ECUACIN DIFERENCIAL Condiciones Iniciales A menudo nos interesa resolver una ecuacin diferencial sujeta a condiciones prescritas, que son las condiciones que se imponen a y(x) o a sus derivadas. En algn intervalo I que contenga a xo, el problema Resolver: dny = F(x, y, y',..., y(n-1)) dxn Sujeta a: y(x0) = y0, y'(x0) = y1, ... , Y(n-1)(x0) = y n-1, En donde y0, y1 ,..., y n-1 son constantes reales especificadas arbitrariamente, se llama problema de valor inicial. Los valores dados de la funcin desconocida, y(x), y de sus primeras n-1 derivadas en un solo punto x0: y(x0) = y0, y'(x0) = y1,...,y(n-1) (x0) = y(n-1) se llaman condiciones iniciales. Condiciones De Linealidad Se dice que una ecuacin difenecial de la forma y(n) = f(x, y, y',..., y(n-1)) es lineal cuando f es una funcin lineal de y, y',..., y(n-1). Esto significa que una ecuacin es lineal si se puede escribir en la forma an(x)dny + a n-1(x) d n-1y + ... + a1(x)dy +a0(x)y = g(x) dxn dx n-1 dx en esta ultima ecuacin, vemos las dos propiedades caractersticas de las ecuaciones diferenciales lineales: La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia de todo termino donde aparece y es 1. Cada coeficiente solo depende de x, que es la variable independiente. Factor Integrante El factor integrante e " P(x)dx se utiliza en las ecuaciones lineales y en las ecuaciones tipo bernoulli para poder obtener su solucin. Familia De Curvas Una ecuacin F(x) + c, donde c es una constante arbitraria que determina el desplazamiento vertical u horizontal de la grafica de la funcin, genera una familia de curvas. funcin Homognea Cuando una funcin f tiene la propiedad F(tx,ty) = ta f(x,y) Para un numero real a, se dice que es una funcin homognea de grado a; por ejemplo, f(x,y) = x3 + y3 es homognea de grado 3, porque F(tx,ty) = (tx)3 + (ty)3 = t3(x3 + y3)= t3f(x,y). mientras que f(x,y = x3 + y3 + 1 no es homognea. Una ecuacin diferencial de primer orden, M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

es homognea si los coeficientes M y n, a la vez, son funciones homogneas del mismo grado.

Ecuacin Diferencial

Se llama ecuacin diferencial a una ecuacin que liga la variable independiente x, la funcin incgnita y = y(x) y sus derivadas y, y,...,y(n), es decir, una ecuacin de la forma: En otras palabras, se llama ecuacin diferencial a una ecuacin en la que figura la derivada o la diferencial de la funcin incgnita. Diferencial Exacta Una ecuacin diferencial M(x,y) + N(x,y) es una diferencial exacta en una regin R del plano xy si corresponde a la diferencia de alguna funcin F(x,y). Una ecuacin diferencial de primer orden de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 Es una ecuacin diferencial exacta o ecuacin exacta), si la expresin del lado izquierdo es una diferencial exacta. Ecuacin de Bernoulli La ecuacin diferencial dy + P(x)y = f(x)yn dx en que n es cualquier numero real, es la ecuacin de Bernoulli. La sustitucin u = y 1-n reduce cualquier ecuacin de la forma anterior a una ecuacion lineal.

Clasificacin De Las Ecuaciones Diferenciales

TIPO

Ordinarias y parciales Para desarrollar sistemticamente la teora de las ecuaciones diferenciales, es til clasificar los diferentes tipos de ecuaciones. Una de las clasificaciones mas obvias se basa en si la funcin desconocida depende de una o de varias variables independientes. En el primer caso solo aparecen derivadas ordinarias en la ecuacin diferencial y se dice que es ecuacin diferencial ordinaria. En el segundo caso, las derivadas son parciales y la ecuacin se llama ecuacin diferencial parcial. Ejemplos de las ecuaciones diferenciales ordinarias: 1.2.-

ORDEN.

El orden de una ecuacin diferencial ordinaria, es igual al de la derivada de mas alto orden que aparece en la ecuacin. Por lo tanto, la ecuacin (1) y (2) son ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. El orden de una ecuacin diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuacin. Por ejemplo, d2y + 5 [dy]3 - 4y = ex dx2 dx es una ecuacin diferencial de segundo orden.

GRADO.

Es la potencia a la que esta elevada la derivada mas alta, siempre y cuando la ecuacin diferencial este dada en forma polinomial. Hay otra clasificacin importante de las ecuaciones diferenciales ordinarias la cual se basa en si stas son lineales o no lineales. Se dice que la ecuacin diferencial Es lineal cuando F es una funcin lineal en las variables y,y,y(n). Por lo tanto, la ecuacin diferencial ordinaria lineal de orden n es . 3.La ecuacin que no es de la forma (3), es un ecuacin no lineal. Un problema fsico sencillo que de origen a una ecuacin diferencial no lineal es el pndulo oscilante. ecuacin Diferencial Lineal La forma general de una ecuacin diferencial lineal de orden n es como sigue: an(x)dny + a n-1(x) d n-1y + ... + a1(x)dy +a0(x)y = g(x) dxn dx n-1 dx Recurdese que linealidad quiere decir que todos los coeficientes solo son funciones de x y que y todas sus derivadas estn elevadas a la primera potencia. Entonces, cuando n = 1, la ecuacin es lineal y de primer orden.

La ecuaciones Diferencial lineal invariante en el tiempo. Es aquella en la cual una variable dependiente y sus derivadas aparecen como combinaciones lineales. Ejemplo: (4 ) Puesto que los coeficientes de todos los trminos son constantes, una ec. Diferencial lineal invariante en el tiempo tambin se denomina ecuacin diferencial lineal de coeficientes constantes. En el caso de una ecuacin diferencial lineal variante en el tiempo la variable dependiente y sus derivadas aparecen como combinaciones lineales, para algunos de los coeficientes de los trminos pueden involucrar a la variable independiente.

Ejemplo: (5) Es importante recordar que un objeto de que sea lineal, la ec. No debe contener potencias productos u otras funciones de las variables dependientes y sus derivadas Origen De Las Ecuaciones Diferenciales (Modelos Fsicos).

Modelos Fsicos, Modelos Matemticos

Cualquier tentativa de diseo de diseo de un sistema debe empezar a partir de una prediccin de su funcionamiento antes de que el sistema pueda disearse en detalle o construirse fsicamente. Tal prediccin se basa en una descripcin matemtica de las caractersticas dinmicas del sistema. A esta descripcin se le llama modelo matemtico. Para los sistemas fsicos, la mayora de los modelos matemticos que resultan tiles se describen en trminos de ecuaciones diferenciales.

Coeficientes Indeterminados Supongamos que L(y ) = g(x) es una ecuacin diferencial lineal con coeficientes constantes, y que la entrada g(x) consiste en sumas y productos finitos de las funciones mencionadas, esto es, que g(x) es una combinacin lineal de funciones de la forma. k(constante), xm , xmeax, xmeaxcosBx y xmeaxsenBx, en donde m es un entero no negativo y y B son nmeros reales. Ya sabemos que esa funcin g(x) se puede anular con un operador diferencial, L1, de orden mnimo, formado por un producto de los operadores Dn, (D -)n y (D2 - 2D + 2 +B2)n. Aplicamos L1 a ambos lados de la ecuacin L(y) = g(x) y obtenemos L1(y) =L1(g(x)) = 0. Conjunto Fundamental De Soluciones Todo conjunto y1, y2,...,yn de n soluciones linealmente independientes de la ecuacin diferencial lineal homognea de orden n, en un intervalo I, se llama conjunto fundamental de soluciones en el intervalo. Dependencia O Independencia Lineal Se dice que un conjunto de funciones, f1(x), f2(x), ... , fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo Iv si existen constantes, C1, C2, ... , Cn no todas cero, tales que C1f1(x) + C2F2(x) + ... + CnFn(x) = 0 Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

ecuacin Auxiliar Comenzaremos con el caso especial de la ecuacin de segundo orden ay + by + cy = 0 (2) Si probamos con una solucin de la forma y = emx, entonces y = memx y y = m2emx , de modo que la ecuacin (2) se transforma en am2emx + bmemx + cemx = 0 o sea emx(am2 + bm + c) = 0

Como emx nunca es cero cuando x tiene valor real, la nica forma en que la funcin exponencial satisface la ecuacin diferencial es eligiendo una m tal que sea una raz de la ecuacin cuadrtica am2 + bm + c = 0 Esta ecuacin se llama ecuacin auxiliar o ecuacin caracterstica. funcin Complementaria La combinacin lineal yc(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + ... + Cn yn(x), que es la solucin general de (6), se llama funcin complementaria para la ecuacin (7). En otras palabras, para resolver una ecuacin diferencial no homognea primero se resuelve la ecuacin homognea asociada y luego se determina cualquier solucin particular de la ecuacin no homognea. La solucin general de la ecuacin no homognea es, entonces, Y = funcin complementaria + cualquier solucin particular

Ecuaciones lineales homogneas Una ecuacin lineal de orden n de la forma an(x)dny + a n-1(x) d n-1y + ... + a1(x)dy +a0(x)y = 0 dxn dx n-1 dx se llama homognea, mientras que una ecuacin an(x)dny + a n-1(x) d n-1y + ... + a1(x)dy +a0(x)y = g(x) dxn dx n-1 dx donde g(x) no es idnticamente cero, se llama no homognea. Ecuaciones Lineales No homogneas Toda funcin yp libre de parmetros arbitrarios que satisface la ecuacin (7) se llama solucin particular o integral particular de la ecuacin; por ejemplo, se puede demostrar directamente que la funcin constante yp = 3 es una solucin particular de la ecuacin no homognea y + 9y = 27. Dependencia O Independencia Lineal Se dice que un conjunto de funciones, f1(x), f2(x), ... , fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes, C1, C2, ... , Cn no todas cero, tales que C1f1(x) + C2f2(x) + ... + Cnfn(x) = 0 Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente

Mtodo De Variacin De parmetros Para resolver a2y + ay + ay = g(x), primero se halla la funcin complementaria yc = C1y1 + C2y2, y despus se calcula el wronkiano W(y1(x),y2(x)). Se divide entre a2 para llevar la ecuacin a su forma reducida y + Py + Qy = f(x) para hallar f(x). Se determina u1 y u2 integrando, respectivamente u1 = W1/W

y u2 = W2/W, donde se define W1 y W2 de acuerdo con (7). Una solucin particular es Yp = u1y1 +u2y2, la solucin general de al ecuacin es, por consiguiente, y = yc + yp. Operador Diferencial En calculo, la diferenciacin suele indicarse con la D mayscula; esto es dy/Dx = Dy. El smbolo D se llama operador diferencial porque transforma una funcin diferenciable en otra funcin; por ejemplo, D(cos4x) = -4sen4x y D(5x3 -6x2) = 15x2 - 12x. Las derivadas de orden superior se pueden expresar en temidos de D en forma natural: d (dy) = d2y = D(Dy) = D2y y en general dny = Dny dx dx dx2 dxn en donde y representa una funcin suficientemente diferenciable. Principio De Superposicin Sean k soluciones particulares yp1, yp2, ... ,ypn de la ecuacin (7), diferencial lineal no homognea de orden n, en el intervalo que, a su vez, corresponden a k funciones distintas, g1, g2, ... ,gk. Esto es, supongamos que yp, representa una solucin particular de al ecuacin diferencial correspondiente. an(x)y(n) + an-1(x)y(n-1) + ... + a1(x)y + a0(x)y = g1(x), en donde i = 1, 2, ... , k. Entonces yp = yp1(x) + yp2(x) + ... + ypn(x) es una solucin particular de an(x)y(n) + an-1(x)y(n-1) + ... + a1(x)y + a0(x)y = g1(x)+ g2(x) + ... + gk(x)

Mtodo De Variables Separables Se dice que una ecuacin diferencial de primer orden, de la forma dy = g(x)h(x) dx es separable, o de variables separables. Soluciones Explicitas E Implcitas Una solucin en el que las variables dependientes se expresan tan solo en trminos de la variable independiente y constantes, se llama solucin explicita. Una relacin G(x,y) = 0 es una solucin implcita de una ecuacin diferencial ordinaria, como la ecuacin satisfaga la relacin, y la ecuacin diferencial, en I. En otras palabras, G(x,y) = 0 define implcitamente a al funcin . solucin General Si toda solucin de una ecuacin de orden n, F(x, y, y,..., y(n) ) = 0, en un intervalo I, se puede obtener de una familia n-parametrica G(x, y, c1, c2,..., cn) = 0 con valores adecuados de los parmetros c1(i = 1, 2, ..., n), se dice que la familia es la solucin general de la ecuacin diferencial. solucin Particular

Una solucin de una ecuacin diferencial que no tiene parmetros arbitrarios se llama solucin particular; por ejemplo, podemos demostrar que, por sustitucin directa, toda funcin de la familia monoparametrica y = cex tambin satisface la ecuacin dy = 2xy dx

solucin Singular En algunos casos, una ecuacin diferencial tiene una solucin que no se puede obtener particularizando alguno delos parmetros en una familia de soluciones. Esa solucin se llama solucin singular. Teorema De Existencia Y Unicidad Sea R una regin rectangular del plano xy, definida por a " x " b, c " y " d, que contiene al punto (x0,y0). Si f(x,y) y "f/"y son continuas en F, entonces existe un intervalo I,

Ecuaciones diferenciales ordinarias Para obtener una mejor aproximacin es necesario usar diferenciales, una razn de cambio infinitesimal se puede obtener limitando los incremento a cero "0"

Una ecuacin diferencial es una ecuacin que contiene derivadas o diferenciales (razones de cambio infinitesimales),

Encontramos integrando

Encontramos integrando Las ecuaciones 1 y 2 son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, la caracterstica de estas funciones es posible despejar la razn de cambio e integrar con facilidad, otro ejemplo de ecuaciones diferenciales son :

Esta es una ecuacin diferencial de segundo orden, as llamado por el orden de la derivada. El orden de una ecuacin diferencial es el mismo que el de la derivada de mayor orden que en ella aparece Ejercicio - Encuentra el grado "n" de las siguiente ecuaciones diferenciales

Soluciones de una ecuacin diferencial. Constantes de integracin

Una solucin o integral de una ecuacin diferencial es una relacin entre las variables, que define a una de ellas como funcin de la otra, que satisface a la ecuacin as.

Es una solucin general de la ecuacin diferencial

Ejemplo 2

En el problema anterior "a" es una constante arbitraria de la misma manera se puede representar como c1 y c2 respectivamente dan una solucin mas general al problema a esta constante arbitraria se la conoce como constante de integracin Ejemplo 3

Del problema anterior hallar una solucin cuando y=2 dy/dx=-1 x=0 La solucin general de la funcin es aplicando relacin entre variables para y=2 e dy/dx=-1 cuando x=0

Sustituyendo los valores encontrados de c1 y c2 en la solucin general encontramos nuestro resultado

Una ecuacin diferencial se considera resuelta cuando se ha reducido a una expresin en trminos de integrales, pueda o no efectuarse la integracin Verificacin de las soluciones de ecuaciones diferenciales Antes de emprender el problema de resolver ecuaciones diferenciales, Mostraremos como se verifica una solucin dada. En los tratados sobre ecuaciones diferenciales se demuestra que la solucin general de una ecuacin diferencial de orden "n", tiene "n" constantes arbitrarias Demostrar que

Es una solucin de la ecuacin diferencial

Sustituyendo los valores en la ecuacin diferencial original encontramos que la relacin de variables satisface la ecuacin Demostrar que

Es una solucin particular de la ecuacin diferencial

Sustituyendo el valor y en la ecuacin diferencial y reduciendo obtenemos

Problemas propuestos Verifica las soluciones de las siguientes ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Una ecuacin de primer orden puede reducirse a al forma

Siendo M y N funciones de X e Y

Las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden dividirse en 4 grupos Solucin problemas implican Ecuaciones con variables separables. 1. 2. 3. cambios de masa cambios temperatura cambio poblacin en el tiempo

los anteriores ejemplos son posible solucin que se puede encontrar por medio de ecuaciones de variables separables , para tal observacin se be encontrar el incremento y la razn de cambio

La observacin de los problemas afirma que y es directamente proporcional a x esto se representa por

Para encontrar la solucin crear un igualdad necesitamos la razn de cambio representada por "k"

La solucin de este tipo ecuaciones diferenciales se observa en el ejemplo anterior

Una masa "mo" decae a una masa "mf" en un tiempo "t" encontrar la ecuacin diferencial que represente tal afirmacin

la solucin anterior se obtiene con la condicin t=0 c=0 Problemas propuestos

Una masa de 500 Kg. decae a una masa 100 Kg. en un tiempo de 3 min. Encontrar la ecuacin diferencial que represente tal afirmacin y la mase cuando el tiempo sea de 2 min. La temperatura en un cuarto es de 3 grados centgrados al pasar 5 min. la temperatura es de 7 grados centgrados, encontrar la ecuacin diferencial represente la razn cambio El incremento poblacional es 3 veces la poblacin inicial en 2 anos, si la poblacin inicial es de 300 habitantes encontrar la ecuacin que defina el crecimiento en el tiempo, el numero de habitantes cuando el tiempo sea de 10 anos La presin atmosfrica "P" en un lugar, en funcin de la altura "h" sobre el nivel del mar. Cambia segn la ley del inters compuestos suponiendo que P=1000 gr/cm2 cuando h=0 y P= 670 gr/cm2 cuando h=3000 m hallar : a)- la presin "p" cuando h=2000 m b)- la presin "p" cuando h=5000 m Ecuaciones diferenciales homogneas

Una ecuacin lineal homognea tiene la forma De "X" La solucin de estas ecuaciones se obtiene haciendo

donde "P" y "Q" son funciones

Z y U son funciones de x que deben determinarse por lo tanto

Determinamos "u" integrando la ecuacin

Resolviendo la ecuacin anterior obtenemos que

Integrando y sustituyendo en los valores anteriores obtenemos

Solucin problemas implican Ecuaciones diferenciales Homogneas 1. 2. 3. Desleimiento continuo de una solucin Cinemtica , oposicin al movimiento Circuitos elctricos simples en serie

Un tanque contiene una solucin con una densidad de "s" si se la vaca la misma solucin con una densidad "s1" encontrar la ecuacin diferencial que defina el comportamiento del problema

Supuesto que en la mezcla de volumen total "v" la cantidad de solucin "s" en cualquier volumen esta dada por , supongamos que un volumen " La cantidad de solucin "s" esta dada por: " se vaca en el tanque.

Podemos encontrar la razn de cambio

Por lo tanto

En un circuito dado "E" y de intensidad "I" (amperios) el voltaje "E" se consume en vencer la 1.residencia en R (ohmios) del circuito

2. la inductancia Ecuacin 1 : la siguiente ecuacin emplearse en el caso de un circuito en serie combinacin resistencia e inductancia

Ecuacin 2 : la siguiente ecuacin representa un circuito acumulador y resistencia

Las anteriores formulas son en fundamento la ley conservacin de la carga y energa (ley de kirchoff) La intensidad o corriente se define como el cambio de carga en el tiempo

La energa electromotriz representado con la letra "E" o "V" voltaje es directamente proporcional a la corriente y resistencia del medio "R"

La capacitanca "C" (faradios) en un acumulador es directamente proporcional al voltaje "E" e inversamente proporcional a la carga "Q"

Para ver el grfico seleccione la opcin "Descargar" del men superior Circuito en serie combinacin resistencia "R" y un acumulador "C" Para ver el grfico seleccione la opcin "Descargar" del men superior Circuito en seria combinacin resistencia "R", acumulador "C" y transformador "L" Para ver el grfico seleccione la opcin "Descargar" del men superior

Circuito en serie, combinacin resistencia "R" y transformador "L" El movimiento de un proyectil puede ser afectado en gran proporcin por la friccin (aire) Es posible usar la segunda ley de newton para dar una representacin del problema

Usando la solucin general ecuaciones homogneas con "t"=0 y "v"=0

Problemas propuestos Un circuito en serie contiene una resistencia de 100 ohm y un transformador con L=2 henrios Conectados a una fuente de 12 volts Encuentre ecuacin del circuito en funcin del tiempo? Un circuito en serie contiene un acumulador con capacitan ca de 100 uf y una resistencia de 200 ohm conectados a una fuente de 120 voltios , encuentre la ecuacin del circuito en funcin del tiempo? Un contenedor contiene un volumen de 10,000 litros contiene una solucin "s" se aade agua limpia al contenedor Cunta agua debe hacerse correr para quitar al 50% de la solucin "s"" Una pelota de bisbol con un peso de "1.4 N" deja el bat con una rapidez aproximada de 100 mi/hr con una inclinacin de "60" grados respecto el eje horizontal "x" si el viento ejerce una fuerza en oposicin a b=0.033 N a. b. c. encontrar la ecuacin que defina su movimiento en el funcin del tiempo graficar los resultados graficar los resultados sin considerar la friccin del viento

Dos tipos especiales de ecuaciones diferenciales de orden superior Este tipo de ecuaciones diferenciales tiene la forma

En donde "X" es una funcin de "x" nicamente, o una constante para integrar

El proceso anterior se repite (n-1) veces, de esta manera se obtendr la solucin general, que contendr "n" constantes arbitrarias Ejemplo

Las siguientes ecuaciones tiene la forma

Donde "Y" es una funcin de "y" nicamente

Lo anterior es valido por

El segundo miembro es una funcin de y. Extrayendo la raz cuadrada, las variables "x" e "y" quedan separadas. Y podemos integrar otra vez Problemas propuestos Hallar la solucin de las siguientes ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes Las ecuaciones tiene la forma

La solucin de estas ecuaciones se obtiene al usar la sustitucin

Por lo tanto derivando la sustitucin obtenemos

Sustituyendo en la forma general obtenemos que

Donde y=

es una solucin de la ecuacin y "r" son las races de la funcin y distintas

Cuando la raz de la funcin es imaginara y toma la forma

la solucin ser:

Cuando las races de la funcin son iguales r1=r2 la solucin del problema ser

Resolver la ecuacin con la condicin s=4 t=0

Usando la sustitucin

y resolviendo para "r"

Sustituimos las condiciones iniciales en la solucin

Encontrar la solucin de la ecuacin

Usando la sustitucin encontramos

Resolviendo para "r" encontramos

Por lo tanto la solucin general es:

Oscilador Armnico simple

Imagnese una masa "m" en una superficie sin friccin colgando de un resorte la observacin del movimiento nos da la suposicin que al aumenta la fuerza "F" de igual manera aumentara la longitud del resorte "X" lo anterior puede representarse como:

La fuerza es directamente proporcional a la longitud , para crear un igualdad podemos calcular la razn de cambio

Sustituyendo en la ecuacin inicial obtenemos que

Lo anterior de define como la ley de hooke aplicada a un resorte, es pertinente notar que la ley de hooke solo es valida cuando el objeto puede recuperar su forma original . la razn de cambio nos indica que la funcin de fuerza en razn de la distancia F(x) tiene la forma y=mx+b una lnea recta. De lo anterior podemos definir una ecuacin diferencial que resuelva la oscilacin de un resorte

La segunda ley de newton, la sumatoria de las fuerzas es igual a la masa por aceleracin por lo tanto

Aplicando la solucin de las ecuaciones de segundo orden con coeficiente constantes encontramos:

Cuando las condiciones de la formula anterior es t=0 , v=0 y x= Amplitud del resorte "Y"

Siendo A = amplitud del resorte posicin alargamiento despus de equilibrio y B=0

Es posible tambin escribir la solucin de un problema de la forma anterior sin tener las condiciones t=0 v=0 usando un Angulo de fase

=

La amplitud "X" puede definirse como

El Angulo de fase debe ser en radianes

Ecuaciones diferenciales homogneas Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a ecuaciones en variables separadas, como el ejemplo anterior. Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogneas es necesario definir lo que es una funcin homognea.

Definicin

[Funciones homogneas] se dice homognea de grado si

Una funcin

para todo

y todo

.

Ejemplo1. La funcin 2. Las funciones

es homognea de grado , , , ,

. son

homogneas de grado 0.3. Las funciones

son homogneas de grado 2. Ahora definimos lo que es una ecuacin diferencial homognea.

Definicin

[Ecuacin diferencial homognea]

Una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden, homognea si la funcin es homognea de orden cero.

, es

Observacin: si la ecuacin diferencial est escrita en la forma

sera homognea s y slo s los coeficientes homogneos del mismo grado.

y

son funciones

Teorema

Si la ecuacin diferencial ordinaria de primer orden

es homognea, entonces el cambio de variable ecuacin diferencial en variables separadas.

la reduce a una

Demostracin: Al hacer la sustitucin obtenemos

Pero como

es una funcin homognea de grado cero tenemos que

de donde

la cual es separable, como se quera.

Ejemplo Resuelva la ecuacin diferencial

La ecuacin diferencial es homognea pues son homogneas de grado dos

y

Haciendo la sustitucin

de donde

Integrando y volviendo a las variables

y obtenemos

Note que

es una solucin singular de la ecuacin diferencial dada.

Observacin: Cuando la ecuacin diferencial homognea est escrita en la forma

conviene ms rescribirla en la forma

y aplicar qu el cambio de variable Ejemplo Resuelva la ecuacin diferencial

.

Factorizando

Haciendo la sustitucin

Integrando

Y despejando

Observacin: al dividir por el factor soluciones, pero no es solucin y soluciones singulares.

se pudo haber perdido algunas que son

Ecuaciones en variables separadas Las ecuaciones diferenciales de primer orden son las ms simples de resolver, al menos en teora. Muchos problemas de la fsica, biologa, economa, ingeniera, etc., conducen a problemas de valor inicial que involucran ecuaciones de primer orden. Durante muchos aos los matemticos se esforzaron por resolver tipos especficos de ecuaciones diferenciales. Debido a esto existen hoy en da muchas tcnicas de solucin, algunas de las cuales estudiaremos.

Definicin [Ecuacin diferencial separable]

Una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden que puede escribirse en la forma:

se llama ecuacin diferencial en variables separadas. Observacin: una ecuacin de la forma:

puede transformarse en una ecuacin en variables separadas al dividir por

el factor

y al integrar obtenemos la solucin

Tenga presente que al dividir por el factor puede perder soluciones que anulan este factor, las cuales pueden ser soluciones singulares.

Ejemplo Resuelva la ecuacin diferencial ordinaria

Dividiendo por el factor

obtenemos

Y al integrar

Simplificando

Observe que el factor con

es cero cuando

y

y al sustituirlas en la ecuacin original se comprueba que son y

soluciones, pero se obtienen de la solucin general tomando , respectivamente.

Ejemplo La pendiente de una familia de curvas est dada por:

Encuentre el miembro de la familia que pasa por el punto

.

Separando variables

Integrando

Simplificando

Evaluando en el punto obtenemos que miembro de la familia buscado es

, con lo cual el

La recta tangente a la curva muestran en la figura 1.1.

en el punto

se

Figura 1.1: Recta tangente a la curva .

Ejemplo La ecuacin diferencial ordinaria

no es separable, pero se convierte en separable al hacer el cambio de variable .

Al tratar de separar variables llegamos a la ecuacin

la cual no es separable. Por otro lado, al hacer el cambio de variable

con lo que al sustituir en la ecuacin diferencial obtenemos

y simplificando

la cual es separable. Al integrar llegamos a la solucin

Volviendo a la variable original

la cual es la solucin buscada.

Ecuaciones diferenciales homogneas Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a ecuaciones en variables separadas, como el ejemplo anterior. Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogneas es necesario definir lo que es una funcin homognea.

Definicin

[Funciones homogneas] se dice homognea de grado si

Una funcin

para todo

y todo

.

Ejemplo1. La funcin 2. Las funciones

es homognea de grado , , , ,

. son son

homogneas de grado 0.3. Las funciones

homogneas de grado 2. Ahora definimos lo que es una ecuacin diferencial homognea.

Definicin

[Ecuacin diferencial homognea]

Una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden, homognea si la funcin es homognea de orden cero.

, es

Observacin: si la ecuacin diferencial est escrita en la forma

sera homognea s y slo s los coeficientes homogneos del mismo grado.

y

son funciones

Teorema

Si la ecuacin diferencial ordinaria de primer orden

es homognea, entonces el cambio de variable ecuacin diferencial en variables separadas.

la reduce a una

Demostracin: Al hacer la sustitucin obtenemos

Pero como

es una funcin homognea de grado cero tenemos que

de donde

la cual es separable, como se quera.

Ejemplo Resuelva la ecuacin diferencial

La ecuacin diferencial es homognea pues homogneas de grado dos

y

son

Haciendo la sustitucin

de donde

Integrando y volviendo a las variables

y obtenemos

Note que

es una solucin singular de la ecuacin diferencial dada.

Observacin: Cuando la ecuacin diferencial homognea est escrita en la forma

conviene ms rescribirla en la forma

y aplicar qu el cambio de variable Ejemplo

.

Resuelva la ecuacin diferencial

Factorizando

Haciendo la sustitucin

Integrando

Y despejando

Observacin: al dividir por el factor soluciones, pero singulares. no es solucin y

se pudo haber perdido algunas que son soluciones

Ejercicios 1. Determine cuales de las siguientes funciones son homogneas. En caso de que lo sean determine el grado de homogeneidad. 1. 2. 3. 4. 2. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Funcin HomogneaDecimos que una funcin (x,y) es homognea de grado 'n' si:

Ejemplo # 1Determine si la funcin es homognea: Solucin:

Por lo tanto

La funcin

es Homognea de grado 3

Ejemplo 2Determine si la funcin es homognea : Solucin:

Por lo tanto La funcin es Homognea de grado 0

Ejemplo 3Determinar si la funcin es homognea para: Probamos, cancelamos "t" Respuesta Final: entonces podemos decir que Homognea de grado 0. WC por lo tanto es una funcin

Ejemplo 4Determinar si la funcin es homognea para:

Probamos, Respuesta Final: no es igual a Para que una expresin pueda ser una funcin homognea esta tiene que tener el mismo grado en el numerador como en el denominador, por lo tanto podemos decir que esta ecuacin NO ES HOMOGNEA. WC

ECUACIN DIFERENCIAL HOMOGNEAUna EDO es homognea si se puede llegar a escribir de alguna de las formas siguientes:

con f(x,y) funcin Homognea de cualquier grado. con

f(x,y) y g(x,y) funciones homogneas del mismo grado

Algoritmo de Solucin1) 2) Comprobar que la EDO es homognea Proponemos :

por lo que tenemos:

3)Sustituimos en la EDO

(Nos quedar una EDO Separable)

4) Resolvemos para Z(x) 5) Restituimos para Y(x)

Ejemplo 1

Resolver: Solucin: Siguiendo el algoritmo de solucin: P.1) EDO homognea de grado 0 P.2) Proponemos:

por lo que tenemos:

P.3) Sustituimos en la EDO:

P.4) Resolvemos para Z(x):

P.5) Sustituimos para Y(x):

Ejemplo 2

Resolver : Solucion: P.1) comprobamos que es una Ecuacion Homogenia por que tenemos de la ecuacion

P.2) sustituimmos : por lo que tenemos:

P.3)

||*

||

P.4)

P.5)

ECUACIN DIFERENCIAL ORDINARIA CASI HOMOGNEAUna EDO es casi homognea si se presenta de la siguiente manera:

constantes

siendo c y k por lo que proponemos:

Ejemplo 1

Resolver: Solucin: Proponemos:

Sustituimos en f(x,y) y g(x,y):

&

Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones:

solucion entonces

Seguimos los paso para una EDO homogenea: P.1) Al sustituir en la EDO:

EDO homognea de grado 1

P.2) Proponemos:

por lo que tenemos:

P.3) Sustituimos en la EDO:

P.4) Resolvemos para Z(x):

P.5) Sustituimos para Y(x):

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