ECUACIONES HOMOGÉNEAS

Nayla CervantesYesica Suárez

José CastroEder Fragozo

Henry Fernández

Definición Función Homogénea

Una función se dice homogénea de grado n si existe un numero real n tal que:

Para todo T>0 y todo (x, y) € DObservación: Si la ecuación diferencial esta escrita en la forma: Sería homogénea sí y solo sí los coeficientes Y son funciones homogéneas del mismo grado.

Ejemplo

•La Función es homogénea de grado •Las funciones, son homogéneas de grado 2.•Las funciones son homogéneas de grado 2.

Definición Ecuación Diferencial Homogénea

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden

, es homogénea si la función F(x,y) es homogénea de orden cero.

Existen dos formas de resolver Ecuaciones Diferenciales Homogéneas.

Método de Suma de Exponentes

Por Inspección

Por Inspección

Consiste en convertir los términos de “x” y de “y” y resolver la ecuación usando las siguientes referencias:M(tx,ty)

tnf(x,y) N(tx,ty)

Ejemplo

Tenemos la siguiente ecuación:

Sustituimos con respecto a “x” y “y”

Verificar si hay términos para resolver

Resolver la raíz

Se factoriza la ecuación

Se nota que se regreso a la ecuación original cuando esto sucede se dice que la ecuación si es homogénea y con el exponente en la letra “t” nos indicara en que grado se encuentra la ecuación.

(Ecuación homogénea de primer grado)

Método de Suma de Exponente

Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden es homogénea, entonces el cambio de variable es

Para una ecuación diferencial en variables separadas.

Demostración

Sustituimos: es una función homogénea de grado cero.

de donde

ConclusiónPodemos decir que los pasos a seguir son: Verificar si es una ecuación diferencial

homogénea con cualquiera de los métodos: inspección o suma de exponentes.

Hacer la sustitución de variables. Factorizar si es necesario y si hay términos

iguales eliminarlos. Aplicar el método por variables separadas. Integrar.

GRACIAS