Ec. dif.
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MATEMÁTICAS
AVANZADAS
Tutorial acerca de ecuaciones diferenciales
AMÉRICA REYES GARAY
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¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL?
Es una expresión que involucra a una función desconocida y sus
derivadas.
Un ejemplo:
Y+Y¹= 0
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CLASIFICACIÓN DE LA
ECUACIONES
DIFERENCIALES:
Ordinarias: es la que contiene una función desconocida de una
variable independiente y se relaciona con sus derivadas.
parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más
variables.
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ORDEN DE LA ECUACIÓN
El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se
denomina orden de la ecuación.
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SOLUCIÓN DE UNA
ECUACIÓN DIFERENCIAL
En una función desconocida y la variable independiente X definida
en un intervalo y es una función que satisface la ecuación diferencial
para todos los valores de X en el intervalo dado.
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NOTA:
ANTES DE VER LOS SIGUIENTES EJEMPLOS DEBEMOS
TENER MUY CLARO QUE:
Y¹= Significa ye prima ó primera derivada.
Y"= Significa ye biprima ó segunda derivada.
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EJEMPLOS DE E. D. :
Y= sen2x + cos2x
Y¹= 2cos2x – 4cos (2x)
Y"= – 4sen2x – 4 cos (2x)
Comprobación:
– 4sen2x – 4cos2x + 4(sen2x + cos2x)=0
– 4sen2x – 4cos2x + 4sen2x + 4cos2x =0
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Y= 5sen2x + 3cos2x
5 (cos) (2x) + 3 (sen) 2x)
Y¹= – 6sen2x + 10cos2x
Y¹¹= – 20sen2x – 12cos2x
Comprobación:
–20sen2x – 12cos2x + 4 (5sen2x + 3cos2x) = 0
– 20sen2x – 12cos2x + 20sen2x + 12cos2x= 0
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Comprobar que:
Y= X² – 1 es solución de (Y¹) +Y² = – 1
Y¹ = 2x
2x + (x² – 1 ) ²= 1
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Y¹ + Y = 0 Y= 1
𝑋
Y¹= –1
𝑋²
Y¹¹= 1
𝑋³
–1
𝑋²+ – (
1
𝑋)² = 0
–1
𝑋²+ –
1
𝑋²= 0
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Y = 𝑒2𝑥 Y¹¹ + Y¹ – 6 Y = 0
Y¹=2 𝑒2𝑥
Y¹¹= 4 𝑒2𝑥
4 𝑒2𝑥 + 2 𝑒2𝑥 – 6 ( 𝑒2𝑥) = 0
6 𝑒2𝑥 – 6 𝑒2𝑥 = 0
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Y = 𝑒2𝑥 Y¹¹ + Y¹ – 6 Y = 0
Y¹=2 𝑒2𝑥
Y¹¹= 4 𝑒2𝑥
4 𝑒2𝑥 + 2 𝑒2𝑥 – 6 ( 𝑒2𝑥) = 0
6 𝑒2𝑥 – 6 𝑒2𝑥 = 0
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Y= x² + 𝑒𝑥 + 𝑒−2𝑥 Y¹¹ + Y¹ - 6Y =0
Y¹ = 2 x² + 𝑒𝑥 + 𝑒−2𝑥
Y¹¹ = 2 + 𝑒𝑥 + 4 𝑒−2𝑥
2+ 𝑒𝑥 + 4 𝑒−2𝑥 + 2x + 𝑒𝑥 - 2 𝑒−2𝑥 -2 (x² + 𝑒𝑥 + 𝑒−2𝑥)= 0
2 + 𝑒𝑥 + 4 𝑒−2𝑥 + 2x + 𝑒𝑥 - 2 𝑒−2𝑥- 2 x²- 2 𝑒−2𝑥 =
2( 1+ X - x² )
2( 1+ X - x² ) = 2( 1+ X - x² )
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Y= C1 𝑒2𝑥 + C2 𝑒2𝑥 Y¹¹-4 Y¹+ 4Y =0
Y¹= 2 C1 𝑒2𝑥 + 2C 2 𝑥𝑒2𝑥 + C 2 𝑒2𝑥
Y¹¹= 4 C1 𝑒2𝑥 + 4C 2 𝑥𝑒2𝑥 + 2C 2 𝑒2𝑥 + 2 C2 𝑒2𝑥
=4 C1 𝑒2𝑥 + 4C 2 𝑥𝑒2𝑥 + 2C 2 𝑒2𝑥 + 2 C2 𝑒2𝑥 - 4(2 C1 𝑒2𝑥 + 2C 2 𝑥𝑒2𝑥 +
C 2 𝑒2𝑥 ) + 4 (C1 𝑒2𝑥 + C2 𝑒2𝑥 ) =0
=4 C1 𝑒2𝑥 + 4C 2 𝑥𝑒2𝑥 + 2C 2 𝑒2𝑥 + 2 C2 𝑒2𝑥 - 8C1 𝑒2𝑥 - 8C 2 𝑥𝑒2𝑥 - 4 C 2
𝑒2𝑥 + 4C1 𝑒2𝑥 + 4 C2 𝑒2𝑥 = 0
=8C1 𝑒2𝑥 + 8C 2 𝑥𝑒2𝑥 + 4 C 2 𝑒2𝑥 -12C2 𝑒2𝑥 - 8 C1 𝑒2𝑥 = 0
Y= 0
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ESTOS FUERON ALGUNOS EJEMPLOS DE ECUACIONES
DIFERENCIALES ESPERO Y LES SIRVAN DE ALGO.
GRACIAS…