Ecuación CubicaLa ecuación cúbica o también conocida como la ecuación de tercer grado es aquella ecuación que obedece a un polinomio de tercer grado de la forma ax3 + bx2 + cx +d igual a cero.

Donde el coeficiente “a” es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0 se obtiene una ecuación cuadrática o de grado dos)

Su solución se debe al parecer al matemático italiano Niccolo Fontano Tartaglia pero muchos afirman que este realmente copió el método de un alumno del profesor Scipione del Ferro quien nunca publicó nada al respecto.

La historia parece castigar a Tartaglia ya que fue Gerolamo Cardano, después de engañarlo, el que se encargaría de escribir el método de solución en su famoso libro "Ars Magna".

Método de solución de la ecuación cúbica

Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨

Reescribiendo la ecuación se tiene forma canónica

Donde y por último

A continuación se hace la sustitución para eliminar el término x2 de la ecuación

Que simplificando equivale a que también puede escribirse como

(Ecuación cúbica reducida)

Donde y

Ahora sea en la ecuación reducida

La última ecuación se hace cero si

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Cuyas soluciones son

Sustituyendo ambas soluciones en * se obtiene

Cuyo valor nos sirve para encontrar x dado que

Pero de esta forma solo obtenemos una raíz (solución de la ecuación) y como la ecuación es de tercer grado debemos encontrar 3 soluciones  (lo cual se garantiza gracias al teorema fundamental del álgebra) entre reales y complejas.

Para encontrar las dos soluciones restantes se procede a dividir a la ecuación cúbica reducida por Z - Z1

Siendo

La división es exacta ya que z1 es solución de Z3 + pz + q = 0

Dividiendo se tiene

Por tanto se tiene . Solo nos interesa el Segundo factor

ya que del primero sabemos que si z = z1 la ecuación se hace cero.

es una ecuación de segundo grado con soluciones

En conclusión las tres soluciones son

Nuevamente recordando que x = z – j/3

La raíz cuadrada que contiene a nos ayuda a determinar cuántas soluciones reales o complejas posee la ecuación

Si entonces la ecuación posee una solución real y dos complejas

Si las tres raíces son reales. Donde al menos 2 son iguales.

Si Las tres raíces son reales.

Ejemplos

Primer ejemplo: 2x3+5x2+4x+1 = 0Se procede por identificar los términos a=2, b=5, c=4 y d=1Luego se calculan j, k y l que son los que nos permiten encontrar p y q j = b/a = 5/2, j = 2.5k = c/a = 4/2, k = 2l = d/a = 1/2, l = 0.5

,luego ; p = -1/12

, luego ; q = -1/108

Se procede con el cálculo  de Z1,Z2 y Z3

Como x = z – j/3 tenemos que sustituir cada una de las zetas encontradas para encontrar las raíces de la ecuación

x1 = z1 – j/3; x1 = 1/3 – 2.5/3, x1 = - 1/2 x2 = z2 – j/3; x2 = - 1/6 – 2.5/3, x1 = - 1 x3 = z3– j/3; x3 = - 1/6 – 2.5/3, x1 = - 1

Tenemos una ecuación cúbica con tres soluciones reales donde dos de ellas son iguales.

Lo cual se sabía antes ya que para esta ecuación en particular

Segundo ejemplo: x3 + 2x2 + x + 2 = 0Se procede por identificar los términos a=1, b=2, c=1 y d=2 Luego se calculan j, k y l para encontrar p y q j = b/a = 2/1, j = 2k = c/a = 1/1, k =1l = d/a = 2/1, l = 2

,luego ; p = -1/3

, luego ; q = 52/27

Se procede con el cálculo de Z1, Z2 y Z3

x = z – j/3 Se debe sustituir cada una de las zetas encontradas para encontrar las raíces de la ecuación

x1 = z1 – j/3; x1 = -4/3 – 2/3, x1 = - 2x2 = z2 – j/3; x2 = 2/3 + i – 2/3, x1 = i x3 = z3– j/3; x3 =2/3 – i – 2/3, x1 = - i

Esta es una ecuación cúbica con una sola solución real dos imaginarias y dos complejas conjugadas. Lo cual se sabía antes ya que para esta ecuación en particular

Tercer ejemplo: x3 + 2x2 - x - 2 = 0Se procede por identificar los términos a=1, b=2, c= -1 y d= -2 A continuación se calculan j, k y l para encontrar p y qj = b/a = 2/1, j = 2 k = c/a = - 1/1, k = - 1 l = d/a = - 2/1, l = - 2

,luego ; p = -7/3

, luego ; q = -20/27

Como (ya que obtuvimos -1/3) Las tres raíces son reales. El problema para continuar resolviendo este ejemplo es que debemos calcular las raíces cúbicas de dos cantidades complejas. Es por eso que debemos encontrar una fórmula alternativa para este caso.

Caso Irreducible de la Ecuación Cúbica

Si se reescribe como

Por la fórmula de Moivre se sabe que

Sumando ambas igualdades se obtiene

Pero (r es el argumento del número complejo que equivale a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la parte real y la parte imaginaria)

Por tanto

Se deduce

Para encontrar el ángulo se procede con la igualdad

Continuando con el ejemplo 3

Encontremos primero el ángulo

Luego los valores de las zetas

x1 = z1 – j/3; x1 = 5/3 – 2/3, x1 = 1x2 = z2 – j/3; x2 = -4/3 – 2/3, x1 = -2 x3 = z3 – j/3; x3 = -1/3 – 2/3, x1 = -1

Propiedades básicas de las soluciones de la ecuación de tercer grado

Estas propiedades pueden ser comprobadas por el lector para los tres ejemplos que se desarrollaro