitualment. S’utilitzen les fraccions per referir-nos a una part d’un tot o per expressar quantitats en què dividim una unitat triada. Per exemple, per expressar diverses parts d’una hora:

la meitat d’una hora '30

h2

1 ==

una quarta part d’una hora '15

h4

1 ==

una tercera part d’una hora 20'

h3

1 ==

tres quartes parts d’una hora 45'

h4

3 ==

cinc quartes parts d’una hora h4

11h

75'

h4

5 +===

racionals

6

El denominador d’una fracció és el nombre de parts iguals en què dividim la unitat, mentre que el numerador és el nombre de parts que s’agafen.

4

3 d’hora = dividir l’hora en quatre parts

iguals i agafar-ne tres = 45’ Una fracció és, doncs, una part d’una quantitat. Quan és 2/5 parts de 100? Has de dividir 100 en cinc parts i agafar dues d’aquestes parts:

205

100

= i agafar dues vegades 20 = 2 · 20 = 40

Així, doncs, 2/5 parts de 100 és 40. Dividir 100 per 5 i multiplicar el resultat per 2 és el mateix que multiplicar 2/5 per 100:

405

200

100

·5

2100

de5

2 ===

En definitiva, per a calcular la fracció d’una quantitat cal multiplicar la fracció per la quantitat. Quant és 4/5 parts de 350?

280

5

1400

5

350

·4350

·5

4 ===

I, si d’una quantitat desconeguda en coneixem el valor d’una fracció, com saber la quantitat? Per exemple, la meitat d’una quantitat és 75; quina és aquesta quantitat?

2

1 d’una quantitat = 75

És clar que la quantitat és 2 · 75 = 150. És a dir, multiplicar 75 per 2, que és la fracció inversa de 1/2. En definitiva, per a calcular una quantitat de la qual coneixem una fracció, cal multiplicar la inversa de la fracció pel valor conegut. De quina quantitat les seves 3/4 parts és 150?

200

3

600

3

150

·4150

·3

4 ===

Exemples: Un avió ha recorregut 1106 Km que són 5/7 parts del recorregut total que ha de fer. Quants quilòmetres li falten per acabar el seu recorregut? Dels 33 companys del meu bloc, ahir en van faltar 5. Quina fracció del total és? Quin percentatge de companys van faltar ahir? Un objecte té un preu de venda de 352€ al qual s’hi ha d’afegir el 18% de l’IVA (impost sobre el valor afegit). Quin és el cost final de l’objecte per al comprador?

racionals

7

Arrodoniments A vegades, en dividir una fracció, apareixen molts decimals que fan carregós treballar amb aquest nombre. Una opció és no utilitzar tots els decimals que té i quedar-nos amb una aproximació que s’acosti prou al nombre que hem calculat. D’això se’n diu arrodonir. Hi ha diversos mètodes per arrodonir un nombre; nosaltres utilitzarem el que s’anomena arrodoniment simètric.

1. Què passa si ens volem quedar amb un nombre de decimals i el primer que volem desestimar és superior a 5?

Exemple Volem arrodonir el nombre 3,45698 només amb tres decimals. Com que el primer decimal que volem desestimar és 9 (superior a

5), la xifra anterior s’augmenta en una unitat: 3,457

Arrodoniu els nombres decimals següents només amb dos decimals:

5,237 ≈ 6,128234 ≈

7,9861111 ≈ 1,29777 ≈

2. Què passa si ens volem quedar amb un nombre de decimals i el primer que volem desestimar és inferior a 5?

Exemple Volem arrodonir el nombre 3,45628 només amb tres decimals. Com que el primer decimal que volem desestimar és 2 (inferior a

5) ens quedem amb els tres primers decimals: 3,456 Arrodoniu els decimals següents només amb dos decimals:

5,234 ≈ 7,9811111 ≈

6,123234 ≈ 0,236 ≈

3. Finalment, i si el primer decimal que volem desestimar és igual a 5?

Exemple Volem arrodonir 3,45658 només amb tres decimals. Es poden aplicar qualsevol de les dues opcions anteriors.

3,45658 ≈ 3,457

3,45658 ≈ 3,456

racionals

8

exercici 1 Escriu cada una de les divisions en forma de fracció. Troba el quocient de cada una.

Fracció Resultat del quocient

aproximant amb 3 decimals

a. –15 : 4 =

b. 3 : 2 =

c. 5 : (–3) =

d. 100 : (–4) =

e. –35 : 10 =

f. –25 : (–5) =

g. –7 : (–1) =

h. 27 : (–100) =

i. 110 : (–3) =

j. –7 : (–6) =

k. 10 : 1000 =

l. –15 : 35 =

racionals

9

exercici 2 Calcula les fraccions de les quantitats indicades:

3

1 de 300 =

3

2 de 300 =

4

3 de 120 =

4

1 de 120 =

4

5 de 120 =

2

3 de 120 =

5

2 de 12300 =

7

3 de 2100 =

Quina fracció representa cada número respecte de la quantitat indicada?

100 respecte de 200: 200 respecte de 300:

11 respecte de 55: 45 respecte de 60:

250 respecte de 125: 8 respecte de 12:

600 respecte de 125: 5 respecte de 15:

Calcula la quantitat de la qual en cada cas en coneixes la fracció:

3

2 parts de ........ = 16

4

3 parts de ........ = 300

2

5 parts de ........ = 120

8

7 parts de ........ = 35

7

2 parts de ........ = 20

4

1 parts de ........ = 60

3

7 parts de ........ = 49

5

4 parts de ........ = 280

Fraccions equivalents Si dues fraccions expressen la mateixa part de la unitat, s’anonemen equivalents .

3

2

d’una unitat és dividir-la en 3 parts iguals i agafar-ne 2

6

4

3

2=

6

4

d’una unitat és dividir-la en 6 parts iguals i agafar-ne 4

racionals

10

Si dues fraccions són equivalents es compleix que el producte del numerador de la primera pel denominador de la segona és igual al producte del denominador de la primera pel numerador de la segona.

c·bd·ad

c

b

a =⇔=

Per obtenir fraccions equivalents a una fracció donada es multiplica o es divideix el numerador i el denominador de la fracció per un mateix nombre enter, diferent de zero.

9

6

3

2

15

103

0

206

4

3

2

−=

−=−=−=−=−

Simplificar una fracció vol dir trobar-ne una altra d’equivalent amb els enters del numerador i del denominador més petits. Això s’aconsegueix, com acabem de dir, dividint el numerador i el denominador pel mateix nombre enter. En una sèrie de fraccions equivalents, s’anomena fracció irreductible aquella en què el numerador i el denominador no tenen factors o divisors comuns. Per obtenir una fracció irreductible cal descompondre en factors primers el numerador i el denominador i eliminar els que són comuns (la divisió d’un nombre per ell mateix dóna la unitat). Exemples

4

7

4·3

7·3

12

21 ==

fracció irreductible equivalent a la inicial

5

2

5·3·2

3·2

180

72 22

23

== fracció irreductible equivalent a la inicial

72 36 18

9 3 1

2 2 2 3 3

180 90 45 15

5 1

2 2 3 3 5

exercici 3 Busca el valor de x perquè cadascun d’aquest parell de fraccions siguin equivalents:

42

x

7

13 =−

x

151

2

30 =

10

2

x

1=−

3

x

x

4

−=−

racionals

11

Simplifica les fraccions següents:

91

52−

105

60

84

64

−

28

16

36

24

−

18

42

78

117

−

480

360

exercici 4 Troba la fracció irreductible de cadascuna de les fraccions següents:

a. 10

14−

b. 450

72

−−

c. 15360

d. 100001000

e. 70250−

f. 1438

g. 75

2735

h. 75

133

racionals

12

Fraccions amb el denominador comú (el mateix denomi nador) Recordeu que per a sumar o restar dues fraccions cal que aquestes tinguin el mateix denominador. La forma d’obtenir-lo és

1. Trobar el mcm (mínim comú múltiple) dels dos denominadors 2. Arreglar els numeradors per tal que, amb el denominador comú

obtingut en el pas 1, siguin equivalents a les fraccions de partida.

Exemple Volem obtenir unes fraccions equivalents a les següents i que tinguin el mateix denominador

4

3i

14

5 −

• Quin serà el denominador comú? Calculem el mcm dels dos denominadors. Recordeu que per calcular el mcm de diversos nombres cal descomposar-los en factors primers i multiplicar els factors comuns i no comuns obtinguts que tinguin el major exponent. 1. Feu la descomposició en factors primers dels dos denominadors.

14 = 4 =

2. Agafeu els nombres que surten a totes les descomposicions amb l’exponent més gran i els que només surten en alguna de les descomposicions, també amb l’exponent més gran. El 2 surt als dos llocs. A la descomposició del 14, té exponent 1. A la descomposició del 4 té exponent 2. Per tant, ens quedem el 22.

El 7 surt només a la descomposició del 14. També ens el quedem.

3. Multipliqueu tots aquests nombres i obtenim el mcm.

mcm (14, 4) =

Per tant, el denominador comú serà el 28.

racionals

13

Quin numerador tindran?

Ara es tracta de trobar unes fraccions equivalents a 4

3i

14

5 − però que

tinguin denominador 28.

14

5 28

? 4

3− –28

?

Per passar del 14 al 28 hem multiplicat per 2. Per tant, el numerador l’haurem de multiplicar per 2 en la primera fracció. En canvi, a la segona hem hagut de multiplicar el denominador per 7: el mateix haurem de fer amb el seu numerador.

145

= 2810

43− =

2821−

Una fracció negativa la podem escriure de tres maneres diferents.

28

21− =

28

21

− = 28

21−

És a dir, el signe negatiu pot saltar del davant, al numerador o al denominador i no canvia la fracció. Si el numerador i el denominador tenen el mateix signe (tant si és positiu com si és negatiu), la fracció és positiva. Si, en canvi, tenen diferent signe, llavors la fracció és negativa.

racionals

14

exercici 5 Calcula el mcm de

a. 24 i 40

b. 50 i 125

c. 75 i 12

d. 15 i 18

e. 16 i 32

f. 12 i 30

exercici 6 Escriu aquestes fraccions amb el mateix denominador i digues quina és més gran.

7

5i

4

3

12

5i

8

3

12

5i

36

7

65

i43

racionals

15

2. Definició i classificació dels nombres racionals Siguin a i b dos nombres enters amb b ≠ 0. El quocient entre ells

ba s’anomena

nombre racional . Un nombre racional és, doncs, una fracció. Un nombre racional pot ser positiu o negatiu segons siguin els signes del seu numerador i denominador. Exemples de racionals són:

53

, 14

7− ,

18

, 33

254− , 100

10

Els nombres racionals es classifiquen segons el resultat de fer el quocient que els defineix

Enter: quan la divisió és exacta i dóna un nombre enter

Decimal exacte: quan la divisió dóna un nombre finit de decimals

Decimal periòdic pur: quan la divisió dóna un nombre infinit de decimals però que es repeteixen d’una manera fixa immediatament després de la coma decimal

30,

0,333...

3

1 )

== ∩

== 153,

3,1515...

99

312

Decimal periòdic mixt: quan el resultat de la divisió dóna un nombre decimal amb infinits elements que es repeteixen d’una manera fixa però no immediatament després de la coma decimal.

20,3

0,3222...

90

29

)

==

Com sabeu, el nombre o nombres que es repeteixen periòdicament s’assenyalen amb el barret ∩ .

63

18 =

2,5

4

10 =

racionals

16

exercici 7 Completa la taula següent

Fracció Quocient Tipus de racional

1. 35 : (–7) =

2. –2 : 5 =

3. 17 : 6 =

4. –14 : 3 =

5. 1 : 9 =

6. 4 : 33 =

7. –30 : 9 =

8. 55 : 10 =

9. –2 : 20 =

10. –15 : 300 =

11. 12 :14 =

12. –38 : 18 =

13. 43 : 5 =

14. 3 : (–10) =

15. –100 : 25 =

racionals

17

3. Suma de fraccions

Dues fraccions només es poden sumar si tenen el mateix denominador. En el cas que no sigui així, caldrà transformar-les en d’altres d’equivalents que si el tinguin. • Mateix denominador

Si dues fraccions tenen el mateix denominador, només cal que 1. deixem el denominador comú 2. i sumem els numeradors

Exemples

=−+ )712

(75 =

−++−45

41

43

• Diferent denominador

Aleshores caldrà buscar les fraccions equivalents amb el denominador comú. Per fer-ho, seguirem els passos següents: 1. Fem que els denominadors siguin positius. 2. Busquem el mínim comú múltiple dels denominadors el qual serà el nou

denominador comú.

3. Posem el denominador comú i arreglem els numeradors, de forma que les fraccions que obtinguem siguin equivalents a les que teníem.

4. Ara ja podem sumar els numeradors i deixar el denominador comú.

racionals

18

Exemples

=+−42

63

=+−4

3

12

5

=+−

+−93

61

32

=

−+2

1

4

3

=−−5

1365

37

=

−+4

6

3

5

Càlcul del denominador comú

racionals

19

Propietats de la suma COMMUTATIVA

L’operació de sumar dos nombres racionals la podem fer amb l’ordre que vulguem i obtindrem sempre el mateix resultat.

Exemple

=−+35

43 =+−

43

35

ASSOCIATIVA

Per sumar tres nombres racionals, podem sumar els dos primers i, al resultat, sumar-li el següent o bé, sumar el segon i el tercer i el resultat el sumem al primer.

Exemple

=−++27

51

32

ELEMENT NEUTRE

És aquell nombre racional que sumat a qualsevol altre racional no ens el modifica, el deixa igual. Aquest nombre és el 0 (el zero), i en forma de

fracció s’escriu: ...30

,20

,10 . És a dir, s’escriu com a zero dividit pel nombre

que vulguem excepte el 0 (recorda que les fraccions no poden tenir denominador 0).

ELEMENT OPOSAT

El nombre racional oposat d’un altre és la mateixa fracció però canviada de signe. Si un racional és positiu el seu oposat és negatiu i viceversa. La suma d’un racional i el seu oposat és el nombre racional neutre, el zero.

=−+

+27

51

32

=

−++27

51

32

racionals

20

exercici 8 Calcula i simplifica els resultats sempre que sigui possible.

a. =

−+67

1813

b. =+

−+−164

163

161 =

c. =−+ )5(9

4

d. =+−10

3

5

2

e. =

−+25

45

f. =+−7

32

g. =++−+4

7

12

7)2(

6

5

(Recorda que quan un nombre no té denominador és el mateix que si fos el nombre de numerador i denominador 1)

racionals

21

4. Resta de fraccions La resta de dues fraccions és la suma de la primera amb l’oposada de la segona. Dues fraccions només les podem restar si tenen el mateix denominador. En cas negatiu caldrà transformar les fraccions en d’altres d’equivalents que tinguin el denominador comú. • Mateix denominador Si dues fraccions tenen el mateix denominador, només cal que:

1. Canviem la resta per suma i la segona fracció la substituïm per la seva oposada

2. Deixem el mateix denominador i

3. Sumem els numeradors Exemples

=−8

128

33 =−−8

12833

• Diferent denominador Aleshores caldrà buscar el mateix denominador. Per fer-ho, seguirem el mateix mètode que en les sumes:

1. Canviem la resta per suma i la segona fracció per la seva oposada.

2. Busquem el mínim comú múltiple dels denominadors.

3. Posem el mcm trobat com el denominador comú i arreglem els numeradors, de forma que les noves fraccions siguin equivalents a les que teníem inicialment.

Exemples

=−−124

65 =

−−12

4143

racionals

22

Quan tenim una barreja de sumes i restes de fraccions es fa de la mateixa manera: primer aconseguim que totes les fraccions tinguin el mateix denominador que serà el mcm dels denominadors inicials i, llavors, sumem i/o restem els numeradors. És recomanable, primer, passar tots els possibles signes negatius dels denominadors als numeradors. Exemple

=−

−+− 10

327

53

exercici 9 Calcula i simplifica els resultats sempre que sigui possible:

a. =−−121

53

b. =−− )1(37

c. =−

+

−−4

321

32

racionals

23

d. =−−

− 13

443

e. =−103

52

f. =

−−23

47

g. =−−25

712

g. =−− )1(51

i. =−+−+−−62

31

)1()2(102

racionals

24

exercici 10 Calcula

−−

−

−31

52

i52

31 . Observant els dos resultats, pots dir si la

resta de racionals compleix la propietat commutativa? Sempre passa que un resultat és l’oposat de l’altre?

exercici 11 Calcula

a. 4

15)3(

85

43 +−+

−−− =

b. 107

35

51

1 −

−+

−−− =

c. Recorda que en les operacions combinades amb parèntesis, primer es

resolen els parèntesis des del més interior cap al més exterior

−+

+−

+−45

31

23

47

31

1 =

exercici 12 Calcula

a. =+

−−21

51

37

b. =+−25

103

1001

c. =

−−−21

157

31

racionals

25

5. Multiplicació de fraccions El resultat de multiplicar dues fraccions és una altra fracció que té la multiplicació dels numeradors per numerador i la multiplicació dels denominadors per denominador. Cal que recordis la regla dels signes en la multiplicació d’enters. La regla dels signes, però, l’has d’aplicar dues vegades: la primera, amb els numeradors i la segona, amb els denominadors. Exemples

=−75

·32

=− )5·(82

=−−⋅−

43

32

=−−⋅⋅−

43

35

32

Els exemples que vénen a continuació són una mica diferents. Tenim un nombre decimal que cal que transformem en forma de fracció. Ho farem de la manera següent:

1. Comptem els decimals que té. 2. Escrivim una fracció que té com a numerador el número, però, sense la

coma i, com a denominador , un 1 seguit de tants zeros com decimals teníem.

Exemples

2

9

10

454

,5

==

0,2436 =

27,32 =

0,01 =

Exemples

3

5

3

5

6

103

2

2

5

3

2

10

253

22,5

−=−=−=−⋅=−⋅=−⋅

=−⋅3

40,5

=⋅−1,25

3

2

racionals

26

Propietats de la multiplicació La multiplicació o producte de nombres racionals verifica les propietats següents: 1. COMMUTATIVA

L'ordre amb que es fa la multiplicació de dos nombres racionals no afecta el seu resultat.

ba

·dc

dc

·ba =

2. ASSOCIATIVA Per multiplicar tres racionals es poden agrupar de la forma que es vulgui de manera que el resultat no canvia.

=

=fe

·dc

·ba

fe

·dc

·ba

fe

·dc

·ba

3. ELEMENT NEUTRE És aquell nombre racional que multiplicat per qualsevol altre no ens els modifica, és a dir, dóna aquest mateix nombre. L’element neutre, per la multiplicació, és el nombre 1 i s’anomena element unitat.

ba

1·ba =

4. ELEMENT INVERS L’element invers d’un nombre racional és el racional amb el numerador i denominador intercanviats (el numerador passa a ser el denominador i el

denominador passa a ser el numerador). L’element invers de ba és

ab . Si

es multiplica un racional pel seu invers dóna el neutre, és a dir, dóna 1.

5. DISTRIBUTIVA respecte de la SUMA El producte d’un racional per una suma de racionals és igual a la suma dels productes del primer per cadascú dels segons.

fe

·ba

dc

·ba

fe

dc

·ba +=

+

1ab

·ba =

racionals

27

exercici 13 Calcula les multiplicacions següents i, si és possible, simplifica’n els resultats.

a. =

−⋅−34

72

b. =−−⋅

− 3910

1913

c. =⋅−−

2581

45

d. =⋅−65

2

e. –2,5 · =21

f. –0,25 · (–2,5) =

g. 2 · 0,5 =

h. 0,25 · =42

i. 3,25 · =81

j. –2 · =

−83

k. 5 · =51

l. 23− · =

−32

m. 7,2 · =31

n. 0,15 · =

−43

racionals

28

6. Divisió de fraccions El resultat de dividir dos nombres racionals és la multiplicació del primer per l’invers del segon.

bcad

cd

·ba

dc

:ba ==

El resultat de la divisió és, doncs, el resultat de multiplicar en creu les dues fraccions.

bcad

dc

:ba =

Exemple

1514

1514

75

:32 =

−−=

−−

=− )5(:82

=

−21

:31

5: =71

exercici 14 Calcula les divisions següents i, si és possible, simplifica’n els resultats.

a. =−

−3

4:

72

b. =−

−3

10:

1913 c. =

−−−

2581

:6475

d. =−65

:2

e. –2,5 : =21

f. –0,25 : (–2,5) =

g. 2 : 0,5 = h. 0,25 : =42

exercici 15 Calcula i simplifica el resultat

a. =−25

·38 b. =

27

:52

c. =4

13·5,2 d. =2:

23

racionals

29

7. Operacions combinades

En les operacions combinades (suma, resta, multiplicació i divisió) amb nombres racionals: 1r Cal resoldre els parèntesis i els claudàtors de dins cap a fora 2n Dins i fora dels parèntesis hi ha unes prioritats:

• Primer fem les multiplicacions i divisions en l’ordre en què apareixen

• Després les sumes i restes.

3r Les operacions es fan d’esquerra a dreta

exercici 16 Calcula les operacions combinades següents:

a. =⋅−⋅34

41

53

32

b. =

−− 2:31

11

c. =−⋅

− 134

21

45

d. =+

+58

58

:31

2

e. =⋅−+58

43

21

85

f. =⋅⋅35

:38

41

21

racionals

30

exercici 17 Recorda que el signe de l’operació divisió són els dos punts (:) o bé un petit segment horitzontal o inclinat (— , /). Efectua les operacions de nombres racionals següents:

a) =

−

2

1

3

1·2

1

b) =

+ 7·2

5

3

2

c) =

3

53

d) =5231

e) =+

−

5

12

14

1

f) =4221

g) =+

−

5

62

311

h) =35

3

racionals

31

8. Potenciació de fraccions

• LA POTÈNCIA Recordeu que una potència és una expressió matemàtica que té aquesta forma:

−32

- La base pot ser qualsevol nombre enter, racional ... i també pot ser el zero.

- El significat de la potència no canvia pel fet que la base sigui un nombre racional. L’exponent ens diu el nombre de vegades que s’ha de multiplicar la base.

Per tant, per saber el valor d’una potència, multiplicarem la base per ella mateixa, tantes vegades com ens indiqui l’exponent que, de moment, és un nombre natural (és a dir, sempre és positiu). n vegades

n vegades n vegades Per fer la potència d’una fracció elevada a un exponent, cal elevar el numerador i el denominador a aquest exponent. Exemples

8

125

2

5

2·2·2

5·5·5

2

5·2

5·2

5

2

53

33

====

25

1

5

1·

5

1

5

12

=

−

−=

−

27

8

3

2·

3

2·

3

2·

3

2

3

23

33

−=−=

−

−

−=

− 16

494

72

=

De què depèn el signe del resultat d’una potència? Si la potència té base positiva, el resultat serà positiu. Però, si la potència té base negativa , el resultat serà positiu si l’exponent és parell i negatiu si l’exponent és senar.

2 exponent base

racionals

32

Exemples

=

−2

57

=

−3

2317

=

3

137

=

−8

148

• INVERS D’UN NOMBRE RACIONAL

Quin és l’invers d’un racional b

a? És el racional

a

b (numerador i denominador

intercanviats) ja que d’aquesta manera es compleix que el seu producte és el nombre 1.

a

bés l’invers de

b

a ja que 1

a·b

b·a

a

b·b

a ==

Per exemple, l’invers del racional 3

5− és 3

5− ja que

115

155

3·

3

5 ==

−

−

L’invers d’un racional també es pot expressar com la divisió de 1 pel racional en qüestió:

5

3

3

5:1

3

51

3

5de

invers

−=−=−

=−

7

8

8

7:1

8

71

8

7de

invers

===

racionals

33

OPERACIONS AMB POTÈNCIES Potències amb igual base Les propietats de les operacions amb potències són les mateixes que heu vist amb les potències amb un nombre enter com a base. El producte de potències amb la mateixa base és una altra potència que té:

• la mateixa base i

• exponent igual a la suma dels exponents. Exemple

523

3

2

3

2·

3

2

=

El quocient de potències amb la mateixa base és una altra potència que té:

• la mateixa base i

• per exponent, la resta dels exponents. Exemple

51

51

:51

23

=

La potència d’una potència és una altra potència que té • la mateixa base • i d’exponent, el producte dels exponents.

Exemple

632

53

53

−=

−

racionals

34

Potències amb exponent negatiu Fins ara hem fet potències de nombres racionals amb exponents nombres naturals. Les potències també poden tenir per exponent nombres enters negatius. Presentem-ho amb un exemple: volem fer la divisió de les potències

2

3

5

i 4

3

5

. Seguirem dos camins diferents:

=

4

2

3

5

3

5

242

3

5

3

5−−

=

=

I, d’una altra manera,

2

2

2

2

24

2

5

3

3

51

3

5

1

3

5

1

3

5·3

5·3

5·3

53

5·3

5

3

5

3

5

=

=

=

==

Arribem a dos resultats que són iguals: 22

5

3

3

5

=

−

Una potència d’exponent negatiu és igual a una altra potència de base el número invers a l’inicial i d’exponent el nombre oposat a l’exponent inicial.

2

2

2

4433

7

1

7

17;

2

5

5

2;

3

4

4

3 =

=

−=

−

=

−−−

Més qüestions d’operacions amb potències Potències especials

- Qualsevol nombre racional positiu o negatiu elevat a zero és 1

Exemple

=

−0

451

1

- Qualsevol nombre racional elevat a 1 és el mateix nombre.

Exemple

12312

12312

1

−=

−

és un quocient de potències amb la mateixa base

racionals

35

Potències amb diferent base Què passa quan les potències tenen bases oposades?

43

3

5

3

5

−⋅

o bé

53

4

3

4

3

⋅

−

Com que no tenen la mateixa base no es pot aplicar la propietat del producte, però no costarà gaire obtenir la mateixa base. Per obtenir la mateixa base primer convertim les bases negatives en positives:

• Si l’exponent és parell podem eliminar el signe,

64242

3

5

3

5·

3

5

3

5·

3

5

=

=

−

• Si l’exponent és senar el signe pot sortir fora de la potència.

85353

4

3

4

3·

4

3

4

3·

4

3

−=

−=

−

5·55

5

1·5 23

2

3 ==

−

Què passa quan les potències tenen base inversa?

Si tenen base inversa, només cal recordar que podem invertir qualsevol fracció si canviem el signe de l’exponent

32

32

·32

23

·32

2323

=

=

−

Què passa quan les potències tenen base oposada i inversa?

Doncs haurem d’invertir alguna de les fraccions i després canviar les bases per tal que totes siguin positives.

( )743434

3

21

21

·21

21

·21

21

·2

−=

−=

−=

− −

racionals

36

exercici 18

a. =

−

21

·21

·21

32

b. =

23

31

:31

c. =

32

52

:52

d. =

−

−− 31

41

:41

e. =

−

−−− 54

54

:54

f. =

−

−−43

52

:52

racionals

37

exercici 19 Resol i expressa el resultat en forma d’una sola potència

a. 102 · 10–3 · 0,1 =

b. 3–4 · 3

31

=

c. =

−23

:23

3

d.

−

3

25

:52

=

e.

−

2

25

:52

=

f. =

−

2

25

:52

racionals

38

exercici 20 Calcula i simplifica

a.- =+−156

52

b.- =

+−−−54

156

32

c.- =+−72

2

d.- =−+

−+− 2)2(25

36

52

1

e.- =

−−2

41

21

31

f.- =

−

43

311

·21

:32

g.- =

−+241

35

51

h.- =

−−⋅

−2

711

212

31

375

racionals

39

exercici 21 a.- Completa la taula de classificació dels nombres racionals

Si a i b són nombres enters i b és diferent de 0, aleshores la fracció b

a és

un nombre racional.

a : b ⇔ b

a

b.- Posa un exemple de cada un dels diferents tipus de nombres racionals que hi ha. exemple: el nombre 23 és un nombre enter.

el nombre .............................. és un nombre ............................................

el nombre .............................. és un nombre ............................................

el nombre .............................. és un nombre ............................................ c.- Classifica segons el quadre anterior els racionals següents:

– 31

42

– 65

31

– 74

217−

74

24

24−

1310

racionals

40

exercici 22 Resol les operacions amb potències següents:

a. =

−

21

·21

·21

32

b. =

23

31

:31

c. =

32

52

:52

d. =

−

−− 31

41

:41

h. =

−

−−− 54

54

:54

f. =

−

−−43

52

:52

exercici 23 Resol

a. 202 · 20–4 · 0,2 =

b. 4–4 · 3

31

=

c. =

−23

:23

3

d.

−

3

25

:52

=

e.

−⋅

2

27

72

=

f. =

−24

:24

3

g.

−

2

26

:62

=

h.

−⋅

8

35

53

=

racionals

41

exercici 24 Calcula quina fracció de la unitat representa

a) la meitat de la meitat: b) la meitat de la tercera part: c) la tercera part de la meitat: d) la meitat de la quarta part:

Agafant com unitat la superfície d’un cercle, ombreja cadascun dels anteriors resultats a través de sectors circulars

exercici 25 La Mercè va de compres amb 80€ a la cartera. Se’n gasta 5

4 parts del que

porta. Quants diners li queden?

exercici 26 Fa uns anys, en Pere tenia 24 anys que són les 3

2 parts de l’edat que avui té.

Quina és la seva edat?

racionals

42

exercici 27 Dos automòbils han de recórrer el mateix trajecte de 522Km. L’automòbil A porta recorregut els 11

5 quan el B ha recorregut els 138 del mateix. Quants Km

han recorregut cadascun? Quin dels dos va primer?

exercici 28 Amb motiu de l’inici de les vacances d’estiu regales un llibre a cada un dels membres de la teva família (pare, mare i germà). Els compres en una llibreria que et fa el 15% de descompte. Si l’import del llibres és de 55€, quant pagaràs?

exercici 29 La meitat de la meitat dels 3500 espectadors d’un concert de Brams ha entrat amb invitació. Quants han pagat l’entrada?

exercici 30 Una samarreta de 8€ està rebaixada el 30%. Quina fracció del total et rebaixen? Quina fracció del total hauràs de pagar? Quin serà l’import a pagar?

racionals

43

exercici 31 Una traductora cobra 2€ per pàgina traduïda i un 15% més per tot el treball. Si tradueix un llibre de 450 pàgines, quant cobrarà?

exercici 32 Una mare reparteix 180.000€ entre els seus tres fills. Al més gran li dóna 9

4

parts de la quantitat, 31 part al mitjà i la resta al més petit. Quina fracció del

total rep el més petit? Quina quantitat rep cadascú?

exercici 33 Les terres del Mas de Cal Bover s’han dividit en quatre parts. La primera és un

quart de la superfície total, la segona, 92

parts i la tercera un terç del total.

Quina fracció del total és la quarta part restant?

racionals

44

exercici 34 A les eleccions locals celebrades en una ciutat el 33% dels vots van ser pel partit A, el 20% pel B, el 23% pel C i la resta pel partit D. El total de vots ha estat de 15400 (no n’hi ha hagut en blanc ni nuls). Calcula: a) el nombre de vots obtingut per cada partit b) l’abstenció (absoluta i en percentatge) sabent que els votants han estat les

85 parts del cens electoral.

exercici 35 La Maria ha col·locat

301 de les peces d’un trencaclosques i, després, l’Andreu

n’ha posat les 100

3 . Quan ningú no mirava, en Joan, el germà petit, n’ha tret

501 de totes les peces del trencaclosques. Quina fracció del trencaclosques

està feta? Si el trencaclosques era de 1200 peces, quantes peces falten col·locar?

exercici 36 En Jofre llegeix un llibre. La primera setmana llegeix

73 parts del total de

pàgines del llibre i la segona setmana, en llegeix 54 parts de la resta. Si encara

li queden 48 pàgines per acabar el llibre, quantes pàgines té el llibre? Quina setmana ha llegit més?

racionals

45

9. Vocabulari

Raó

Fracció

Nombre racional

Fraccions equivalents

Fracció irreductible

Tipus de nombres racionals

Mínim comú múltiple de nombres (mcm)

Oposat d’un nombre racional

Invers d’un nombre racional

racionals

46

10. Solució dels exercicis

1. –3,75 ; 1,5 ; –1, 6)

; –25 ; –3,5 ; 5 ; 7 –0,27 ; –36, 6

)

; 1,1 6)

; 0,01 ; –0, 42857 2. 100 , 200 , 90 , 30 , 150 , 180 , 4920 , 900

3

1,4

3,3

2,2,

4

3,5

1,3

2,2

1

24 , 400 , 48 , 40 , 70 , 240 , 21 , 350

3. –78 , 6 , –5 , ±6

7

4,

21

8,7

4,7

4 −−

4

3,2

3,3

7,3

2 −−

4. a) 5

7− ; b) 254 ; c) 24 ; d) 10

1

e) 725− ; f) 7

19 ; g) 15547 ; h) 75

133

5. a) 120 ; b) 250 ; c) 300 ; d) 90 ; e) 32 ; f) 60

6. 75

43 > ;

125

83 < ;

125

367 < ;

65

43 <

7. 1) –5 2) –0,4 decimal exacte 3) 2,8 3

)

periòdic mixt 4) –4, 6

)

periòdic pur 5) 0,1)

periòdic pur 6) 0,12 periòdic pur 7) –3,3

)

periòdic pur 8) 5,5 decimal exacte 9) –0,1 decimal exacte 10) –0,05 decimal exacte 11) 0,857142 periòdic pur 12) –2,1

)

periòdic pur 13) 8,6 decimal exacte 14) –0,3 decimal exacte 15) –4 enter

8. a)94− , b) 0 , c) –

941 , d) –

101 , e) –

45 , f) –

711 , g)

67

9. a) 6041−

, b) 3

10 , c)125 , d)

1213 , e)

101 , f)

413 , g)

1459− , h)

56 , i)

56

10. L’operació resta no verifica la propietat commutativa. Els resultats són,

sempre, nombres racionals oposats.

racionals

47

11. a) 85 ; b)

619− ; c)

629−

12. a) 3091 ; b)

100221 ; c)

3011

13. a) 218 ; b) –

5710 ; c)

2081 ; d) –

35 ; e) –

45 ; f)

85 ; g) 1

h) 81 ; i)

3213 ; j)

43 ; k) 1 ; l) 1 ; m)

512

; n) –809

14. a) 143 ; b)

19039 ; c) –

1728625 ; d) –

512 ;

e) –5 ; f) 101 ; g) 4 ; h)

21

15. a) –3

20 ; b) 354 ; c)

865 ; d)

43

16. a) 151 ; b)

32 ; c) 0 ; d)

120367 ; e) –

403 ; f)

51

17. 5

1,

39

10,1,4

4

15,

6

5,5

9,

6

133

,12

1 −−

18. a) 41

21

2

=

; b) 31 ; c)

25

52

1

=

−

; d) ( ) 256441 4

4

=−=

−−

e) 54

54

1

−=

− ; f) 77

52

52

−=

−

19. a) 10–2 = 2

101

; b) 3–7 ; c) –2

23

; d) –4

52

; e) –4

52

; f) 4

52

20. a) 0 ; b) –1516 ; c) –

712 ; d)

1051 ;

e) 4813 ; f)

935 ; g)

4073 ; h) –

1472995

21. c) decimal periòdic pur , decimal exacte , decimal periòdic mixt decimal periòdic pur , decimal periòdic mixt , decimal periòdic pur decimal periòdic mixt , enter , enter , decimal periòdic mixt

racionals

48

22. a) 41

21

2

=

; b) 31 ; c)

25

52

1

=

−

; d) – ( ) 2564441 44

4

==−=

−

e) 54

54

1

−=

− ; f) 77

52

52

−=

−

23. a) 2000

1 ; b) 6912

1 ; c) –49 ; d)

62516−

e) 27− ; f) – 4 ; g)

271− ; h) –

7

35

24. a) 4

1 ; b) 61 ; c) 6

1 ; d) 81

25. 16 € 26. 36 anys 27. A: 237,37 Km , B: 321,23 Km 28. Et fan un descompte de 8,25€, per tant, pagaràs 46,75€ 29. 2625 espectadors 30. a) 10

3 ; b) 107 ; c) 5,6€

31. 1035 € 32. G: 80000 € , M: 60000 € , P: 40000 € 33. 36

7 de les terres del Mas.

34. A: 5082 ; B: 3080 ; C: 3542 ; D: 3696. Abstenció 9240, 37,5%

35. S’ha fet el 30013 del trencaclosques. Se n’han posat 52 peces, per tant en

falten 1148.

36. La primera setmana llegeix 73 de les pàgines i la segona 35

16 de les

pàgines del llibre. En total ha llegit 3531 de les pàgines del llibre. El llibre té

420 pàgines. Ha llegit més la segona setmana.