ec diferenciales 2

Prof. Jos Luis Quintero 9

ECUACIONES DIFERENCIALES (0256)

SEMANA 01 CLASE 02 MIRCOLES 11/04/12

1. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Una ecuacin diferencial ordinaria (EDO) de primer orden es de la forma F(x,y, y ') 0= . Si se puede expresar como

y ' f(x,y)= entonces se pueden aplicar mtodos de solucin para ecuaciones

resueltas respecto a la derivada. Si por el contrario la EDO no se puede expresar como y ' f(x,y)= , entonces se tendrn que aplicar mtodos de solucin para

ecuaciones no resueltas en y ' , un ejemplo de este tipo de ecuaciones es la

ecuacin de Clairaut que es de la forma y xy ' f(y ')= + . El estudio se centrar en

las EDO de primer orden donde es posible despejar y ' , y dentro de este tipo de

ecuaciones se estudiarn las siguientes:

Ecuaciones con variables separables

Ecuaciones reducibles a variables separables

Ecuaciones homogneas

Ecuaciones reducibles a homogneas

Ecuaciones exactas

Ecuaciones reducibles a exactas

Ecuaciones lineales

Ecuaciones reducibles a lineales

2. Ecuaciones con variables separables. Si la EDO dada se puede expresar de la

forma h(y)dy g(x)dx= , se dir que la ecuacin es de variables separables. Observe

que se debe poder despejar y separar las variables x e y. De esta forma integrando

ambos miembros de la ecuacin anterior se determina la solucin:

h(y)dy g(x)dx= .

3. Ejemplo ilustrativo. Resuelva (2 x)dy ydx 0+ = .

Solucin.

1 1 1 1(2 x)dy ydx dy dx dy dx

y 2 x y 2 x

+ = = = + +

(se despejan las expresiones si y 0, x 2 ) por lo tanto:

1ln y ln 2 x C= + + ,

aqu se reemplaza 1C por 1 2C ln C= , es decir

2 2ln y ln 2 x ln C ln (2 x)C= + + = +

y as,

3y (2 x)C= + , 3(C 0) .

Las curvas y 0= y x 2= son soluciones de la ecuacin diferencial. En forma

grfica se tiene (ver figura 1):


4. Ejemplo ilustrativo. Resuelva y ' x 2y 2 xy= + .

Solucin. dy dy dy

x 2y 2 xy (x 2) y(x 2) (x 2)(1 y)dx dx dx

= + = + = +

por lo tanto:

dy dy(x 2)dx (x 2)dx

1 y 1 y= =

+ + , ( y 1 ) Se tiene que:

2 22 x x2x C 2x1 C2 2 11

xln 1 y 2x C 1 y e 1 y e e

2

+ + = + + = + = ,

Figura 1. Algunas curvas para la ecuacin del ejemplo ilustrativo

de modo que aqu se reemplaza C1e por 2C 2(C 0)> , y en consecuencia se tiene

que

2 2x x2x 2x2 2

2 31 y e C 1 y C e

+ = + = , de manera que 2x 2x2

3y C e 1

= , 3(C 0) .

La curva y 1= es solucin de la ecuacin diferencial. En forma grfica se tiene

(ver figura 2):



5. Ecuaciones reducibles a variables separables. Una EDO que se presente de la forma

dyf(ax by c)

dx= + + , (b 0)

puede transformarse en una EDO con variables separables con el cambio: u ax by c= + + , du / dx a b(dy / dx)= + .

La ecuacin dada queda, al aplicar el cambio:

dy 1 du du

a , bf(u) adx b dx dx

= = +

que tienen las variables separadas, un procedimiento como en el apartado anterior

permite hallar la solucin. Recuerde devolver los cambios efectuados para

transformar la ecuacin.

6. Ejemplo ilustrativo. Resuelva 1

y 'x y 1

=

+ +.

Solucin. Con el cambio

u x y 1 , du 1 dy,= + + = +

recuerde que se est derivando respecto de x. Se tendr la ecuacin diferencial

con variables separadas 1

u' 1u

= (u 0)

es decir du 1 1 u

1 u'dx u u

+= + = .

Separando las variables e integrando se tiene:

udu dx

1 u=

+ , u 1 ln u 1 x C,+ + = + x y 2 ln x y 2 x C+ + + + = + (u 1) La solucin es 1 y ln x y 2 C+ + + = . La solucin y (x 2)= + tambin satisface la

ecuacin. En forma grfica se tiene (ver figura 3).



7. Ejemplo ilustrativo. Resuelva dy

sen(x y)dx

= + .

Solucin. Sea u x y,= + du 1 dy= + , as:

dy du1

dx dx=

y queda entonces la ecuacin diferencial u' 1 sen(u) = , que separando las

variables se tiene: du

sen(u) 1dx

= + ,

por lo tanto:

dudx

sen(u) 1=

+ , (sen(u) 1 0)+ . Para resolver la primera integral se multiplica por la conjugada del denominador

as:

2

(1 sen(u)) (1 sen(u))du du

(1 sen(u))(1 sen(u)) cos (u)

=

+ resultando las integrales:

2

2 2 2

du sen(u) sen(u)du sec (u)du du

cos (u) cos (u) cos (u) = .

Las integrales que se tienen son directas por lo tanto al integrar resulta:

1 2

1tg(u) C x C

cos(u) + = +

devolviendo el cambio: 1

tg(x y) x Ccos(x y)

+ = ++

.

La solucin de la forma

32

y x 2k (k Z)pi= + + pi

tambin satisface la ecuacin.

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