7/25/2019 EcuacioneEcuaciones Diferenciales de Segundo Orden Con Coeficientes Constantess Diferenciales de Segundo Orden Con Coeficientes Constantes

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN CON

COEFICIENTES CONSTANTES

Esta ecuacin es de la forma

Supongamos q (x) = 0. Esta ecuacin tiene

siempre soluciones del tipo exponencial de la forma y= e r x. La sustitucin

de esta solucin en la ecuacin diferencial nos da

Como e r x 0, x, se tiene que r!a r !" = 0. Esta ecuacin se llama

ecuacin caracter#stica de la ecuacin diferencial. Las ra#ces dan $alores der para los cuales e r xes una solucin de la ecuacin. Estas ra#ces son

Las ra#ces pueden ser% &os ra#ces reales distintas. 'na ra# real do"le.

a#ces comple*as con*ugadas.

+. La ecuacin caracter#stica tiene dos ra#ces reales distintas. Sean r+y

restas ra#ces, por tanto y+ =e er1x

, y2=

e

r2x

son soluciones de la

ecuacin diferencial. Estas soluciones son linealmente independientes

en cualquier inter$alo por ser el rons-iano 0 , luego y+ ,y

forman un con*unto fundamental de soluciones, por tanto la solucin

general de la ecuacin omog/nea es

. La ecuacin caracter#stica tiene dos ra#ces reales iguales. En este

caso% a

12 "=0. 'na solucin de esta ecuacin diferencial es%

y=e

a

2x

3ara o"tener una segunda solucin "uscamos soluciones de

la forma% y (x) = u(x)e

ax

2. La solucin

general de la ecuacin diferencial ser45.

1. La ecuacin caracter#stica tiene dos ra#ces comple*as con*ugadas. Eneste caso% a 1 "6 0. Sean

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7.Las ra#ces son% r+= m !i n, r= m 8 i n. La solucin

general de esta ecuacin diferencial ser4%