7/25/2019 Ecuacion lagrange

1/5

Ecuacin de LaGrange

Las Ecuaciones de LaGrange (tambin conocidas como Ecuaciones de Euler-

LaGrange, o simplemente de Euler) nos permiten contar con un sistema

analtico para llegar a las ecuaciones que describen el comportamiento fsicode las partculas.

Parmetros de las ecuaciones

Los parmetros que intervienen en la formulacin de las ecuaciones deLaGrange son los siguientes!

- Energa cintica total del sistema! suma de las energascinticas de las partculas.

- Energa potencial total del sistema! suma de las energaspotenciales de las partculas.

- "oordenada generali#ada! cada grado de libertad del sistemase e$presa mediante una coordenada generali#ada.

- %elocidad generali#ada! derivada temporal de las coordenadasgenerali#adas.

- &uer#as generali#adas! en esta versin del te$to no 'ace faltadenirlas, pues se considera nicamente el caso conservativo quesimplica las ecuaciones.

Formulaciones de las ecuaciones

2.1 Caso general

La forma ms general de estas ecuaciones para un sistema discreto de

partculas es

(*

)

7/25/2019 Ecuacion lagrange

2/5

El subndice va desde 'asta , por lo que stas son ecuaciones

(siendo el nmero de grados de libertad del sistema), la resolucin de

estas ecuaciones nos darn el estado del sistema en todo instante.

2.2 Caso conservativo

+i en las Ecuaciones de LaGrange se aplican a un sistema en el que

todas las fuer#as son conservativas podemos reescribir la ecuacin (*)

a que!

(

)

(

)

+i denimos como la funcin lagrangiana (o lagrangiana,

simplemente), la cual es til introducir de ese modo debido a

que , es decir, debido a que el potencial depende

e$clusivamente de las coordenadas generali#adas, no de las

velocidades generali#adas, de modo que!

(/

)

http://www.lawebdefisica.com/dicc/lagrange/#eq:casogeneralhttp://www.lawebdefisica.com/dicc/lagrange/#eq:casogeneral

7/25/2019 Ecuacion lagrange

3/5

2.3 Caso continuo

En el lmite continuo de la funcin lagrangiana se emplea la densidad

lagrangiana , de modo que la lagrangiana sera

La forma de la densidad lagrangiana es!

(0

)

"on la densidad del ob1eto la tensin a la que est sometido.

+i denotamos podemos escribir las Ecuaciones de

LaGrange como!

(2

)

Teoremas de conservacin

"ada simetra en la funcin lagrangiana de un sistema implica una lede conservacin. Estas simetras se deben a las coordenadas cclicas.

3na coordenada cclica es aquella que no aparece en la lagrangiana,

puede ser una coordenada generali#ada o una velocidad generali#ada.

Las tres propiedades de simetra ms importantes son!

7/25/2019 Ecuacion lagrange

4/5

4omogeneidad del tiempo (invariancia ba1o traslaciones temporales)conservacin de la energa.

4omogeneidad del espacio (invariancia ba1o traslaciones espaciales)conservacin del momento lineal.

5sotropa del espacio (invariancia ba1o rotaciones) conservacin delmomento angular.

Observaciones

Las coordenadas generali#adas del sistema no tienen por qu ser

distancias, pueden ser ngulos, energas, cargas elctricas...

4a innitos modos diferentes de escoger las coordenadas

generali#adas (aunque cada sistema tiene un nmero 1o de grados de

libertad).

En estas ecuaciones desaparece el carcter vectorial. La lagrangiana es

un escalar ( por lo tanto es invariante ba1o cambios de coordenadas).

La funcin lagrangiana depende de las coordenadas generali#adas, las

velocidades generali#adas el tiempo, por tanto las coordenadas

generali#adas las velocidades generali#adas se tratan de modo

independiente, por e1emplo, una derivada con respecto a no afectara

a .

Comentarios

Las ecuaciones de Euler-LaGrange surgen de modo natural mediante el

clculo de variaciones el problema de la braquistcrona. El sentido

matemtico de la lagrangiana es aquella cantidad que minimi#a la

accin, as que lo que tenemos aqu es un principio de mnima accin.

Las deniciones de las funciones lagrangianas dadas aqu slo son

vlidas dentro de la mecnica clsica, para problemas de relatividad o

de electromagnetismo (por poner dos e1emplos) 'abr que denir esta

funcin de algn otro modo, que no veremos aqu.

7/25/2019 Ecuacion lagrange

5/5

La dinmica de LaGrange no es en absoluto una nueva teora para la

mecnica, los resultados obtenidos por este mtodo 'an de ser idnticos

a los que proporcionan las frmulas de 6e7ton, lo que vara es el

procedimiento para llegar al resultado, mientras que con la mecnica

ne7toniana se mane1a un agente e$terior al cuerpo (fuer#as) en la

mecnica analtica se mane1an magnitudes asociadas al cuerpo

(energas).