SEMANA 15

ECUACIONES

TRIGONOMTRICAS

1. Halle la suma de las 3 primeras soluciones positivas de la

ecuacin: ( ) 2sen 5x 102

=

A) 111 B) 133 C) 122

D) 132 E) 123

RESOLUCIN

( ) P2 2sen 5x 10 V arcsen 452 2

= = =

( )n5x 10 180 n 1 45 = + ( )nx 36 n 1 9 2 ;n= + + Si: n = -1 x = - 43 n = 0 x = 11 n = 1 x = 29 n = 2 x = 83

11 29 83 123= + + = RPTA.: E

2. Indique el nmero de soluciones

positivas y menores a una vuelta de la ecuacin:secx cosx senx =

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

RESOLUCIN * 0 < x < 360

*1

secx cosx senx cosx senxcosx

= =

2 21 cos x senxcosx sen x senx cosx = = i

( )2senx senx cosx 0 senx senx cosx 0 = = i) senx 0 x 0,180,360,...= =

ii) senx

senx cosx 0 senx cosx 1cosx

= = =

tg x= 1 x = 45, 225, Son 3 soluciones: 180;45;225

RPTA.: C

3. Resolver y dar la suma de soluciones de la ecuacin:

cos2 x senx 0; x 0;360+ =

A) 450 B) 630 C) 540

D) 360 E) 300

RESOLUCIN

cos2x senx 0;x 0;360+ =

( )21 2sen x senx 0 + = 20 2 sen x sen x 1=

2 sen x 1 sen x -1

( ) ( )0 2senx 1 senx 1= + IIIC: x = 210 i) IVC: x = 330 ii) sen x = 1 x = 90

90 210 330 630= + + = RPTA.: B

4. Halle la suma de las soluciones de

la ecuacin: ctg x csc 2x = 1 Para ngulos positivos menores de

360

A) 360 B) 630 C) 450 D) 660 E) 810

RESOLUCIN

cosx 1

1senx 2senxcosx

=

22cos x 1 2senxcosx =

tg 2x =1

de donde: k

x2 8

pi pi= +

Se pide: Soluc 630= RPTA.: B

5. Al resolver la ecuacin: tg2xcosx 3senx=

1senx

2=

donde: 0 x 360 , la suma de todas sus soluciones es:

A) 1260 B) 990 C) 650

D) 720 E) 570

RESOLUCIN tg2x 3tgx=

2

2tgx3tgx

1 tg x=

donde: tg x = 0 x = 0; 180; 360

Pero: 22 = 3 -3tg x

21

tg x3

=

x = 30; 150; 210; 330 Se pide: Soluc = 1 260

RPTA.: A

6. Halle los valores de x en el

primer cuadrante que verifican la ecuacin:cos 4 x -3 cos3x+3cos2x -1=0

A) 15 y 75 B) 45 y 30 C) 30 y 60 D) 15 y 30

E) 18 y 60

RESOLUCIN - 3 cos 3x = 1 - cos 4x-3 cos 2x

( )2-3cos 3x=1- 2cos 2x 1 3cos2x 2- 3 cos 3x =2-3cos2x-2cos 2x

( ) ( ) ( )-3cosx 2cos2x-1 2 cos2x 1 2cos2x= + de donde: x = 30 y 60

RPTA.: C

7. Resolver la ecuacin:

sen 2x = cos x e indicar sus

soluciones para x 0;360

A) { }30;90;150;270 B) { }30;90 C) { }60;90;120;270

D) { }60;90

E) { }30;60

RESOLUCIN

sen2x cosx;x 0,360=

2senx cosx cosx=i

2senx cosx cosx 0 =i

( )cosx 2senx 1 0 = i) cos x = 0 x = 90 ; 270;

ii) 1

senx x 30;150;...2

= = .

conjunto solucin = { }30 ; 90 ;150 ; 270

RPTA.: A

8. Siendo tg2x tgx sen3x sec x+ = i ;

x 0;pi Indique la suma de las

soluciones.

A) 2

pi B) pi C)

3

2

pi

D) 2 pi E) 5

2

pi

RESOLUCIN

tg2x tgx sen3x secx,x 0;pi+ = i

3

x ,x , ,2 4 4

pi pi pi

( )sen 3x sen3x

;cos x 0cos2x cos x cos x

= i

i) sen 3x = 0k

x3

pi= k=1 x=

3

pi

2

k=2 x= 3

pi

k=3 x= pi ii) cos 2x = 1 2x = 2 pi x = pi

(ya se considero) Suma = 2 pi

RPTA.: D

9. Resolver:

2 2 2 2cos x cos 2x cos 3x cos 4x+ = +

Indique el nmero de soluciones

en el intervalo de 0;pi

A) 5 B) 6 C) 7

D) 8 E) 9

RESOLUCIN

2 2 2 22cos x 2cos 2x 2cos 3x 2cos 4x+ = +

cos2x cos4x cos6 x cos8x+ = +

2 cos3 x cos x 2 cos7 x cos x=i i

i) cos x = 0 x2

pi=

ii) cos3x cos7x 0 2sen5x sen2x 0 = =

a) sen 2x = 0k

x2

pi= k = 0x = 0

k = 1x = 2

pi

k= 2 x = pi

b) sen 5x = 0 k

x5

pi= k = 1 x

5

pi=

k= 2 2

x5

pi=

k = 33

x5

pi=

k = 44

x5

pi=

Hay 7 soluciones RPTA.: C

10. Resolver: senx cosx tgx secx+ = i

La solucin de la ecuacin es: (K es un nmero entero)

A) k4

pipi

B) k

6

pipi

+

C) k12

pipi

D) k

18

pipi

+

E) k4

pipi

+

RESOLUCIN

sen x 1

sen x cos xcos x cos x

i+ =

( )3 2cos x senx 1 cos x= 3tg x 1 tgx 1= =

x = k +4

pipi

RPTA.: E

11. Determine la suma de soluciones

de la ecuacin:

senx 3 cosx 1 ;x 0;2 pi=

A) 2

3

pi B)

3

5

pi C)

5

3

pi

D) 3

2

pi E)

6

pi

RESOLUCIN

senx 3 cosx 1=

1 3 cosx senx=

1 3 1

cosx senx2 2 2

=

1

cos30 cosx sen30 senx2

i i=

( )1 cos x 302

= +

i) x 30 60 x 306

pi+ = = < >

ii) 3

x 30 300 x 2702

pi+ = =

3 5

6 2 3

pi pi pi= + =

RPTA.: C

12. Halle uno de los valores de x que satisfacen la ecuacin

cos 5x 3 sen5x 2 cos x 0 =

(K es un nmero entero)

A) K

2 12

pi pi

B) K

3 12

pi pi

1

2

1

2

C) K

4 12

pi pi

D) K

2 18

pi pi

E) K

2 12

pi pi +

RESOLUCIN

cosx 3 sen5x 2cosx =

cos 5x cosx3

pi + =

de donde:

1k

x2 12

pi pi=

2k

x3 18

pi pi=

RPTA.: A

13. Resolver e indicar la suma de las

2 primeras soluciones positivas de la ecuacin:

2 2cos 5x sen x cos 4x =

A) 5

12

pi B)

5

24

pi C)

7

24

pi

D) 7

12

pi E)

11

24

pi

RESOLUCIN

2 2cos 5x sen x cos 4x 0 =

( ) ( )cos 5x x cos 5x x cos4x 0+ = cos 6 x cos 4x cos 4x 0 =

( )cos 4 x cos6x 1 0 = i) cos4x 0 4x 90 x 2230'= = =

ii) cos6x 1 6x 360 x 60= = =

11

2230' 608 3 24

pi pi pi= + = + =

RPTA.: E

14. Al resolver la ecuacin:

( ) ( ) ( ) ( )1 tgx 1 sen2x 1 tgx 1 cos2x + = + La suma de las soluciones comprendidos entre 0 y 180 ser: A) 360 B) 240 C) 245

D) 315 E) 325

RESOLUCIN

( ) ( ) 22 22tgx 1 tg x1 tgx 1 1 tgx 11 tg x 1 tg x

+ = + + +

( ) ( ) ( )2 2

2 2

1 tgx 2tg x1 tgx 1 tgx

1 tg x 1 tg x

+

= + + +

de donde: 1x k 4

pipi=

2x k 6

pipi=

Se pide: Soluc. 315= RPTA.: D

15. Al resolver la ecuacin: 2sen 2x =cos x tg x csc xi i

Calcule la diferencia entre las menores soluciones positivas.

A) 2

3

pi B)

6

pi C)

12

pi

D) 2

15

pi E)

3

4

pi

RESOLUCIN

2k

sen2x cos x tgx csc x,x2

pi= i i

2 senx 12senx cosx cos xcosx senx

i i i= ; senx 0

cosx 0

x6

pi=

5

x6

pi=

Diferencia = 2

3

pi

RPTA.: A

16. Determinar todas las soluciones

de la ecuacin:

1 tgx 3 ctgx

1 tgx 3 ctgx

+ +=

( )k

1senx

2=

A) k4

pipi

B) K

6

pipi

C) K12

pipi

D) K18

pipi

E) K4

pipi

RESOLUCIN

2 6

2tgx 2ctgx=

ctgx 3tgx= 2ctg x 3=

x k6

pipi=

RPTA.: B

17. Al resolver la ecuacin:

( ) ( ) ( )sen x 135 cos x 135 cos x 135+ + = +El mayor ngulo negativo x es:

A) 15 B) 75 C) 45

D) 87 E) 39

RESOLUCIN

( ) ( ) ( )sen x 135 cos x 135 cos x 135+ = + ( )sen x 135 2 sen x sen 135i+ =

2 2 2

senx cosx 2senx2 2 2

+ = i

tg x = - 1 x = - 45

RPTA.: C

18. Resolver la ecuacin:

( ) 23 1 cos x sen x;n =

A) {2 npi } B) { npi } C) n2

pi

D) { }4 npi E) n4

pi

RESOLUCIN

( ) 23 1 cos x sen x = 23 3cosx 1 cos x =

2c os x 3 cos x 2 0 + =

cos x - 2 cos x - 1

i) c osx 2 0 cosx 2 x = =

Incompatible! ii) cos x -1 = 0 cos x =1 x 2 npi= ; "n"

RPTA.: A

19. Indique la solucin general de la ecuacin:

4 45

sen x cos x ;"n "8

+ =

A) x 2 n6

pipi= i

B) x n2 3

pi pi= i

C) x 2 n3

pipi=

D) x n2 6

pi pi= i

E) x n6

pipi=

RESOLUCIN

4 4 5sen x cos x8

+ =

3 cos 4x 5

4 8

+=

1

co s 4x2

=

P1

V arc cos 1202

= =

4x 360 n 120= x 90 n 30=

x n2 6

pi pi= ; "n"

RPTA.: D

20. Resolver la siguiente ecuacin trigonomtrica

2 2 3cos 5x sen 3x cos2x, k2

=

A) ( )2K 12

pi +

B) ( )2K 14

pi +

C) ( )2K 13

pi +

D) ( )2K 15

pi +

E) ( )2K 18

pi +

RESOLUCIN

2 23

cos 5x sen 3x cos2x2

=

3cos8x cos2x cos2x

2i =

i) ( ) ( )cos2x 0 2x 2k 1 x 2k 1 ,k Z2 2

pi pi= = + = +

ii) 3

cos8x x2

=

( )x 2k 1 ,k4

pi = +

RPTA.: B

21. Resolver la ecuacin

trigonomtrica: 2 20,5cos x 3senx cosx 0,5sen x 0, k+ =

A) k

2 6

pi pi

B) k

3

pipi

C) k

2 3

pi pi

D)

k

2 12

pi pi

E) k6

pipi

RESOLUCIN

2 2cos x sen x 3 2senx cos x 0i i + =

3

3 sen2x cos2x tg2x3

= =

k

2x k x ,k6 2 12

pi pi pipi

= =

RPTA.: D

22. Resolver la ecuacin

trigonomtrica

x

3cosx 7 4cos2

= +

Indique la suma de las soluciones

en el intervalo de 0;6 pi

A) 2 pi B) 4 pi C) 6 pi

D) 8 pi E) 10 pi

RESOLUCIN

2x x x3cosx 7 4cos 6cos 4cos 10 02 2 2

= + =

2 x3 2cos 12

2 x x x x3cos 2cos 5 0 3cos 5 cos 1 02 2 2 2

= + =

x3cos

2 - 5 0

xcos

2 + 1

xcos 1

2=

Luego: ( )x 2k 12

pi= +

( )x 2 2k 1 pi= + k 0 x 2pi= = k 1 x 6pi= =

Suma = 8 pi

RPTA.: D

23. Dado el sistema:

x y2

pi =

( )cosx 3 2 cosy= Indique una solucin general de y

( )k

A) k24

pipi

+

B) k12

pipi

+

C) k10

pipi

+

D) k6

pipi

+

E) k3

pipi

+

RESOLUCIN

Como:x y cosx cos y seny2 2

pi pi = + = + =

Luego en: ( )cos x 3 2 cosy= , se tiene: tgy 2 3 y k ,k

12

pipi

= = +

RPTA.: B

24. Dado el sistema:

6

senx seny2

+ =

2

cosx cosy2

+ =

Halle: x y y, si 0 x pi< < ;

0 y pi< <

A) 7

x ;y12 12

pi pi= =

B) 7

x ;y10 10

pi pi= =

C) 3

x ;y4 2

pi pi= =

D) 2

x ;y3 4

pi pi= =

E) 3

x ;y8 8

pi pi= =

RESOLUCIN Como:

a)6 x y x y

senx seny 2sen cos2 2 2

+ + = =

i

=6

2.(1)

Como:

b)2 x y x y

cosx cosy 2cos cos2 2 2

+ + = =

i

=2

2..(2)

(1) (2)

x y 2t g 3 x y

2 3

pi+ = + =

( )

Tambin:

( )2a : 2 2 3sen x sen y 2senx seny2

+ + = (3)

( )2 2 2 1b :cos x cos y 2cosx cosy2

+ + = ..(4)

(3) + (4):

( ) ( )2 2cos x y 2 cos x y 0 x y2

pi+ = = = ( )

( ) ( ) : + 7 72x x6 12

pi pi= =

( ) ( ) : 2y y6 1 2

pi pi= =

RPTA.: A