Ecuación Cubica

La ecuación cúbica o también conocida como la ecuación de tercer grado es

aquella ecuación que obedece a un polinomio de tercer grado de la forma ax3 +

bx2 + cx +d igual a cero. 

Donde el coeficiente “a” es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0

se obtiene unaecuación cuadrática o de grado dos)

Su solución se debe al parecer al matemático italiano Niccolo Fontano Tartaglia

pero muchos afirman que este realmente copió el método de un alumno del

profesor Scipione del Ferro quien nunca publicó nada al respecto. 

La historia parece castigar a Tartaglia ya que fue Gerolamo Cardano, después de

engañarlo, el que se encargaría de escribir el método de solución en su famoso

libro "Ars Magna".

Método de solución de la ecuación cúbica

Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨

Reescribiendo la ecuación se tiene   forma canónica

Donde   y por último   

A continuación se hace la sustitución   para eliminar el término x2 de

la ecuación 

Que simplificando equivale a   que también

puede escribirse como 

 (Ecuación cúbica reducida) 

Donde   y 

Ahora sea   en la ecuación reducida

La última ecuación se hace cero si

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 

Cuyas soluciones son 

Sustituyendo ambas soluciones en * se obtiene

Cuyo valor nos sirve para encontrar x dado que 

Pero de esta forma solo obtenemos una raíz (solución de la ecuación) y como la

ecuación es de tercer grado debemos encontrar 3 soluciones  (lo cual se garantiza

gracias al teorema fundamental del álgebra) entre reales y complejas.

Para encontrar las dos soluciones restantes se procede a dividir a la ecuación

cúbica reducida por 

Z - Z1 

Siendo 

La división es exacta ya que z1 es solución de Z3 + pz + q = 0 

Dividiendo se tiene

Por tanto se tiene  . Solo nos interesa

el Segundo factor

ya que del primero sabemos que si z = z1 la ecuación se hace cero.

es una ecuación de segundo grado con

soluciones 

En conclusión las tres soluciones son 

Nuevamente recordando que x = z – j/3 

La raíz cuadrada que contiene a   nos ayuda a determinar cuántas

soluciones reales o complejas posee la ecuación

Si   entonces la ecuación posee una solución real y dos complejas

Si   las tres raíces son reales. Donde al menos 2 son iguales.

Si   Las tres raíces son reales.

Ejemplos 

Primer ejemplo: 2x3+5x2+4x+1 = 0

Se procede por identificar los términos a=2, b=5, c=4 y d=1

Luego se calculan j, k y l que son los que nos permiten encontrar p y q 

j = b/a = 5/2, j = 2.5

k = c/a = 4/2, k = 2

l = d/a = 1/2, l = 0.5

,luego   ; p = -1/12

, luego   ; q = -1/108

Se procede con el cálculo  de Z1,Z2 y Z3

Como x = z – j/3 tenemos que sustituir cada una de las zetas encontradas para

encontrar las raíces de la ecuación

x1 = z1 – j/3; x1 = 1/3 – 2.5/3, x1 = - 1/2 

x2 = z2 – j/3; x2 = - 1/6 – 2.5/3, x1 = - 1 

x3 = z3– j/3; x3 = - 1/6 – 2.5/3, x1 = - 1 

Tenemos una ecuación cúbica con tres soluciones reales donde dos de ellas son

iguales. Lo cual se sabía antes ya que para esta ecuación en

particular   

Segundo ejemplo: x3 + 2x2 + x + 2 = 0

Se procede por identificar los términos a=1, b=2, c=1 y d=2 

Luego se calculan j, k y l para encontrar p y q 

j = b/a = 2/1, j = 2

k = c/a = 1/1, k =1

l = d/a = 2/1, l = 2

,luego  ; p = -1/3

, luego   ; q = 52/27

Se procede con el cálculo de Z1, Z2 y Z3

x = z – j/3 Se debe sustituir cada una de las zetas encontradas para encontrar las

raíces de la ecuación

x1 = z1 – j/3; x1 = -4/3 – 2/3, x1 = - 2

x2 = z2 – j/3; x2 = 2/3 + i – 2/3, x1 = i 

x3 = z3– j/3; x3 =2/3 – i – 2/3, x1 = - i

Esta es una ecuación cúbica con una sola solución real dos imaginarias y dos

complejas conjugadas. Lo cual se sabía antes ya que para esta ecuación en

particular 

Tercer ejemplo: x3 + 2x2 - x - 2 = 0

Se procede por identificar los términos a=1, b=2, c= -1 y d= -2 

A continuación se calculan j, k y l para encontrar p y q

j = b/a = 2/1, j = 2 

k = c/a = - 1/1, k = - 1 

l = d/a = - 2/1, l = - 2 

,luego   ; p = -7/3

, luego   ; q = -20/27 

Como   (ya que obtuvimos -1/3) Las tres raíces son reales. El

problema para continuar resolviendo este ejemplo es que debemos calcular las

raíces cúbicas de dos cantidades complejas. Es por eso que debemos encontrar

una fórmula alternativa para este caso. 

Caso Irreducible de la Ecuación Cúbica

Si   se reescribe como 

Por la fórmula de Moivre se sabe que 

Sumando ambas igualdades se obtiene

Pero   (r es el argumento del número complejo que

equivale a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la parte real y la parte

imaginaria) 

Por tanto 

Se deduce

Para encontrar el ángulo se procede con la

igualdad 

Continuando con el ejemplo 3

Encontremos primero el ángulo 

Luego los valores de las zetas 

x1 = z1 – j/3; x1 = 5/3 – 2/3, x1 = 1

x2 = z2 – j/3; x2 = -4/3 – 2/3, x1 = -2 

x3 = z3 – j/3; x3 = -1/3 – 2/3, x1 = -1

Propiedades básicas de las soluciones de la ecuación de tercer grado

Estas propiedades pueden ser comprobadas por el lector para los tres ejemplos

que se desarrollaron.

El caso general[editar]

Sea   un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces, propiedad que hará posible

resolver la ecuación.

En un cuerpo algebraicamente cerrado se sabe que todo polinomio de tercer grado (o

ecuación cúbica) tiene tres raíces. Este es el caso, por ejemplo, del cuerpo de los números

complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.

La solución de la ecuación algebraica cúbica fue dada por primera vez en el libro Ars

Magna (del latín, que significa 'Gran Arte' o 'Arte Magno') por el matemático italiano Gerolamo

Cardano (1501-1576) que publicó en el año de 1545, razón por la cual se le llama método de

Cardano.

Fórmula general[editar]

Artículo principal: Método de Cardano

Dada la ecuación cúbica

Se calculan las siguientes cantidades:

En ese caso las tres raíces se pueden escribir simplemente como:

(*)

Al ser el discriminante   se tiene:

i) una de las raíces es real y dos de ellas son complejas si D > 0.

ii) todas las raíces son reales y al menos dos son iguales si D = 0.

iii) todas las raíces son reales y distintas si D < 0.

En este último caso el cálculo de las raíces se simplifica un poco si se reescriben

las soluciones (*) mediante fórmulas trigonométricas:

donde:5

Ejemplos[editar]

Ejemplo 1[editar]

Sea la ecuación cúbica  , Se procederá

a resolverla, para ello, se siguen los siguientes pasos.

 (al dividir por 2)

Con x = t + 1, es decir t = x - 1, reemplazando:

, y desarrollando, se obtiene la

ecuación en forma reducida  .

x = u + v, U = u³, V = v³ y se impone U + V = - 1 y UV = - 1. U y V son

las raíces de X² + X - 1 = 0.

Se despeja U, V y t.

 y  , luego   

y  .

Por lo tanto

Ejemplo 2[editar]

Este ejemplo es histórico porque fue el que tomó Rafael

Bombelli quien fue, con Cardano, el primero en resolver

ecuaciones del tercer y cuarto grado por el método ya

expuesto (en la Italia del renacimiento, en pleno siglo XVI).

La ecuación dada es x³ - 15x - 4 = 0.

Estudiando la función x → x³ - 15x - 4 o calculando el

discriminante Δ = 13068 > 0, se puede comprobar que esta

ecuación tiene tres raíces reales. Por lo tanto debería ser

más fácil que en el primer ejemplo encontrar una.

Puesto que está en forma reducida se

sustituye x = u + v, U = u³, V = v³.

U + V = 4 y UV = 125.

U y V son las raíces de X² - 4X + 125 = 0, ecuación de

segundo grado cuyo discriminante es negativo. Por lo

tanto no tiene raíces reales. Este método nos permite

encontrar las raíces, todas reales, pasando

obligatoriamente por los números complejos.

Esta constatación fue un argumento a favor de los

complejos: son herramientas imprescindibles para

resolver ecuaciones, aunque sólo tengan soluciones

reales.

Hallamos U = 2 - 11·i y V = 2 + 11·i. Extraer raíces

cúbicas en los complejos no es lo mismo que en los

reales. Hay dos métodos: uno geométrico, que utiliza el

argumento y el módulo (se divide el argumento por tres, y

se toma la raíz cúbica del módulo), y otro algebraico, que

emplea las partes real e imaginaria:

Escríbase u = a + bi. Entonces u³ = 2 - 11i equivale al

sistema:

a³ - 3ab² = 2 (parte real)

3a²b - b³ = - 11 (parte imaginaria)

a² + b² = 5 (módulo)

Se obtiene a = 2 y b = -1, o sea u = 2 - i, y v es

su conjugado: v = 2 + i.

En conclusión, x0 = u + v = (2 - i) + (2 + i) = 4, lo que

se verifica de inmediato.

Las otras raíces son:

x1 = ω(2 - i) + ω(2 + i) = - 2 + √3

y

x2 = ω²(2 - i) + ω²(2 + i) = - 2 - √3,

donde ω es igual a -1/2 + √3/2i y ω es igual a

-1/2 - √3/2i.

Cuando Δ es negativo, U y V son

conjugados, y por lo tanto también lo

son u y v (con tal de bien escoger la raíz

cúbica, recordando que uv = -p/3); así

estamos seguros de obtener un x real, y de

hecho también x1 y x2.

Nota: Toda ecuación cúbica completa tiene

otra equivalente incompleta o completa

condicionada (familia de cúbicas), que se

puede observar mediante el cambio de

variable x=z+k. Con esto podemos encontrar

otrafórmula general para las ecuaciones

cúbicas, diferente a las fórmulas

de Cardano o Tartaglia.