1. Dos químicos, A y B, reaccionan para formar otro químico C. Se encuentra que

la tasa a la cual C se forma varía con las cantidades instantáneas de los químicos

A y B presentes. La formación requiere 2 lb de A por cada libra de B. Si 10 lb de A

y 20 lb de B están presentes inicialmente, y si 6 lb de C se forman en 20 min,

encontrar la cantidad del químico C en cualquier tiempo.

Antecedentes:

* La cinética química es el área de la Química que estudia la rapidez con que ocurren

las reacciones químicas.

* La velocidad de la reacción es una medida de la rapidez con que se consume una

sustancia o la rapidez con que se produce cierta sustancia.

* La rapidez se expresa como un cambio de concentración que tiene lugar en un

intervalo de tiempo.

* Factores que afectan la reacción: Naturaleza de los reactivos, Concentración de

los reactivos, Temperatura, Catalizadores.

Ecuación de velocidad

* La relación entre concentración de reactivos y velocidad de reacción está dada

por la ecuación de velocidad.

* Para la reacción 𝑎𝐴 + 𝑏𝐵 → 𝑐𝐶 + 𝑑𝐷

𝑉 = 𝑘[𝐴]𝑛[𝐵]𝑚

* Donde k es la constante cinética y su valor depende de la temperatura.

* La suma de n + m se conoce como orden de la reacción.

* k, n y m se determinan experimentalmente.

* La utilidad de conocer la ecuación de velocidad de una reacción radica que si se

conocen los valores de n, m y k se puede saber la velocidad de la reacción a

cualquier concentración de los reactivos.

* A medida que la concentración de reactivos disminuye la velocidad de reacción

disminuye.

* Considerando la ecuación de velocidad como un diferencial de cantidad de

producto con respecto al tiempo, se puede plantear una ecuación diferencial

ordinaria de segundo orden.

Planteamiento:

* El compuesto A y el B reaccionan para formar el compuesto C.

* Si la temperatura se mantiene constante, la velocidad de una reacción química en

la que se forma un compuesto C a partir de dos sustancias A y B es proporcional al

producto de las concentraciones o cantidades de las sustancias que no han

reaccionado.

Siendo:

x (t): la cantidad de C en el instante t

a (t): la cantidad de A consumida en el instante t

b (t): la cantidad de B consumida en el instante t

α: la cantidad inicial de A

β: la cantidad inicial de B

Se tiene que:

𝑉 = 𝑘[𝐴][𝐵]

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑘[𝛼 − 𝑎(𝑡)][𝛽 − 𝑏(𝑡)]

* Debido a la Ley de la Conservación de la Masa de Lavoisier, se puede garantizar

que la cantidad de C en cierto instante es igual a la suma de las cantidades que

han reaccionado de A y B.

* Por lo tanto, si se requieren M gramos de A y N gramos de B para producir una

cantidad de M+N de C, entonces se puede decir que las cantidades consumidas de

A y B en un cierto tiempo están dadas por:

𝑎(𝑡) = (𝑀

𝑀 + 𝑁) . 𝑥(𝑡)

𝑏(𝑡) = (𝑁

𝑀 + 𝑁) . 𝑥(𝑡)

Solución:

En general para obtener X gramos de C

𝑎(𝑡) =2

3𝑥(𝑡)

𝑏(𝑡) =1

3𝑥(𝑡)

La rapidez de formación del compuesto C está definida por

𝑑𝑋

𝑑𝑡∝ (10 −

2

3𝑥)(20 −

𝑥

3)

Para simplificar las operaciones algebraicas, sacaremos a 2/3 como factor común

del primer término, 1/3 del segundo e introduciremos la constante de

proporcionalidad:

𝑑𝑋

𝑑𝑡= 𝑘 ((

3

2) (10) − 𝑥) ((3)(20) − 𝑥) = 𝑘(15 − 𝑥)(60 − 𝑥)

Separamos variables e integramos haciendo uso de fracciones parciales:

∫𝑑𝑥

(15 − 𝑥)(60 − 𝑥)= 𝑘 ∫ 𝑑𝑡

∫𝐴𝑑𝑥

(15 − 𝑥))+ ∫

𝐵𝑑𝑥

(60 − 𝑥)= −

1

45𝐿𝑛(15 − 𝑥) +

1

45ln(60 − 𝑥) = 𝑘𝑡 + 𝐶1

−1

45𝐿𝑛(15 − 𝑥) +

1

45ln(60 − 𝑥) =

1

45𝑙𝑛 (

60 − 𝑥

15 − 𝑥) = 𝑙𝑛 (

60 − 𝑥

15 − 𝑥) = 45𝑘𝑡 + 𝐶1

(60 − 𝑥

15 − 𝑥) = 𝑒45𝑘𝑡+𝐶1 = (

60 − 𝑥

15 − 𝑥) = 𝐶2𝑒45𝑘𝑡

Hay dos condiciones, puesto que el químico C no está presente inicialmente,

tenemos que x=0 en t=0

(60 − 0

15 − 0) = 𝐶2𝑒45𝑘(0) ∴ 𝐶2 = 4

Y en x=6 en t=20

(60 − 6

15 − 6) = 4𝑒45𝑘(20) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

1

20𝑙𝑛 (

3

2) = 45𝑘 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 0.02027 = 45𝑘

Sustituyendo y despejando “x” obtenemos:

𝑋(𝑡) =60(1 − 𝑒0.02027𝑡)

(1 − 4𝑒0.02027𝑡)

1

(15 − 𝑥)(60 − 𝑥)=

𝐴

(15 − 𝑥)+

𝐵

(60 − 𝑥)

1 = 𝐴(60 − 𝑥) + 𝐵(15 − 𝑥) = 𝐴60 − 𝐴𝑥 + 15𝐵 − 𝐵𝑥

Ecuaciones: 60A + 15B = 1 y - A – B = 0; despejando B= - A;

y sustituyendo en la ecuación resulta: A = 1/45 y B = -1/45

2. Una barra metálica a una temperatura de 100ºF se pone en un cuarto a una

temperatura constante de 0ºF. Después de 20 minutos la temperatura de a barra

es 50ºF.

a) ¿Cuánto tiempo tardará la barra para llegar a una temperatura de 25ºF?

b) ¿Cuál será la temperatura de la barra después de 10 minutos

Antecedentes:

Ley de Enfriamiento de Newton. En un cuerpo que se está enfriando la tasa de

cambio de la temperatura T (t) con respecto al tiempo “t” es proporcional a la

diferencia entre la temperatura del cuerpo T (t) y la temperatura TA del medio que lo

rodea. Esto es

𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝐴)

Donde k es una constante de proporcionalidad.

Solución:

Sea T(t) la temperatura de la barra al tiempo “t”, luego T(0)=100ºF y T(20)=50ºF. La

temperatura del medio ambiente, TA, TA=0ºF. Nótese que dT/dt es la velocidad a la

que se enfría la barra.

Por la ley de enfriamiento de Newton se tiene que

𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝐴)

Y como TA = 0, este problema queda formulado con la siguiente ecuación

diferencial y sus condiciones:

𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝑘𝑇

𝑇(0) = 100

𝑇(20) = 50

La solución general de la ecuación diferencial ya conocida

∫𝑑𝑇

𝑇= 𝑘 ∫ 𝑑𝑡 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑇(𝑡) = 𝑐𝑒𝑘𝑡

Como T (0)=100 se tiene que:

100 = 𝑐𝑒𝑘(0) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐶 = 100

Usando además T (20)=50 resulta:

50 = 100𝑒𝑘(20) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: k = −0.034657359

Sustituyendo k y c en la ecuación obtenemos la ecuación que describe la

temperatura de la barra en cualquier tiempo:

𝑇(𝑡) = 100𝑒−0.034657359 𝑡

a) El tiempo necesario para que la temperatura de la barra sea de 25ºF se obtiene

resolviendo la ecuación T (t)=25, esto es:

𝑡 =𝑙𝑛

𝑇(𝑡)100

−0.034657359 =

𝑙𝑛25

100−0.034657359

= 40 𝑚𝑖𝑛.

b) La temperatura de la barra después de 10 min es igual a:

𝑇(10) = 100𝑒−0.034657359 (10) = 70.71º𝐹