Econometr a Grado en Finanzas y...

Esquema5.1 Causas de la endogeneidad

5.2 Estimador de variables instrumentales5.3 Contrastes de endogeneidad

Econometrıa

Grado en Finanzas y Contabilidad

Helena Veiga

Apuntes basados en el libro ”Introduction to Econometrics: A modern Approach”de Wooldridge

Helena Veiga Capıtulo 5: Regresores Endogenos



5.1 Causas de la endogeneidad5.2 Estimadores de Variables Instrumentales5.3 Contrastes de endogeneidad




La endogeneidad aparece si en el modelo de regresion multiple :

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + ... + βkxk + u,

los regresores estan correlados con el error, es decir, si:

E (xju) 6= 0 para algunos xj .

Hay tres situaciones principales en que esto puede suceder:

caso 1 No incluimos en el modelo una variable independienteimportante;

caso 2 Las variables independientes se observan con error;

caso 3 Tenemos un sistema de varias ecuaciones de regresionsimultaneas.




caso 1: Omision de un regresor importante

Supongamos que omitimos una variable que deberıa estar en elmodelo verdadero (o poblacional). Este es un problema de malaespecificacion (subespecificacion en este caso) del modelo, quecausa que los estimadores de OLS sean sesgados e inconsistentes.La obtencion del sesgo cuando se omite una variable importante esun ejemplo de analisis de la mala especificacion. Para empezar,veamos el caso en que el modelo poblacional verdadero tiene dosvariables explicativas:

y = β0 + β1x1 + β2x2 + u (1)




Suponemos que este modelo cumple las hipotesis clasicas y quenos interesa principalmente β1, el efecto parcial de x1 sobre y . Porejemplo, y puede ser el salario por hora (o su logaritmo), x1 laeducacion, y x2 una medida de la capacidad innata del individuo.Para obtener un estimador insesgado de β1, tendrıamos quecalcular la regresion de y sobre x1 y x2 (esto nos darıa estimadoresinsesgados de todos los parametros). Sin embargo, sea porignorancia o porque no disponemos de datos, estimamos el modeloexcluyendo a x2, es decir:

y = β0 + β1x1.

Usamos el sımbolo ˜ en lugar de ˆ para hacer hincapie en que β1

se obtiene a partir de un modelo mal especificado.




Obtendremos el valor esperado de β1, condicionado a los valoresmuestrales de x1 y x2. El calculo de esta esperanza no es difıcil,porque β1 es el estimador de OLS de una pendiente. Lo importantees que estudiamos sus propiedades cuando el modelo de regresionesta mal specificado porque hemos omitido una variable.

β1 =

∑ni (x1i − x1)yi

∑ni (x1i − x1)2

El siguiente paso es el mas importante. Como (1) es el modeloverdadero, podemos escribir

yi = β0 + β1x1i + β2x2i + ui .

Despues de algunos calculos y tras tomar esperanza condicionada alos valores de las variables independientes obtenemos

E (β1) = β1 + β2

∑ni (x1i − x1)x2i

∑ni (x1i − x1)2




Por tanto, en general, E (β1) no es igual a β1: β1 es sesgado para

β1.∑n

i (x1i−x1)x2i∑n

i (x1i−x1)2es, simplemente, la pendiente de la regresion de x2

sobre x1, la cual se puede expresar como

x2 = δ0 + δ1x1.

Como estamos condicionando a los valores muestrales de las dosvariables independientes, δ1 no es aleatorio. Por tanto, podemosescribir E (β1) como

E (β1) = β1 + β2δ1.

Esto implica quer el sesgo de β1 es E (β1) − β1 = β2δ1. A menudose llama a esto el sesgo de la variable omitida.




Hay dos casos en que β1 es insesgado:

• Si β2 = 0, x2 no esta en el modelo poblacional y β1 esinsesgado.

• Si δ1 = 0, entonces β1 es insesgado para β1, incluso si β2 6= 0.Como δ1 es la covarianza muestral entre x1 y x2 dividida porla varianza muestral de x1, δ1 = 0 si y solo si x1 y x2 estanincorreladas en la muestra. Por tanto, obtenemos laconclusion importante de que si x1 y x2 estan incorreladas enla muestra, entonces β1 es insesgado. En otro caso, aparece laendogeneidad y β1 es sesgado e inconsistente.




Resumen del sesgo de β1 cuando se omite x2:

corr(x1, x2) > 0 corr(x1, x2) < 0

β2 > 0 sesgo positivo sesgo negativoβ2 < 0 sesgo negativo sesgo positivo




caso 2: Errores de medida en las variables independientes

Sabemos que si en un modelo se excluye una variable importante,por ejemplo porque no tengamos datos de ella, tenemos unproblema importante.¿Como podemos resolver, o al menos reducir, el problema delsesgo de la variable omitida? Una posibilidad es obtener unavariable proxima (proxy) a la variable omitida. Una variableproxima es una que esta relacionada con la variable quedeberıamos incluir en nuestro modelo (pero que no lo hacemos).Para ilustrar las ideas fundamentales nos basta con un modelo detres variables independientes, de las cuales se observan dos:

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x∗

3 + u.

Suponemos que se dispone de datos de y , x1, y x2, no de x∗

3 , peroque tenemos una variable proxima a x∗

3 , a la que llamamos x3.




¿Que le pedimos a x3? Como mınimo, que tenga una relacion conx∗

3 del tipo:x3 = x∗

3 + v3,

donde v3 ∼ N(0, σ2v ) y v3 esta incorrelado con x∗

3 y u. Por tanto, elmodelo que podemos estimar es:

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3(x3 − v3) + u

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + (−β3v3 + u)y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + e,

donde e = (−β3v3 + u). Como cov(x3, e) 6= 0, x3 es endogena y elestimador de OLS es sesgado e inconsistente.




caso 3: Ecuaciones simultaneas

Es util ver, en un modelo simple, como una variable explicativa quees, a la vez, explicada, esta, en general, correlada con el termino deerror. Esto lleva a sesgo en OLS, como ya sabemos. Sea el modeloestructural de dos ecuaciones:

y1 = α1y2 + β1z1 + u1 (2)y2 = α2y1 + β2z2 + u2 (3)

y supongamos que nos interesa estimar la primera ecuacion. Lasvariables z1 y z2 son exogenas y estan, por tanto, incorreladas conu1 y u2. Por sencillez, hemos quitado las constantes de las dosecuaciones.Para demostrar que y2 esta correlada con u1, despejamos en lasdos ecuaciones y1 e y2 en funcion de las variables exogenas y loserrores. Nos queda, para y2:




y2 = π21z1 + π22z2 + v2,

donde π21 = α2β1/(1 − α2α1), π22 = β2/(1 − α2α1), yv2 = (α2u1 + u2)/(1 − α2α1). Esta ecuacion, que nos pone y2 enfuncion de las variables exogenas y los errores, es la forma reducidade y2. Los parametros π21 y π22 se llaman parametros de la formareducida. Debemos notar que son funciones no lineales de losparametros estructurales (o sea, de los parametros que aparecen enla forma estructural).El error de la forma reducida, v2, es funcion lineal de los erores dela forma estructural, u1 y u2. Como u1 y u2 estan ambosincorrelados con z1 y z2, v2 tambien esta incorrelado con z1 y z2.Por tanto, podemos estimar en forma consistente π21 y π22

mediante OLS.




Sin embargo, lo que nos interesa es etimar la ecuacion (2). En ella,

cov(y2, u1) = cov(π21z1 + π22z2 + v2, u1)= cov(v2, u1)= cov((α2u1 + u2)/(1 − α2α1), u1) 6= 0,

y por tanto hay endogeneidad, el estimador de OLS es sesgado einconsistente.




En esta seccion, veremos como el metodo de las variablesinstrumentales (IV) puede resolver el problema de la endogeneidadde una o mas variables explicativas.Como ejemplo, sea el problema de la capacidad innata, noobservada, en la ecuacion del salario de adultos que trabajan. Unmodelo inicial es:

log(wage) = β0 + β1educ + β2abil + e,

donde e es el termino de error.




Supongamos que, o no disponemos de una variable proxima, o estano tiene las propiedades mınimas para que obtengamos unestimador consistente de β1. Entonces, si metemos abil junto eltermino de error, nos queda el modelo de regresion sencillo:

log(wage) = β0 + β1educ + u, (2)

donde u contiene a abil . Si estimamos este modelo por OLS,obtenemos un estimador de β1, que sera sesgado e inconsistente sieduc y abil estan correladas. A pesar de esto, resulta quepodremos utilizar el modelo (2) como base de nuestra estimacionsi podemos encontrar una variable instrumental para educ .




En concreto, volviendo a escribir el model de regresion sencillo,

y = β0 + β1x + u,

con x y u posiblemente correladas:

Cov(x , u) 6= 0.

El metodo de las variables instrumentales funciona tanto si x y u

estan correladas como si no lo estan, pero, por razones queveremos despues, si estan incorreladas es mejor usar OLS.Para poder tener estimadores consistentes de β0 y β1 cuando x y u

estan correladas, necesitamos mas informacion. Supongamos quetenemos una variable observada z que cumple dos condiciones:

Cond. 1 z esta incorrelada con u, o sea, cov(z , u) = 0;

Cond. 2 z esta correlada con x , es decir,cov(z , x) 6= 0.




Llamamos a z una variable instrumental para x .Estas dos condiciones son muy distintas, en el sentido de que laprimera nunca la podemos contrastar, porque el error u no seobserva. Nos conformaremos con creer que se cumple estacondicion porque ello se deduzca de la teorıa economica osimplemente por intuicion. En cambio, la condicion de que z

este incorrelada con x en la poblacion se puede contrastar con lamuestra aleatoria. La manera mas sencilla de hacerlo es ajustaruna regresion entre x y z . Para la poblacion sera:

x = π0 + π1z + v .




Entonces, como π1 = Cov(z , x)/Var(z), la segunda hipotesis secumple si y solo si π 6= 0. Por tanto, si x y z estan correladas, paraun nivel de significacion suficientemente pequeno (p.ej. 5% o 1%),rechazaremos la hipotesis nula

H0 : π1 = 0

frente a la alternativa bilateral H0 : π1 6= 0. En este caso, podemostener una confianza razonable de que la segunda condicion secumple.En el ejemplo del salario (o su logaritmo) wage, una variableinstrumental z para educ debe estar 1) incorrelada con lacapacidad innata abil (y con cualquier otro factor no observableque explique a wage), y 2) correlada con educ . Por ejemplo, lavariable ultima cifra del DNI seguramente estara incorrelada conabil , pero no estra correlada con educ , asi que no nos servira comovariable instrumental para educ .




Lo que habıamos llamado variable proxima (proxy) a una variableno observada tampoco es una buena variable instrumental por elmotivo contrario. Por ejemplo, una variable proxima a abil

estara muy correlada con ella, pero debe no estarlo para ser unabuena variable instrumental.

Una posible IV para educ serıa el numero de hermanos que tenıa elindividuo en la epoca en que recibıa la educacion. Es probable queel numero de hermanos este incorrelado con abil , pero correladocon educ .

Ahora vamos a demostrar que la disponibilidad de una variableinstrumental se puede utilizar para estimar consistentemente losparametros de la ecuacion (2).




Dado el modelo sencillo:

y = β0 + β1x + u,

la covarianza entre z e y es

cov(y , z) = β1cov(x , z) + cov(z , u).

y, por las condiciones 1 y 2 que deben cumplir las variablesinstrumentales, cov(z , u) = 0 y cov(z , x) 6= 0, por tanto

β1 =cov(y , z)

cov(x , z).

Despues de simplificar los tamanos muestrales de numerador ydenominador obtenemos el siguiente estimador de β1 mediante IV:

β1 =

∑ni (zi − z)(yi − y)

∑ni (zi − z)(xi − x)




El estimador de IV de β0 es simplemente β0 = y − β1x , o sea, esparecido al de OLS, pero con β1 estimado por IV en vez de porOLS.Una caracterıstica del estimador de IV es que, cuando x y u estande verdad correladas, nunca es insesgado. Pero, para muestraspequenas, puede haber un sesgo importante. Por eso es preferibleutilizar muestras grandes con el estimador de IV:




Dado el parecido de los estimadores de IV y de OLS, no nossorprende el que el estimador de IV tenga una distribucionaproximadamente normal para muestras grandes. Para hacerinferencia acerca de β1, necesitamos una desviacion tıpica con laque poder calcular estadısticos t e intervalos de confianza.

Lo habitual es imponer hipotesis de homocedasticidad, como en elcaso de OLS. Pero ahora la homocedasticidad es condicional en lavariable instrumental, en lugar de serlo en la variable explicativaendogena x , es decir, tenemos el resto de hipotesis sobre u, x , y z ,y, ademas,

E (u2|z) = σ2.




La varianza asintotica de β1 es ahora:

σ2

nσ2xρ

2xz

,

donde σ2x es la varianza poblacional de x , σ2 es la varianza

poblacional de u, y ρ2xz es el cuadrado de la correlacion poblacional

entre x y z . De esta forma podemos obtener una desviacion tıpicapara el estimador de IV. Todas las cantidades necesarias se puedenestimar en forma consistente a partir de una muestra aleatoria.Para estimar σ2

x , simplemente calculamos la varianza muestral delos xi ; para estimar ρ2

xz , podemos obtener el R cuadrado de laregresion de los xi sobre los zi , es decir R2

x ,z . Finalmente, paraestimar σ2, podemos usar σ2 =

(∑n

i u2i

)

/(n − 2).

La desviacion tıpica (asintotica) de β1 es, pues, la raiz cuadrada de:

σ2

SSTxR2xz

,




donde SSTx es la suma total de cuadrados de los xi . La desviaciontıpica que se obtiene se puede usar para construir o estadısticos t

para hipotesis sobre β1 o intervalos de confianza.

Es informativo el comparar las varianzas asintoticas de losestimadores de IV y OLS cuando x y u estan incorrelados. Bajo lashipotesis de Gauss-Markov la varianza del estimador de OLS esσ2/SSTx , mientras que para el estimador de IV es σ2/(SSTxR

2x ,z);

Como un R cuadrado esta entre 0 y 1, la varianza de IV es siempremayor o igual que la de OLS (si OLS es valido, claro). Si R2

x ,z espequeno, entonces la varianza de IV puede ser mucho mayor que lade OLS, pero si el R cuadrado es 1, entonces las dos varianzas soniguales (o sea, si x esta incorrelada con u, entonces la misma x

puede ser la variable instrumental de x).




Estimacion por MC2E-Modelos de Ecuaciones Simultaneas

Sea el sistema de ecuaciones simultaneas de antes en formaestructural:

y1 = α1y2 + β1z1 + u1 (2)y2 = α2y1 + β2z2 + u2 (3)

cuya forma reducida es:

y1 = π11z1 + π12z2 + v1, (4)y2 = π21z1 + π22z2 + v2 (5),

donde π11 = α1β2/(1 − α1α2), π12 = β1/(1 − α1α2),v1 = (u1 + α1u2)/(1 − α1α2). Ademas, en cuanto a la ecuacion(5), es π21 = α2β1/(1 − α1α2), π22 = β2/(1 − α1α2) yv2 = (u2 + α2u1)/(1 − α1α2).




Como, en la forma reducida, cada ecuacion solo tiene variablesexogenas, podemos estimar la forma reducida por OLS, y losestimadores de los πij seran BLUE.El metodo de mınimos cuadrados bietepicos consta de dos pasos,el primero es el que acabamos de describir, estimar la formareducida por OLS (una vez que sepamos que el modeloesta identificado). Entonces se estiman y1 e y2 mediante:

y1 = π11z1 + π12z2

y2 = π21z1 + π22z2.

En el segundo paso, estas estimaciones se usan como instrumentosde y1 e y2 en la forma estructural del sistema. Notese que son deverdad instrumentos, porque estan incorrelados con los vj y, portanto, con los uj y, en cambio, estan correlados con los yj




Es decir, en el segundo paso, sustituimos los yj endogenos de laforma estructural por sus instrumentos y estimamos el modeloresultante por OLS:

y1 = α1y2 + β1z1 + u1

y2 = α2y1 + β2z2 + u2

A estos dos pasos se les llama mınimos cuadrados bietapicos(MC2E o 2SLS) y se obtiene ası un estimador que es consistente,pero no es eficiente ni insesgado.




El estimador de MC2E es menos eficiente que el de OLS cuandolas variables explicativas son exogenas.Por tanto, es util disponer de un contraste de endogeneidad parasaber si necesitamos los MC2E. La obtencion de un contraste deeste tipo es sencilla. En el ejemplo anterior tenemos, para y1,

y1 = α1y2 + β1z1 + u1, (3)

con z1 exogena. Si y2 esta incorrelada con u1, deberıamos estimarla ecuacion por OLS.




¿Como podemos contrastar esto?

Hausman (1978) sugirio comparar las estimaciones de OLS yMC2E y determinar si la diferencia entre ambas esestadısticamente significativa La idea es que ambos, OLS y MC2Eson consistentes si todos los regresores son exogenos, por tanto, siOLS y MC2E son muy distintos, y2 debe ser endogena (seguimossuponiendo que las zj son exogenas).Es una buena idea calcular las estimaciones de OLS y MC2E paraver si son muy diferentes. Para determinar si la diferencia essignificativa, lo mas sencillo es hacer un contraste de regresion.Este se basa en estimar la forma reducida de y2, o sea

y2 = π21z1 + π22z2 + v2




Ahora, como los zj estan incorrelados con u1, y2 estara incorreladocon u1 si y solo si v2 esta incorrelado con u1; esto es lo quetenemos que contrastar. Escribimos u1 = δ1v2 + e1, donde e1

esta incorrelado con v2 y tiene media cero. Entonces, u1 y v2 estanincorrelados si y solo si δ1 = 0.

La manera mas sencilla de llevar esto a la practica es incluir a v2

como regresor adicional en (3) y hacer un contraste de la t. Elproblema es que v2 es un termino de error y, por tanto, no loobservamos. Pero como podemos estimar la forma reducida en laecuacion de y2, tambien podemos calcular los residuos de estaforma reducida, v2.




Por tanto, estimamos

y1 = α1y2 + β1z1 + δ1v2 + error ,

mediante OLS y contrastamos H0 : δ1 = 0 con el estadıstico de lat. Si rechazamos H0 para un nivel de significacion pequeno,deducimos que y2 es endogena, puesto que v2 y u1 estancorrelados.


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