Ecuaciones Diferenciales
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Ingeniería en Mantenimiento Industrial
Materia: Ecuaciones Diferenciales
Profesor: Emmanuel Huerta
Contenido programático
UNIDADES TEMÁTICASHORAS
PRÁCTICAS TEÓRICAS TOTALES
I. Conceptos Básicos de las Ecuaciones Diferenciales
5 5 10
II. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden
10 5 15
III. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior
10 10 20
IV. Transformada de LAPLACE 10 5 15
V. Series de FOURIER 10 5 15
TOTALES 45 30 75
Unidad Temática I.- Conceptos Básicos de las Ecuaciones Diferenciales
Objetivo
Comprender qué es una ecuación diferencial, su origen, sus tipos, su solución y su interpretación en problemas de ingeniería, para modelar sistemas electromecánicos, mediante el estudio de casos.
Temas
Definiciones y terminología
Teorema de existencia y unicidad
Problemas de valor inicial y condiciones de frontera
Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos
Unidad Temática II.- Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden
Objetivo
El alumno desarrollará las habilidades para el planteamiento y la solución de ecuaciones diferenciales de primer orden, para su aplicación a modelos relacionados con la ingeniería en mantenimiento industrial, mediante las técnicas básicas de solución y el uso de software para matemáticas.
Temas
Ecuaciones de variables separables
Ecuaciones exactas
Solución de ecuaciones por sustitución
Ecuaciones lineales y de Bernoulli
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
Unidad Temática III.- Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior
Objetivo
El alumno desarrollará las habilidades para el planteamiento y la solución de ecuaciones diferenciales de orden superior, aplicándolas a modelos relacionados con la ingeniería en mantenimiento industrial, mediante el análisis de los casos más representativos.
Temas
Ecuaciones homogéneas y no homogéneas
Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.
Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes indeterminados.
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Unidad Temática IV.- Transformada de Laplace
Objetivo
El alumno desarrollará las habilidades para el planteamiento y la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales a través de transformadas de Laplace, aplicándolas a modelos relacionados con la ingeniería en mantenimiento industrial, mediante la compresión de los conceptos básicos.
Temas
Definición de la transformada de Laplace
Transformada inversa
Teoremas de traslación y derivadas de una transformada.
Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas.
Aplicaciones.
Sistemas de ecuaciones lineales.
Unidad Temática V.- Series de Fourier
Objetivo
El alumno utilizará las series de Fourier en el modelado y análisis de problemas relacionados con el mantenimiento industrial, en particular en estudios de calidad de la energía y vibraciones, mediante la comprensión de los conceptos básicos.
Temas
Series de Fourier
Series de Fourier de senos y cosenos
Aplicaciones.
Evaluación
• Examen 25% Saber
• Tareas 40%• Exposición 25%Hacer
• Actitud 10%Ser
Bibliografía recomendada
Autor Año Título del Documento Ciudad País Editorial
D.G. Zill (2002)Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones
Madrid España Iberoamericana
E.D. Rainville
(1999)Ecuaciones diferenciales elementales
México México Trillas
Bronson/ Costa
(2008) Ecuaciones diferenciales México México McGraw-Hill
Simmons (2007)Ecuaciones diferenciales (Teoría, Técnica y Práctica)
México México McGraw-Hill
Conceptos Básicos de las Ecuaciones Diferenciales Funciones: Cuando dos variables están
relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda determinado si se da un valor a la segunda, entonces se dice que la primera esta en función de la segunda.
Casi todos los problemas científicos tratan con cantidades y relaciones de esta naturaleza, y en la vida diaria nos encontramos constantemente con situaciones en las que intervienen magnitudes dependientes unas de otras.
Una Ecuación Diferencial (ED) es una expresión matemática que involucra al menos una derivada de una función desconocida.
Las ecuaciones diferenciales aparecen frecuentemente en física, ingeniería, química y ocasionalmente en economía y psicología.
Las siguientes expresiones son ejemplos de ED’s:
0232
2
ydxdy
dxyd
ydtdy
𝒅𝟑𝒙𝒅𝒚𝟑 +𝒙 𝒅𝒙
𝒅𝒚−𝟒 𝒙𝒚=𝟎
Notaciones
Notación de Leibniz: , , ,...
Notación con primas: y', y'', y'''… y(n),...
Notación de Newton: ...,,,
......
xxx
En la notación de Leibniz localizamos rápidamente cuál es la variable dependiente y la independiente:
5 ey dx
dy x𝑑𝑦𝑑𝑥
=𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
Clasificación de las ecuaciones diferencialesLas ecuaciones diferenciales se clasifican en función de:
TIPO.
ORDEN.
Grado.
LINEALIDAD.
Clasificación por tipo Si una ecuación diferencial contiene sólo
derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO).
nteIndependieVariableeDependientVariable
dxdy
__
Algunos ejemplos de EDO:
03
2
2
2
ydxdy
dxyd
eydxdy x
Si una ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o mas variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se dice que es una ecuación diferencial parcial.
Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales:
yv
xu
tu
tu
xu
yu
xu
2
2
2
2
2
2
2
2
0
Clasificación según el orden
El orden de una ecuación diferencial (ya sea ordinaria o parcial) es el orden de la derivada mayor en la ecuación.
La ecuación:
Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.
xeydx
dy
dx
yd
22
3
2
2
Ejemplos
04)( xdydxxy
02 yyy
xeydxdy
xdx
yd 53
3
EDO de Primer orden
EDO de Segundo orden
EDO de Tercer orden
El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su derivada de mayor orden. Es decir, el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la derivada que nos da el orden de la ecuación diferencial.
La EDO mostrada es de tercer grado, porque la segunda derivada es la de mayor orden y esta elevada al cubo
xeydxdy
dxyd
45
3
2
2
La ED anterior es de segundo orden y primer grado, dado que la segunda derivada, que nos da el orden de la EDO, está elevada a la potencia uno.
Ejemplo:
NOTA: cuando alguna derivada esté dentro de un radical o en polinomio, que a su vez esté elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que eliminar dicho radical para determinar el grado de la ecuación diferencial.
EjerciciosDeterminar el grado de las siguientes ecuaciones:
a)
b)
735 25
2
22
4
4
x
dx
dy
dx
yd
dx
yd
3
2
22
6
2
2
7
dx
ydx
dx
dyx
dx
yd
Ejercicios
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:
a)
b)
c)
d)
ydxdy
xdx
yd533
3
5
3
33
3
3
818
dx
ydx
dx
yd
dx
dy
53
3
2
2
3dx
ydx
dx
yd
dx
dyx
dx
yd85
3
3
𝑎𝑛 (𝑥 ) 𝑑𝑛 𝑦𝑑𝑥𝑛 +𝑎𝑛−1 (𝑥 ) 𝑑
𝑛− 1 𝑦𝑑𝑥𝑛−1 +…….+𝑎1 (𝑥 ) 𝑑𝑦
𝑑𝑥+𝑎0 (𝑥 ) 𝑦=𝐹 (𝑥 )
Linealidad
Una ecuación diferencial lineal es aquella en la que:
a) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado.
b) Cada coeficiente de y y sus derivadas dependen solamente de la variable independiente x, o es una constante, es decir tiene la forma: