7/17/2019 ECUACIONES DIFERENCIALES

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  MATEMATICA III

Lic. Ysela Mariell Alva Ventura

Introducción:

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todos los

ramos de la ingeniería   para el modelamiento de fenómenos

físicos. En dinámica estructural, la ecuación diferencial que

define el movimiento de una estructura es:

() +

() + () =() 

donde M  es la matriz que describe la masa de la estructura, C  es la

matriz que describe el amortiguamiento de la estructura,  K  es la

matriz de rigidez  que describe la rigidez  de la estructura,  x  es

vector de desplazamientos [nodales] de la estructura,  P   es el

vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t   indica tiempo. Esta

es una ecuación de segundo grado debido a que se tiene el

desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al

tiempo.

La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación

diferencial en derivadas parciales de segundo orden:

=

 

donde t   es el tiempo y  x  es la coordenada del punto sobre la

cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda. 

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Definición:

Una ecuación diferencial es la que contiene derivadas de una o

más funciones, dependiendo del número de variables

independientes respecto de las que se deriva.

 Ejemplos:

 

= 4 + 7 

 

cos

=  

      = 0 

 

= 0 

Clasificación:Las ecuaciones diferenciales se dividen en: 

1. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias:  aquellas que

contienen derivadas respecto a una sola variable

independiente.

2. Ecuaciones Diferenciales Parciales:  aquellas que

contienen derivadas respecto a dos o más variables.

 Ejemplos:

  + 2 = 0  una ecuación diferencial ordinaria, donde

= ( )  es la variable dependiente,   la variable

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independiente e =   es la derivada de   con respecto

a .

  La expresión + + = 0  es una ecuación en

derivadas parciales.

Observación:  A la variable dependiente también se le llama

función incógnita.

Orden de la ecuación:

El orden de una ecuación esta dado por el orden mayor de su

derivada.

 Ejemplos:

  +8 1 5 = 1 0  es una ecuación diferencial de

orden 2, ya que la derivada de mayor orden que aparece en

ella es de ese orden.

 

+ () = ( )  es una ecuación diferencial de primer

orden.

Grado de la ecuación:

Se llama grado de la ecuación al exponente del mayor orden de su

derivada.

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 Ejemplos:

 

2

+ = 0  es una ecuación diferencial de

segundo grado, ya que el exponente del mayor orden de su

derivada es 2.

  +

=   es una ecuación diferencial de

 primer grado.

Solución de una Ecuación Diferencial:

Una solución de una ecuación diferencial es una función que al

remplazar a la función incógnita, en cada caso con las

derivaciones correspondientes, verifica la ecuación. Hay tres tipos

de soluciones:

1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada

con una o más constantes. La solución general es un haz de

curvas.

2. Solución particular:  un caso particular de la solución

general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor

específico.

3. Solución singular:  una función que verifica la ecuación,

 pero que no se obtiene particularizando la solución general.

 En muchos problemas físicos se requiere hallar la solución

 particular que satisface una condición de la forma () =   a

esta se le llama condición inicial   y el problema de hallar una

 solución de la ecuación diferencial que satisface la condicióninicial se llama problema de valor inicial. 

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 Ejemplo:

Verificar que la función =   es solución de la ecuación

diferencial = 0 

Solución:

Calculando las derivadas de la función  obtenemos

=   ⟹ =   ⟹

=  

reemplazando se tiene

= = = 0 

Por tanto  es solución de la ecuación diferencial.

Origen:1. Ecuación Diferencial de una Familia de Curvas:

Si se tiene la ecuación de una familia de curvas, se puede

obtener su ecuación diferencial mediante la eliminación de

las constantes para ello se deriva la ecuación dada tantas

veces como constantes tenga. Ejemplo:

Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es

= ( + ) 

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Solución:

Dada la solución obtenemos sus derivadas de hasta segundo

orden pues contamos con dos constantes: = ( + ) 

calculando la primera derivada:

′ = ( + ) 

calculando la segunda derivada:

= ( + ) 

notamos que

+ = ( + ) + ( + ) = 0 

 por tanto la ecuación diferencial es:

+ = 0 

2. 

Ecuación Diferencial de Problemas Físicos:Una ecuación diferencial puede tener sus orígenes en

 problemas físicos, químicos, mecánicos, etc.

 Ejemplo:

Un cuerpo de masa m que se encuentra en caída se

encuentra con una resistencia del aire que es proporcional a

su velocidad instantánea, v . Si consideramos que la

dirección positiva es hacia abajo, la fuerza neta que actúa

sobre la masa mg- kv , pues el peso mg del cuerpo es una

fuerza que actúa en dirección positiva y la resistencia del

aire en dirección contraria. Como la v está relacionada con

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la aceleración a   mediantedt 

dva     . Por otro lado la segunda

Ley de Newton se enuncia comodt 

dvmam F    ..   . Al igualar la

fuerza neta con esta forma de la segunda ley, obtenemos una

ecuación diferencial de la velocidad del cuerpo en cualquier

momento:

=  

En este caso k   es una constante de proporcionalidad

 positiva.

AUTOEVALUACIÓN:

I.  Encuentre el grado y orden de las siguientes

ecuaciones diferenciales:

1.  = (1 + ′) 

2. 

+

= 4 

3. 

= 2 

4. 66 +

+

+ 2 = c o s ( + 1) 

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II.  Verificar si la función indicada es solución de la

ecuación diferencial dada:

1. 

=   ;

2

+ = 0 2.  = 5 t a n(5)  ; = 2 5 +  

3.  =  

cos+10−  ; + =  

4.  =   ; 3 + 3 = 0 

III.  Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general

es dada:

1.  =   +  − 

2.  = | + | +  

3.  = + −  , > 0