PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PERU

FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERA

SISTEMA DE DETECCIN DE FALLAS PARA UN MOTOR DCMEDIANTE FILTROS DE KALMAN

Tesis para optar el Ttulo de Ingeniero Electrnico, que presenta el bachiller:

Jan-Andr Dubois Farfn

ASESOR: PhD Juan Javier Sotomayor

Lima, Junio del 2011

Resumen

Las metodologas para la determinacin e identificacin de fallas en procesos indus-triales viene siendo desarrollada e investigada desde hace 30 aos, en los cuales se hanelaborado una gran variedad de metodologas de deteccin y de aplicaciones a sistemasreales.

Debido al aumento de la complejidad y cantidad de los procesos que necesitan sercontrolados, surgen teoras para la deteccin e identificacin de fallas como solucin aproblemas de repercusin no solo econmica, sino tambin ecolgica, productiva y deseguridad.

En la presente tesis se ha desarrollado un mtodo de deteccin e identificacin basado enuna innovacin proveniente del filtro de Kalman, la cual provee condiciones suficientesy necesarias para la deteccin de fallas aditivas bajo influencia de ruido gaussianoblanco. Esta metodologa de deteccin se aplica a un motor de corriente contnua deexcitacin independiente, cuya funcin de transferencia tipo SISO ha sido obtenidaexperimentalmente.

Posteriormente un anlisis estadstico de la innovacin obtenida del filtro de Kalman,ha permitido diagnosticar la presencia e instante de la falla aditiva generada en elsensor del sistema. Lo anterior ha generado un sistema capaz de detectar fallas aditivasidealizadas como modelos tipo escalones y rampas en un sistema lineal e invariante enel tiempo.

El sistema desarrollado, permite la correcta deteccin e identificacin de las fallas adi-tivas presentes en el sensor del modelo del motor de corriente continua, basndose enel anlisis estadstico del parmetro innovacin proveniente del Filtro de Kalman.

Contenido

Introduccin 3

1. Problemtica de la Deteccion y Aislamiento de Fallas 5

1.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Importancia del Motor de Corriente continua y la Deteccin de Fallas . 6

1.3. Estado del Arte: Deteccin y Determinacin de Fallas . . . . . . . . . . 6

1.3.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2. Fallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.3. Caractersticas deseables en un sistema de diagnstico de fallas . 7

1.3.4. Clasificacin de los Mtodos de Deteccin de Fallas . . . . . . . . 8

1.3.5. Mtodo a emplear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4. Objetivos de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.2. Objetivos Especficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Deteccin de Fallas en Motores de Corriente continua 20

2.1. Caractersticas de los Motores de Corriente Contnua . . . . . . . . . . . 20

2.2. Motor de Corriente Continua de excitacin independiente . . . . . . . . 21

2.2.1. Modelo Matemtico del Motor de Corriente continua de excitacinindependiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3. Identificacin del Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1. Mtodo de Ziegler-Nichols en lazo abierto . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.2. Identificacin mediante la Herramienta de Identificacin de Sis-temas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4. Escenario de Fallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

i

3. Diseo de un sistema de Deteccin y Aislamiento de fallas 35

3.1. Filtro de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.1. El Filtro de Kalman Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.2. Modelo grfico del Filtro de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2. Cambios Aditivos en Modelos Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.1. Cambios Aditivos en Modelos de estado espacio . . . . . . . . . . 41

3.2.2. Innovacin y Redundancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3. Diseo del Sistema de Deteccin de Fallas . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.1. Generacin de Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.2. Evaluacin del Residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.3. Simulacin de Filtro de Kalman para la deteccin de Fallas . . . 52

4. Pruebas y Anlisis de Resultados 59

4.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2. Resultados y Anlisis de la Innovacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2.1. Modelamiento sin Falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2.2. Modelamiento con Falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2.3. Anlisis de los Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3. Resultados y Anlisis del GLR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3.1. Modelamiento sin Falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3.2. Modelamiento con Falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3.3. Anlisis de los Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Conclusiones 72

Recomendaciones 73

Bibliografa 74

ii

ndice de figuras

1.1. Diagrama bsico de tipologa de fallas[1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Esquema de Mtodos de Diagnstico de Deteccin de Fallas[2] . . . . . . 9

1.3. Esquema general del uso de redundancia analtica[1] . . . . . . . . . . . 10

1.4. Tipologa de observadores en procesos dinmicos [1] . . . . . . . . . . . 11

1.5. Deteccin de fallas con ecuaciones de paridad en Procesos Dinmicos [1] 12

1.6. Dinmica de ciclos de prediccin consecutiva y filtrado en Filtros deKalman [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7. Concepto Dinmico de los EKF [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8. Formas de conocimiento cualitativo basados en el modelo del proceso[4] 14

2.1. Conexiones del Motor DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Herramienta de Simulacin del Motor DC . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3. Curva esttica del Motor DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4. Respuesta Transitoria ante entrada tipo escaln . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5. Retardo de la respuesta transitoria ante una entrada escaln . . . . . . . 26

2.6. Punto t63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.7. Modelamiento de la Respuesta Transitoria Modelo del Proceso a unafuncin de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.8. Aproximacin del sistema una funcin de Primer orden con retardo . . . 28

2.9. Respuesta transitoria del sistema ante una entra tipo escaln . . . . . . 29

2.10. Modelamiento de la respuesta transitoria del proceso a una funcin desegundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.11. Aproximacin del sistema a una funcin de Segundo orden con retardo . 30

2.12. Modelamiento de la respuesta transitoria del proceso a una funcin desegundo orden con un cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.13. Aproximacin del sistema a una funcin de segundo orden con retardoy un cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1

2.14. Respuesta transitoria ante entrada escaln real y la estimada . . . . . . 32

3.1. Dinmica de ciclos de prediccin consecutiva y filtrado en Filtros deKalman [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2. Modelamiento del Filtro de Kalman[5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3. Cambios aditivos en un modelo de estado espacio[5] . . . . . . . . . . . 42

3.4. Esquema general de deteccin y diagnstico de fallas . . . . . . . . . . . 45

3.5. Representacin grfica del modelamiento del filtro de Kalman . . . . . . 48

3.6. Herramienta de Simulacin General para la deteccin de fallas . . . . . . 53

3.7. Modelo del Sistema sin Fallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.8. Modelo del sistema con fallas tipo escaln . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.9. Modelo del sistema con fallas tipo rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.10. Subsistema para el clculo estadstico del proceso . . . . . . . . . . . . . 57

4.1. Innovacin proveniente del Filtro Kalman sin presencia de falla . . . . . 60

4.2. Media de la Innovacin proveniente del Filtro Kalman sin presencia defalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3. Desviacin de la Innovacin proveniente del Filtro Kalman sin presenciade falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4. Comparacin en la salida para modelos sin falla y con falla escaln . . . 61

4.5. Innovacin proveniente del Filtro Kalman en presencia de falla escaln . 62

4.6. Media de la Innovacin proveniente del Filtro Kalman en presencia defalla escaln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.7. Desviacin de la Innovacin proveniente del Filtro Kalman en presenciade falla escaln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.8. Comparacin en la salida para modelos sin falla y con falla rampa . . . 63

4.9. Innovacin proveniente del Filtro Kalman en presencia de falla rampa . 64

4.10. Media de la Innovacin proveniente del Filtro Kalman en presencia defalla rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.11. Desviacin de la Innovacin proveniente del Filtro Kalman en presenciade falla rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.12. Ratio generalizado de verosimilitud en modelo sin fallas . . . . . . . . . 66

4.13. Estimacin del tiempo de falla en modelo sin fallas . . . . . . . . . . . . 67

4.14. Ratio generalizado de verosimilitud en modelo con falla escaln . . . . . 67

4.15. Estimacin del tiempo de falla en modelo con falla escaln . . . . . . . . 68

4.16. Ratio generalizado de verosimilitud en modelo con falla rampa . . . . . 69

4.17. Estimacin del tiempo de falla en modelo con falla rampa . . . . . . . . 69

2

Introduccin

La deteccin de fallas, como uno de los requerimientos principales en cualquier plantaindustrial ha tenido una gran evolucin en los ltimos aos, debido principalmente a laaparicin de sistemas cada vez ms complejos, entre los cuales encontramos sistemas decaptacin de seales (sensores), de procesamiento de informacin, etc. Esta evolucinde requerimientos en la industria, sigue generado nuevos sistemas de deteccin de fallas,debido a ello, en la presente tesis se desarrollar el diseo de un sistema de deteccine identificacin de fallas de sensores basado en filtros de Kalman para un motor decorriente continua mediante simulaciones en Matlab.

En en capitulo 1, se desarrollarn conceptos importantes para entender el procedimientoen la deteccin de fallas, definiendo el concepto de falla, su orgen y sus tipos, posterior-mente se realizar una descripcin general de los principales mtodos de diagnstico defallas, basados tanto en el modelo del proceso y en el proceso histrico.

En cuanto a los mtodos basados en el Modelo del proceso, encontramos a los mode-los basados en mtodos cuantitativos, los cuales se basan en los fundamentos fsicosdel proceso, que son expresados entre las entradas y salidas del sistema y cuya mayorventaja es el control sobre el comportamiento de los residuos generados. Adems, en-contramos al Filtro de Kalman, el cual es un estimador de estado con el mnimo errorde estimacin, este se expresa mediante un algoritmo recursivo para la estimacin delestado.

En cuanto a los Modelos basados en mtodos cualitativos, los cuales pueden ser desarro-llados a travs de modelos cualitativos causales, rboles de fallas o fsica cualtitativa.Los modelos causales se desarrollan mediante el uso diagramas que son capaces de des-cribir el comportamiento del sistema siendo representadas mediante grficos dirigidosque buscan la deduccin de modelo o estructura adecuada a un comportamiento espec-fico relacionando la causa y el efecto, sin embargo cabe notar que la deteccin de fallasde este modelo es limitada ya que considera que una falla primaria es un cambio devariable. En el rbol de Fallas, se busca la propagacin de defectos al acontecimientode nivel superior, buscando el origen elemental de la falla. Para el anlisis de fallascuenta con 4 etapas: definicin del sistema, construccin del rbol de fallas, evaluacincualitativa y evaluacin cuantitativa. Sin embargo, su desarrollo es propenso a erroresen diferentes etapas debido que depende de quin cre el modelo mental, por ello nohay forma de verificar la exactitud del rbol de fallas desarrollado.

3

Respecto a la Fsica Cualitativa, acta mediante metodologas para as poder relacionarlos modelos cualitativos a partir del comportamiento matemtico o funcional de la plan-ta logrando proporcionar explicaciones del comportamiento basado en observaciones deproceso y descripcin de sistema. Su ventaja es la creacin de conclusiones parcialesdel conocimiento incompleto y a menudo del conocimiento incierto del proceso.

En el Capitulo 2, se realizar una descripcin del motor de Corriente continua, comouna mquina elctrica que transforma la energa elctrica en energa mecnica y se basaen el principio de repulsin magntica por las corrientes que circulan por las espiras,describiendo mas detallamente al motor de corriente de excitacin independiente, sumodelo, sus ecuaciones y caractersticas que lo definen.

Posteriormente, para el modelamiento del sistema se ha desarrollado un modelo de unsistema donde se encuentran el actuador, el motor de corriente continua y el sensor,usando el mtodo de Ziegler-Nichols en lazo abierto se determin el rango lineal delmodelo segn la curva esttica generada y posteriormente, segn el rango lineal obtenidose gener la curva dinmica del sistema para la posterior obtencin de una funcinde transferencia que define al sistema de entrada-salida. La funcin de transferenciaobtenida anteriormente, es comparada con diferentes ordenes de sistemas extraidos delos datos reales y analizados mediante la herramienta de Identificacin de sistemas,obtenindose un mayor ndice de adecuacin (98,12%) para un sistema de segundoorden con zero.

En el capitulo 3, se define el filtro de Kalman, su importancia como estimador ptimode procesos lineales que son afectados por ruidos blancos gaussianos tanto en el procesocomo en la lectura. As mismo, se define las ecuaciones recursivas que caracterizan aeste mtodo de estimacin.

Se plantea los fundamentos y caractersticas de la deteccin de fallas aditivas parasistemas lineales, dando nfasis a la representacin estado espacio. Posteriormente sedefine los criterios de diseo para la correcta identificacin de la falla mediante el anlisisestadstico de la innovacin proveniente del filtro de Kalman.

En el capitulo 4, se muestran los resultados y el anlisis respectivo del sistema de detec-cin de fallas aditivas generadas de los residuos provenientes del parmetro innovacindel Filtro de Kalman, corroborando los criterios establecidos de diseo para la correctadeteccin de la falla.

Finalmente, se enfatizan las conclusiones obtenidas del diseo del sistema de deteccinde fallas y su aplicacin al motor de corriente continua de excitacin independiente.

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Captulo 1

Problemtica de la Deteccion yAislamiento de Fallas

1.1. Introduccin

Desde hace ms de 30 aos, la deteccin de fallas es un requerimiento indispensable entoda planta, en la actualidad sigue teniendo un incremento progresivo, debido princi-palmente a las necesidades tecnolgicas de nuevos y complejos procesos, as la deteccinde fallas se presenta como respuesta a las nuevas necesidades producto de los mismoscambios tecnolgicos.

Las necesidades, tales como son la oportuna deteccin de fallas y su diagnstico, la bs-queda de seguridad de sistemas cada vez ms complejos, la mejora de calidad de control,as como la disponibilidad de novedosos sistemas de captacin de seales (sensores), yel uso de sofisticados sistemas de procesamiento de informacin, los cuales han plantea-do la creacin e implementacin de complejos algoritmos de monitoreo; originando labsqueda de soluciones a problemas cada vez ms numerosos y frecuentes concernientesa la deteccin e identificacin de fallas, as como su diagnstico y tratamiento.

En la actualidad, las plantas industriales, como sistemas integrales donde intervienendiferentes tipos de variables a medir y complejos procesos, tienen nuevos requerimientosrelacionados con la efectividad tanto econmica, asi como efectividad del proceso mis-mo. Debido al aumento de la complejidad y cantidad de los procesos que necesitan sercontrolados, surgen teoras para la deteccin e identificacin de fallas como solucin nosolo econmica, sino tambin ecolgica, productiva y de seguridad.

Hoy en da, procesos como apertura y cerrado de vlvulas, llenado de tanques o encendi-do de mquinas que eran realizados antes por operarios, ahora son realizados de formarutinaria por sistemas autnomos controlados por computadores u otros sistemas decontrol, dndonos as la imagen del avance de los sistemas de control en muchas ramasde la industria como son la qumica, la petroqumica, la de cemento, la siderrgica,entre muchas otras. [1]

5

1.2. Importancia del Motor de Corriente continua y laDeteccin de Fallas

El motor DC es uno de los elementos ms importantes y verstiles en la industria, de-bido a sus caractersticas particulares como son: inercia pequea o una alta relacin depar e inercia, de igual manera su fcil control de posicin, par y velocidad, estas parti-cularidades lo han convertido en una de las mejores opciones de aplicaciones de controly automatizacin de procesos, sistemas robticos, as como el fresado y mecanizado depiezas.

Por ello, un sistema que pueda detectar las fallas e identificarlas en un motor DC,beneficiar no slo al proceso de deteccin de fallas, sino tambin colaborar con unmantenimiento predictivo del motor y de los elementos que interactan con el motorDC.

As mismo, con un control realimentado adecuado se generarn soluciones oportunas acada tipo de falla detectada, evitando prdidas econmicas por el detenimiento parcialo total de la planta, costos por las reparaciones o cambios forzados de elementos de des-gaste contnuo. Generndose un mantenimiento constante y permanente, aumentandola vida til del motor DC, y por consiguiente el buen desempeo de la planta.

1.3. Estado del Arte: Deteccin y Determinacin de Fallas

1.3.1. Introduccin

Debido a que el principal objetivo de la deteccin y determinacin de fallas (FDI), esla deteccin de la existencia de la falla y su posterior determinacin, es necesario unconocimiento del significado de falla, para luego realizar una revisin de las caracters-ticas principales que deben tener los sistemas para deteccin de fallas y por ltimo unadescripcin de las principales teoras de deteccin de fallas.[1]

1.3.2. Fallas

Una falla se define como aquel proceso o sntoma fuera de lo normal, es decir queno estaba contemplado dentro de un rango aceptable, pudiendo ser ese rango de unavariable calculada o una observada dentro de un proceso.

1.3.2.1. Tipologa de Fallas

Las fallas son originadas por una diversidad de factores que dependen del mismo sistemacomo de otros factores externos, sin embargo las fallas ms comunes presentes en lamayora de sistemas son las que se muestran en la figura 1.1.

6

Figura 1.1: Diagrama bsico de tipologa de fallas[1]

En donde, segn el origen de las fallas se tiene:

Fallas en los sensores y actuadores

Los sensores son instrumentos de extraccin de variables medidas en las plantas, estosinstrumentos tambin son inherentes a sufrir fallas, entre las cules estn las fallas porreparacin, fallas de fuera de rango, as mismo las fallas ocasionadas por el ruido aditivo;es por ello que es necesario hacer una rpida correccin debido a que una lectura errneade algn instrumento o una falla en el actuador pueden generar cambios drsticos eimportantes, originando serias degradaciones en el desempeo de los sistemas de control.

Fallas por cambios estructurales

Se tratan de cambios en el mismo proceso que ocurren debido principalmente a fallaso desgaste en los equipos, los cuales generan cambios en el flujo de informacin entrelas diferentes variables. Algunos ejemplos son: las fallas en el controlador, as comovlvulas atoradas o conductos rotos.

Fallas en cambios de parmetros externos

Ocurren cuando hay partes del proceso que no son modeladas, estas partes tienenniveles establecidos para el buen funcionamiento, pero si estos niveles pueden cambiardebido a perturbaciones que entran en el proceso provenientes del ambiente a travs delas variables del sistema.[1]

1.3.3. Caractersticas deseables en un sistema de diagnstico de fallas

Rpida deteccin y diagnstico

7

La bsqueda de rpidez en la deteccin y diagnstico, es una de las principales ca-ractersticas que se busca de un sistema, pero en esa bsqueda de rpidez el sistemase vuelve sensible a influencias de grandes frecuencias, hacindolo sensible al ruidopudiendo provocar falsas alarmas durante un normal funcionamiento.

Aislamiento

Es la habilidad de los sistemas de diagnstico de diferenciar entre diferentes fallas, peroexiste una relacin inversa con la repulsin ante las incertidumbres de modelos. Esdecir, a ms grande el nivel de aislamiento, poseer menor posibilidad de rechazar lasincertidumbres de los modelos y viceversa.

Robustez

Se busca que el sistema sea robusto ante diferentes ruidos e incertidumbres, a la vez queen su funcionamiento el degradamiento no sea brusco, evitando as fallar totalmente.Los umbrales de robustez en presencia de ruido deben estar cercanos al valor de 0 ydeben tener concordancia con el funcionamiento general del sistema.

Adaptabilidad

Los procesos en general, son dependientes no slo de las entradas externas o de loscambios estructurales, sino tambin dependen de las perturbaciones y de los cambiosmedioambientales, es por ellos que el sistema de diagnstico debe ser adaptable a todosesos cambios y tener la posibilidad de ser reestructurado para nuevos casos o problemasque surgan.

Requerimientos de modelos

Para una rpida deteccin y clasificacin en tiempo real el modelo debe ser lo mssimple posible.[1]

1.3.4. Clasificacin de los Mtodos de Deteccin de Fallas

En la figura 1.2 se muestra un esquema de clasificacin de las mtodos de diagnsticode fallas.

8

Figura 1.2: Esquema de Mtodos de Diagnstico de Deteccin de Fallas[2]

Se describirn los mtodos basados en el modelo del proceso, los cuales estn relacio-nados con el tema de la presente tesis.

Mtodos cuantitativos basados en modelos de proceso

El modelo es usualmente desarrollado, basado en el entendimiento de los fundamentosfsicos del proceso, este entendimiento es expresado en trminos de relaciones matem-ticas funcionales entre las entradas y las salidas del sistema. La mayor ventaja del usode modelos basados en mtodos cuantitativos es el control sobre el comportamiento delos residuos generados, sin embargo, varios factores como la complejidad de los sistemaso grandes dimensiones, as como su no linealidad hacen que este mtodo sea difcil parael desarrollo de un modelo matemtico exacto.

Para estos modelos se desarrollar un primero paso, que es crear diferencias entreel comportamiento actual y el esperado, estas seales artificiales tambin llamadasresiduos, reflejan las potenciales fallas en el sistema. Para el segundo paso, se basa enlas caractersticas de este residuo, desarrollando reglas de decisiones para su diagnstico.

Para la deteccin de las diferencias es necesaria cierta forma de redundancia, pudiendoser por hardware o analtica. La redundancia por hardware no es usada frecuentementepor los costos de sensores extras y el espacio limitado, mientras que la redundanciaanaltica o artificial es desarrollada por la dependencia funcional sobre las variables delproceso, dicha dependencia usualmente es hecha a partir de las relaciones algebraicaso temporales de las entradas y salidas.

La redundancia analtica se clasifica en:

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Directa, que es realizada mediante las relaciones algebraicas entre diferentes medidas delos sensores, siendo estos guardados y luego comparados con el valor ledo del sensor.Temporal, que es obtenida de la relacin diferencial entre salidas de los sensores yentradas de actuadores, por lo que es muy til para deteccin de fallas en sensores yactuadores.[1]

En la figura 1.3 se muestra el esquema general de uso de redundancia analtica.

Figura 1.3: Esquema general del uso de redundancia analtica[1]

La esencia de la redundancia analtica en la deteccin de fallas es revisar el comporta-miento actual del sistema frente al modelo del sistema buscando que sean consistentes,cualquier inconsistencia es expresada como un residuo, el cul ser usado para la de-teccin y aislamiento. Cuando no ocurren fallas, ese residuo debera ser cercano a cero,pero debe mostrar un valor significativo cuando ocurre alguna falla. La utilizacin deeste modelo es generalmente para sistemas lineales debido al conocimiento ms exactode las ecuaciones del modelo. Sin embargo, puede ser utilizado para sistemas no lineales,donde previamente se da linealidad alrededor del punto de operacin.[1]

Observadores

En un proceso, donde los parmetros del proceso son conocidos, pueden ser usadoslos observadores de estado o los observadores de salida. En la figura 1.4 se muestranambos tipos de observadores para procesos en los cuales existen fallas de tipo aditivas,dondefL es una falla aditiva en el actuador o una falla de proceso yfM es una falla delectura en el sensor.

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x(t) = Ax(t) +B u(t) + C v(t) + LfL(t)y(t) = C x(t) +N n(t) +M fM(t)

n(t) v(t) senales de perturbacion fL(t), fM(t) fallas aditivas

Observadores de estado Observadores de salida

x(t) = A x(t) +B u(t) + C v(t) + LfL(t)

(t) = A (t) +Bu(t) +Hy(t)e(t) = y(t)C x(t) n(t) = C (t) , (t) = T1x(t) tranformacion

Figura 1.4: Tipologa de observadores en procesos dinmicos [1]

Observadores de estado

Los clsicos observadores de estado pueden ser aplicados si la falla puede ser modeladacomo un cambio del estado de la variable (j). En el caso de ser procesos con variassalidas se proponen diferentes arreglos, tales como:

Observadores dedicados para procesos con varias salidas:

Observador excitado con una salida, las dems salidas son reconstruidas y comparadascon las salidas medidas, permitiendo la deteccin de solo un error del sensor.

Banco de observadores excitados por todas las salidas, varios observadores de estadoson diseados para un tipo de seal de falla y detectada bajo una prueba hipottica.

Banco de observadores excitados por una nica salida, varios observadores para unnico sensor de salida, las salidas estimadas son comparadas con las salidas medidas,permitiendo la deteccin mltiple de fallas del sensor.

Banco de observadores excitados por todas las salidas excepto una de ellas, igual queel banco anterior pero cada observador es excitado por todas las salidas excepto unasalida del sensor la cual es supervisada.

Filtros sensitivos a fallas para procesos con varias salidas:

El lazo de realimentacin H del observador de estado es elegido para un valor particularde la falla fL(t) cambia en una direccin definitiva y la falla de la seal fM (t) cambiaen un plano definitivo.[1]

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Observadores de salida

Otra posibilidad, es el uso de observadores de entrada desconocida (UIO), si la recons-truccin de las variables de estado no es de inters, los residuos pueden ser designadoscomo independientes de las entradas desconocidas, por lo que slo dependen de lasfallas aditivas fL(t) y fM(t). En el diseo de un observador, no es necesaria la aplicacinde la teora de estimacin de estado (state estimation), en vez de ello es necesario eluso de filtros como estimadores de las salidas. [6]

La importancia de la bsqueda de robustez en los observadores, es debido a la depen-dencia respecto del modelo, cuanto ms complejo sea un modelo entonces ms dficilser la tcnica, volvindose indispensable la robustez del observador.[7] Algunos de losprimeros investigadores, usando deteccin de fallas con observadores fueron: Clark [8],Massoumnia [9] ,entre otros, pero Frank [6] present la solucin al problema funda-mental de la robustez en la deteccin de fallas, dndole la robustez lograble separandolos efectos de cada una de las fallas de los efectos por los errores de modelamiento delsistema. Adems, la aparicin de observadores para sistemas no lineales es analizadapor Frank, [6] donde se le asigna un modelo contnuo en el tiempo para las no linea-les, y basndose en el procedimiento para los observadores lineales se logra un modeloadecuado.

Tambin se crearon observadores especficos no lineales para un tipo especial de sistemasno lineales, entre los cuales tenemos observadores para sistemas con nolinealidad bilineal[10] y observadores basados en mtodos geomtricos diferenciales [11, 1].

Relaciones de Paridad

Este mtodo fue introducido por Willsky [7] , en donde las ecuaciones de paridad sonreorganizaciones y usualmente variantes transformadas de plantas tipo entrada-salidao estado espacio. La esencia es el revisar la paridad o consistencia de la planta usandosensores a la salida y conociendo las entradas al proceso. En la figura 1.5, se muestralas ecuaciones de paridad y metodologa utilizada, tanto para el modelo de entrada -salida , as como para el modelo estado espacio.

r(t) = W(YF (t) QUF (t)

)r(s) = AM(s)y(s) BM(s)u(s)

Figura 1.5: Deteccin de fallas con ecuaciones de paridad en Procesos Dinmicos [1]

12

La evolucin de este mtodo fue desarrollada dndole la inclusin de nuevos aspectoscomo el uso de promedios de trminos cortos para el balance de las ecuaciones resi-duales [12], la generacin de residuos ortogonales para diferentes tipos de fallas [13],la determinacin de un aislamiento garantizado bajo condiciones ideales [14] as comobajo condiciones de bajo ruido[15], pero aun as todava estn limitados a fallas don-de no ocurre una total cada de los parmetros del proceso, ni toman en cuenta lassignificativas incertidumbres de las fallas paramtricas multiplicativas [1].

Filtros de Kalman

Las perturbaciones en plantas son fluctuaciones aleatorias y solamente en algunas oca-siones podemos tener acceso a sus parmetros estadsticos, es debido a este inconvenien-te que un correcto diagnstico de fallas implica monitorear las predicciones del error oel proceso de innovacin.

El objetivo es el diseo de un estimador de estado con el mnimo error de estimacin,los filtros de Kalman son un tipo de ellos, siendo diseado sobre la base del modelo delsistema en su modo de operacin normal.

El filtro de Kalman es un algoritmo recursivo para la estimacin del estado, es debidoa ello que en un modelo de espacio estado es equivalente a un predictor ptimo enun sistema lineal estocstico de entrada salida. En la figura 1.6 se muestra los ciclosdel filtro de Kalman, el primero de prediccin donde estima la salida del sistema yposteriormente el ciclo de filtrado donde minimiza el error de prediccion aposteriori.

Figura 1.6: Dinmica de ciclos de prediccin consecutiva y filtrado en Filtros de Kalman[3]

El Filtro de Kalman, genera una ganancia que es dependiente del tiempo, la culmultiplicada con la estimacin del error generar la estimacin prxima de las variablesde estado. Para poder diferenciar las fallas, se considera un banco de filtros de Kalmanpara todas las posibilidades de cambios[1].

Entre la variedad de filtros de Kalman, un filtro importante es el Filtro de Kalman Ex-tendido (EKF), el cual es usado en sistemas no lineales designando detecciones mediantefiltros locales, basndose en aproximaciones lineales en sistemas no lineales alrededorde su ltima estimacin.

En la figura 1.7 se muestra la utilizacion de los ciclos de prediccin y filtrado del filtrode Kalman para un proceso donde se toma un rango lineal alrededor del ltimo puntode estimacin.

13

Figura 1.7: Concepto Dinmico de los EKF [3]

Adems de los EKF, encontramos nuevos mtodos de reduccin del orden de los filtrosbasndose en un algoritmo que identifica las entradas desconocidas como funciones deuna variable, mientras que los dems parmetros son independientes de dicha variable.[2]

Mtodos cualitativos basados en modelos de proceso

Las relaciones de los modelos cualitativos son expresadas en trminos de funcionescualitativas centradas alrededor de unidades diferentes en el proceso. Los modelos cua-litativos pueden ser desarrollados a travs de modelos cualitativos causales o jerarquasde abstraccin. En la figura 1.8, se muestran las principales metodologas presentes enla clasificacin de los modelos basados en mtodos cualitativos, teniendo 2 principalesclasificaciones en mtodos causales y en jerarquas de abstraccin.

Figura 1.8: Formas de conocimiento cualitativo basados en el modelo del proceso[4]

El desarrollo de conocimiento basado en sistemas expertos, fue el primer intento decapturar conocimiento para plasmar conclusiones usando una metodologa formal. Unsistema experto es un programa de computadora que imita el comportamiento cognitivode un ser humano experto resolviendo problemas en un dominio particular.

Dicho sistema experto consiste en una base de conocimiento, esencialmente un conjuntode reglas if then - else, que varan con la complejidad del sistema, y una mquina

14

de inferencias, la cual busca a travs del conocimiento base para crear conclusiones delos hechos dados. El problema con este tipo de representacin de conocimiento es queno posee ningn entendimiento de la base fsica del sistema, por lo que falla cuandonuevas condiciones son encontradas y no fueron definidas en la base al conocimiento.[4]

En el razonamiento simblico, existen tres clases diferentes de razonamiento, que sonabductivo, inductivo y predeterminado. El razonamiento abductivo es la generacin deuna explicacin hipottica o la causa para lo que ha sido observado. A diferencia de ladeduccin simple lgica, podemos conseguir ms que una respuesta en el razonamientoabducido. Debido a que no existe una forma general de decidir entre varias alternativas,lo ms adecuado es encontrar la hiptesis ms probable, por lo que sera un razona-miento donde sopesamos las evidencias en la presencia de incertidumbre. La bsquedade la causa de una anormalidad en un sistema de proceso es un razonamiento abductivo.El razonamiento abductivo provee adems explicaciones de cmo la causa podra haberproducido la anormalidad observada, dicha facilidad es til, debido a que proporcionasustento a las decisiones de los operadores de planta. El razonamiento inductivo estbasado en la generalizacin o especializacin de una definicin de un concepto apren-dido mediante la unin de todas las experiencias pertenecientes a dicho concepto, yexcluyendo a las que no pertenecen. Por ello, no se puede obtener una definicin clarade un concepto, debido a la gran variedad de experiencias e incertidumbre (datos ruido-sos u observaciones). Por esta razn, se prefiere un esquema de aprendizaje adaptable,un ejemplo es el aprendizaje por fracasos, el cual refina el concepto del fracaso comoexpectativas de como uno ha relacionado sus experiencias.

La importancia del razonamiento predeterminado est basada en su caracterstica deser no monotnico, debido a que no considera las deducciones hechas anteriormentetotalmente vlidas para el resto del razonamiento. Sin embargo, es necesario revisarlas deducciones anteriormente hechas segn vayan apareciendo nuevos cambios, por loque el razonamiento predeterminado se convierte en una herramienta necesaria paracasos donde toda la informacin no est disponible a tiempo o cuando es necesario unrazonamiento de variada informacin simultneamente.[4]

Diagramas basados en modelos causales

Los diagramas basados en modelos causales fueron desarrollados por Iri [16], los cua-les son capaces de describir el comportamiento del sistema en trminos de relacionesde causa-efecto entre las entidades del sistema siendo representadas mediante grficosdirigidos.[17]

El diagnstico, al revs de la simulacin busca la deduccin del modelo o estructuraadecuada a un comportamiento especfico, para lo cual necesita reflexionar acerca delas relaciones causa efecto en el proceso. En los primeros principios de los mtodosbasados en el modelo, se comienza con la descripcin de sistema con las observaciones

15

hechas sobre el mal funcionamiento del proceso. Luego, se procede al razonamiento deidentificar los cambios funcionales que resultaron en el mal funcionamiento del proceso.

Las relaciones causa-efecto o los modelos pueden ser representados en la forma degrficos con signo (SDG), siendo el diagrama un grfico con arcos dirigidos entre losnodos, el SDG es un grfico en donde los arcos dirigidos poseen un signo positivo onegativo agregado. Los arcos dirigidos conducen de los nodos de causa a los nodosde efecto. Cada nodo en el SDG corresponde a la desviacin del estado estable dela variable. Los SDG tienen nodos que representan eventos o variables y bordes querepresentan las relaciones entre los nodos. Los SDG son ms compactos que las tablasde verdad, las tablas de decisiones o los modelos de estado finito.[4]

Una gran innovacin en los diagramas causales fueron las funciones de transferencialineales con elementos acertivos (QTF) por Leyval [18], por lo cul era necesario nuevosmtodos de razonamiento basados en residuos. Uno de ellos, las ecuaciones de diferenciaalgebrica por Montmain & Gentail [19], los cules permitan un mejoramiento de losresultados de diagnstico siendo capaces de detectar diferentes tipos de fallas, comosensores, actuadores y fallas de proceso.

Sin embargo, la habilidad de este mtodo en deteccin de fallas es limitada, el mtodoasume que una falla primaria es un cambio en una variable (representada por un nodo enel diagrama) en vez de un cambio en la consistencia entre las variables (representadacomo un arco en el diagrama). En la industria se busca conocer el componente delproceso que causa la falla, pero esto slo es aplicable para fallas de lectura, debido aque los nodos en el diagrama del modelo representan el sensor del proceso, mientrasque los nodos solos que representan fallas no puede proveer suficiente informacin paraidentificar los arcos en el diagrama.[17]

rbol de fallas

Los Arboles de Fallas son usados para analizar la fiabilidad y seguridad de los sistemas,fue desarrollado por los laboratorios Bell en 1961. Un rbol de fallas es un rbol lgicoque propaga acontecimientos primarios o defectos al acontecimiento de nivel supe-rior. Cada rbol usualmente tiene capas de nodos, y en cada nodo son desarrolladasoperaciones lgicas para la propagacin.[4]

El anlisis del rbol de fallas consiste en 4 etapas: definicin del sistema, construccindel rbol de fallas, evaluacin cualitativa y evaluacin cuantitativa. La creacin de rbolde fallas se produce analizando las causas que provocaran un evento de mayor nivel,conectndose mediante nodos, asi se expande el rbol hasta encontrar un elementoprimario o elemental. Luego de la construccin, se procede a la evaluacin cualitativaque busca el desarrollo de una mnima coleccin de fallas primarias que son necesariasy suficientes para causar una falla de sistema, con lo que podemos identificar las fallascrticas de los componentes[20]. Para la evaluacin cuantitativa, el conocimiento sobrela probabilidad de la ocurrencia de los eventos primarios es usado para calcular laprobabilidad de fallas de los eventos de nivel ms elevado.

16

El rbol de fallas provee un significado computacional de las combinaciones lgicas paraanalizar las fallas de sistemas. Dichas combinaciones lgicas (OR, AND, XOR) ayudana reducir las falsas soluciones y la representacin del sistema.

El problema ms grande con rboles de fallas, es que el desarrollo es propenso a erroresen etapas diferentes, por lo que dependen de la persona que cre el modelo mental yno hay ningn mtodo formal de verificar la exactitud del rbol de fallas desarrollado.Para realizar el diagnstico constante de rboles de fallas, los rboles comprensivamen-te deben representar el proceso mediante relaciones causales que expliquen todas lasrazones de fallas.[4]

Fsica Cualitativa

El conocimiento de fsica cualitativo en el diagnstico de fallas, ha sido representadoen dos caminos. El primer acercamiento es sacar ecuaciones cualitativas de las ecua-ciones diferenciales llamadas ecuaciones de confluencia. Un factor importante de notar,consiste en que el comportamiento cualitativo puede ser sacado incluso si un modelomatemtico exacto no puede ser desarrollado. Los modelos cualitativos no requieren in-formacin detallada tales como expresiones exactas y valores numricos sobre el proceso.La informacin de la magnitud sobre los valores normales de operaciones de parmetrosde proceso y variables es a menudo suficiente.[4]

Un mtodo existente, fue el mtodo de ordenamiento causal, que es usado para con-seguir las relaciones causales por una reduccin conveniente de las relaciones funcio-nales conocidas del proceso[21]. El mtodo de ordenamiento causal establece a priorial diagnstico, un ordenamiento parcial o completo entre las variables en un sistemade ecuaciones. Existe otro mtodo, llamado ordenamiento de preferencia , que ha sidousado para ordenar las variables del punto de vista de flujo de la informacin entreellos.

La idea central es que el flujo de la informacin entre estas ecuaciones no es simult-neo un reconocimiento de la presencia de asimetra (el orden de preferencia parcial ocompleta entre las variables) en las ecuaciones. Esta asimetra muestra los canales deflujo de la informacin y as representa la causalidad.[4]

Otro acercamiento en la fsica cualitativa es la derivacin de comportamiento cualitativode las ecuaciones ordinarias diferenciales (ODEs). Estos comportamientos cualitativosde fallas diferentes pueden ser usados como una fuente de conocimiento. En Sacks[20], seexamina las aproximaciones lineales de elementos acertados para ecuaciones no linealesdiferenciales por el empleo de un razonamiento cualitativo matemtico para deducirlas propiedades cualitativas del sistema. En Kuipers[21], se predice el comportamientocualitativo usando ecuaciones cualitativas diferenciales (QDEs) que es una abstraccinde las ODEs que representan el estado del sistema.

Los objetivos de estas metodologas son de relacionar de descripciones cualitativas fsi-cas y descripciones de ecuaciones a comportamientos cualitativos y proporcionar expli-

17

caciones del comportamiento, basado en observaciones de proceso y la descripcin desistema. La ventaja de estos simuladores cualitativos, es su capacidad de crear conclu-siones parciales del conocimiento incompleto y a menudo de conocimiento incierto delproceso.[4]

Jerarqua de abstraccin de conocimiento de proceso

Otra forma de modelar el conocimiento, es el desarrollo de jerarquas de abstraccinbasadas en la descomposicin, la cual debe ser cpaz de dibujar inferencias sobre elcomportamiento del sistema total basndose nicamente de las leyes que gobiernan elcomportamiento de sus subsistemas. En la descomposicin, las leyes del subsistema nopueden suponer el funcionamiento del sistema entero. En una descripcin jerrquica,una podra representar una descripcin genrica de una clase de partes del proceso. Porlo cual las ecuaciones gobernantes que describen una clase entera de partes de procesopueden hacer suposiciones sobre la clase como un todo, pero no pueden hacer ningunasuposicin sobre el comportamiento de partes particulares del proceso.[21]

Otro principio importante para la descomposicin de sistemas, es el principio de lu-gar: las leyes para una parte expresamente no pueden referirse a ninguna otra parte. Elprincipio de lugar permite predecir el comportamiento basado slo sobre la informacinlocal. Las descomposiciones del proceso de sistemas ms comunes son las siguientes: es-tructural, la cual especifica la informacin de conectividad de una unidad y funcional, lacual especifica la salida de una unidad como una funcin de sus entradas y posiblemen-te de la informacin del estado. Dichas descomposiciones permiten una representacinde la funcionalidad de un sistema en trminos de relaciones de entrada-salida de suspartes o unidades, por lo cual no es determinante si fue hecho de forma cualitativa ocuantitativa.[4]

La descomposicin de un proceso de un sistema a varios subsistemas puede ser desa-rrollada en varios niveles de abstraccin. Existen 2 dimensiones en la cual la abstraccinen diferentes niveles es posible, estructural y funcional. La jerarqua estructural repre-senta la informacin de conectividad entre el sistema y sus subsistemas, mientras quela jerarqua de abstraccin funcional representa las relaciones de significado-propsitoentre un sistema y sus subsistemas.[22, 4]

La bsqueda funcional busca diagnosticar sistemas de procesos complejos que tienensubsistemas con las funciones especficas que son individualmente reconocibles en larespuesta de sistema total. Estos subsistemas son descritos en un nivel inferior comounidades de proceso, sensores, reguladores, actuadores y elementos de control. La ideacentral es que la falla del subsistema de nivel ms alto nivel es debido a la falla delmal funcionamiento de una o varias de estas unidades y utilizar esta descripcin delnivel ms alto para rpidamente identificar el subsistema que es la fuente de ese malfuncionamiento. Debido a ello, este mtodo tiene la virtud de evitar el detalle inne-cesario en las tempranas etapas de diagnstico y rpidamente enfocar a las reas delproblema.[22]

18

1.3.5. Mtodo a emplear

Para el desarrollo de la presente tesis, se utiliz el Filtro de Kalman como un observadorde estado, debido principalmente a ser un mtodo extensamente aplicado en sistemasde navegacin, y control aeroespacial, entre otros. Es aplicable a sistemas lineales comoel motor de corriente continua estudiado, asi mismo el filtro de Kalman minimiza elerror de estimacin ante ruidos gaussianos y genera el parmetro innovacin el cualprovee de las estadsticas necesarias para la correcta determinacin de la falla.

1.4. Objetivos de la Tesis

1.4.1. Objetivo General

Disear un sistema de deteccin e identificacin de fallas para un motor DC, basa-do en filtros de Kalman haciendo uso de simulaciones en el software Matlab para laidentificacin de fallas de sensor.

1.4.2. Objetivos Especficos

Identificar el modelo del sistema del motor de corriente continua, mediante lametodologa de Ziegler-Nichols en lazo abierto y confirmar su funcin de transfe-rencia mediante la herramienta de Identificacin de Sistemas de Matlab.

Investigar sobre las metologas para la deteccin y determinacin de fallas (FDI).

Disear el sistema de deteccin y determinacin de fallas para el motor estudiadohaciendo uso del filtro de Kalman.

Realizar pruebas mediante el software Matlab sobre el sistema diseado paracomprobar su aplicabilidad al motor estudiado.

19

Captulo 2

Deteccin de Fallas en Motoresde Corriente continua

2.1. Caractersticas de los Motores de Corriente Contnua

El motor de corriente continua o DC es una mquina elctrica que transforma energaelctrica en energa mecnica. El motor DC, as como el motor AC se basan en elprincipio de repulsin magntica, debido a las corrientes que circulan por las espiras,generando campos electromagnticos y pares de fuerzas inducidas obligndolas a girar.

Las aplicaciones de los motores de corriente continua se han mantenido en aplicacionesespecialmente en mquinas, herramientas y en procesos industriales. A pesar de lasmejoras que han sido desarrolladas en su diseo, la mquina de corriente continua esconstructivamente ms compleja que las mquinas de corriente alterna debido al empleode escobillas, colector, etc.

La complejidad del motor de corriente continua frente a las mquinas de corriente al-terna, las convierte comparativamente en menos robusta, adems requiere mayor man-tenimiento y a la vez tiene un mayor volumen y peso para la generacin de la mismapotencia. No obstante, el motor DC. tiene mltiples aplicaciones, especialmente comomotor, debido principalmente a:

Amplio rango de velocidades (ajustables de modo continuo y controlable con altaprecisin).

Caracterstica de torque-velocidad variable, constante o bien una combinacin ideadapor tramos.

Rpida aceleracin, desaceleracin y cambio de sentido de giro.

Posibilidad de frenado regenerativo.

Entre las grandes aplicaciones de los motores DC, encontramos los grandes motoresde corriente continua , los cules se utilizan en prensas de impresin, transporte delos ventiladores, bombas, elevadores, gras, fbricas de papel, textiles, etc. Mientras

20

que, los pequeos motores de corriente continua, que estn fraccionados en potencia,se utilizan en dispositivos de control tales como taco-generadores para sensores develocidad y servomotores para el posicionamiento y seguimiento. [23]

2.2. Motor de Corriente Continua de excitacin indepen-diente

Entre las principales caractersticas de los motores DC de exitacin independiente en-contramos:

Ambos bobinados del estator y rotor son excitados por corriente continua.

El rotor tiene el colector o conmutador.

El voltaje continuo a los devanados de armadura se suministra a travs de los cepilloselctricos que establecen contacto con el colector.

Los cepillos se fijan en relacin con el estator y se colocan para obtener un desfasa-miento angular especfico.

Para aprovechar al mximo el par electromagntico, los ejes magnticos del estator yrotor estn desfasados uno del otro en 90 grados mediante un colector

2.2.1. Modelo Matemtico del Motor de Corriente continua de exci-tacin independiente

Las ecuaciones dinmicas que describen el comportamiento del motor de corriente con-tinua de excitacin independiente, son:

Va = Raia + Ladiadt

+Kbifm (2.1)

Vf = Rf if + Lfdifdt

(2.2)

Donde Ra es la resistencia de armadura, Rf es la resistencia de campo, if es la corrientede campo, ia es la corriente de armadura, La es la inductancia de armadura, Lf es lainductancia de campo y m la velocidad del motor.

Las ecuaciones estn relacionadas con la operacin de un motor conectado rgidamentea una carga con momento de inercia (J) y las prdidas de friccin en la carga sonrepresentadas con un coeficiente viscoso (B), por lo que el torque desarrollado por elmotor esta representado por la ecuacin 2.3.

Te = Ti +Bm + Jdmdt

(2.3)

21

Donde m es la velocidad angular, Ti es el torque de carga y Bm representa lasprdidas del torque rotacional en el sistema. Generalmente el torque es relacionado conla corriente de armadura (ia) y con el flujo de campo () mediante la ecuacin 2.4[23]

Te = Ka ia (2.4)

Para un motor DC de excitacin independiente el flujo de campo esta expresado por laecuacin 2.5.

= Nf ifS

= Kf if (2.5)

Donde Nf es el nmero de vueltas en el bobinado de campo y S es la reluctancia de laestructura. Uniendo las ecuaciones el torque generado queda expresado por la ecuacin2.6.

Te = Ka Kf if ia (2.6)

Denominaremos una constante Kb = Ka Kf y reemplazamos en la ecuacin 2.6.

Te = Kb if ia (2.7)

Definimos Km = Kb if para una if constante, para simplificar las ecuaciones 2.4 , 2.3y 2.1.[23]

Te = Km ia (2.8)

Va = Raia + Ladiadt

+Kmm (2.9)

Km ia = Ti +Bm + J dmdt

(2.10)

2.3. Identificacin del Sistema

Para la modelamiento del sistema estudiado, se ha considerado un sistema que constade un actuador, el motor de corriente continua y el sensor de velocidad.

Siendo el actuador una fuente continua de voltaje variable que controla el voltaje dearmadura del motor, especficamente esta formado por un medio puente de tiristoresque son controlados mediante una salida analgica de la tarjeta de adquisicin NI 6221de 37 pines, para generar un voltaje continuo a partir de una fuente de voltaje alterna.

22

El sensor es la entrada del canal anlogico de la tarjeta de adquisin de datos NI 6221de 37 pines de la compaia National Instruments, la cual est conectada a un modulode Lucas-Nlle el cual extrae los valores de velocidad del motor y los convierte a sealesanalgicas de rango de 0 a 10 voltios.

En la figura 2.1, se muestra las conexiones necesarias para poder efectuar una identifi-cacin del motor de corriente continua.

Figura 2.1: Conexiones del Motor DC

2.3.1. Mtodo de Ziegler-Nichols en lazo abierto

Para la identificacin del modelo del motor de corriente continua de excitacion indepen-diente, primero se deber encontrar el rango lineal del modelo segn la curva estticagenerada.

Posteriormente, segn el rango lineal obtenido se realiza la prueba dinmica, donde seanaliza la respuesta transitoria de la salida obtenida aplicando un escaln a la entrada

23

del sistema logrando determinar el comportamiento de la salida del sistema. A partirde su respuesta, se obtiene una funcin de transferencia de entrada y salida del modeloque se adecue a dicho comportamiento.

2.3.1.1. Prueba Esttica

Para el desarrollo de la prueba esttica se trabaja con la planta a lazo abierto comose muestra en la figura 2.2, en la cual vamos variando de forma gradual la entrada delsistema desde 0v hasta su mximo nivel de trabajo, en este caso es 10v; generando enla salida del sistema los datos yout_escalon para cada variacin gradual de la entrada.

Figura 2.2: Herramienta de Simulacin del Motor DC

Tomando ambos parmetros, la entrada al sistema representada por la seal step yla salida yout_escalon se forma una curva demonimada curva esttica. Esta curvaesttica, nos da el rango lineal o zona lineal de trabajo de la planta. Para nuestraprueba esttica, la entrada step es la representacin escalada del voltaje de armadura,la entrada al sistema varia de 0 a 10 VDC, siendo este rango la representacin de lavariacin real del voltaje de armadura del motor. Y nuestra salida es la velocidad delmotor, cuyo rango es de 0 a 2000 RPM aproximadamente.

En la figura 2.3, se muestra la curva esttica del motor DC, cuyos resultados obtenidosmuestran que el rango lineal del motor DC de excitacin independiente fue de 0 a2000 RPM, significando que en todo momento nuestra planta, el motor DC tiene uncomportamiento lineal.

24

Figura 2.3: Curva esttica del Motor DC

2.3.1.2. Prueba Dinmica

Posteriormente a la obtencin del rango lineal de trabajo del motor DC, se desarrolla laprueba dinmica del motor. La cual se realiza a lazo abierto y su objetivo es encontrarel comportamiento dinmico del proceso mediante en anlisis de la respuesta transitoriade la salida, que se obtiene al introducir una entrada tipo escaln del sistema. Para larealizacin de la prueba dinmica nos basaremos en el rango lineal obtenido de la curvaesttica, siendo este rango la medida del tamao del escaln a la entrada del sistemapara la generacin de la respuesta transistoria del sistema. En la figura 2.4, se muestranla entrada al sistema tipo escaln y la respuesta transitoria del sistema obtenida a lasalida.

Basndose en la respuesta transistoria del sistema, se determinar la funcin de trans-ferencia del sistema.

3.1 3.105 3.11 3.115 3.12 3.125 3.13 3.135 3.14 3.145 3.15

x 104

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

Tiempo (s.)

Velo

cida

d (R

PM)

Figura 2.4: Respuesta Transitoria ante entrada tipo escaln

2.3.1.3. Determinacin de la Funcin de Transferencia

Del anlisis de la respuesta transitoria de la salida ante una estrada tipo escaln seobtiene una aproximacin de la funcin de transferencia del sistema que representa dicha

25

respuesta ante una misma entrada tipo escaln. Para lo cual se ha tomado 3 puntosen el tiempo de la curva generada. El primer punto es el origen del escaln denotadocomo t0, el segundo punto es el origen de la respuesta transitoria denotado como t y eltercer punto, es el tiempo para el cual la medida de la respuesta transitoria sea el 63%de la magnitud total del valor de establecimiento (2000 RPM), es decir el punto en eltiempo en el cual la salida del sistema tiene un valor 1260 RPM aproximadamente ,siendo este punto denotado como t63.

En la figura 2.5, se aprecia el retardo de la respuesta transitoria de la salida ante unaentrada tipo escaln, en el cual se encuentra los puntos t0 y t, cuyos valores son 0.28segundos y 0.4 segundos respectivamente. De su diferencia se obtiene el tiempo parael modelamiento de la funcin de transferencia.

20 40 60 80 100 120 140

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

X: 40Y: 0.05562

Tiempo (ms)

Velo

cida

d (R

PM)

Retardo de la respuesta del Sistema ante entrada escaln

X: 28Y: 0.3897

Figura 2.5: Retardo de la respuesta transitoria ante una entrada escaln

En la figura 2.6, se aprecia la diferencia de tiempo entre el punto t63 y el punto t.De su diferencia se ha obtenido el tiempo Td para el modelamiento de la funcin detransferencia.

0 100 200 300 400 500-500

0

500

1000

1500

2000

2500

X: 40Y: 0.05562

Tiempo (ms)

Velo

cida

d (R

PM)

X: 93Y: 1254

Figura 2.6: Punto t63

Con la determinacin de ambas diferencias de tiempo se procede a calcular la funcinde transferencia con las siguientes ecuaciones.[24]

26

k = yf y0uf u0 (2.11)

= t63 t (2.12)

Td = t t0 (2.13)

G(s) =k

s+ 1 exp(Tds) (2.14)

Debido al escalamiento de la entrada u para que se aprecie la llegada al punto final(set point), el valor real de uf es aproximadamente 185 VDC. Es debido a ello, que enla funcin de transferencia se ve representado el voltaje de armadura del motor comoparmentro de entrada y la velocidad como parmetro de salida.

Siendo el rango de variacin del voltaje de armadura de 0 - 185 VDC y el rango develocidad de 0 - 2000 RPM, se genera la funcin de transferencia aproximada.

G(s) =10,81

0,53s+ 1 exp(0,12s) (2.15)

2.3.2. Identificacin mediante la Herramienta de Identificacin de Sis-temas

El GUI es la interfaz grfica de una herramienta del Matlab denominada Identificacinde Sistemas, la cual permite identificar sistemas hasta de tercer orden, en los cualespuede ocurrir retardos, adems de permitir la inclusin de un cero y un integrador alsistema de ser requerido para poder determinar con mayor precisin el modelo. Siendola precisin del modelo determinada por la misma herramienta segn la funcin detransferencia obtenida y los datos ingresados.

Mediante este mtodo de corroboracin, se logra calcular de forma ms precisa lafuncin de transferencia que corresponde segn la respuesta transitoria de la salida anteuna entrada tipo escaln. Para determinar la funcin de transferencia, la herramienta deidentificacin de sistemas minimiza la diferencia entre la salida terica del modelo y lasalida medida en cada instante. El criterio de minimizacin es una norma ponderada delos errores obtenidos en cada instante de tiempo. Para ello se ha tomado los datos de larespuesta transitoria obtenida de manera experimental, para comprobar los resultadosobtenidos anteriormente, generando los siguientes resultados.[25]

27

2.3.2.1. Aproximacin del Modelo a un Sistema de Primer orden con re-tardo

En la figura 2.7, mediante la interfaz grfica de la herramienta de Identificacin desistemas podemos escoger las caractersticas de la funcin a aproximar segn los datosobtenidos de entrada y salida. Para nuestro caso, se aproxima primero a un modelo deprimer orden con retardo y los resultados se muestran en las figuras 2.8 y 2.9 .

Figura 2.7: Modelamiento de la Respuesta Transitoria Modelo del Proceso a una funcinde primer orden

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 5500

500

1000

1500

2000

2500

Time (ms)

Velo

cida

d (R

PM)

Modelo de la salida simulada vs medida

MedidaEstimada

Figura 2.8: Aproximacin del sistema una funcin de Primer orden con retardo

28

0 1 2 3 4 5 6-500

0

500

1000

1500

2000

2500

X: 0.37Y: 0.3897

Tiempo (s)

Velo

cida

d (R

PM)

Salida FT1 EntradaSalida Real

Figura 2.9: Respuesta transitoria del sistema ante una entra tipo escaln

De los resultados obtenidos mediante la herramienta, se obtuvo un ndice de adecua-cin o porcentaje de aproximacin proporcionado por la herramienta de 98.91% de larespuesta transitoria en la salida ante una entrada tipo escaln generada por la funcinde transferencia aproximada para un sistema de primer orden con retardo. Ademsde contar con un elevado ndice de adeacuacin tambin existe una notoria similitudgrfica de ambas respuestas.

A partir de la estimacin del sistema a una funcin se transferencia de primer ordencon retardo se encontr la siguiente funcin de transferencia aproximada:

G(S) =10,7

0,499s+ 1 exp(0,1476s) (2.16)

2.3.2.2. Aproximacin del Modelo a un Sistema de Segundo orden conretardo

En la figura 2.10 se muestra la seleccin del modelo a aproximar, basndose en larespuesta transitoria de la salida ante una entrada tipo escaln. Generndose un modelode segundo orden con retardo , cuyos resultados de la aproximacin se muestran en lafigura 2.11.

29

Figura 2.10: Modelamiento de la respuesta transitoria del proceso a una funcin desegundo orden

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

Tiempo (s)

Velo

cida

d (R

PM)

MedidaEstimada

Figura 2.11: Aproximacin del sistema a una funcin de Segundo orden con retardo

De los resultados obtenidos mediante la herramienta de identificacin, se obtuvo unndice de adecuacin o porcentaje de aproximacin proporcionado por la herramientade identificacin de 83.76% para la respuesta transitoria en la salida ante una entradatipo escaln generada por la funcin de transferencia aproximada para un sistema desegundo orden con retardo. Dicho ndice es inferior en comparacin al obtenido en laestimacin del sistema para una funcin de primer orden, as mismo existe una faltade similitud grfica entre la respuesta real y la estimada.

Apartir de la aproximacin del sistema a una funcin de transferencia de segundo ordense obtiene la siguiente funcin de transferencia:

30

G(s) =10,736

(0,46063s+ 1) (0,45901s+ 1) exp(0,11807s) (2.17)

2.3.2.3. Aproximacin del Modelo a un Sistema de Segundo orden conretardo y un cero.

En la figura 2.12, se muestra la seleccin de un modelo de segundo orden con un ceroy retardo, al cual se va a estimar la respuesta transitoria de la salida ante una entradatipo escaln. Generndose los siguientes resultados de la aproximacin, los cuales semuestran en las figuras 2.12, 2.13 y 2.14.

Figura 2.12: Modelamiento de la respuesta transitoria del proceso a una funcin desegundo orden con un cero

31

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6-500

0

500

1000

1500

2000

2500

Tiempo (s)

Velo

cida

d (R

PM)

EstimadaMedida

Figura 2.13: Aproximacin del sistema a una funcin de segundo orden con retardo yun cero

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-500

0

500

1000

1500

2000

2500

Tiempo (s)

Velo

cida

d (R

PM)

Salida FT2ZEntradaSalida Real

Figura 2.14: Respuesta transitoria ante entrada escaln real y la estimada

De los resultados, se obtuvo un ndice de adecuacin o porcentaje de aproximacinproporcionado por la herramienta de identificacin de 99.12% para una funcin detranferencia de segundo orden con cero, la cual relaciona la respuesta transitoria enla salida con su entrada tipo escaln. Dicho ndice de adecuacin, es el mas elevadoobtenido, as mismo existe una notoria similitud grfica entre la respuesta real delsistema y la respuesta estimada. Generndose a partir de la aproximacin, la siguientefuncin de transferencia aproximada:

G(s) =10,77(0,35923s+ 1)

(0,55021s+ 1) (0,31005s+ 1) exp(0,15681s) (2.18)

2.3.2.4. Modelo del motor DC a emplear

Para el diseo del sistema de identificacin de fallas, se seleccion la funcin de trans-ferencia de segundo orden y un cero mostrada en al ecuacin 2.19, debido tener unndice de adecuacin del 99.12% cuyo valor es mayor en comparacin con los demsndices obtenidos, 83.76% y 97.97%, para los modelos de segundo orden y primer ordenrespectivamente, obtenidos mediante la herramienta de identificacin de sistemas.

G(s) =10,77(0,35923s+ 1)

(0,55021s+ 1) (0,31005s+ 1) exp(0,15681s) (2.19)

32

2.4. Escenario de Fallas

Los orgenes de las fallas en cualquier planta o proceso son diversos, lo mismo ocu-rre en un motor de corriente contnua. Entre los principales orgenes encontramos lasfallas estructurales, que ocurren debido principalmente a la accin del contacto entreelementos propios del motor asi como mala ubicacin de elementos del motor, comoinclinacin del eje del motor o mal posicionamiento del colector, generndose un des-gaste continuo con el uso. Un ejemplo adecuado de falla estructural seria el desgaste enlas escobillas, al estar en contacto permanente con el colector tienen un desgaste masperceptible en tiempos cortos, lo cual genera fallas como cortocircuito en el colector.Pero las fallas estructurales no solamente son internas, sino tambin se consideran lasfallas del controlador o ley de control que determina su correcto funcionamiento, unejemplo sera un control de velocidad de un motor, en el cual se pueden manifestarfallas debido a errores humanos o problemas internos del controlador, lo que originanun mal funcionamiento general del motor.

Adems de las fallas estructurales, encontramos las fallas aditivas por lectura de lossensores, para el caso del motor de corriente continua sera la lectura de velocidadmediante un tacmetro u otro elemento de lectura de velocidad, debido que al serelementos los cuales se gastan con el transcurso del tiempo debido a rozamiento decomponentes internos, generan lecturas erroneas que conllevan a la aplicacin de unaincorrecta ley de control u otra accin que modifica el correcto comportamiento delmotor.

Asi mismo, encontramos fallas aditivas en el actuador, por ejemplo entre los principalesactuadores en plantas industriales, encontramos gruas, montacargas, compresores ycomo unidades de emergencia o de espera que requieren de servicios de bateras energade reserva para obtener una alta fiabilidad.

Para ejemplificar un caso de falla en el actuador en un motor de corriente continua, seconsidera a una faja transportadora, la cual falla debido a problemas de rodamientos,haciendo que la velocidad de trabajo normal descienda, por consiguiente la ley decontrol se ve modificada generndose una alteracin al trabajo normal del motor elcual puede sobreexceder las caractersticas mximas de trabajo del motor, conllevandoa fallas internas del motor.[26]

Fallas a detectar e identificar

En el desarrollo de la presente tesis, se ha considerado analizar las fallas aditivas pre-sentes en el sensor del sistema del modelo lineal e invariante en el tiempo del sistemaobtenido , el cual est compuesto por el motor de corriente continua de excitacin in-dependiente, su actuador y sensor. Por ello el sistema de deteccin a disear analizarla presencia de slo una falla a la vez durante el desarrollo o ejecucin del sistema.

Entre las fallas aditivas a considerar se encuentran las fallas tipo escaln y tipo rampa,las cuales son representadas como una entrada desconocida en el sistema.

33

As mismo, una perturbacin es tambin una entrada desconocida actuante en la plan-ta, por ello fsicamente no existe diferencia entre una perturbacin y una falla aditivacertera. La distincin es ms bien subjetiva, debido a que ante una entrada aditivadesconocida, se considera como falla aditiva a las entradas cuya presencia queremos de-tectar e identificar. Sin embargo, se considera como perturbaciones a aquellas entradasque deseamos ignorar y que el sistema no sea afectado por ellas. Considerando de estamanera una falla aditiva como una perturbacin que deseamos detectar e identificar.[27]

34

Captulo 3

Diseo de un sistema deDeteccin y Aislamiento de fallas

3.1. Filtro de Kalman

En 1960, R.E. Kalman public un artculo describiendo un mtodo recursivo de solucinpara problemas de filtrado lineal en datos discretos. Desde ese momento, debido prin-cipalmente a los avances tecnolgicos en el procesamiento digital, el filtro de Kalmanha sido sujeto de extensas investigaciones y aplicaciones, particularmente en el rea denavegacion autnoma o asistida.[28]

En forma terica, un filtro de Kalman es una herramienta que puede estimar las varia-bles en un buen rango del proceso. En trminos matemticos, el filtro de Kalman estimade forma precisa los estados en sistemas dinmicos lineales. El filtro de Kalman es un es-timador estadsticamente ptimo con respecto de cualquier funcin cuadrtica de errorde estimacin.

En la figura 3.1, se muestra el proceso de estimacin del filtro de Kalman para unproceso lineal.

Figura 3.1: Dinmica de ciclos de prediccin consecutiva y filtrado en Filtros de Kalman[3]

El filtro de Kalman no slo funciona bien en prctica, tambin tericamente es atractivoporque se puede demostrar que de todos los posibles filtros, es el que mejor minimizala varianza de la estimacin del error. Los filtros de Kalman suelen aplicarse en lossistemas de control embebidos porque al controlar un proceso, como paso previo serequiere una estimacin precisa de las variables del proceso.[28]

35

3.1.1. El Filtro de Kalman Discreto

El proceso a estimar

El filtro de Kalman apunta a resolver el problema general de estimar el estado x Rn deun proceso controlado discreto el cual es gobernado por una ecuacin lineal estocsticadiferencial.

xk = Fxk1 +Gu+ wk1 (3.1)

con una lectura de estado y Rn

yk = Hxk + vk (3.2)

donde las variables aleatorias wk y vk representan el ruido de proceso y el ruido delectura respectivamente. Ambos ruidos son asumidos como ruidos blancos gaussianos eindependientes uno del otro.

p(w) N(0, Q) (3.3)

p(v) N(0, R) (3.4)

La matriz de F de dimensines nxn en la ecuacin 3.1 describe el estado anterior en eltiempo k 1 con respecto al estado actual k, la matriz G de dimensiones nx 1 describela entrada control opcional u R1 para el estado x y la matriz H de dimensiones mxnen la ecuacin de lectura 3.2 describe el estado de la lectura de yk.[29, 28]

Origen computacional del filtro

Definimos x como la estimacin previa del estado al tiempo k teniendo conocimientodel proceso previo al tiempo k, y la estimacin posterior del estado dado la lecturayk. Podemos definir un error de estimacin tanto previo como posterior de la siguientemanera:

error de estimacin previo:

ek = Xk Xk|k1 (3.5)

error de estimacin posterior:

ek = Xk Xk|k (3.6)

36

La covarianza del error de estimacin previo esta definida como

Pk|k1 = E[ek e

Tk

](3.7)

y la covarianza del error de estimacin posterior esta definida como

Pk = E[eke

Tk

](3.8)

En las derivadas de las ecuaciones para el filtro de Kalman, se busca encontrar unaecuacin que calcula una estimacin posterior de estado Xk como una combinacinlineal de una estimacin previa Xk|k1 y una diferencia ponderada entre una medicinactual yk y una medida de la prediccin HXk|k1 se muestra en la ecuacin 3.9

Xk|k = Xk|k1 +K(yk HXk|k1

)(3.9)

La diferencia (yk - Hxk ) en la ecuacin 3.9 es llamada la innovacin de la lectura, oel residuo. El residuo refleja la discrepancia entre la medicin prevista Hxk y la actuallectura yk. Un residuo de cero significa que ambas estan en completo acuerdo.[29, 28]

La matriz K de dimensiones nxm en la ecuacin 3.9 es elegida para ser la ganancia omezcla de factores que minimiza la covarianza posterior del error Pk mostrada en laecuacin 3.9. La minimizacin puede ser realizada sustituyendo la ecuacin 3.9 en ladefinicin del error ek, sustituyendolo en la ecuacin 3.8, posteriormente tomando laderivada con respecto a K e igualandola a cero, y entonces generndose la solucin paraK.

Una de las formas que minimiza K esta dada por

KK = Pk|k1HT(HPk|k1HT +R

)1(3.10)

De la funcin de K, se puede apreciar que cuando la covarianza del error de lectura seacerca a cero (R 0), la ganancia Kk tiende a H1.

lmRk0

Kk = H1 (3.11)

De otro lado, cuando la covarianza del error de estimacin previo se acerca a cero(Pk|k1 0) , la ganacia Kk tiende a cero.

lmPk0

Kk = 0 (3.12)

Otra forma de entender el valor de la ganancia Kk es que mientras la covarianza delerror de lectura R se acerca a 0, la lectura actual yk se vuelve mas confiable, mientrasque la lectura de medicin prevista HXk|k1 es cada vez menos confiable. De otro lado,

37

cuando la covarianza del error de estimacin previo Pk|k1 se acerca a cero, la lecturaactual yk se vuelve cada vez menos confiable, mientras que la lectura de medicinprevista HXk|k1 es cada vez mas confiable.[29, 28]

El modelamiento del filtro de Kalman en un modelo de espacio estado en el cual seconsidera la entrada Uk se representa mediante las siguientes ecuaciones:

Xk+1|k = FXk|k +GUk (3.13)

Xk|k = Xk|k1 +Kkk (3.14)

k = Yk HXk|k1 JUk (3.15)

donde Kk es la ganancia de Kalman, que proviene matemticamente de la covarianzade la estimacin del error Pk|k1 y la covarianza de la innovacin o residuo k y esdado de la siguiente manera:

Kk = Pk|k1HT1k (3.16)

Pk|k1 = FPk|kF T +Q (3.17)

Pk|k = (In KkH)Pk|k1 (3.18)

k = HPk|k1HT +R (3.19)

Estas formulas pueden ser demostradas por induccin usando la distribucion condicionalde (XTk+1, Y Tk )Tdadas las observaciones pasadas y

k11 . Siendo la innovacin ortogonal a

las observaciones pasadas, es decir: [29, 28]

E(k|yk11 ) = 0 (3.20)

3.1.1.1. Estabilidad del Filtro de Kalman

El tiempo de invarianza asinttica y la estabilidad del filtro de Kalman son importantespara las aplicaciones, adems de ser utilizado en el clculo de la funcin de verosimilitudde las observaciones en un modelo de estado-espacio.

Debido a las ecuaciones, el filtro de Kalman se puede resumir como:[29, 28]

Xk+1|k = F Xk|k +GUk + FKkYk (3.21)

Fk = F (In KkH)

38

Kk = Pk|k1HT (HPK|K1HT +R)1

Suponiendo que el error de covarianza Pk|k1 converge a un estado de equilibrio cuyovalor es P, donde P es la solucin de la llamada ecuacin algebraica Riccati:

P FPF T + FPHT (HPHT +R)1HPF T Q = 0 (3.22)

Suponemos aqu que HPHT +R es invertible; las condiciones suficientes para ello son:R no singular, o P no singular y H es de un rango completo. En este caso, la matrizdel filtro en estado de transicin FK y la ganancia Kalman Kk tambin convergen a losvalores de estado estable F y K, dados por:

F = F (In KH) (3.23)

K = PHT (HPHT +R)1

Una solucin real positiva, simtrica, semidefinida de la ecuacin algeraica de Riccati3.22 se dice que es una fuerte solucin si la correspondiente matriz de transicin deestado del filtro H tiene todos sus autovalores dentro o sobre el crculo unitario. [29, 28]

Ahora Ps es una fuerte solucin nica de la ecuacin 3.22 y tambin Ks y F sean lascorrespondientes ganancia y matriz de transicin de estado del filtro en estado establedados por la ecuacin 3.23, dando el siguiente resultado:

Teorema de Estabilidad: Dada la condicin de que (H,F ) es observable y (P0Ps) > 0o P0 = Ps, entonces

lmk

Pk|k1 = Ps (3.24)

lmk Kk = Ks

lmk Fk = Fs

Note que si Q = DDT , y si (F,D) tienen modos incontrolables en el circulo unita-rio luego Fs tendr las mismas raices en el circulo unitario, pero la convergencia yestabilidad del filtro de Kalman se mantienen asegurados en este caso. [29, 28]

Funcin de Probabilidad:

39

La funcin de probabiliad de una secuencia de observaciones gaussianas Y1, . . . , YN ,modelado por el modelo de estado-espacio. La probabilidad de las observaciones es laprobabilidad de las innovaciones, dado que la secuencia del parmetro innovacin estambien un proceso Gaussiano, entonces tenemos:

2lN =Nk=1

[ln(det k) + k1k

Tk

](3.25)

el cual asintticamente para un N grande se conviente en:

2lN = N ln det(HPHT +R) + trace[(HPHT +R)1

Nk=1

kTk

](3.26)

donde P es el estado de equilibrio de la solucin de la ecuacin 3.22.[29, 28]

3.1.2. Modelo grfico del Filtro de Kalman

Teniendo en cuenta las ecuaciones del Filtro de Kalman, se presenta en la figura 3.2,un diagrama del procesamiento de las matrices para el filtro de Kalman.

Figura 3.2: Modelamiento del Filtro de Kalman[5]

3.2. Cambios Aditivos en Modelos Lineales

Los cambios aditivos considerados, son cambios que son sumados a las ecuaciones delmodelo lineal invariante en el tiempo, es por ello que son bsicamente cambios en elvalor medio de la distribucin de las seales observadas. Precisando, se considera a(Yk)1kn una secuencia de observaciones con dimension r.

Los cambios aditivos pueden ser representados de diferentes maneras, segn el modelolineal seleccionado, entre los cuales tenemos: cambios en modelos ARMA, cambios enmodelos de regresin, cambios en modelos de estado-espacio, etc.

40

En un proceso fsico, las fallas aditivas se asocian generalmente a desviaciones en lasmediciones de sensores o actuadores, mientras que las fallas multiplicativas se asociana averias de componentes, fallas en la escala de sensores o la variacin de parmetrosfsicos del proceso.[5]

3.2.1. Cambios Aditivos en Modelos de estado espacio

Se considera el sistema lineal dinmico descrito mediante una representacin de estadoespacio de las seales observadas (Yk)k

Xk+1 = FXk +GUk +Wk (3.27)

Yk = HXk + JUk + Vk (3.28)

donde el estado X, las lecturas Y y el control U tienen dimensiones n, r y m respec-tivamente, y donde (Wk)k y (Vk)k son dos ruidos blancos gaussianos e independientes,con matrices de covarianza Q y R respectivamente.

Los cambios aditivos sucitados en un tiempo desconocido t0 pueden ser formalmentedefinidos de la siguiente manera:

Xk+1 = FXk +GUk +Wk + x (k, t0) (3.29)

Yk = HXk + JUk + Vk + y (k, t0) (3.30)

donde y son matrices de dimensiones n x n y r x r respectivamente, y dondex (k, t0) y y (k, t0) son los perfiles dinmicos de los cambios asumidos de dimensio-nes n n y r r respectivamente. Estas matrices y perfiles no son necesariamentecompletamente conocidos de antemano. El instante t0 es el cambio desconocido en eltiempo, por lo cual x (k, t0) = y (k, t0) = 0 para k < t0

Los cambios aditivos en un modelo de estado espacio, pueden ser representados me-diante la figura 3.3

41

Figura 3.3: Cambios aditivos en un modelo de estado espacio[5]

Para obtener las ecuaciones recursivas y frmulas explcitas, para el perfil dinmicode la marca del cambio en la innovacin en el caso general. Donde la innovacin es lasalida el filtro de Kalman correspondiente al modelo sin cambio. Segn la terminologausada para determinar las ecuaciones del filtro de Kalman, esta salida del proceso esexactamente la innovacin del proceso antes del cambio y es el residuo despus delcambio en el proceso.[5]

Al igual que en el filtro de Kalman, la estimacin del estado x se puede resumir de lasiguiente manera. De un paso por delante de prediccin, la innovacin k y la estimacinde estado se dan en las ecuaciones 3.13, 3.14 y 3.15 mientras que la ganancia de KalmanKk, el estado de error de estimacin de covarianzas Pk|k, y la covarianza de la innovacink se dan en las ecuaciones 3.16, 3.17, 3.18 y 3.19. La funcin lineal del modelo estexpresada en las ecuaciones 3.27, 3.28 y el efecto aditivo del cambio y,x enlas ecuaciones 3.29 y tras llevar a la descomposicin del estado, su estimacin, y lainnovacin:

Xk = X0k + (k, t0) (3.31)

Xk|k = X0k|k + (k, t0)

k = 0k + (k, t0)

donde el exponente 0 es por las cantidades correspondientes al modelo que no hacambiado 3.27 , 3.28 donde el ltimo trmino de cada ecuacin representa el efectodel cambio y,x, el cual ocurre a un tiempo t0 k. Las funciones , y son preprocesados con la ayuda de las siguientes recurrencias:

(k, t0) = F(k 1, t0) + x(k 1, t0) (3.32)

42

(k, t0) = (I KkH)F(k 1, t0) +Kk[H(k, t0) + y(k, t0)]

(k, t0) = F(k 1, t0) +Kk(k, t0)

(k, t0) = H [(k, t0) F(k 1, t0)] + y(k, t0)

con las condiciones iniciales:

(t0, t0) = 0

(t0 1, t0) = 0

Notar que la marca del cambio de innovacin (k, t0) depende tanto de k y t0 duran-te el comportamiento transistorio del filtro de Kalman. Cuando el estado estable esalcanzado, la marca depende solamente de la diferencia de k y t0 , es decir k t0.La forma cerrada de las expresiones , y asumiendo el comportamiento estadoestable del filtro de Kalman y usando el dominio del tiempo y representaciones defunciones de transferencia, se obtiene:

(k, t0) = kt01i=0 HF ix(ki1, t0)kt01i=0 HF iFKy(ki1, t0)+y(k, t0)(3.33)

En resumen, la innovacin k (salida del filtro de Kalman) tiene la siguiente distribucin:[5]

L(k) = N (0,k) cuando no ocurre cambio (3.34)

L(k) = N ((k, t0),k) luego del cambio

3.2.2. Innovacin y Redundancia

3.2.2.1. Innovacin

El concepto de innovacin en procesos aleatorios, es el residuo de la proyeccin asociadacon la estimacin condicional dadas las observaciones pasadas. La importancia del con-cepto de la innovacin en la deteccin de cambios aditivos es debido al efecto generadopor los cambios aditivos en la innovacin, o de forma mas precisa en el residuo, en elcual tambin se generan cambios en su valor medio.

En otras palabras, los cambios aditivos mantienen su efecto aditivo en virtud de latransformacin de las observaciones a las innovaciones. [5]

43

3.2.2.2. La redundancia

El concepto de redundancia es ampliamente utilizado en aplicaciones de teora de con-trol y se relaciona bsicamente con la disponibilidad de varias medidas verdaderas oartificiales de las mismas cantidades fsicas.

La redundancia directa cobra importancia cuando varios sensores miden las mismascantidades. Mientras, que la redundancia analtica refiere al uso de ambas medidastanto fsicamente disponibles como de medidas procesadas. Las medidas artificialesprocesadas se construyen con la ayuda de relaciones dinmicas disponibles. Siendolas relaciones de redundancia o tambin llamadas vectores de paridad, las cuales soncombinaciones lineales de valores de salidas actuales o presentes y valores pasados deentradas y salidas. Pueden ser obtenidas a travs de proyecciones sobre el complementoortogonal de la gama de la observacin o de la matriz de la observabilidad. [5]

3.3. Diseo del Sistema de Deteccin de Fallas

El diseo del sistema de deteccin de fallas, tiene como objetivo la correcta deteccin deuna falla a la vez, a pesar de los ruidos al sistema generados por ruido blanco gaussianodel proceso, as como tambin el ruido de la lectura del sensor.

Para el diseo del sistema, se determina su modelo, basndonos en el rango lineal delsistema, para poder determinar su funcin de transferencia como funcin de la entrada ysalida del sistema, basndonos en su respuesta transitoria. Es debido, a que el sistema aidentificar fisicamente contempla al actuador, el motor de corriente continua y el sensorde velocidad, que es considerado un modelo total y no puede disgregarse en sistemaselementales reales bsicos tales como los antes mencionados.

Consideraciones de Diseo

En el diseo del sistema de deteccin de fallas se han considerado la presencia de unasola falla presente en el sistema debido a que el sistema slo compempla una salida convalores accesibles a ser leidos. En cambio, si el sistema presentara salidas accesibles ala lectura, se podria analizar la precedencia de la falla, haciendo uso de otros elementoscomo un banco de filtros de Kalman para cada salida del sistema, debido a que cadafiltro de Kalman es diseado para determinar la existencia de una falla presente encada una de las diferentes salidas del sistema. [27]

As mismo, se ha considerado la existencia de ruido blanco gaussiano en el proceso y enla lectura del sensor, basndose en el teorema del lmite central para poder demostrarla presencia de los ruidos gaussianos.

Teorema del Limite Central Se considera un grupo de variables aleatorias x1 (t),x2 (t) . . .xn (t). Se asume independencia entre ellas, idnticamente distribuidos conmedia x y desviacin estandar x.

44

Definiendo una nueva variable como zn = x1 (t) +x2 (t) + . . .+xn (t) . La forma bsicadel teorema de lmite central formula que:

lmnP

(Zn nxxn

)< = 1

2pi

exp[2

2]d

Esto es la distribucin del promedio de Zn/n, normalizada con su media xy la desvia-cin estndar x/

n se aproxima a una distribucin normal estndar N (0, 1) cuando

n . Ntese que, no se ha asumido sobre la distribucin de la variable x , slo suindependencia mutua y la existencia de su media y desviacin estndar.[27]

En la figura 3.4, se muestra el esquema general de deteccin y diagnstico de fallas,en el cual la seal de falla f(k) actua sobre el sistema determinando diferentes modosde operacin (modo de operacin normal y modo de operacin con falla). Siendo las 2etapas presentes para la determinacin de la falla son: una etapa de generacin de losresiduos y una etapa posterior de evaluacin de residuos.

El bloque de generacin de residuos realiza el clculo del vector de residuos r(k) mientrastanto el bloque de evaluacin de residuos determina las fallas presentes en el sistema,de acuerdo a la informacin obtenida anteriormente acerca de las posibles fallas, pro-cesando el vector de residuos. El resultado de la evaluacin se representa mediante unaseal de diagnstico d(k) la cual es una estimacin del vector f(k).

Figura 3.4: Esquema general de deteccin y diagnstico de fallas

45

Generacin de residuos

La generacin de residuos tiene como base la comparacin de las salidas entre 2 modelosdiferentes con una misma entrada, un modelo sin fallas o modo de operacin normal yotro con fallas o modo de operacin con fallas, ambos basados en el modelamiento ma-temtico del comportamiento del sistema. Mediante la comparacin de ambos modelosen el tiempo se generan diferencias en la salida entre el modelo con fallas y el modelosin fallas. Estas diferencias en el tiempo sern los patrones que se procesarn para ladeterminacin de la existencia de la falla.

Evaluacin de Residuos

La identificacin de la fallas tiene como objetivo el anlisis o procesamiento de las di-ferencias o residuos generados por la etapa de generacin de residuos para la correctadeterminacin de la existencia de la falla basndose en informacin obtenida previa-mente sobre las caractersticas que determinan la presencia de la falla.

3.3.1. Generacin de Residuos

Para la generacin de los residuos se har uso de 2 modelos , uno con fallas aditivasy otro sin fallas, ambos afectados por ruidos blancos gaussianos en el proceso y en lalectura. Mediante la revisin del comportamiento actual del sistema frente al modeloesperado o normal del sistema se buscar que ambos modelos sean consistentes, en casode no