Curso:Ecuaciones Diferenciales

Nombre del maestro:César Octavio Martínez Padilla

Tema:Ecuaciones Diferenciales Homogéneas (E.D.H.)

Autor:Luis Angel León González

Registro:10310209

Salón:B: 212

25 de Febrero de 2011

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas (E.D.H.)

Si la ecuación diferencial está escrita en la forma:

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 //forma ordinaria

sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes M(x,y) y N(x,y)

son funciones homogéneas del mismo grado.

Forma de sacar el grado de la ecuación homogénea

• 1. Por Inspección

» M(tx,ty)» N(tx,ty) tn f(x,y) // n = grado del exponente

Ejemplo (por inspección)

f(x,y) = (x3y – x2y2)/(x + 8y) //ecuacion original

= [(tx)3ty – (tx)2(ty)2]/(tx + 8ty) //multiplicamos cada termino por ‘t’

= (t3x3ty – t2x2t2y2)/(tx + 8ty) //eliminamos paréntesis

= (t4x3y – t4 x2y2)/(tx + 8ty) //simplificamos un poco

= (t4 (x3y – x2y2))/((t(x + 8y)) //se factoriza ‘t’ en ambos lados

= t 3 ((x3y – x2y2)/(x + 8y)) // al dividir t4/t queda t3

//indica el grado de la ecuacion homogénea

//este es el primer paso (saber el grado de la ecuacion homogénea)

Forma de sacar el grado de la ecuación homogénea

• 2. Suma de los exponentes de c/literal o de c/término

• Ejemplo:

f(x,y) = 6x2y1 + 5y3

3° 3°//aquí podemos ver que la ecuación es homogénea, por tener el mismo grado en ambos

términos

Elementos claves para las E.D.H. (cambio de variables)

• 1. y = ux dy = udx + xdu

• 2. x = uy dx = udy + ydu

• 3. u = x + y y = u –x dy = du - dx

Ejemplo

• Resuelve la E.D. por homogéneas

• (x2 + xy + 3y2)dx – (x2 + 2xy)dy = 0 //ecuacion original

M(x2 + xy + 3y2) 2° //verificamos que fuera homogénea

N(x2 + 2xy) 2° //por el método de suma de exponentes de cada término

//resolviendo paréntesis

(x2 + x2u + 3u2x2)dx – [x2 + 2x2u][udx + xdu]//se factoriza x2 en ambos lados para poder eliminarla

x2 (1 + u + 3u2)dx – x2(1 + 2u)(udx + xdu) = 0//quitando paréntesis

dx + udx + 3u2dx – udx – xdu – 2u2dx – 2xudu = 0//agrupamos términos semejantes

dx + u2dx – xdu – 2xudu = 0//factorizamos “dx” y “xdu”

(1 + u2)dx – (1 + 2u)xdu = 0//despejando

(1 + u2)dx = (1 + 2u)xdu //reacomodando

dx/x = (du + 2udu)/(1 + u2)

Sim

plifi

caci

ón p

ara

sepa

rar v

aria

bles

Solución:

//usando el primer elemento clave, sustituimos ‘y’ por ‘ux’.

[x2 + x(ux) + 3(ux)2]dx – [x2 + 2x(ux)][udx + xdu] = 0 //separamos variables y resolvemos por ese método

(dx/x) - du/(1 + u2) + (2udu)/(1 + u2) = 0//resolvemos las integrales

ln x – arc tg u – ln |1 + u2| = cte//sustituimos el valor de ‘u’ (u = y/x) para dar el resultado

ln x – arc tg (y/x) – ln |1 + y2/x2) = cte