Prof. Jos Luis Quintero 33

ECUACIONES DIFERENCIALES (0256)

SEMANA 03 CLASE 07 LUNES 23/04/12

1. Aplicaciones de inters. A continuacin se presentarn algunas aplicaciones de

las ecuaciones diferenciales de primer orden, entre las que destacan:

Trayectorias ortogonales

Trayectorias isogonales

Problemas geomtricos

Crecimiento poblacional

Desintegracin radioactiva

Ley de enfriamiento de Newton

Salida de lquidos por orificios

2. Rectas perpendiculares. Dos rectas 1L y 2L , que no son paralelas a los ejes

coordenados, son perpendiculares si y slo si sus pendientes respectivas satisfacen la relacin 1 2m .m 1= .

3. Curvas ortogonales. Dos curvas 1C y 2C son ortogonales en un punto, si y slo

si sus tangentes 1T y 2T son perpendiculares en el punto de interseccin.

4. Problema 1. Demuestre que las curvas 3y x= y 2 2x 3y 4+ = son ortogonales en

su(s) punto(s) de interseccin.

Solucin. Los puntos de interseccin de las grficas son (1,1) y ( 1, 1) . Ahora bien, la

pendiente de la recta tangente a 3y x= en un punto cualquiera es

2dy dx y ' 3x= = ,

de modo que y '(1) y '( 1) 3= = . Para obtener dy dx de la segunda curva se

utilizar derivacin implcita dy dy x

2x 6y 0dx dx 3y

+ = = .

Por tanto, 1

y '(1,1) y '( 1, 1)3

= = .

As, tanto en (1,1) como en ( 1, 1) se tiene que

C C1 2

dy dy. 1

dx dx

=

.

5. Trayectorias ortogonales. Cuando todas las curvas de una familia de curvas

1G(x,y,c ) 0= cortan ortogonalmente a todas las curvas de otra familia

2H(x,y,c ) 0= , se dice que las familias son, cada una, trayectorias ortogonales de

la otra.

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En otras palabras, una trayectoria ortogonal es una curva cualquiera que corta el

ngulo recto a toda curva de otra familia.

6. Problema 2. En la figura 1 se ve que la familia de rectas que pasan por el origen

1y c x= y la familia de crculos concntricos con centro en el origen 2 2 2x y c+ =

son trayectorias ortogonales.

Figura 1. Algunas trayectorias ortogonales

7. Observacin de inters. Para encontrar las trayectorias ortogonales de una

familia de curvas dada, se halla en primer lugar la ecuacin diferencial dy

f(x,y)dx

=

que describe a la familia. La ecuacin diferencial de la segunda familia, ortogonal a

la familia dada, es pues dy 1

dx f(x,y)= .

8. Problema 2. Halle las trayectorias ortogonales de la familia de hiprbolas

rectangulares

1cyx

= .

Solucin.

La derivada de

1cyx

=

es

12

cdy

dx x= .

Reemplazando 1c por 1c x.y= se obtiene la ecuacin diferencial de la familia dada:

dy y

dx x= .

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En tal caso, la ecuacin diferencial de la familia ortogonal es dy x

dx y= .

Se resuelve esta ltima ecuacin por separacin de variables:

2 22ydy xdx ydy xdx y x c= = = .

Las grficas de las dos familias se observan en la figura 2 para diferentes valores de 1c y 2c .

Figura 2. Algunas trayectorias ortogonales

9. Trayectorias isogonales. Cuando todas las curvas de una familia de curvas

1G(x,y,c ) 0= cortan a todas las curvas de otra familia 2H(x,y,c ) 0= , formando

ngulo constante especificado, 2 pi , se dice que las familias son, cada una,

trayectorias isogonales de la otra.

10. Observacin de inters. Para encontrar las trayectorias isogonales de una

familia de curvas dada, formando un ngulo constante se usa la ecuacin

diferencial '

' dp '

d

y tg( )y

1 y tg( )

+ =

,

donde es el ngulo entre la familia dada, denotada por dy y la familia pedida,

denotada por py .

11. Problema 3. Encuentre una familia de trayectorias isogonales que corten a la

familia de circunferencias 2 2 2x y r+ = , con un ngulo de 45 .

Solucin. La ecuacin diferencial de la familia dada es 2yy ' 2x 0+ = , luego

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xy '

y= ,

como tg(45 ) 1= , la ecuacin diferencial asociada a la familia pedida ser entonces

x1

y xyy '

x y x1

y

= =

++.

Esta ecuacin diferencial es homognea, se toma por lo tanto la sustitucin y

ux

= ,

resultando la EDO 21 u

u'x1 u

+=

+,

resolviendo, devolviendo el cambio y simplificando resulta la familia solucin:

2 2y 1arctg ln(x y ) cx 2

+ + =

12. Problemas geomtricos. Los problemas que se tratarn en esta seccin

consisten en encontrar una familia de curvas que satisfaga ciertas condiciones

geomtricas dadas.

13. Problema 4. Determine la curva sabiendo que la pendiente en un punto (x,y)

cualquiera de la misma, es igual a

y1

x+ ,

y adems que dicha curva pase por el punto (1,1).

Solucin.

La curva buscada pertenece a una familia que debe cumplir la condicin dada, es

decir, y

y ' 1x

= + ,

luego esta ecuacin diferencial se asocia a la familia buscada y al resolverla se

llega a a la solucin del problema. Como la ecuacin es homognea, se usa la

sustitucin y

ux

= .

Sustituyendo y simplificando resulta u'x 1= , esta ecuacin es de variables

separadas, integrando se tiene

dxdu

x= ,

luego u ln x c= + , devolviendo el cambio y x ln x cx= + . De esta familia interesa

solo la curva que pasa por el punto (1,1), se determina por lo tanto el valor del parmetro c para cuando x 1= , y 1= , de modo que c 1= . La curva buscada es

y x ln x x= + .