Prof. Jos Luis Quintero 13

ECUACIONES DIFERENCIALES (0256)

SEMANA 01 CLASE 03 VIERNES 13/04/12

1. Funcin homognea. Una funcin f(x,y) es homognea de orden n en sus

argumentos, si para algn nmero real n, se cumple que nf(tx, ty) t f(x, y)= .

2. Ejemplos de inters:

Una funcin homognea de orden dos es 2 2f(x, y) 5x 4xy 2y= + , ya que:

2 2 2 2 2 2f(tx, ty) 5(tx) 4(tx)(ty) 2(ty) t (5x 4xy 2y ) t f(x,y)= + = + = .

f(x,y) 3x 5xy 7y= + es una funcin homognea de orden uno, ya que:

f(tx, ty) 3tx 5txty 7ty 3tx t 5xy 7ty tf(x,y)= + = + = .

La funcin 2

2

4xf(x,y) 9,

3y= +

es homognea de orden cero, en efecto: 2 2

0

2 2

4(tx) 4xf(tx, ty) 9 9 t f(x,y)

3(ty) 3y= + = + = .

3. Observacin de inters. Si f es una funcin homognea de orden n siempre se

podr escribir en la forma

n yf(x,y) x f 1,x

=

o bien

n xf(x,y) y f ,1y

=

.

4. Ejemplo ilustrativo. Sea 2 2f(x, y) x 3xy y= + + , primero se probar que es

homognea: 2 2 2 2f(tx, ty) t (x 3xy y ) t f(x,y)= + + = . Es homognea de orden dos,

luego se puede expresar como:

2 2

2 2 2 2

2 2

y y y x x xf(x,y) x 1 3 x f 1, o f(x,y) y 3 1 y f ,1

x x y yx y

= + + = = + + =

5. Ecuacin diferencial homognea. Una ecuacin diferencial de primer orden de

la forma M(x,y)

y 'N(x,y)

=

se dir que es homognea si M(x,y) y N(x,y) son funciones homogneas del

mismo orden.

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6. Observaciones de inters:

Toda ecuacin diferencial homognea puede ser expresada de la forma

n

n

y yx M 1, M 1,

x xy '

y yx N 1, N 1,

x x

= =

.

En la ecuacin anterior tambin es posible expresar y ' en trminos de x

y

.

Toda ecuacin diferencial homognea de primer orden se puede transformar en

una ecuaciones con variables separables mediante el cambio:

yu

x

=

o x

vy

=

.

7. Transformacin de una ecuacin diferencial homognea a una ecuacin de

variables separables:

Para resolver estas ecuaciones se selecciona el cambio a utilizar, sea por ejemplo: y

ux

=

de donde y ux= , derivando respecto de x se tiene:

dy dux u

dx dx= + ,

y sustituyendo en la ecuacin dada se tiene: M(1,u)

xu' uN(1,u)

+ = .

Esta nueva EDO es de variables separables en las variables separadas en las

variables u y x, y por lo tanto de fcil solucin.

8. Ejemplo ilustrativo. Resuelva y x

y 'y x

=

+.

Solucin.

Se puede expresar en la forma:

yx 1

xy '

yx 1

x

=

+

(x 0) .

Esta ecuacin se resuelve con el cambio y

ux

= ,

de donde se tiene y ux= y derivando respecto de x, y ' xu' u= + y luego

sustituyendo en la ecuacin diferencial se obtiene:

u 1xu' u ,

u 1

+ =+

u 1

xu' u,u 1

=

+

2u 1xu'

u 1

+=

+.

Esta nueva ecuacin es de variables separables, integrando:

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2 2 2

u 1 dx 2u du dxdu du

x xu 1 2(u 1) u 1

+= + =

+ + + . Estas integrales son todas directas, se tiene entonces:

21 ln(u 1) arctg(u) ln x C2

+ + = + ,

devolviendo el cambio: 2 2

2

1 y x yln arctg ln x C

2 xx

+ + = +

.

9. Ejemplo ilustrativo. Resuelva

yy x.ctg dx xdy 0

x

+ =

.

Solucin.

Despejando

dy,

dx

se obtiene:

y yyx ctgy x.ctg

x xdy x

dx x x

++

= = .

Al sustituir por y

u ,x

=

se tiene: y ' u' x u.= + (x 0) . Sustituyendo: u'x u u ctg(u)+ = + . Integrando

du dx

ctg(u) x= (ctg(u) 0) ,

se obtiene ln sen(u) ln x C= + por tanto la solucin general es:

sen(y / x)ln C

x= .

Las curvas del tipo

1

y k , k Z2

= + pi

satisfacen la ecuacin. En forma grfica se puede apreciar en la figura 1.

10. Ecuacin diferencial reducible a homognea. Las ecuaciones diferenciales

ordinarias de primer orden que se presentan con la forma:

dy ax by cf

dx Ax By C

+ +=

+ + ,

donde

a b0

A B ,

se pueden transformar en ecuaciones homogneas con las sustituciones: x u h= + , y v k= + , donde el punto (h,k), es el punto de corte de las rectas definidas

mediante las ecuaciones ax by c 0+ + = y Ax By C 0+ + = .

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Figura 1. Algunas curvas para la ecuacin del ejemplo ilustrativo

Observe que la ecuacin diferencial homognea que resulta de esta sustitucin, es

una ecuacin en las nuevas variables u y v. Si la EDO de primer orden se presenta

con la forma:

dy ax by cf

dx Ax By C

+ +=

+ + ,

donde

a b0

A B= ,

se puede transformar en una ecuacin de variables separables con la sustitucin u ax by c.= + +

11. Ejemplo ilustrativo. Resuelva x y 3

y 'x y 1

=

+ .

Solucin. Se determina el punto de corte de las rectas: x y 3 0 , x y 1 0 = + = .

Resolviendo el sistema de ecuaciones se encuentra el punto (2, 1). La sustitucin

es por lo tanto x u 2, y v 1= + = de donde se tiene que:

dy dv

dx du= .

Sustituyendo en la EDO dada se tiene: dv (u 2) (v 1) 3 u v

du (u 2) (v 1) 1 u v

+ = =

+ + +.

Esta ecuacin es homognea y se resuelve por lo tanto con la sustitucin

uz

v=

o bien con v

wu

= .

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Si se toma para determinar la solucin la sustitucin v

wu

=

se tiene v uw= (u 0) . Derivando

dvw uw'

du= +

y sustituyendo en la EDO dada se tiene: dw 1 w

w udu 1 w

+ =+

.

Esta nueva ecuacin en las variables w y u es de variables separables, resultando

las integrales

2 2

1 w du 1 2w 2 dudw dw

u 2 uw 2w 1 w 2w 1

+ += =

+ + . Resolviendo las integrales y sin cambios:

21 ln w 2w 1 ln u C2

+ = + .

Por lo tanto 2 2ln (y 1) 2(y 1)(x 2) (x 2) C+ + + = .

12. Ejemplo ilustrativo. Resuelva 2 2 3(x y 1)dy (2xy )dx 0 + = .

Solucin.

Esta ecuacin no es homognea, sin embargo con una sustitucin de la forma ay t= donde por el momento a es un nmero arbitrario que se debe determinar, la

transformacin es homognea. Derivando:

a 1dy atdt

=

y sustituyendo en la EDO:

2 2a a 1 3a(x t 1)at dt 2xt dx 0 + = , 3a

2 3a 1 a 1

dt 2xtadx x t t

=

.

Observe en esta ecuacin que el grado de 3a2xt es (1 3a)+ , el grado de a 1t es

(a 1) y el grado de 2 3a 1x t es (2 3a 1),+ como es necesario para que la ecuacin

sea homognea que los grados de todos los trminos sean iguales, debe cumplirse

entonces que 3a 1 a 1+ = , esto sucede si a 1= por lo tanto la sustitucin que transforma la ecuacin dada en homognea es y 1 / t.=

La ecuacin dada toma la forma: 2 2(t x )dt 2txdx 0 + = o bien 2 2 2

2

dx t (x / t 1)

dt t (2x / t)

= .

Esta ecuacin se resuelve con la sustitucin

xu

t= ,

es decir: x ut= , derivando, x ' tu' u= + . Sustituyendo en la ecuacin se tiene: 2 2u 1 u 1

u' t u u' t2u 2u

++ = =

y luego:

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2

2u dtdu

tu 1=

+ . Resolviendo las integrales resulta: 2ln u 1 ln t ln c+ = + , de donde se tiene que

2(u 1)t C+ = y devolviendo los cambios u x / t= y a su vez t 1 / y= resulta la

solucin 2 2x y 1 yc+ = .

13. Ejercicios asignados de la gua de trabajo. Ejercicios del 1 al 20.