Ecuaciones diferenciales Con Problemas Con Valores en la Frontera - Zill y Cullens 8ed

1. Dennis G. Zill Warren S. Wright Octava edicin Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera

2. OCTAVA EDICIN ECUACIONES DIFERENCIALES con problemas con valores en la frontera

3. OCTAVA EDICIN ECUACIONES DIFERENCIALES con problemas con valores en la frontera DENNIS G. ZILL Loyola Marymount University WARREN S. WRIGHT Loyola Marymount University MICHAEL R. CULLEN Antiguo miembro de la Loyola Marymount University TRADUCCIN Dra. Ana Elizabeth Garca Hernndez Profesor invitado UAM-Azcapotzalco REVISIN TCNICA Dr. Edmundo Palacios Pastrana Universidad Iberoamericana Australia Brasil Corea Espaa Estados Unidos Japn Mxico Reino Unido Singapur

4. Impreso en Mxico 1 2 3 4 5 6 7 17 16 15 14 Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera Octava edicin Dennis G. Zill y Warren S. Wright Presidente de Cengage Learning Latinoamrica: Fernando Valenzuela Migoya Director Editorial, de Produccin y de Plataformas Digitales para Latinoamrica: Ricardo H. Rodrguez Editora de Adquisiciones para Latinoamrica: Claudia C. Garay Castro Gerente de Manufactura para Latinoamrica: Ral D. Zendejas Espejel Gerente Editorial en Espaol para Latinoamrica: Pilar Hernndez Santamarina Gerente de Proyectos Especiales: Luciana Rabuffetti Coordinador de Manufactura: Rafael Prez Gonzlez Editor: Omegar Martnez Diseo de portada: Anneli Daniela Torres Arroyo Imagen de portada: Space, Rolfmages / Dreamstime.com Composicin tipogrca: Aurora Esperanza Lpez Lpez D.R. 2015 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compaa de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe nm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, Mxico, D.F. Cengage Learning es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podr ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea grco, electrnico o mecnico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproduccin, escaneo, digitalizacin, grabacin en audio, distribucin en Internet, distribucin en redes de informacin o almacenamiento y recopilacin en sistemas de informacin a excepcin de lo permitido en el Captulo III, Artculo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro Differential Equations with Boundary-Value Problems, Eighth Edition Publicado en ingls por Brooks/Cole, Cengage Learning 2013 Datos para catalogacin bibliogrca: Zill, Dennis G. y Warren S. Wright Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera, octava edicin ISBN: 978-607-519-444-8 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

5. v CONTENIDO 1 INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1 Prefacio xi Proyectos P-1 1.1 1.2 1.3 REPASO DEL CAPTULO 1 32 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 34 2.1 2.1.1 2.1.2 2.2 2.3 2.4 Ecuaciones exactas 61 2.5 2.6 Un mtodo numrico 73 REPASO DEL CAPTULO 2 78 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 81 3.1 3.2 3.3 REPASO DEL CAPTULO 3 111

6. vi l CONTENIDO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 113 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 Funciones de Green 164 4.8.1 4.8.2 4.9 4.10 REPASO DEL CAPTULO 4 183 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 186 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.2 5.3 REPASO DEL CAPTULO 5 222 6.1 Repaso de series de potencias 226 6.2 6.3 6.4 REPASO DEL CAPTULO 6 263 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES 2256

7. CONTENIDO l vii 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 265 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.3 7.3.1 s 7.3.2 t 7.4 7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.5 7.6 REPASO DEL CAPTULO 7 312 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 317 8.1 8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.3 8.3.1 8.3.2 8.4 REPASO DEL CAPTULO 8 352 9 SOLUCIONES NUMRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 353 9.1 9.2 9.3 9.4 Ecuaciones y sistemas de orden superior 366 9.5 REPASO DEL CAPTULO 9 375

8. SISTEMAS AUTNOMOS PLANOS 376 10.1 10.2 10.3 10.4 REPASO DEL CAPTULO 10 408 11 SERIES DE FOURIER 410 11.1 11.2 Series de Fourier 416 11.3 Series de Fourier de cosenos y de senos 422 11.4 11.5 11.5.1 11.5.2 REPASO DEL CAPTULO 11 443 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES 445 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 REPASO DEL CAPTULO 12 481 10 viii l CONTENIDO

9. CONTENIDO l ix 13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS 483 13.1 13.2 13.3 REPASO DEL CAPTULO 13 498 14 TRANSFORMADA INTEGRAL 500 14.1 14.2 14.3 14.4 Transformadas de Fourier 516 REPASO DEL CAPTULO 14 522 15 SOLUCIONES NUMRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 524 15.1 15.2 15.3 REPASO DEL CAPTULO 15 539 APNDICES I 1 II 3 III 21 RES-1 ndice I-1

10. xi AL ESTUDIANTE lea - - - - AL PROFESOR Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera - Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado - PREFACIO

11. - - Varios profesores dedicaron parte de su tiempo para expresarnos sus preocu- - y A sen( ) y y A cos( ) RECURSOS PARA LOS ESTUDIANTES Student Resource and Solutions Manual (SRM) - Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera - Mathematica y Maple xii l PREFACIO

12. PREFACIO l xiii RECURSOS PARA EL PROFESOR - - - RECONOCIMIENTOS - University of Maryland, Baltimore County Gustavus Adolphus College Fisheries Consultant Sensis Corporation Washington State University Michigan Technological University Middlebury College REVISORES DE EDICIONES ANTERIORES Cleveland State University University of Florida University of Arizona University of Akron Clarkson College Youngstown State University University of Akron University of Iowa California State University, Sacramento

13. North Carolina Agricultural and Technical State University University of Massachusetts, Lowell Worcester Polytechnic Institute Vanderbilt University St. Louis Community College at Florissant Valley Worcester Polytechnic Institute La Salle University University of Florida Santa Barbara City College Grove City College Louisiana State University University of Tulsa Clemson University University of Houston Brigham Young University Villanova University of Alabama Kettering University Virginia Polytechnic Institute and State University Arizona State University Ohio University Southeastern Massachusetts University University of Kentucky, Lexington V.P.I & S.U. North Dakota State University East Los Angeles College University of Arizona Tennessee Technological University (retirado) Sensis Corporation Kean College of New Jersey University of Lowell North Carolina A&T State University University of Virginia University of Alabama California Polytechnic State University University of Arkansas University of Nebraska, Lincoln Marquette University Mississippi State University Columbus State Community College Colgate University Purdue University Washington State University Tennessee Technological University University of California, Riverside Ohio Northern University University of Illinois, Urbana, Champaign University of Texas at Arlington Sacramento City College California State University Northridge California State University, Sacramento San Jose State University Metropolitan State College Northeastern University xiv l PREFACIO

14. California State Polytechnic University South Dakota State University Union College California Polytechnic State University Embry-Riddle Aeronautical University Hillsborough Community College Georgia Institute of Technology The Cooper Union Georgia Institute of Technology Illinois Central College University of Akron Middle Tennessee State University Towson University REVISORES DE LAS EDICIONES ACTUALES Rochester Institute of Technology Wabash Valley College The University of Texas at El Paso Savannah State University Union University California State Polytechnic University, Pomona Milwaukee School of Engineering Los ngeles PREFACIO l xv

15. P-1 PROYECTO PARA LA SECCIN 3.1 Invariablemente el SIDA es una enfermedad fatal? por Ivan Kramer - - - - - imposible mediante una terapia an- tirretroviral moderna eliminar el virus [1 - inmunes - - periodo de in- cubacin 1 - no progresores a largo

16. plazo 1 3 ya sea 3 t t Si fraccin inmortal t k k S t dS(t) dt k[S(t) Si] S(t) Si [1 Si]e kt En lugar del parmetro k tiempo promedio de supervivencia Tprom dado por Tprom k y la supervivencia de vida media T dada por T k e kt e t Tprom 2 t T1 2 Si T Tprom 2 - Si obtenido de los datos - Si P-2 l PROYECTO 3.1 INVARIABLEMENTE EL SIDA ES UNA ENFERMEDAD FATAL?

17. 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 _16 16 48 80 112 144 176 208 240 272 Tiempo de supervivencia t(w) S(t) Fraccin de supervivencia Ajustedelmodelodedosparmetros FIGURA 1 S t - - 3 3 t - 3 3 Si T 4 Tprom - 3 T - T - 4 Si Tprom - 5 Si y los 6 Aunque los trasplantes de mdula sea que usan clulas madre del donante homocigtico para la supresin del delta 32 CCR5 podran conducir a curas, los datos clnicos resultantes consistente- mente muestran que el SIDA es una enfermedad invariablemente fatal. PROYECTO 3.1 INVARIABLEMENTE EL SIDA ES UNA ENFERMEDAD FATAL? l P-3

18. PROBLEMAS RELACIONADOS 1. tiempo t S t kt Tprom Tprom k 2. t S t kt - Tprom 3. t S t kt S t - T a) S t S t tT b) T Tprom Tprom T Tprom 4. - t kt S t t - REFERENCIAS 1. Computational and Mathematical Methods in Medicine 2. en Mathematical and Computer Modelling 3. et al., JAIDS 4. Mathematical and Computer Modelling 5. Am. J. Public Health 6. et al JAIDS ACERCA DEL AUTOR Ivan Kramer - P-4 l PROYECTO 3.1 INVARIABLEMENTE EL SIDA ES UNA ENFERMEDAD FATAL?

19. P-5 PROYECTO PARA LA SECCIN 3.2 El efecto Allee por Jo Gascoigne - dNdt N t t i b ii la tasa de mortalidad m N: dN dt bN mN b y m en un parmetro r tasa intrnseca de incremento natural dN dt rN dNdt N dNdt Cuntos peces puede realmente soportar un ecosistema? N t r capacidad de carga K: dN dt rN 1 N K , r 0 ecuacin logstica NK NK NK K N t N t K per cpita per cpita N:

20. 1 N dN dt r 1 N K r r K N 1 N dN dt en N dNdt N K un valor mximo de 1 N dN dt en N modelo dNdt y N per cpita K K XX - - to per cpita efecto Allee - dN dt rN 1 N K N A 1 donde A umbral de Allee N t A es el tamao de la N N N K A K K P-6 l PROYECTO 3.2 EL EFECTO ALLEE

21. N t - PROBLEMAS RELACIONADOS 1. a) N t mediante la N t de t t r K N r K N N t se denomina curva de crecimiento sigmoideo b) r r r r 2. Sugerencia: dNdt - N 3. Sugerencia: 4. N t - REFERENCIAS 1. Allee Effects in Ecology and Conservation 2. Population Biology. Concepts and Models ACERCA DE LA AUTORA Jo Gascoigne - PROYECTO 3.2 EL EFECTO ALLEE l P-7 alimentndose de sardinas en los

22. P-8 PROYECTO PARA LA SECCIN 3.3 Dinmica de poblacin de lobos por C. J. Knickerbocker - - - - r E(10) 18.0E(0) 13.0, dE dt rE, E t t se mide en r E(t) 13.0 e0.0325t - E(0) 18.0, W(0) 0.021 dW dt 0.6W 0.05EW dE dt 0.0325E 0.8EW donde E t W t t antes r

23. dEdt E EW dWdt W EW EW - - Maple e1 := diff(e(t),t)-0.0325*e(t) + 0.8*e(t)*w(t) : e2 := diff(w(t),t)+0.6*w(t) - 0.05*e(t)*w(t) : sys := {e1,e2} : ic := {e(0)=18.0,w(0)=0.021} : ivp := sys union ic : H:= dsolve(ivp,{e(t),w(t)},numeric) : 20000 18000 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 1995 1997 1999 2001 Ao Poblacindealces 2003 2005 2007 2009 0 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 1995 1997 1999 2001 Ao Poblacindelobos 2003 2005 2007 2009 0 - FIGURA 1 FIGURA 2 PROYECTO 3.3 DINMICA DE POBLACIN DE LOBOS l P-9

24. PROBLEMAS RELACIONADOS 1. 2. 3. 4. ACERCA DEL AUTOR C. J. Knickerbocker - - 20000 18000 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 1990 2000 2010 2020 2030 2040 2050 2060 2070 2080 Ao Poblacionesdealcesylobos Alces Lobos FIGURA 3 P-10 l PROYECTO 3.3 DINMICA DE POBLACIN DE LOBOS

25. P-11 PROYECTO PARA LA SECCIN 5.1 Salto en bungee por Kevin Cooper - - x t x tiempo t x - x t g mg v - - b(x) 0 kx x 0 x 0 k se llama constante elstica - k k - mx mg + b(x) - x mg x - XXL x mg es mg kx x t 100 pies Puente Bungee 174 pies x = 100 x = 0 x = 74 Agua FIGURA 1 del bungee

26. t k x t t denote la primera x t v - x t g kx x t x t v t x t PROBLEMAS RELACIONADOS 1. m mg para x t x x mg g 2. t 3. v 4. m kx mg x t x t v k x t 5. t t t t 6. k k k 7. - k ACERCA DEL AUTOR Kevin Cooper, - DynaSys P-12 l PROYECTO 5.1 SALTO EN BUNGEE 60 40 20 20 40 _20 _20 0_40_60_80_100 _40 ( ) ( ) FIGURA 2 x t x t salto de bungee

27. P-13 PROYECTO PARA LA SECCIN 5.3 El colapso del puente colgante de Tacoma Narrows por Gilbert N. Lewis 1] y [2 3 - - - 3 - 4 5 b a a b y t donde t y FIGURA 1 Colapso del

28. a by y ay y - y m f y g t donde f y f(y) by si y 0 ay si y 0 , g t m y m b a g t t y: y y y t y t y y - yc t yp t yc t c t c t yp t t y(t) c1cos(2t) c2 sen(2t 1 12 sen(4t) y(0) 0 c1 y (0) 0.01 2c2 1 3 c sen(2t) 1 2 0.01 1 3 1 6 cos(2t) y(t) 1 2 0.01 1 3 sen(2t) 1 12 sen(4t) t y t t y t y y y sen(4t), y 2 0, y 2 0.01 2 3 cost 0.01 2 5 4 15 sent cos(2t) y(t) 0.01 2 5 cost 1 15 sen(4t) t t y t t 3 punto y - P-14 l PROYECTO 5.3 EL COLAPSO DEL PUENTE COLGANTE DE TACOMA NARROWS

29. y(t) sent 0.01 8 15 4 15 cost cos(2t) en [2 , 3 ] y(t) sen(2t) 1 2 0.01 7 15 1 6 cos(2t) en [3 2, 2 ] - funcin ] es mayor ] es ms 4] para un modelo ms 6 - PROBLEMAS RELACIONADOS 1. t a) y y cos(2t), y(0) 0, y (0) 0. y y cost, y(0) 0, y (0) 0. b) 2. f y t y y f(y) by si y 0 ay si y 0 y a) b a b) b a c) b a b a t 0.2 y t0.0 2 4 6 8 0.2 0.4 0.6 FIGURA 2 y t PROYECTO 5.3 EL COLAPSO DEL PUENTE COLGANTE DE TACOMA NARROWS l P-15

30. y 3. cy c y cy f y t y y f(y) 4y si y 0 y si y 0 y a) c b) c c) c REFERENCIAS 1. A First Course in Differential Equations 2. Differential Equations and Their Applications 3. The Failure of the Tacoma Narrows Bridge 4. SIAM Review 5. Science News 6. American Mathematical Monthly ACERCA DEL AUTOR El Dr. Gilbert N. Lewis - P-16 l PROYECTO 5.3 EL COLAPSO DEL PUENTE COLGANTE DE TACOMA NARROWS

31. P-17 PROYECTO PARA LA SECCIN 7.3 Asesinato en el restaurante Mayfair por Tom LoFaro - - - temperatura T t y la temperatura ambiente Tm dT dt k(T Tm), t 0 donde k T y Tm t t - t k en la positiva ahora las t - h - h t Tm(t) 50 20 (t h) dT dt k(T Tm(t))

32. - h - - PROBLEMAS RELACIONADOS 1. 2. T t depender tanto de t h k 3. h h hora en que se traslad el cuerpo hora de la muerte 12 6:00 p.m. 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 P-18 l PROYECTO 7.3 ASESINATO EN EL RESTAURANTE MAYFAIR

33. 4. 5. An siente curiosidad? se denomina algor mortis rigor mortis - - ecuacin de Glaister t t 98.4 T0 1.5 donde T - - T T - T Tm o k T t t 98.4 T0 k(T0 Tm) ACERCA DEL AUTOR Tom LoFaro PROYECTO 7.3 ASESINATO EN EL RESTAURANTE MAYFAIR l P-19

34. P-20 PROYECTO PARA LA SECCIN 8.2 Terremotos que sacuden edicios de varios pisos xi represente el despla- i x i mi ki entre el i i F ki xi xi donde xi xi i i - k i por Gilbert N. Lewis mn mn 1 m2 m1 piso kn 1 kn 2 k1 k0 mi 1 mi mi 1 ki(xi 1 xi) ki 1(xi xi l) FIGURA 1 FIGURA 2 i F ma m1 d2 x1 dt2 k0 x1 k1(x2 x1) m2 d2 x2 dt2 k1(x2 x1) k2(x3 x2) mn d2 xn dt2 kn 1(xn xn 1). m k

35. d2 x2 dt2 2x1 2x2. d2 x1 dt2 4x1 2x2 4 2 2 c4 sen 2t, x2(t) 4 2 1 c1 cos 1t 4 2 1 c2 sen 1t 4 2 2 c3 cos 2 t x1(t) 2c1 cos 1t 2c2 sen 1t 2c3 cos 2t 2c4 sen 2t, donde 1 3 5 2.288 y 2 3 5 0.874. - x x x x x2(t) 4 2 1 c2 sen 1t 4 2 2 c4 sen 2t x1(t) 2c2 sen 1t 2c4 sen 2t, donde c2 4 2 2 0.1[ 2 1 2 2 1] 0.0317 c4. x t x t x x x x x x x ha x x - x - 0.1 0.2 t 1 2 3 4 5 0.1 x2(t) 0.05 0.10 x1(t) t 1 2 3 4 5 0.05 0.10 FIGURA 3 x t FIGURA 4 x t o - M m1 0 1 0 m2 0 0 0 0 . . . . . . . . . 0 0 mn PROYECTO 8.2 TERREMOTOS QUE SACUDEN EDIFICIOS DE VARIOS PISOS l P-21

36. X(t) x1(t) x2(t) xn(t) K (k0 k1) k1 0 0 0 k1 (k1 k2) k2 0 0 0 k2 (k2 k3) 0 0 0 0 k3 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 kn 2 0 0 0 0 (kn 2 kn 1) kn 1 0 0 0 kn 1 kn 1 M d2 X dt2 KX o MX KX M i i M M 1 m 1 1 0 0 0 m 1 2 0 0 0 0 . . . . . . . . . 0 0 m 1 n X (M 1 K)X o X AX A M K M se denomina la matriz de masa K es la matriz de rigidez A A 3 5 3 5 i es el i i i es la i i n F t G ki A M 1 K 1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0.5 P-22 l PROYECTO 8.2 TERREMOTOS QUE SACUDEN EDIFICIOS DE VARIOS PISOS

37. A Mathematica u otro - k A PROBLEMAS RELACIONADOS 1. m y k primer M K y A A 2. m y k se- gundo M K y A A - 3. M K y A A K K 4. MX'' KX F t donde F t G G EB B T E - PROYECTO 8.2 TERREMOTOS QUE SACUDEN EDIFICIOS DE VARIOS PISOS l P-23

38. P-24 PROYECTO PARA LA SECCIN 8.3 Modelado de carreras armamentistas - - - - en el miedo mutuo - x y y - t dy dt bx ny s dx dt ay mx r donde a b m y n r y s a y b m y n repre- r y s - r y s ab y mn r y s x y y x y y x* y* dxdt dydt por Michael Olinick

39. - 3 - - - dx/dt = 0 y x dy/dt = 0 1 1 0 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 FIGURA 1 - - PROBLEMAS RELACIONADOS 1. a) dy dt 2x 4y 8 dx dt y 3x 3 x y y(t) 32 3 e 2t 4 3 e 5t 3 x(t) 32 3 e 2t 2 3 e 5t 2 b) arbitrarias x A y B x(t) Ce 5t De 2t 2 C (A B 1) 3 donde y(t) 2Ce 5t De 2t 3 D (2A B 7) 3 x t y t x y y 2. dy dt 4x 3y 10 dx dt 3y 2x 10 PROYECTO 8.3 MODELADO DE CARRERAS ARMAMENTISTAS l P-25

40. - a) b) c) d) 3. a) ajuste de inventarios - dx dt b(y* y) dx dt a(x* x) donde x* y y* a b - x y y b) x* x* c dy donde c y d y* 4. - 5. REFERENCIAS 1. Arms and Insecurity: A Mathematical Study of the Cause and Origins of War 2. An Introduction to Mathematical Models in the Social and Life Sciences 3. Handbook of War Studies ACERCA DEL AUTOR Michael Olinick se - x(0) 1, y(0) 1 : x(t) 10 9et , y(t) 10 9et x(0) 1, y(0) 22 : x(t) 10 9e 6t , y(t) 10 12e 6t x(0) 1, y(0) 29 : x(t) 12e 6t 3et 10, y(t) 16e 6t 3et 10 x(0) 10, y(0) 10 : x(t) 10, y(t) 10 para todo t P-26 l PROYECTO 8.3 MODELADO DE CARRERAS ARMAMENTISTAS

41. 1 INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1.1 1.2 1.3 REPASO DEL CAPTULO 1 ecuaciones diferenciales y, y x2 5x 4 x una y 2y y y (x). qu tan rpido se propaga una enfermedad? qu tan rpido cambia una poblacin? 1

42. 2 l CAPTULO 1 INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DEFINICIONES Y TERMINOLOGA REPASO DE MATERIAL l l l l l INTRODUCCIN dydx y (x (x - y e0.1x2 , dydx 0.2xe0.1x2 e0.1x2 y dy dx 0.2xy (1) cul es la funcin representada con el smbolo y? Cmo resolver una ecuacin para la funcin desconocida y (x)? 1.1 UNA DEFINICIN ecuacin diferencial DEFINICIN 1.1.1 Ecuacin diferencial ecuacin diferencial (ED) tipo, orden linealidad. CLASIFICACIN POR TIPO ecuacin diferencial ordinaria (EDO) - ecuacin diferencial parcial (EDP) EJEMPLO 1 Tipos de ecuaciones diferenciales dy dx 5y ex , d2 y dx2 dy dx 6y 0, y dx dt dy dt 2x y (2) b) 2 u x2 2 u y2 0, 2 u x2 2 u t2 2 u t , y u y v x (3) - u v a)

43. NOTACIN notacin de Leibniz dydx, d2 ydx2 , d3 ydx3 notacin prima y, y, y y 5y ex y y 6y y(4) y n y dn ydxn (n) d2x dt2 16x 0 funcin incgnita o variable dependiente variable independiente x t notacin de punto t d2 sdt2 s - notacin de subndice uxx utt 2ut . CLASIFICACIN POR ORDEN orden de una ecuacin diferencial primer ordensegundo orden 5( )3 4y ex dy dx d2y dx2 M(x, y) dx N(x, y) dy y (y x) dx 4xdy 0, y dydx dx 4xy y x. n ,F(x, y, y , . . . , y(n) ) 0 (4) F n x, y, y, , y(n) - y(n) n , dn y dxn f (x, y, y , . . . , y(n 1) ) (5) f forma normal dy dx f(x, y) y d2 y dx2 f(x, y, y ) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado ecuacin Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera 1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGA l 3

44. 4 l CAPTULO 1 INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES xy y x y (x y)4x y y 6y 0 y y 6y iv) Comentarios. CLASIFICACIN POR LINEALIDAD n- lineal F y, y, . . . , y(n) n- an (x)y(n) an1 (x)y(n1) a1 (x)y a0 (x)y g(x) .an(x) dn y dxn an 1(x) dn 1 y dxn 1 a1(x) dy dx a0(x)y g(x) (6) n n .a1(x) dy dx a0(x)y g(x) y a2(x) d2 y dx2 a1(x) dy dx a0(x)y g(x) (7) y y, y, . . . , y(n) y a0 , a1 , ..., an y, y, ..., y(n) x. no lineal y ey , EJEMPLO 2 EDO lineal y no lineal (y x)dx 4xydy 0, y 2y y 0, y d3 y dx3 x dy dx 5y ex x3 lineales y xy y x. trmino no lineal: coeficiente depende de y trmino no lineal: funcin no lineal de y trmino no lineal: el exponente es diferente de 1 (1 y)y 2y ex, sen y 0, y d2y dx2 y2 0 d4y dx4 no lineales SOLUCIONES DEFINICIN 1.1.2 Solucin de una EDO solucin , I n I n n n a) b)

45. F(x, (x), (x), . . . , (n) (x)) 0 para toda xen I. satisface I - - y e0.1x2 dydx 0.2xy , ). (x). INTERVALO DE DEFINICIN solucin intervalo I - , intervalo de existencia, intervalo de validez dominio de la solucin a, b a, b a, EJEMPLO 3 , ). a) dy dx xy ; y 1 16 1 2 x4 b) y 2y y 0; y xex SOLUCIN x a) lado derecho: xy1/2 x 1 16 x4 1/2 x 1 4 x2 1 4 x3 , lado izquierdo: dy dx 1 16 (4 x3 ) 1 4 x3 , x y1/2 1 4 x2 1 16 x4. b) y xex ex y xex 2ex x, lado derecho: .0 lado izquierdo: y 2y y (xex 2ex ) 2(xex ex ) xex 0, y 0, x I solucin trivial. CURVA SOLUCIN curva solucin. - I funcin solucin I EJEMPLO 4 Funcin contra solucin y 1x funcin x y 1x - xy - y 1x 1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGA l 5

46. 6 l CAPTULO 1 INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES y 1x x y x y 1x xy y y 1x solucin I y 1x cualquier 3, 1), (1 2 , 10), ( y 1x 3 x 1 2 x - y 1x x 0 x I I - SOLUCIONES EXPLCITAS E IMPLCITAS - funciones explcitas funciones implcitas - solucin explcita y (x) y 1 16 x4, y xex y 1x - dydx xy , y 2y y xy y y - - y (x G(x, y) DEFINICIN 1.1.3 Solucin implcita de una EDO G(x, y) solucin implcita I I. G(x, y) G(x, y) G(x, (x)) 0) I G(x, y) y x i) Comentarios. EJEMPLO 5 Comprobacin de una solucin implcita x2 y2 dy dx x y (8) . d dx x2 d dx y2 d dx 25 o 2x 2y dy dx 0 dydx x2 y2 y x y 225 x2 2(x) 125 x2y 1(x) 125 x2 y y 1 x y 1 a) funcin y 1/x, x 0 b) solucin y 1/x, (0, ) 1 x y 1 FIGURA 1.1.1 y 1x y 1x.

47. x2 1 2 x2 2 2 - x2 y2 c formalmente - c c x2 y2 25 FAMILIAS DE SOLUCIONES integral de la ecuacin curva integral - c - F(x, y, y) 0, normalmente c G(x, y, c) familia de soluciones uniparam- trica n, F(x, y, y, . . . , y(n) ) 0, familia de soluciones n-paramtrica G(x, y, c1 , c2 , . . . , cn ) - ciones solucin particular. EJEMPLO 6 Soluciones particulares a) y cx x x xy y x2 x , c y x x c 0. b) y c1 ex c2 xex - y 2y y 0 y 5 x (c1 0, c2 5), y 3xex (c1 3, c2 y 5ex 2xex (c1 5, c2 solucin singular y 1 16 x4 y - dydx xy , - dydx xy - y (1 4 x2 c)2 c y 1 16 x4 y y (1 4 x2 c)2 c y 0. y x 5 5 y x 5 5 y x 5 5 5 a) solucin implcita x2 y2 25 b) solucin explcita y1 25 x2 , 5 x 5 c) solucin explcita y2 25 x2 , 5 x 5 FIGURA 1.1.2 FIGURA 1.1.3 y x c>0 c

Ecuaciones diferenciales Con Problemas Con Valores en la Frontera - Zill y Cullens 8ed

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