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Introducción

En geometría euclidiana, la recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una

misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta

de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se

describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea,

no posee principio ni fin.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son

considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la

descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar

definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre

los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.

Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b,

donde x, y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente

de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de

ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u

"ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el

plano.

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1-¿Que es la línea recta?

1. Una línea es una longitud sin anchura. 2. Los extremos de una línea son puntos. 3. Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos

que están en ella.

Por dos puntos diferentes sólo pasa una línea recta, Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales es menor que dos ángulos rectos: las dos rectas, suficientemente alargadas, se cortarán en el mismo lado.

1. La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos. 2. La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en

la geometría euclidiana. 3. La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la

intersección de dos planos.

La Geometría analítica consiste en emplear operaciones de cálculo para resolver problemas de geometría. En un plano, podemos representar una recta mediante una ecuación, y determinar los valores que cumplan determinadas condiciones, por ejemplo, las de un problema de geometría.

En una recta, la pendiente es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación:

:

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Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot.

La pendiente m es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas X.

Y tiene la pendiente dada m es:

Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:

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Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de orde-

nadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la

recta, y − y1 = m(x − x1):

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b.

También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

Forma segmentaria de la ecuación de la recta (Ecuación simétrica)

Así como a la ordenada al origen se le puede llamar b, a la abscisa al origen se le puede llamar a. Si se plantea como problema encontrar la ecuación de una recta, conocidos a y b (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son los siguientes:

y

Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la pendiente:

Después se sustituye en la ecuación y − y1 = m(x − x1), usando cualquiera

de los dos puntos, en este caso (a, 0):

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Por último se tiene que dividir toda la ecuación entre el término independien-

te ab:

Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica.

Esta ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha recta interseca a los ejes.

Ecuación Normal de la recta (Primera forma; Ecuación de Hesse)

Ludwig Otto Hesse (1811-1874, matemático alemán, profesor en la Universidad de Heidelberg y en la Universidad Técnica de Múnich.)

Esta es la forma normal de la recta:

Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo omega ω es el ángulo formado entre la recta y el eje de las ordenadas.

Donde k que es una constante que nos ayudará a obtener la forma normal, la cual se puede obtener de la forma general de la recta.

Extrayendo la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de A y B. Como sigue:

Con el número k podemos obtener a cosω y a senω de la misma ecuación

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general de la recta, dividiendo a A y B entre k y para calcular d dividimos a C entre k.

Debemos tener cuidado al calcular C, porque C=-kd, entonces si C>0 (es positiva) tomaremos el valor negativo de k (y será el mismo todas las veces que usemos a k en la misma ecuación), cuando C<0 (es negativa) usaremos el valor positivo de k.2

Tomando el valor positivo o negativo de la raíz según corresponda.

La ecuación explícita de una recta en el plano, por ejemplo la recta r responde a la fórmula general:

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La ecuación anterior debe cumplirse en los puntos A y B, de modo que :

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

M se denomina pendiente de la recta y su valor es el de la tangente del ángulo (α) que forma la recta con el eje x.

1. m es el resultado de dividir la diferencia ordenadas entre la diferencia de abscisas de un par de puntos cualesquiera de la recta.

2. n representa el punto de intersección de la recta con el eje Y (eje de ordenadas).

3. Rectas notables

4. La ecuación de una recta vertical, tal como la v, responde a la ecuación general x = xv (constante).

5. La ecuación de una recta horizontal, tal como la h, responde a la ecuación general y = yh (constante).

Una recta trigonoidal, tal como la s, que pase por el origen O (0, 0), cumplirá la condición n = 0, siendo su ecuación

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Determinar las rectas del plano que pasan por el punto.

La ecuación de la recta ha de ser, como ya se sabe:

Y ha de pasar por el punto , luego tendrá que cumplirse:

Despejando b, tenemos esta ecuación:

Sustituyendo b en la ecuación general de la recta:

Ordenando términos:

Esta ecuación define un haz de rectas en el plano que pasa por el punto (x0, y0), el valor de m es la pendiente de cada una de las rectas que forman parte del haz, m puede tomar un valor real cualesquiera.

Recta que pasa por dos puntos

Si ha de pasar por dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) luego tendrá que cumplirse

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Que forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, las incógnitas son m y b, para resolver este sistema, cambiamos de signo a la segunda ecuación y sumando las dos ecuaciones:

Agrupando términos:

Despejando m:

Este valor, m, es el de la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos: (x1, y1) y (x2, y2).

Despejando ahora el valor de b de una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo de la primera, tenemos:

Y sustituyendo m, por su valor ya calculado;

Tenemos las dos incógnitas m y b despejadas, en función de las coordenadas de los dos puntos por los que tienen que pasar, la ecuación general de la recta, con los parámetros ya calculados es:

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Rectas perpendiculares:

Son perpendiculares a la primera.

Siendo α el ángulo que forma la recta con la horizontal, cualquier recta perpendicular a ella ha de formar un ángulo (α + 90) con la horizontal, por trigonometría sabemos que:

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Es perpendicular a la primera, para cualquier valor del parámetro b.

Es fácil percatarse que las ordenadas en el origen de las rectas, no intervienen para determinar las rectas perpendiculares, esto es porque la perpendicularidad es un problema de dirección, y los puntos por los que pasa la recta no influyen, si la primera recta la sustituimos por una paralela a ella, el problema no se altera en absoluto, y el resultado es un conjunto de rectas paralelas, definidas por la pendiente y no por el punto concreto por el que pasa.

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Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares.

Así, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados que determinan relaciones entre los entes fundamentales.

Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.

Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano.

Sabiendo esto podemos encontrar la ecuación de una línea recta:

m

= 2 1

= 2

b = 1

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Por lo tanto

y = 2x + 1

Ejemplo 2

m

= 3 -1

= –3

b = 0

Esto nos da y = –3x + 0

¡No nos hace falta poner el cero!

Por lo tanto

y = –3x

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y = mx + n

Que considera las siguientes variables: un punto (x, y), la pendiente (m) y el punto de intercepción en la ordenada (n), y es conocida como ecuación principal de la recta (conocida también como forma simplificada, como veremos luego).

Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: la m y la n, esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y el punto de intercepción (también llamado intercepto) en el eje de las ordenadas (y).

Respecto a esto, en el gráfico de la izquierda, m representa la pendiente de la recta y permite obtener su grado de inclinación (en relación a la horizontal o abscisa), y n es el coeficiente de posición, el número que señala el punto donde la recta interceptará al eje de las ordenadas (y).

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Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma

Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta (se la llama también forma explícita de la ecuación) y se utiliza cuando se conocen la pendiente y la ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos b (no olvidemos que corresponde a la n en la primera forma de la ecuación principal). También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

Partiendo de la ecuación continúa la recta

Y quitando denominadores:

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Y despejando:

Como

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director= (2,5).

Escribir su ecuación punto pendiente.

Hallar la ecuación de la recta que pasan por los puntos A( -2, -3) y B(4,2).

Hallar la ecuación de la recta que pasan por A (-2, -3) y tenga una

inclinación de 45°.

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La ecuación de la recta que pasa por un punto (x1, y1) con pendiente m en la for-ma punto-pendiente es y – y1 = m(x – x1). Ejemplos para discusión: Halla la ecuación de la recta dado:

1) m = -3, punto (8, 0)

2) m = -2, punto (4, 2)

3) puntos: (0, 5) y (3, 3)

4) puntos: (-2, 3) y (-1, -6) Ejercicio de práctica: Halla la ecuación dado:

1) M = 5 y el punto (-7, -2)

2) puntos: (3, 1) y (-3, -1)

Ecuación de la línea recta con pendiente y ordenada en el origen.

Aplicamos la fórmula de la pendiente:

Aplicamos la fórmula de la pendiente:

Despejando y tendremos la ecuación de la recta de pendiente-ordenada en

el origen (intersección).

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Sean los puntos A (x1, y 1) y B (x2, y 2) que determina una recta r.

Un vector director de la recta es:

Cuyas componentes son:

Sustituyendo estos valores en la forma continúa.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1,3) y B(2, -5)

=

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La siguiente figura ilustra una recta que pasa por los puntos A(a, 0) y B (0, b).

Al sustituir m en la ecuación de la recta en su forma ordenada al origen y=mx+b, tenemos

Ordenando los miembros de la ecuación Esta es la ecuación simétrica de la recta.

a

bm

a

bm

0

0

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La ecuación Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e y.

La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente teorema:

La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , A, B, C R; A y B no son simultáneamente nulos, representan una línea recta.

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Se puede Considerar varios casos:

A = 0, B diferente de 0.

En este caso, la ecuación (1) se transforma en By + C = 0,0de donde

La ecuación (2) representa una linea recta paralela al eje x y cuyo intercepto con el

eje y es

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Fue un matemático y físico suizo. Se trata del principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes de todos los tiempos.

Se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, óptica y astronomía.

Euler ha sido uno de los matemáticos más prolíficos, y se calcula que sus obras completas reunidas podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes. Una afirmación atribuida a Pierre Simón Laplace expresa la influencia de Euler en los matemáticos posteriores:

«Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.

En conmemoración suya, Euler ha aparecido en la serie sexta de los billetes de 10 francos suizos, así como en numerosos sellos postales tanto suizos como alemanes y rusos. El asteroide (2002) Euler recibió ese nombre en su honor.

Euler trabajó prácticamente en todas las áreas de las matemáticas: geometría, cálculo, trigonometría, álgebra, teoría de números, además de física continua, teoría lunar y otras áreas de la física. Ha sido uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Su actividad de publicación fue incesante (un promedio de 800 páginas de artículos al año en su época de mayor producción, entre 1727 y1783), y una buena parte de su obra completa está sin publicar.

La labor de recopilación y publicación completa de sus trabajos, llamados Opera Omnia,18 comenzó en 1911 y hasta la fecha ha llegado a publicar 76 volúmenes.

El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre 887 títulos en 72 volúmenes.

Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y artículos en cualquier campo del saber, sólo equiparable a Gauss.

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Si se imprimiesen todos sus trabajos, muchos de los cuales son de una importancia fundamental, ocuparían entre 60 y 80 volúmenes.

Además, y según el matemático Hanspeter Kraft, presidente de la Comisión Euler de la Universidad de Basilea, no se ha estudiado más de un 10% de sus escritos.19 Por todo ello, el nombre de Euler está asociado a un gran número de cuestiones matemáticas.

Se cree que fue el que dio origen al pasatiempos Sudoku creando una serie de pautas para el cálculo de probabilidades.

El desarrollo del cálculo era una de las cuestiones principales de la investigación matemática del siglo XVIII, y la familia Bernoulli había sido responsable de gran parte del progreso realizado hasta entonces.

Gracias a su influencia, el estudio del cálculo se convirtió en uno de los principales objetos del trabajo de Euler.

Si bien algunas de sus demostraciones matemáticas no son aceptables bajo los estándares modernos de rigor matemático,23 es cierto que sus ideas supusieron grandes avances en ese campo.

Leonard Euler

(1707-1783)

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El interés de Euler en la teoría de números procede de la influencia de Christian Gold Bach, amigo suyo durante su estancia en la Academia de San Petersburgo.

Gran parte de los primeros trabajos de Euler en teoría de números se basan en los trabajos de Pierre de Fermat.

Euler desarrolló algunas de las ideas de este matemático francés pero descartó también algunas de sus conjeturas.

Euler unió la naturaleza de la distribución de los números primos con sus ideas del análisis matemático.

Demostró la divergencia de la suma de los inversos de los números primos y, al hacerlo, descubrió la conexión entre la función zeta de Riemann y los números primos. Esto se conoce como el producto de Euler para la función zeta de Riemann.

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http://azul.bnct.ipn.mx/Libros/polilibros/poli11/capitulo2/2.1.2.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Recta

http://www.vitutor.com/geo/rec/d_4.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuacion-linea-recta.html

http://www.sectormatematica.cl/media/NM2/ECUACIONES%20DE%20LA%20RECTA%2

0EN%20EL%20PLANO%20CARTESIANO.pdf

http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/4.4.html.