· Dr. Gabriel Alarcón J Ingeniero Mecánico - ULA Venezuela M.Sc. Ph.D. - Iowa State University...

Alarcón J. Gabriel A.

Turbomaquinas

Universidad de Los Andes. 2015. p. 264

Venezuela

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Dr. Gabriel Alarcón J Ingeniero Mecánico - ULA Venezuela M.Sc. Ph.D. - Iowa State University - U.S.A. Pag.1.0

ESCUELA DE ING. MECANICA - UNIVERSIDAD DE LOS ANDES - MERIDA - VENEZUELA.

TURBOMAQUINAS

GABRIEL A. ALARCON. J. Ing. Mec. Ms.C. Ph.D.

Profesor Titular Escuela de Ingeniería Mecánica

Universidad de Los Andes



Capítulo 1

1.1. Definición de Turbomáquina.

1.2. Definición de los elementos constructivos comunes.

1.3. Clasificación de las Turbomáquinas.

1.3.1. Según el fluido de trabajo.

1.3.2. Según la dirección del intercambio de energía entre fluido y rodete.

1.3.3. Según la variación de presión estática en los álabes.

1.3.4. Según la dirección de flujo con respecto al eje.

1.4. Vistas y proyecciones utilizadas en el análisis.

1.5. La ecuación de conservación de la energía.

1.5.1. Aplicación a Turbomáquinas Térmicas (1ra. Ley de la Termodinámica).

1.5.2. Aplicación a Turbomáquinas Hidráulicas (Ecuación de Bernoulli).

1.6. La ecuación de conservación de cantidad de movimiento lineal (momentum lineal).

1.6.1. Aplicación a una cascada plana de álabes.

1.7. Triángulo de velocidades en el rotor.

1.7.1. Turbomáquinas radiales y mixtas.

1.7.2. Turbomáquinas axiales.

1.8. Ecuación de cantidad de movimiento angular.

1.8.1. Aplicación a Turbomáquinas Generadoras.

1.8.2. Aplicación a Turbomáquinas Motoras.

1.9. Problemas.


ESCUELA DE ING. MECANICA - UNIVERSIDAD DE LOS ANDES - MERIDA - VENEZUELA

1.1. Definición de Turbomáquina.

Una Turbomáquina intercambia energía contínuamente con un fluido y transforma

la energía mecánica que entra por un eje a energía de presión que se le comunica al fluido

o viceversa. El intercambio de energía se realiza en un rotor o impulsor provisto de álabes

o paletas, el cual interactúa con el fluido a través del principio de conservación de cantidad

de movimiento angular.

1.2. Definición de los elementos constructivos comunes.

Toda turbomáquina consta de las siguientes partes fundamentales (ver Fig. 1.1):

Eje. Transporta la energía mecánica hacia o desde la máquina.

Rotor o impulsor. Rueda con paletas o álabes que rota solidaria con el eje, a través

del cual fluye el fluido continuamente intercambiando energía por medio del

principio de conservación de cantidad de movimiento angular.

Estator. Corona con paletas o álabes fijos a la carcasa. No existe intercambio de

energía con el fluido. Su función es controlar la dirección del fluido y transformar la

velocidad del fluido a presión o viceversa.

Carcasa. Envolvente o cubierta de la máquina. Puede actuar como estator sin

álabes en máquinas radiales y mixtas.

Figura 1.1. Bomba, ventilador o compresor centrífugo. Esquema meridional.

1.3. Clasificación de las Turbomáquinas.

1.3.1. Según el fluido de trabajo:



Turbomáquinas Hidráulicas (TH). Fluido incompresible o liquido (ρ = cte)

Turbomáquinas Térmicas (TT). Fluido compresible o gas (ρ ≠ cte)

1.3.2. Según la dirección del intercambio de energía entre fluido y rodete:

Turbomáquinas Generadoras (TG).

Turbomáquinas Motoras (TM).

Donde:

EM = energía mecánica EP = energía de presión

Las Turbomáquinas Hidráulicas Generadoras (THG) son las Bombas y los

Ventiladores. El fluido de trabajo en un ventilador es aire; sin embargo, el incremento de

presión que experimenta el aire a través de la máquina es muy bajo, por lo que se puede

aproximar como un fluido incompresible (ρ = cte).

Las Turbomáquinas Térmicas Generadoras (TTG) son los Compresores.

Las Turbomáquinas Hidráulicas Motoras (THM) son las Turbinas Hidráulicas:

Pelton, Francis, Kaplan o Axial.

Las Turbomáquinas Térmicas Motoras (TTM) son las Turbinas de Gas, donde el

fluido de trabajo es un gas producto de combustión y las Turbinas de Vapor, donde el fluido

de trabajo es vapor de agua sobrecalentado.

En las Turbomáquinas existen canales móviles de flujo en el rotor o impulsor y

canales fijos de flujo en el estator. Los canales fijos y móviles en TG actúan como difusores

para la velocidad absoluta y relativa respectivamente. En TM los canales fijos y móviles

actúan como toberas para la velocidad absoluta y relativa respectivamente. Esta situación

se esquematiza en la Fig. 1.2.



Figura 1.2. Intercambio de energía y forma general de los canales de flujo.

Una etapa se define como la pareja de un rotor y un estator. La Fig. 1.3 muestra la

conformación de una etapa en Turbomáquinas Generadoras y Motoras.

Figura 1.3.Conformación de una etapa en Turbomáquinas Generadoras y Motoras.



1.3.3. Según la variación de presión estática en los álabes:

Generadora de acción. El aumento de la presión ocurre solamente en los canales

fijos del estator o difusores.

Generadora de reacción. El aumento de la presión ocurre tanto en los canales

móviles de rotor como en los canales fijos del estator.

Motora de acción. La expansión o caída de presión del fluido ocurre solamente en

los canales fijos del estator o toberas.

Motora de reacción. La expansión o caída de presión del fluido ocurre tanto en los

canales móviles del rotor como en los canales fijos del estator.

1.3.4. Según la dirección de flujo con respecto al eje:



1.4. Vistas y proyecciones utilizadas en el análisis.

Las Turbomáquinas se estudian en un

sistema coordenado cilíndrico: axial, radial y

tangencial (z, r, θ ). Para facilitar el análisis se divide

el problema tridimensional en dos problemas

bidimensionales unidos por una dirección común.

Los planos y vistas utilizadas en el análisis

de las Turbomáquinas centrífugas radiales y mixtas se esquematizan en la Fig. 1.4. El

plano Meridional contiene al eje de la máquina y está formado por las direcciones axial y

radial de un sistema coordenado cilíndrico. Se observa el ancho de los álabes a la entrada

y salida del rotor, B1 y B2, y los diámetros a la entrada y salida del rotor, D1 y D2. El plano

Transversal es perpendicular al eje y está formado por las direcciones radial y tangencial

de un sistema coordenado cilíndrico. Se observa la forma y los ángulos β’1 y β’2 de los

álabes y los diámetros de entrada y salida del rotor, D1 y D2. Los ángulos del álabe se

forman entre una tangente al álabe y una tangente al círculo de entrada y salida.

Figura 1.4. Esquemas de las vistas en Turbomáquinas radiales y mixtas.



La Fig. 1.5 muestra los planos y vistas utilizadas en el análisis de Turbomáquinas

axiales. El plano Meridional contiene al eje de la máquina y está formado por las

direcciones axial y radial de un sistema coordenado cilíndrico. Se observa la proyección

circular del alzado de los álabes y el canal anular de flujo conformado por la carcasa, Dt, y

el cubo del rotor, Dr. El plano Transversal es perpendicular al eje y está formado por las

direcciones radial y tangencial de un sistema coordenado cilíndrico, pero no es de utilidad

en el análisis de éste tipo de Turbomáquinas. La rejilla o cascada plana de álabes, por el

contrario, si tiene gran utilidad y se define como una superficie cilíndrica de radio medio

‘rm', interceptada con los álabes del rotor y estator y desarrollada sobre un plano

conformado por las direcciones axial y tangencial. Se observa el perfil aerodinámico de los

álabes y los ángulos β’1 y β’2 de los álabes a la entrada y salida del rotor. Los ángulos del

álabe se forman entre una tangente a la línea media del álabe y la dirección axial a la

entrada y salida del rotor.

Figura 1.5. Esquemas de las vistas en turbomáquinas axiales.



1.5. La ecuación de conservación de energía.

1.5.1. Aplicación a Turbomáquinas Térmicas (1ra. Ley de la Termodinámica).

Se considera la Turbomáquina como una caja negra. El fluido penetra por la

sección 1 y sale por la sección 2, existiendo la posibilidad de intercambiar calor y trabajo

de eje con el ambiente. Se supone régimen permanente y condiciones uniformes en las

secciones de entrada y salida. El flujo se supone esencialmente unidimensional.

El principio de conservación de energía puede escribirse en forma simplificada

como:

E Eo o o o

1 1 2 1 2 2 W Q = ± ±− − (1.1)

donde Eo

es el flujo de energía específica o energía por unidad de masa. El contenido de

energía especifica de un fluido en una sección de flujo cualquiera es:

Energía Cinética = EC = V 2

2 g Jc

Energía Potencial = EP = Z g

g Jc

Energía Interna = Ei = u

Energía de Flujo = Ef = P v

J

La entalpía estática del fluido se define como:

h = u + P v

J = Ei + Ef



donde las constantes gc y J dependen del sistema de unidades que se utiliza y se

especifican en la Tabla 1.1.

Tabla 1.1. Valores de gc y J.

Sistema Técnico Sistema Ingles Sistema Internac.

gc 9.81 kgmxm

kgfxs2 32.17

lbmxft

lbfxs2 1

J 4.19

kgfxm

Cal 778

lbfxft

Btu

1

El balance del flujo de energía específica entre la entrada y la salida de la

Turbomáquina se puede escribir entonces como:

mo

1 h + V

g J +

Z g

g J W Q = m h +

V

g J +

Z g

g J11

c

1

c2

2

c

2

c

2

1 2 1 2 2

2

2 2

± ±

− −

o o o

(1.2)

donde:

Wo

1 2− = Potencia mecanica intercambiada.

Qo

1 2− = Flujo de calor intercambiado.

El principio de conservación de masa establece que:

mo o o

1 2 = m = m (1.3)

Dividiendo entre el flujo másico, mo

, se obtiene:

h h1

2

2

2

2 2 +

V

g J +

Z g

g J q = +

V

g J +

Z g

g J1

c

1

c1-2 1-2

2

c

2

c

± ±

ω

(1.4)

El calor específico intercambiado con el ambiente, q1-2, es muy bajo debido a que

la velocidad del fluido es muy elevada en el interior de la Turbomáquina y no hay tiempo



suficiente para intercambiar una cantidad sustancial de calor, aun en Turbomáquinas

Térmicas. Por lo tanto, el flujo se puede suponer esencialmente adiabático con q1-2 ≈ 0.

El trabajo específico de eje, ω1-2, intercambiado con el ambiente siempre existe en

Turbomáquinas. Se toma el signo positivo en compresores y el signo negativo en turbinas.

De esta manera, el trabajo ω1-2 calculado siempre es positivo.

La energía potencial de un gas es muy pequeña debido a que su peso específico

es muy bajo (el peso específico del agua es aproximadamente 1000 veces el peso

específico del aire). Por lo tanto, ∆ Z g

J 0 .

gc≈

La ec. (1.4) se escribe ahora como:

h1

2

2

2 +

V

2g J = h +

V

2g J 1

c1-2

2

c± ω (1.5)

La entalpía total o de estancamiento, ho, se define como:

ho = entalpía estática + entalpía dinámica.

hO = h + V

2g J

2

c (1.6)

donde el estado total o de estancamiento y el estado estático están unidos por un proceso

isentrópico, tal como se muestra en la Fig. 1.6.

Figura 1.6. Estado total o de estancamiento y estático.



Usando la entalpía total, el balance de energía resulta en:

h o1 ± ω1-2 = ho2 (1.7)

1.5.1.1. Aplicación a compresores ( TTG ). El diagrama h-s del proceso en una

etapa de compresión se muestra en la Fig. 1.7:

Figura 1.7. Diagrama entalpía - entropía del proceso en una etapa de compresión.

Figura 1.7.a. Punto 02 salida compresor. Figura 1.7.b. Punto 03 salida compresor.

Con referencia a la Fig. 1.7.a, el trabajo específico realmente comunicado al fluido

para comprimirlo entre los niveles P01 - P02 es:

ω1-2 = h02 - h01 (1.8)

El trabajo ideal isentrópico requerido para comprimir entre los mismos niveles de

presión es:

ω1-2S = h02S - h01 (1.9)

La diferencia entre ω1-2 y ω1-2S se debe a las irreversibilidades internas del tipo

hidráulico que ocurren por fricción entre el fluido y el metal, cambios bruscos de dirección

del fluido, separación de capa limite, etc. El trabajo perdido en este tipo de

irreversibilidades es:



ωph1-2 = ω1-2 - ω1-2S (1.10)

ωph1-2 = h02 - h02S (1.11)

Se define el rendimiento interno o adiabático del compresor como:

ηi = ω

ω1 2

1 2

01

02 01

−

−

S

h =

h - h

- h02S

(1.12)

La potencia mecánica W meco

proporcionada por el motor de accionamiento debe

ser mayor que la potencia realmente comunicada al fluido por el rotor,

2-121rotor m W W ω== −ooo

, en una cantidad suficiente para vencer las pérdidas mecánicas

que ocurren en los rodamientos o cojinetes, prensa estopas o sellos mecánicos, etc.

La Fig. 1.8 es un esquema de las diferentes potencias involucradas en el

compresor, observándose que el rendimiento mecánico del compresor se puede definir

como:

Figura 1.8. Potencias involucradas en el proceso de compresión.

ηmec =

mec

2-1

mec

21

mec

rotor

W

m =

W

W= W

Wo

o

o

o

o

oω− (1.13)

El rendimiento total o global del compresor se define como:

ηC =

mec

2S-1

mec

ideal

W

m

W

Wo

o

o

oω

= (1.14)



ηC = m

m

m

1-2S

1-2

1-2

mec

o

o

o

o

ω

ω

ω

W (1.15)

ηC = ηi × ηmec (1.16)

Para un gas perfecto se tiene que:

h = Cp T (1.17)

Cp = K R

K - 1 (1.18)

Cv = R

K - 1 (1.19)

K = CP / Cv (1.20)

T

TS

k

k02

01

1

= P

P02

01

−

(1.21)

T

T

k

k0

1

= P

P0

−

(1.22)

El trabajo específico real se puede calcular en términos de las presiones y

temperaturas de la siguiente manera:

ωη η1 2

01−

= h - h =

h - h =

C T

T - 102 01

02S 01

i

p 01

i

02S

T (1.23)

( )ω

η1 2

1

−

−

= K R T

K - 1

P

P - 101

i

02

01

k

k (1.24)

En casos donde las velocidades de entrada y salida del compresor sean

relativamente pequeñas, se puede definir el rendimiento interno aproximadamente en

función de los estados estáticos.

ηi = h - h

h - h2S 1

2 1 (1.25)



La Fig. 1.7.b es una ampliación de la Fig. 1.7.a para diferenciar el proceso en el

rotor y en el difusor. En este caso, el punto 2 está ubicado a la salida del rotor y entrada al

difusor y el punto 3 es la salida del compresor, lo cual debe tenerse en cuenta para utilizar

las ecs. (1.8) a la (1.25).

Ejemplo 1.1

Un turbocompresor toma aire de la atmósfera a 101.35 KPa (14.7 psia) y 15.56°C

(60°F) y lo descarga a una presión estática de 517.10 KPa (75 psig) y una temperatura

estática de 256.56°C (510°F). El flujo másico comprimido es 0.73 Kg⁄ s (1.61 lbm/s) y la

velocidad del aire en la descarga del compresor es 91.44 m/s (300 ft/s).

Calcular:

a) La eficiencia adiabática o interna del compresor.

b) La potencia en Kw del motor de accionamiento si la eficiencia mecánica del

compresor es 98%.

c) La eficiencia global del compresor.

K = 1.4 Cp = 1.006 K J / Kg°K

C1 ≅ 0 ⇒ P01 = P1 = 101.35 KPa

T01 = T1 = 15.56°C + 273.15 = 288.71°K

C2 = 91.44 m/s

P2 = 517.10 KPa + 101.35 KPa = 618.45 KPa

T2 = 265.56 + 273.15 = 538.71°K



a) ηi = h S02 - h

h - h =

T - T

T - T01

02 01

02S 01

02 01

T

TS

k

k02

01

1

= P

P02

01

−

T

T

k

k02

2

1

= P

P02

2

−

J g2C

+ h = hc

22

202 h = Cp T

( )

KKgmJK 1.0062

s

m 91.44 +K 538.71 =

J gC 2C

+ T = T2

22

cp

22

202

°×

°

T02 = 538.71 K + 8.361

K J

Kgm

2.012 K J

Kgm K

= 538.71 K + 4.156 K°

°

° ° = 542.87°K

PT

T

k

k02

02

2

11 4

1 4 1 = P = 618.45 542.87

538.71 = 635.33 KPa2

− −

.

.

TP

PS

k

k02

02

01

1

= T = 288.71 635.33

101.35 = 487.78 K01

1.4-1

1.4

°

−

ηi = 487 78 288 71

542 288 71

. .

.87 .

−

− = 0.783 = 78.33%

b) ( )W Ko o

1 2 542 87 288 71− ×°

− ° = m = 0.73Kgm

s 1.006

K J

Kgm K 1-2ω . .

Wo

1 2− = 186.65 K J

S= 186.65 KW ( 250.2 HP )

Wmecmec

oo

= W

= 190.46 KW ( 255.3 HP )1-2

η

c) ηC = ηi × ηmec = 0.7833 × 0.98 = 76.76%



1.5.1.2 Aplicación a turbinas ( TTM ). El proceso de expansión a través de una

etapa de turbina se muestra en la Fig. 1.9 en un diagrama h-s:

Figura 1.9. Diagrama entalpía - entropía del proceso en una etapa de turbina.

Figura 1.9.a. Punto 02 salida turbina. Figura 1.9.b. Punto 03 salida turbina.

Con referencia a la Fig. 1.9.a, el trabajo específico realmente extraído del fluido en

la expansión desde P01 hasta P02 es:

ω1-2 = h01 - h02 (1.26)

El trabajo ideal isentrópico que podría extraerse del fluido entre los mismos niveles

de presión es:

ω1-2S = h01 - h02S (1.27)

La diferencia entre ω1-2S y ω1-2 se debe a las irreversibilidades internas del tipo

hidráulico que ocurren por fricción entre el fluido y el metal, cambios bruscos de dirección

del fluido, separación de capa limite, etc. El trabajo perdido en este tipo de

irreversibilidades es:

ωph1-2 = ω1-2S - ω1-2 (1.28)



ωph1-2 = h02 - h02S (1.29)

Se define el rendimiento interno o adiabático de la turbina como:

ηi = ω

ω1 2

1 2

02

01 02

−

− S Sh =

h - h

- h01 (1.30)


que aparece en el eje de la turbina es menor que la

potencia realmente extraída del fluido por el rotor, 2-121rotor m W W ω== −ooo

, en una

cantidad suficiente para vencer las pérdidas mecánicas que ocurren en los rodamientos o

cojinetes, prensa estopas o sellos mecánicos, etc.

La Fig. 1.10 es un esquema de las diferentes potencias involucradas en la turbina,

donde se puede observar que el rendimiento mecánico de la turbina se define como:

Figura 1.10. Potencias involucradas en el proceso de expansión en la turbina.

ηmec =

2-1

mec

21

mec

rotor

mec

m

W = W

W W

W

ω

=

−o

o

o

o

o

o

(1.31)

El rendimiento total o global de la turbina se define como:

ηT =

2S-1

mec

ideal

mec

m

W W

W

ω

=o

o

o

o

(1.32)



ηT =

2S-1

2-1

2-1

mec

m

m

m

W

ω

ω

ωo

o

o

o

(1.33)

ηT = ηi × ηmec (1.34)

El trabajo específico real se puede calcular en términos de las presiones y

temperaturas de la siguiente manera:

( )

−ηηω −

TT

1 T C = h -h = h -h = 01

02S01 pi02S01i020121 (1.35)

−

−η

ω

−

− PP

1 1KT RK

= k1k

010201i

21 (1.36)

Cuando las velocidades de entrada y salida de la turbina son bajas, se puede

escribir la eficiencia interna aproximadamente en función de los estados estáticos.

ηi = h - h

h - h1 2

1 2S (1.37)

La Fig. 1.9.b es una ampliación de la Fig. 1.9.a para diferenciar el proceso en la

tobera y en el rotor. En este caso, el punto 2 está ubicado a la salida de la tobera y entrada

al rotor y el punto 3 es la salida del rotor, lo cual debe tenerse en cuenta para utilizar las

ecs. (1.26) a la (1.37) .



Ejemplo 1.2

Una turbina de gas produce una expansión desde las condiciones totales de 0.5

MPa y 1100°K hasta una presión estática de salida de 0.1 MPa, donde la velocidad es de

150 m/s.

El trabajo perdido por las irreversibilidades que sufre el fluido en su paso a través

de la maquina es 10% del trabajo ideal isentrópico. Considerando el fluido como un gas

perfecto con las propiedades del aire, calcular:

a) El trabajo perdido en irreversibilidades, ωPh1-2.

b) La eficiencia interna de la turbina, ηi.

c) La potencia extraída del fluido Wo

1 2− si el flujo másico mo

es 0.5 Kg/s.

d) La potencia en el eje W meco

si la potencia mecánica perdida es 5 KW.

e) La eficiencia total o global de la turbina, ηT.

Datos:

K= 1.4 P2 = 100 KPa

Cp = 1.006 K J

Kgm K° C2 = 150 m/s

P01 = 500 KPa ωPh1-2 = 0.1 ω1-2S

T01 = 1100°K

a) ω1-2S = h01 - h02S



T

T S

k

k01

2

1

= P

P=

500

100 = 5 = 1.58401

2

1.4-1

1.4 0.286

−

T S2 = T

1.584 =

1100 K

1.584 = 694.52 K01 °

°

Suponiendo que C2 ≅ C2S

( )

KKgmJ K006.12

s

m150 +K 694.52 =

J C g 2C T = T

2

22

pc

22

2SS02

°×

°+

T S02 = 694.52 K + 22.5

K J

Kgm

2 1.006K J

Kgm K

= 694.52 K + 11.18 K°×

°

° °

T S02 = 705.70°K

( ) ( ) TTC 0.1 = hh 0.1 = S0201PS020121Ph −−ω −

( ) K70.7051100KKgm

JK 1.0060.1 = 21Ph °−°

×ω − ; Kgm

JK 39.67 = 21Ph −ω

b) ηi = h h

h h

T

T TS S

01 02

01 02

02

01 02

−

−

−

− =

T01

( )S0202PS020221Ph TTC = hh = −−ω −

K745.13 = 705.70 + 39.43 = 705.70 + 1.00639.67 = T +

C = T 02S

P2-Ph1

02 °ω

ηi = 1100 745 13

1100 705 70

−

−

.

. = 0.900 = 90%

c ) W mo o

1 2− = 1-2ω

( ) ( )ω1 2 02 01 02 1100 745 13− − −°

− ° = h = c = 1.006 K J

Kgm K01 Ph T T K.



ω1 2− = 357.0K J

Kgm

Wo

1 2− × = 0.5Kgm

s 357.0

K J

Kgm = 178.5

K J

s = 178.5 KW

d) W Wmeco o

= - 5 KW = 178.5 KW - 5 KW = 173.5 KW1 2−

e) ηT = ηi × ηmec

ηmec = W

W

meco

o1 2−

= 173.5 KW

178.5 KW = 97.2%

ηT = 0.9 × 0.972 = 0.875

ηT = 87.48%

Ejemplo 1.3

Una etapa axial de turbina de gas desarrolla una potencia mecánica de 3.6 MW en

el eje cuando opera un flujo másico de 28 Kg/s. Las condiciones totales a la entrada de la

etapa son 780 KPa y 1100°K. El gas llega a las toberas axialmente y sale del rotor

axialmente. A la salida de las toberas la presión estática es de 480 KPa, la velocidad del

gas es de 450 m/s y el gas sale formando un ángulo de 70° con la dirección axial.

Determinar:

a) La velocidad axial y el número de Mach a la salida de las toberas y la caída de

presión por fricción en las toberas.

b) La eficiencia adiabática total-a-total de la etapa si el aumento de entropía del

gas a su paso por el rotor es de 2.8 J/Kg °K y la eficiencia mecánica es 97%.

c) La potencia perdida por irreversibilidades del tipo hidráulico y mecánico.

Dibujar un diagrama h-s para visualizar el proceso en la etapa y un esquema de

potencias con todos sus valores.



a) La velocidad axial se mantiene constante a través de la turbina por criterio de

diseño. C1Z = C2Z = C3Z .

C2Z = C2 cos α 2 = 450 m/s x cos 70° = 153.9 m/s.

T01 = T02 por la 1ª Ley de la Termodinámica, ya que en las toberas no hay

intercambio de trabajo ni calor.

( )K1012

KKgmJ K15.12

s

m450 -K 1100 =

J C g 2C T = T

2

22

pc

22

022 °=

°×

°−

T RK

C = aC = M

2

222

2 ; Cp/R = K/(K-1) ⇒ K = 1.337

K1012 x sK Kgm

m Kgm 290 x 1.337

m/s 450 K1012 x

K KgmJ 290 x 1.337

m/s 450 = M

2

22

°°

=°

°

0.71 = m/s 626.45

m/s 450 = M2 Flujo subsónico



KPa 668

11001012

KPa 480 =

TT

P = P

1337.1337.1

1KK

022

202 =

−−

P01 - P02 = 780 Kpa – 668 Kpa = 112 Kpa Caída de presión por fricción

b) MW 3.71134 = 0.97

MW 3.6 = WWWmec

mec31rotor

η== −

ooo

KJ/Kgm 132.55 Kgm/s 28

KJ/s 3711.34 = Kgm/s 28

MW 3.71134 = m

W 3131 ==ω −

− o

o

( )

°

°=

ω=⇒=ω −

− KKgm/KJ15.1

KJ/Kgm 132.55-K 1100 C

- T T T - T Cp31

01030301p31

( ) K984.74 K15.261-K 1100 T03 °=°°=

( )K974.44

KKgmJ K15.12

s

m153.9 -K 984.74 =

J C g 2C T = T

2

22

pc

23

033 °=

°×

°−

T ds=dh – ν dP Tomando el proceso a presión constante entre 2S y 3 se tiene:

T ds = dh Asumiendo T3 ≅ T2S se tiene:

h3 - h2S = T3 (S3 – S2S) = 974.44°K x 2.8 J/Kg °K = 2.728 KJ/Kg

h2S = h3 – 2.728 KJ/Kg = Cp T3 – 2.728 KJ/Kg

h2S = 1.15 KJ/Kg °K x 974.44°K – 2.728 KJ/Kg = 1117.9 KJ/Kg

T2S = h2S / Cp = 1117.9 KJ/Kg / 1.15 KJ/Kg °K = 972.07°K

KPa 409 1100

972.07 KPa 668 = TT P = P 1337.1

337.11K

K

022S

023 =

−−

KPa 426.44

984.74974.44

409KPa =

TT

P = P

1337.1337.1

1KK

033

303 =

−−



K944.7 780

426.44K 1100 = PP T = T 337.1

1337.1K

1K

0103

0103S °=

°

−−

74.22% 944.7 - 1100

984.74 - 1100 = T- TT- T = 03S010301

i =

η

c)

( ) ( ) MW 5 =K 7.9441100K KJ/Kgm 1.15 x Kgm/s 28 = TT Cp m W S0301S31 °−°−=−oo

( ) ( ) MW 3.71 =K 77.9841100K KJ/Kgm 1.15 x Kgm/s 28 = TT Cp m W 030131 °−°−=−oo

MW 1.29 MW 3.71 - MW 5 = W - W W 31S31Phid == −−ooo

MW 0.11 MW 3.6 - MW 3.71 = W - W W mec31Pmec == −ooo

1.5.2. Aplicación a Turbomáquinas Hidráulicas ( Ecuación de Bernoulli ).

La 1a Ley de la Termodinámica para régimen permanente, flujo unidimensional y

despreciando el calor intercambiado entre la maquina y el ambiente resulta en:

m u m uo o o

1

2

2

2

2 2 +

P v

J+

V

g J+

Z g

g J W = +

P v

J+

V

g J+

Z g

g J11 1 1

c

1

c1-2 2

2 2 2

c

2

c

±



(1.38)

Dividiendo entre el flujo másico, mo

, y multiplicando por ( gc J ) / g se tiene:

u g

g g

u g

g gc c1

2 2

2 2 1 c 1

1 1-2c 2 2 c 2

2 J

+P g

g+

V+ Z

g J

g =

J+

P g

g+

V+ Z

ρω

ρ±

(1.39)

Donde se ha usado la condición de fluido incompresible: ρ1 = ρ2 = ρ. Las unidades

del término [ω1-2 gc J

g] en el Sistema Internacional son:

JKgm

sm

= New m

Kgm sm

= Kgm m m

s kgm sm

= m2 2

2

2× × ×

×

es decir, unidades de longitud o altura. Por esta razón, se acostumbra escribir

ω1-2 gc J

g= H1-2

y llamar H1-2 la altura intercambiada entre la entrada y la salida de la máquina. Sin

embargo, el significado físico de H1-2 es energía por unidad de peso, ya que:

H1-2 = m = Kgf m

kgf

×

El peso específico y la densidad del fluido están relacionados de la siguiente

manera: γ = ρ g / gc.

Por lo tanto:

( )Pu

P12

22

γ γ+

V

2g+ Z -

g J

g u H = +

V

2g+ Z1

1c

2 1 1-22

2

− ±

(1.40)

La energía interna del fluido, u, se incrementa debido a la fricción hidráulica,

cambios bruscos de dirección, desprendimiento de capa límite, etc. Es decir, el incremento



de u, representa pérdidas por irreversibilidades que ocurren en el interior de la máquina y

se acostumbra a escribir:

( )guc J

g u = h2 1 f1-2− (1.41)

donde hf1-2 se denomina altura de pérdidas o energía por unidad de peso perdida en

irreversibilidades.

El balance de energía resulta en:

+V

2g+ Z - h H = +

V

2g+ Z1

1 f 1-2 1-22

2P P1

22

2

γ γ± (1.42)

La altura de pérdidas hf1-2 es muy difícil de calcular analíticamente, por lo que se

toma en cuenta a través del rendimiento interno de la máquina. Entonces:

+V

2g+ Z H = +

V

2g+ Z1

1 1-22

2P P1

22

2

γ γ±

(1.43)

La presión total, Po , en un fluido incompresible se define como:

Po = P + γ V2 g

2 (1.44)

donde P es la presión estática y γ V2 g

2 es la presión dinámica. Usando Po, el balance de

energía resulta en:

+ Z H = + Z1 1-2 2P P01 02

γ γ± (1.45)

si la diferencia de cotas entre la entrada y la salida de la máquina se puede despreciar se

tiene:

H =1-2P P01 02

γ γ± (1.46)



1.5.2.1. Aplicación a bombas y ventiladores ( THG ).

La altura o energía por unidad de peso realmente comunicada al fluido es

(ec.1.45):

( )HP

Z1 201

1−−

− =

P + Z02

2γ

y la potencia hidráulica comunicada al fluido:

W hido

= Q H1-2γ (1.47)

La potencia que debe comunicarse al rotor rotorWo

debe ser mayor que W hido

en

una cantidad suficiente para vencer la potencia hidráulica perdida en irreversibilidades

internas, .phidWo

.

phidhidrotor W + W = Wooo

(1.48)

donde:

2-f1phid h Q = W γo

(1.49)

Por lo tanto,

( )2-f12-1rotor h + H Q = W γo

(1.50)

Se define el rendimiento hidráulico o interno de la bomba o ventilador como:

rotor

hidi

W

W = o

o

η (1.51)


proporcionada por el motor de accionamiento debe

ser mayor que la potencia entregada al rotor en una cantidad suficiente para vencer la

potencia perdida por el roce mecánico que ocurre por ejemplo en los rodamientos o



cojinetes. La Fig. 1.11 es un esquema de las diferentes potencias involucradas en la

bomba o en el ventilador, donde se puede observar que la potencia mecánica W meco

es:

Figura 1.11. Esquema de potencias involucradas en bombas y ventiladores.

pmecrotormec W + W = Wooo

(1.52)

Se define el rendimiento mecánico de la bomba o ventilador como:

mec

rotormec

W

W = o

o

η (1.53)

El rendimiento total o global se define como:

ηB V ,

= Whid

Wmec

o

o

(1.54)

ηB V ,

= Whid

Wr

Wr

Wmec

o

o

o

o

(1.55)

η η η B,V i = × mec (1.56)



Ejemplo 1.4.

Para una bomba de agua montada en un banco de pruebas se conocen los

siguientes datos:

Torque de entrada medido con un dinamómetro = 6 New × m

Revoluciones medidas con un tacómetro = 1750 rpm

Caudal manejado medido con una placa orificio = 4 lps

Presión manométrica en la succión = - 0.1 Kgf/ cm2

Presión manométrica en la descarga = 2 Kgf/ cm2

Calcular:

a) Potencia hidráulica comunicada al fluido.

b) Eficiencia global de la bomba.

c) Si la eficiencia mecánica es 95%, calcular la eficiencia interna.

a) W hido

= Q H1-2γ

( )V

ms

s = QA

= 4 10

1.5 2.5 / 100 m4

= 3.62 mss

-3

2

×

×

3

2π

( )V

ms

d = QA

= 4 10

1.25 2.5 / 100 m4

= 5.22 msd

-3

2

×

×

3

2π

( )Hg

zs1 2

2 2

2−

− =

P - P +

V - V + zd s d s

dγ



( )( ) ( )H

Kgf

mKgf

m

sm

s

1 2

42

2

2

2

10

1000 2 9−

×

× =

2 - -0.1

m

+ 5.22 - 3.62

+ 0.1 m

3

2 2

.81

H1 2− = 21m + 0.72 m + 0.1 m = 21.82m

WNew

Kgf shid

o = 1000

Kgf

m

m 21.82 m3 × × × ×−9 81 4 10 3

3

.

W hido

= 856 New m

s = 0.86 KW

×

b) ηBW

= Whid

mec

o

o

Wradsmec

o = T =

2 N60

New m = 1.10 KWωπ

× ×6

ηB = 0.86

1.10 = 0.78 = 77.85%

c) η η ηB mec = i ×

ηη

ηiB

mec = =

77.85

95 = 81.95%

1.5.2.2. Aplicación a turbinas hidráulicas (THM).

La altura o energía por unidad de peso realmente extraída del fluido es (ec.1.45)

( )H1 2− = P - P

+ Z - Z01 021 2γ

y la potencia hidráulica extraída del fluido:

W hido

= Q H1-2γ



La potencia que el fluido comunica al rotor, rotorWo

, es menor que W hido

en una

cantidad igual a la potencia hidráulica perdida en irreversibilidades internas, phidWo

.

phidhidrotor W - W = Wooo

(1.57)

donde

2-f1phid h Q = W γo

Por lo tanto,

( )2-f12-1rotor h - H Q = W γo

(1.58)

Se define el rendimiento hidráulico o interno de la turbina como:

o

o

hid

rotori

W

W = η (1.59)

La Fig. 1.12 es un esquema de las diferentes potencias involucradas en la

turbina, donde se puede apreciar que la potencia mecánica que sale por el eje de la

turbina es menor que la potencia comunicada al rotor en una cantidad igual a la

potencia mecánica perdida por el roce mecánico que ocurre por ejemplo en los

rodamientos o cojinetes.

pmecrotormec W - W = Wooo

(1.60)

Figura 1.12. Esquema de las diferentes potencias involucradas en la turbina.



Se define el rendimiento mecánico de la turbina como:

o

o

rotor

mecmec

W

W = η (1.61)

El rendimiento total o global se define como:

ηTmec

hid

W

W =

o

o (1.62)

o

o

o

o

hid

rotor

rotor

mecT

W

W W

W = η (1.63)

η η ηT = i mec× (1.64)

Ejemplo 1.5.

Una turbina Francis tiene una altura disponible de 27.1m. El gasto de la planta es

de 28.7 m3/s. La potencia transmitida al generador es de 6720 KW y la eficiencia

mecánica es de 98%.Calcular:

a) La potencia perdida en la transmisión entre el rodete y el generador por causa

de fricción mecánica.

b) La potencia perdida internamente.

c) La eficiencia interna y la eficiencia global.

a) W W Wpm r meco o o

= -

WW

W Wpmmec

mecmec mec

mec

oo

o o = - = - 1

η η

1

W pmo

= 6720 KW 1

0.98 - 1 = 137.14 KW



b) W W Wph hid ro o o

= -

W hido

= Q H = 1000 9.81 New

m 28.7

m

s 27.1m1-2 3

3

γ × × ×

W hido

= 7629.92 KW

WW

ro

o

= = 67200.98

= 6857.14 KWmec

mecη

W pho

= 7629.92 KW - 6857.14 KW = 772.78 KW

c) ηiW

W = =

6857.147629.92

= 89.87%r

hid

o

o

η η ηT = = 89.87 98 = 88.07%i mec ×

1.5.2.3. Aplicación global a Turbomáquinas Hidráulicas Generadoras (THG).

La aplicación de la ecuación de Bernoulli al esquema de la Fig. 1.13 incluyendo

los conductos y accesorios que conducen y controlan el fluido desde el depósito de

aspiración o succión hasta la entrada a la máquina y desde la salida de la máquina

hasta el depósito de descarga resulta en:

P

g

P

g1

22

2

2 2γ γ +

V + Z - h + H - h = +

V + Z 1

1 f 1-S B ,V f d-22

2 (1.65)

Si los depósitos están abiertos a la atmósfera, P1 = P = P = 02 atm en

unidades manométricas. La velocidad del fluido sobre las superficies libres de los depósitos es muy baja y generalmente puede despreciarse V1 V 0.2≈ ≈

Entonces:

( )HB ,V 2 1 f 1-2 = Z - Z + h (1.66)

HB ,V f 1-2 = h + h (1.67)



Figura 1.13. Esquema para la aplicación global de la ecuación de Bernoulli a THG.

Bajo estas condiciones la bomba o ventilador debe comunicar al fluido una altura

o energía por unidad de peso suficiente para vencer la altura geodésica y la altura de

pérdidas entre los depósitos.

La altura de pérdidas en las tuberías se divide en altura de pérdidas primarias

que ocurre en tramos rectos de tubería de sección transversal constante y en altura de

pérdidas secundarias que ocurre en los accesorios:

h f 1 f S1-2 f P1-2 -2 = h h+ (1.68)

hfP1-2

2 = f

LD

V2g

(1.69)

donde ‘ f ‘ es el factor de fricción de Moody

hf S1-2

2

= f Leq

D

V

2g (1.70)

donde Leq es la longitud equivalente de todos los accesorios instalados en la tubería.

También:

h f S1-2

2

= KV

2g (1.71)

donde



K = fL

Deq

(1.72)

Ejemplo 1.6.

Entre el pozo de aspiración y el depósito de descarga de una bomba que maneja

agua a 25°C hay un desnivel geodésico de 25m. La tubería de aspiración es de 4 in de

diámetro, tiene una longitud de 5m y esta provista de una válvula check de pie, una

válvula de compuerta y un codo estándar de 90°. El eje de la bomba esta a 2m por

encima del nivel del pozo de aspiración. La tubería de descarga es de 3 in de diámetro,

tiene una longitud de 85m y esta provista de una válvula de compuerta y tres codos

estándar de 90°. El caudal bombeado es de 40 lps y el depósito de descarga esta

sometido a una presión de 1 atmósfera por encima de la atmósfera local. El rendimiento

global de la bomba en el punto de mejor eficiencia es de 80%.

Calcular:

a) La potencia en KW necesaria en el motor eléctrico.

b) La presión manométrica en la brida de succión de la bomba.

a) ( )HgB =

P - P +

V - V + Z - Z + h + h2 1 2 1

2 1 f 1-S f d-2γ

2 2

2

P1 = 0 V2 ≈ V1 ≈ 0

P2 = 1 atm = 101 Kpa



HB =

101 10 Kgf

m

10 Kgf

m

+ 25m + h + h

3

2

33

f 1-S f d-2

×

9.81

HB = 10.30m + 25m + h + hf 1-S f d-2

hV

g

V

g

V

g

V

gf 1V.CH

s

C

s

V.C

s s-S

eq eq eq = f

L

D + f

L

D + f

L

D + f

L

D

. .

2 2 2 2

2 2 2 2

hV

g Df 1s

-Seq

= f L2

2∑

Vs

x mS =

Q

A =

40 10 m

10.16 = 4.93

m

sS

-3 3

2×

∏× −

/

410 4 2

hf1-S = 0.012 x 4 93

2 9 81

2.

.x (135 + 30 + 13 + 49.21) = 3.38 m

hV

g

V

g

V

g

V

gf dV C

d

C

d d d-2

eq eq = f

L

D + 3f

L

D + K + f

L

D

. .

2 2 2 2

2 2 2 2



hV

g D

V

gf dd d

-2eq

= f L

+K 2 2

2 2∑

Vs

x md =

Q

A =

40 10 m

7.62 = 8.77

m

sd

-3 3

2×

∏× −

/

410 4 2

hfd-2 = 0.0125 x 8 77

2 9 81

2.

.x (13 + 3x30 + 1116) +

8 77

2 9 81

2.

.x

hfd-2 = 59.68 m + 3.92 m

HB = 10.30 m + 25 m + 3.38 m + 63.60 m = 102.28 m

Whido

= Q H = 1000 9.81 Newm

40x10 ms

102.28 mB 3-3

3γ × × ×

KW 0.134 = Whido

ecmWo

KW 50.17 = 0.8040.13 = W =

B

hidη

o

b) P

+ V

+ Z - h = P

+ V

+ Z 1 11 f 1-S

S SSγ γ

2 2

2 2g g

P= ( Z - Z ) -

V - h S

1 SS

f1-Sγ

2

2g

P= - 2 m - .24 m - 3.38 m S

γ1 = - 6.62 m

PS 3 2= - 6.62 m x 1000 kgf

m = - 6620

kgf

m = - 64.94 Kpa



1.5.2.4. Aplicación global a Turbomáquinas Hidráulicas Motoras (THM ).

La aplicación de la ecuación de Bernoulli al esquema de la Fig. 1.13 incluyendo

los conductos y accesorios que conducen y controlan el fluido desde el reservorio de

aducción hasta la entrada a la máquina y desde la salida de la máquina hasta el reservorio

de descarga resulta en:

P

g

P

g1

22

2

2 2γ γ +

V + Z - h - H = +

V + Z 1

1 f 1-e T2

2 (1.73)

Figura 1.13. Esquema para la aplicación global de la ecuación de Bernoulli a THM.

El tubo de descarga de una turbina hidráulica actúa como un difusor para

disminuir la velocidad del fluido en la descarga y recuperar así la energía cinética,

transformándola a energía de presión. Su comportamiento se incluye en la eficiencia

interna de la turbina; es decir, forma parte integral de la máquina.

Los depósitos siempre están abiertos a la atmósfera, P1 = P = P = 02 atm en

unidades manométricas. Además, la velocidad del fluido sobre las superficies libres de los depósitos es muy baja y puede despreciarse V1 V 0.2≈ ≈

Entonces:

( )HT 1 2 f 1-e = Z - Z - h (1.74)

HT = h - hf 1-e (1.75)

La altura disponible en el fluido para entregar a la turbina es igual al salto

geodésico menos la altura de pérdidas que ocurren en la tubería forzada de aducción.



Ejemplo 1.7.

En la instalación de turbina anexa, las pérdidas totales por fricción en las tuberías

se puede expresar como K(V2/2g) donde V es la velocidad del agua en la descarga. La

sección transversal de flujo de la tubería es A y es constante a lo largo de la misma.

Obtener una expresión en función del caudal de agua turbinado, Q, para:

a) Altura de turbina, HT.

b) Potencia mecánica entregada por la turbina si esta tiene una eficiencia ηT.

c) La condición para máxima potencia entregada por la turbina, suponiendo h, K

y ηT constantes y Q variable.

a) HT = h - hf1-2 = h - KV

g

2

2 = h - K

Q

gA

2

22

b) Wo

hid T

2

2 = Q H = Q h - K Q

2gAγ γ

Wo

mec T

2

2 = Q h - K Q

2gAγ η

c) dWo

mecT

T2

2dQ = h -

3 K Q

2gA = 0γ η

γ η

Q2 = 2 g h A

3 K

2 ; Q =

2 g h A

3 K

2



1.6. La ecuación de conservación de cantidad de movimiento lineal

(momentum lineal).

La ecuación integral de conservación de cantidad de movimiento lineal en

forma vectorial para flujo estable resulta en:

( ) o

V

S C

gc

V dAρ

. .∫∫ = Σ

F sobre ∀.C. (1.76)

donde V es el vector velocidad

V = [u, v, w], siendo u, v, w las componentes en las

direcciones x, y, z respectivamente.

La ecuación vectorial puede desarrollarse en sus componentes escalares de la

siguiente manera:

Eje X: ( )u S C

ρ

gc V dA

. .∫∫

o

= ΣF X sobre ∀.C. (1.77)

Eje Y: ( )v S C

ρ

gc V dA

. .∫∫

o

= ΣF Y sobre ∀.C. (1.78)

Eje Z: ( )w S C

ρ

gc V dA

. .∫∫

o

= ΣF Z sobre ∀.C. (1.79)

El producto escalar del vector velocidad con el vector diferencial de área es el

diferencial de caudal que atraviesa una sección transversal y tiene signo negativo si el

caudal entra al volumen de control y signo positivo si el caudal sale.

AV d • = dQ = V dA cos θ (1.80)

Si 0 ≤ θ < 90o, el caudal sale del volumen de control y (cos θ) es positivo. Por

el contrario, si 90o < θ ≤ 180o , el caudal entra al volumen de control y (cos θ) es

negativo.

Para usar las ecuaciones escalares se deben seguir los siguientes pasos:

1) Seleccionar un volumen de control y un sistema de ejes coordenados

asignando las direcciones positivas de los ejes.



2) Asignar los signos de las componentes u, v, w y de las fuerzas que actúan

sobre el volumen de control en las direcciones x, y, z, de acuerdo a las condiciones

establecidas en el punto 1.

3) Determinar el signo de AV d •

4) Determinar el signo total de la integral.

Ejemplo 1.8.

Calcular las fuerzas que actúan en las direcciones X y Y sobre un alabe de

volteo fijo sobre el cual incide un chorro de agua con velocidad Vc=12 m/s y tiene una

sección transversal constante Ac=465 cm2. El alabe voltea el chorro un ángulo φ.

Eje X: ( )u S C

ρ

gc V dA

. .∫∫

o

= ( )uA

11

gc

V dA1 1ρ∫∫

o

+ ( )uA

22

gc

V dA2 2ρ∫∫

o

= ( )ρ

gc dA cos 1801

ou VA

11

1∫∫ + ( )ρ

gc V dA cos 02 2

ouA

22

∫∫

Según la figura, u1 = Vc y por conservación de masa Vc A1 = V2 A2 ; por lo

tanto, Vc = V2 ya que A1 = A2 = Ac

= - ( )ρ

gc dA1V Vc

Ac

1∫∫ + ( )ρ

φgc

cos V dA c 2VcA2∫∫

Si se considera que las velocidades son uniformes sobre las secciones de entrada

y salida se tiene:



= - ρ

gc V dA 1c

A

2

1∫∫ +

ρφ

gc cos dA2

2VcA2∫∫

= - ρ

gc V A1c

2 + ρ

φgc

cos A22Vc

( )u S C

ρ

gc V dA

. .∫∫

o

= ( )ρφ

gc A V cos - 1c c

2

ΣF X sobre ∀.C. = - X + P1 A1 - P2 A2 cos φ (Tomando en cuenta solo las presiones

que actúan sobre las secciones de cruce de masa a través de ∀.C.)

P1 = P2 = Patm = 0 (Usando unidades manométricas de presión)

Si se dibujan las fuerzas de presión que actúan sobre todo el ∀.C. se observa

que estas se cancelan unas contra otras, ya que la presión actuante alrededor

es Patm. Se deben usar unidades absolutas de presión en este caso.

( )ρφ

gc A V cos - 1c c

2 = - X

X = ( )ρφ

gc A V 1 - cos c c

2

X = ( )1000 122kgm

m 465 10 m

m

s 1 - cos 3

-4 22

2 φ = 6696 New (1 - cos φ)

La fuerza sobre el alabe es de igual magnitud y sentido contrario a X.

Eje Y: ( )v S C

ρ

gc V dA

. .∫∫

o

= ( )vA

11

gc

V dA1 1ρ∫∫

o

+ ( )vA

22

gc

V dA2 2ρ∫∫

o

Como v1 = 0, se tiene:

= ( )v VA

22

gc

dA cos 02 2oρ∫∫ =

ρ

gc V dA 2 2v

A2

2∫∫ =

ρφ

gc sen V dA c 2Vc

A2∫∫

= ρ

φgc

sen dA 22Vc

A2∫∫ =

ρφ

gc sen A 2

2Vc = ρ

φgc

sen A 2cVc

ΣF Y sobre ∀.C. = Y - P2 A2 sen φ = Y



ρφ

gc sen A 2

cVc = Y

Y = 1000 122kgm

m 465 10 m

m

s sen 3

-4 22

2 φ = 6696 New (sen φ)

La fuerza sobre el alabe es de igual magnitud y sentido contrario a Y.

1.6.1. Aplicación a una rejilla o cascada plana de álabes.

Se supone flujo estable y uniforme sobre las secciones de entrada y salida del

volumen de control (∀.C.). Además, se toma una profundidad unitaria para el cálculo de las

fuerzas y se supone que el fluido es incompresible.

Figura 1.14. Rejilla o cascada plana de alabes

X = fuerza por unidad de profundidad ejercida por los álabes sobre el fluido

(∀.C.) en la dirección axial.



Y = fuerza por unidad de profundidad ejercida por los álabes sobre el fluido

(∀.C.) en la dirección tangencial.

X, Y son de igual magnitud y de sentido contrario a las fuerzas ejercidas por el

fluido sobre los álabes.

S = paso tangencial de los álabes.

En la dirección x:

ρ

gcCxs c

(C dA)o

. .∫∫ = ( ) ( )ρ

gc C - C dA + C C dA x1 x1 1 x2 x2 2A2A1 ∫∫∫∫

= ρ

gc - C dA + C dA x1 1 x2 2A2A1

2 2 ∫∫∫∫

= [ ] [ ]ρ ρ

gc gc - C A + C A =

S C - Cx1 1 x2 2 x2 x1

2 2 2 2

Aplicando conservación de masa se tiene:

Cx1 A1 = Cx2 A2

Cx1 S = Cx2 S

Cx1 = Cx2 = Cx

Por lo tanto:

ρ

gcCxs c

(C dA)o

. .∫∫ = 0

Σ Fx(∀.C.) = X + P1 A1 - P2 A2

X = S (P2 - P1)

En la dirección y:

ρ

gcCys c

(C dA)o

. .∫∫ = ( ) ( )ρ

gc C - C dA + C C dA y1 x1 1 y2 x2 2A2A1 ∫∫∫∫



= ρ

gc - C C dA + C C dA y1 x1 1 y2 x2 2A2A1 ∫∫∫∫

= [ ] [ ]ρ ρ

gc gc - C C A + C C A =

SC C - Cy1 x1 1 y2 x2 2

xy2 y1

Σ Fy(∀.C.) = -Y

-Y = [ ] SC

C - Cxy2 y1

ρ

gc

Y = [ ] SC

C - Cxy1 y2

ρ

gc

Y = [ ] SC

C - Cxy1 y2

ρ

gc

Y = [ ] SC

tan - tan x1 2

ρα α

2

gc

Ejemplo 1.9.

S = 5 cm Q = 100 lps Agua h = 50 cm

α1 = 45° α2 = 5° P1 = 1 atm P2 = 1.1 atm

X = ? Y = ?

Q = Cx h S Cx = Q / (h S) = 100x10-3 m3/s / (5x10-2m x 50x10-2m) = 4 m/s

Y = [ ] S h C

tan - tan x1 2

ρα α

2

gc

Y = [ ]

kgm

m x10 m x10 m 16

m

s tan 45 - tan 53

-2 -22

21000 5 50

1° °

Y = 365 New

X = S h (P2 - P1) = (5x10-2m x 50x10-2m) (1.1 - 1) 101x103 New / m2

X = 252.5 New

1.7. Triángulo de Velocidades en el Rotor. Se supone que el flujo es

unidimensional; es decir, uniforme sobre cualquier sección transversal al flujo y su



velocidad puede representarse por un vector único. La velocidad puede variar solamente

en la dirección de flujo.

1.7.1. Turbomáquinas radiales y mixtas (ver Fig. 1.15). En cualquier punto

sobre la línea media entre álabes se observan las siguientes velocidades:

W = velocidad relativa del fluido con respecto al rotor. Sigue la dirección

tangente a la línea media entre álabes. Vista por un observador situado sobre el rotor y

girando a la misma velocidad angular. C = velocidad absoluta del fluido. Vista por un observador fijo en el espacio

situado, por ejemplo, sobre la carcasa de la máquina.

Ω = velocidad angular del rotor [rad/s]

N = rpm Ω = 2 N

60

π U =

π DN

60

Se cumple la ecuación vectorial: C =

U +

W . La Fig. 1.16 muestra el triángulo de

velocidades en detalle.

Cθ =

U +

W θ (1.81)

U = C + Wθ θ (1.82)

U = velocidad tangencial

del álabe a una distancia ‘r’ del

centro de rotación. Es

perpendicular al radio y dirigida

en el sentido de rotación.



Cθ = componente de C que produce intercambio de energía entre el fluido y el

rotor por medio del principio de conservación de momentum angular.

Cr = componente de C que se usa para calcular el caudal de líquido que pasa

a través del rotor por medio del principio de conservación de masa.

β = ángulo entre la velocidad relativa W y la dirección tangencial. Es igual al

ángulo del álabe, β’, si la conducción del fluido es perfecta, ya que en este

caso W es tangente al álabe (ver Fig. 1.17).

α = ángulo entre la velocidad absoluta C y la dirección tangencial.

La sección transversal de flujo se señala en la Fig. 1.18 y se calcula como:

Figura 1.18. Esquema de las variables importantes para calcular el caudal.

A = 2 π r B (1.83)

donde:

r = radio del rotor B = ancho del rotor A = sección transversal de flujo

Q = C dA = W dA = W dA sen o

o

∫∫ ∫∫ ∫∫ β (1.84)

Q = Wr A = Cr A (1.85)

Q1 = Q2 (1.86)



Cr1 2 π R1 B1 = Cr2 2 π R2 B2 (1.87)

En Turbomáquinas Térmicas se debe usar el flujo másico Q. m ρ=o

1.7.1.1. Triángulo de velocidades en Turbomáquinas Generadoras (Fig. 1.20).

A la entrada del rotor, el flujo puede llegar con un ángulo β1 diferente al ángulo del

álabe β1’ como se señala en la Fig. 1.19; es decir, el vector W 1 no entra tangente al álabe.

El flujo llega entonces con un ángulo de incidencia, i, el cual puede ser positivo o negativo.

En el punto de diseño de la máquina se desea que la incidencia sea nula o muy pequeña.

Sin embargo, para simplificar la situación, en este Capítulo se supone que el fluido

es conducido perfectamente por el rotor; es decir, no existe incidencia ni deslizamiento y

los ángulos de flujo β son iguales a los ángulos del álabe β’.

Los canales móviles actúan como difusores para la velocidad relativa W y los

canales fijos actúan como difusores para la velocidad absoluta C; por lo tanto, W2 < W1 y

C3<C2. Además, U2 > U1 por que el radio de salida es mayor que el radio de entrada r2 > r1

y C2>C1 porque se le esta comunicando energía al fluido.

A la descarga del rotor, el flujo

siempre sale con un ángulo β2

menor que el ángulo del álabe β2’

como se muestra en la Fig. 1.19

debido al fenómeno de

deslizamiento, el cual se estudiará

en el Capítulo 4.



Figura 1.20. Triángulos de velocidades para Turbomáquina Generadora Centrífuga.

1.7.1.2. Triángulo de velocidades en Turbomáquinas Motoras. (Fig. 1.21).

Puede existir incidencia a la entrada del álabe; sin embargo, el deslizamiento no

existe en Turbomáquinas Motoras. El ángulo de salida del flujo β3 siempre es menor que el

ángulo del álabe β3’ en este tipo de máquinas debido al fenómeno de desviación; ya que el

vector W no sale tangente al álabe debido principalmente al crecimiento de la capa límite

sobre la superficie del álabe. Sin embargo, para simplificar se supone en este Capítulo que

los ángulos de flujo β son iguales a los ángulos del álabe β’.

Figura 1.21. Triángulos de velocidades para Turbomáquina Motora radial o mixta.



Los canales fijos actúan como toberas para la velocidad absoluta C y los canales

móviles actúan como toberas para la velocidad relativa W ; por lo tanto, C2 > C1 y W3 > W2.

Además, U2 > U3 porque r2 > r3 y C3 < C2 porque se extrae energía del fluido.

1.7.2. Turbomáquinas axiales.

Puede existir incidencia a la entrada del álabe y siempre existe desviación a la

salida ya que el vector W no sale tangente al álabe debido principalmente al crecimiento

de la capa límite sobre la superficie del álabe. Sin embargo, para simplificar se supone en

este Capítulo que los ángulos de flujo β son iguales a los ángulos del álabe β’.

1.7.2.1. Turbomáquinas Generadoras axiales (ver Fig. 1.22).

Las Figs. 1.22 y 1.23 muestran los triángulos de velocidades de entrada y salida.

Figura 1.22. Triángulos de velocidades en Turbomáquinas Generadoras axiales.

La Fig. 1.23 muestra los triángulos de velocidades para una situación general

donde la entrada no es axial. Se cumplen también las ecuaciones vectoriales C =

U +

W y

Cθ =

U +

W θ y la ecuación escalar U = C + Wθ θ . La velocidad tangencial de rotación

del alabe se mantiene constante entre la entrada y la salida porque el fluido no cambia su

posición radial en su paso a través del rotor.



Figura 1.23. Triángulos de velocidades en Turbomáquinas Generadoras axiales.

Los canales móviles actúan como difusores para la velocidad relativa W y los

canales fijos actúan como difusores para la velocidad absoluta C; por lo tanto, W2 < W1 y

C3<C2. Además, U2 = U1 por que el radio de salida es igual al radio de entrada r2 = r1 y

C2>C1 porque el rotor le comunica energía al fluido. Por criterio de diseño se trata que

C3=C1 tanto en magnitud como en dirección y se trata de mantener la componente axial de

C constante a través de la etapa CZ1 = CZ2 =CZ3.

Cθ = componente de C que produce intercambio de energía entre el fluido y el

rotor por medio de la conservación de momentum angular.

CZ = componente de C que se usa para calcular el caudal de líquido que pasa

a través del rotor por medio del principio de conservación de masa.

β = ángulo entre la velocidad relativa W y la dirección axial. Es igual al

ángulo del álabe, β’, si la conducción del fluido es perfecta, porque en este

caso W es tangente a la línea media del álabe.

α = ángulo entre la velocidad absoluta C y la dirección axial.

La sección transversal de flujo se señala en la Fig. 1.24. y se calcula como:

A = π (rt 2 - rr 2 ) (1.88)

donde:

rt = radio del tope de los alabes

rr = radio de la raíz de los alabes

A = sección transversal de flujo



Q = C dA = W dA = W dA cos o

o

∫∫ ∫∫ ∫∫ β (1.89)

Q = WZ A = CZ A (1.90)

CZ1 π (rt 2 - rr 2 )1 = CZ2 π (rt 2 - rr 2 )2 (1.91)

En Turbomáquinas Térmicas se debe usar el flujo másico Q. m ρ=o

1.7.2.2. Turbomáquinas Motoras axiales (ver Fig. 1.25).

Las Figs. 1.25 y 1.26 muestran los triángulos de velocidades de entrada y salida.

Figura 1.25. Triángulos de velocidades en Turbomáquinas Motoras axiales.

La Fig. 1.26 muestra en detalle los triángulos de velocidades de entrada y salida

para una situación general donde la entrada no es axial. Se cumplen también las

ecuaciones vectoriales C =

U +

W y

Cθ =

U +

W θ y la ecuación escalar

U = C + Wθ θ . La velocidad tangencial de rotación del alabe se mantiene constante

entre la entrada y la salida porque el fluido no cambia su posición radial en su paso a

través del rotor.

Los canales fijos actúan como toberas para la velocidad absoluta C y los canales

móviles actúan como toberas para la velocidad relativa W ; por lo tanto, C2 > C1 y W3 > W2.

Además, U2 = U3 por que el radio de salida es igual al radio de entrada r2 = r3 y C3<C2

porque el rotor le extrae energía al fluido. Por criterio de diseño se trata que C3=C1 tanto en



magnitud como en dirección y se trata de mantener la componente axial de C constante a

través de la etapa CZ1 = CZ2 =CZ3.

Figura 1.26. Triángulos de velocidades en Turbomáquinas Motoras axiales.

1.8. Ecuación de cantidad de movimiento angular.

El principio de conservación de cantidad de movimiento angular aplicado a un

volumen de control finito resulta en:

( ) o

r A

C SC

x F + r x g d + T t

r x V d + r x V V dS ejeC

ρ∂

∂ρ ρ∀ = ∀

∀ ∀

∫ ∫ ∫ (1.92)

En el análisis de turbomáquinas se elige un volumen de control fijo que encierra al

rotor para evaluar el momento de torsión del eje. Los momentos de torsión debidos a

fuerzas de superficie pueden ignorarse y la contribución de la fuerza de gravedad puede

despreciarse por simetría. Por lo tanto, para flujo estable, la ec. (1.92) se convierte en:

∫

=

SC

ATejer

orrr dV V x r ρ (1.93)

El sistema de coordenadas fijo de la Fig. 1.27 se elige con el eje Z alineado con el

eje de rotación de la máquina. Se supone que el fluido entra al rotor en la posición radial r1,

con velocidad absoluta uniforme C1 y abandona el rotor en la posición radial r2, con

velocidad absoluta uniforme C2.



Figura 1.27. Volumen de control finito y componentes de velocidad absoluta.

Resolviendo la integral de superficie se tiene:

( ) k m C r - C r = k 1122

•θθejeT (1.94)

o en forma escalar:

( ) m C r - C r = 1122

•θθejeT (1.95)

que es la relación básica entre el momento de torsión y el momentum angular para todas

las Turbomáquinas y generalmente recibe el nombre de ecuación de Euler de las

Turbomáquinas.

La potencia mecánica está dada por el producto escalar de la velocidad angular

del rotor y el momento de torsión.

( ) k m C r - C r k =k T k = = 1122ejemec

••Ω•Ω•Ω

•θθo

rrejeTW (1.96)

( )•

Ω•

m C r - C r = 1122mec θθW (1.97)

Introduciendo U = rΩ , donde U es la velocidad tangencial del rotor en el radio r,

entonces

( )••m C U- C U = 1122mec θθW (1.98)



Esta relación es estrictamente válida si no existen pérdidas mecánicas ni pérdidas

hidráulicas. Dividiendo entre el flujo másico se obtiene el trabajo específico intercambiado

entre fluido y rodete bajo condiciones ideales

ωrotor = ( )ω θ θ1-2 2 2 1 1= U C - U C (1.99) Dividiendo entre la gravedad ‘g’ se obtiene la altura intercambiada entre fluido y rodete bajo condiciones ideales

Hrotor = ( )H1 2− = g

= 1

g U C - U C 1-2

2 2 1 1ω

θ θ (1.100)

1.8.1. Aplicación a Turbomáquinas Generadoras.

Turbomáquinas Hidráulicas Generadoras Radiales o Mixtas.

Hrotor B,V = ( )HB V, = 1g

U C - U C 2 2 1 1θ θ (1.101)

Turbomáquinas Térmicas Generadoras Radiales o Mixtas.

ωrotor C = ( )ω θ θC 2 2 1 1= U C - U C (1.102)

Para máxima transferencia de energía en el rotor la velocidad Cθ1 debe ser nula.

Esta condición implica que el triángulo de velocidades a la entrada del rotor debe ser un

triángulo recto; es decir, la velocidad absoluta de entrada debe ser meridional o radial.



Turbomáquinas Hidráulicas Generadoras Axiales.

Hrotor B,V = ( )HB V, = 1g

U C - C 2 1θ θ (1.103)

Turbomáquinas Térmicas Generadoras Axiales.

ωrotor C = ( )ω θ θC 2 1= U C - C (1.104)

Para máxima transferencia de energía en el rotor la velocidad Cθ1 debe ser nula.

Esta condición implica que el triángulo de velocidades a la entrada del rotor debe ser un

triángulo recto; es decir, la velocidad absoluta de entrada debe ser axial.

1.8.2. Aplicación a Turbomáquinas Motoras.

Turbomáquinas Hidráulicas Motoras Radiales o Mixtas.

Hrotor T = ( )HT = 1

g U C - U C 1 1 2 2θ θ (1.105)

Turbomáquinas Térmicas Motoras Radiales o Mixtas.

ωrotor T = ( )ω θ θT 1 1 2 2= U C - U C (1.106)

Para máxima transferencia de energía en el rotor la velocidad Cθ2 debe ser nula;

es decir, la velocidad absoluta de salida debe ser meridional o radial.

Turbomáquinas Hidráulicas Motoras Axiales.

Hrotor T = ( )HT = 1

g U C - C 1 2θ θ (1.107)



Turbomáquinas Térmicas Motoras Axiales.

ωrotor T = ( )ω θ θT 1 2= U C - C (1.108)

Para máxima transferencia de energía en el rotor la velocidad Cθ2 debe ser nula;

es decir, la velocidad absoluta de salida debe ser axial.

Ejemplo 1.10.

Aire a una temperatura ambiente de 22ºC y presión atm. normal (γ = 1.4, Cp =

1.005 KJ/Kg ºK, R = 287 J/Kg ºK) entra al impulsor de un compresor centrífugo en la

dirección axial. El impulsor rota a 15000 rpm, la relación de presión total es 4, la eficiencia

adiabática es 84%, el flujo másico es 2 Kg/s y la eficiencia mecánica es 97%.

Dibujar un diagrama T-S incluyendo el proceso en el ducto de entrada, rotor y

difusor. Asumir que las pérdidas en el ducto de entrada son nulas y determinar:

a) Diámetro de salida del impulsor suponiendo conducción perfecta del fluido.

b) Ancho del rotor B2 a la salida si las pérdidas de presión total en el compresor

ocurren 60% en el rotor y 40% en el difusor y la velocidad absoluta a la descarga

del rotor debe formar un ángulo de 30º con la dirección tangencial de rotación.

c) Numero de Mach en la descarga del rotor.

d) Porcentaje de difusión sobre la velocidad absoluta de descarga del rotor, si la

velocidad del aire comprimido a la salida del compresor no debe exceder 100 m/s.

e) Diámetro y número de Mach en la brida descarga del compresor.

f) Si los diámetros del ojo del impulsor en el tope y la raíz son de 12 cm y 6 cm

respectivamente, calcular los ángulos del alabe en la raíz, línea media y tope

suponiendo que no existe incidencia y que las perdidas en el ducto de entrada son

despreciables.

g) Potencia del motor de accionamiento en Kw.



a)

Conducción perfecta ⇒ β2 = β2’ ⇒ Cθ2 = U2

Máxima Transferencia de Energía ⇒ Cθ1 = 0

La Ecuación de Euler ωC = U2 Cθ2 – U1 Cθ1 resulta en ωC = U22

La Ecuación de Energía es:

ωC = CP (T03 – T01)

P03/P01 = 4

k1k

01

03

01

S03PP =

TT

−

k1k

01

0301S03 P

P T= T

−

( ) K438.37 4 952= T 4.114.1

S03°

−=

ηi = ηad = 0103

01S03T - TT - T ⇒ T03 = T01 +

ad

01S03 T - Tη

T03 = 295 + 84.0

295 - 37.438 = 465.68 °K

ωC = 1005C Kgm

J°

(465.68 – 273 - (295 – 273)) °C = 171533.4Kgm

J



ωC = 171533.4 2

2

Sm = U2

2 ⇒ U2 = 414.17

Sm

U2 =

60ND 2π ⇒ D2 =

01500 x 60 x 17.414

πm = .5273 m

D2 = 52.73 cm

b)

2 2 2m2 BD C m πρ=o

C2m = W2 = U2 tan α2 = 414.17 m/S tan 30° = 239.12 m/S

ωphr = 0.6 ωph = 16.47KgmKJ ⇒ ωphd = 0.4 ωph = 10.98

KgmKJ

ωphr = CP (T02 – T02S) ⇒ T02S = T02 – ωphr / CP

T02S = 465.68°K – (16.47/1.005)°K = 449.29°K

1kk

01

S020102 T

T P P−

= = 101.3

5.3

29529.449

= 441.65 Kpa

C2 = (U22

+ W22)1/2 = (171533.4 + 57178.4)1/2 = 478.24 m/S

Pérdidas nulas en ducto de

entrada ⇒ 00 = 01.

P01 = 101.3 Kpa

ωph = Cp (T03 – T03S)

ωph=1.005K Kgm

KJ°

(465.68 –

438.37) °K = 27.45KgmKJ



T2 = T02 – C22 / 2CP = 465.68°K – (478.242

/ 2x1.005)°K = 351.89°K

1kk

2

02022 T

T / P P−

=

5.3

89.35168.465 / KPa 441.65

= = 165.65 KPa

2

22 T R

P =ρ = K1

NewxmK Kgm

mNew

351.89 x 28710 x 165.65

2

3

°°

= 1.64 Kg/m3

2 2m2 2 D C

m Bπρ

=

o

= x0.5273239.12x x .641

2π

B2 = 3.06 mm

c)

a2 = (KRT2) 1/2 = (1.4x287(kgxm/s2xm/kg°K)x351.89°K) 1/2 = 376.02 m/S

M2 = C2/a2 = 478.24/376.02 = 1.27 ⇒ Flujo supersónico

d)

% Difusión = (C2 – C3)/C2 x 100 = (478.24 – 100)/478.24 x 100 = 79.01%

e)

T3 = T03 – C32 / 2CP = 465.68°K – (1002

/ 2x1.005)°K = 460.70°K

1kk

3

03033 T

T / P P−

=

5.3

70.46068.465 / KPa 405.2

= = 390.23 Kpa

3

33 T R

P =ρ = 3

3

mKgm

460.70 x 28710 x 390.23

= 2.95 Kg/m3

4/ D C m 2 3 33 πρ=

o ⇒ πρ= 33

2 3 C / m 4D

o

22 3 m

2.95x100x2 x 4D

π= ⇒ D3 = 9.29 cm

a3 = (KRT3) 1/2 = (1.4 x 287 x 460.70) 1/2 = 430.24 m/S



M3 = C3/a3 = 100/430.24 = 0.23 ⇒ Flujo subsónico

f)

( )2 r

2 t 1m1 r-r C m πρ=

o ⇒ ( )2

r2

t1 1m

r-r m C

πρ=

o

En una primera aproximación se puede suponer 01 = 1.

01

01011 T R

P =ρ=ρ = 3

3

mKgm

295 x 28710 x 101.3

= 1.196 Kg/m3

( )22 1 1m0.06-12.0 x x .1961

4 x 2 CCπ

== = 197.16 m/S

T1 = T01 – C12 / 2CP = 295°K – (1972

/ 2x1.005)°K = 275.66°K

1kk

1

01011 T

T / P P

−

=

5.3

66.275295 / KPa 101.3

= = 79.90 KPa

01

01011 T R

P =ρ=ρ = 3

3

mKgm

275.66 x 28710 x 79.90

= 1.01 Kg/m3

( )22 1 1m0.06-12.0 x x .011

4 x 2 CCπ

== = 233.46 m/S

ρ1 C1 T1 P1 [Kg/m3] [m/S] [°K] [Kpa] 1.196 197.16 275.66 79.90 1.010 233.46 267.88 72.28 0.940 250.78 263.70 68.42 0.904 260.81 261.15 66.13 0.882 267.24 259.47 64.65 0.863 273.37 257.82 63.21 0.854 275.98 257.10 62.61 0.848 277.88 256.58 62.16 0.844 279.31 256.18 61.83 0.841 280.39 255.89 61.57 0.838 281.22 255.65 61.37 0.837 281.86 255.47 61.23 CONVERGENCIA



Ut = π Dt N / 60 = π x 0.12 x 15000 / 60 = 94.25 m/S

Um = π (Dt+Dr) N / (2x60) = π (0.12+0.06) x15000 / (2x60) = 70.69 m/S

Ur = π Dr N / 60 = π x 0.12 x 15000 / 60 = 47.13 m/S

g)

0.97KgmKJ 171.53

skgm 2

m WWmec

c

mec

cmec =

ηω

=η

=

ooo

KW 7.353Wmec =o

tg β’1t = U1t /C1 = 94.25/281.86

β’1t = 18.44°

tg β’1m = U1m /C1 = 70.69/281.86

β’1m = 14.07°

tg β’1r = U1r /C1 = 47.13/281.86

β’1t = 9.49°



Ejemplo 1.11.

Un ventilador de flujo axial rota a 1200 rpm. El diámetro del tope de los álabes es

1.1 m y el de la raíz es 0.8 m. Los ángulos del álabe a la entrada y salida del rotor son 60o

y 30o respectivamente. Los álabes guía de entrada producen una prerotación en el sentido

de rotación de tal forma que el flujo absoluto entra al rotor formando un ángulo de 30o con

la dirección axial. Suponiendo que el flujo relativo entra y sale del rotor a los ángulos

geométricos del álabe y empleando las propiedades en el radio medio del álabe, calcular:

a) Triángulo de entrada.

b) Triángulo de salida.

c) Caudal manejado.

d) Altura ideal comunicada al fluido.

e) Altura real comunicada al fluido si las pérdidas hidráulicas internas se estiman

en 10% de la altura ideal.

f) Potencia de accionamiento si las pérdidas mecánicas se estiman en un 3% de

la potencia ideal comunicada al fluido.

g) Eficiencia interna o hidráulica, mecánica y total.

h) Incremento de presión total en pulgadas de agua producida por el ventilador si

la entrada a la máquina se toma como las condiciones atmosféricas del lugar.

i) Incremento de presión estática en pulgadas de agua producida por el ventilador

si la entrada a la máquina se toma como las condiciones atmosféricas del lugar.



a) Triángulo de entrada.

U = D N

60=

(1.1+ 0.8) 1200

2 x 60mπ π

U = 59.69 m/s

U = CZ1 tan β1 + CZ1 tan α1

Ctan Z1 =

U

tan 1 2β β+

Ctan

Z160 30

= 59.69 m / s

tan o o+

CZ1 = 25.85 m/s

Cθ1 = tan α1 CZ1 = 25.85 tan 30o

Cθ1 = 14.92 m/s

C1 = 25.85

cos 30 = 29.85 m / so

W1 = 25.85

cos 60 = 51.70 m / so

Wθ1 = 25.85 tan 60 o = 44.77 m/s

b) Triángulo de salida.

Q1 = CZ1 A1 ; Q2 = CZ2 A2

CZ1 A1 = CZ2 A2

A1 = A2 ; CZ1 = CZ2

Wθ2 = 25.85 tan 30 o = 14.92 m/s

Cθ2 = U - Wθ2 = 59.69 - 14.92



Cθ2 = 44.77 m/s

W2 = 25.85

cos 30 = 29.85 m / so

α θ2

2

2

44 77

25 = tan = tan = 60-1 -1 oC

CZ

.

.85

C2 = 25.85

cos 60 = 51.70 m / so

c) Caudal manejado.

( ) ( )Q m s= C

D - D

4= 25.85 m / s

.21- .64

4 = 11.57 mZ1

t r 32 2

21 0π π/

d) HrotorV = ( ) ( )H Cvi = U

g - C =

59.69 m / s

9.81 m / s m / s = 181.63 m1 2θ θ2 44 77 14. .92−

e) Hvr = Hvi - 0.1 Hvi = 0.90 x 181.63 m = 163.47 m

f) kW 25.36 = m 181.63 s

m11.57 kgf

New9.81 m

kgf 1.23 = H Q =W W3

3viirotor γ=°°

W mec i i io o o o

= W + 0.03 W = 1.03 W = 26.12 kW

g) 90% = 181.63163.47 =

HH

= H Q H Q

= W

W =W

W = = vivr

vivr

i

hid

rotor

hidhi γ

γηη

o

o

o

o

97% = kW 12.26kW 36.25 =

W

W= W

W =

mec

i

mec

rotormec o

o

o

o

η

η η ηt = x = 0.90 x 0.97 = 87.3%h mec

h) Hvr = P

; P = H = 1.23 kgf

m 163.47 m = 201.07

kgf

mo

o vr 3 2

∆∆

γγ

∆ P = 201.07 kgf / m

1000 kgf / m = 0.2 m.c.a. = 7.92 pulg de aguao

2

3



i) P

g

P

g1

22

2

2 2γ γ +

C + H = +

C1vr

2 ; P1 = Patm ; C1 ≅ 0

P

g2

2

2

- P = H -

C1vr

2

γ

∆ P = H - C

= 163.47 m - 51.7

m 1.23 kgf

m = 33.50

kgf

mvr

22

3 2

2

2 2 9g x

γ

.81

∆ P = 33.50 kgf / m

1000 kgf / m x

100

2.54 = 1.32 pulg de agua

2

3

1.9. Problemas.

1) En una bomba trabajando con agua a

20oC, el manómetro de descarga situado a 5 m

por encima del eje de la bomba marca una

presión de 30 metros de columna de agua. El

vacuómetro situado 20 cm por debajo del eje de

la bomba marca un vacío de 50 mm de mercurio.

Las tuberías de succión y descarga son de igual

diámetro. Las pérdidas por fricción en la tubería entre ‘s’ y ‘d’ se estiman en 1.5 m. Calcular

la potencia del motor en KW cuando la bomba maneja un caudal de 180 lps y tiene una

eficiencia total de 85%.

2) Una turbina de vapor recibe el fluido a condiciones totales de 4 MPa y 300oC. El

vapor sale de la turbina con una presión total de 0.35 MPa. La potencia entregada al eje de

la máquina es de 20 MW y la eficiencia mecánica es de 98%. El flujo másico es de 55 kg/s.

Calcular: a) la eficiencia adiabática o interna. b) La potencia entregada al rotor. c) La

potencia perdida en roce viscoso. d) La potencia disponible en el vapor. e) La potencia

perdida en roce mecánico.

3) Un ventilador centrífugo debe suministrar un caudal de 12000 m3/hr de aire. El

diámetro del ducto de entrada De = 50 cm y el diámetro del ducto de salida Ds = 45 cm. El

ducto de salida termina con un difusor, cuyo diámetro de salida Dd = 60 cm. Trazar el



diagrama de la repartición de la presión estática y total a lo largo de todo el ventilador o

sea entre el ducto de entrada y la salida del difusor si la pérdida de presión en la línea de

entrada (Ptu)e = 15 mm agua, incluyendo la pérdida de entrada al ducto (Pe)tu = 5 mm

agua, y la pérdida de presión en la línea de salida (Ptu)s = 22 mm agua, incluyendo la

pérdida en el difusor (Pd) = 12 mm agua. Determine la altura de trabajo del ventilador Hv y

la presión estática a la entrada del difusor. Además, determine la potencia en KW del motor

de accionamiento si la eficiencia total del ventilador es de 87%. El eje de toda la instalación

es horizontal.

4) El sistema de bombeo de la figura debe enviar 0.25 pie3/s de agua (ρ = 62.4

lbm/pie3 y ν = 10-5 pie2/s) al tanque que se encuentra presurizado a 100 psig. Las tuberías

de succión y descarga de la bomba son de acero comercial (ε = 0.00015 pie). La tubería de

descarga de la bomba al tanque es de 1.5” (suponga DN = DI). La presión atmosférica

local es de 14.7 psia.

Para que la bomba opere libre de

cavitación, la presión Ps no debe ser menor de 5

psia. Determine el diámetro nominal mínimo que

requiere la tubería de succión de la bomba y la

potencia mecánica que consume la bomba si

esta tiene una eficiencia del 60%.

5) La válvula de descarga produce una

pérdida evaluada con 0.1Vs2/2g donde Vs es la

velocidad del chorro descargado, cuyo diámetro

es de 0.10m. Calcular:

El nivel del agua en el pozo de oscilación

El gasto descargado

La potencia del sistema en KW.



6) En el esquema de bombeo anexo

calcular:

Altura de bombeo

Potencial útil

Potencia del motor en KW.

7) Un turbocompresor de una etapa comprime aire desde 1 atm y 20oC hasta unas

condiciones totales de 1.2 atm y 40oC. Dibuje el diagrama T-S de compresión y calcule el

rendimiento interno adiabático. Si el flujo de aire operado es 1 kg/s y el rendimiento

mecánico es 95%, calcular la potencia del motor de accionamiento en KW.

8) En un ventilador axial provisto de un estator de descarga, el radio del tope de

los alabes es 30 cm y el de la raíz de los álabes es 10 cm. Las rpm son 1750 y el ángulo

relativo de entrada es 30o. Calcular:

a) El caudal de aire manejado en m3/s

b) El ángulo β2 del álabe a la salida para

que el ventilador produzca un incremento de

presión total de 4’’ de agua en el rotor

suponiendo que el fluido es conducido

perfectamente por los álabes.

c) El ángulo α2 de entrada al estator.

d) La potencia del motor de accionamiento en KW si la eficiencia global del ventilador es de

80% y la eficiencia interna es de 85%.

9) El rodete de una bomba centrífuga tiene un diámetro a la entrada D1 = 18cm y

un diámetro a la salida D2 = 28cm. El ángulo absoluto de entrada es de 60o y la velocidad

absoluta es de 2.5 m/s. A la salida se tiene un ángulo absoluto de 20o y una velocidad

absoluta de 16 m/s. El rodete gira a 960 rpm. Determinar como varía (en %) el trabajo

específico intercambiado en el rodete si se supone un ángulo absoluto a la entrada de 90o



para máxima transferencia de energía. Trazar los triángulos de velocidades a la entrada y

a la salida.

10) Una bomba centrífuga está diseñada para un caudal Q = 75 m3/hr de agua

caliente a 80oC. Los manómetros de salida y de entrada marcan una presión de 17.2 atm

y 150 mm Hg respectivamente. La diferencia de altura entre los puntos donde están

instalados los manómetros es de 0.90 m y los diámetros de las tuberías de salida y de

entrada son iguales. La potencia que necesita el motor eléctrico de la red es Wo

elec = 54

KW. Determinar el rendimiento global y el rendimiento interno de la bomba si el

rendimiento del motor eléctrico es de 0.95 y el rendimiento mecánico de la bomba es 0.97.

11) El diámetro exterior de un ventilador centrífugo es de 30 cm y el diámetro

interno es de 25 cm. El ancho de los alabes es 2.54 cm y es constante desde la entrada

hasta la salida. El caudal estable de aire manejado es 375 m3/hr y la velocidad absoluta

de entrada al alabe es radial. El ángulo de descarga del alabe es 30o y el rotor gira a 1725

rpm.

Suponiendo que no existen pérdidas mecánicas

ni pérdidas hidráulicas y que la conducción del

fluido es perfecta, calcular la potencia requerida

por el ventilador.

12) Un chorro de aire horizontal choca contra la

superficie interior de un hemisferio hueco con

una velocidad de 50 m/s. Calcular la fuerza

horizontal necesaria para mantener fijo el

hemisferio.



Capítulo 2 2.1. Introducción.

2.2. Teorema PI o teorema de Buckingham.

2.2.1. Sistemas de dimensiones fundamentales.

2.2.2. Procedimiento para determinar los grupos π.

2.3. Aplicación del Teorema PI a Turbomáquinas Hidráulicas Generadoras. (Bombas y Ventiladores).

2.3.1. Curvas de funcionamiento para bombas.

2.3.2. Punto de funcionamiento de un sistema de bombeo.

2.3.3. Diámetro óptimo o económico de la tubería.

2.3.4. Curvas de funcionamiento para ventiladores.

2.3.5. Punto de funcionamiento de un sistema de ventilación.

2.4. Uso de los números PI.

2.4.1. Similitud.

2.4.2. Parámetros simplificados.

2.5. Aplicación del Teorema PI a Turbomáquinas Hidráulicas Motoras. (Turbinas).

2.5.1. Curvas de funcionamiento para turbinas.

2.5.2. Uso de los números PI.

2.6. Velocidad específica ns, Ns.

2.7. Diámetro específico ds, Ds.

2.8. Velocidad específica de succión, S.

2.9. Efecto de escala en Turbomáquinas Hidráulicas.

2.10. Aplicación del Teorema PI a Turbomáquinas Térmicas Generadoras (Compresores).

2.10.1. Curvas de funcionamiento para compresores.

2.10.2. Velocidad específica, Ns y diámetro específico Ds.

2.10.3. Mapas de Equilibrio.

2.11. Aplicación del Teorema PI a Turbomáquinas Térmicas Motoras (Turbinas).


2.11.2. Velocidad específica, Ns y diámetro específico Ds.


2.12. Problemas.



2.1. Introducción.

El Teorema Pi o Teorema de Buckingham es el procedimiento formal mediante el

cual el grupo de variables que gobierna alguna situación física se reduce a un número

menor de grupos adimensionales. El comportamiento de todas las Turbomáquinas se

comprende mejor mediante el uso de los grupos adimensionales. Adicionalmente, estos

grupos permiten predecir el comportamiento de un prototipo en base a experimentos

realizados sobre un modelo; es decir, establecen la similitud entre prototipo y modelo.

2.2. Teorema PI o teorema de BUCKINGHAM.

Dado un problema físico en el cual la variable dependiente es una función de n-1

variables independientes, se puede escribir la siguiente relación funcional:

q1 = f (q2, q3,................, qn) (2.1)

donde q1 es la variable independiente. Matemáticamente se puede expresar (2.1) en una

forma equivalente:

g = f(q1, q2,.................., qn) (2.2)

donde 'g' es una función desconocida y diferente de 'f'.

El Teorema Pi ó Teorema de Buckingham establece que dada una relación de la

forma (2.2), se pueden agrupar las 'n' variables en 'n-m' parámetros adimensionales

independientes, o grupos π, que en forma funcional se puede expresar como:

G (π1,π2,....................,πn-m) (2.3)

ó

π1 = G1 (π2,π3,...............,πn-m)

El número 'm' es usualmente, pero no siempre, igual al número mínimo de

dimensiones fundamentales requeridas para especificar las dimensiones de todas las variables q1, q2,....., qn.



El Teorema no predice la forma de la relación funcional G ó G1, las cuales deben

determinarse experimentalmente.

2.2.1. Sistemas de dimensiones fundamentales.

MLT: Masa, Longitud, y Tiempo.

FLT: Fuerza, Longitud y Tiempo.

FMLT: Fuerza, Masa, Longitud y Tiempo.

Las variables físicas más importantes se listan a continuación con sus dimensiones

en el sistema MLT.

VARIABLE DIMENSION

Superficie L2

Volumen L3

Densidad M/L3

Velocidad L/T

Aceleración L/T2

Cantidad de Movimiento lineal ML/T

Fuerza ML/T2

Presión y Esfuerzo M/LT2

Energía y Trabajo ML2/T2

Potencia ML2/T3

Momento de Inercia ML2

Velocidad Angular 1/T

Aceleración Angular 1/T2

Cantidad de Movimiento Angular ML2/T

Torque ML2/T2

Módulo de Elasticidad M/LT2

Tensión Superficial M/T2

Viscosidad Absoluta M/LT

Viscosidad Cinemática L2/T



2.2.2. Procedimiento para determinar los grupos π.

1) Listar todas las variables que intervienen (n).

2) Seleccionar un conjunto de dimensiones fundamentales (m).

3) Listar las dimensiones de todas las variables en términos de las dimensiones

fundamentales.

4) Seleccionar de la lista de variables un grupo de variables a repetir (r) igual al

número de dimensiones fundamentales (m). Generalmente se selecciona una variable

cinemática, una geométrica y una propiedad del fluido. Las variables dependientes no

deben aparecer en este grupo.

5) Establecer ecuaciones dimensionales, combinando las variables a repetir con

una de las otras variables cada vez, para formar los grupos adimensionales.

2.3. Aplicación del Teorema PI a Turbomáquinas Hidráulicas Generadoras.

(Bombas y Ventiladores).

a) Variables relativas a la máquina.

Q = Caudal de fluido manejado.

H = Altura o energía específica comunicada al fluido.

D = Diámetro del rodete de la máquina.

N = RPM de la máquina.

Pm = Potencia mecánica en el eje.



η = Eficiencia total de la máquina.

b) Variables relativas al fluido.

ρ = Densidad del fluido.

µ = Viscosidad absoluta del fluido.

1) f(η, Q, H, N, Pm, D, ρ, µ) = 0 ; n=8

Variables dependientes: H, η, Pm .

Variables independientes: Q, N, D, ρ, µ .

Relación funcional dimensional: H, η, Pm = f(Q, N, D, ρ, µ).

2) M,L,T; m=3; n-m = 8-3 = 5 Nos π.

3) Q[L3T-1] Pm [ML2T-3] η[ ]

N[T-1] ρ [ML-3]

D[L] µ [ML-1T-1]

Si se usa la dimensión [L] para H, se altera el significado físico de esta variable, ya

que en realidad H significa energía específica o energía por unidad de peso y no longitud.

Por lo tanto se usa:

gH [L2T-2] =MLMT

2

2

= FLM

= energía por unidad de masa.

4) Variables a repetir:

Cinemática: N[T-1]

Geométrica: D[L]

Propiedad del Fluido: ρ [ML-3]

Estas tres variables contienen las tres dimensiones fundamentales.



5) NaDbρc Q = MoLoTo

T-a Lb Mc L-3c L3 T-1 = MoLoTo

M: c= 0

L: b-3c+3 => b = -3

T: -a-1=0 => a = -1

φ = π1 = Q

ND3 = Coeficiente de Gasto o de Caudal. (2.4)

NaDbρc gH = MoLoTo

T-a LbMc L-3c L3 L2T-2= MoLoTo

M: c= 0

L: b-3c+2=0 => b = -2

T: -a-2=0 => a = -2

ψ = π2 = gH

N D2 2 = Coeficiente de Altura (2.5)

NaDbρc Pm = MoLoTo.

T-a LbMc L-3c M L2 T-3 = MoLoTo.

M: c+1 = 0 => c = -1

L: b-3c+2 = 0 => b = -5

T: -a-3=0 => a = -3



P = π3 =Pm

ρ N D3 5

= Coeficiente de Potencia. (2.6)

NaDbρcµ = MoLoTo.

T-a LbMc L-3c M L-1T-1= MoLoTo.

M: c+1 = 0 => c = -1

L: b-3c-1 = 0 => b = -2

T: -a-1=0 => a = -1

π4 =µ

ρ D N2 ; Re= 1/π4 = µρ N D 2

=Número de Reynolds del álabe. (2.7)

π5 = η (2.8)

Relación funcional adimensional:

gHN D2 2 , η,

Pm

ρ N D3 5

= f[ QND3 ,

µρ N D 2 ]

Para ventiladores se usa el aumento de presión ∆P en lugar de H.

∆P = H x γ = L FL3

= F

L2

gH = g ∆Pγ

= P∆ρ

El coeficiente de altura para ventiladores resulta entonces en:

ψ = π2 = ∆PDρ N2 2 (2.9)



La viscosidad cinemática de los líquidos υµρ

= es muy pequeña y a pesar de

que la velocidad ND es baja, el No de Reynolds del alabe es muy elevado. Bajo estas

condiciones se ha comprobado experimentalmente que la influencia del número de

Reynolds sobre el funcionamiento de la máquina es muy pequeña y se puede despreciar

en una primera aproximación. La relación funcional adimensional puede escribirse:

ψ, η, P = f (φ)

La potencia útil entregada al fluido es:

Phid = ρ g Q H (2.10)

y

η = PPhid

m (2.11)

Por lo tanto,

Pm = 1η

QND3 ρ N3D5 (2.12)

ó

P = φ ψ/η (2.13)

2.3.1. Curvas de funcionamiento para bombas.

Las curvas de funcionamiento para bombas se obtienen experimentalmente en un

banco de pruebas como el que se muestra esquemáticamente en la Fig. 2.1. Los

fabricantes publican dos tipos de curvas para presentar al usuario el rango de

funcionamiento de sus productos: curvas elementales dimensionales (Fig. 2.2) y curvas

completas dimensionales o diagramas de concha (Fig. 2.3).



Figura 2.1. Esquema de un banco de prueba para bombas.

Accesorios de control de flujo:

Vch = Válvula Check.

Vc = Válvula de compuerta.

Instrumentación:

Ms = Manómetro de succión.

Md = Manómetro de descarga.

Po = Placa orificio.

V = Vertedero.

T = Taquímetro.

Rpm = Tacómetro.

Equipo:

M = motor de corriente directa.

B = Bomba.



Ecuaciones de Cálculo:

H = Pd - Psγ

+ Vd Vsg

2 2

2− + (Zd - Zs) (2.14)

Q = f (∆P en PO ó "h" en el vertedero)

Pm = Tπ N30

(2.15)

η = PPhid

m = γ Q H

Pm (2.16)

a) Curvas elementales dimensionales.

Figura 2.2. Curvas elementales dimensionales para bombas.



b) Curvas completas dimensionales o diagramas de concha.

Figura 2.3. Curvas completas dimensionales para bombas.

En ambos tipos de curva se puede apreciar que existe un valor de caudal QD y

altura HD para el cual la eficiencia de la bomba es máxima. Estos valores son los

valores de diseño de la bomba y el punto (QD,HD) correspondiente se denomina punto

de diseño. Si Q < QD la eficiencia disminuye; así como también para Q > QD.

2.3.2. Punto de funcionamiento de un sistema de bombeo.

El sistema de bombeo comprende la tubería y accesorios a través de los

cuales el líquido fluye hacia y desde la bomba; en otras palabras, se considera parte

del sistema de bombeo solamente la longitud de tubería y accesorios que contienen

líquido controlado por la acción de bombeo. La Fig. 2.4 muestra un esquema del

sistema de bombeo mas simple y fundamental compuesto por los depósitos de succión

y descarga, presurizados o abiertos a la atmósfera, las tuberías y los accesorios. El

sistema ofrece resistencia al flujo por fricción hidráulica. Si el líquido descarga a una

elevación mas alta que la toma y si la presión en la descarga es mayor que en la toma,

el sistema ejerce una resistencia adicional que requiere energía o altura de bombeo.



Por lo tanto, la bomba debe vencer la resistencia total del sistema al caudal deseado

compuesta por altura geodésica de elevación, altura de presión y altura de fricción.

Figura 2.4. Esquema de un sistema de bombeo simple.

La altura de bombeo o altura manométrica HB, es la energía específica

realmente comunicada al líquido por la bomba y se calcula como la diferencia entre la

energía específica del líquido en la brida de descarga y la brida de succión de la

bomba. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre la brida de succión 'S' y la brida de

descarga 'D' del sistema de la Fig. 2.4, se obtiene la ec. (2.14):

HB =γ

SD P - P +g2VV 2

S2

D − + (ZD – ZS)

La ecuación de Bernoulli también puede aplicarse entre los puntos 1 y 2 para obtener HB en cuyo caso,

HB =γ

12 P - P +g2

VV 21

22 − + (Z2 – Z1) + hf1-2 (2.17)

Las velocidades V1 y V2 del líquido sobre la superficie de los reservorios de

succión y descarga son muy pequeñas y pueden despreciarse. Por lo tanto,

HB =γ

12 P - P + (Z2 – Z1) + hf1-2 (2.18)



donde:

γ12 P - P

es la altura o energía específica de presión,

(Z2 – Z1) es la altura geodésica de elevación o energía específica potencial y

hf1-2 es la altura o energía específica de pérdidas por fricción.

La altura de presión puede ser nula en el caso que ambos recipientes estén abiertos a la atmósfera o cuando P2 = P1. También puede ser negativa cuando

P2<P1; en cuyo caso, la altura de presión ayuda la acción de bombeo empujando el

líquido hacia la descarga.

La altura geodésica de elevación es la suma de la altura geodésica de

descarga mas la altura geodésica de succión. El depósito de succión puede estar por

encima del eje de la bomba; en cuyo caso, la altura geodésica de succión ayuda la

acción de bombeo empujando el líquido hacia la brida de entrada de la bomba.

La altura de fricción siempre está presente en el sistema de bombeo y su

magnitud puede controlarse por medio del diámetro de la tubería.

De la ec. (2.18) se puede observar que la altura de bombeo del sistema, HB ,

consta de una parte fija [P - P2 1

γ + (Z2-Z1)] que no depende del caudal manejado, Q,

y de una parte variable hf1-2 que si es una función cuadrática de Q, según la ecuación

de Darcy-Weisbach para el cálculo de la altura de pérdidas. El punto de

funcionamiento se obtiene al interceptar la curva de altura de bombeo requerida por el

sistema, con la curva de altura manométrica o de bombeo proporcionada por la bomba,

tal como se ilustra en la Fig. 2.5.

El objetivo del Ingeniero consiste entonces en diseñar el sistema para que el

punto de funcionamiento coincida lo mejor posible con el punto de diseño o de máxima

eficiencia de la bomba que se escoja para ejecutar el trabajo.



Figura 2.5. Punto de funcionamiento de un sistema de bombeo.

2.3.3. Diámetro óptimo o económico de la tubería.

En un sistema de bombeo, el diámetro óptimo o económico de la tubería es

aquel para el cual la suma de los costos de instalación, mantenimiento y operación es mínima. El costo de la tubería se puede aproximar con C1DL, donde C1 es un

coeficiente de costo por unidad de diámetro y longitud. El costo del conjunto motor-bomba se puede aproximar con C2P, donde C2 es un coeficiente de costo por unidad

de potencia (KW) instalada. Tanto C1 como C2 incluyen los costos de instalación,

operación y mantenimiento. El costo total del sistema es:

C = C1DL + C2P (2.19)

Sustituyendo a P en función de las variables del sistema se tiene:

C = C1DL + C2

γπ

η

g Q h + 16 f Q

2 g D L

1000

2

2 5

(2.20)

donde se han despreciado las pérdidas en accesorios. Derivando el costo total con

respecto al diámetro se obtiene:

dC

dD = C1L + C2

γ

π η

g Q 16 f Q L

2 g 1000 -

5

D

2

2 6



Haciendo dC

dD = 0 resulta:

D = K Q (2.21)

donde:

K = C2

1 6 40 f

C 1000 12

γ

π η

/

(2.22)

La ec.(2.21) se conoce como la fórmula de Bresse y es aplicable cuando la

operación de bombeo es continua. K es una constante basada en experiencia y tiene

un valor aproximado a 1.2 (S/m)1/2 y el caudal Q se debe calcular en m3/S. En

realidad, el hecho de adoptar la fórmula de Bresse equivale a fijar una velocidad media

económica:

V = 4 Q

D2π =

4 Q

QK 2π =

4

π K 2 (2.23)

que para valores de K entre 1 y 1.5, resulta en velocidades de 1.28 m/s a 0.57 m/s.

Si la operación es intermitente, se puede usar la fórmula empírica de

Marquardt:

D = β1/4 K Q (2.24)

donde:

K Coeficiente de Bresse, (s/m)1/2

D Diámetro Económico, m

Q Caudal o Gasto, m3/s

β Coeficiente de utilización

β (Número de horas diarias de servicio real) / 24

Un criterio mas sencillo consiste en especificar la velocidad mas económica en

la tubería, de acuerdo a los datos de Richter que se indican en la Tabla 2.1. La Tabla

2.2 se puede usar para velocidades recomendadas y caídas máximas de presión en

líneas de acero al carbón transportando líquidos de procesos.



Tabla 2.1. Velocidad media económica en tuberías, m/S.

______________________________________________________ Tuberías de succión en bombas centrífugas Temperatura del líquido menor que 70oC. 0.5 a 1.0 Tuberías de descarga en bombas centrífugas. 1.5 a 2.0 Redes de distribución para agua potable e industrial. Tuberías principales 1.0 a 2.0 Tuberías laterales 0.5 a 0.7 Tuberías muy largas 1.5 a 3.0 Tuberías en instalaciones hidroeléctricas con turbinas. Con inclinación y diámetro pequeño 2.0 a 4.0 Con inclinación y diámetro grande 3.6 a 8.0 Horizontales y gran longitud 1.0 a 3.0 ______________________________________________________ Tabla 2.2. Velocidades recomendadas y caídas máximas de presión en líneas de acero al carbón transportando líquidos de procesos. . Tipo de Servicio Velocidad[ft/s] ∆Pmax[psi/100ft] 1. Recomendaciones generales 5 - 15 4.0 2. Régimen laminar 4 - 5 3. Régimen turbulento Densidad del líquido [lbm/ft3] 100 5 - 8 50 6 - 10 20 10 - 15 4. Succión de bombas Líquido en ebullición 2 - 6 0.4 Líquido sin ebullición 4 - 8 0.4 5. Descarga de bombas 0 - 250 GPM 6 - 8 4.0 250 - 700 GPM 8 - 10 4.0 > 700 GPM 10 - 15 2.0 6. Salidas de condensadores 3 - 6 0.5 7. Entradas a Chillers y Torres 4 - 6 8. Líneas por gravedad 3 - 8 0.4 LINEAS DE AGUA 1. Servicio general 2 - 16 1.5 Diámetro [in] 1 2 - 3 2 3 - 4.5 4 5 - 7 6 7 - 9 8 8 - 10 10 10 - 12 12 10 - 14 2. Succión de bombas 4 - 7 3. Descarga de bombas 5 - 10 4. Alimentación de calderas 8 - 15 5. Líneas de refinería 2 - 5 2.5 6. Agua de enfriamiento 12 - 16 2.0



Ejemplo 2.1.

La bomba cuyas curvas de funcionamiento se muestran en la Figura E1.1, se

quiere utilizar en el siguiente sistema de bombeo:

L1 = longitud de la tubería de succión L2 = longitud de la tubería de descarga VC = válvula de compuerta completamente abierta VCH= Válvula de pié con obturador ascendente y filtro codos estándar de radio largo.

El sistema debe manejar 375 GPM de agua a una temperatura promedio de

15oC en operación continua. Se desea seleccionar el diámetro del impulsor y el

diámetro económico de la tubería (acero comercial nuevo cédula 40), para máxima

eficiencia en el punto de funcionamiento del sistema. Despreciar las pérdidas de

entrada y salida de la tubería. Calcular además la potencia de accionamiento del

motor.

Cálculo del diámetro económico en tubería de acero comercial cédula 40.

Usando la fórmula de Bresse:

D = 1.2 h/ms/m

36001

gpmh/m

4.4031 gpm 375 3

33 = 1.2 /sm 0.02366 3 =0.1846

D = 0.185 m = 7.21 in. Se toma D = 8 in



Figura E1.1. Curvas de funcionamiento de la bomba para el Ejemplo E1.

Usando la velocidad económica de Richter:

Se toma V = 1 m/s en la succión y V = 2 m/s en la descarga;D = 4 Q

Vπ

Dsucción = 3.1416 x 10.02366 x 4 = 0.1736 m = 6.84 in, se toma 8 in

Ddescarga = 3.1416 x 20.02366 x 4 = 0.1227 m = 4.83 in, se toma 6 in

Se toman los siguientes Diámetros Económicos: Dsucción = 8 in ; Dinterno = 202.7 mm

Ddescarga = 6 in ; Dinterno = 154.1 mm

Cálculo de la altura de bombeo HB.

HB =γ

12 P - P + (Z2 – Z1) + hfsucción + hfdescarga

P2man = 7 psig = 7 psig x 0.0703 kgf cm

psi

/ 2

= 0.4921 kgf

cm2 = 4921 kgf

m2

P1man = 0 psig = 0 kgf

m2

γ = 1000 kgf

m3

γ12 P - P =

10004921 = 4.92 m = 16.15 ft

Z2 - Z1 = 50 ft

Accesorios en la succión, Dsucción = 8 in, Dinterno = 202.7 mm

1 codo estándar de 90o

1 válvula de compuerta completamente abierta

1 válvula de pié con obturador ascendente y filtro

100 pies de tubería recta hfsucción :

tramo recto:



V = QA

= 2

2

3

m 1000202.7

4

/sm 0.02366

π = 0.733 m/s

T = 15oC = 288oK , µ = 1.05 cp = 1.05 x 1.02 x 10-4 kgf sm2

µ = 1.071 x 10-4 kgf sm2 9.81

kgm mkgf s2

µ = 10.507 x 10-4 kgms m

Re = ρ

µ V d

=

m skgm 10 x 10.507

m 0.2027 x sm 0.733 x

mkgm 1000

4-

3 = 14.15 x 104

Re = 1.415 x 105 ε/D = 0.0013, f = 0.022

hfp = f 2gV

dL 2

hfp = 0.022 9.81 x 2

0.733 0.2027

100x0.3048 2

= 0.091 m = 0.3 ft

válvula de pié con obturador ascendente y filtro:

K = 420 ft, ft=factor de fricción para la zona completamente turbulenta

ft = 0.021, K = 420 x 0.021 = 8.82

hfs = 8.82 9.81 x 2

0.7332 = 0.242 m = 0.8 ft

codo estándar de 90o:

K = 30 ft

ft = 0.021, K = 30 x 0.021 = 0.630

hfs = 0.63 9.81 x 2

0.7332 = 0.017 m = 0.06 ft

válvula de compuerta completamente abierta:

K = 8 ft

ft = 0.021, K = 8 x 0.021 = 0.168

hfs = 0.168 9.81 x 2

0.7332 = 0.005 m = 0.02 ft

hfsucción = 0.3 ft + 0.8 ft + 0.06 ft + 0.02 ft = 1.18 ft

Accesorios en la descarga, Ddescarga = 6 in, Dinterno = 154.1 mm



2 codos estándar de 90o

1 válvula de compuerta completamente abierta

1 salida de tubería

3000 pies de tubería recta hfdescarga :

tramo recto:

V = QA

=2

2

3

m 1000154.1

4

/sm 0.02366

π = 1.269 m/s

T = 15oC = 288oK; µ = 10.507 x 10-4 kgms m

Re = ρ

µ V d

=

m skgm 10 x 10.507

m 0.1541 x sm 1.269 x

mkgm 1000

4-

3 = 18.61 x 104

Re = 1.861 x 105

ε/D = 0.0013, f = 0.022

hfp = f Ld

V2g

2

hfp = 0.022 9.81 x 2

1.269 0.1541

83000x0.304 2 = 10.71 m = 35.15 ft

2 codos estándar de 90o:

K = 30 ft

ft = 0.021, K = 30 x 0.021 = 0.630

hfs =2 x 0.63 9.81 x 2

1.2692 = 0.103 m = 0.34 ft

válvula de compuerta completamente abierta:

K = 8 ft

ft = 0.021, K = 8 x 0.021 = 0.168

hfs = 0.168 9.81 x 2

1.2692 = 0.014 m = 0.05 ft

salida:

K=1, hfs = 9.81 x 2

1.2692 = 0.082 m = 0.27 ft

hfdescarga = 35.15 ft + 0.34 ft + 0.05 ft + 0.27 ft = 35.81 ft



HB = 16.15 ft + 50 ft + 1.18 ft + 35.81 ft = 103.14 ft

Entrando en la Fig. E1.1 con Q=375 gpm y HB=103.81 ft, se puede observar que

los cálculos de HB usando los diámetros económicos de la tubería resultan en un punto de

funcionamiento muy cercano al punto de mejor eficiencia o punto de diseño de la bomba.

El diámetro apropiado del impulsor para lograr el punto de funcionamiento es de

6”, obteniéndose una eficiencia de 70%. En la Fig. E1.1 se lee una potencia del motor

aproximadamente igual a 15 Hp para Q=375 gpm y diámetro de impulsor igual a 6”.

También se puede calcular la potencia mecánica usando:

PMec = B

HidPη

= B

BH Q η

γ = 0.7

m 31.44 x s

m 0.02366 x mkgf 1000

3

3

PMec = 1062.6 s

m kgf = 10423.8 W PMec = 10.4 KW = 14 Hp

2.3.4. Curvas de funcionamiento para ventiladores.

Las curvas de funcionamiento para ventiladores se obtienen experimentalmente en

un banco de pruebas como el que se muestra esquemáticamente en la Fig. 2.6. Los

fabricantes de ventiladores publican dos tipos de curvas para ilustrar al usuario el rango de

funcionamiento de sus productos: curvas elementales dimensionales (Fig. 2.7) y curvas

completas dimensionales o diagramas de concha (Fig. 2.8). Estas curvas son similares a

las curvas de las bombas, pero se sustituye H por ∆P, donde ∆P es el incremento de

presión a través del ventilador y puede ser ∆P total o ∆P estático.



Figura 2.6. Esquema de un banco de prueba para ventiladores.


CE = Compuerta de estrangulación.

Instrumentación:

Md = Manómetro de descarga. TV = Tubo Venturi.

T = Torquímetro. Rpm = Tacómetro.

Equipo:

M = Motor de corriente directa. V = Ventilador.

Ecuaciones de Cálculo:

∆P = Pd

Q = f(∆P en tubo Venturi según curva de calibración)

Pm = Tπ N30

η = PPhid

m = Q P

Pm

∆


Figura 2.7. Curvas elementales dimensionales para ventiladores.

b) Curvas completas dimensionales.



Figura 2.8. Curvas completas dimensionales para ventiladores.

2.3.5. Punto de funcionamiento de un sistema de ventilación.

El sistema de ventilación comprende la ducteria y accesorios a través de los

cuales el aire fluye hacia y desde el ventilador. La Fig. 2.9 muestra un esquema de los

sistemas de ventilación simples de tiro forzado y de tiro inducido. El ventilador siempre

toma aire de la atmosfera y lo descarga también a presión atmosférica; por lo tanto, el

sistema ofrece resistencia al flujo solamente por fricción hidráulica. El ventilador debe

vencer la resistencia del sistema al caudal deseado compuesta solamente por altura de

fricción.



Figura 2.9. Esquema de sistemas simples de ventilación.

La altura de ventilación HV, es la energía específica realmente comunicada al

aire por el ventilador y se calcula aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2:

HV =γ

12 P - P +g2

VV 21

22 − + (Z2 – Z1) + hf1-2 (2.25)

Las velocidades V1 y V2 del aire en el ambiente son muy pequeñas y pueden

despreciarse.γ

12 P - P es la altura o energía específica de presión y es igual a cero en

sistemas de ventilación. (Z2 – Z1) es la altura geodésica de elevación o energía específica

potencial y es muy pequeña en fluidos livianos como el aire y puede despreciarse. hf1-2 es

la altura o energía específica de pérdidas por fricción. Por lo tanto,

HV = hf1-2 (2.26)

∆PV = γaire hf1-2 (2.27)

La altura de fricción siempre está presente en el sistema de ventilación y su

magnitud puede controlarse por medio de la sección transversal de la ductería.

De la ec. (2.27) se puede observar que la parte fija de Hv no existe en sistemas de ventilación. La parte variable hf1-2 si existe y es una función cuadrática de

Q, según la ecuación de Darcy-Weisbach para la altura de pérdidas. El punto de

funcionamiento se obtiene al interceptar la curva ∆PV requerida por el sistema, con la

curva ∆PV proporcionada por el ventilador, tal como se ilustra en la Fig. 2.10.



El objetivo del Ingeniero consiste entonces en diseñar el sistema para que el

punto de funcionamiento coincida lo mejor posible con el punto de diseño o de máxima

eficiencia del ventilador que se escoja para ejecutar el trabajo.

Figura 2.10. Punto de funcionamiento de un sistema de ventilación.

La sección transversal óptima de la ductería depende de la velocidad

aceptable del aire para que las pérdidas por fricción y el nivel de ruido sean ambos

bajos. Esta velocidad depende del tipo de aplicación del sistema de ventilación; sin

embargo, se puede usar en una primera aproximación una velocidad que resulte en un

factor de fricción de Moody de 0.01.

2.4. Uso de los números PI.

2.4.1. Similitud.- Si las condiciones de operación de dos máquinas de diferente

tamaño son tales que los Nos π tienen el mismo valor, a pesar de los valores individuales

de las variables que intervienen, entonces se obtienen condiciones físicas exactamente

similares en cada una de ellas. La similitud física completa implica:

a) Similitud Geométrica. Significa que las relaciones de dimensiones lineales son

las mismas en todas partes; es decir, las formas son similares a pesar del tamaño.

b) Similitud cinemática. Significa que las relaciones de velocidad son las mismas;

es decir, los triángulos de velocidades de las condiciones de flujo son similares.



c) Similitud dinámica. Significa que las relaciones de las diferentes fuerzas son las

mismas en todas partes.

La aplicación más importante de la similitud es el uso de modelos de pequeño

tamaño, sobre los cuales se pueden realizar experimentos de bajo costo, para predecir el

funcionamiento de prototipos de gran tamaño, cuya experimentación resultaría

extremadamente costosa.

A menudo no es posible obtener la similitud completa cuando intervienen varios

Nos π en el proceso, debido a que un cambio en la escala lineal requiere de una relación

exacta de escala entre otras variables, que no siempre puede ser satisfecha. Tal problema

se presenta a menudo en Turbomáquinas Hidráulicas para satisfacer el No de Reynolds.

2.4.2. Parámetros simplificados. Si los efectos de viscosidad; es decir, del

número de Reynolds son secundarios como generalmente es el caso, se puede obtener

información muy importante para una misma máquina trabajando con el mismo fluido,

aplicando solamente los coeficientes de caudal, altura y potencia.

Para una misma máquina y un mismo fluido, el diámetro D y la densidad ρ son

constantes y los grupos adimensionales se simplifican a Q/N, H/N2 y Pm/N3. Con éstas

restricciones existe entonces una relación simple entre las rpm de la máquina y las demás

variables; es decir, QαN, HαN2 y PmαN3, recordando que éstas se aplican solo en

condiciones de similaridad.

Estas relaciones simplificadas son muy importantes para extender la información

obtenida experimentalmente para unas revoluciones fijas de la máquina. La curva superior

en la Fig. 2.11 puede representar la curva característica H-Q obtenida a revoluciones fijas N1. Se pueden evaluar los parámetros modificados en algún punto de esta curva Q1, H1.

Para obtener un punto de operación similar a Q1, H1, pero sobre otra curva N2 se debe

cumplir Q2/N2 = Q1/N1 y H2/N22 = H1/N2

1. El punto similar Q2, H2 se puede localizar sobre la

característica correspondiente a N2.



Figura 2.11. Predicción de características a diferentes rpm.

Usando varios puntos sobre la característica de N1 se pueden predecir las curvas

de funcionamiento para diferentes rpm. El lugar geométrico de los puntos similares en el

plano H-Q es una parábola, ya que H es función de Q2. La Fig. 2.11 muestra una de estas

parábolas.

De igual forma se puede trabajar con la curva de potencia P-Q, en cuyo caso P es

función de Q3 para el lugar geométrico de los puntos similares.

La utilidad de los grupos adimensionales para predecir características a diferentes

rpm es importantísima; sin embargo, debe recordarse que el No de Reynolds no se

satisface y que por lo tanto las predicciones no son exactas, pero si muy aproximadas y de

gran utilidad para ingeniería.

Ejemplo 2.2.

Se va a diseñar una bomba centrífuga para un caudal de agua de 5.7 m3/s, contra

una altura de 155 m, rotando a 450 rpm. Para comprobar el diseño, se construye un

modelo para unas condiciones de operación de 200 lts/s y una potencia de 300 KW,

trabajando con agua a densidad estándar. Si la eficiencia del modelo se asume que será

de 89%, cuál será: a) la velocidad de rotación del modelo, b) la razón de escala, c) la

potencia consumida por el prototipo. Cuando el modelo se opera contra la altura del

prototipo, cuál será: d) la velocidad de rotación, e) el caudal, f) la potencia requerida?



Solución:

Combinando el coeficiente de caudal y de altura, se puede eliminar la relación de

diámetros:

QN

QN

P

P

m

m D =

DP m3 3 ⇒ D

DP

m = Q

Q NN

P

m

m

P

1 3/

g HN

g HN

P

P

m

m2

P2

m D =

D2 2 ⇒ DD

P

m = H

H N

NP

m

m

P

2 1 2/

por lo tanto:

N QH

mm

m = N (Q

(HP

P

P

/ )/ )

/

/

1 2

3 4

La altura del modelo se puede calcular a partir de la eficiencia:

ηm = Phid/Pmec => γ Qm Hm = ηm Pmec m

H

New .

Newkgf

mS

m = 0.89x300x10 m

S

1000 kgfm

3

3 9 81 0 23

. .

Hm = 136.1 m

a) Nm = 450 rpm ( )

( ) 4/3

2/1

1.136/1552.0/7.5

=> Nm = 2179 rpm.

b) DD

P

m = 5.7

0.2 2179

450

1 3/ = 5.17

c) P Pmec

P

mec

m

P m

ρ ρ N D =

N DP3

P5

m3

m5

=> Pmecp = Pmecm NN

DD

P

m

P

m

3 5



Pmecp = 300 4502179

3

5.175 => Pmecp = 9760 kw

Cuando el modelo se opera contra la altura del prototipo se tiene:

d) g H

Ng H

NP

P

m

m2

P2

m D =

D2 2 => Nm = NP DD

P

m= 450x5.17

Nm = 2325 rpm.

e) Qm = QP ( )

NN D

m

P m 1

DP / 3 => Qm = 5.7 2325450

15 173

.

Qm = 213 lts/s.

f) P Pmec mecm1 m

ρ ρ1 2

2

N D =

N D13

15

23

25

Pmecm2 = Pmecm1 NN

2

1

3

= 300

23252179

3

Pmecm2 = 364.4 Kw



2.5. Aplicación del Teorema PI a Turbomáquinas Hidráulicas Motoras.

(Turbinas).

a) Variables relativas a la máquina:

Q= Caudal de agua turbinada.

H= Altura neta o energía especifica neta disponible en el agua.

N= rpm de la turbina.

D= Diámetro del rotor.

Pm = Potencia de eje o mecánica producida.

η = Eficiencia de la máquina = Pmec / Phid

b) Variables relativas al fluido:

ρ = Densidad.

µ = Viscosidad absoluta.

f (Q, H, N, D, Pm,η,ρ,µ) = 0; n=8

Variables Dependientes:

Q, η, Pm .

Variables Independientes:

H, N, D, ρ, µ.



Relación funcional dimensional: Q, η, Pm = f((H, N, D, ρ, µ).

Nros adimensionales resultantes: φ, ψ, P , Re, η.


QND3 , η, Pm

ρ N D3 5

= f[ gHN D2 2 ,

µρ N D 2 ]

Si los efectos de viscosidad son secundarios y se pueden despreciar, se tiene:

φ, η, P = f [ψ]

La potencia neta extraída del fluido es:

Phid = ρ gQH (2.28)

η = Pmec / Phid (2.29)

por lo tanto:

Pm = η ρ Q

ND3 gH

N D2 2 N3 D5

(2.30)

ó

P = η φ ψ (2.31)


Las curvas de funcionamiento para turbinas se obtienen experimentalmente en un

banco de pruebas como el que se muestra esquemáticamente en la Fig. 2.12. Usualmente

se experimenta sobre el modelo debido al gran tamaño del prototipo. Los fabricantes de

turbinas publican dos tipos de curvas para ilustrar al usuario el rango de funcionamiento de

sus productos: curvas elementales dimensionales (Fig. 2.13) y curvas completas

dimensionales o diagramas de concha (Fig. 2.14).



Figura 2.12. Banco de pruebas para Turbinas Hidráulicas.


V.ch.= Válvula check. V.C.= Válvula de compuerta.

Instrumentación: Me = Manómetro entrada.

Ms = Manómetro salida.

PO = Placa orificio.

V = Vertedero.

T = Torquímetro.

Rpm = Tacómetro.

Equipo:

M = Motor corriente alterna.

B = Bomba.

T = Turbina.

G = Generador.



Ecuaciones de cálculo:

H =Pe - Ps

γ +

Ve Vs

g

2 2

2

− + (Ze - Zs) (2.32)

Q= f (∆P en P.O. o de ' h ' en el vertedero según curvas de calibración)

Pm= Tπ N30

(2.33)

η =P

Pm

hid =

P

Q Hm

γ (2.34)


Figura 2.13. Curvas elementales dimensionales para turbinas.



b) Curvas completas dimensionales.

Figura 2.14. Curvas completas dimensionales para turbinas.

2.5.2. Uso de los Nos π.

Al igual que en turbomáquinas hidráulicas generadoras, los Nros π se usan para

establecer la similitud entre modelo y prototipo y para obtener los parámetros simplificados

aplicables a una misma máquina.

Ejemplo 2.3.

Se va a diseñar una turbina hidráulica para producir 27 Mw a 93.7 Rpm bajo una

altura de 16.5 m. Para chequear el diseño se construye un modelo que produce 37.5 Kw

bajo una altura de 4.9 m. Calcular: a) las Rpm del modelo, b) la razón de escala.

Asumiendo una eficiencia del modelo de 88% , calcular: c) el gasto a través del modelo.

Asumiendo que la eficiencia del modelo aplica al prototipo, calcular: d) el gasto a través del

prototipo.

Solución:

Combinando el coeficiente de potencia y de altura, se puede eliminar la relación de

diámetros.



Pmp

pρ N Dp3

p5

=

Pmm

mρ N Dm3

m5

=>

D

Dp

m =

P

P

mp m

mm p

N m3

p3 N

ρ

ρ

1 5/

gH

N Dp

p p2 2 =

gH

N Dm

m m2 2 =>

D

Dp

m =

H

Hp

m

N m2

p2 N

1 2/

por lo tanto:

Nm = Np

Pm

Pm

H

H

p

m

p

m

1 2

5 4

/

/

a) Nm = 93.7 rpm

27000

37 5

1 2

5 4.

/

/

H

Hp

m

=> Nm = 551.2 rpm

b) D

Dp

m =

16 5

4

1 2.

/ x 551.2

.9 x 937

2

=> D

Dp

m

= 10.8

ηm = P

Pmec

hid => γ Qm Hm =

Pmecm

mη

c) Qm = Pmecm

mη γ Hm =

37 5

0

..

x 1000

.88 x 1000 kgf

m x 9.81

New

kgf3

New m

s

x 4.9m

Qm = 886.5 lts/s

d) Qp = pH p

mecP Pγη

= m 16.5 x

kgfNew 9.81 x

3m

kgf 1000 x .88

sm.New x

0

100027000



Qp = 189552 lts/s

También:

3pD pN

pQ =

3mD mN

mQ ⇒

3

3

mD

pD

mNpN

mQ pQ =

( )310.8551.293.7 886.5 pQ =

Qp = 189836 lts/s

2.6. Velocidad específica ns, Ns.

Es un parámetro adimensional de gran importancia que se obtiene al combinar el

coeficiente de caudal y el coeficiente de altura para eliminar el diámetro del rotor.

Ns = φ

ψ

1 2

3 4

/

/ =

( )N Q1/2

3/4g H

(2.35)

La velocidad específica se puede escribir en términos estrictamente adimensionales,

transformando N a velocidad angular ω:

ns = ( )3/4H g

1/2Q ω = 30

Ns π (2.36)

Los valores de N, Q, H se toman en el punto de máxima eficiencia de la

característica H -Q. Por lo tanto, Ns es un parámetro de gran importancia para escoger la

TH más eficiente para realizar ciertas condiciones de trabajo. Además, Ns define el tipo de

diseño de una TH, ya que cada clase de TH tiene su máxima eficiencia dentro de un

pequeño rango de Ns y este rango es diferente para cada clase.

Las bombas centrifugas radiales se diseñan para proporcionar gran altura, pero

para manejar bajo caudal; por lo tanto, se puede deducir de la ecuación (2.35) que el valor

de Ns para este tipo de bombas es bajo. Por el contrario, las bombas axiales se diseñan



para manejar caudales elevados contra baja altura; por lo tanto, este tipo de bomba tiene

un valor elevado de Ns.

Las turbinas Pelton se diseñan para trabajar bajo gran altura, turbinando bajo

caudal; por lo tanto, se puede deducir de la ecuación (2.35) que el valor de Ns para este

tipo de turbinas es bajo. Por el contrario, las turbinas axiales o Kaplan se diseñan para

turbinar caudales elevados bajo pequeñas alturas; por lo tanto, este tipo de turbina tiene un

valor elevado de Ns.

En la práctica, se elimina por conveniencia la gravedad 'g' de la ecuación (2.35),

por lo que Ns pierde su carácter adimensional. Los factores de conversión se dan en la

Tabla 2.1.

Tabla 2.1. Factores de conversión para ns y ds.

Adimensional ft3/s

ft rpm

m3/s m

rpm

gpm ft

rpm ns 1

Ns 128.8

Ns 52.9

Ns 2730

ds 1

Ds 0.42

Ds 0.565

Ds 0.0198

Práctica inglesa:

H=[ft]; Q=[gpm]; N=[rpm]

Práctica europea: se modifica la ecuación (2.35) de la siguiente forma:

Ns= ( )N Q1/2

3/4g H

γ

75

1 2

/ (2.37)

H=[m]; Q=[m3/s]; N=[rpm]; γ=[Kgf/m3]

obteniéndose:

Nsingles = 14.15 Nseuro (2.38)



La Fig. 2.15 ilustra la geometría del rotor de una TH en función del valor de la

velocidad específica europea.

2.7. Diámetro Específico ds, Ds.

El diámetro específico es un parámetro adimensional importante que se obtiene al

combinar el coeficiente de caudal y el coeficiente de altura para eliminar las RPM de la

máquina:

ds = 2/1

4/1

φψ

= ( )1/2Q

1/4H g D (2.39)

En la práctica, se elimina por conveniencia la gravedad 'g' de la ecuación (2.39),

por lo que ’ds’ pierde su carácter adimensional y se transforma en Ds dimensional. Los

factores de conversión se dan en la Tabla 2.1.



Forma del rodete y del triángulo de velocidades de turbinas en función de Ns.

Figura 2.15. Geometría del rotor en función del valor de la velocidad específica.



Figura 2.16. Gráfica Ds vs Ns para selección o diseño preliminar de bombas o

compresores de una etapa, para Re≥1x108 en bombas y Re≥2x106 en compresores. La

eficiencia para los compresores es total-a-total.

Figura 2.17. Gráfica ds vs ns para selección o diseño preliminar de turbinas hidráulicas,

para Re≥1x108.



El diámetro específico relaciona el diámetro del rotor con los valores de Q y H en el

punto de máxima eficiencia de la característica H-Q; por lo tanto, Ds, al igual que Ns, permite

escoger la TH más eficiente para realizar ciertas condiciones de trabajo.

En conclusión, si se grafica Ds en función de Ns, se obtiene una mejor idea de la

configuración del impulsor y de la eficiencia aproximada de la turbomáquina hidráulica. La Fig.

2.16 permite predecir el tipo de bomba que mejor se adapta a una aplicación determinada y

estimar al mismo tiempo la eficiencia que podría esperarse. La Fig. 2.17 se aplica a turbinas

hidráulicas. Ambas gráficas están basadas en la experiencia con máquinas diseñadas y

fabricadas con las últimas tecnologías disponibles.

Ejemplo 2.4.

Se desea escoger una bomba para manejar 357 lts/s y vencer una altura de 75m

rotando a 1750 rpm. Determinar el tipo de bomba, la eficiencia que podría esperarse y el

diámetro aproximado de la misma.

Solución:

Para entrar en la Fig. 2.16 se debe calcular Ns en unidades inglesas. Se calcula ns

adimensional y luego se aplica el factor de conversión de la Tabla 2.1.

ns = ( )( )3/49.81x75

1/20.357

30

1750 π =0.775; Ns=128.8x0.775=99.82

Con Ns=99.82 se puede observar en la Fig. 2.16 que la bomba es del tipo

centrifuga radial y que se puede esperar una eficiencia de 80% con un diámetro específico

Ds=1.1. Por lo tanto, el diámetro específico adimensional es:

ds=1.1/0.42 = 2.62

D = ( )( )1/49.81x75

1/20.357 .622 = 29.85 cm

Ejemplo 2.5.



La planta hidroeléctrica General José Antonio Páez ubicada en Venezuela dispone

de una altura de 990 m y de un caudal por máquina de 6.5 m3/s. De acuerdo a las

características del generador, la turbina debe rotar a 380 rpm. Se desea conocer el tipo de

turbina y el diámetro aproximado de la misma.

Solución:

Para entrar en la Fig. 2.17 se debe calcular ns adimensional:

ns = ( )( )3/4990 x 9.81

1/26.5 380

30

π = 0.1037

Con ns=0.1037 se puede observar en la Fig. 2.17 que la turbina es del tipo Pelton

con tres toberas y que se puede esperar una eficiencia de 90% con un diámetro específico

ds=14. Por lo tanto, el diámetro del rotor es:

D = ( )( )1/4990 x 9.81

1/26.5 14 = 3.6 m

2.8. Velocidad específica de succión, S.

Se usa para prevenir cavitación en la máquina. Este es un fenómeno particular a

Bombas y Turbinas Hidráulicas, que ocurre cuando la presión estática local del líquido cae

hasta igualar la presión de vapor o presión de saturación del líquido a la temperatura de

trabajo, formándose burbujas de vapor. Las burbujas son arrastradas a zonas de mayor

presión donde se condensan bruscamente causando grandes incrementos puntuales en la

presión local. Como resultado, ocurre una erosión rápida en las paredes de la carcaza y

rotor y el rendimiento disminuye.

El criterio de control de la cavitación es la NPSH (Net Positive Suction Head) la

cual se define como:

NPSH = Hs = H + Ha - Hv (2.40)

donde:



H = altura de líquido en la brida de succión de una bomba o en la descarga de una

turbina y entrada al tubo de desfogue.

H= P/ γ + V2 / 2g + Z (2.41)

La presión estática 'P' debe expresarse en unidades manométricas y se toma

como datum el punto donde se calcula la NPSH; por lo tanto, Z=0.

Ha = presión atmosférica local transformada a altura de líquido = Patm / γ

Hv= presión de vapor o de saturación del líquido correspondiente a la temperatura

de trabajo y transformada a altura de líquido = Psat / γ

La velocidad específica de succión se define como:

S =( )3/4Hs g

1/2Q ω = ( )3/4Hs g

1/2Q N

30

π (2.42)

Hs=[m]; Q=[m3/s]; ω = [rad/s]; N=[rpm]; g=9.81[m/s2]

Empíricamente se ha demostrado que la cavitación ocurre cuando:

S ≥ 2.95 para bombas y S ≥ 3.96 para turbinas.

Ejemplo 2.6.

Estimar las velocidades máximas de rotación para dos bombas diferentes cuyos

pasajes de entrada al rodete son geométricamente similares a los de una bomba

experimental más pequeña. La bomba experimental trabaja libre de cavitación bajo una Hs

no menor de 12 ft cuando bombea 5 ft3/s contra una altura de 85 ft a una velocidad de

1200 rpm. Las dos bombas grandes van a ser diseñadas para 200 ft3/s contra una altura

de 300 y 440 ft respectivamente. Los rodetes de las bombas van a ser colocados 12 ft por

debajo del nivel del depósito de agua de succión.

Datos:

Hs1=12 ft. N1= 1200 rpm



Q1= 5 ft3/s Q2= 200 ft3/s Q3= 300 ft3/s

H1= 85 ft H2= 300 ft H3= 440 ft

Hs= H + Ha - Hv

(Ha -Hv) = 32.8 ft (para agua a 80oF y presión atmosférica normal).

H = γ1P +

gV2

21

γ0P

+g

V2

20 + Zo - Hf =

γ1P +

gV2

21

γ0P

= 0; g

V2

20 = 0; Hf = 0

γ1P +

gV2

21 = Zo = 12 ft Hs= 12 + 32.8 = 44.8 ft

S = ( )3/4Hs g

1/2Q N

30

π ( )3/4

1Hs g

1/21Q N

301π =

( )3/42Hs g

1/22Q N

302π

N2= N1

21

21

/

QQ

43

12

/

HsHs

= 1200

21

2005 /

43

12844 /.

N2= 510 rpm

N3= 120021

3005 /

43

12844 /.

N3= 416 rpm

Resolver el mismo problema si las bombas van a ser colocadas 12 ft por encima

del nivel del depósito de agua de succión.



Ejemplo 2.7.

Una bomba centrifuga para alimentación de calderas desarrolla una altura de

bombeo de 80 m, maneja 40 lts/s de agua a 35oC y rota a 3550 rpm. La pérdida de carga

en la tubería de succión del sistema (que está a 200 metros sobre el nivel del mar) es de

0.5 m Calcular la altura geodésica de colocación de la bomba sobre el pozo de succión, el

cual está abierto a la atmósfera.

34

301

/

S

1/2Q N g

Hs

π=

( )34

952303550

8191

/

.x

1/20.04 .

π= = 7.53 m

Ha = 10.33 – 0.0012 x 200 = 10.09 m

Hv = 0.58 m a 35 C

H = Hs – Ha + Hv = 7.53 m – 10.09 m + 0.58 m = - 1.98 m

γ0P

+g

V2

20 - Zo - Hf0-1 =

γ1P +

gV2

21 = H

γ0P

= 0; g

V2

20 = 0;

Zo = -H - Hf0-1 = 1.98 m – 0.5 m = 1.48 m

La bomba puede colocarse 1.48 m por encima del pozo de succión

Ejemplo 2.8.



Estimar la altura máxima del tubo troncocónico de descarga de una turbina Francis

para evitar la ocurrencia de cavitación a la salida de la turbina. La ns de la turbina es igual

a 1 y trabaja bajo una altura de 50 m La presión atmosférica del lugar es de 9.8 m.c.a. y la

temperatura ambiente es de 21oC. Las pérdidas en el tubo troncocónico se estiman en un

5% de la longitud del tubo.

ns = ( )3/4

tH g

1/2Q N

30

π S =( )3/4Hs g

1/2Q N

30

π 43 /

tHHs

Sns

=

4/3

Sns tH Hs

=4/3

.

=963140 = 6.38 m

Ha = 9.8 m; Hv = 0.26 m

γ1P +

gV2

21 = H

Z0 = - H + Hf1-0 = - H + 0.05 Z0

Z0 = 3.16/0.95 = 3.33 m

La altura máxima del tubo troncocónico de descarga es de 3.33 m para evitar la

ocurrencia de cavitación.

2.9. Efecto de escala en Turbomáquinas Hidráulicas.

H = Hs - Ha + Hv

H = 6.38 - 9.8 + 0.26 = -3.16 m

γ1P +

gV2

21 - Hf1-0 =

γ0P +

g

V

2

20

- Z0

γ0P =0 ;

g

V

2

20

= 0



La similitud geométrica no se obtiene exactamente entre modelo y prototipo debido

a que es imposible copiar la rugosidad del material y los juegos entre rodete y carcaza.

Además, la similitud dinámica es muy dificil de satisfacer a través del número de

Reynolds. En consecuencia, se ha demostrado que el rendimiento de la máquina aumenta

con tamaño y altura. Si el prototipo es dos a tres veces mayor que el modelo, no es preciso

corregir el rendimiento.

Para turbinas:

H < 150 m.

ηp = 1- (1-ηm) D

Dm

p

1 5/

(2.43)

H > 150 m.

ηp = 1 - (1-ηm) D

Dm

p

1 5/H

Hm

p

1 20/

(2.44)

Para cualquier tipo de turbomáquina hidráulica.

ηp = ηmec ( )

ληη 0.3141/ mec/m-1 - 1 (2.45)

donde:

ηmec = rendimiento mecánico que se supone igual para el modelo y prototipo y se

puede usar ηmec= 0.98

λ = razón de escala = Dp/Dm.

2.10. Aplicación del Teorema PI a Turbomáquinas Térmicas Generadoras

(Compresores).

a) Variables relativas a la máquina.



mo

= Flujo másico de gas a través del compresor (sustituye a Q).

∆hos = Incremento isentrópico de entalpia total o de estancamiento que sufre el

gas a través del compresor (sustituye a H).

D = Diámetro del rodete del compresor.

N = Rpm.

Pm= Potencia mecánica en el eje.

η = Eficiencia total del compresor.


ρ01 = Densidad del gas evaluada con las condiciones totales o de estancamiento

a la entrada del compresor.

µ = Viscosidad absoluta del gas.

ao1= Velocidad del sonido evaluada con las condiciones totales o de

estancamiento a la entrada del compresor.

K = Relación de calores específicos del gas.

f(mo

, ∆hos, N, D, Pm, η, ρ01, µ, ao1, K) = 0, n=10

Variables dependientes: ∆hos, η, Pm

Variables independientes: mo

, N, D, ρ01, µ, ao1, K

Relación funcional dimensional:

∆hos, η, Pm = f (mo

, N, D, ρ01, µ, ao1, K)

Números adimensionales resultantes:

Coeficiente de gasto o de flujo



φ = m

N D

o

ρ013

(2.46)

Coeficiente de altura:

ψ= ∆h

N D0S

2 2 (2.47)

Coeficiente de potencia:

P = Pm

ρ01 N D3 5

(2.48)

Número de Reynolds:

Re = µ

ρ N 2D 01 (2.49)

Eficiencia total del compresor, η

Número de Mach de los álabes:

M = ND

a01 (2.50)

Relación de calores específicos del gas:

K = Cp/Cv (2.51)


ψ, η, P = f (φ, Re, M, K)

Alternativamente, el coeficiente de altura se puede escribir como:

ψ = ∆h

a0S

012

(2.52)

y el coeficiente de flujo como:



φ = m

a

o

ρ012

01 D (2.53)

donde se ha usado el hecho que ND/ao1 es otro grupo adimensional.

Si el fluido de trabajo es un gas perfecto, se puede obtener un conjunto diferente

de grupos adimensionales, los cuales son de más utilidad y fácilmente medibles en la

experimentación.

El coeficiente de altura se puede modificar recordando que para un gas perfecto se

tiene que:

∆hos = Cp(T02S -T01) (2.54)

donde el proceso de compresión se esquematiza en un diagrama T-S en la Fig. 2.18.

Figura 2.18. Diagrama T-S de un proceso de compresión.

Además, la relación isentrópica entre presiones y temperaturas para un gas es:

T

TS02

01 =

P

P

K

K02

01

1

−

(2.55)

Por lo tanto:



∆hos = Cp T01 P

P

K

K02

01

1

1

−

−

(2.56)

También, Cp = KR/(K-1) y ao12 = KRT01. Entonces:

∆h

aS0

012

=

P

P

K

K

K02

01

1

1

1

−

−

−

(2.57)

Por lo tanto, ∆hos/ao12 es proporcional a (P02/P01) y esta relación adimensional se

puede usar como coeficiente de altura ya que es más fácil de medir.

El coeficiente de flujo se modifica sustituyendo la densidad por medio de la

ecuación de los gases perfectos.

m

a

o

ρ012

01 D =

mP

R TKRT

o

0101

2

01 D

= m RT

P K

o

D

01

012

(2.58)

Si se elimina K no se afecta la adimensionalidad del grupo. Por lo tanto, el

coeficiente de flujo modificado para un gas perfecto resulta en:

m RT

P

o

D

01

012

(2.59)

El coeficiente de potencia se modifica al multiplicarlo por el inverso del coeficiente de flujo.

Pm

ρ01 N D3 5

ρ013

N D

mo

= P

m

mo

N D2 2

(2.60)

Además, la eficiencia total del compresor se define como:

η = Potencia minima requerida para comprimir entre P y P

Potencia mecanica01 02 (2.61)



La potencia realmente requerida para comprimir entre P01 y P02, en caso que no

existan fugas de recirculación es:

mo

Cp (T02 -T01) = mo

Cp (T02S -T01) / ηi ; por lo que:

Pm = m Cp (T - T

02 01o

) η

ηi =

m Cp (T - T

02 01

m

o) η

η ηi

i (2.62)

P= Cp ∆T

N D0

m2 2η

(2.63)

Además, N2 D2 = M2 ao12 y usando las relaciones para Cp y ao1 se tiene:

P=

KR

K −

1 T

M KRT

0

m2

01

∆

η =

( ) T

M K - 1 T0

m2

01

∆

η

(2.64)

Si se eliminan K, ηm, y M no se altera la adimensionalidad del grupo. Por lo que:

P= T

T0

01

∆

(2.65)

La relación funcional adimensional para un gas perfecto es entonces:

P

P02

01, η,

T

T0

01

∆

= f (m RT

P

o

D

01

012

, ND

RT01 , Re, K) (2.66)

Para un compresor de un tamaño dado y manejando un solo tipo de gas, se puede

eliminar K, R y D de la relación (2.66). El número de Reynolds también se puede eliminar si

el compresor opera a un número de Reynolds elevado, como generalmente es el caso,

obteniéndose la siguiente relación funcional de parámetros simplificados:

P

P02

01, η,

T

T0

01

∆

= f (m T

P

o

01

01,

N

T01) (2.67)



2.10.1. Curvas de funcionamiento para compresores.

Las curvas de funcionamiento para compresores se obtienen experimentalmente

en un banco de pruebas como el que se muestra esquemáticamente en la Fig. 2.19. A

menudo se experimenta sobre modelos debido al gran tamaño de los prototipos.

Figura 2.19. Esquema de un banco de pruebas para compresores axiales.

Accesorios de control de flujo.

F = Filtros A.M. = Medidor de flujo de aire

O.P. = Placa Orificio P.C. = Plenum

C.O. = Colector C. = Compresor

T = Válvula de estrangulamiento M = Motor

G.B. = Tren de engranajes

Instrumentación.

p = Presión estática Po = Presión total

t =Temperatura estática to =Temperatura total

tm =Torquímetro vi =Medidor de Potencia Eléctrica

tn =Tacómetro f =Medidor de flujo de aceite

b = Balanceador de Torque

La Fig. 2.20 representa un mapa de funcionamiento típico de un compresor. La

relación de presión a través de la máquina se grafica en función del parámetro de flujo

m T

P

o

01

01 para valores fijos del parámetro de velocidad de los álabes

N

T01.



Figura. 2.20. Mapa típico de funcionamiento de un compresor.

El estrangulamiento del flujo másico, para valores fijos de N y T01, causa que el

punto de funcionamiento del compresor se mueva hacia la izquierda hasta alcanzar la línea

de bamboleo o bombeo o de inestabilidad (SURGE). Bajo estas condiciones el compresor

entra en una oscilación violenta de gran amplitud y baja frecuencia que puede causar

daños severos a los cojinetes y a la máquina.

Por otra parte, si se aumenta el flujo másico a través de la máquina, el punto de

funcionamiento se mueve hacia la derecha. Eventualmente, la curva característica se hace

vertical, lo cual significa que el compresor no puede pasar otro aumento de flujo másico.

Se dice entonces que el compresor esta bloqueado (CHOQUE) y esto ocurre porque el

número de Mach alcanza un valor igual a la unidad en los canales de flujo de la máquina.

En resumen, el campo de operación del compresor, en cuanto a flujo másico se

refiere, se ve limitado por la izquierda con el fenómeno de bamboleo o bombeo o

inestabilidad (SURGE) y por la derecha con el fenómeno de bloqueo (CHOQUE).

Ejemplo 2.9.

Un compresor ha sido diseñado para condiciones atmosféricas normales (101.3

kPa y 15oC). Para ecomizar potencia, el compresor se prueba con una válvula



estranguladora en el ducto de entrada que reduce la presión de entrada. La curva

característica para la velocidad de diseño de 4000 rpm se está midiendo en un día cuando

la temperatura ambiente es 20oC.

A qué velocidad de rotación debería ser probado el compresor?

En el punto de la curva característica al cual el flujo de masa de diseño es 58 kg/s,

la presión de entrada en el banco de pruebas es 55kPa. Calcular el flujo de masa durante

la prueba.

Solución:

P01d = 101.3 Kpa P01p = ? < P01d

T01d = 15oC T01p = 20oC

Nd = 4000 rpm Np = ?

N

Td

d01 =

N

Tp

p01

Np = Nd T

Tp

d

01

01 = 4000 rpm

( )( )20 273

15 273

+

+

o

o

K

K

Np= 4035 rpm

mo

d = 58 Kg/s P01p = 55 KPa

mo

p = ? Kg/s

m T

Pd

d

od 01

01 =

m T

Pp

p

op 01

01 m

op = m

od

T

Td

p

01

01 P

Pp

d

01

01

mo

p = 58 x288

293

55

1013.

mo

p = 31.22 kg/s



P

m

mdo

d d2

d2 N D

=

P

m

mpo

p p2

p2 N D

Pmp = Pmd

m

m

p

d

o

o

N

Np

d

2

Pmp = Pmd 3122

58 0

.

.

4035

4000

2

Pmp = 0.543 Pmd

2.10.2. Velocidad específica ns, Ns y diámetro específico ds, Ds.

Al igual que en TH, Ns se obtiene al combinar el coeficiente de caudal y el

coeficiente de altura para eliminar el diámetro del rotor.

Ns = φ

ψ

1 2

3 4

/

/ =

21

301

/

D N

m

ρ

o 43

220

/

DNSh

−

∆ = ( )3/4

0Sh

1/201Q N

∆ (2.68)



ns = ( )3/4

0Sh

1/201Q

∆

ω = 30

Ns π (2.69)

Los valores de N, Q01 y ∆h0S se toman en el punto de máxima eficiencia del mapa

de funcionamiento del compresor. Por lo tanto, Ns es un parámetro de gran importancia

para escoger el compresor mas eficiente para realizar ciertas condiciones de trabajo.

Además, Ns define el tipo de diseño de un compresor, ya que cada clase de compresor

tiene su máxima eficiencia dentro de un pequeño rango de Ns y este rango es diferente

para cada clase.

Los compresores centrífugos radiales se diseñan para proporcionar gran

incremento de presión, pero para manejar bajo caudal; por lo tanto, se puede deducir de la

ecuación (2.68) que el valor de Ns para este tipo de compresores es bajo. Por el contrario,

los compresores axiales se diseñan para manejar caudales elevados y proporcionar un

incremento de presión moderado; por lo tanto, este tipo de compresor tiene un valor

elevado de Ns.



El diámetro específico se obtiene al combinar el coeficiente de caudal y el

coeficiente de altura para eliminar las RPM de la máquina:

ds = 21

41

/

/

φ

ψ =41

220

/

DNSh

∆21

301

/

D N

m−

ρ

o

= ( )1/2

01Q

1/40Sh D ∆ (2.70)

El diámetro específico relaciona el diámetro del rotor con los valores de Q01 y

∆h0S, los cuales se toman en el punto de máxima eficiencia del mapa de funcionamiento

del compresor. Por lo tanto, Ds, al igual que Ns, permite escoger el compresor mas

eficiente para realizar ciertas condiciones de trabajo. La Fig. 2.16 permite predecir el tipo

de compresor que mejor se adapta a una aplicación determinada y estimar al mismo

tiempo la eficiencia total-a-total que podría esperarse.

Ejemplo 2.10.

Se desea escoger un compresor para las siguientes condiciones:

T01 = 289oK P01 = 10335 kgf/m2 P02 = 14062 kgf/m2

N = 18000 rpm R = 29.3 m/oK mo

= 0.567 kg/s

K=1.4. R=287 J/Kg °K Cp = 1.005 KJ/kg °K.

Determinar el tipo de compresor, la eficiencia total-a-total que podría esperarse y el

diámetro aproximado del mismo.

Solución: Para entrar en la Fig. 2.16 se debe calcular Ns en unidades inglesas. Se

calcula ns adimensional y luego se aplica el factor de conversión de la Tabla 2.1.

∆hos=1005 J/kg °K x 289°K

−

−

141141

1406210335 .

.

=1005x289x0.092=26721 J/kg

∆hos = 26721 New x m/kg = (kg x m2)/(s2 x kg) =26721 m2/s2



01T R01P 01 =ρ =

Ko 289 x Ko Kgm

J287

2m

New 10335x9.81 = 1.22 Kg/m3

Q01 = mo

/ρ01 = 0.567/1.22 = 0.465m3/ s

ns = ( )( )3/426721

1/20.465

30

18000 π =0.615; Ns=128.8x0.615=79.21

Con Ns=79.21 se puede observar en la Fig. 2.16 que el compresor es del tipo

centrifugo radial y que se puede esperar una eficiencia total-a-total de aproximadamente

85% con un Ds ≈ 1.7. Por lo tanto, el diámetro específico adimensional es:

Ds = 1.7/0.42 = 4.05

D = ( )( )1/426721

1/20.465 .054 = 21.6 cm

Chequeando el número de Reynolds de los álabes se tiene:

U2 = π D N/60 = 3.1416 x 0.216 x 18000/60 = 203.6 m/s

Re = µ

ρ N 2D 01 = µ

ρ 2U D 01 =

mxskgm.

sm203.6 0.216m

m

kgm.

0000160

3221

= 3.35x106

por lo tanto, la Fig. 2.16 es aplicable ya que Re > 2 x 106


Son mapas de funcionamiento referidos a las condiciones estándar de presión y

temperatura. La Fig. 2.21 muestra un mapa de equilibrio para un compresor centrífugo. Los

siguientes subíndices se usan en la preparación de estos mapas:

1 = Valores reales a la entrada. 2 = Valores reales a la descarga.



s = Valores estándar. r = Valores reducidos o corregidos.

Usando los grupos adimensionales se puede escribir:

P

P02

01 =

P

Pr

s =>P r = P02

P

Ps

01 (2.71)

mo

T

P01

01 =

sPsT rm

o

=>mro

= mo

T

Ts

01 P

Ps

01 (2.72)

N

T01 =

N

Tr

s => N r = N

T

Ts

01 (2.73)

definiendo:

θ = T

Ts

01 y δ = P

Ps

01 ; se tiene

Pr = P02

δ (2.74)

mro

= mo

θ

δ

1 2/ (2.75)

Nr = N

θ1 2/ (2.76)

Las condiciones estándar o condiciones de referencia son Ps=14.7 psia y

Ts=520oR. Las condiciones normales de la NASA son Ps =2116 lbf/ft2 y Ts =518,7oR.



Figura 2.21. Ejemplo de un mapa de equilibrio para un compresor centrifugo.



Ejemplo 2.11.

La Fig. 2.21 es el mapa de funcionamiento de un compresor centrífugo pequeño

(diámetro de salida del impulsor = 5 pulg.) el cual trabaja en una turbina de gas existente.

Se propone construir una turbina de gas nueva que utiliza un compresor geométricamente

similar al de la Fig. 2.21. Cálculos preliminares indican que el compresor nuevo debe

manejar una rata de flujo másico equivalente (condiciones estándar) de 3.0 lbm/s. Qué

diámetro de salida del impulsor debe recomendarse para el compresor nuevo?. Cuál será

la velocidad real de rotación del compresor nuevo, si la temperatura de entrada del gas

será típicamente 100oF?.

Solución:

El punto de diseño del modelo de 5 pulg. de diámetro se corresponde con la

máxima eficiencia de 84%; por lo tanto, Nr = N

θ1 2/ = 75 x 103 y mr

o = m

o

θ

δ

1 2/ = 1.53,

según el mapa de la Fig. 2.21.

Usando los números adimensionales para un gas perfecto, se tiene:

m

m

o T

P D01

012

= m

p

o T

P D01

012

m

m

or 01

s01

01

s01

2

P

P T

T

T P D

=

m

p

or 01

s01

01

s01

2

P

P T

T

T P D

m

m

or2D

= m

p

or2D

=> Dp = Dm m

m

o

orp

rm

Dp = 5.0 3 0

153

.

. => Dp = 7.0 pulg.

ND

Tm01

= ND

Tp01



N

Tr

m

D 1/ 2θ

01

= N

Tr

p

D 1/ 2θ

01

( )N Dr m = ( )N Dr p => Nrp = Nrm D

Dm

p

Nrp = 75 x 103 x 5 0

7 0

.

. = 53,57x103

Np = Nrp θ1 2/

p

= 53.57x103 ( )100 460

520

+

Np = 55594 rpm.

Ejemplo 2.12.

La Fig. E.12 es el mapa de funcionamiento de un compresor centrífugo industrial

de aire y está referenciado a unas condiciones estándar de 288oK y 1.033 Kgf/cm2.Las

condiciones en el punto de diseño que se pueden leer del mapa son:

mro

= mo

θ

δ

1 2/ = 0.5 Kg/s; P02/P01= 2; Nr =

N

θ1 2/ = 49 x 103 rpm;

ηad=79% ηmec=98%

Se quiere usar este compresor en un proceso industrial donde las condiciones de

entrada son T01 = 27oC y P01 = 0.95 Kgf/cm2.

Calcular:

a) Flujo másico operado en el proceso industrial en el punto de diseño.

θ = 288300 = 1.042 δ =

0331950

.. = 0.92



Figura E.12. Mapa de funcionamiento de un compresor centrífugo industrial.



om = m

or

21/θ

δ = 0.5 210421

920/.

.= 0.45 Kg/s

b) Flujo másico para que el compresor entre en bamboleo en el proceso industrial.

El flujo másico reducido que se lee en el mapa para entrada en bamboleo es:

0.32 Kg/s; por lo tanto, om b = m

orb

21/θ

δ = 0.32210421

920/.

. = 0.29 Kg/s

c) RPM del compresor en el proceso industrial en el punto de diseño.

N = 21/ rN θ = 49 x 103 x 1.0421/2 = 50 x 103 rpm

d) Potencia del motor en el proceso industrial en el punto de diseño.

ωC = CP (T02 – T01) P02/P01 = 2 k

1k

01

02

01

S02

PP

= TT

−

( ) K365.74.1

14.1

2 300 = S02T °

−

=

ηi = ηad = 0102

01S02T - TT - T ⇒ T02 = 300 +

7907365.

300 - . = 383.2 °K

ωC = 1005K Kgm

J°

(383.2 - 300) °K = 83580Kgm

J

oW C = ωC

om = 83580

KgmJ 0.45 Kg/s = 37.6 Kw

oW mc =

oW C / ηmec = 37.6 Kw / 0.98 = 38.4 Kw

e) Presión total de descarga y potencia del motor en el proceso industrial en un

punto de operación donde el flujo másico es 0.54 Kg/s.

mro

= mo

θ

δ

1 2/ = 0.54

920

210421.

/. = 0.6 Kg/s;



La relación de presión y eficiencia adiabática que se lee en el mapa para un flujo

másico reducido de 0.6 Kg/s es 1.94 y 74% respectivamente.

P02 = P01 x 1.94 = 0.95 Kgf/cm2 x 1.94 = 1.843 Kgf/cm2

( ) K362.5 1.94 300= T4.1

14.1

S02°

−

= T02 = 300 + 740

5362.

300 - . = 384.5 °K

ωC = 1005K Kgm

J°

(384.5 - 300) °K = 84882Kgm

J

oW C = ωC

om = 84882

KgmJ 0.54 Kg/s = 45.8 Kw

oW mc =

oW C / ηmec = 45.8 Kw / 0.98 = 46.8 Kw

f) El diámetro comercial de la tubería de descarga del compresor si el Número de

Mach en esta tubería debe limitarse a 0.2 cuando se opera el flujo másico de diseño en el

proceso industrial.

M2 = V2/a2 =2

2KRTV

; T02 = T2 + p

22C 2

V

T02 = T2 + p

22

2C 2KRT M ; T02 =

+

p

22

2 C 2KR M1T

+

=

p

22

022

C 2KR M1

T T ;

+

=

K KgmJ1005 x 2

K KgmJ287 x 4.1 x 2.0

1

K2.383 T

o

o2

o

2

T2 = 380.16oK

P02 = P01 x 2 = 0.95 Kgf/cm2 x 2 = 1.9 Kgf/cm2



1kk

2

02022 T

T / P P−

=

53

163802383 .

.. / 2Kgf/cm 1.9

= = 1.8478 Kgf/cm2

2

22 T R

P =ρ = 3m

Kgm 380.16 x 287

310 x 118.478x9.8 = 1.66 Kg/m3

a2 = (KRT2) 1/2 = (1.4 x 287 x 380.16) 1/2 = 390.83 m/s

V2 = M2 x a2 = 78.17 m/s

V m4 D

22ρπ=

o

= π78.17x x .661

45.0x4 = 0.066 m= 2.6 pulg

D = 3 pulg

Recalculando la velocidad se tiene:

A = π D2 /4 = 3.1416 x (3 x 2.54/100) 2 /4 = 45.6 x 10-4 m2

V2 = 2 A

m

2ρ

o

= 45.6 x .66

x.1

410450 = 59.44 m/s

T2 = T02 - p

22C 2

V = 383.2 -

10052

24459x. = 381.44 oK

1kk

2

02022 T

T / P P−

=

53

443812383 .

.. / 2Kgf/cm 1.9

= = 1.8696 Kgf/cm2

2

22 T R

P =ρ = 3m

Kgm 381.44 x 287

310 x 118.696x9.8 = 1.675 Kg/m3

V2 = 58.9 m/s; T2 = 381.47 oK; P2 =1.8701 Kgf/cm2; ρ2 =1.675 Kg/m3

a2 = (KRT2) 1/2 = (1.4 x 287 x 381.47) 1/2 = 391.50 m/s

M2 = V2 / a2 = 0.15



2.11. Aplicación del Teorema PI a Turbomáquinas Térmicas Motoras

(Turbinas).

a) Variables relativas a la máquina:

mo

= Flujo másico de fluido a través de la máquina (sustituye a Q).

∆hos = Cambio isentrópico de entalpía total o de estancamiento que sufre el

fluido a través de la máquina (sustituye a H).

D = Diámetro del rodete.

N = Rpm.

Pm = Potencia mecánica en el eje.

η = Eficiencia total de la máquina.


ρ01 = Densidad del fluido evaluada con las condiciones totales o de

estancamiento a la entrada de la máquina.

µ = Viscosidad absoluta del fluido.

ao1= Velocidad del sonido evaluada con las condiciones totales o de

estancamiento a la entrada.

K= Relación de calores específicos del fluido.

f(mo

, ∆hos, N, D, Pm, η, ρ01, µ, ao1, k) = 0, n=10

Variables dependientes: ∆hos, η, mo

Variables independientes: Pm, N, D, ρ01, µ, ao1, K



Relación funcional dimensional:

∆hos, η, mo

= f(Pm, N, D, ρ01, µ, ao1, K)

Números adimensionales resultantes:

φ, ψ, P , Re, η, M, K.


ψ, η, φ= f( P , Re, M, K)

Si se considera el fluido de trabajo como un gas perfecto, se puede obtener, al

igual que en compresores, un conjunto diferente de grupos adimensionales, los cuales son

de más utilidad y fácilmente medibles.

El proceso de expansión en una turbina se esquematiza en la Fig. 2.22 y la

relación funcional adimensional resultante para un gas perfecto se presenta en la ecuación

(2.77).

Figura 2.22. Esquema T-S de un proceso de expansión en una turbina.

PP

01

02, η,

m RT

P

o

D

01

012

= f ( T

T0

01

∆

,

ND

RT01 , Re, K) (2.77)



Para una turbina de un tamaño dado y manejando un solo tipo de gas, se pueden

eliminar K, R y D de las relación (2.77). Además, la influencia del número de Reynolds es

despreciable cuando éste adquiere valores elevados y se puede eliminar también. La

relación funcional resultante de parámetros simplificados es:

PP

01

02, η,

m TP

o

01

01 = f ( T

T0

01

∆

,

NT01

, K) (2.78)


Las curvas de funcionamiento para turbinas se obtienen experimentalmente en un

banco de pruebas como el de la Universidad de Graz en Austria que se muestra en las

Figs. 2.23, 2.24 y 2.25. A menudo se experimenta sobre modelos debido al gran tamaño de

los prototipos.

Figura 2.23. Componentes principales del banco de pruebas para turbinas de gas.



Figura 2.24. Diagrama esquemático del banco de pruebas para turbinas de gas.

Figura 2.25. Esquema de flujo del conjunto y dentro de la turbina.

Características mecánicas y operacionales del banco de pruebas.

Flujo frío (sin combustión) en circuito abierto.

Compresor de freno que mejora al mismo tiempo el flujo másico manejado.



Velocidad de rotación ajustable entre 7000 rpm y 11550 rpm.

Cojinetes de patín en el eje de la turbina y compresor de freno.

Límites de operación de la turbina de prueba:

Presión máxima de entrada: 4.6 bar

Temperatura máxima de entrada: 185 °C

Presión de descarga sin el ventilador de succión: 0.97 bar

Presión de descarga con el ventilador de succión: 0.80 bar

Flujo másico máximo sin el aire del compresor de freno: 9.5 kg/s

Flujo másico máximo con el aire del compresor de freno: 20 kg/s

Velocidad máxima de rotación: 11550 rpm

Compresor de freno:

Velocidad de rotación nominal: 11175 rpm

Temperatura nominal de descarga: 229 °C

Potencia máxima en el acople: 2.5 MW para posición de IGV de -15°

Presión de descarga con el ventilador de succión: 0.80 bar

Instrumentación.

Medición de rpm, torque y potencia en el acople entre los ejes de la turbina y del

compresor de freno.

Flujo másico, presión y temperatura en:

Descarga del compresor de aire de alta presión

Entrada y descarga del compresor de freno

Flujo de fuga de la turbina

Presión y temperatura en la entrada a la turbina

Presión y temperatura en la salida del difusor

Diferencia de presión y temperatura en el ventilador de succión con el ambiente

Cuatro planos de medición para una investigación más detallada

Plano A: entrada a la IGV de la etapa

Plano B: salida a la IGV y entrada al rotor de la etapa

Plano C: salida del rotor de la etapa

Plano D: salida del difusor axial

El mapa de funcionamiento típico de una turbina térmica se muestra en la Fig.

2.26.



Figura 2.26. Mapa típico de funcionamiento de una turbina térmica.

Es importante notar en el mapa de funcionamiento de la turbina térmica que la

influencia de la relación de velocidad NT01

sobre la relación PP

01

02es débil si se compara

con los compresores. A elevados valores de mo

, la turbina alcanza eventualmente la

condición de bloqueo (CHOQUE) que ocurre cuando el número de Mach alcanza un valor

igual a la unidad en los canales de flujo. El bloqueo se manifiesta en el mapa porque las

curvas de funcionamiento se hacen verticales.

2.11.2. Velocidad específica ns, Ns y diámetro específico ds, Ds.

Al igual que en compresores, Ns se obtiene al combinar el coeficiente de caudal y

el coeficiente de altura para eliminar el diámetro del rotor. En turbinas térmicas son mas

significativos el caudal y salto entálpico calculados con las condiciones estáticas de salida

de la máquina.

Ns = φ

ψ

1 2

3 4

/

/ =

21

32

/

D N

m

ρ

o 43

22

/

DNSh

−

∆ = ( )3/4

Sh

1/22Q N

∆ (2.79)





ns = ( )3/4

Sh

1/22Q

∆

ω = 30

Ns π

(2.80) Los valores de N, Q2 y ∆hS se toman en el punto de máxima eficiencia del mapa de funcionamiento de la turbina. Por lo tanto, Ns es un parámetro de gran importancia para escoger la turbina más eficiente para realizar ciertas condiciones de trabajo.

Las turbinas radiales se diseñan para trabajar bajo una gran caída de presión, pero

para manejar bajo caudal; por lo tanto, se puede deducir de la ecuación (2.79) que el valor

de Ns para este tipo de turbina es bajo. Por el contrario, las turbinas axiales se diseñan

para manejar caudales elevados bajo una caída de presión moderada; por lo tanto, este

tipo de turbina tiene un valor elevado de Ns.

Figura 2.27. Gráfica Ds vs Ns para selección o diseño preliminar de turbinas térmicas de

una etapa, para Re≥2x106. La eficiencia es total-a-estática.



El diámetro específico se obtiene al combinar el coeficiente de caudal y el

coeficiente de altura para eliminar las RPM de la máquina:

ds = 21

41

/

/

φ

ψ =41

22

/

DNSh

∆21

32

/

D N

m−

ρ

o

= ( )1/2

2Q

1/4Sh D ∆

(2.81) El diámetro específico relaciona el diámetro del rotor con los valores de Q2 y ∆hS, los cuales se toman en el punto de máxima eficiencia del mapa de funcionamiento de la turbina. Por lo tanto, Ds, al igual que Ns, permite escoger la turbina más eficiente para realizar ciertas condiciones de trabajo. La Fig. 2.27 permite predecir el tipo de turbina que mejor se adapta a una aplicación determinada y estimar al mismo tiempo la eficiencia total-a-estática que podría esperarse.

Ejemplo 2.13.

Se desea escoger una turbina de gas para las siguientes condiciones:

T01 = 1500oK P01/P2= 5 P2 = 10335 kgf/m2

N = 70000 rpm mo

= 0.567 kg/s K=1.33

R=287 J/Kg °K Cp = 1.157 KJ/kg °K.

Determinar el tipo de turbina, la eficiencia total-a-estática que podría esperarse y el

diámetro aproximado de la misma.

Solución:

Para entrar en la Fig. 2.27 se debe calcular ns adimensional.

kk

01P2P =

TST

1

012

−

; k

k

01P2P T=ST

1

012

−

; ( ) 3311331

12.

.

0.2 500=ST

−

=1006 oK

∆hs=Cp (T01-T2) = 1157 J/kg °K (1500 – 1006) °K = 571558 J/kg

∆hs = 571558 m2/s2

ST-T

T- T so201201=−η ; T2 = T01 – ηo-s (T01-T2S)



Asumiendo una eficiencia total-a-estática de 85% se tiene:

T2 = 1500 – 0.85 (1500 - 1006) =1080 oK

2T R2P 2 =ρ =

Ko 1080 x Ko Kgm

J287

2m

New 10335x9.81 = 0.327 Kg/m3

Q2 = mo

/ρ2 = 0.567/0.327 = 1.733m3/ s

ns = ( )( )3/4571558

1/21.733

30

70000 π =0.464;

Con ns=0.464 se puede observar en la Fig. 2.27 que la eficiencia asumida se

puede lograr con una turbina de entrada radial a 90º, con un ds ≈ 3.6. Por lo tanto, el

diámetro del rotor de la turbina es:

D = ( )( )1/4571558

1/21.733 .63 = 17.24 cm

2.11.3. Mapas de equilibrio.

Al igual que en compresores, los mapas de equilibrio de turbinas están referidos a

las condiciones estándar de presión y temperatura. Sin embargo, en turbinas se sustituye

la temperatura y presión total a la entrada por la temperatura y presión crítica

correspondiente para calcular los valores reducidos. Además, la relación de calores

específicos, K, no permanece constante entre las condiciones de entrada a la turbina y las

condiciones de referencia, debido a la fuerte variación de presión y temperatura. Las Figs.

2.28 y 2.29 muestran mapas de equilibrio para una turbina de gas de dos etapas.

La temperatura crítica correspondiente a la temperatura de entrada T01 se calcula

con:

TT01

1 = 1 + k − 1

2 M2 (2.82)

Haciendo M=1, entonces T1 =T1cr.



T1cr

01T = 2

1K + (2.83)

La presión crítica correspondiente a la presión de entrada P01 se calcula con:

PP01

1 = 1 1

22 1+

−

−K M

KK (2.84)

Haciendo M=1, entonces P1 = P1cr

P1cr

01P = 2

11

K

KK

+

− (2.85)

De igual forma, la temperatura y presión crítica correspondiente a las condiciones

estándar de referencia se calculan con:

TScr

ST = 2

1KS + (2.86)

PScr

SP = 2

11

KS

KK

S

S

+

− (2.87)

Las siguientes relaciones se definen para calcular los valores reducidos:

γ = PPS

01 (2.88)

θcr = KKS

T1cr

ScrT (2.89)

ε = KSK

PPP

P

cr

S

Scr

01

1

(2.90)



Figura 2.28. Mapa de equilibrio para una turbina de gas de dos etapas.



Figura 2.29. Ejemplo de un mapa de equilibrio para una turbina de dos etapas.



Usando los grupos adimensionales se puede igualar el coeficiente de flujo.

m RT

Pcr

cr

o

K D1

12 =

m RT

Pr Scr

Scr

o

K DS2

mm

KTT K

K

PPP

P

or

S

cr

Scr

S

cr

S

Scr

= K

PP

o

01

S

1 01

1

m = m oo

rcrθ

γε (2.91)

Igualando el número de Mach

NDKRT cr1

= N D

K RTr

S Scr

Nr = NK

KTTS

cr

Scr

1

Nr =N

crθ (2.92)

Igualando el coeficiente de altura

∆hKRT

S

cr

0

1= ∆h

K RTSr

S Scr

0

∆hosr =∆h

KK

TT

S

S

cr

Scr

01

∆hosr =∆h S

cr

0θ

(2.93)

Calculando mo

r Nr se tiene:



mo

r Nr =m o

θγ

εcr N

crθ

mo

r Nr =m N o

εγ

(2.94)

Igualando el coeficiente de potencia multiplicado por el coeficiente de flujo

P

m

mo 2 2 N D

= P

m

mr

ro

r2 2 N D

La potencia mecánica es igual al torque por la velocidad angular; por lo tanto,

TND

mo 2 2 N D

= T N D

m

r r

ro

r2 2 N D

Tr = T m

m

or

oNNr

Tr = T θ

γεcr

1θcr

Tr = T εγ

(2.95)

Ejemplo 2.14.

En las Figs. 2.30 y 2.31 se dan mapas de equilibrio para una turbina de gas de

una sola etapa.

• Las condiciones totales nominales de entrada para obtener los datos fueron:

P01 = 40 pulgadas de Hg abs. T01 = 540o R.

• Las condiciones de diseño fueron:

Diámetro del tope del rotor Dt = 16 pulgadas.



Trabajo específico reducido, ∆ho/θcr = 12.22 Btu/lbm.

Flujo másico reducido, m o

θγ

εcr = 28.09 lbm/s.

Velocidad reducida del tope del alabe Vt / θcr = 520 pie/s.

• Las condiciones estándar de referencia fueron:

Ps = 2116 lbf/pie2. Ts = 518.7oR.

• Se quiere calcular los Hp entregados por la turbina en el punto de diseño.

Solución:

Con los valores de diseño en la Fig. 2.30 se obtiene P01/P02 :

PP

01

02 = 1.515

Entrando con los valores de diseño en la Fig. 2.31 se obtiene el torque reducido.

T εγ

= 323.75 lbfxpie.

γ = PPS

01 = [ ]

[ ]4012

846

2116

2

2

x

lbf pie

lbf pie

/

/ γ = 1.3327

ε = KSK

K

K

KK

S

KsKs

+

+

−

−

12

12

1

1

En base a las tablas de aire se tiene :

K = f(P01,T01) = 1.4023

KS = f(PS ,TS) = 1.4021



ε = 0.9999

T = 323 75. x 1.33270.9999

= 431.50 [lbf x pie]

θcr = KK

KT

KTS

SS

21

21

01+

+

= 1.0204

Vt = 520 θcr = 520 x 1.0204 = 530.61 [pie/s]

Vt = ω Dt2

ω = 530 61 2 1216

. x x = 759.9 [1/s]

Hp = T x ω550

= 624.4



Figura 2.30. Flujo másico reducido en función de la relación de presión y rpm reducida.



Figura 2.31. Torque reducido en función de la relación de presión y rpm reducida.



2.12. Problemas.

1). El manómetro que mide la presión estática en la brida de entrada de una

bomba está colocado 39 in por encima del eje de la bomba. La lectura del manómetro es

9.5 in de Hg por debajo de la presión atmosférica local cuando la bomba entrega un gasto

de 3500 gpm. El diámetro del tubo de entrada es 10 in. Cuál es la NPSH en el punto donde

se mide la presión?. El fluido de trabajo es agua a 80oF.

2). Un ventilador operando a 1750 rpm y 4.25 m3/seg desarrolla una altura de 153

mm (medida en un tubo manométrico en forma de U lleno con agua). Se requiere construir

un ventilador más grande, geométricamente similar, el cual entregaría la misma altura a la

misma eficiencia que el ventilador existente, pero a una velocidad de 1440 rpm. Calcular el

gasto del ventilador más grande.

3). Un compresor se experimenta en un día cuando el barómetro marca 28.73 in

Hg y la temperatura ambiente es 56oF, midiéndose una presión de descarga de 47.4 psig y

un flujo másico de aire de 39.3 lbm/s. El compresor se modifica geométricamente para

tratar de mejorar su funcionamiento. Posterior a las modificaciones se experimenta

nuevamente en un día cuando el barómetro marca 29.88 in Hg y la temperatura ambiente

es 29oF, midiéndose una presión de descarga de 49.6 psig y un flujo másico de aire de

41.1 lbm/s. Las rpm para ambas pruebas se mantienen constantes. Se logró alguna mejora

con las modificaciones?.

4). Se requiere una turbina hidráulica para trabajar a 30000 Hp bajo una altura de

125 ft y 80 rpm. Un modelo de ésta turbina se quiere experimentar en un laboratorio que

permite potencias de 50 Hp y alturas de 20 ft. Cuál será la velocidad de rotación del

modelo, la razón de escala y el caudal?.

5). Un compresor de turbina de gas para aviación se diseña para trabajar a 10000

rpm, con 75 lbm/s y una relación de compresión de 4. Las condiciones de diseño asumen

aire estándar a la entrada. Cuando el compresor trabaja a 35000 ft de altura se miden una

presión de descarga de 10.37 psig y una velocidad de 8720 rpm. Estimar el flujo másico a

través del compresor bajo éstas condiciones y justifique su respuesta.



Capítulo 3

3.1. Introducción.

3.2. Flujo másico interno de recirculación o fuga.

3.3. Eficiencias de las Turbomáquinas Motoras.

3.3.1. Eficiencias de las Turbomáquinas Motoras Térmicas.

3.3.2. Eficiencias de las Turbomáquinas Motoras Hidráulicas.

3.4. Eficiencias de las Turbomáquinas Generadoras.

3.4.1. Eficiencias de las Turbomáquinas Generadoras Térmicas.

3.4.2. Eficiencias de las Turbomáquinas Generadoras Hidráulicas.

3.5. Eficiencia Politrópica de Compresores y Turbinas Térmicas.

3.5.1. Eficiencia Politrópica de Compresores, ηpc.

3.5.2. Eficiencia Politrópica de Turbinas, ηpt.

3.6. Influencia del número de etapas sobre la eficiencia adiabática o isentrópica de Compresores y Turbinas Térmicas.

3.6.1. Compresores.

3.6.2. Turbinas.

3.7. Factor de recalentamiento en Turbinas de Vapor.

3.8. Eficiencias de Componentes de Turbomáquinas.

3.8.1. Eficiencia de la Tobera.

3.8.2. Eficiencia del Difusor.

3.9. Geometría óptima de difusores planos y cónicos.

3.10. Problemas.


ESCUELA DE ING. MECANICA - UNIVERSIDAD DE LOS ANDES - MERIDA - VENEZUELA .

3.1. Introducción.

Se definen en forma precisa cada una de las eficiencias usadas para

turbomáquinas: eficiencia adiabática total-a-total, adiabática total-a-estática, volumétrica,

hidráulica, mecánica y global. Además, se define la eficiencia politrópica, el factor de

recalentamiento y se estudia el efecto del número de etapas.

Se define también la eficiencia de los canales de flujo componentes de

turbomáquinas: toberas y difusores.

3.2. Flujo másico interno de recirculación o fuga.

Para entender este fenómeno se puede hacer referencia a la Fig. 3.1 que muestra

el corte meridional de un rodete de turbomáquina radial. La diferencia de presiones

existente entre la salida y la entrada del rodete provoca un flujo másico de fuga o

recirculación, mo

f, el cual es mas importante en las máquinas de pequeñas dimensiones

que en las de grandes dimensiones. Despreciando las pequeñas fugas al exterior de la

máquina, se concluye que el flujo másico de entrada es igual al flujo másico de salida, mo

.

Figura 3.1. Esquema ilustrativo del flujo másico de fuga o de recirculación.

El flujo másico que pasa por el rodete, •m o , en turbomáquinas generadoras es la

suma del flujo másico de la máquina más el flujo másico de recirculación.

fo mmm•••

+ = (3.1)



En turbomáquinas motoras, el flujo másico que pasa por el rodete, •m o , es la resta

del flujo másico de la máquina menos el flujo másico de fuga:

fo mmm•••

- = (3.2)

3.3. Eficiencias de las Turbomáquinas Motoras.

3.3.1. Eficiencias de las Turbomáquinas Motoras Térmicas. La Fig. 3.2 ilustra el intercambio de potencia entre el fluido y la máquina en turbinas térmicas.

Figura 3.2. Esquema de intercambio de potencia en turbinas térmicas.

3.3.1.1. Eficiencia interna o adiabática total-a-total, ηio-o. Se define en términos

de los cambios de propiedades totales o de estancamiento que sufre el fluido entre la

entrada y la salida de la máquina y su valor refleja todas las irreversibilidades que ocurren

dentro de la máquina tanto volumétricas como por roce viscoso o hidráulico. En referencia

a la Fig. 3.2 se tiene:

idealW

rotorW = fluido el en disponible Potencia

rotor al entregada Potencia = i o

o

00−η (3.3)

En referencia a la Fig. 3.3 se tiene:

( )( )

ηω

ωis

m

m

m

m

h

h0 01 2

1 2

01

01−

−

− = =

- h

- ho o 02

02s

o

o

o

o (3.4)



Esta eficiencia se utiliza cuando la energía cinética a la salida de la turbina se va a

usar posteriormente, como sucede en las turbinas de gas para propulsión de aviones.

Figura 3.3. Diagrama entalpía - entropía para turbinas térmicas.

3.3.1.2. Eficiencia interna o adiabática total-a-estática, ηio-s. Una definición

alternativa de la eficiencia adiabática usa las condiciones estáticas en la salida para

calcular el trabajo específico ideal. En referencia a la Fig. 3.3 se tiene:

( )( )

ηi sm

m

h

h001

01− =

- h

- ho 02

2s

o

o (3.5)

Esta eficiencia se utiliza cuando la energía cinética a la salida de la turbina no se

va a usar posteriormente, como sucede en las turbinas de gas y de vapor para producción

de electricidad.

3.3.1.3. Eficiencia volumétrica, ηv . Las fugas internas, om f, constituyen una

fuente de pérdidas porque el fluido que no cruza el rodete no tiene oportunidad de

transferir su energía disponible al rotor. Se define la eficiencia volumétrica como:

o

o

o

v

m

m = η (3.6)

3.3.1.4. Eficiencia hidráulica, ηh. Refleja todas las fuentes de irreversibilidades

que ocurren dentro de la máquina por roce viscoso o hidráulico y se define en términos de

la relación entre el trabajo específico ideal de la máquina y el trabajo específico real del

rodete:



02sh - 01h02h - 01h

=

m/ idealW

2CU - 1CU =

m/ idealW

om / rotorW = h oooo

ooθθη 21 (3.7)

Se usa el trabajo específico ideal basado en las condiciones totales de salida o

estáticas de salida dependiendo de la eficiencia interna usada.

Sustituyendo ηv y ηh en la definición de eficiencia interna se tiene:

ηi 0-0 = ηv ηh

ηi 0-s = ηv ηh (3.8)

Por lo tanto, la eficiencia interna es igual a la eficiencia hidráulica si no existen

fugas de recirculación.

3.3.1.5. Eficiencia mecánica, ηm. Refleja las pérdidas externas de energía útil; es

decir, las pérdidas ocasionadas por el rozamiento mecánico en cojinetes, empaques y

prensaestopas. El rozamiento hidráulico del fluido atrapado en los espacios entre la

cubierta del rodete y la carcaza de la máquina, el llamado rozamiento de disco, es una

pérdida hidráulica; sin embargo, se considera como una pérdida mecánica. En referencia a

la Fig. 3.2 se tiene:

rotorW

mecW = rotor al entregada Potencia

eje el en aparece que Potencia = m o

o

η (3.9)

3.3.1.6. Eficiencia global, ηT. Se define en referencia a la Fig. 3.2 como:

ηTW

W =

Potencia que aparece en el eje

Potencia disponible en el fluido = mec

ideal

o

o (3.10)

Sustituyendo ηv, ηh y ηm en la ec. (3.10) se tiene:

ηT = ηv ηh ηm (3.11)

ηT = ηi ηm (3.12)



Ejemplo 3.1.

Una turbina de vapor recibe el fluido a condiciones totales de 4 MPa abs y 300oC.

Un manómetro colocado en el ducto de descarga de la turbina indica una presión de 249

KPa man. La potencia entregada al eje de la máquina es de 20 MW y la eficiencia

mecánica es de 98%. El flujo másico de vapor que entra a la turbina es de 55 Kg/s,

existiendo un flujo másico de fuga de 2 Kg/s. Calcular: a) La eficiencia adiabática o interna

de la turbina. b) La potencia entregada al rotor. c) La eficiencia volumétrica de la turbina. d)

La eficiencia hidráulica de la turbina. e) La potencia disponible en el vapor. f) La potencia

perdida en roce viscoso. g) La potencia perdida por fugas volumétricas. h) La potencia

perdida en roce mecánico.

a) La eficiencia adiabática o interna que debe calcularse es la total-a-estática, ya

que las turbinas de vapor se usan únicamente para producir potencia mecánica.

X = (S2S - S2f) / (S2g - S2f) = (6.364 - 1.727) / 5.214 = 0.8893

h2S = h2f + X (h2g - h2f) = 584 + 0.8893 (2148) = 2494 KJ/Kg

h01 - h2S = 2963 - 2494 = 469 KJ/Kg

WWo

r

oeje

mec = =

20 MW

0.98 = 20.408 MW

η

P01 = 4 MPa

T01 = 300oC

h01 = 2963 KJ/Kg

S01 = 6.364 KJ/Kg oK

Diagrama de Mollier con

P2 = 249 + 101 = 0.35 MPa

S2S = 6.364 KJ/Kg oK

Se obtiene mezcla en el

punto 2S.



Wo

r = mo

o (h01 - h02) ⇒ Wo

r / mo

o = (h01 - h02) ⇒ h02 = h01 - Wo

r / mo

o

h02 = 2963 KJ/Kg - 20.408 KJ/s / 53 Kg/s = 2963 - 385 = 2578 KJ/Kg

( )( )

( )( )

( )( )

ηi sm

m

h

h001

01

53

55

2963

2963

53

55

385

469− = - h

- h=

- 2578

- 2494 = = 79.10 %o 02

2s

o

o

ηh = 385

469 = 82.09%

e) Wo

ideal = mo

(h01 - h2S) = 25.795 MW

f) Wo

visc = Wo

ideal(1 - ηh) = 25.795 MW (1 - 0.8209) = 4.620 MW

g) Wo

vol = (Wo

ideal ηh) (1 - ηv) = (25.795 MW 0.8209) (1 - 0.9636) = 0.771 MW

h) Wo

mec = Wo

r - Wo

eje = 20.408 MW - 20 MW = 0.408 MW

b) Wo

r = 20.408 MW

c) ηvm

m = o

o

o = 96.36 %

d) ηh = h - h

h - h01 02

01 02s



3.3.2. Eficiencias de las Turbomáquinas Motoras Hidráulicas.

La Fig. 3.4 ilustra el intercambio de potencia entre el fluido y la máquina en

turbinas hidráulicas.

Figura 3.4. Esquema de intercambio de potencia en turbinas hidráulicas.

3.3.2.1. Eficiencia interna, ηi. En referencia a la Fig. 3.4 se tiene:

( )TH Q

inthf - TH oQ =

idealW

rotorW = fluido el en disponible Potencia

rotor al entregada Potencia = i o

o

η

(3.13)

3.3.2.2. Eficiencia volumétrica, ηv .

ηvQ

Q = o (3.14)

3.3.2.3. Eficiencia hidráulica, ηh.

( ) ( )

TH2CU - 1CU g/

= TH

inthf - TH =

Q/ idealW

oQ / rotorW = h

θθη 211o

o

(3.15)


ηi = ηv ηh (3.16)





3.3.2.4. Eficiencia mecánica, ηm.

rotorW

mecW = rotor al entregada Potencia

eje el en aparece que Potencia = m o

o

η (3.17)


mec

, = eje al entregada Potenciafluido al entregada real Potencia = o

o

W

WVBη (3.18)


ηT = ηv ηh ηm (3.19)

Ejemplo 3.2.

El rotor de una turbina hidráulica radial tipo Francis que maneja un caudal de 20

m3/s y tiene un ancho de alabe a la entrada de 0.35 m se esquematiza en la Figura.

Suponiendo conducción perfecta sin incidencia, diseño para máxima transferencia de

energía y una eficiencia volumétrica de 99%, determinar:

1) Triángulo de velocidades a la entrada del rotor.



2) Triángulo de velocidades y ángulo del álabe a la descarga del rotor.

3) Ancho del álabe en la descarga del rotor.

4) Altura intercambiada en el rotor [m].

5) Potencia desarrollada por el rotor [KW].

6) Potencia mecánica en el eje [KW] si la eficiencia mecánica es de 98%.

7) Altura neta de turbina [m] si la eficiencia hidráulica es 88%.

8) Potencia del líquido a la entrada de la turbina [KW].

9) Eficiencia global de la turbina.

1)

Q v =oQ η = 0.99 x 20 = 19.8 m3/s; Q0 = π D2 B2 C2r

C2r = Q0 / (π D2 B2) = 19.8 m3/s / (3.1416 x 2 x 1.5m x 0.35m) = 6 m/s

U2 = 3.1416 x 2 x 1.5 x 300 / 60 = 47.12 m/s

C2 = (C2r2 + C2θ

2)1/2 = (62 + 48.182)1/2 = 48.55 m/s

2)

3)

Por criterio de diseño se mantiene constante la velocidad meridional Cm=Cr a

través del rotor.

W2 = C2r / sen 80 = 6/sen80 = 6.093 m/s W2θ = C2r / tan 80 = 6/tan80 = 1.058 m/s C2θ = U2 + W2θ = 47.12 + 1.06 = 48.18 m/s

U3 = 3.1416x2x0.85 x 300 / 60 = 26.7 m/s

C3 = C3r = C2r = 6 m/s (criterio de diseño)

W3 =(C32+U3

2)1/2 = (62+26.72)1/2 = 27.37

m/s

β’ = arctan(C / U ) = 12 36o



C3 = C3r = C2r = 6 m/s (criterio de diseño)

B3 = Q0 / (π D3 C3r) = 19.8 m3/s / (3.1416 x 2 x 0.85m x 6 m/s) = 0.618 m

4)

Hrotor = 1/g (U2 C2θ) = (47.12 m/s x 48.18 m/s) / (9.81 m/s2) = 231.42 m

5)

rotorH oQ rotorW γ=o

= 9810 New/m3 x 19.8 m3/s x 231.42 m = 44.95 MW

6)

mecrotorW mecW η=oo

= 0.98 x 44.95 MW = 44.05 MW

7)

hidrotorH

TH η

= = 231.42 m / 0.88 = 262.98 m

8)

TH Q liqW idealW γ==oo

= 9810 New/m3 x 20 m3/s x 262.98 m = 51.6 MW

9)

ηT = ηv ηh ηm = 0.99 x 0.88 x 0.98 = 85.38 %

3.4. Eficiencias de las Turbomáquinas Generadoras.

3.4.1. Eficiencias de las Turbomáquinas Generadoras Térmicas.


compresores.

Figura 3.5. Esquema de intercambio de potencia en compresores.



3.4.1.1. Eficiencia interna o adiabática total-a-total, ηio-o. Se define en términos

de los cambios de propiedades totales o de estancamiento que sufre el fluido entre la

entrada y la salida de la máquina y su valor refleja todas las irreversibilidades que ocurren

dentro de la máquina tanto volumétricas como por roce viscoso o hidráulico. En referencia

a la Fig. 3.6 se tiene:

Figura 3.6. Diagrama entalpía - entropía para compresores.

o

o

rotor

i

W

W ideal

0201

020100 =

Py P entrecomprimir para real PotenciaPy P entrecomprimir para mínima Potencia

= −η (3.20)

( )( )

ηω

ωi

o

s

o

sm

m

m

m

h

h0 01 2

1 2

02

02−

−

− = =

- h

- h01

01

o

o

o

o (3.21)

3.4.1.2. Eficiencia volumétrica, ηv . Las fugas internas, om f, constituyen una

fuente de pérdidas porque el rodete debe ejecutar trabajo sobre om o en lugar de

om . Se

define la eficiencia volumétrica como:

o

o

o

v

m

m = η (3.22)

3.4.1.3. Eficiencia hidráulica, ηh. Refleja todas las fuentes de irreversibilidades

que ocurren dentro de la máquina por roce viscoso o hidráulico y se define en términos de



la relación entre el trabajo específico ideal de la máquina y el trabajo específico real del

rodete:

ηθ θ

h U U =

h - h

h - h =

h - h

C - C02s 01

02 01

02s 01

2 12 1 (3.23)


ηi 0-0 = ηv ηh (3.24)



3.4.1.4. Eficiencia mecánica, ηm. Refleja las pérdidas externas de energía útil; es

decir, las pérdidas ocasionadas por el rozamiento mecánico en cojinetes, empaques y

prensaestopas. El rozamiento hidráulico del fluido atrapado en los espacios entre la

cubierta del rodete y la carcaza de la máquina, el llamado rozamiento de disco, es una

pérdida del tipo hidráulica; sin embargo, se considera como una pérdida mecánica.

o

o

mecW

rotorW =

eje al entregada mecánica Potencia02P y 01P entre comprimir para real Potencia

= mη (3.25)

3.4.1.5. Eficiencia global, ηC. Se define en referencia a la Fig. 3.5 como:

mecW

idealW = eje al entregada mecánica Potencia

02P y 01P entre comprimir para mínima Potencia = C o

o

η (3.26)


ηC = ηv ηh ηm (3.27)

ηC = ηi ηm (3.28)



Ejemplo 3.3

Un compresor industrial con una relación de compresión total de 3:1 en el punto de

diseño, toma aire de la atmósfera a 100 KPa y 20°C y lo descarga a un número de Mach

estático de 0.15 y una temperatura estática de 145°C. El flujo másico comprimido es 1 Kg⁄s

y el flujo másico de recirculación es de 0.01 Kg/s.

Calcular:

a) La eficiencia hidráulica del compresor.

b) La eficiencia adiabática o interna del compresor.

c) La potencia ideal requerida en Kw para realizar la compresión.

d) La potencia en Kw comunicada al rotor del compresor.

e) La potencia en Kw del motor de accionamiento si la eficiencia mecánica del

compresor es 98%.

f) La potencia perdida por efectos hidráulicos.

g) La potencia perdida por efectos volumétricos.

h) La potencia perdida por efectos mecánicos.

i) La eficiencia global del compresor.

K = 1.4 R = 287 J / Kg°K Cp = 1.006 K J / Kg°K

C1 ≅ 0 ⇒ P01 = P1 = 100 KPa

T01 = T1 = 20°C + 273.15 = 293.15°K

T2 = 145°C + 273.15 = 418.15°K

M2 = C2/a2 = C2/(KRT2)1/2 C22 = M2

2KRT2



( )

°×

°+=

+

KKgmJ 10062

KKgmJ287 x x1.40.15

12T pC KR 2M

1 2T = pC

KRT 2M + 2T = T

2

2

2

22

202

T02 = 1.00449 T2 = 1.00449 x 418.15°K = 420.03°K

( ) K401.25 = 1.41-1.4

3 293.15 = kk

PP

01T = ST °

−

1

0102

02

a) ηh = h S02 - h

h - h =

T - T

T - T01

02 01

02S 01

02 01 ηh =

..

..15293034201529325401

−− = 85.2%

b) ηv = 1.01

1

om

m =o

o

= 0.99 = 99%

ηi = ηv ηh = 0.99 x 0.852 = 0.8435 = 84.35%

c) ( ) 01T - 02ST pC m = 2S-1 m = idealWooo

ω

( ) K.. KKgm

JK 1.006 s

Kgm1.00 = idealW °−°

× 1529325401o

= 108.75 KW

d) ( ) 01T - 02T pC om = 2-1 om = rotorWooo

ω

( ) K.. KKgm

JK 1.006 s

Kgm1.01 = rotorW °−°

× 1529303420o

= 128.92 KW

e) 0.98

128.92 =mecrotorW = mecW

η

oo

= 131.55 KW

f) Wo

visc = rotoroW (1 - ηh) = 128.92 KW (1 - 0.852) = 19.08 KW

g) Wo

vol = ( rotoroW ηh) (1 - ηv) = (128.92 KW 0.852) (1 - 0.99) = 1.098 KW

h) rotorW - mecW = pmecWooo

= 131.55 KW – 128.92 KW = 2.63 KW

i) ηC = ηi × ηmec = 0.8435 × 0.98 = 82.66 %



3.4.2. Eficiencias de las Turbomáquinas Generadoras Hidráulicas.


bombas y ventiladores.

Figura 3.7. Esquema de intercambio de potencia en bombas y ventiladores.

3.4.2.1. Eficiencia interna, ηi. En referencia a la Fig. 3.7 se tiene:

( )ηi

W

W =

Potencia real entregada al fluido

Potencia entregada al rotor = =

Q H

Q H + hfr

B,V

o B,V int

o

o (3.29)

3.4.2.2. Eficiencia volumétrica, ηv .

ηvo

Q

Q = (3.30)

3.4.2.3. Eficiencia hidráulica, ηh.

( ) ( )η

θ θh

o

W

W g U U =

/ Q

/ Q =

H

H + hf =

H

C - C

r

B,V

B,V int

B,V

2 1

o

o 1 2 1/ (3.31)


ηi = ηv ηh (3.32)





3.4.2.4. Eficiencia mecánica, ηm. En referencia a la Fig. 3.7 se tiene:

mec

= eje al entregada Potencia

rotor al entregada Potencia = o

o

W

W rmη (3.33)


mec

, = eje al entregada Potenciafluido al entregada real Potencia = o

o

W

WVBη (3.34)


ηB,V = ηv ηh ηm (3.35)

ηB,V = ηi ηm (3.36)

Ejemplo 3.4.

Las bridas de descarga y succión en una bomba centrífuga están separadas por

una altura de 0.50 cm y ambas tuberías son de φ 8”. Un vacuómetro y un manómetro

conectados en la brida de succión y descarga marcan presiones equivalentes a -3.5 m y 26

m cuando se bombea agua. La geometría de diseño del rotor de la bomba es: ancho de

salida = 1.5 cm; diámetro de salida = 30 cm; ángulo del álabe a la salida = 30 o.

Cuando la bomba gira a 1750 rpm, el rendimiento hidráulico, volumétrico y

mecánico en el punto de diseño es de 80%, 98% y 95% respectivamente y la entrada a los

álabes está diseñada para máxima transferencia de energía. Si la bomba debe operar en el

punto de mejor eficiencia, calcular suponiendo conducción perfecta sin incidencia:

a) La altura de bombeo, HB.

b) La altura del rotor, Hr , o altura de Euler, He.

c) El caudal manejado por la bomba en lps.

d) La potencia en el motor de accionamiento en KW.

e) Porcentaje de difusión que debe efectuarse sobre la velocidad absoluta a la

descarga del rotor para reducirla al valor de la velocidad en la brida de descarga.



a) Aplicando Bernoulli entre la brida de succión y descarga de la bomba se tiene:

( )Hg

zB s=P - P

+V - V

+ z =P - P

+ z = 26 m - (-3.5) m + 0.5md s d sd

d s

γ γ

−

2 2

2∆

HB = 30 m

b) ηηh

h =

H

H H =

H =

30 m = 37.5 mB

rr

B⇒0.8

Hr = (U2 Cθ2 - U1 Cθ1) / g = (U2 Cθ2) / g (para máxima transferencia de energía)

Cθ2 = g Hr / U2 = 9.81 x 37.5 / 27.49 = 13.38 m/s

Cr2 = tan 30o (27.49 - 13.38 ) = 8.146 m/s

Qo = 8.146 m/s x π x 0.3 m x 0.015 m = 0.115 m3/s = 115 lps

Q = Qo x ηv = 115 lps x 0.98 = 113 lps

d) Wo

mec = Wo

/ ηB = γ Q HB / (ηh ηv ηm)

c) Qo = Cr2 S2 B2

Cr2 = tan β2 (U2 - Cθ2 )

U2 = π D2 N / 60

U2 = 3.1416x0.3x1750/60

U2 = 27.49 m/s



Wo

mec = 9810 New/m3 x 0.113 m3/s x 30 m / (0.8 x 0.98 x 0.95)

Wo

mec = 44.65 KW

e) C2 = (Cr22 + Cθ2

2)1/2

C2 = (8.1462 + 13.382)1/2

C2 = 15.67 m/s

( ) sm 3.6 =

4

2m 2.5/1008 s

m3-10113 =

dAQ = dV

2

3

×π

×

(C2 - Vd ) / C2 = 77 %

3.5. Eficiencia Politrópica de Compresores y Turbinas Térmicas.

Esta eficiencia es una abstracción matemática donde se supone que la compresión

o expansión ocurre en una serie de pasos infinitesimales. Se define la eficiencia politrópica

o del escalonamiento infinitesimal como la eficiencia adiabática total-a-total de uno de

estos pasos. A diferencia de la eficiencia adiabática interna de la máquina, la eficiencia

politrópica es independiente de la relación de presiones entre la entrada y salida de la

máquina y por lo tanto, da una mejor idea de la perfección de su diseño. Se pueden

comparar dos máquinas que efectúan diferentes relaciones de presión a través de sus

eficiencias politrópicas. Estrictamente, la eficiencia de un escalonamiento finito nunca es

igual a la eficiencia de un escalonamiento infinitesimal; sin embargo, estas dos eficiencias

se aproximan cuando la máquina está conformada por muchos escalonamientos en serie.

3.5.1. Eficiencia Politrópica de Compresores. ηpc

La Fig. 3.8 compara la trayectoria real de la compresión con una serie de

compresiones infinitesimales ideales. La cantidad dhos en la Fig. 3.9 es la elevación de



entalpía total en el proceso isentrópico infinitesimal y dho es la elevación de entalpía total

en el proceso real infinitesimal.

Figura 3.8. Proceso de compresión mediante escalonamientos infinitesimales.

La eficiencia adiabática de la etapa infinitesimal es igual a la eficiencia politrópica, ηpc del compresor (todas las etapas infinitesimales tienen la misma eficiencia adiabática).

ηpc = h - hh - h0XS 01

0X 01 =

h - hh - h0YS 0X

0Y 0X = .........

h02 - h01 = (h0X - h01) + (h0Y - h0X) + .......

h02S - h01 ≠ (h0XS - h01) + (h0YS - h0X) + ........

(h0XS - h01) + (h0YS - h0X) + ........ = h02P - h01

h02P - h01 > h02S - h01 (por la divergencia de las líneas isóbaras)

ηpc = h - hh - h02P 01

02 01 (3.37)

ηic = h - hh - h02S 01

02 01 (3.38)

Por lo tanto, ηpc > ηic



Figura 3.9. Variación diferencial de estado en un proceso de compresión.

ηpc = dhdh

S0

0 (3.39)

T0 dS = dh0 - v0 dP0

si dS = 0, entonces dh0 = dh0S

dh0S = v0 dP0

Si el fluido es un gas perfecto,

dh0 = Cp dT0 ; P0 v0 = R T0 ; entonces v0 = RTP

0

0

ηpc = v0 dPC dT

0

P 0 =

R T0 0

0 P 0

dPP C dT

Cp = K R

K - 1

( )dT0

0

0

pc 0T =

R K - 1 dPR K Pη

= ( )

K - 1 dP K P

0

pc 0η



ln lnTT

= K - 1

K PP

02

01 PC

02

01η;

TT

PP

KK 02

01

02

01

1

= PC

−

η;

TT

PP

S

KK 02

01

02

01

1

=

−

ηic = TT

TTT

TTT

S

S

02 01

02 01

0102

01

0102

01

1

1

- T- T

= −

−

ηic =

PP

PP

KK

K

PC

02

01

1

02

01

1

1

1

−

−

−

−

η K

(3.40)

La ec. (3.40) se grafica en la Fig. 3.10 para K=1.4, donde se puede observar que ηpc siempre es mayor que ηic.



Figura 3.10. Relación entre el rendimiento adiabático interno y el rendimiento

politrópico para un compresor en función de la relación de compresión.

3.5.2. Eficiencia Politrópica de Turbinas. ηpt.

ηpt = dh

dh S

0

0 =

C dT

dPP 0

0v0 =

P C dT

dP0 P 0

0 0R T

(3.41)

( )dT0

0

pt 0

0T =

R K - 1 dP

R K P

η =

( )

K - 1 dP

K Ppt 0

0

η⇒

( )ln ln

T

T =

K - 1

K

P

P02

01

pt 02

01

η

( )

T

T

P

P

K

K 02

01

02

01

1

=

Pt

−

η

; T

T

P

PS

K

K 02

01

02

01

1

=

−

ηiT = T

T

TT

T

TT

TS S

01 02

01 02

0102

01

0102

01

1

1

- T

- T =

−

−

; ηiT =

( )

1

1

02

01

1

02

01

1

−

−

−

−

PP

PP

K

K

K

PTη

K

(3.42)

La ec. (3.42) se grafica en la Fig. 3.11 para K=1.4, donde se puede observar que ηpt siempre es menor que ηit.



Figura 3.11. Relación entre el rendimiento adiabático interno y el rendimiento

politrópico para una turbina en función de la relación de presiones.

3.6. Influencia del número de etapas sobre la eficiencia adiabática o

isentrópica de Compresores y Turbinas Térmicas.

3.6.1. Compresores.

ηcm = ( )

( )

( )( )

P

P

r

m K

K

cr

K

K

m

−

−

−

+ −

−

1

1

1

11

1 1η

(3.43)

Donde:

Pr = Relación de presiones totales de una etapa = P0 salida / P0 entrada

m = Número de etapas ηc = Eficiencia adiabática o isentrópica total-a-total de una etapa

ηcm = Eficiencia adiabática o isentrópica total-a-total de la máquina

Si m es elevado, ηcm tiende a ser igual a ηpc



3.6.2. Turbinas.

ηtm =

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

1 11

1

1

1

1

1

− −−

−

−

−

−

−

ηtr

K

K

r

K

K

m

r

m K

K

r

m K

K

P

P

P

P

(3.44)

Donde:

Pr = Relación de presiones totales de una etapa = P0 entrada /P0 salida

m = Número de etapas ηt = Eficiencia adiabática o isentrópica total-a-total de una etapa

ηtm = Eficiencia adiabática o isentrópica total-a-total de la máquina

Si m es elevado, ηtm tiende a ser igual a ηpt

3.7. Factor de Recalentamiento en Turbinas de Vapor.

En turbinas de vapor no se pueden usar las relaciones de gases perfectos, ya que

el vapor no se comporta como tal.

Para medir la ineficiencia de la expansión completa se usa el factor de recalentamiento, RH.

Ejemplo 3.5.

Un compresor consta de 16 escalonamientos diseñados para producir cada uno la

misma relación de presiones totales. La relación de compresión del compresor es 6.3.

Cada escalonamiento tiene una eficiencia total-a-total de 89.5%. La relación de calores

específicos es K=1.4. Calcular:

a) La eficiencia interna adiabática total-a-total del compresor

b) La eficiencia politrópica del compresor



m = 16 P02 / P01 = 6.3 ηC = 89.5% K = 1.4

a) ηCM = ηiC = ?

Prm = 6.3 ⇒ Pr = 6.31/16 = 1.122

(K - 1) / K = (1.4 - 1) / 1.4 = 0.286 ; m (K - 1) / K = 16 (1.4 - 1) / 1.4 = 4.571

Pr(K - 1) / K = 1.122 0.286 = 1.033 ; Pr

m(K - 1) / K = 1.122 4.571 = 1.692

ηCM = ( )1

116

.692 - 1

1 + 1.033 - 1

0.895

−

= 88.23%

b) ηPC = ?

0.8823 = 6 1

6 1

0.286.3

.3

0.286 −

−ηPC

6 16 1

0

0.286

.3.3

.8823ηPC −

− = = 0.785

0.286

⇒ 6

0.286

.3 ηPC = 1.785

(0.286/ ηPC ) ln 6.3 = ln 1.785 ⇒ 0.286/ ηPC = 0.315

ηPC = 90.83%

Ejemplo 3.6.

En una turbina de gas se produce una expansión de un gas (K = 1.35 y P.M. =

28.0Kg/Kg mol) desde una presión total de 0.6 MPa abs hasta una presión total de 0.1 MPa

abs. La temperatura total de entrada es de 1100 oK. Hay tres escalonamientos, cada uno

de los cuales tiene la misma relación de presiones totales y la misma eficiencia total-a-total.

La eficiencia interna total-a-total de la turbina es de 85.0%. Calcular:

a) La eficiencia total-a-total de cada escalonamiento

b) La eficiencia politrópica de la máquina

P.M. = 28.0 Kg/Kg mol K = 1.35 m = 3 ηtm = ηiT = 85%



P01 = 0.6 MPa abs P02 = 0.1 MPa abs T01 = 1100 oK

a) ηt = ?

P01 / P02 = 0.6/0.1 = 6 ⇒ Prm = 6 ⇒ Pr = 61/3 = 1.817

(K - 1) / K = (1.35 - 1) / 1.35 = 0.259 ; m (K - 1) / K = 3 x 0.259 = 0.778

Pr(K - 1) / K = 1.817 0.259 = 1.167 ; Pr

m(K - 1) / K = 1.817 0.778 = 1.591

ηtm = 1

3−

1 - 0.167

1.1670.591

1.591

tη

⇒ (0.591/1.591)0.85 = 1- 1 - 0.167

1.167tη

3

( )1 - 0.143 tη3 = 1- 0.316 ⇒ ( )1 - 0.143 tη = 0.881

ηt = 0.119 / 0.143 = 83.08 %

b) ηPT = ?

0.85 = 1

1

6

11

6

−

−

0.259

0.259

ptη

⇒ 0.316 = 11

6−

0.259 ptη

1

6

0.259 ptη

= 0.684 ⇒ (0.254 ηPT ) ln (1/6) = ln 0.684

0.254 ηPT = 0.212 ⇒ ηPT = 83.32 %

3.8. Eficiencias de Componentes de Turbomáquinas.

3.8.1. Eficiencia de la Tobera, ηN .

El flujo en toberas se acelera como resultado de la caída en presión estática.

Ejemplos:

- Ducto de entrada a toda turbomáquina

- Corona fija de álabes o estator en turbinas de varias etapas

- Corona de toberas a la entrada de turbinas



Aplicando la primera Ley de la Termodinámica entre la entrada y la salida de la

tobera se tiene:

h01 ± q1-2 ± w1-2 = h02 (3.46)

q1-2 = 0 w1-2 = 0

h01 = h02

h0 = h + J cg

C2

2 ; h1 +

J cg C

2

21 = h2 +

J cg C

2

22

h1 - h2 = J cg 2

1 (C22 - C1

2) (3.47)

h1 - h2S = J cg 2

1 (C2S2 - C1

2) (3.48)



Figura 3.13. Diagrama h-s del proceso de expansión en una tobera.

h01 = h02 por ser un flujo adiabático y sin intercambio de trabajo

P02 < P01 por las pérdidas de presión debido a irreversibilidades

P1 > P2 función de la tobera

C1 < C2 función de la tobera

ηN = h1 - h

h - h2

1 2S =

C

C S

22

22

- C

- C1

2

12 (3.49)

T dS = dh - vdP ; dS = 0 ⇒ dhs = vdP

Si el fluido es incompresible ⇒ ρ = 1/ v = constante

h1 - h2S = P1 - P2

ρ P0 = P +

ρ C2

2

h1 - h2 = 1/2 (C22 - C1

2) (3.50)

C2

2 =

P0 - P

ρ

C -22

12

2

C =

P02 - P2

ρ -

P01 - P1

ρ



C -22

12

2

C =

P02 - P01

ρ +

P1 - P2

ρ (3.51)

ηN =

P P

P

02 1

1

- P +

- P

- P

01 2

2

ρ ρ

ρ

(3.52)

Por lo tanto, para flujo incompresible se tiene:

ηN = 1 - P

P01

1

- P

- P02

2 (3.53)

3.8.2. Eficiencia del Difusor, ηD .

La presión estática aumenta en difusores como resultado de la deceleración del

flujo.

Ejemplos :

- Ducto de descarga en turbinas industriales y de producción de electricidad

- Coronas fijas de alabes en compresores axiales de varias etapas

- Difusores a la salida del rotor en compresores centrífugos.

Aplicando la primera Ley de la Termodinámica entre la entrada y la salida del

difusor se tiene:

h01 ± q1-2 ± w1-2 = h02 (3.54)

q1-2 = 0 ; w1-2 = 0

h01 = h02



h2 - h1 = 1

2 g Jc (C1

2 - C22) (3.55)

Figura 3.14. Diagrama h-s del proceso en el difusor.

h01 = h02 por ser un flujo adiabático y sin intercambio de trabajo

P02 < P01 por las pérdidas de presión debido a irreversibilidades

P2 > P1 función del difusor

C2 < C1 función del difusor

h2S - h1 = 1

2 g Jc (C1

2 - C2S2) (3.56)

ηD = h S2 - hh - h

1

2 1 =

CC

12

12 - C - C

2S2

22 (3.57)

T dS = dh - vdP ; dS = 0 ⇒ dhs = vdP

Si el fluido es incompresible ⇒ ρ = 1/ v = constante

h2S - h1 = P2 1 - P

ρ P0 = P +

ρ C2

2



h2 - h1 = 1/2 (C12- C2

2) (3.58)

ηD = ( )

( )2 2

12

- P

- C

1

22

P

Cρ (3.59)

C -12

22

2

C =

P01 - P1

ρ -

P02 - P2

ρ

C -12

22

2

C =

P01 - P02

ρ +

P2 - P1

ρ (3.60)

ηD =

P

P P

2

01 2

- P

- P +

- P

1

02 1

ρ

ρ ρ

(3.61)

Por lo tanto, para flujo incompresible se tiene:

ηD = 1

1 01

2+

P

P

- P

- P02

1

(3.62)

La ecuación (3.62) para la eficiencia del difusor expresa que para un máximo rendimiento, la pérdida de presión total debe ser mínima para un aumento dado de presión estática.

3.9. Geometría óptima de difusores planos y cónicos.

La difusión o deceleración del fluido es una característica esencial de la mayoría

de las turbomáquinas y tiene como objetivo la conversión eficiente de la energía cinética a

energía de presión. La dificultad proviene del hecho de que la capa límite es propensa a

desprenderse si la relación de difusión es demasiado rápida, ocasionando grandes

pérdidas de presión total. Por otro lado, si la relación de difusión es muy baja el fluido está

expuesto al contacto con las paredes sólidas durante un tramo excesivamente largo y las

pérdidas de presión total por fricción llegan a ser predominantes. Para efectos de diseño,

tiene que existir, evidentemente, una relación de difusión óptima para la cual los dos

efectos quedan minimizados.



Figura 3.15. Geometrías de difusores subsónicos y relaciones de áreas.

El problema que se plantea más frecuentemente es la necesidad de una

recuperación máxima de presión en la dirección del flujo para una longitud determinada de difusor, independientemente de la relación de área Ar = A2/A1. Esta condición conduce a

una geometría de difusor diferente a la necesaria para máximo rendimiento y se puede

demostrar por medio de las consideraciones siguientes:

Para un flujo incompresible a través de un difusor, la ecuación de la energía se

puede escribir.

P P12

22

2 2ρ ρ ρ +

C = +

C +

P1 2 0∆ (3.63)

donde la pérdida de presión total ∆P0 es igual a (P01 - P02).

Se puede definir un coeficiente de aumento de presión como:

Cp = P2 - P

q1

1 (3.64)

donde :

q1 = ½ ρ C12 (3.65)

De la ecuación (3.63) se puede obtener el coeficiente ideal de aumento de presión haciendo ∆P0 = 0:



Cpi = 1 - C

C2

2

12

(3.66)

De este modo, la ecuación (3.63) se puede escribir como:

Cp= Cpi - ∆ P

q0

1 (3.67)

La ecuación del rendimiento del difusor resulta en:

ηD = C

Cp

pi (3.68)

y

Ln ηD = Ln Cp - Ln Cpi (3.69)

Derivando la ecuación (3.69) con respecto al ángulo de difusión θ y haciendo el

resultado igual a cero, se obtiene la condición para máximo rendimiento:

1 1

C Cp pi

C

=

C

p pi∂

∂ θ

∂

∂ θ (3.70)

Desde luego, Cp no puede ser máximo cuando ηD tiene su máximo valor.

Sustituyendo la ecuación (3.67) en la ec. (3.70) se obtiene:

∂

∂ θ

∂

∂ θ

C

=

P

qp 0

1

∆ (3.71)

A medida que el ángulo del difusor aumenta más allá de la divergencia que da

máximo rendimiento, la elevación real de presión continuará creciendo hasta que las

pérdidas adicionales de presión total equilibren la ganancia teórica de recuperación de

presión producida por el aumento de la relación de áreas.

La Fig. 3.16 muestra un gráfico típico de diseño para difusores de paredes rectas,

en el cual aparecen las líneas de rendimiento óptimo (γ - γ) y de recuperación óptima (α-α)

para L/W1 constante. La línea (α-α) indica aproximadamente el ángulo de divergencia 2θ,



para cada valor de L/W1, por encima del cual ocurre un gran desprendimiento de la capa

límite y el flujo se torna inestable.

Figura 3.16. Curvas típicas para diseño de difusores de paredes rectas.

Ejemplo 3.7.

En el difusor de agua que se esquematiza, la presión total de entrada es 121.2

KPA abs y la velocidad de entrada es 5 m/S. Calcular:

con L/W1 = 30/2 = 15 y α-α se lee en la Fig. 3.16 Cp ≅ 0.83.

a) La presión estática de entrada.

P01 = P1 + ½ ρ C12 ⇒ P1 = P01 - ½ ρ C1

2

P1 = 121.2 KPA - ½ (1000/1000) 52

P1 = 121.2 - 12.5 = 108.7 KPA abs

b) Presión estática máxima obtenible en 2.



Cp = P2 - P

q1

1 q1 = ½ ρ C1

2

Cp = P2

2

2

- P + 1/ 2 C

1/ 2 C01 1

1

ρ

ρ =

P22 1

- P

1/ 2 C01

1ρ+

P2 = (Cp-1) ½ ρ C12+P01 = (0.83-1) ½ (1000/1000) Kg/m3 52m2/s2 + 121.2 KPA

P2 = 121.2 KPA - 2.125 KPA = 119.08 KPA abs

c) Relación de áreas. En la Fig. 3.16 AR ≅ 3.4.

d) Angulo de divergencia. En la Fig. 3.16 (2θ) ≅ 9o ; (θ) ≅ 4.5o

e) Eficiencia del difusor. En la Fig. 3.16 ηD ≅ 0.89.

f) Velocidad de salida.

ηD = ( )

( )2 2

12

- P

- C

1

22

P

Cρ

C22= C1

2 - ( )2 2 - P

1

D

P

ρ η = 52m2/s2 -

( )2 119.08

1000 0

2

3

- 108.7 1000 Kgmx m

sKgm

.89

2m

m

C22= 25 m2/s2 - 23.33 m2/s2 = 1.67 m2/s2

C2 = 1.29 m / s

g) Pérdidas de presión total.

∆ P0 = (Cpi - Cp) q1

Cpi = 1 - C

C2

2

12

= 1 -

129

5

2

2.

= 0.933

∆ P0 = (0.933 - 0.83) ½ (1000/1000) Kg/m3 52m2/s2

∆ P0 = 1.29 KPA abs.



3.10. Problemas.

1) Un compresor axial consta de 16 etapas diseñadas cada una para producir la

misma relación de presiones totales. La relación de compresión del compresor es de 6.3 y

cada etapa tiene una eficiencia adiabática total-a-total de 89.5%. Calcular.

a) La eficiencia isentrópica total-a-total de la máquina.

b) La eficiencia politrópica de la máquina.

c) Recalcular (a) y (b) para 9 etapas.

2) Un compresor toma aire atmosférico a 101 KPA y 20°C. La velocidad del aire a la

entrada del rotor es de 134 m/s. Si la presión estática a la descarga es 395 KPA abs, la

temperatura estática es 196°C y la velocidad del aire es 113 m/s, calcular:

a) La eficiencia adiabática de la máquina basada en valores estáticos.

b) La eficiencia adiabática de la máquina basada en valores totales.

c) La eficiencia politrópica de la máquina.

No existen perdidas en el ducto de entrada hasta el rotor.

3) Un compresor A tiene una relación de presiones totales de 4, una eficiencia

adiabática basada en condiciones totales de 86% y una velocidad de salida de 134 m/s. El

compresor B tiene una presión estática a la salida de 606 KPA abs, una temperatura

estática de 245°C y una velocidad de 100 m/s. Cual compresor es mas eficiente?. Que

presión mediría un manómetro colocado en el ducto de descarga de ambos compresores?.

Las condiciones ambientales son 101 KPA y 20°C.

4) En una turbina de vapor las condiciones totales en la entrada son de 10 MPA abs

y 800°K. Las condiciones estáticas en la salida son de 2 MPA abs y 600°K. La velocidad

media en la salida es de 30 m/s. Suponiendo que el vapor se comporta como un gas

perfecto de peso molecular 18 Kg/Kgol y K = 1.33 Calcular:

a) La eficiencia isentrópica total-a-total.

b) La eficiencia isentrópica total-a-estática.

c) La eficiencia politrópica.

d) El factor de recalentamiento.

5) En una turbina de vapor las condiciones totales en la entrada son de 10 MPA abs

y 800°K. Las condiciones estáticas en la salida son de 2 MPA abs y 600°K. Hay tres

escalonamientos, cada uno de los cuales produce el mismo trabajo específico. Usando un

diagrama de Mollier para vapor, determinar la eficiencia isentrópica total-a-total de cada

escalonamiento y su factor de recalentamiento. Suponga que la trayectoria de los estados

reales sobre este diagrama es una línea recta uniendo las condiciones terminales.



Capítulo 4

4.1. Introducción.

4.2. Aspectos comunes a Turbomáquinas Generadoras Radiales.

4.2.1. Rotalpía, I.

4.2.2. Deslizamiento, ∆Cθ, y factor de deslizamiento, µ .

4.2.3. Espesor de los alabes, e.

4.2.4. Grado de reacción, Gr.

4.2.5. Coeficientes adimensionales de flujo, φ, y de carga, ψ.

4.3. Diseño de Bombas Centrífugas.

4.3.1. Triángulo de velocidad de descarga.

4.3.2. Entrada al impulsor.

4.3.3. Trazado de los álabes del impulsor.

4.3.4. Diseño de la voluta.

4.3.5. Eficiencia hidráulica.

4.3.6. Eficiencia volumétrica.

4.3.7. Pérdidas mecánicas.

4.3.8. Pérdidas por fricción de disco.

4.3.9. Eficiencia total.

4.4. Ventiladores Centrífugos

4.4.1. Incremento de presión en los ventiladores

4.4.2. Curvas características de los ventiladores

4.5. Compresores Centrífugos

4.5.1. Ecuaciones básicas

4.5.2. Diseño del impulsor

4.5.3. Velocidad especifica ns y relación de difusión DR

4.5.4. Predicción de comportamiento del impulsor



4.1. Introducción.

Se aplica la teoría desarrollada en los Capítulos anteriores al análisis y diseño de

las Turbomáquinas Generadoras Radiales o Centrífugas: bombas, ventiladores y

compresores. Se estudian inicialmente aspectos importantes comunes: rotalpía,

deslizamiento, espesor de los alabes y grado de reacción. Posteriormente se trata cada

tipo de máquina separadamente.

4.2. Aspectos comunes a Turbomáquinas Generadoras Radiales.

4.2.1. Rotalpía, I. El trabajo específico ejecutado sobre el fluido por el rotor es

igual al incremento de entalpía total a través de la máquina y se expresa también por la

ecuación de Euler para Turbomáquinas Generadoras Radiales (ec. 1.99) como:

( )ω θ θ1-2 2 2 1 1= U C - U C = h02 - h01 (4.1)

La entalpía total se escribe en el Sistema Internacional de unidades como:

h0 = h + C2

2, entonces:

h1 + C1

2

2 - U C 1 1θ = h2 +

C22

2 - U C 2 2θ = I (4.2)

La función I se denomina Rotalpía y tiene el mismo valor a la entrada y salida del

impulsor y también es constante para el flujo relativo en cualquier punto dentro del

impulsor. Esta es una propiedad fundamental del flujo relativo cuando existe un cambio de

radio en el impulsor y se escribe en forma general como:

I = h + C2

2 - U C θ (4.3)

La Fig. 4.1 señala la rotalpía en un proceso de compresión incluyendo el ducto de

entrada (0-1), el impulsor (1-2) y el difusor (2-3).

La velocidad absoluta C tiene en general tres componentes: Cr, Cθ, Cz en las

direcciones radial, tangencial y axial respectivamente. Entonces:



Figura 4.1. Diagrama de Mollier para una etapa completa de compresor centrífugo.

C2 = Cr2 + Cθ

2 + Cz2

La ec. (4.3) puede escribirse como:

I = h + C C C UCr z

2 2 2 2

2

+ + −θ θ (4.4)

Sumando y restando ½ U2 resulta:

I = h + ( )U C C C Ur z− + + −θ

2 2 2 2

2 (4.5)



En base al triángulo de velocidades para Turbomáquinas generadoras radiales,

Fig. 1.16, se tiene que (U - Cθ = Wθ) y conjuntamente con W2 = Cr2 + Wθ

2 + Cz2 se puede

escribir la ec. (4.5) como:

I = h + W U2 2

2

− (4.6)

La entalpía total relativa se escribe en el S. I. como h0rel = h + 2

W2; entonces:

I = horel - ½ U2 (4.7)

Escribiendo la ec. (4.6) entre la entrada y salida del impulsor resulta:

h2 - h1 = ½ (U22 - U1

2) + ½ (W12 - W2

2) (4.8)

Esta expresión explica el gran incremento de entalpía estática (y presión estática)

que ocurre en un impulsor centrífugo comparado con uno axial. El término ½ (W12 - W2

2) es

la contribución por difusión de la velocidad relativa y existe también en un impulsor axial. El

término ½ (U22 - U1

2) es la contribución por la acción centrífuga y es nula en impulsores

axiales debido a que las líneas de corriente permanecen aproximadamente paralelas al eje

antes y después del impulsor.

En bombas, ventiladores y compresores centrífugos se acostumbra diseñar para

máxima transferencia de energía en el impulsor; es decir, Cθ1 = 0. La ec. (4.1) es entonces:

222-1 C U= θω = h02 - h01 (4.9)

en el caso de compresores y

Hr = 1/g (U2 Cθ2) (4.10)

en el caso de bombas y ventiladores. La altura intercambiada por el rotor, Hr, se denomina

también altura ideal, Hi, ya que sería igual al incremento total de altura que experimentaría

el fluido a través de la máquina si no existieran pérdidas internas por fricción hidráulica.

En algunos casos puede ser necesario impartir “prerotación” (Cθ1 ≠ 0) al flujo

entrando al impulsor para reducir una velocidad relativa elevada, que podría causar

problemas con el número de Mach en compresores y efectos de cavitación en bombas. El



método usado normalmente para establecer “pre rotación” en el sentido de rotación de la

máquina, requiere la instalación de una fila de alabes guías estacionarios a la entrada del

rotor (ver Ejemplo 1.11).

4.2.2. Deslizamiento, ∆Cθ, y factor de deslizamiento, µ . Aun en flujo sin

viscosidad y sin fricción, el ángulo de salida del fluido, β2, es en general diferente del

ángulo del alabe, β2’, debido al deslizamiento del fluido que se manifiesta como una

reducción de Cθ2 en la ecuación de Euler de las Turbomáquinas. A continuación se estudia

una de las posibles explicaciones que se han dado de este fenómeno.

La Fig. 4.2 muestra la distribución de presión en los canales del impulsor debido a la

rotación de los alabes. Sobre el lado de ataque de los alabes existe una región de alta

presión, mientras que sobre el lado posterior existe una región de baja presión y por lo

tanto, la presión cambia de un lado a otro en los canales del impulsor. La velocidad del

fluido responde a esta distribución de presión, de tal forma que sobre el lado de baja

presión la velocidad aumenta y sobre el lado de alta presión la velocidad disminuye,

resultando en una distribución no uniforme de velocidades en cualquier radio del impulsor.

La dirección media del flujo saliendo del impulsor es entonces β2 y no β2’ como se supone

en la situación de deslizamiento nulo o conducción perfecta del fluido.

Figura 4.2. Ilustración del fenómeno de deslizamiento.



En el triángulo de velocidades de la Fig. 4.2 se observa que Cθ2‘ se reduce a Cθ2 en

una cantidad ∆Cθ definida como deslizamiento. El factor de deslizamiento a su vez se

define como:

'CC

=2

2

θ

θµ = 1 - 'C

C

2θ

θ∆ (4.11)

El verdadero ángulo de flujo β2 es menor que el ángulo del alabe β2’ porque la

componente radial C2r es igual en ambos triángulos, ya que esta componente depende

solamente de la relación entre el gasto volumétrico y el área disponible para el flujo.

Se han realizado numerosos intentos para correlacionar el factor de deslizamiento

con los parámetros de diseño del rotor. Las correlaciones publicadas más sencillas y

prácticas son:

Stodola:

µ = 1 - ( ) ' cot/UC - 1

' sen Z

222m

2

β

βπ

(4.12)

Stanitz:

µ = 1 - ( ) ' cot/UC - 1Z

63.0

222m β

π

(4.13)

En ambas fórmulas, Z es el número de alabes y se puede observar que el factor de

deslizamiento se acerca a 1 cuando el número de alabes tiende a infinito. Se recomienda

la fórmula de Stodola cuando el ángulo del alabe, β2’, está en el intervalo de 20o a 30o. La

fórmula de Stanitz da buenos resultados en compresores cuando el ángulo es igual a 90o.

Para este caso se puede escribir la ec. (4.13) como:

µ = 1 - Z63.0 π

(4.14)

Incluyendo el factor de deslizamiento en el trabajo específico intercambiado con el

impulsor, ec. (4.9), se obtiene:



ω1-2 = ωC = U2 Cθ2 = U2 (U2 - Cr2 cot β2) (4.15)

ωC = µ U2 Cθ2‘ = µ U2 (U2 - Cr2 cot β2’) (4.16)

HrB,V = HiB,V = gU 2µ (U2 - Cr2 cot β2’) (4.17)

Ejemplo 4.1.

El impulsor de una bomba centrífuga tiene álabes inclinados hacia atrás, formando

un ángulo de 30º con la tangente al círculo de salida. El ancho de los álabes a la salida es

de 20 mm y el diámetro externo del impulsor es de 250 mm rotando a 1750 rpm. El caudal

a través de la bomba es de 28 lps y el número de álabes es 8. Determinar la altura teórica

desarrollada por el impulsor bajo condiciones de máxima transferencia de energía y la

altura de bombeo si la eficiencia hidráulica se estima en 86%. Determinar además la

eficiencia total y la potencia mecánica para una eficiencia mecánica de 95% y una

eficiencia volumétrica de 100%.

U2 = π D2 N/60 = π 0.25 m 1750/60 s = 22.91 m/s

Q2 = π D2 B2 C2m ⇒ C2m = Q2 / (π D2 B2 ) = 0.028 m3/s / (π 0.25 m 0.02 m)

C2m = 1.78 m/s

µ = 1 - ( ) ' cot/UC - 1

' sen Z

222m

2

β

βπ

= 1 - ( ) 03 cot1.78/22.91 - 1

30 sen 8π

= 1 – 0.227 = 0.773

HrB = HiB = gU 2µ (U2 - Cr2 cot β2’) = 2m/s 9.81

m/s 22.91 x 773.0 (22.91 – 1.78 cot 30) m/s

HrB = HiB = 35.79 m

HB = HrB x ηh = 35.79 m x 0.86 = 30.78 m

oW h = γ Q HB = 9810 New/ m3 x 0.028 m3/s x 30.78 m = 8.45 Kw

ηt = ηh x ηv x ηm = 0.86 x 0.95 x 1 = 0.817

oW m =

oW h / ηt = 8.45 Kw / 0.817 = 10.35 Kw



4.2.3. Espesor de los alabes, e. Como ya se explicó en el Capítulo 3, el flujo

másico de entrada es igual al de salida de la máquina si se desprecian las pequeñas fugas

al exterior de la máquina. Sin embargo, el flujo másico que pasa por el impulsor, mo

o, tiene

que ser la suma del flujo másico de la máquina mo

más el flujo másico de recirculación mo

f

mo

o = mo

+ mo

f (4.18)

Para calcular la componente meridional de la velocidad a la salida del impulsor, se

debe usar el flujo másico que cruza el impulsor:

C2m = mo

o / (ρ2 A2) (4.19)

El área de salida del impulsor A2 se calcula mediante la fórmula:

A2 = 2 π r2 B2 (1 - e2) (4.20)

donde e2 es la fracción del área cubierta por los extremos de los alabes y que no está

disponible para pasar flujo. El factor (1 - e2) es la fracción descubierta del área de flujo.

El triángulo de velocidades a la salida del impulsor se ve afectado entonces por dos

fenómenos: el deslizamiento y el espesor de los alabes. La Fig. 4.3 ilustra estos efectos.

Figura 4.3. Efectos del deslizamiento y espesor de alabes a la salida del impulsor.



Figura 3.12. Proceso de expansión a través de una turbina adiabática.

RH = [(h01 - h0XS) + (h0X - h0YS) + ......] / (h01 - h02S)

RH = Σ ∆h0S / (h01 - h02S)

Σ ∆h0S > (h01 - h02S) debido a la divergencia de las líneas isobaras.

Por lo tanto, RH > 1 ; 1.03 ≥ RH ≥ 1.0

ηiT = h

h

h

h

h

hS S

S

S

01 02

01 02

01 02

0

0

01 02

- h

- h =

- h

- h∆

∆

∑

∑

ηiT = ηPT RH (3.45)

Para calcular la componente meridional de la velocidad a la entrada del impulsor

también se debe usar el flujo másico que cruza el impulsor:

C1m = mo

o / (ρ1 A1) (4.21)

El área de entrada del impulsor A1 se calcula mediante la fórmula:

A1 = 2 π r1 B1 (1 - e1) (4.22)



donde e1 es la fracción del área de entrada cubierta por el espesor de los alabes y no

disponible para pasar flujo. Entonces, el factor (1 - e1) es la fracción descubierta del área

de flujo. La Fig. 4.4 ilustra este efecto.

Figura 4.4. Efecto del espesor de alabes a la entrada del impulsor.

4.2.4. Grado de Reacción, Gr. El trabajo específico intercambiado en el rotor es la

suma del cambio de entalpía estática y energía cinética del fluido:

( )2

C - C h - h h - h 2

12

212010221 +==ω − (4.23)

Se define el grado de reacción como la fracción del trabajo específico debida al cambio de entalpía

estática:

( ) h - h Gr2-1

12ω

= (4.24)

De la ec. (4.8) se deduce que:



( ) ( )( ) ( ) ( )2

12

22

12

22

12

2

21

22

21

22

WW-CC UU WW- UU Gr−−+−

−−=

(4.25)

Para turbomáquinas generadoras hidráulicas se usa a menudo una definición

alternativa del grado de reacción:

( )21

12 /P - P Gr−ω

ρ= (4.26)

Las definiciones dadas por las ecs. (4.24) y (4.26) coinciden para flujo

isentrópico ya que:

ρ=ρ+= ∫∫ /)P - (P dP/ ds T h - h 122

1

2

112 (4.27)

Sin embargo, ambas definiciones dan resultados diferentes si el flujo no es

isentrópico.

Un grado de reacción entre 0.5 y 1.0 implica que mas de la mitad de la energía

transferida por el rotor se manifiesta como un aumento de la energía de

compresión y efectos térmicos de fricción y menos de la mitad como un

aumento de la energía cinética del fluido. Un grado de reacción entre 0 y 0.5

implica que mas de la mitad de la energía se transfiere en forma de energía

cinética. Teóricamente es posible un grado de reacción mayor que 1.0, lo cual

implica que hay una reducción de la energía cinética cuando el fluido pasa por

el rotor. Teóricamente se lograría un grado de reacción negativo con un

aumento de la energía cinética y una reducción de la energía de compresión.



4.2.5. Coeficientes adimensionales de flujo, φ, y de carga, ψ. Se introducen los

coeficientes adimensionales de flujo:

11m U/ C 1 =φ 22m U/ C = 2φ (4.28)

y el coeficiente adimensional de carga:

22i

B2

2

rotor

UgH

U

η=

ω=ψ (4.29)

Cuando el gasto de fugas o

m f es despreciable, se puede reemplazar el trabajo

específico del rotor por el trabajo específico de la máquina en la ec. (4.29).

Ejemplo 4.2

Se especifican los siguientes datos para una bomba de flujo radial para agua:

Caudal de agua 0.1 m3/s

Velocidad de rotación 1125 rpm

Número de álabes 6

Coeficiente de flujo a la salida 0.1

Diámetro exterior del impulsor 46 cm

Diámetro del ojo del impulsor 18 cm

Angulo de los álabes a la salida 25º

Fracción del área de salida cubierta por álabes 0.05

Fracción del área de entrada cubierta por álabes 0.10

Velocidad meridional constante a través del rotor

Entrada radial del líquido al impulsor

Pérdidas hidráulicas en la embocadura y el rotor 10% de Hi

Eficiencia de difusión 50%

Eficiencia volumétrica 98%

Eficiencia mecánica 97%

Diámetro de descarga difusor bomba 15 cm

Calcular:

a) Espesor del impulsor a la entrada y salida.

b) Angulo de los álabes en la entrada.



c) La altura teórica.

d) Altura real de bombeo.

e) Eficiencia hidráulica.

f) Eficiencia interna.

g) Potencia mecánica requerida.

h) Grado de reacción.

a) U2 = π D2 N / 60 = π 0.46 x 1125 / 60 = 27.10 m/s

C2m = φ2 U2 = 0.1 x 27.10 m/s = 2.71 m/s

Qo = π D2 B2 (1 - e2) C2mi ; Q = π D2 B2 C2m ; Q = ηv Qo

( )2m

2mi2

v CC e - 1 1

=η

⇒ ( )2v

2m2mi e - 1

C Cη

= = ( )0.05 - 1 .9802.71

= 2.91 m/s

B2 = ( ) mi222 v C e - 1 D Q

πη = ( ) .912 0.05 - 1 0.46 x x 98.0

1.0π

= 2.55 cm

B2 = m22 C D

Qπ

= .712 x 0.46 x

1.0π

= 2.55 cm

b) Qo = π D1 B1 (1 – e1) C1mi ; Q = π D1 B1 C1m ; Q = ηv Qo

C1m = C2m = 2.71 m/s ⇒ C1mi = C1m / ηv (1 – e1) = 2.71 / 0.98 (1 – 0.1)

C1mi = 3.07 m/s

B1 = ( ) mi111 v C e - 1 D Q

πη = ( )3.07 0.10 - 1 0.18 x x .

.π980

10 = 6.53 cm

B1 = m11 C D

Qπ

= .71 x 0.18 x

.2

10π

= 6.53 cm

U1 = π D1 N / 60 = π 0.18 x 1125 / 60 = 10.60 m/s

tan β1’ = C1mi / U1 = 3.07 / 10.60 ⇒ β1’ = 16.15º

tan β1 = C1m / U1 = 2.71 / 10.60 ⇒ β1 = 14.34º



c) µ = 1 - ( ) ' cot/UC - 1

' sen Z

222m

2

β

βπ

= 1 - ( ) 52 cot2.71/27.10 - 1

25 sen 6π

= 1 – 0.282 = 0.718

HrB = HiB =gU 2µ (U2 – C2mi cot β2’) = 2m/s 9.81

m/s 27.10 x 718.0 (27.10 – 2.91 cot 25) m/s

HrB = HiB = 41.37 m

d) hfr = 0.1 x 41.37 m = 4.137 m

hfd = γ

0sded0 P - P

ηD = ( )( ) Csd - Ced

P - P g222

edsd

γ

( ) ( ) Csd - Ced 2g

P - P 22 Dedsd

γη=

C2 = Ced

tan β2’ = C2mi / (U2 – Cθ2’) ; 'CC

=2

2

θ

θµ

Cθ2 =

β

µ'2 tan

2miC - U 2 =

5 tan

2.91 - 7.10 .2

27180 = 14.98 m/s

C2 = 22

22m C C θ+ = 21271 4.98 .2 + = 15.22 m/s

Csd = 4Q / (π x d2) = 4 x 0.1 m3/s / (π x 0.152 m2) = 5.66 m/s

( )2

22522215981050

s

m .66 - . 2m/s 2x9.81

3New/m x. edP - sdP

= = 49.9 Kpa

( ) ( )edsdD

0sded0 P - P 1 - 1 P - P

η

= = Kpa 49.9 1 - .

50

1 = 49.9 Kpa

hfd = 39810

949

m/New

2New/m 1000 x . = 5.09 m

HB = HiB - hf int = HiB - hfr - hfd = 41.37 - 4.137 – 5.09 = 32.14 m



e) ηh = HB / HiB = 32.14 / 41.37 = 77.70%

f) ηi = ηh ηv = 0.777 x 0.98 = 76.14%

g)

ηη

γ=

mi

Bo

H Q mec W =

.97 x 7614.m 2.14 x s/3m 0.1 x 3New/m 810 39

mec W o

= 42.69 Kw

4.3. Diseño de Bombas Centrífugas.

Se estudia el procedimiento Americano presentado por Walter K. Jekat, en el

manual Pump Handbook de la Mc Graw Hill, para escoger los parámetros de diseño que

especifican los triángulos de velocidades del rotor en conexión con las Figs. 4.5, 4.6 y 4.7.

Figura 4.6. Impulsor con álabes Figura 4.7. Impulsor con álabes

extendidos hacia la entrada axial. cilíndricos.

4.3.1. Triángulo de velocidad de descarga. Los tres parámetros de diseño para

determinar el triángulo de descarga son (Cm2/U2), β’2 y Z. Los valores de (Cm2/U2) usados

normalmente se muestran en la Fig. 4.8 y es un parámetro que relaciona la velocidad

meridional (inmediatamente después de la descarga del rotor) con la velocidad tangencial

del rotor. El triángulo de velocidad se puede calcular si se especifica el ángulo de flujo β2,

adicionalmente al parámetro (Cm2/U2). El ángulo β2 se da a través del ángulo del alabe β2’



y el factor de deslizamiento µ. El rango de valores de β2’ usados normalmente se muestra

en la Fig. 4.9. El valor de µ se obtiene a través del número de álabes, Z, el cual está

normalmente entre 4 y 8 para Ns hasta 4000 (Ns=[rpm][gpm]½/[ft]3/4). Existen fórmulas

empíricas para la selección de Z tales como la de Pfleiderer:

β+β−+

=2

21 sen 1d 2d1d 2d k Z (4.30)

El coeficiente k tiene un valor medio aproximado de 6.5 y suele oscilar entre 3 y 10

o valores incluso más elevados.

Puede decirse que el número de álabes en las bombas radiales varía desde un

mínimo de 4-6 para velocidades específicas muy bajas, hasta un máximo de 12 para

velocidades específicas muy altas.

Figura 4.8. Cm2/U2 vs Ns. Figura 4.9. β 2’ vs Ns.

Los valores graficados en las Figs. 4.8 y 4.9 se derivan de gran cantidad de

bombas diseñadas con eficiencias aceptables por Ingenieros de diferentes fabricantes. Por

lo tanto, es de esperarse que resulte una banda de valores en lugar de una curva simple.

4.3.2. Entrada al impulsor. El diseño de la entrada al impulsor se basa en el

ángulo de flujo β1 tomado en el diámetro tope del ojo del impulsor (Ds en las Figs. 4.6 y

4.7). El ángulo de flujo β1 se selecciona entre 10° y 25° independientemente de la

velocidad específica Ns. Un valor usado frecuentemente es 17° con 5 a 7 álabes, lo cual

es un compromiso entre eficiencia y cavitación, resultando en un valor normal de velocidad

específica de succión alrededor de 9000 (S=NQ½/NPSHr3/4 con N[rpm], Q[gpm],



NPSHr[ft]). El ángulo β1 debe ser mayor si se desea mayor eficiencia y menor si se desea

una NPSHr baja.

Muchas bombas comerciales tienen valores de S más bajos entre 5000 y 7000.

Por otro lado, las bombas de alimentación de calderas y de condensado requieren valores

bajos de NPSHr o valores altos de S entre 12000 y 18000. Para lograr estos elevados

valores de S se reduce el ángulo de flujo a 10° y el número de álabes a 4.

El diámetro Ds se calcula por la ecuación de conservación de masa resultando en:

3/1

1 tan N kQ 4.54 Ds

β

= (4.31)

con k = 1 – (DH/Ds)2 y Q[gpm], N[rpm] y Ds[pulg].

Cuando los álabes se extienden hacia la porción axial de la entrada (Fig. 4.6), el

ángulo β1 varía a lo largo de la arista de entrada del álabe en la siguiente forma:

tan β1(r) = tan β1 r1/r (4.32)

Cuando la arista de entrada del álabe es paralela al eje (Fig. 4.7), el ángulo de flujo

β1 y por lo tanto el ángulo del álabe β1’ permanecen constantes.

El ángulo del álabe β1‘ debe ser mayor que el ángulo de flujo β1 para compensar

por el espesor de los álabes, por lo tanto:

(r))' sen r 2 / s (Z - 1(r) tan (r)' tan

11

11 βπ

β=β (4.33)

Esta ecuación se usa en álabes extendidos axialmente (Fig. 4.6) y en álabes con

arista de entrada paralela al eje (Fig. 4.7), donde r = r1.

El ancho B1 se calcula, en álabes con arista de entrada paralela al eje, suponiendo

una velocidad meridional constante e igual en la sección axial y radial del conducto de

entrada, resultando en:

DDs Ds

4k B

11 = (4.34)

donde Ds/D1 se selecciona normalmente entre 0.8 y 1.0.



4.3.3. Trazado de los álabes del impulsor. El flujo entre dos álabes consecutivos

no está confinado completamente hasta que no alcanza la sección aI (Fig. 4.5). El ángulo

del álabe se debe mantener aproximadamente constante hasta esta sección o

incrementarse ligeramente para evitar separación de flujo. Desde la sección aI hasta la

sección aII el flujo está confinado. Las velocidades relativas en las dos secciones se

calculan con la ecuación de continuidad de la siguiente manera:

/144a ZQ/449 W

II =

/144a ZQ/449 W

IIII = (4.35)

donde W[pie/s], Q[gpm] y a[pulg2]. La relación entre las velocidades relativas

resulta en:

II

I

I

II

a a

WW

= (4.36)

La sección transversal del canal aumenta gradualmente desde aI hasta aII

resultando en una reducción o difusión de la velocidad relativa W, lo cual a su vez causa

un aumento en la presión estática. El incremento de la sección transversal debe ser

limitado para evitar separación de flujo y mantener una eficiencia hidráulica aceptable. Un

buen compromiso es mantener aII/aI entre 1.0 y 1.3.

La determinación de aI y aII es fácil si se usan álabes cilíndricos como los de la Fig.

4.7, ya que en este caso solo se requiere una sección meridional (Fig. 4.7) y una sección

transversal (Fig. 4.5). Por otra parte, la determinación de aI y aII es muy complicada si se

usan álabes extendidos hacia la dirección axial como los de la Fig. 4.6. Antes de proceder

al complicado trazado del álabe es necesario calcular, aproximadamente por lo menos, las

secciones transversales aI y aII para chequear la difusión de la velocidad relativa. Una

aproximación muy útil para álabes tipo Francis es:

AI = Z aI ≈ π r12 sen β1m‘ (4.37)

El ángulo medio de entrada del álabe β1m‘ está dado por la ec. (4.33) con el radio

medio de entrada:

2/12H

21

m1 2r r r

+= (4.38)

Si la cubierta delantera del impulsor está inclinada en la región de descarga, como

es típico de los álabes Francis, el área aII se puede aproximar con:

AII = Z aII ≈ B2 (2π r2 sen β2‘ - Z s2) (4.39)



Si la cubierta delantera del impulsor no está inclinada en la región de descarga, se

debe sustraer un 25% de la ec.(4.39).

El trazado del álabe depende de los ángulos seleccionados β1‘ y β2‘. Los rangos

recomendados para estos ángulos se superponen y por lo tanto, el ángulo de salida

puede, en algunos casos, ser igual al ángulo de entrada. Cuando esto ocurre, el álabe

toma la forma de una espiral logarítmica (Fig. 4.10) y sus coordenadas pueden calcularse

con:

Fig. 4.10. Espiral logarítmica.

4.3.4. Diseño de la voluta. Comienza por el cálculo del área de garganta Athr.

Figura 4.11. La voluta.

r = r1 e (π ϕ /180)tanβ’ (4.40)

Si β1‘ es diferente de β2‘, la ec.

(4.40) se puede usar todavía para el

trazado del álabe mediante una

variación escalonada del ángulo β‘.

Athr = 0.3208 Q/Cthr (4.41)

Cthr[pie/s], Q[gpm] y Athr[pulg2].

La velocidad promedio en la garganta Cthr

se determina con:

C rr

CC

42

2thr =θ

(4.42)



De acuerdo a la ley de conservación de cantidad de movimiento angular, C=1 para

flujo sin fricción en la voluta y también es una buena aproximación para volutas de bombas

grandes o volutas muy lisas internamente en bombas de tamaño mediano. Para volutas

fundidas normalmente en bombas de tamaño mediano y pequeñas, el valor de C=0.9 es

una aproximación razonable.

La distancia r4 desde el centro de la sección circular de garganta hasta el eje es:

r4 = r2 + t + rthr (4.43)

La holgura ‘t’ entre el impulsor y la lengua de la voluta debe ser lo más pequeña

posible para que resulte en una elevada eficiencia hidráulica de la máquina; sin embargo,

esta pequeña holgura produce pulsaciones de presión en el impulsor. Un valor razonable

para la holgura es entre 4 a 10% del radio del impulsor.

Para el cálculo de la sección transversal de la garganta Athr, se toma un valor de

Cthr de la Fig. 4.12 y se aplica la ec. (4.41). Seguidamente se usa la ec. (4.43) para

determinar el radio r4.

La ec. (4.42) se aplica ahora como un chequeo y de ser necesario se efectúa una

corrección a la sección de garganta.

Figura 4.12. Cthr / U2 vs Ns.

Las secciones intermedias de la

voluta se calculan según Stepanoff con:

Av = Athr (ϕv/360°) (4.44)

La voluta continúa con un tubo

difusor cónico que termina en la brida

de descarga. El ángulo de difusión se

puede tomar entre 6° y 10° ó se puede

diseñar según los lineamientos del

Capitulo 3.



4.3.5. Eficiencia hidráulica. Depende fuertemente del diseño y construcción de los

pasajes de flujo. Sin embargo, analizando las bombas construidas con eficiencias por

encima del promedio y graficando la eficiencia hidráulica (en el punto de diseño) en función

del caudal Q [gpm], se pueden ajustar los datos con:

( ) 0.25gpm

0.8 - 1 h =η (4.45)

Existen muchas bombas en servicio que muestran eficiencias hidráulicas 5 puntos

por debajo de la calculada con la ec. (4.45), debido a un pobre diseño de los pasajes de

flujo. También se han encontrado eficiencias 10 puntos por debajo especialmente para

caudales muy bajos.

4.3.6. Eficiencia volumétrica. Para calcular el caudal de fuga o recirculación se

deben conocer los detalles de diseño de la bomba. Sin embargo, se puede usar la ec.(4.46)

para predecir aproximadamente la eficiencia volumétrica en el punto de diseño.

( ) bgpm

a - 1 v =η (4.46)

Ns a b

500 1.0444 0.5047

1000 0.3714 0.3925

2000 0.0927 0.2418

5000 0.0305 0.1211

4.3.7. Pérdidas mecánicas. Para calcular las pérdidas mecánicas se deben

conocer los detalles de diseño de los rodamientos o cojinetes y los sellos de la bomba. Sin

embargo, se puede usar la ec.(4.47) para predecir aproximadamente la razón entre la

potencia mecánica perdida y la potencia hidráulica comunicada al fluido en el punto de

diseño.

( )

bgpm

a

realoW

pmecoW

= (4.47)

Ns a b

500 0.4913 0.4981

1000 0.1699 0.3828

2500 0.0441 0.2364

5000 0.0139 0.1109



4.3.8. Pérdidas por fricción de disco. Para calcular las pérdidas por fricción de

disco se deben conocer los detalles de diseño de la espalda del impulsor y la carcaza de la

bomba. Sin embargo, se puede usar la ec.(4.48) para predecir aproximadamente la razón

entre la potencia perdida por fricción de disco y la potencia hidráulica comunicada al fluido

en el punto de diseño, para 500 ≤ Ns ≤ 2000 aproximadamente.

( )

5/3Ns

7800

realoW

pfdoW

= (4.48)

Para Ns >2000, la fricción de disco es relativamente pequeña y se aproxima con:

0.02

realoW

pfdoW

= (4.49)

4.3.9. Eficiencia total. Aplicando la definición de eficiencia total y combinando las

ecuaciones (4.45), (4.46), (4.47) y (4.48), se obtiene en el punto de diseño:

realoW

pfdoW

realoW

pmecoW

v h

1

1

++ηη

=η (4.50)

La Fig. 4.13 es una recopilación de datos obtenidos en bombas diseñadas y

construidas por diferentes fabricantes y muestra la eficiencia total, η, en función de la

velocidad específica, Ns, y caudal bombeado, Q. Esta gráfica puede usarse para predecir

la eficiencia que podría esperarse en un nuevo diseño.



Figura 4.13. Eficiencia total en función de la velocidad específica y caudal.

Ejemplo 4.3

Diseñar las dimensiones principales de una bomba centrífuga para las siguientes

condiciones de bombeo:

H = 250 ft Q = 500 gpm NPSHr = 20 ft

Selección de las rpm.

En primer lugar se asume un motor eléctrico de 4 polos y 1780 rpm. Se calcula

seguidamente la velocidad específica Ns y la velocidad específica de succión S.

Ns=[1780][500]½/[250]3/4 = 622 S=[1780][500]½/[20]3/4 = 4137

Con Ns y Q se observa en la Fig. 4.13 que η resultaría en un valor muy bajo, 0.675.

Además, el valor de S es también muy bajo para un diseño normal de la entrada a la bomba.

Asumiendo un motor eléctrico de 2 polos y 3560 rpm se obtiene:

Ns=[3560][500]½/[250]3/4 = 1266 S=[3560][500]½/[20]3/4 = 8417



Se observa en la Fig. 4.13 que η podría ser 0.78. Además, el valor de S es un

valor aceptable por debajo de 9000 para un diseño normal de la entrada a la bomba. Por lo

tanto, se selecciona un motor de 2 polos y 3560 rpm. El valor de Ns=1266 resulta en una

bomba radial lenta con alabes cilíndricos y arista de entrada paralela al eje (Figs. 2.15 y

4.7).

Triángulo de descarga del impulsor.

Con Ns = 1266 se selecciona (C2m/U2 = 0.1) en la Fig. 4.8 y (β2’=20º) en la Fig. 4.9.

Ademas, en base a la experiencia se asume Z = 7, s2 = 3/16” y s1 = 2/16”.

µ = 1 - ( ) '2 cot2/U2mC -

'2 sen Z

β

βπ

1 = 1 - ( ) 201

7 cot0.1 -

20 sen π

= 0.788

( ) 0.25500

0.8 - 1 h =η = 0.831 ( )

0.5047500

1.0444 - 1 v =η = 0.955

Para estimar el diámetro de descarga del rotor se entra en la Fig. 2.16 con Ns

calculada en las siguientes unidades:

Ns = rpm (ft3/s) 0.5 / ft 0.75 = 3560 (1.114) 0.5 / (250) 0.75 = 60

Con Ns = 60 y una eficiencia total = 0.78 se lee Ds = 2.4 en la Fig. 2.16. Por lo tanto,

D2 = 2.4 (1.114) 0.5 / (250) 0.25 = 0.637 ft = 7.64” = 19.42 cm

U2 = π D2 N / 60 = π 0.637 x 3560 / 60 = 118.74 ft/s = 36.19 m/s

C2m = 0.1 U2 = 0.1 x 118.74 ft/s = 11.87 ft/s = 3.62 m/s

La fracción del área de salida cubierta por los álabes se calcula con:

e2 = Z x s2/ π D2 = 6 x (3/16) / (3.1416 x 7.64) = 0.0547

Qo = π D2 B2 (1 - e2) C2mi ; Q = π D2 B2 C2m ; Q = ηv Qo

( )2m

2mi2

v CC e - 1 1

=η

⇒ ( )2v

2m2mi e - 1

C Cη

= = ( )0.0469 - 1 .95511.87

0 = 13.15 ft/s = 4.01 m/s

C2mi /U2 = 13.15/118.74 = 0.1107



H = ηh Hrotor = g2U h

2µη [1 – (C2mi/U2) cot β2’]

U22 =

µη h

H g 1/[1 – (C2mi/U2) cot β2’] =

°

20 cot 0.1107 - 1

1 0.788 x .

250 x 32.17 8310

U2 = 132.82 ft/s = 40.48 m/s

Recalculando con el nuevo valor de U2 se tiene:

D2 = 60 U2 / π N = 60 x 135.72 / (3.1416 x 3560) = 0.713 ft = 8.57” = 21.73 cm

C2m = 0.1 U2 = 0.1 x 132.82 ft/s = 13.28 ft/s = 4.05 m/s

e2 = Z x s2/ π D2 = 7 x (3/16) / (3.1416 x 8.57) = 0.0487

( )2v

2m2mi e - 1

C Cη

= = ( )0.0487 - 1 .95513.28

0 = 14.62 ft/s = 4.46 m/s

C2mi /U2 = 14.62/132.82 = 0.11

U22 =

°

20 cot 0.11 - 1

1 0.788 x .

250 x 32.17 8310

U2 = 132.64 ft/s = 40.48 m/s

B2 = ( ) mi222 v C e - 1 D Q

πη = ( )14.62 0.0487 - 1 0.713 x x .

.π9550

1141 = 0.449” =1.14 cm

B2 = m22 C D

Qπ

= 13.280.713x x

.π

1141 = 0.449” =1.14 cm



C2φ‘ = U2 - C2mi / tan β2‘ = 132.64 ft/s – 14.62 ft/s / tan(20º) = 92.47 ft/s = 28.18 m/s

C2φ = µ C2φ‘ = 0.788 x 92.47 ft/s = 72.9 ft/s = 22.22 m/s

tan β2 = C2m/(U2 - C2φ) = 13.28 ft/s /(132.64 ft/s – 72.9 ft/s) = 0.2223

β2 = 12.53º

Entrada al impulsor.

Con S = 8417 se selecciona β1=17º y se asume DS = D1 en la Fig. 4.7. El número

de álabes Z = 7 concuerda bien con los lineamientos dados en la Pag. 4.15. El diámetro D1

se calcula asumiendo que la velocidad meridional se mantiene constante a traves del

impulsor.

C1m = C2m

tan β1 = C1m / U1 ⇒ U1 = C1m / tan β1 = 13.28 / tan 17º = 43.44 ft/s = 13.24 m/s

D1 = 60 U1/ π N = 60 x 43.44 / (3.1416 x 3560) = 0.233 ft = 2.80” = 7.10 cm

e1 = Z x s1/ π D1 = 7 x (2/16) / (3.1416 x 2.80) = 0.0996

C1mi = C1m / ηv (1 – e1) = 13.28 / 0.955 (1 – 0.0996) = 15.44 ft/s = 4.71 m/s

B1 = ( ) miC 1e - 1 1D v

Q

1πη = ( )15.44 0.0996 - 1 0.233 x x .

.π9550

1141 = 1.38” = 3.49 cm



B1 = mC 1D

Q

1π =

13.280.233x x .

π1141 = 1.38” = 3.49 cm

tan β1’ = C1mi / U1 = 15.44 / 43.44 ⇒ β1’ = 19.57º

Chequeo de la difusión de la velocidad relativa.

AI = Z aI ≈ Z B1 (π D1 sen β1‘ /Z – s1) ≈ B1 (π D1 sen β1‘ - Z s1) ≈ 2.84 pulg2

AII = Z aII ≈ B2 (π D2 sen β2‘ - Z s2) ≈ 3.53 pulg2

AII / AI = 1.24

Diseño de la voluta.

Se toma Cthr /U2 = 0.43 de la Fig 4.12 ⇒ Cthr = 0.43x132.64 ft/s = 57.04 ft/s

Athr = 0.3208 Q/Cthr = 0.3208x 500/58.36 = 2.812 pulg2

rthr = (Athr / π)1/2 = (2.748/π / 144)1/2 = 0.946” = 2.40 cm

r4 = r2 + t + rthr

r4 =0.3565ft + 0.04x0.3565 ft+ 0.946/12 ft = 0.3565 ft + 0.0143 ft+ 0.079 ft = 0.4496 ft

C rr

CC

42

2thr =θ

72.9 x 0.3565

57.04 x 0.4496 C 2r

thrC 4r C =θ

=2

≈ 0.99



Pérdidas mecánicas.

( )

0.3828500

0.1699

realoW

pmecoW

= = 0.0157

Pérdidas por fricción de disco.

( ) 5/31266

7800

realoW

pfdoW

= = 0.0526

Eficiencia total.

realoW

pfdoW

realoW

pmecoW

v h

1

1

++ηη

=η 0.0526 0.0157

0.955 x 0.8311

1 ++

= = 0.7528

Figura 4.5. Parámetros geométricos y triángulos de velocidades.



4.4. Ventiladores Centrífugos.

Los ventiladores son Turbomáquinas destinadas a producir pequeñas elevaciones

de la presión total del aire u otro gas. Convencionalmente se fija el límite de ∆ptotal para

ventiladores en 1 m.c.a., por lo que la variación de densidad del gas a través de la maquina

se puede despreciar y los ventiladores se comportan como Turbomáquinas Hidráulicas

Generadoras. El ventilador centrífugo consiste de un rotor encerrado en una envolvente de

forma espiral. El aire o gas es succionado por el rotor, entra paralelo al eje a través del ojo

del rotor y es arrojado centrífugamente contra la envolvente de descarga saliendo en

ángulo recto con respecto al eje. Pueden ser de entrada sencilla o entrada doble. En un

ventilador de entrada doble el aire o gas entra por ambos lados de la envolvente

succionado por un rotor doble o por dos rotores sencillos montados espalda con espalda.

Las Figs. 4.19, 4.20, 4.21, 4.22 y 4.23 muestran los diseños principales de los rotores

centrífugos.

Figura 4.19. Alabes curvados hacia atrás del tipo airfoil. Entrada sencilla.



Los álabes curvados hacia atrás, β2’ < 90°, presentan mejor rendimiento que los

alabes rectos con salida radial y que los alabes curvados hacia delante. Los rotores

equipados con alabes de perfil aerodinámico (airfoil) pueden alcanzar rendimientos en el

orden de 90%. El incremento de presión y gasto logrados por estos rotores son menores

que los alcanzados en los otros dos diseños. Los alabes rectos se emplean para facilitar y

abaratar la construcción del rotor.

Figura 4.20. Alabes rectos inclinados hacia atrás. Entrada sencilla.

Los álabes de salida radial, β2’ = 90°, se emplean para impulsar aire o gases sucios

a elevada temperatura, gracias a la facilidad con que son eliminados los depósitos sólidos

por la fuerza centrífuga.

Los álabes curvados hacia delante, β2’ > 90°, se usan por el bajo nivel de ruido que

presentan. Además, el incremento de presión y gasto logrados por estos rotores son

mayores que los alcanzados en los otros dos diseños para una determinada velocidad,

pero el rendimiento es bajo en el orden de 65 a 70%. Otras características son

dimensiones menores y gran número de álabes en el orden de 48 a 60.



Figura 4.21. Alabes curvados hacia adelante. Entrada sencilla.

Figura 4.22. Alabes curvados hacia atrás. Entrada sencilla.



Figura 4.23. Alabes curvados hacia adelante. Entrada doble.

4.4.1. Incremento de presión en los ventiladores. Todas las relaciones

desarrolladas para bombas centrifugas se aplican también a los ventiladores centrífugos,

pero por costumbre y conveniencia se trabaja con el incremento de presión total. Aplicando

la ecuación de Bernoulli entre la entrada y la salida del ventilador y despreciando el cambio

de altura Z se obtiene:

γ− I0II0

VPP= H (4.51)

donde el punto II se toma en la descarga de la voluta y el punto I en la succión del

ventilador. Además, aplicando la ecuación de Euler de las Turbomáquinas entre la entrada

y salida del rotor se obtiene:

HV = gU 2

hµ

η (U2 - Cr2 cot β2’) (4.52)

donde ηh es la eficiencia hidráulica o interna del ventilador, µ es el factor de deslizamiento y

los puntos 1 y 2 se toman en la entrada y salida del rotor respectivamente.



El coeficiente de carga resulta entonces en:

Ψ = µ (1 - Φ2 cot β2’) (4.53)

Para ventiladores con alabes curvados hacia atrás los rangos típicos para algunos

parámetros de diseño son:

β2’ 25° - 50°

Φ2 0.15 - 0.30

Ψ 0.37 - 0.70

D1/D2 0.65 - 0.75

B2/D2 0.20 - 0.25

A2/A1 0.50 - 1.00

ηtotal-total 0.70 - 0.90

Para ventiladores con alabes curvados hacia adelante los rangos son aun mas

variables como puede verse en la siguiente tabla para dos diseños VA y VB:

V A V B

β2’ 150° 142°

Φ2 0.42 0.20

Ψ 1.18 1.05

D1/D2 0.82 0.83

B2/D2 0.40 0.50

A2/A1 0.48 0.78

ηtotal-total 0.66 0.71

Ejemplo 4.4

Diseñar las dimensiones principales de un ventilador centrífugo con alabes curvados

hacia atrás para las siguientes condiciones:

Incremento de presión estática del ventilador PII – PI = 750 Pa

Qaire = 2 m3/s N = 890 rpm

Condiciones totales a la entrada P0I = 100 KPa, T0I = 20°C

Se pueden despreciar la fracción del área de flujo bloqueada por los extremos de los

alabes y los efectos de la eficiencia volumétrica. La velocidad a la salida de la voluta se debe

limitar a 10 m/s para controlar las pérdidas por fricción.



Se asumen los siguientes parámetros de diseño:

β2’ 50°

Φ2 0.20

Ψ 0.60

D1/D2 0.50

A2/A1 1.00

ηtotal-total 0.75

Ψ = µ (1 - Φ2 cot β2’) ⇒ µ = Ψ / (1 - Φ2 cot β2’) = 0.5/(1-0.2*cot 50°)

µ = 0.60/0.832 = 0.721

Usando la fórmula de Stodola se puede determinar el número de álabes

µ = 1 - ( ) 'β cot/UC - 1

'β sen Z

π

222m

2 ⇒ Z = ( ) ( )( )' cot/UC - 11

' sen

222m

2

βµ−βπ

Z = ( )( )50 cot0.2 - 1721.0150 sen

−π

= 832.0x279.0 766.0 π

= 10.36 = 10

γ− I0II0 PP

=gU 2

hµ

η (U2 - Cr2 cot β2’) = gU 2

2h

µη (1 - Φ2 cot β2’)



U22 =

( )( )'cot1

gPP

22h

I0II0

βφ−µγη−

γ− I0II0 PP

= γIIP

+ g 2

V 2II

γ− IP

; VI = 0

γ =ρg = gRTP I0 = s/m 81.9

K293Kkgm

Newxm05.287

m/New 100000 22

°°

= xsm

Kgmxm 91.113

2

γ = 3mNew 91.11

γ− I0II0 PP

=γ− III PP

+g 2

V 2II =

3

2

m/New 91.11m/New 750 +

2

222

2x9.81m/ss/m01 =

γ− I0II0 PP

= 62.97 m + 5.09 m = 68.07 m

U22 =

( )( )'cot1

gPP

22h

I0II0

βφ−µγη−

= ( )50cot2.01721.0x75.0s/m 81.9 x m 07.68 2

−= 1485.98 2

2

sm

U2 = 38.55

sm

U2 = 60

ND2π ⇒ D2 = NU60 2

π=

89055.38x60

π= 0.827 m

C2m = C2r = Φ U2 = 0.2 x 38.55 sm

= 7.71sm

Q = π D2 B2 C2m ⇒ B2 = Q/(π D2 C2m) = 2 s

m3

/(π 0.827m 7.71sm

) = 0.1 m

D1 = 0.5 D2 = 0.414 m

π D1 B1 = π D2 B2 ⇒ B1 = (D2 / D1) B2 = 2 x 0.1 m = 0.2 m

Q = π D1 B1 C1m ⇒ C1m = Q/(π D1 B1) = 2 s

m3

/(π 0.414m 0.2m) = 7.69 sm



U1 = 60

ND1π =60

890x414.0xπ

sm

= 19.29sm

Para máxima transferencia de energía C1 = C1m = C1r

β1’ = atan (C1m / U1) = atan(0.399) = 21.8°

La potencia hidráulica comunicada al aire es:

VV H Q = W γo

= 3mNew 91.11 2 m3/s 68.07m = 1621 W

La potencia de accionamiento del motor se calcula suponiendo una eficiencia

mecánica de 0.90

90.0/6211 =/W = W mvm ηoo

= 1801 W

4.4.2. Curvas características de los ventiladores. Si se considera el

ventilador como una bomba, se pueden trazar sus curvas características de la misma

forma; sin embargo, las curvas (H – Q) se sustituyen por (∆Ptot – Q) donde ∆Ptot es la

presión total suministrada por el ventilador. La relación entre H y ∆Ptot es:

∆Ptot = γaire H (4.54)

Se acostumbra reducir los valores medidos de Q y ∆Ptot a condiciones normales

o estándar. En un ensayo bien realizado se debe especificar las condiciones normales

o al menos la presión barométrica y temperatura ambiente de realización del ensayo.

En muchas aplicaciones interesa más el incremento de presión estática que el

incremento de presión total. Además, si el difusor del ventilador es eficiente la presión

dinámica es muy baja y la diferencia entre presión estática y total es muy pequeña.

En la Fig. 4.24 se han trazado las curvas características de cuatro tipos de

ventiladores, expresando las variables en % del valor nominal o de diseño.



Figura 4.24. Curvas características típicas de ventiladores. a) Alabes curvados hacia

adelante. b) Alabes con salida radial. c) Alabes curvados hacia atrás. d) Ventilador axial.

En la Fig. 4.24a y 4.24b se observa que la potencia de accionamiento Na

aumenta constantemente con el caudal, mientras que en las Figs. 4.24c y 4.24d Na no

supera, o solo ligeramente, el valor nominal o de diseño. El motor de accionamiento en

los casos a y b debe tener una reserva de un 100% del valor de diseño para prevenir

cualquier sobrecarga que pudiera ocurrir si el caudal aumenta por arriba del valor de

diseño. La potencia absorbida en el arranque es mínima en los ventiladores centrífugos

y máxima en los ventiladores axiales.



4.5. Compresores Centrífugos.

Los compresores son Turbomáquinas Térmicas Generadoras destinadas a

producir grandes elevaciones de la presión total del aire u otro gas, por lo que la variación

de la densidad del fluido a través de la maquina es importante y debe tomarse en cuenta.

El compresor centrífugo consiste esencialmente de un impulsor encerrado en una

envolvente o cubierta seguido por un conjunto de difusores, tal como se esquematiza en la

Fig. 4.25. El aire o gas es succionado por el rotor desde las condiciones del punto (0) y

entra paralelo al eje hasta el ojo del impulsor en el punto (1). La función del rotor es

incrementar el nivel de energía del fluido cambiándole la dirección y arrojándolo

centrífugamente hacia el exterior, aumentando así su presión y momentum angular.

Figura 4.25. Esquema de un compresor centrífugo y diagrama de velocidades.

La presión estática y la velocidad del fluido aumentan en su paso a través del rotor,

saliendo en el punto (2). El propósito del conjunto de difusores es convertir la energía

cinética del fluido descargado por el rotor a energía de presión. Este proceso puede

llevarse a cabo mediante una difusión libre en el espacio anular sin alabes que rodea al

rotor, seguida por una difusión en la corona de alabes fijos. Seguidamente se dispone un

caracol o voluta cuya función es recoger el fluido a la salida del difusor y dirigirlo hacia el



conducto de descarga, realizando una etapa adicional de difusión que termina en el punto

(3). En compresores industriales y de procesos donde la simplicidad y bajo costo cuentan

mas que el rendimiento, se elimina a menudo el difusor con alabes y se coloca la voluta

inmediatamente después del difusor sin alabes. La Fig. 4.26a muestra un compresor

industrial equipado con difusor con alabes, mientras que en la Fig. 4.26b el compresor esta

desprovisto del difusor con alabes, pero está equipado con una corona de alabes antes del

impulsor que se usa para regular el flujo de gas manejado.

Figura. 4.26. Compresores centrífugos industriales o de procesos.

La Fig. 4.27 muestra los componentes de un compresor centrífugo utilizado en

turbinas de aviación donde se observa que el caracol o voluta se ha sustituido por un

manifold o colector que conduce el aire comprimido hacia la cámara de combustión.

La raíz o tambor es la superficie curvada de revolución del rotor a – b y la

envolvente o cubierta es la superficie curvada estacionaria c – d que forma la frontera

externa de flujo. Los rotores pueden ser cerrados, cuando se dispone una tapa paralela a

la envolvente unida a los extremos de los alabes y girando solidaria con el rotor, tal como

se muestra en la Fig. 4.28. También pueden ser abiertos, donde no existe tapa y se forma

una pequeña holgura entre los extremos de los alabes y la superficie estacionaria c – d.



Figura 4.27. Compresor centrífugo de turbina de gas de aviación.

El tramo inductor, de gran

importancia en los impulsores modernos,

se inicia en el ojo y termina normalmente

en la región donde el flujo comienza a

voltear hacia la dirección radial. Se

encarga de aceptar el flujo relativo W1, que

llega formando un ángulo β1 con la

dirección axial, y voltearlo a una dirección

paralela al eje. Adicionalmente, su función

más importante que influye fuertemente

sobre la eficiencia del rotor, es la de

efectuar difusión sobre la velocidad relativa

W sin ocurrencia de separación de la capa

limite.

La Fig. 4.1 es un diagrama entalpía

– entropía (h - s) de los procesos descritos

Figura 4.28. Impulsores centrífugos.



anteriormente. Las tres etapas de difusión no se detallan en este diagrama,

representándose solamente el proceso global de difusión (2 – 3) que incluye el espacio sin

alabes o difusor sin alabes, difusor con alabes y caracol o voluta.

El flujo através de una etapa de compresor centrífugo es un movimiento

tridimensional altamente complicado y difícil de modelar exactamente; sin embargo, se

pueden obtener soluciones adoptando la aproximación unidimensional, que supone que las

condiciones de flujo son uniformes en determinadas secciones transversales, tales como

en los puntos 0, 1, 2 y 3 de la Fig. 4.25.

4.5.1. Ecuaciones básicas.

La ecuación de Euler de las Turbomáquinas calcula el torque y el trabajo

específico transferido por el impulsor al gas, ec. (1.102):

( ) C U - C U = 1122C θθω

De acuerdo a la ecuación de energía para flujo estable y adiabático y con

referencia a la Fig. 4.1, el trabajo específico realmente comunicado al fluido para

comprimirlo entre los niveles P01 - P02 es según la ec. (1.8):

ωC = h02 - h01

Combinando estas ecuaciones se obtiene la razón de temperatura total a través

del impulsor:

( )11220101

02 C U - C UkRT

1-k 1 TT

θθ+= (4.55)

Para el diseñador es más importante la razón de presión total del impulsor 01

02

PP , la

cual se puede calcular fácilmente solo en flujo isentrópico. La forma más simple de

relacionar el proceso real con el proceso isentrópico es por medio de la eficiencia del rotor

(ver Fig. 4.1):

( )( )

1T/T1P/P

hhhh

0102

k/1k0102

0102

0102Sr −

−=

−−

=η−

(4.56)

( )( ) ( )1122r01

k/1k0102 C U - C U

kRT1k1P/P θθ

− η−

+= (4.57)



La razón de presión total de la etapa se puede determinar con la ec. (4.57) si la

eficiencia total-a-total del impulsor se sustituye por la eficiencia total-a-total de la etapa, la

cual incluye también las irreversibilidades que ocurren en el conjunto de difusores. En este

caso y de acuerdo a la Fig. 4.1, la razón de presión total de la etapa es:

( )( ) ( )1122c01

k/1k0103 C U - C U

kRT1k1P/P θθ

− η−

+= (4.58)

Las dificultades en la aplicación de la ec. (4.57) son la determinación de la

eficiencia y la componente tangencial de la velocidad absoluta a la entrada y salida del

impulsor. En la etapa preliminar de diseño es aceptable asumir una eficiencia en base a

experiencias anteriores, la cual debe ser confirmada posteriormente por medio de modelos

de pérdidas y correlaciones empíricas una vez se ha establecido la geometría básica del

impulsor.

La componente tangencial de la velocidad absoluta a la entrada del impulsor es

usualmente cero y solo existe si se dispone una corona de alabes fijos en el ducto de

entrada para impartir pre rotación al gas, tal como en la Fig. 4.26b.

El flujo a la descarga del impulsor no puede ser guiado perfectamente por un

numero finito de alabes y ocurre deslizamiento de acuerdo a la sección 4.2.2. El efecto del

deslizamiento es reducir la componente tangencial de la velocidad absoluta y en

consecuencia el impulsor debe ser más grande o rotar a mayor velocidad para alcanzar el

incremento de presión deseado. Esto a su vez causa esfuerzos y velocidades relativas

más altas en el impulsor, aumenta las pérdidas por fricción y reduce la eficiencia.

La correlación de Stanitz, ec. (4.14), se considera satisfactoria para cuantificar el

deslizamiento en compresores centrífugos para ángulos del alabe a la salida -45°<β2’<45°

4.5.2. Diseño del impulsor.

El proceso de diseño debe resultar en las dimensiones principales del impulsor y

en los ángulos del alabe a la entrada y salida. Se considera primero el diseño del inductor y

luego la descarga; sin embargo, no deben verse como componentes desconectados ya

que los parámetros de flujo de ambos están relacionados íntimamente.

4.5.2.1. Diseño del inductor. La información inicial usualmente disponible es la

presión y temperatura total a la entrada en el punto (0), la cantidad de prerotación y el flujo

másico. Aquí se supone que el flujo entra uniformemente y sin prerotación.



Se considera primeramente el punto de diseño (punto de mejor eficiencia) y se trata

de que el flujo másico requerido entre suavemente al inductor y con el menor número de

Mach relativo posible, con la finalidad de minimizar las pérdidas por incidencia y por fricción

en los pasajes del impulsor. Luego se trata de maximizar el rango de flujo entre bamboleo

(surge) y bloqueo (choke), lo cual requiere también que el numero de Mach relativo sea el

menor posible.

Los requerimientos principales del diseño del inductor son los radios del tope y de

la raíz del alabe y el ángulo del alabe en el tope, según la Fig. 4.29.

Figura 4.29. Inductor del impulsor

Por lo tanto, existe una posición radial donde el aumento en la velocidad absoluta

C1 tiene un efecto mas significativo sobre el numero de Mach relativo M’1t que la

El radio mínimo de raíz r1r

esta fijado por la sección

transversal minima para transferir

el torque requerido y evitar

problemas de vibraciones o por el

espacio circunferencial requerido

para acomodar el número de

alabes, tomándose el más grande

de los dos.

El radio del tope r1t es la

posición donde la velocidad del

alabe U1t y consecuentemente la

velocidad relativa W1t es mayor.

Reduciendo r1t se reduce U1t y por

lo tanto se reduce también el

número de mach relativo M’1t; sin

embargo, esto conduce a una área

de flujo menor y la velocidad

absoluta C1 debe aumentar para

pasar el flujo másico requerido,

aumentando también M’1t.



disminución de la velocidad periférica del impulsor U1t. Si no existe prerotación, el triangulo

de velocidades a la entrada es un triangulo recto donde:

W21t = C2

1t + U21t = C2

1t + ω2 r21t

(4.59)

El flujo másico adimensional se define como:

( )01

1t

01

122

2

2t1

01012

2

o

aC1

rr

arm

ρρ

ν−=ρπ

=θ

(4.60)

Sustituyendo la ec. (4.60) en (4.59) se obtiene:

( )( )

( )1k21k3

2t1

t12

2U2

t12

t1 M2

1k1M1

1MM'M

−−

−

+ν−θ

+= (4.61)

Esta expresión se muestra en la Fig. 4.30 donde puede verse que existe un M’1t

mínimo para cada magnitud especificada de ( )2

2U

1M

ν−θ

. Las líneas de β1t constante

demuestran que M’1t mínimo ocurre a un ángulo de flujo β1t entre 56° y 64°, siendo 60° un

valor aceptable para cualquier diseño.

Figura 4.30. Efecto del Número de Mach.

Para transformar el ángulo

de flujo β1t al ángulo

requerido del alabe β’1t se

requiere del conocimiento

del ángulo de incidencia

para el flujo másico de

diseño (ver Fig.1.19). Una

práctica común es diseñar

con incidencia positiva entre

4° y 6° en el punto de

diseño. El ángulo del alabe

es entonces:

β’1t = β1t + i (4.62)



Una vez establecido el ángulo de flujo β1t y el numero de Mach relativo M’1t se

puede aplicar la ecuación de continuidad para calcular el área de flujo del inductor y por lo

tanto, el radio del tope r1t si el radio de raíz r1r se determina por consideraciones mecánicas.

La ecuación de continuidad se puede escribir en términos del ángulo de flujo β1t y el

número de Mach relativo M’1t cómo:

( )( )1k2

1k

1

01

t1t122

t10101o

TT

cos'M 1r am−

+

βν−πρ= (4.63)

β

−+= t1

2t1

2

1

01 cos'M2

1k1TT

(4.64)

El radio del tope del inductor r1t se puede calcular con la ec. (4.63); sin embargo, el

número de Mach relativo M’1t aún no se conoce, ya que depende de la velocidad de

rotación del impulsor que a su vez es función de la razón de presión requerida, el radio y el

ángulo de flujo a la descarga del impulsor. Por lo tanto, es necesario retornar al diseño del

inductor una vez se determine la condición de la descarga del impulsor.

4.5.2.2. Diseño de la descarga. Los parámetros a determinar en la descarga del

impulsor son: ángulo del alabe β’2, ancho del alabe B2 y radio r2.

Las ventajas de los alabes curvados hacia atrás son:

a) Reducción del número de Mach absoluto a la descarga, reduciendo así

los requerimientos de difusión del sistema difusor.

b) Pendiente negativa más inclinada de la curva razón de presión vs. flujo

másico, lo cual conduce a un rango de operación estable mas amplio.

c) Menor intensidad de flujos secundarios en el plano alabe-a-alabe, lo

cual resulta en menores pérdidas debidas a este fenómeno.

Las desventajas de los alabes curvados hacia atrás son:

a) Mayores esfuerzos sobre el disco del rotor y sobre los alabes debido a

una mayor velocidad tangencial en la salida del rotor. La inercia tiende a enderezar los

alabes y colocarlos en posición radial.



En la etapa inicial del diseño los parámetros conocidos son el flujo másico om y la

razón de presión total de la etapa01

03

PP

. El diseñador debe asignar valores apropiados, en

base a su experiencia, a los parámetros geométricos y aerodinámicos.

Valores típicos de la eficiencia total-a-total de la etapa y del factor de deslizamiento

son ηc = 0.8 y µ = 0.85 respectivamente. Estos valores se mantendrán constantes en el

procedimiento de diseño que se describe a continuación y posteriormente se pueden refinar

si es necesario.

Los dos parámetros aerodinámicos más importantes en la descarga del impulsor

son la magnitud del número de Mach absoluto M2 y el ángulo o dirección del vector C2. Un

M2 elevado impone requerimientos muy severos sobre el sistema de difusión y conduce a

pérdidas elevadas por fricción y posiblemente pérdidas por onda de choque supersónico

alrededor de la arista de entrada al difusor con alabes. Por otro lado, si el ángulo de la

velocidad absoluta con la dirección tangencial α2 es muy pequeño, la trayectoria de flujo en

el difusor sin alabes se hace muy larga incurriéndose en pérdidas elevadas por fricción;

además, puede ocurrir desprendimiento de la capa limite, lo cual conduce a retornos de

flujos hacia el rotor y a bamboleo (surge) violento. En base a experiencia se adopta α2=25°;

sin embargo, este valor puede variarse sistemáticamente para ilustrar su efecto.

En base a la definición del factor de deslizamiento en la ec. (4.11) se tiene:

Cθ2 = µ (U2 - Cr2 cot β2’) (4.65)

Figura 4.31. Triangulo de velocidades a la descarga del impulsor.



En términos del ángulo de flujo α2 se puede reescribir Cθ2 como (ver Fig. 4.31):

Cθ2 = ( )'tan/tan1U

22

2

βαµ+µ

= 2Uλ (4.66)

La relación de presión de la etapa para entrada sin prerotación es entonces:

( )( ) ( ) M1k1U UkRT

1k1P/P 22Uc22c

01

k/1k0103 λη−+=λη

−+=−

(4.67)

Donde se ha usado a01 como referencia para obtener MU2. El número de Mach en la

descarga del impulsor, calculado con la ec. (4.66) y a01, se muestra en la Fig. 4.32, donde

se ha usado un valor asumido de 25° para el ángulo de la velocidad absoluta α2.

Figura 4.32. Variación de M2 con ángulo de alabe β2‘ y relación de presión PR.

Se puede observar que el uso de alabes curvados hacia atrás disminuye el numero

de Mach a la descarga del impulsor M2 para una relación de presión dada. Sin embargo,

según la ec. (4.67), la velocidad del impulsor U2 debe aumentar para mantener la relación

de presión requerida, lo cual a su vez causa un aumento de M2. Para una relación de

presión de 4.0, se puede observar que una inclinación hacia atrás de 50° reduce M2 de 1.25

a 1.09 a pesar de la necesidad de aumentar MU2 desde 1.34 a 1.54.

El aumento de U2 implica un aumento de la velocidad del alabe del inductor y por lo

tanto, se deben determinar las consecuencias para las condiciones del inductor. La



velocidad del tope del alabe en el inductor U1t está relacionada con U2 a través de la

relación de radios r1t /r2. El número de Mach relativo en el tope del inductor M’1t es función

del ángulo de flujo β1t, cuyo valor optimo se demostró que puede asumirse igual a 60°.

Entonces:

21o

t12

1o

1t

rarU

aU

= (4.68)

M’1t =MU1t/sen β1t = (MU2 r1t /r2)/ sen β1t (4.69)

M’1t = t12

t12 sen/rrMC

β

λ

θ = t12

t122 sen/rrcosMC

β

λ

α (4.70)

Figura 4.33. Variación de M2 con M’1t, relación de presión PR y relación de radios.

Con la ec. (4.70) se puede trabajar sobre la Fig. 4.32 para obtener la Fig. 4.33,

donde se observa el aumento del número de Mach relativo M’1t con los alabes curvados

hacia atrás. Para una relación de presión de 4:1, M’1t aumenta desde 1.08 a 1.25 para un

ángulo de inclinación hacia atrás de 50°.

La Fig. 4.34 es similar a la Fig. 4.33 pero se ha disminuido la relación de radios de

0.7 a 0.5, lo cual se puede lograr incrementando el radio de salida.



Figura 4.34. Variación de M2 con M’1t, relación de presión PR y relación de radios.

Se observa que la magnitud del número de Mach relativo M’1t es menor en este

caso. Para una relación de presión de 4:1, M’1t aumenta desde 0.77 a 0.89 para un ángulo

de inclinación hacia atrás de 50°. Es decir, se puede reducir el nivel del número de Mach

relativo M’1t de supersónico a subsónico por medio de una reducción de la relación de

radios de 0.7 a 0.5.

La reducción de r1t/r2 se logra incrementando el radio del impulsor r2 y para

mantener el área de flujo constante, se debe reducir el ancho del alabe a la salida b2. La

aplicación de la ecuación de conservación de masa resulta en una expresión para el ancho

de alabe adimensional b2/r2:

( )2m

1o

1o

1m22

22

2t11

22

2

Ca

aC1

rr

BKrb2 ν−

ρ

ρ= (4.71)

donde BK2 es un factor de bloqueo que toma en cuenta la disminución del área de

flujo debido a crecimiento de capa límite y otros efectos de la dinámica de flujo.

Para aplicar la ec. (4.71) se requiere la especificación de la relación ν=r1r/r1t, la cual

generalmente se puede asumir igual a 0.4. El tamaño real de r1r depende del número de

alabes que se van a colocar en el inductor y/o el nivel de esfuerzo en la raíz del inductor.

El problema principal en la aplicación de la ec. (4.71) es el cálculo de la densidad en la

descarga del impulsor ρ2, ya que se debe especificar la eficiencia total-a-total del impulsor

ηr, la cual se puede asumir igual a 0.9. La presión total a la descarga del impulsor P02 se



puede calcular con la ec. (4.67) sustituyendo la eficiencia de la etapa ηc por la eficiencia

del impulsor ηr.

Variando sistemáticamente MU2 y r1t/r2 mientras se mantiene constante todas las

variables restantes, se puede calcular b2/r2 en base a la ec. (4.67) con r1t/r2 como

parámetro para una serie de valores de MU2 (y por lo tanto de relación de presión PR). Los

resultados de estos cálculos se muestran en la Fig. 4.35.

Figura 4.35. Altura adimensional del alabe a la descarga b2/r2 en función de r1t/r2.

A medida que r1t/r2 se reduce para disminuir el número de Mach relativo en el tope

del inductor M’1t, la altura adimensional b2/r2 también se reduce originando un pasaje de

flujo largo y angosto a la descarga. Se puede observar en la Fig. 4.35 que para una

relación de presión de 5:1, b2/r2 se reduce de 0,15 a 0,06 cuando r1t/r2 disminuye de 0.7 a

0.5.

En conclusión, existen dos alternativas para un compresor de una sola etapa y una

elevada relación de compresión. Por un lado, se puede reducir M’1t reduciendo r1t/r2

resultando entonces un pasaje de flujo largo y angosto a la descarga, lo cual se traduce en

pérdidas elevadas por fricción y pérdidas adicionales por fricción en la espalda del

impulsor. Por otro lado, se puede diseñar un inductor con M’1t transónico y la posibilidad de

pérdidas elevadas por ondas de choque supersónicas. Si ninguna de estas dos opciones



es aceptable, se debe considerar la inclusión de pre rotación para disminuir M’1t. La última

alternativa seria desarrollar la PR requerida en dos etapas o más.

4.5.3. Velocidad especifica ns y relación de difusión DR.

La Fig. 4.36 muestra la variación típica de eficiencia adiabática en función de la

velocidad específica en base a los datos de Balje. Adicionalmente, Galvas concluyó que la

eficiencia máxima para impulsores con alabes curvados hacia atrás esta en un rango de

velocidad especifica de 0.705 y 1.018.

Figura 4.36. Correlación de eficiencia adiabática vs velocidad especifica.

Las limitaciones de difusión interna del impulsor han sido discutidas por muchos

autores. Existen dos procedimientos para cuantificar la difusión interna: uno considera la

relación de velocidad relativa entre la entrada al impulsor (usualmente W1t) y la descarga,

el otro es similar pero se usa la velocidad de descarga del chorro separado.

2

t1

WW

DR = (4.72)

Dean considera que el DR máximo que se puede obtener en un inductor subsónico

es 1.8, en base a la velocidad de descarga del chorro separado. Rodgers mostró un

máximo entre 1.9 y 2.0 en base a la velocidad relativa de descarga después de la mezcla

entre chorro y estela.

CORRELACION DE EFICIENCIA VS VELOCIDAD ESPECIFICA

-60

-50

-40

-30

-20

-10

00,1 1,0 10,0

Velocidad especif ica, ns

Dis

min

ucio

n de

efic

ienc

ia a

diab

atic

a



Ejemplo 1.10.

Diseñar un impulsor con alabes splitter para manejar aire entrando a temperatura

ambiente de 24ºC y presión atmosférica normal (k = 1.4, Cp = 1.005 KJ/Kg ºK, R = 287

J/Kg ºK). Parámetros de diseño del impulsor.

Relación de presión total del impulsor 4.475

Eficiencia adiabática del impulsor 0.824

Rata de flujo másico 4.301 kg/s

Pre rotación 0

Numero de Mach en tope del inductor 1.26

Angulo de flujo en el tope del inductor 60°

Angulo de salida de los alabes 45°

Angulo de flujo a la salida de alabes 25°

Factor de deslizamiento asumido 0.85

Numero de alabes principales 14

Numero de alabes splitter 14

Velocidad específica adimensional 0.938

λ = ( )'tan/tan1 22 βαµ+µ = ( )°°+ 45tan/25tan85.01

85.0 = 0.6087

( )( ) 22r

01

k/1k0102 U

kRT1k1P/P λη

−+=−

( )7.317870

10x6812.153441.0

6087.0.824x071.4x287x29

14.11475.4U

6

4.1/14.12

2 ==−

−=

−

− U2 = 563.8 m/s

∆hos = Cp T01

−

−

1PP K

1K

01

02

∆hos=1005 J/kg °K x 297°K ( )

−

−1475.4 4.1

14.1=1005x297x0.5344=159513 J/kg

∆hos = 159513 New x m/kg = (kg x m2)/(s2 x kg) =159513 m2/s2



01

0101 T R

P =ρ =

K 297 x K KgmmNew x 287

mNew 10335x9.81

oo

2 = 1.19 Kg/m3

Q01 = mo

/ρ01 = 4.301/1.19 = 3.616 m3/s

ns=( ) 30h

Q N3/4

0S

1/201

∆

π; N =

( )1/2

01

3/40S

Q

hns30

π

∆= ( )

1/2

3/4

3.616 159513938.0x30

π N = 37600 rpm

U2 =π D2 N/60 D2 = 60U2 /π N D2 = 0.2863 m

71.4x287x29563.8

T KRU

MU01

22 == MU2 = 1.632

Cθ2 = λ U2 = 0.6087 x 563.8 m/s Cθ2 = 343.19 m/s

Cm2 = Cθ2 tan α2 = 343.19 tan 25° Cm2 = 160.03 m/s

C2 = Cθ2 /cos α2 = 343.19/ cos 25° C2 = 378.67 m/s

( )( ) ( )9721

824.01475.4T1

1P/PT

4.1/14.1

01r

k/1k0102

02

+

−=

+

η−

=−−

T02 = 489.62

T2 = T02 – C22 / 2CP = 489.62°K – (378.672

/ 2x1.005)°K T2 = 418.28°K

1kk

2

02022 T

T / P P−

=

5.3

28.41862.489 / KPa 5101.3x4.47

= P2 = 261.23 KPa

2

22 T R

P =ρ = K1

NewxmK Kgm

mNew

418.28 x 28710 x 261.23

2

3

°°

ρ2 =2.176 Kg/m3

M’1t =MU1t/sen β1t = (MU2 r1t /r2)/ sen β1t

Asumiendo r1t / r2 = 0.6

M’1t = (1.632 x 0.6) / sen 60° M’1t = 1.131

M1t = M’1t cos 60° M1t = 0.5655

71.4x287x295655.0T KRM Cm 011t1 == Cm1 = 195.35 m/s



T1 = T01 – Cm12 / 2CP = 297°K – (195.352

/ 2x1.005)°K T1 = 278.01°K

1kk

1

01011 T

T / P P

−

=

5.3

01.278297 / KPa 101.3

= P1 = 80.38 KPa

1

11 T R

P =ρ =

K1

NewxmK Kgm

mNew

278.01 x 28710 x 80.38

2

3

°°

ρ1= 1.007 Kg/m3

Asumiendo r1r /r1t = 0.4 y BK2 = 0.97

( ) ( )03.16035.1954.016.0

176.2007.1

97.0x21

Ca

aC

1r

rBK21

rb 22

2m

1o

1o

1m22

22

2t11

22

2 −=ν−ρ

ρ=

088.0rb

2

2 = b2 = r2x0.088 = (0.2863/2)x0.087 b2 =0.0126 m


M’1t = (1.632 x 0.65) / sen 60° M’1t = 1.225

M1t = M’1t cos 60° M1t = 0.6126

71.4x287x296126.0T KRM Cm 011t1 == Cm1 = 211.63 m/s

T1 = T01 – Cm12 / 2CP = 297°K – (211.632

/ 2x1.005)°K T1 = 274.71°K

1kk

1

01011 T

T / P P

−

=

5.3

71.274297 / KPa 101.3

= P1 = 77.09 KPa

1

11 T R

P =ρ =

K1

NewxmK Kgm

mNew

278.01 x 28710 x 77.09

2

3

°°

ρ1= 0.966 Kg/m3


( ) ( )

03.16063.2114.0165.0

176.2966.0

97.0x21

Ca

aC

1r

rBK21

rb 22

2m

1o

1o

1m22

22

2t11

22

2 −=ν−ρ

ρ=

1074.0

rb

2

2 = b2 = r2x0.1074 = (0.2863/2)x0.1074 b2 =0.0154




M’1t = (1.632 x 0.70) / sen 60° M’1t = 1.319

M1t = M’1t cos 60° M1t = 0.6596

71.4x287x296596.0T KRM Cm 011t1 == Cm1 = 227.87 m/s

T1 = T01 – Cm12 / 2CP = 297°K – (227.872

/ 2x1.005)°K T1 = 271.17°K

1kk

1

01011 T

T / P P

−

=

5.3

17.271297 / KPa 101.3

= P1 = 73.67 KPa

1

11 T R

P =ρ =

K1

NewxmK Kgm

mNew

278.01 x 28710 x 73.67

2

3

°°

ρ1= 0.923 Kg/m3


( ) ( )03.16087.2274.0170.0

176.2923.0

97.0x21

Ca

aC

1r

rBK21

rb 22

2m

1o

1o

1m22

22

2t11

22

2 −=ν−ρ

ρ=

128.0rb

2

2 = b2 = r2x0.128 = (0.2863/2)x0.128 b2 =0.0184 m

r1t / r2 M’1t r1r /r1t b2 /r2 b2 [cm]

0.60 1.131 0.40 0.0880 1.26

0.65 1.225 0.40 0.1074 1.54

0.70 1.319 0.40 0.1280 1.84

Chequeando el valor asumido del factor de deslizamiento con la fórmula de Stanitz

se tiene:

µ = 1 - ( ) ' cot/UC - 1Z

63.0

222m β

π

µ = 1 - ( ) 54 cot.8160.03/563 - 128

63.0 π

= 0.901

λ = ( )45tan/25tan901.01901.0

+= 0.6344



( )5.304993

10x7522.153441.0

6344.0.824x071.4x287x29

14.11475.4U

6

4.1/14.12

2 ==−

−=

−

− U2 = 552.3 m/s

U2 =π D2 N/60 D2 = 60x552.3 /π x37600 D2 = 0.2805 m

71.4x287x29552.3

T KRU

MU01

22 == MU2 = 1.599

Cθ2 = λ U2 = 0.6344 x 552.3 m/s Cθ2 = 350.38 m/s

Cm2 = Cθ2 tan α2 = 350.38 tan 25° Cm2 = 163.38 m/s

C2 = Cθ2 /cos α2 = 350.38/ cos 25° C2 = 386.6 m/s

Wθ2 = U2 - Cθ2= 552.3 m/s - 350.38 m/s Wθ2 =

201.92 m/s

sm74.25938.63192.201 WW W 222

m22

22 =+=+= θ

( )( ) ( )9721

824.01475.4T1

1P/PT

4.1/14.1

01r

k/1k0102

02

+

−=

+

η−

=−−

T02 = 489.62

T2 = T02 – C22 / 2CP = 489.62°K – (386.62

/ 2x1.005)°K T2 = 415.26°K

1kk

2

02022 T

T / P P−

=

5.3

26.41562.489 / KPa 5101.3x4.47

= P2 = 254.69 KPa

2

22 T R

P =ρ = K1

NewxmK Kgm

mNew

415.26 x 28710 x 254.69

2

3

°°

ρ2 =2.137 Kg/m3

M’1t =MU1t/sen β1t = (MU2 r1t /r2)/ sen β1t


M’1t = (1.599 x 0.65) / sen 60° M’1t = 1.200

71.4x287x292.1T KRM' W 011tt1 == W1t = 414.6 m/s

M1t = M’1t cos 60° M1t = 0.6



71.4x287x296.0T KRM Cm 011t1 == Cm1 = 207.3 m/s

T1 = T01 – Cm12 / 2CP = 297°K – (207.32

/ 2x1.005)°K T1 = 275.62°K

1kk

1

01011 T

T / P P

−

=

5.3

62.275297 / KPa 101.3

= P1 = 77.99 KPa

1

11 T R

P =ρ =

K1

NewxmK Kgm

mNew

275.62 x 28710 x 77.99

2

3

°°

ρ1= 0.986 Kg/m3


( ) ( )38.1633.2074.0165.0

137.2986.0

97.0x21

Ca

aC

1r

rBK21

rb 22

2m

1o

1o

1m22

22

2t11

22

2 −=ν−ρ

ρ=

1071.0rb

2

2 = b2 = r2x0.1071 = (0.2805/2)x0.1071 b2 =0.0150 m

r2 = 0.2805/2 r2 =0.1403 m

r1t = 0.65 x r2 = 0.65 x 0.1403 r1t =0.0912m

r1r = 0.4 x r1t = 0.4 x 0.0912 r1r =0.0365m

r1m = (0.0912 + 0.0365)/2 r1m =0.0639m

Las condiciones relativas promedio a la entrada son:

1403.039552.3x0.06

rrU

U2

m121m == U1m=251.35m/s

2221m

21m1m 207.3251.35CmU W +=+= W1m=325.8m/s

T01m‘ = T1 + W1m2 / 2CP = 275.62°K + (325.82

/ 2x1.005)°K T01m‘ =328.43°K

14.1

4.11k

k

1

m01101m 62.275

43.32899.77T

'T P 'P

−−

=

= P01m‘=144.05KPa

Los números de Mach locales son:



5.261.4x287x41552.3

T KRU

MU2

22 == MU2 = 1.352

5.261.4x287x41386.6

T KRC

M2

22 == M2 = 0.942

5.621.4x287x27207.3

T KRC

M1

11 == M1 = 0.623

5.621.4x287x275.0207.3

T KR60cos/C

'M1

11t == M’1t = 1.246

4.5.4. Predicción de comportamiento del impulsor.

La predicción de comportamiento del diseño propuesto requiere la predicción de

eficiencias sobre un rango de rpm del impulsor y ratas de flujo. La aproximación

unidimensional debe apoyarse necesariamente en modelos empíricos de dinámica de

fluidos y en correlaciones de pérdidas.

Un procedimiento satisfactorio para predecir el comportamiento requiere de la

mejor información posible acerca de las irreversibilidades asociadas con el proceso de flujo

a través del impulsor. El empirismo representa la acumulación de muchos años de

experiencia del diseñador o indirectamente de la literatura publicada. El procedimiento de

predicción no conduce a una respuesta correcta pero resulta en una solución que puede

considerarse de un estándar similar a las maquinas conocidas usadas para afinar los

modelos empíricos de pérdidas.

Modelos unidimensionales de predicción han sido descritos por Balje, Coppage,

Galvas, Whitfield y Baines, Japikse entre otros. Whitfield y Baines separaron la dinámica de

gas fundamental de los empirismos necesarios para predecir el comportamiento de un

ducto cualquiera, identificando el área de flujo a la descarga Ay, el ángulo de flujo relativo a

la descarga βy y el aumento de entropía ∆s como los parámetros que deben obtenerse

empíricamente.

4.5.4.1. Modelo generalizado de flujo en ductos. El Apéndice A presenta la

derivación de la ec. (4.73) que es la ecuación principal de un modelo generalizado de flujo

en ductos (ver Fig. 4.37) y combina las ecuaciones de continuidad, energía y entropía.



( )( ) ( )

( )( )1k2

1k

2x

2y

ox'

1k21k

2y

'y

'y

x

y

ox'

x

ox'

o

UUTkR2

1k1M2

1k1MsenAA

P Ak/RTm −

+

−+−

−

−+σ

−+β= (4.73)

Para resolverla es necesario tener modelos separados para calcular valores de Ay,

βy y σ = exp(-∆s/R). El número de Mach relativo de descarga M’y puede entonces

resolverse por un proceso iterativo.

Fig. 4.37. Esquema generalizado ducto rotativo.

Figura 4.38. Flujo másico adimensional en función del Mach relativo de descarga.

Por lo tanto, el proceso iterativo computarizado debe chequear que el flujo másico

adimensional especificado es de una magnitud aceptable. Si el flujo másico adimensional

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 0,5 1 1,5Numero de Mach relativo

Fluj

o m

asic

o ad

imen

sion

al

Flujo masico adimensional en funcion de Mach relativo

La ec. (4.73) se puede escribir en la forma:

( )y'

ox'

x

ox'

o

Mf CteP A

k/RTm=

( )( )( )1k2

1k

2y

'y

'y

' M2

1k1MMf−+−

−+=

La función f(M’y) se grafica en la Fig.

4.38 para Cte=1 y k=1.4, donde se puede

observar que el flujo adimensional no puede

exceder un valor asociado con un numero de

Mach igual a la unidad.



iguala el máximo permitido, existe una condición de bloqueo (choke) en el componente bajo

consideración.

Un flujo másico mayor que el máximo (tal como puede ocurrir en el curso del

procedimiento iterativo de solución) no se puede obtener físicamente y el procedimiento

computarizado debe chequear y corregir esta situación antes que la ec. (4.73) pueda

resolverse.

La ec. (4.73) es aplicable a ductos rotatorios o estacionarios. En ductos

estacionarios no existen los triángulos de velocidades y se tiene que Ux = Uy = 0, T’0x = T’0y

= T0x = T0y y todas las propiedades ‘‘relativas’’ del fluido son en este caso ‘‘absolutas’’.

4.5.4.2. Modelo del flujo separado en el impulsor. El modelo generalmente

aceptado del flujo a través del impulsor considera un flujo separado con un chorro (jet) de

alta velocidad y una estela (wake) de baja velocidad ambos saliendo en la descarga del

impulsor. La velocidad relativa en el punto de separación se puede obtener especificando

la relación de difusión que puede sostenerse en el impulsor antes de la separación.

Figura 4.39. Esquema del modelo chorro-estela.

Japikse refinó este modelo básico permitiendo dos zonas distintas en el impulsor:

un chorro isentrópico y una estela que transporta una proporción del flujo másico a

diferencia del modelo de una zona chorro-estela de Dean. La proporción de flujo másico

transportado por la estela se estima generalmente en un 20%. La localización del punto de

separación en el modelo de dos zonas no es importante y se considera que ambas zonas

se extienden desde la entrada hasta la salida del impulsor.

El modelo de Dean asume

entonces que el flujo se separa

en un chorro isentrópico, donde

el número de Mach permanece

constante y transporta la

totalidad del flujo másico y una

estela de muy baja velocidad

donde el flujo másico es

prácticamente nulo, como se

esquematiza en la Fig. 4.39.



Análisis del chorro isentrópico.

La componente tangencial de la velocidad absoluta a la salida del ducto genérico

es según la ec. (4.65) y la Fig. 4.31 :

Cθyj = µ j (Uyj – Wyj sen βyj cot βy’) (4.74)

Además,

Cθyj = Uyj – Wyj cos βyj (4.75)

Sustituyendo la ec. (4.75) en la ec. (4.74) se obtiene

Uyj(1- µ j)/ Wyj = cos βyj -µ jcot βy’ sen βyj

(4.76)

Despejando βyj se obtiene

( ) ( )

2y

2j

21

2yj

2j

2yj2

y2

jyjyj

jyj

yj 'cot 1

W1U

'cot 1 'cot W1U

senβµ+

µ−−βµ++βµ

µ−−

=β (4.77)

La velocidad relativa se puede eliminar de la ec. (4.77) a través de:

21

2yj

'

yj0yj

'yj

M2

1k1

'kRTMW

−

+= (4.78)

Sin embargo, no existe ninguna ventaja en completar esta eliminación ya que la

ecuación resultante debe resolverse simultáneamente con la ec. (4.73) para βyj y Ayj. Japikse asume un valor de µ j para el chorro, el cual debe corregirse posteriormente para

conducir a un factor de deslizamiento, posterior al mezclado chorro-estela, calculado con

una correlación apropiada como la de Stanitz. Esta situación se considerara posteriormente

cuando se trate el mezclado entre el chorro y la estela.

El procedimiento de solución para el chorro se desarrolla de la siguiente manera:

1. Usando la Fig. 4.40 y las definiciones de rotalpía y entalpía total relativa se tiene:



Figura 4.40. Proceso h-s para ducto rotatorio.

3. Fijando un valor para el factor de deslizamiento µ j, el cual se mantiene

constante, se puede ahora resolver la ec. (4.77) para sen βyj, ya que βy’ es conocido.

4. El número de Mach relativo del chorro M’yj se calcula en base a la ec. (4.81)

21

2yjyj0yjyj

' W2

1k 'kRTWM−

−

−= (4.81)

5. El flujo másico transportado por el chorro es 80% del total y el proceso es

isentrópico, por lo que ∆s =0 y σ = exp(-∆s/R) = 1. La ec. (4.73) se puede resolver para Ayj.

6. La densidad ρyj se calcula seguidamente con las ecuaciones:

=

kR1

MW

T2

yj'yj

yj 1k

k

x0

yj0x0yj0 'T

'T'P'P

−

=

1kk

yj

yj0yjyj0 T

'TP'P

−

= (4.82)

yj

yjyj T R

P =ρ (4.83)

7. La componente meridional de la velocidad del chorro Wmyj = Cmyj se calcula

con:

h0’yj - h0

’x = (U2

yj – U2x)/2 (4.79)

( )2x

2yj

x0x0

yj0 UU'kRT2

1k1'T'T

−−

+= (4.80)

Las condiciones de entrada en el

punto x son conocidas, asi como

también las velocidades tangenciales

de rotación Uyj y Ux. Por lo tanto, T0x’

es conocido y se puede calcular T0yj’.

2. Asumiendo un valor para DR se

puede usar la ec. (4.72) para calcular

la velocidad del chorro Wyj.



yjyjmyjyjo

A W m ρ= (4.84)

8. Se calcula el triángulo de velocidades del chorro a la salida y todas las

propiedades.

Ejemplo 1.10. Continuación. Cálculo del chorro.

( )

( )

−

−+

=

−

−+=

22

2x

2yj

x0x0yj0

35.2513.55243.328x287x4.1x2

14.1143.328

UU'kRT2

1k1'T'T

K 82.448'T yj0 °=

Asumiendo DR = 1.8 y usando la ec. (4.72) se tiene

sm 33.230

8.16.414

DRW

W t1yj ===

Asumiendo µ j= 0.8898 se calcula sen βyj con la ec. (4.77) y βy‘ = 45°.

sen βyj = 0.6011 βyj = 36.95°

5591.033.2302

14.1 82.448x287x4.133.230M21

2yj

' =

−−=

−

El flujo másico transportado por el chorro es 80% de 4.301 kg/s y el proceso es

isentrópico, por lo que ∆s = 0 y σ = exp(-∆s/R) = 1. La ec. (4.73) se puede resolver para Ayj.

Ayj = 0.00866777 m2

Despreciando el espesor de los alabes en la descarga se tiene

A tot = 2 π r2 b2 = 2x3.1416x0.1403mx0.015m = 0.013223 m2

Ayj/Atot = 0.00866777/0.013223 = 0.5805 = 65.55%

K41.422287x4.1

15591.0

33.230T2

yj °=

=

KPa 75.42943.32882.44805.144'P 14.1

4.1

yj0 =

=

−



KPa 56.34741.42282.44875.429

T'T

'PP5.31k

k

yj

yj0yj0yj =

=

=

−−−

3

yj

yjyj Kgm/m 8669.2

287x422.410347.56x100

T RP

===ρ

sm 464.138

0.00866777.8669x 2301.4x8.0

Am

Wyjyj

yjo

myj ==ρ

=

Tambien:

sm 464.1381130.33x0.602 sen WW yjyjmyj ==β=

sm 07.184cos WW yjyjyj =β=θ

sm 23.368184.07-552.3 WU C yjyjyj ==−= θθ

sm 404.393464.381368.23 WC C 222

myj2

yjyj =+=+= θ

Análisis de la estela.

Las suposiciones principales aplicadas a la estela son:

a. El fluido es guiado perfectamente por los alabes βyw = β’y

b. La presión estática del chorro es igual a la presión estática de la estela Pw = Pj.

Debido a que las presiones estáticas en el chorro y la estela son iguales, la

diferencia de entropía entre el chorro y la estela esta dada por:

−=

∆

yj

ywe T

Tlog

1kk

Rs (4.85)

Esta diferencia de entropía es también el aumento de entropía que ocurre en la

estela, ya que el chorro se asumió isentrópico. Sustituyendo la temperatura de la estela a

través de la expresión:



2yw

yw

yw0 'M2

1k1T

'T −+= (4.86)

Se obtiene el aumento de entropía de la estela:

( )1k

k

2yw

yw0

yj 'M2

1k1'T

TR/sexp

−

−+=∆− (4.87)

La ec. (4.87) se resuelve simultáneamente con la ec. (4.73) para establecer las

propiedades en la descarga de la estela.

El procedimiento de solución se desarrolla de la siguiente manera:

1. Se conoce T0yw’ en base a la ec. (4.79).

2. Sustituyendo la ec. (4.87) en la ec. (4.73) se puede resolver para M’yw ya que Tyj

se conoce de la solución para el chorro, σ = exp(-∆s/R), sen βyw = sen βy’, el flujo másico

transportado por la estela es 20% del total y asumiendo que el espesor de los alabes

bloquea el área de salida en un 8% se tiene Ayw = Aytot (1-0,08) - Ayj

3. Tyw se calcula con ec. (4.86) y la densidad ρw con ec. (4.88) ya que Pyj = Pyw.

yw

yjyw T R

P =ρ

(4.88)

5. La componente meridional de la velocidad de la estela Wmyw = Cmyw se calcula

con:

ywywmywywo

A Wm ρ= (4.89)

6. Se calcula el triángulo de velocidades de la estela a la salida, conjuntamente con

todas las propiedades de salida.

Ejemplo 1.10. Continuación. Calculo de la estela e incremento de entropía.



K 82.448'T yw0 °=

( )( )

( )( )1k2

1k

x0

yw01kk

2yw

yw0

yj1k21k

2yw

'yw

'ywyw

ox'

ox'o

w'T'T

'M2

1k1'T

TM

21k1MsenA

P k/RTm −

+−−

+−

−

+

−

+β=

( )( )1k2

1k

x0

yw01kk

yw0

yj21

2yw

'yw

'ywyw

ox'

ox'o

w'T'T

'TT

M2

1k1MsenAP

k/RTm −+

−

−

+β=

( )35.3

21

2yw

'yw

'

43.32882.448

82.44841.422M2.01xM7071.0x00349739.0

440501 4.1/287x328.43301.4x2.0

+=

( ) 55204.2x80877.0xM2.01M62655.0 21

2yw

'yw

' +=

( )21

2yw

'yw

' M2.01M303564.0 += ; ( )2yw

'2yw

' M2.01M09215.0 +=

4yw

'2yw

' M2.0M09215.0 += ; 009215.0MM2.0 2yw

'4yw

' =−+

046075.0x5x2 =−+ ;2

843.12552

46075.0x455x2 +±−

=+±−

=

X1=0.09051 X2=-5.0905

30085.009051.0M yw' ==

K84.44009051.0x2.01

82.448

'M2

1k1

'TT

2yw

yw0yw °=

+=

−+

=

sm62.12684.440x287x4.130085.0kRT'MW ywywyw ===

sm 53.89071126.62x0.7 sen WW ywywmyw ==β=

sm 53.89071126.62x0.7 cos WW ywywyw ==β=θ

sm 77.46289.53-552.3 WU C ywywyw ==−= θθ

sm 35.47153.89462.77 WC C 222

myw2

ywyw =+=+= θ

( ) ( ) 8611.009051.0x2.0182.44841.422R/sexp

5.3

=

+=∆−

1495.0R/s =∆



1495.041.42284.440log5.3

TT

log1k

kRs

eyj

ywe =

=

−=

∆

Las suposiciones realizadas en cuanto a la fracción de flujo másico en la estela,

chorro isentrópico, igualdad de presión estática en chorro y estela y flujo perfectamente

guiado en la estela, permiten calcular directamente el aumento de entropía en el impulsor

sin necesidad de recurrir a correlaciones empíricas de pérdidas.

Mezclado del chorro y estela a la descarga del impulsor.

Las contribuciones principales al modelaje del mezclado chorro-estela son las

publicaciones de Dean y Senoo y Johnston y Dean. Posteriormente Japikse desarrollo el

proceso de mezclado como una parte integral de su modelo de dos zonas. La energía

disipada en el proceso de mezclado resulta en un incremento de presión estática y una

caída de la presión total con su consecuente incremento de entropía y puede calcularse en

una manera muy similar a la clásica pérdida ocasionada por una expansión brusca.

La expansión brusca se modela normalmente mediante la aplicación de las

ecuaciones de energía, continuidad y momentum a un ducto imaginario o volumen de

control VC, con la estación de entrada designada con una ‘x’ y la estación de descarga

designada con una ‘y’ tal como se muestra en la Fig.4.41.

Ecuación de energía. Las pérdidas ocasionadas por fricción entre la espalda del

impulsor y la pared estacionaria de la carcasa, denominadas pérdidas de disco dfo

W , y las

pérdidas por recirculación rco

W , causan un aumento de temperatura total a la descarga del

impulsor sin el correspondiente incremento de presión total y deben incluirse en la

ecuación de energía:



Figura 4.41. Estaciones de mezclado chorro-estela

y0

orc

odf

o

xw0wo

xj0jo

hm W W hm hm =+++ (4.90)

Con o

o

w

m

m =δ se obtiene la temperatura total de mezclado a la descarga como:

( )

++δ+δ= rco

dfo

oxw0xj0y0 W Wm

1kR

1-k T T-1 T (4.91)

Las pérdidas de disco se pueden modelar según Daily y Nece:

df0o

dfo

hm W ∆= (4.92)

ρ=∆

kgmJDU

Rem 0.01356 h 2

23

22.0o

2df0

(4.93)

Donde Re=U2D2/ν01 es el número de Reynolds del impulsor basado en las

condiciones totales de entrada.

El incremento de entalpía total por recirculación se modela según Jansen:

α=∆

kgmJ ctgDf 0.02U h 2

222rc0 (4.94)



Donde Df es un parámetro de difusión dado por:

( ) 1

2

t1

2

t1

1t

22

2

1m1m22

1t

2rr2

rr1Z

WW

UUC-UC0.75

WW-1 Df

−θθ

+

−

π+= (4.95)

Ecuación de momentum tangencial. El ducto imaginario o volumen de control que

contiene el proceso de mezclado tiene una extensión infinitesimal en la dirección radial; por

lo tanto, las fuerzas de corte debidas a las paredes laterales se pueden despreciar y la

ecuación de momentum tangencial resulta en:

yo

xwwo

xjjo

Cm Cm Cm θθθ =+ (4.96)

La componente tangencial de la velocidad de mezclado es entonces:

( ) xwxjy C C-1 C θθθ δ+δ=

(4.97)

Ecuación de momentum radial.

( ) mxwowmxj

ojmy

oyyxwwxxjjx CmCmCm AP- AP AP −−=+ (4.98)

La presión estática de mezclado Py es entonces:

( ) ( )[ ]mymxwmxjy

o

xwxjy

jxy CCC1

Am A A

AP

P −δ+δ−++= (4.99)

Ecuación de continuidad. La presión estática Py no se puede calcular directamente

de la ec. (4.99) porque la componente meridional Cmy también es desconocida. La

ecuación de continuidad es:

( )

+

−−

=

θ2

y2

myy0

myy

y

o

CCkR2

1kTR

CPAm (4.100)

que se puede combinar con la ec. (4.99) para dar una ecuación cuadrática en Cmy:

( ) ( )[ ]

δ+δ−++−

−

− mxwmxjy

o

xwxjy

xjmy

y

o2

my CC1AmAA

AP

Ck21k1

AmC



0Ck21kRT

Am 2

yy0y

o

=

−

−+ θ (4.101)

El incremento de entropía asociado con el proceso de mezclado es:

−

−

=∆

w

ye

w

ye P

Plog

TT

log1k

kRs (4.102)

El factor de deslizamiento de mezclado esta dado por:

µ = Cθy / (U2 - Cr2 cot β2’) (4.103)

Si este factor no coincide con el factor calculado por la correlación seleccionada,

como por ejemplo la de Stanitz, se debe modificar el factor de deslizamiento estimado para

el chorro y repetir el cálculo hasta converger.

Ejemplo 1.10. Continuación. Calculo del mezclado e incremento de entropia.

( )

++δ+δ= rc

odf

o

oxw0xj0y0 W Wm

1kR

1-k T T-1 T

T0xj = Txj + Cxj2 / 2CP = 422.41°K + (393.52

/ 2x1.005)°K =422.41°K + 77.0°K

T0xj = 499.41°K

T0xw = Txw + Cxw2 / 2CP = 440.84°K + (471.352

/ 2x1.005)°K =440.84°K + 110.53°K

T0xw = 551.37°K

=

=∆

−

kgmJ69.3580

kgmJ2806.03.552

10x6.12806.0x3.552301.4

137.2 0.01356 h 232.0

5

df0

=

=

sJ54.15400

sJ.674.301x3580 Wdf

o

( ) 1

2 1403.00912.0x2

1403.00912.0128

1.81

3.525.3350.38x5520.75

1.81-1 Df

−

+

−π

+=

0.5043.05990 0.5555-1 Df =+=



=

=∆

kgmJ71.2271

kgmJ 52 ctg x0.5043x0.02552.3 h 22

rc0

=

=sJ62.9770

sJ.714.301x2271 W rc

o

( )2271.71 69.35801.4x287

1-1.4 37.551x2.0 0.8x499.41 T y0 +++=

( ) K63.515K29.5K29.50583.537.551x2.0 41.4992.0-1 T y0 °=°+°=++=

( )sm14.38777.462x2.0 23.3682.0-1 C y =+=θ

[ ]

+++

−

53.89x2.046.138x8.0013223.0

301.43223,1

3497,08668,0Kpa56.347C8571.0013223.0

301.4C my2

my

014.387x1429.063.515x287013223.0

301.4 2 =

−+

041170268C361611C278.8 my2

my =+−

052.147669C03.1297C my2

my =+−

sm12.126

279.104403.1297

252.147669x403.129703.1297C

2

my =±

=−±

=

[ ]sm

sxm

kgm12.12653.89x2.046.138x8.0013223.0

301.4 3223,1

3497,08668,0KPa56.347P 2y −+++

=

KPa59.320P y =

sm 16.40712.126387.14 CC C 222

my2

yy =+=+= θ

Ty = T0y – Cy2 / 2CP = 515.63°K - (407.162

/ 2x1.005)°K =515.63°K - 82.48°K

Ty = 433.15°K

µ = Cθy / (U2 - Cr2 cot β2’) = 387.14 / (552.3 – 126.12 cot 45)=0.9084

µ = 1 - ( ) 54 cot.3126.12/552 - 128

63.0 π

= 0.9084

El incremento de entropía debido al proceso de mezclado es:

0192.00808.00616.056.34759.320log

84.44015.433log5.3

Rs

ee =+−=

−

=∆

· Dr. Gabriel Alarcón J Ingeniero Mecánico - ULA Venezuela M.Sc. Ph.D. - Iowa State University...

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