Leyes de Newton, Centro de Gravedad, Cable Suspendido y Tension de Inercia
Ecuaciones Diferenciales, Newton y La gravedad
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Ricardo Alejos Ecuaciones Diferenciales 1 Modelos Matemáticos Segunda Ley de Newton y la Ley de la Gravitación Universal Problema1 Enunciado Según la ley de la gravitación universal de Newton, la aceleración de caída libre de un cuerpo, como el satélite que aparece en la figura, que cae desde una gran distancia hasta la superficie terrestre no es la constante . Además, la aceleración es inversa- mente proporcional al cuadrado de la distancia desde el centro de la Tierra, ⁄ , donde es la cons- tante de proporcionalidad. Utilice la segunda ley de Newton y su ley de gravitación unive rsal para dedu- cir una ecuación diferencial para la distancia . Solución Para el caso de un objeto que está sobre la superficie terrestre (o muy cerca de ella), la aceleración con la que cae un objeto es . En este caso, la distan- cia entre el centro de la tierra y el objeto que cae es casi igual al radio de la Tierra ( ), por lo que pode- mos decir que y por lo tanto la constante sería: Ya conociendo esta constante, podemos obtener la ecuación diferencial para . La segunda ley de New- ton dicta que la suma de todas las fuerzas aplicadas a una masa debe ser igual a su masa por su acelera- ción. Si la fuerza de atracción es El signo negativo es porque la dirección de esta fuerza es hacia abajo, mientras nosotros considera- remos que la dirección positivas es hacia arriba. Entonces la ecuación diferencial que buscamos es: Y si dividimos la ecuación entre y reacomodamos los términos obtenemos finalmente: Esta ecuación es una ecuación diferencial no lineal y no es trivial darle solución, sin embargo, seguramen- te sus soluciones deben describir con precisión el movimiento de un objeto a cualquier distancia de la Tierra (tanto dentro como fuera de ella) a conse- cuencia del fenómeno de la fuerza de gravedad. Problema 2 Enunciado Suponga que se taladra un orificio hasta el centro de la tierra y que una bola de boliche de masa se deja caer dentro, como se muestra en la figura. Construya un modelo matemático que describa el movimiento de la bola. En el tiempo establezcamos: indica la distancia desde el centro de la Tierra hasta la masa , representa la masa de la porción de la Tierra dentro de una esfera con radio , y denota la den- sidad constante de la Tierra.
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En este breve documento resolvemos dos ejercicios en los cuales ejercitamos nuestra capacidad de modelado matemático explorando los temas de Gravitación Universal y la Segunda Ley de Newton
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Ricardo AlejosEcuaciones Diferenciales
1
Modelos Matemáticos Segunda Ley de Newton y la Ley de la Gravitación Universal
Problema1
Enunciado
Según la ley de la gravitación universal de Newton,
la aceleración de caída libre de un cuerpo, como el
satélite que aparece en la figura, que cae desde una
gran distancia hasta la superficie terrestre no es la
constante . Además, la aceleración es inversa-
mente proporcional al cuadrado de la distancia desde
el centro de la Tierra,
⁄, donde
es la cons-
tante de proporcionalidad. Utilice la segunda ley deNewton y su ley de gravitación universal para dedu-
cir una ecuación diferencial para la distancia .
Solución
Para el caso de un objeto que está sobre la superficie
terrestre (o muy cerca de ella), la aceleración con la
que cae un objeto es . En este caso, la distan-
cia entre el centro de la tierra y el objeto que cae es
casi igual al radio de la Tierra (), por lo que pode-
mos decir que y por lo tanto la constante
sería:
Ya conociendo esta constante, podemos obtener la
ecuación diferencial para . La segunda ley de New-
ton dicta que la suma de todas las fuerzas aplicadas a
una masa debe ser igual a su masa por su acelera-
ción. Si la fuerza de atracción es
El signo negativo es porque la dirección de esta
fuerza es hacia abajo, mientras nosotros considera-
remos que la dirección positivas es hacia arriba.
Entonces la ecuación diferencial que buscamos es:
Y si dividimos la ecuación entre y reacomodamoslos términos obtenemos finalmente:
Esta ecuación es una ecuación diferencial no lineal y
no es trivial darle solución, sin embargo, seguramen-
te sus soluciones deben describir con precisión el
movimiento de un objeto a cualquier distancia de la
Tierra (tanto dentro como fuera de ella) a conse-
cuencia del fenómeno de la fuerza de gravedad.
Problema 2
Enunciado
Suponga que se taladra un orificio hasta el centro de
la tierra y que una bola de boliche de masa se deja
caer dentro, como se muestra en la figura. Construya
un modelo matemático que describa el movimiento
de la bola. En el tiempo
establezcamos:
indica la
distancia desde el centro de la Tierra hasta la masa, representa la masa de la porción de la Tierra
dentro de una esfera con radio , y denota la den-
sidad constante de la Tierra.
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Solución
La Ley de Gravitación Universal establece que la
fuerza de gravedad experimentada por dos objetos
que se atraen mutuamente es proporcional al produc-
to de sus masas e inversamente proporcional al cua-
drado de la distancia que los separa, es decir:
Donde
es la constante de proporcionalidad. En
este caso, las dos masas que interactúan son la de la
bola de boliche () y la porción esférica de Tierra
de radio (es decir, ). Esta última, a su vez es el
volumen de dicha esfera por la densidad :
Por lo que la fuerza experimentada por la bola de
boliche (siempre hacia el centro de la tierra) es:
Manipulando igual el signo de esta fuerza igual que
en el ejercicio anterior, obtenemos a través de la
Segunda Ley de Newton la ecuación de movimiento
de la bola de boliche:
Despejando algunos términos y eliminando el tér-
mino finalmente obtenemos:
Curiosidades
Este tipo de ecuaciones diferenciales tienen solucio-
nes muy peculiares: oscilatorias. En particular la
ecuación que hemos obtenido como solución al ejer-
cicio anterior tiene muchas soluciones de la forma
() √ √
Donde las constantes y dependen de las condi-
ciones iniciales del problema (desde que punto y a
qué velocidad fue lanzada la bola de boliche).
La gráfica anterior ilustra diferentes soluciones (es-
caladas) posibles para la ecuación que planteamos,
todas ellas con velocidad inicial cero pero con dife-
rentes posiciones iniciales. ¡En realidad la bola de
boliche nunca dejará de caer!
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